Как найти высоту треугольника зная синус угла

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Способы нахождения высоты треугольника: теорема и формула

Определение высоты треугольника

Геометрия, являющаяся разделом математики, изучает структуры в пространстве и на плоскости. Одним из типов таких фигур являются геометрические фигуры. К ним можно отнести квадрат, прямоугольник, круг, пятиугольник, треугольник и другие. Из них можно делать более сложные фигуры или оставлять в первоначальном виде.

Треугольником является фигура, относящаяся к классу простых фигур, которая образована тремя точками, находящимися не на одной прямой, и соединенными между собой тремя отрезками.

Треугольники могут быть:

• разными по величине углов: прямоугольными, тупоугольными и остроугольными;
• разными по числу равных сторон: равносторонними, равнобедренными и разносторонними.

Помимо трех сторон, важными элементами треугольников являются медианы, высоты и биссектрисы.

Высотой треугольника является перпендикуляр, опущенный из угла треугольника вниз, на противоположную сторону.

В геометрии высота треугольника обозначается буквой h.

В зависимости от типа треугольника высота может:

• падать на противоположную сторону — у остроугольного треугольника;
• находиться вне треугольника — у тупоугольного треугольника;
• совпадать с одной из сторон — у прямоугольного треугольника.

Чтобы сделать высоту графически явной и понятной на рисунке, ее нередко выделяют красной линией.

Для того чтобы определить графическое начертание высоты треугольника, необходимо:

1. Найти вершину фигуры.
2. Опустить вниз перпендикулярную линию к противоположной стороне.
3. Продлить противоположную сторону до пересечения с высотой, если требуется.

Любой треугольник имеет 3 высоты — по числу углов. Их пересечение находится в точке ортоцентра, которая, в зависимости от типа треугольника, может находиться внутри треугольника, снаружи на пересечении продолжений высот или совпадать с вершиной прямого угла.

Все три высоты треугольника обратно пропорциональны сторонам, к которым опущены. Доказательством будет соотношение:

A × H A ÷ B × H B ÷ C × H C = 1 B C ÷ 1 A C ÷ 1 A B

Выглядеть графически это будет так:

Существует множество способов нахождения высоты треугольника в зависимости от имеющихся данных.

Через площадь и длину стороны, к которой опущена высота:

где S — уже известная площадь треугольника,

Через длины всех сторон:

h = 2 p p × a p × b p × c a

где a, b и c — стороны треугольника,

p — его полупериметр.

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через длину прилежащей стороны и синус угла:

s i n a — синус угла прилежащей стороны.

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через стороны и радиус описанной окружности.

Решать задачи с треугольником и описанной окружностью для нахождения высоты можно следующим образом:

где b, c — стороны разностороннего треугольника, к которым не опущена высота,

R — радиус описанной окружности.

Данная формула подходит только для нахождения высоты разностороннего треугольника.

Через длины отрезков, образованных на гипотенузе при проведении к ней высоты треугольника:

где C 1 и С 2 — длины отрезков, образованных на гипотенузе, проведенной к ней высотой.

Данная формула подходит только для нахождения высоты прямоугольного треугольника.

Нахождение высоты равнобедренного треугольника через основание и боковые стороны

Равнобедренным треугольником называют треугольник, имеющий одинаковые по длине катеты, которые образуют равные углы с основанием. В таком треугольнике высота будет опускаться ровно в середину основания, образуя с ним прямой угол.

Помимо высоты, проведенная линия будет являться также осью симметрии, биссектрисой вершинного угла и медианой.

Формула для нахождения высоты в этом случае:

где a — основание,

b — равные боковые стороны.

Свойства высоты в равностороннем треугольнике

Равносторонний треугольник — это треугольник, стороны которого, углы, высоты, медианы, оси симметрии и биссектрисы будут равны.

Такой треугольник является частным примером равнобедренного треугольника, но не наоборот.

Высоту в таком треугольнике можно найти с помощью следующей формулы:

где а — сторона равностороннего треугольника.

Главным свойством, которым обладает высота равностороннего треугольника, является тот факт, что она равна медиане и биссектрисе:

а — сторона правильного равностороннего треугольника.

