Как найти высоту треугольника если известны радиус

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Высота равностороннего треугольника — свойства, формулы и примеры нахождения

Формулы, используемые для этого, несложны. Вывод выражений основан на свойствах треугольника, при этом точка пересечения высот считается замечательной и даже имеет своё название — ортоцентр.

Общие сведения

Три отрезка, не принадлежащие одной прямой, каждый из которых соединяется с другими в двух точках, образуют геометрическую фигуру — треугольник. Прямые линии — это стороны, а точки их соприкосновения вершины. Один из отрезков, обычно который проходит параллельно горизонтальной плоскости, называют основанием.

В зависимости от размера внутренних углов замкнутой фигуры, треугольники разделяют на следующие виды:

• остроугольные — все углы тела не превышают 90 градусов;
• тупоугольные — один из разворотов имеет тупую форму;
• прямоугольные — размер одного из трёх углов составляет 90 градусов.

По числу равных сторон треугольные фигуры разделяют на разносторонние, равнобедренные, равносторонние. Последние часто называют правильными, так как все стороны у такого объекта равны друг другу. Кроме этого, из особенностей равносторонней фигуры можно отметить, что центры вписанной и описанной окружности совпадают, а каждый из углов равен 60 градусам. Сумма всех углов треугольника равняется 180 градусам.

В любой трёхугольной фигуре можно построить так называемые 3 замечательные линии: медиана, биссектриса и высота.

В правильном треугольнике эти 3 отрезка совпадают, то есть линия, опущенная из вершины к противолежащей стороне, одновременно являясь медианой, биссектрисой и высотой, образует прямой угол с основанием. При этом она делит его пополам. Фактически высота играет роль катета.

Получается, что в середине фигуры можно построить 3 отрезка, которые и будут высотами. Две из них будут опущены на боковые грани, а одна на основание. Точка пересечения перпендикулярных линий называется ортоцентром. Она располагается внутри геометрического тела и совпадает с центром вписанной окружности.

Для трёхугольного тела существует 2 теоремы. Одна из них утверждает, что противолежащие боковые стороны имеют одинаковую длину, а вторая, что если 2 угла невырожденного треугольника равны, то грани, противоположные им, также равны.

Интересно то, что эти правила справедливы как для абсолютной, так и сферической геометрии.

Свойства равносторонней фигуры

При решении задач, связанных с нахождением высоты в равностороннем треугольнике, часто приходится использовать его свойства. Зная их, найти нужные параметры будет несложно. Тем более что все они связаны с главной особенностью фигуры — равенством его всех сторон.

Равностороннее тело с тремя углами обладает следующими особенностями:

• в нём все углы одинаковые и равны 60 градусов;
• середина пересечения отрезков, совпадающих с высотой, биссектрисой и медианой, является центром геометрического тела;
• радиус описанной окружности превышает радиус вписанной в 2 раза;
• в равностороннем треугольнике длины всех элементов выражаются через длину стороны.

Эти свойства очевидны. Если начертить треугольник с равными сторонами и вписать его в окружность, за центр можно принять точку O, при этом радиус описанного круга будет OK. Тогда линия, проведённая из неё к вершине, будет радиусом. Пусть конечная точка будет B. Но так как место пересечения является общим и для высот и медиан, из свойства последних можно сделать вывод, что в точке линия делится в отношении 2 к 1. Отсчёт следует вести с вершины треугольника. Значит: OB = 2 * OK.

Из основных формул, которые используются при вычислениях, в первую очередь нужно запомнить:

• радиус описанной окружности: R = (a * √3) / 3;‎
• диаметр вписанного круга: r = (a * √3) / 6;
• медиана: h = (a * √3) / 2;
• площадь: s = (a2 * √3) / 4;
• периметр: p = 3 * a.

Если рассмотреть треугольник ABC с проведённой высотой BN, можно утверждать, что грань АВ = ВС = АС = AN /2 = NC /2. Так как фигура ABN является копией BNC в зеркальном отражении, разделённые углы у вершины будут одинаковыми, а и их разворот составлять 30 градусов. Из этого следует, что угол A равен 60 градусам, значит, отрезок BN = AB * sin 60 0 = (AB * √3) / 2.

Зная длину медианы (высоты), вычислить другие параметры треугольника не составит труда. Например, периметр, P = 2 √3 * h; площадь — S = (h * 2) / √3.

