Как найти высоту вершины прямоугольной пирамиды

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Пирамида — это многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а остальные грани — треугольники, сходящиеся в общей вершине. Решение задач с пирамидами во многом зависит от вида пирамиды. У прямоугольной пирамиды одно из боковых ребер перпендикулярно основанию, это ребро и есть высота пирамиды.

Определите вид по ее основанию. Если в основании лежит треугольник, то это треугольная прямоугольная пирамида. Если четырехугольник — четырёхугольная и так далее. В классических задачах встречаются пирамиды, основание которой либо квадрат, либо равносторонние/равнобедренные/прямоугольные треугольники.

Если в основании пирамиды лежит квадрат, найдите высоту (она же — ребро пирамиды) через прямоугольный треугольник. Помните — в стереометрии на рисунках квадратвыглядит как параллелограмм. Например, дана прямоугольная пирамида SABCD с вершиной S, которая проецируется в вершину квадрата B. Ребро SB перпендикулярно плоскости основания. Рёбра SA и SC равны между собой и перпендикулярны сторонам AD и DC соответственно.

Если в задаче даны рёбра AB и SA, найдите высоту SB из прямоугольного ΔSAB по теореме Пифагора. Для этого из квадрата SA вычтите квадрат AB. Извлеките корень. Высота SB найдена.

Если не дана сторона квадрата AB, а, например, диагональ, то помните формулу: d=a·√2. Также выражайте сторону квадрата из формул площади, периметра, вписанных и описанных радиусов, если это дано в условии.

Если в задаче дано ребро AB и ∠SAB, используйте тангенс: tg∠SAB=SB/AB. Выразите из формулы высоту, подставьте числовые значения, тем самым найдя SB.

Если дан объём и сторона основания, найдите высоту, выразив её из формулы: V=⅓·S·h. S — площадь основания, то есть AB2; h — высота пирамиды, т. е. SB.

Если в основании пирамиды SABC (S проецируется в В, как в п.2, т. е. SB – высота) лежит треугольник и указаны данные для площади (сторона у равностороннего треугольника, сторона и основание или сторона и углы у равнобедренного, катеты у прямоугольного), находите высоту из формулы объёма: V=⅓·S·h. Вместо S подставьте формулу площади треугольника в зависимости его вида, затем выразите h.

Если дана апофема SK грани CSA и сторона основания AB, найдите SB из прямоугольного треугольника SKB. Из квадрата SK вычтите квадрат KB, получите SB в квадрате. Извлеките корень и получите высоту.

Если дана апофема SK и угол между SK и KB (∠SKB), используйте функцию синуса. Отношение высоты SB к гипотенузе SK равно sin∠SKB. Выразите высоту и подставьте числовые значения.

A pyramid is a three-dimensional object consisting of a base and triangular faces that meet at a common vertex. A pyramid is classified as a polyhedron – a three-dimensional shape made of polygons – and it is made up of plane faces, or faces that are level two-dimensional surfaces. A rectangular pyramid possesses specific characteristics that make finding volume and area possible with certain formulas. Different types of pyramids might have different shapes of polygon bases and configurations, but they will all have triangular faces.

Faces

A rectangular pyramid consists of five faces: one rectangular base and four triangular faces. Each triangular face is congruent to the opposite face in a right rectangular pyramid.For example, on a right rectangular pyramid where the edges of the rectangular base are labeled A, B, C and D, the triangular faces on edges A and C are congruent, while those on edges B and D are congruent. Since the triangular faces are attached at the sides of the base, instead of the top or bottom, they are called lateral faces.

Faces

A rectangular pyramid consists of five faces: one rectangular-shaped base and four triangular-shaped faces. Each triangular face is congruent to the opposite face in a right rectangular pyramid.

For example, on a rectangular pyramid where the edges of the rectangular base are labeled A, B, C and D, the triangular faces on edges A and C are congruent, while those on edges B and D are congruent. Since the triangular faces are attached to the sides of the base, instead of the top or bottom, they are called lateral faces.

