В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
-
Нахождение высоты треугольника
- Высота в разностороннем треугольнике
- Высота в равнобедренном треугольнике
- Высота в прямоугольном треугольнике
- Высота в равностороннем треугольнике
- Примеры задач
Нахождение высоты треугольника
Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.
Высота в разностороннем треугольнике
Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:
1. Через площадь и длину стороны
где S – площадь треугольника.
2. Через длины всех сторон
где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:
3. Через длину прилежащей стороны и синус угла
4. Через стороны и радиус описанной окружности
где R – радиус описанной окружности.
Высота в равнобедренном треугольнике
Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:
Высота в прямоугольном треугольнике
Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:
1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе
2. Через стороны треугольника
Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.
Высота в равностороннем треугольнике
Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:
Примеры задач
Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.
Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:
Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.
Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе
Как и в любом треугольнике прямоугольный треугольник имеет три высоты. Две из них совпадают с катетами, а вот третья высота, проведенная к гипотенузе, постоянно будоражит наши умы.
Поэтому представляю вашему вниманию основные формулы для ее нахождения.
Начну с самой важной.
1. Высота, проведенная к гипотенузе равна корню квадратному из произведения проекций катетов на эту гипотенузу.
2. Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти, разделив удвоенную площадь прямоугольного треугольника на гипотенузу.
Такая формула получается из классический формулы нахождения площади треугольника: половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.
3. Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.
Эта формула получится из второй если заменить площадь на половину произведения катетов.
Т.к. АВ — гипотенуза, то ее можно выразить через катеты АС и ВС, используя теорему Пифагора. Тогда формула примет другой вид:
4. Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на диаметр описанной вокруг треугольника окружности (или на удвоенный радиус).
Так получается потому, что центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, значит, гипотенуза равна 2R или d.
5. Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти, используя геометрические определения синуса, тангенса и котангенса.
Надеюсь, что данная статья оказалась полезной!)
Готовься к экзамену вместе с нами! Заходи на нашу страницу в ВК.
Carstensen
Oct 12, 2021
Рассмотрим левый треугольник на рис. он прямоугольный, в нем один угол прямой, а острый угол, который составляет сторона длиной 4 с катетом большого треугольника равен 90°-α, значит, острый угол этого маленького треугольника, который составляет высота h c меньшим катетом большого треугольника равен α, отношение 4/h=tgα⇒h=4/tgα=4*3/2=; чтобы найти гипотенузу с, надо воспользоваться свойствами пропорциональных отрезков в большом прямоугольном треугольнике, а именно h²=4*х, где 4 и х — проекции катетов на гипотенузу, тогда 36=4*х, откуда х=9, а гипотенуза тогда 4+9=
Решение:
Тангенс угла — это отношение противолежащего катета к прилежащему.
Рассмотрим ∆ABC:
tgA = BC/AC
tgA = ⅘
Тогда мы имеем следующее:
⅘ = BC/AC
Пусть x — одна часть, тогда BC = 4x, AC = 5x
Запишем теорему Пифагора для ∆ABC:
AC2 + BC2 = AB2
(5x)2 + (4x)2 = 822
25x2 + 16x2 = 822
41x2 = 822
x2 = 164
х = 2√41
Получаем:
BC = 4x = 8√41
AC = 5x = 10√41
Высота, опущенная на гипотенузу, выражается через стороны по формуле:
CH = (AC ⋅ BC)/AB
CH = (10⋅41⋅8)/82
CH = 40
Ответ: 40
Как найти высоту в прямоугольном треугольнике
Высота—перпендикуляр, исходящий из вершины треугольника и проведенный до его противоположной стороны. Метод для решения задачи по нахождению высоты в прямоугольном треугольнике следует выбирать в зависимости от условия.
1
Найти высоту в прямоугольном треугольнике через формулу произведения
Если известны длины частей (или их соотношение), на которые высота делит гипотенузу, то найти её можно через произведение длин отрезков этих отрезков.
Формула расчета высоты:
CH=√BH*HA
2
Найти высоту в прямоугольном треугольнике через площадь треугольника
- Если по условию известна площадь треугольника, то можно без труда выразить формулу вычисления высоты: частное удвоенной площади треугольника и гипотенузы:
CH=2S/AB
CH—высота, S—площадь треугольника, AB—гипотенуза
- Также эту формулу можно записать в виде частного произведения катетов и гипотенузы:
CH=AC*BC/AB
3
Найти высоту в прямоугольном треугольнике через радиус описанной окружности
Если вокруг треугольника описана окружность, известен её радиус, то высоту можно рассчитать с помощью формулы частного произведения катетов и удвоенного радиуса окружности.
HC=AC*CB/2FO
4
Найти высоту в прямоугольном треугольнике через синус угла
- Высоту можно найти, если умножить синус одного из острых углов на прилежащий катет.
Так выглядит формула:
h=AB* sin A
- Еще один вариант: умножаем отрезок гипотенузы на тангенс прилежащего острого угла.
h=DC*tg C
Используя данные формулы можно достаточно легко отыскать высоту прямоугольного треугольника. Знания о нахождении высоты часто используются в решении многих геометрических задач, поэтому это одни из самых базовых формул геометрии.