При этом замечательным свойством является ещё и то, что ортоцентр одновременно будет в фигуре и центром тяжести (центроидом), поэтому точка пересечения высот и делит отрезок в отношении 2 к 1.

Формула высоты

В равностороннем треугольнике длина стороны равна произведению удвоенной высоты и квадратного корня из трёх. Эту формулу легко доказать, используя теорему Пифагора. Так как высота одновременно является и биссектрисой, она, проведённая на противоположное основание, разделяет треугольник на 2 симметричные фигуры. Исходя из того, что отрезок — это перпендикуляр, полученные геометрические тела будут прямоугольными.

Гипотенуза будет являться гранью основного тела, одним из катетов — проведённая линия, а вторым — половина основания. Последнее утверждение правдиво, так как в равносторонней фигуре все стороны равны. Соответственно, используя теорему Пифагора: c 2 = b 2 + a 2 , для рассматриваемого случая можно записать следующую формулу: a 2 = h 2 + a 2 / 2 2 , где: a — грань. После математических преобразований выражение примет вид: a = (2 * h) / √‎3. Отсюда уже можно вывести формулу для нахождения длины: h = (a * √‎3) / 2.

Аналогичное определение можно получить, используя для доказательства формулу Герона. Отрезок, являющийся высотой, можно найти из выражения: h = (2 * √‎p * (p — a) * (p — b) * (p — a)) / b. В равенстве p является периметром и находится как сумма всех сторон: p = (a + b + a). Так как одна из граней делится пополам, формулу можно привести к виду: p = (a + b + a) / 2 = a + b / 2.

После подстановки полученного выражения в формулу Герона, оно примет вид: h = 2 * √((a + b/2) * (b/2) * (a -b/2) * (b/2)) / b. Используя формулу сокращённого умножения: разность квадратов, равенство можно привести к виду: (a + b / 2) * (a — b / 2) = a 2 — (b / 2) 2 .

Для упрощения выражения под корень можно внести двойку и знаменатель b. Таким образом, формула примет вид: h = √(2 2 * (a 2 — (b/2) 2 * (b/2) 2 ) * b 2 ). Выполнив ряд сокращений, равенство можно будет представить: h = √(a 2 — (b 2 /4)). Из-за того, что стороны в трёхугольной фигуре совпадают, окончательный вариант можно записать: h = (a√3) / 2. Что и следовало доказать.

Высоту можно определить, и зная радиус вписанной окружности. Её можно найти по формуле: r = (a √ 3) / 6. Если выражение переписать как r = (1 / 3) * ((a √3) / 2), возможно увидеть, что второй множитель как раз и есть высота. Соответственно, r = (1/3) * h. Отсюда: h = 3 * r. Это довольно простая формула, которая часто используется при геометрических вычислениях, поэтому её тоже нужно запомнить.

Решение примеров

Самостоятельное решение задач позволяет закрепить теоретические знания и запомнить формулы. Существуют определённые типы примеров, с помощью которых можно довольно быстро проработать весь изученный материал. Вот некоторые из них, рассчитанные на учеников восьмых классов средней школы:

1. Определить высоту равносторонней фигуры, если её грань равняется 6 см. Решение задачи нужно строить следующим образом. У такого треугольника все стороны равны. Так как высота является медианой, она делит противоположную сторону вершины, из которой опущена, на 2 равные части. Треугольник можно обозначить ABC, а искомый перпендикуляр BH. Образованное геометрическое тело является прямоугольным. Причём, согласно условию, у него известна гипотенуза и катет. Оставшийся катет, который и является высотой, легко найти по теореме Пифагора: BH 2 + 3 2 = 6 2 . Отсюда: BH 2 = 25. Высота рассматриваемой фигуры будет равна 5 см.
2. Сторона правильного треугольного тела равна √3. Узнать, чему будет равен радиус описанной окружности. Эту задачу можно решить, воспользовавшись свойством высоты в равностороннем треугольнике: точка пересечения медиан делит их в отношении 2 :1. Для наглядности можно нарисовать треугольник c вершинами ABC и высоту AK, а точку пересечения обозначить буквой O. Линия AO будет искомым радиусом окружности и составлять 2/3 от всей высоты AK. Длина отрезка равна: AK = √ (AB2 — AK2). Отсюда: R = (2 * √ (AB2 — AK2)) / 3 = (2 * √ (√ 32 — (3/2)2)) / 3 = 1. Задача решена.