Height

When dealing with rectangular pyramid formulas, the height plays a key role in calculating area, volume, and many other metrics of the pyramid. Oftentimes, the height can be related to the length of a slant and volume through fractions and exponents, as we will see later.

Vertices

A rectangular pyramid consists of five vertices, or points at which edges intersect. One vertex is located at the top of the pyramid, where the four triangular faces meet. The remaining four vertices are located on each corner of the rectangular base. According to MathsTeacher.com, the pyramid becomes a right pyramid when the top vertex is «directly above the center of the base.»

For many of the following calculations and definitions, we assume a right rectangular pyramid to help simplify the calculations. When the vertex does not lie above the center, it is known as an oblique rectangular pyramid. In such a case, the opposite triangular faces are not always equal, and it makes the geometry much more complex when dealing with oblique pyramids.

Edges

A rectangular pyramid consists of eight edges, or sharp sides «formed by the intersection of two surfaces,» as defined by Word Net Web. Four edges are located on the rectangular base, while four edges form the upward slope to create the top vertex of the pyramid.

Surface Area

The surface area of a rectangular pyramid depends on the area of the base and the area of each of the four lateral faces. To find this, we need to break the problem into two parts. First, we can calculate the area of the base which is simply length (l) times width (w):

l cdot w

The area for the faces of the pyramid is more complex. The formula, given base length (l), base width (w), and height of the pyramid (h), can be written as:

lsqrt{ left(frac{w}{2}right)^2 + h^2} + wsqrt{ left(frac{l}{2}right)^2 + h^2}

The formula for total surface area of a closed right rectangular pyramid is the sum of the areas:

l cdot w + lsqrt{ left(frac{w}{2}right)^2 + h^2} + wsqrt{ left(frac{l}{2}right)^2 + h^2}

Volume of a Rectangular Pyramid

When given a rectangular pyramid, the volume of the pyramid can be given in terms of the height (h), length (l), and width of the rectangular base (w):

V = frac{lcdot wcdot h}{3}

While the three in the denominator may seem out of place, it can be explained with the help of a regular rectangular prism. The volume of a rectangular prism is length times width time height; when compared to a rectangular pyramid with the same base, the negative space around the pyramid actually adds up to two more pyramids of the same volume. So the volume of the rectangular prism is equivalent to three times the volume of a rectangular pyramid, this is why we divide by three.

Числа и математика имеют отношение к пониманию нашего мира. Некоторые люди считают математику неприятностью, в то время как другим нравится работать с числами. Знание алгебры, ветви математики, позволит вам вычислить высоту прямоугольной пирамиды. Учитывая формулу для объема прямоугольной пирамиды, вы можете экстраполировать эту формулу, чтобы найти высоту.

Напишите формулу для объема прямоугольной пирамиды. Объем (V) равен одной трети базовой площади, умноженной на высоту (H). Базовая площадь равна длине (L), умноженной на ширину (W). Следовательно, V = 1/3 x (LxWxH).

Извлеките формулу для высоты прямоугольной пирамиды, используя ваши знания алгебры. H = V / (Д х Ш) / 3. Например, V = 60 куб. См, L = 4 см и W = 6 см.

Замените формулу указанными числами. H = 60 куб. См / (4 см х 6 см) / 3. H = 60 куб. См / (24 см в квадрате / 3). H = 60 куб. См / 8 см в квадрате. H = 7, 5 см Высота прямоугольной пирамиды объемом 60 куб. См, длиной 4 см и шириной 6 см составляет 7, 5 см.

Проверьте свой ответ, заполнив формулу значениями. V = 1/3 х (Д х Ш х В). 60 см3 = 1/3 х (4 см х 6 см х 7, 5 см). 60 куб. См = 1/3 х 180 куб. 60 куб. См = 60 куб. См, и формула уравновешивается.