Нахождение высоты прямоугольного треугольника через его катеты

Прямоугольным считается треугольник, у которого один из углов является прямым, то есть равным 90°. Высота, опущенная из такого угла, падает на гипотенузу треугольника и делит его на два прямоугольных треугольника, которые пропорциональны по отношению к большому треугольнику и друг к другу.

Важно отметить, что две другие высоты будут совпадать с катетами треугольника.

Найти высоту в прямоугольном треугольнике, можно через два его катета (a и b) и гипотенузу (c).

Причем гипотенуза также легко находится через катеты по теореме Пифагора:

Расчет высоты идет следующим образом:

где a, b и c — вышеупомянутые стороны треугольника.

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

1. Через площадь и длину стороны

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

4. Через стороны и радиус описанной окружности

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты h_a, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

2. Через стороны треугольника

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Здесь рассмотрены все возможные способы нахождения высоты треугольников разных типов. Высота
треугольника – отрезок, проведенный из вершины треугольника перпендикулярно к противоположной
стороне. В задачах нахождение высоты часто является промежуточным звеном для поиска других значений.
Она и является катетом в треугольнике, который сама же образует, и участвует во многих формулах,
например, для нахождения площади.

Через площадь и длину стороны разностороннего треугольника

Через площадь и длину высота находится по формуле:

h = 2S / a

где S – площадь треугольника, а – сторона треугольника.

Согласно этой формуле высота равна удвоенной площади, деленной на длину стороны, к которой она
проведена.

Пример.  Найдите высоту разностороннего треугольника, проведенную к стороне а,
площадь которого равна 27 см, а длина стороны а составляет одну треть от площади. Решение: Найдем
сторону а. Так как известно, что она составляет треть от площади, а = 27 / 3 = 9 см.
Теперь воспользуемся формулой для нахождения высоты: h = 2S / a. Подставим
известные значения. h = 2 * 27 / 9 = 6 см. Ответ: 6 см

Через длины всех сторон разностороннего треугольника

Через длины всех сторон высота разностороннего треугольника ищется по формуле:

h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2
p = (a + b + c) / 2

где h – высота, а, b, c – стороны треугольника, p – полупериметр треугольника.

Полупериметр треугольника можно найти либо в два этапа через периметр, либо сразу по формуле. Этим
способом удобно пользоваться, когда треугольник разносторонний.

Пример. Периметр разностороннего треугольника равен 18 см. Длины сторон 6 см и 8 см. Найдите
высоту, проведенную к стороне а. Решение: P = a + b + c, значит с = P – a – b , то есть c = 18 – 8 – 6 = 4 см. Для
нахождения h будем использовать формулу h = (2 √(p (p-a)(p-b)(p-c))) / 2.
Сначала найдем полупериметр (p): p = p / 2 = 18 / 2 = 9 см. Подставим,
найденные значения в формулу высоты: h = (2 √(9 (9 — 6)(9 — 8)(9 — 4))) / 2 = √135 / 3 = 2,12 см

Через длину прилежащей стороны и синус угла разностороннего треугольника

Через длину прилежащей стороны и синус угла высота ищется по следующей формуле:

h = a * sin α

где а – длина стороны, sin α – синус прилежащей стороны.

Пример. В разностороннем треугольнике высота проведена к стороне AB. Угол ACH равен
30˚, а длина стороны AB 12 см. Найдите длину высоты CH в треугольнике ABC. По теореме о сумме углов
в треугольнике найдем угол САН. ∠САН = 180 – (∠АСН + ∠АНС). ∠САН = 180 – 90 – 30 = 60˚  sin 60º = 1/2. СН = AB * sin ∠САН, СН = 12 * 1/2 = 6 см. Ответ:
6 см

Через стороны и радиус описанной окружности разностороннего треугольника

Через стороны и радиус описанной окружности высоту можно найти по следующей формуле:

h = bc / 2R

где r – радиус описанной около треугольника окружности, b,c – стороны треугольника

Пример. Вокруг разностороннего треугольника описана окружность с радиусом 3 см. Из
вершины между сторонами b и с проведена высота. Стороны b и с соответственно равны 5 см и 6 см.
Найдите высоту. Решение: Найдем высоту, используя формулу h = 5 * 6 / 2 * 3 = 30 / 6 = 5 см. Ответ:
5 см.