Проверить правильность решения можно, используя онлайн-калькуляторы. Это интернет-сервисы, которые позволяют своим пользователям в автоматическом режиме вычислять различные математические примеры. Свои услуги они предоставляют бесплатно, от пользователя требуется только установленный веб-обозреватель и подключение к сети.

Важно ещё, что калькуляторы не только выдают быстро правильный ответ, но и показывают пошаговое решение. Это очень удобно, когда необходимо определить, на каком этапе была допущена ошибка.

Кроме этого, на своих страницах такого рода сервисы содержат краткий теоретический материал и даже примеры заданий. Так что калькуляторы будут полезны и на стадии обучения.

Правильный треугольник. Площадь правильного треугольника

Правильный треугольник — треугольник, у которого все стороны равны. Каждый угол правильного треугольника равен градусов.
Правильный треугольник называют еще равносторонним.

Каждая из высот правильного треугольника является также его медианой и биссектрисой.
Центры вписанной и описанной окружностей правильного треугольника совпадают.

Пусть сторона правильного треугольника равна .

Высота правильного треугольника:
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник: .
Радиус описанной окружности в два раза больше: .
Площадь правильного треугольника: .

Все эти формулы легко доказать. Если вы нацелены на решение задач части — докажите их самостоятельно.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Задача решается в одну строчку. Радиус вписанной окружности .

. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна .

Сравним формулы для высоты правильного треугольника и радиуса вписанной окружности. Очевидно, радиус вписанной окружности равен высоты.

. Сторона правильного треугольника равна . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Радиус окружности, описанной вокруг правильного треугольника, равен .

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Высота треугольника онлайн

Высота треугольника. Определение

Определение 1. Отрезок, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Высота треугольника может содержаться внутри треугольника (Рис.1), совпадать со стороной треугольника (при прямоугольном треугольнике высота совпадает с катетом (Рис.2) ), проходить вне треугольника (при тупоугольном треугольнике(Рис.3)).

Теорема о пересечении высот треугольника

Теорема 1. Все три высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.4). Докажем, что высоты ( small AA_1 ,) ( small BB_1 ,) ( small CC_1 ) пересекаются в одной точке. Из каждой вершины треугольника проведем прямую, параллельно противоположной стороне. Получим треугольник ( small A_2B_2C_2. ) Покажем, что точки ( small A, B, C ) являются серединами сторон треугольника ( small A_2B_2C_2. ) ( small AB=A_2C ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABA_2C. ) ( small AB=CB_2 ) так как они являются противоположными сторонами параллелограмма ( small ABCB_2. ) Тогда ( small CB_2=CA_2, ) то есть точка ( small C ) является серединой стороны ( small A_2B_2 ) треугольника ( small A_2B_2C_2. ) Аналогично доказывается, что точки ( small A ) и ( small B ) являются серединами сторон ( small B_2C_2 ) и ( small A_2C_2, ) соответственно.

Далее из ( small AA_1⊥BC ) следует, что ( small AA_1⊥B_2C_2 ) поскольку ( small BC ǁ B_2C_2 ). Аналогично, ( small BB_1⊥A_2C_2, ) ( small CC_1⊥A_2B_2. ) Получили, что ( small AA_1,) ( small BB_1, ) ( small CC_1) являются серединными перпендикулярами сторон ( small B_2C_2, ) ( small A_2C_2, ) ( small A_2B_2, ) соответственно. Но серединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке (см. статью Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника). Следовательно высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.

Высота треугольника по основанию и площади

Пусть известны сторона треугольника и площадь. Найти высоту треугольника, отпущенная на известную сторону (Рис.5).

Решение. Площадь треугольника по основанию и высоте вычисляется из формулы:

Откуда:

Пример 1. Сторона треугольника равна ( small a=5 ) а площадь ( small S=7. ) Найти высоту треугольника.