Через длины отрезков прямоугольного треугольника, образованных на гипотенузе

Через длины отрезков образованных на гипотенузе высоту можно найти по следующей формуле:

h = √(C1 * C2)

где: C1, C2 — отрезки, образованные проведением высоты к гипотенузе.

Пример. В прямоугольном треугольнике катеты равны 4 см и 3 см. Угол BAH равен 30˚.
Найдите высоту. По теореме Пифагора найдём сторону BC, которая является гипотенузой в треугольнике
ABC. BC² = AB² = AC²,  BC² = 4² + 3² = 16+9 = 25 см², BC = √25 = 5 см. Угол
АНВ равен 90˚, так как АН является высотой, то есть, проведена перпендикулярно к стороне ВС.
Следовательно, треугольник АНВ – прямоугольный. Сторона ВН лежит напротив угла 30˚ в прямоугольном
треугольнике, значит, ее длина равна половине длины гипотенузы. Найдем ВН. BH = 1/2 AB. BH = 1/2 × 4 = 2 см. BC = BH + HC,
значит, HC = BC – BH, HC = 5 – 2 = 3 см. По формуле найдем высоту
(АН). АН = √(2 * 3) = √6 = 2,4 см. Ответ: 2,4 см.

Через основание и боковые стороны равнобедренного треугольника

Через основание и боковые стороны высота равнобедренного треугольника находится по формуле:

h = √(b² — a²/4)

где а – основание треугольника, b – боковая сторона. Для равнобедренного треугольника.

Пример. В равнобедренном треугольнике АВС боковая сторона равна 8 см. Из вершины В к
основанию АС проведена высота ВН. Отрезок АН равен 5 см. Найдите высоту. Решение: Так как по условию
треугольник АВС равнобедренный по условию, то АВ = ВС = 8 см высота ВН,
является и медианой, и биссектрисой. Значит, АН = НС, а АС = НС + АН, АС = 5 + 5 = 10 см. По
формуле найдем высоту ВН = √(АВ² — АС² / 4). ВН = √(8² — 10² / 4) = √(64 — 100 / 4) = √39 = 6 см.
Ответ: 6 см.

Высота прямоугольного треугольника через все стороны треугольника

Если известны все стороны прямоугольного треугольника, то можно найти его высоту по следующей
формуле:

h = ab / c

где a,b,c – стороны треугольника.

Пример. В прямоугольном треугольнике угол между катетом и гипотенузой равен 45˚.
Длина стороны АС равна 6 см. Найти высоту АН. Решение: По теореме о сумме углов в треугольнике
найдем угол АСВ. ∠АСВ = 180˚ – (45˚ + 90˚) = 45˚. Так как АСВ = АСВ, то
треугольник АВС равнобедренный с основанием ВС. Таким образом, АС = АВ = 6 см. По теореме Пифагора найдем гипотенузу ВС. BC² = AB² + AC². BC² = 6² + 6² = 36 +36 = 72 см². ВС = √72 = 6√2 см. Найдем
высоту по формуле AH = AB * AC / BC. АН = 6 * 6 / 6√2= см. Домножим
полученное значение на √2: (6 * √2) / √2 * √2 = 6√2 / 2 = 3√2 см. Ответ:
3√2 см

Через сторону равностороннего треугольника

Высота равностороннего треугольника через сторону треугольника ищется по следующей формуле:

h = a√3 / 2

где a – сторона треугольника.

Пример: Найдите высоту в равностороннем треугольнике, если известно, что его сторона
равна 4√3 см. Решение: Для нахождения высоты воспользуемся формулой h = a√3 / 2 = √3 * 4 √3 / 2 = 4 * 3 / 2 = 6 см. Ответ:
6 см

В зависимости от типа треугольника высота может располагаться по-разному:

1. Например, в треугольнике KGM высота GH, проведённая из вершины G к стороне находится внутри
   треугольника, так как треугольник является остроугольным. Кроме того, треугольник в данном
   примере равнобедренный, значит, она же является биссектрисой и медианой. Знание этого пригодится
   при решении задач, например таким образом можно будет найти основание.
2. В тупоугольном треугольнике высота будет выходить за его пределы и для того чтобы её провести
   понадобится сначала продлить сторону. Например, на рисунке сторона ВС продлена до НС.
3. В случае, когда треугольник имеет прямой угол – высота совпадёт с одним из катетов, либо будет
   внутри треугольника (как в первом рассмотренном варианте) и проведена к гипотенузе.