Решение:

Применим формулу (1). Подставляя значения ( small a ) и ( small S ) в (1), получим:

Ответ:

Высота треугольника по трем сторонам

Формула площади треугольника по трем сторонам имеет следующий вид (см. статью на странице Площадь треугольника онлайн):

где ( small a, b, c ) стороны треугольника а полупериод ( small p ) вычисляется из формулы:

Высота треугольника, отпущенная на сторону ( small a) вычисляется из формулы (1). Подставляя (2) в (1), получим формулу вычисления высоты треугольника по трем сторонам:

Пример 2. Известны стороны треугольника: ( small a=5, ) ( small b= 4, ) ( small c=7. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Найдем, сначала полупериод ( small p ) треугольника из формулы (3):

Подставляя значения ( small a , b, c ) и ( small p ) в (4), получим:

Ответ:

Высота треугольника по двум сторонам и радиусу описанной окружности

Рассмотрим треугольник на рисунке 6. Из теоремы синусов имеем:

откуда

Далее, из теоремы синусов имеем:

Подставляя (6) в (7), получим:

или

Отметим, что радиус описанной окружности должен удовлетворять следующему неравенству:

Пример 3. Известны стороны треугольника: ( small b=7, ) ( small c= 3 ) и радиус описанной окружности ( small R=4. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Проверим сначала условие (9):

Условие (9) удовлетворяется, следовательно такой треугольник существует. Для нахождения выстоты треугольника воспользуется формулой (8). Имеем:

Ответ: ( small 2frac{5}{8}. )

Высота треугольника по стороне и прилежащему к ней углу

Найдем высоту ( small h_a ) треугольника на рисунке 7. Из теоремы синусов имеем:

откуда

Пример 4. Известны сторона ( small c=12 ) треугольника и прилежащий угол ( small angle B=30°. ) Найти высоту треугольника, отпущенная на сторону ( small a. )

Решение: Для нахождения высоты треугольника подставим значения ( small c=12 ) и ( small angle B=30° ) в (11). Имеем:

Ответ: ( small 6. )

Как Найти Высоту Треугольника. Например, если основание треугольника равно 5 см, а высота равна 3 см, то вычисления выглядят так: Где a, b и c — стороны треугольника, p — его полупериметр.

Через площадь и длину стороны. Если известны все стороны треугольника, можно вычислить высоту треугольника по формуле, которая подходит для любого треугольника. Чтобы найти наибольшую высоту треугольника, можно площадь треугольника разделить на длину стороны, к которой проведена эта высота (то есть на длину наименьшей из сторон треугольника).

Все Высоты, Биссектрисы И Медианы, Равны.

H = 2 p p × a p × b p × c a. Как правило, высоту треугольника обозначают буквой h. Как найти периметр равнобедренного треугольника, зная боковую сторону и высоту.

1) Найдём Высоту Равностороннего Треугольника Через Его Сторону.

P = a + b + c 2. H a = 2 p (. Также обозначается высота и в других фигурах.

Чтобы Найти Наибольшую Высоту Треугольника, Можно Площадь Треугольника Разделить На Длину Стороны, К Которой Проведена Эта Высота (То Есть На Длину Наименьшей Из Сторон Треугольника).

Из шага 4 имеем, что bc² = dc*ac. Предварительно необходимо найти полупериметр треугольника, как половину суммы трех его сторон. Площадь треугольника вычисляется по формуле:

Если В Задаче Дано Значение Угла При Вершине, То Высота В Равнобедренном Треугольнике Находится Следующим Образом:

Пусть катет см, а см (рис. Высота треугольника опущенная на сторону a обозначается буквой ha и через три стороны треугольника выражается формулой: Как найти высоту прямоугольного треугольника прямоугольный треугольник имеет один прямой угол.

Если Известны Длины Всех Сторон;

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними. S = 0,5 cdot a cdot b cdot sinalpha s = 0,5⋅ a ⋅ b ⋅ sinα. Вы получите площадь треугольника (в квадратных единицах измерения).

Формулы, используемые для этого, несложны. Вывод выражений основан на свойствах треугольника, при этом точка пересечения высот считается замечательной и даже имеет своё название — ортоцентр.

Общие сведения

Три отрезка, не принадлежащие одной прямой, каждый из которых соединяется с другими в двух точках, образуют геометрическую фигуру — треугольник. Прямые линии — это стороны, а точки их соприкосновения вершины. Один из отрезков, обычно который проходит параллельно горизонтальной плоскости, называют основанием.

В зависимости от размера внутренних углов замкнутой фигуры, треугольники разделяют на следующие виды:

• остроугольные — все углы тела не превышают 90 градусов;
• тупоугольные — один из разворотов имеет тупую форму;
• прямоугольные — размер одного из трёх углов составляет 90 градусов.

По числу равных сторон треугольные фигуры разделяют на разносторонние, равнобедренные, равносторонние. Последние часто называют правильными, так как все стороны у такого объекта равны друг другу. Кроме этого, из особенностей равносторонней фигуры можно отметить, что центры вписанной и описанной окружности совпадают, а каждый из углов равен 60 градусам. Сумма всех углов треугольника равняется 180 градусам.

В любой трёхугольной фигуре можно построить так называемые 3 замечательные линии: медиана, биссектриса и высота.

В правильном треугольнике эти 3 отрезка совпадают, то есть линия, опущенная из вершины к противолежащей стороне, одновременно являясь медианой, биссектрисой и высотой, образует прямой угол с основанием. При этом она делит его пополам. Фактически высота играет роль катета.

Получается, что в середине фигуры можно построить 3 отрезка, которые и будут высотами. Две из них будут опущены на боковые грани, а одна на основание. Точка пересечения перпендикулярных линий называется ортоцентром. Она располагается внутри геометрического тела и совпадает с центром вписанной окружности.

Для трёхугольного тела существует 2 теоремы. Одна из них утверждает, что противолежащие боковые стороны имеют одинаковую длину, а вторая, что если 2 угла невырожденного треугольника равны, то грани, противоположные им, также равны.

Интересно то, что эти правила справедливы как для абсолютной, так и сферической геометрии.

Свойства равносторонней фигуры

При решении задач, связанных с нахождением высоты в равностороннем треугольнике, часто приходится использовать его свойства. Зная их, найти нужные параметры будет несложно. Тем более что все они связаны с главной особенностью фигуры — равенством его всех сторон.

Равностороннее тело с тремя углами обладает следующими особенностями:

• в нём все углы одинаковые и равны 60 градусов;
• середина пересечения отрезков, совпадающих с высотой, биссектрисой и медианой, является центром геометрического тела;
• радиус описанной окружности превышает радиус вписанной в 2 раза;
• в равностороннем треугольнике длины всех элементов выражаются через длину стороны.

Эти свойства очевидны. Если начертить треугольник с равными сторонами и вписать его в окружность, за центр можно принять точку O, при этом радиус описанного круга будет OK. Тогда линия, проведённая из неё к вершине, будет радиусом. Пусть конечная точка будет B. Но так как место пересечения является общим и для высот и медиан, из свойства последних можно сделать вывод, что в точке линия делится в отношении 2 к 1. Отсчёт следует вести с вершины треугольника. Значит: OB = 2 * OK.

Из основных формул, которые используются при вычислениях, в первую очередь нужно запомнить:

• радиус описанной окружности: R = (a * √3) / 3;‎
• диаметр вписанного круга: r = (a * √3) / 6;
• медиана: h = (a * √3) / 2;
• площадь: s = (a2 * √3) / 4;
• периметр: p = 3 * a.

Если рассмотреть треугольник ABC с проведённой высотой BN, можно утверждать, что грань АВ = ВС = АС = AN /2 = NC /2. Так как фигура ABN является копией BNC в зеркальном отражении, разделённые углы у вершины будут одинаковыми, а и их разворот составлять 30 градусов. Из этого следует, что угол A равен 60 градусам, значит, отрезок BN = AB * sin 60⁰ = (AB * √3) / 2.

Зная длину медианы (высоты), вычислить другие параметры треугольника не составит труда. Например, периметр, P = 2 √3 * h; площадь — S = (h * 2) / √3.

При этом замечательным свойством является ещё и то, что ортоцентр одновременно будет в фигуре и центром тяжести (центроидом), поэтому точка пересечения высот и делит отрезок в отношении 2 к 1.

Формула высоты

В равностороннем треугольнике длина стороны равна произведению удвоенной высоты и квадратного корня из трёх. Эту формулу легко доказать, используя теорему Пифагора. Так как высота одновременно является и биссектрисой, она, проведённая на противоположное основание, разделяет треугольник на 2 симметричные фигуры. Исходя из того, что отрезок — это перпендикуляр, полученные геометрические тела будут прямоугольными.