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним определение. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач в банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

sin A

cos A

Высота проведена к гипотенузе AB. Она делит треугольник на два прямоугольных треугольника — и . Смотрим внимательно на рисунок и находим на нем равные углы. Это и есть ключ к задачам по геометрии, в которых высота опущена на гипотенузу.

Мы помним, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна . Значит, , то есть угол равен углу . Аналогично, угол равен углу .

Иными словами, каждый из трех углов треугольника равен одному из углов треугольника (и треугольника ). Треугольники и называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Возьмем треугольники и . Стороны треугольника длиннее, чем стороны треугольника в раз:

Мы доказали свойство высоты прямоугольного треугольника. Его можно сформулировать как теорему.

Теорема 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольника на три подобных друг другу треугольника:

При решении задач нам пригодится равенство углов треугольников и , а также пропорциональность их сторон. Обратите также внимание, что площадь треугольника можно записать двумя разными способами: как половину произведения катетов и как половину произведения гипотенузы на проведенную к ней высоту. В геометрии это называется «метод площадей» и часто применяется в решении задач.

Задача 1.

В треугольнике ABC угол C равен CH — высота, BC = 3, cos A = Найдите AH.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC. В нем известны косинус угла A и противолежащий катет BC. Зная синус угла A, мы могли бы найти гипотенузу AB. Так давайте найдем sin A:

sin + cos = 1.

Эта формула – основное тригонометрическое тождество. Конечно, вы его знаете:

sin

sin

sin A (поскольку значение синуса острого угла положительно).

Тогда:

Рассмотрим прямоугольный треугольник , . Поскольку

Отсюда

Ответ:

Задача 2.

В треугольнике ABC угол C равен 90 AB = 13, tg A . К гипотенузе проведена высота CH. Найдите AH.

Решение:

Это чуть более сложная задача. Ведь вам неизвестны катеты a и b.

Запишем теорему Пифагора: (1)

Нам известно также, что:

tg A (2)

Решая уравнения (1) и (2), найдем:

Запишем площадь треугольника AВС двумя способами:

и найдем длину .

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений, как в алгебре.

Теорема 2. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Доказательство:

Из прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C и гипотенузой AB:

sin

Из прямоугольного треугольника AНС с прямым углом Н и гипотенузой AС:

sin

Мы разными способами вычислили синус одного и того же угла. Приравняем полученные выражения:

Найдем высоту:

Что и требовалось доказать.

Задача 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и 20.
Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.

Решение:

Воспользуемся теоремой 2 о высоте прямоугольного треугольника:

Катеты BС и AС нам известны: BC = 15, AC = 20. Найдем гипотенузу AB с помощью теоремы Пифагора:

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла:

Ответ: 12.

Теорема 3. В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.

Сейчас мы докажем эту полезную формулу.

Вспомним, что такое проекция точки на прямую. Например, из точки С опускаем СН — перпендикуляр к прямой AВ. Точка Н и будет проекцией точки С. Тогда AН – проекция катета AВ, а BН – проекция катета BС.

Обозначим:

Доказательство проведем двумя способами.

Первый способ доказательства:

Из прямоугольного треугольника BНС с прямым углом Н и гипотенузой BС:

tg

Из прямоугольного треугольника AНС с прямым углом Н и гипотенузой AС:

ctg

Заметим, что угол CBН – это угол CBA, а угол CAН – это угол BAC. Тогда:

tg

tg

Мы воспользовались тем, что тангенс и котангенс двух разных острых углов прямоугольного треугольника равны друг другу. Это следует из определения тангенса и котангенса.

Преобразуем получившееся выражение:

Что и требовалось доказать.

Второй способ доказательства:

Воспользуемся подобием треугольников, о которых говорится в теореме 1.

Рассмотрим пару прямоугольных треугольников AНC и BНC. Как было показано выше, эти треугольники подобны по двум углам, поэтому

Мы получили такое же соотношение, как и в первом способе доказательства.

Далее аналогично получим, что

Что и требовалось доказать.