Гипотенуза будет являться гранью основного тела, одним из катетов — проведённая линия, а вторым — половина основания. Последнее утверждение правдиво, так как в равносторонней фигуре все стороны равны. Соответственно, используя теорему Пифагора: c² = b² + a², для рассматриваемого случая можно записать следующую формулу: a² = h² + a² / 2², где: a — грань. После математических преобразований выражение примет вид: a = (2 * h) / √‎3. Отсюда уже можно вывести формулу для нахождения длины: h = (a * √‎3) / 2.

Аналогичное определение можно получить, используя для доказательства формулу Герона. Отрезок, являющийся высотой, можно найти из выражения: h = (2 * √‎p * (p — a) * (p — b) * (p — a)) / b. В равенстве p является периметром и находится как сумма всех сторон: p = (a + b + a). Так как одна из граней делится пополам, формулу можно привести к виду: p = (a + b + a) / 2 = a + b / 2.

После подстановки полученного выражения в формулу Герона, оно примет вид: h = 2 * √((a + b/2) * (b/2) * (a -b/2) * (b/2)) / b. Используя формулу сокращённого умножения: разность квадратов, равенство можно привести к виду: (a + b / 2) * (a — b / 2) = a² — (b / 2)².

Для упрощения выражения под корень можно внести двойку и знаменатель b. Таким образом, формула примет вид: h = √(2² * (a² — (b/2)² * (b/2)²) * b²). Выполнив ряд сокращений, равенство можно будет представить: h = √(a² — (b²/4)). Из-за того, что стороны в трёхугольной фигуре совпадают, окончательный вариант можно записать: h = (a√3) / 2. Что и следовало доказать.

Высоту можно определить, и зная радиус вписанной окружности. Её можно найти по формуле: r = (a √ 3) / 6. Если выражение переписать как r = (1 / 3) * ((a √3) / 2), возможно увидеть, что второй множитель как раз и есть высота. Соответственно, r = (1/3) * h. Отсюда: h = 3 * r. Это довольно простая формула, которая часто используется при геометрических вычислениях, поэтому её тоже нужно запомнить.

Решение примеров

Самостоятельное решение задач позволяет закрепить теоретические знания и запомнить формулы. Существуют определённые типы примеров, с помощью которых можно довольно быстро проработать весь изученный материал. Вот некоторые из них, рассчитанные на учеников восьмых классов средней школы:

1. Определить высоту равносторонней фигуры, если её грань равняется 6 см. Решение задачи нужно строить следующим образом. У такого треугольника все стороны равны. Так как высота является медианой, она делит противоположную сторону вершины, из которой опущена, на 2 равные части. Треугольник можно обозначить ABC, а искомый перпендикуляр BH. Образованное геометрическое тело является прямоугольным. Причём, согласно условию, у него известна гипотенуза и катет. Оставшийся катет, который и является высотой, легко найти по теореме Пифагора: BH² + 3² = 6². Отсюда: BH² = 25. Высота рассматриваемой фигуры будет равна 5 см.
2. Сторона правильного треугольного тела равна √3. Узнать, чему будет равен радиус описанной окружности. Эту задачу можно решить, воспользовавшись свойством высоты в равностороннем треугольнике: точка пересечения медиан делит их в отношении 2 :1. Для наглядности можно нарисовать треугольник c вершинами ABC и высоту AK, а точку пересечения обозначить буквой O. Линия AO будет искомым радиусом окружности и составлять 2/3 от всей высоты AK. Длина отрезка равна: AK = √ (AB2 — AK2). Отсюда: R = (2 * √ (AB2 — AK2)) / 3 = (2 * √ (√ 32 — (3/2)2)) / 3 = 1. Задача решена.

Проверить правильность решения можно, используя онлайн-калькуляторы. Это интернет-сервисы, которые позволяют своим пользователям в автоматическом режиме вычислять различные математические примеры. Свои услуги они предоставляют бесплатно, от пользователя требуется только установленный веб-обозреватель и подключение к сети.

Важно ещё, что калькуляторы не только выдают быстро правильный ответ, но и показывают пошаговое решение. Это очень удобно, когда необходимо определить, на каком этапе была допущена ошибка.

Кроме этого, на своих страницах такого рода сервисы содержат краткий теоретический материал и даже примеры заданий. Так что калькуляторы будут полезны и на стадии обучения.