Задача 4. На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опущена высота CH, AH = 4, BH = 16. Найдите длину CH.

Решение:

Воспользуемся теоремой 3 о высоте прямоугольного треугольника:

Подставим данные задачи.

CH = 8.

Ответ: 8.

Разберем решения других задач ОГЭ и ЕГЭ по теме «Свойства высоты в прямоугольном треугольнике».

Задача 5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3:4, а гипотенуза равна 50. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла и отрезки, на которые гипотенуза делится высотой.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABС с гипотенузой AB. Проведем высоту CD=h.

Учитывая отношение катетов, обозначим их длины как: BC = 3x, AC = 4x.

Тогда по теореме Пифагора получим:

По условию гипотенуза AB = 50. Следовательно, х = 10, BC = 30, AC = 40.

Далее можно действовать разными способами. Например, так.

где по определению косинуса:

cos A cos B

Ответ:

Задача 6. В прямоугольном треугольнике ABC высота CD делит гипотенузу на отрезки AD = 3 см и BD = 2 см. Найти катеты треугольника.

Решение:

Найдем квадрат длины высоты с помощью теоремы 3:

Из прямоугольного треугольника ADC по теореме Пифагора найдем

см.

Из прямоугольного треугольника BDC по теореме Пифагора найдем

см.

Ответ: см и см.

Задача 7. Точка D является основанием высоты, проведенной из вершины прямого угла C треугольника ABC к гипотенузе AB. Найдите AC, если AD=8, AB=32.

Указание:

Найдите отрезок BD = AB — AD, после чего задача сводится к предыдущей.

Длину высоты прямоугольного треугольника можно также найти, если известны гипотенуза и один из острых углов треугольника.

h = c sincos = c sincos

Докажем эту формулу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD:

В то же время из треугольника AВC:

Таким образом, h = CD = AC cos⁡ = AB sincos = c sincos⁡

Аналогично, из треугольника BCD получим: h = CD = BC cos = AB sin⁡ cos = c sin cos⁡

Задача 8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один из острых углов 15 градусов. Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла.

Решение:

Воспользуемся доказанной выше формулой:

h = c sincos = 10 sin cos = 5sin = 2,5.

Ответ: 2,5.

Задача 9. Высота прямоугольного треугольника делит его гипотенузу на отрезки 6 см и 4 см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме данных отрезков:

см.

Найдем высоту, проведенную из вершины прямого угла к гипотенузе: см.

Площадь треугольника:

см

Ответ: см

Если вам понравился наш материал — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн

Как найти высоту в прямоугольном треугольнике

Высота—перпендикуляр, исходящий из вершины треугольника и проведенный до его противоположной стороны. Метод для решения задачи по нахождению высоты в прямоугольном треугольнике следует выбирать в зависимости от условия.

1

Найти высоту в прямоугольном треугольнике через формулу произведения

Если известны длины частей (или их соотношение), на которые высота делит гипотенузу, то найти её можно через произведение длин отрезков этих отрезков.

Формула расчета высоты:

CH=√BH*HA

2

Найти высоту в прямоугольном треугольнике через площадь треугольника

• Если по условию известна площадь треугольника, то можно без труда выразить формулу вычисления высоты: частное удвоенной площади треугольника и гипотенузы:

CH=2S/AB

CH—высота, S—площадь треугольника, AB—гипотенуза

• Также эту формулу можно записать в виде частного произведения катетов и гипотенузы:

CH=AC*BC/AB

3

Найти высоту в прямоугольном треугольнике через радиус описанной окружности

Если вокруг треугольника описана окружность, известен её радиус, то высоту можно рассчитать с помощью формулы частного произведения катетов и удвоенного радиуса окружности.

HC=AC*CB/2FO

4

Найти высоту в прямоугольном треугольнике через синус угла

• Высоту можно найти, если умножить синус одного из острых углов на прилежащий катет.

Так выглядит формула:

h=AB* sin A

• Еще один вариант: умножаем отрезок гипотенузы на тангенс прилежащего острого угла.

h=DC*tg C

Используя данные формулы можно достаточно легко отыскать высоту прямоугольного треугольника. Знания о нахождении высоты часто используются в решении многих геометрических задач, поэтому это одни из самых базовых формул геометрии.