Взаимно обратные числа
- Как находить обратные числа
Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно единице:
Обратное число к данному числу — это число, умножение которого на данное число, даёт в результате единицу. Так, если числа p и q взаимно обратные, то можно сказать, что число p — это число, обратное числу q, а число q — это число, обратное числу p:
p · q = 1.
Как находить обратные числа
Если взять обыкновенную дробь и перевернуть
её, т. е. поменять местами числитель со знаменателем, то мы получим дробь обратную данной.
Возьмём дробь 
и перевернём
её, получится дробь 
:
Проверить, правильно ли найдено обратное число к данному можно с помощью умножения:
Теперь рассмотрим, как найти число, обратное натуральному числу: возьмём к примеру число 15, представим его в виде дроби 
, затем «перевернём» эту дробь, получится дробь 
.
Из сказанного следует, что:
Число, обратное данному натуральному числу, получается от деления единицы на это натуральное число.
Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:
- Представить его в виде неправильной дроби.
Перевернуть
полученную дробь.
Найдём обратное число для 
:
Проверяем:
Обратное число для десятичной дроби находится точно так же, как и для смешанного числа:
Проверяем:
Для единицы обратным числом является сама единица, так как:
1 · 1 = 1.
Для нуля не существует обратного числа, так как невозможно умножить нуль на какое-то число и получить единицу.
Таким образом, для любого числа, кроме нуля, существует обратное число.
Числа, произведение которых равно (1), называют взаимно обратными.
Взаимно обратными являются числа:
59и9559⋅95=51⋅9191⋅51=1;173и317173⋅317=171⋅3131⋅171=1;113и13113⋅13=1⋅1313=1313=1.
Числу
cd
, где
c≠0
и
d≠0
, обратным является число
dc
.
Чтобы найти число, обратное смешанному, смешанное число представляют в виде неправильной дроби:
.
Обратным
813
будет число
325
.
Сегодня на уроке мы познакомимся с новым для вас
понятием «взаимно обратные числа» и научимся определять обратные числа
данным.
Давайте умножим дробь на
дробь .
После сокращения мы получим .
Говорят, что число обратно
числу .
Произведение также
равно единице.
Поэтому число обратно
числу .
Числа и
взаимно
обратны.
Задание
Найдём произведение чисел 8
и ,
1 и
.
Числа 8 и ,
1 и
также
взаимно обратны.
Что общего вы заметили в этих примерах, кроме того,
что пары этих чисел называют взаимно обратными. Правильно! Произведение этих
чисел равно 1.
Определение
Два числа, произведение которых равно единице,
называют взаимно обратными.
С помощью букв взаимно обратные числа можно записать
так:
И это можно проверить:
Если одно из двух взаимно обратных чисел – правильная
дробь, то другое обязательно неправильная дробь.
Число 1 взаимно обратно самому себе, а
число 0 не имеет обратного себе числа.
Значит, чтобы выяснить, являются ли два числа
взаимно обратными, их надо перемножить.
Если ответ равен единице, то числа – взаимно
обратные.
Запомним несколько полезных правил:
Чтобы найти число взаимно обратное данному, надо:
1) Если
число натуральное нужно представить его в виде дроби и перевернуть
(поменять местами числитель и знаменатель).
2) Если
число обыкновенная дробь нужно дробь перевернуть, а затем выделить целую часть.
3) Если
число смешанное нужно представить его в виде неправильной дроби, затем перевернуть.
4) Если
число десятичная дробь нужно представить его в виде дроби, затем перевернуть и
выделить целую часть.
Задание
Найдите обратное число данному.
Задание
Из пар чисел представленных на экране выберите
взаимно обратные:
Итоги
Итак, сегодня на уроке мы познакомились с взаимно
обратными числами и научились находить обратное число данному.
Математика
Тема 3: Умножение и деление обыкновенных дробей
Урок 3: Взаимно обратные числа
- Видео
- Тренажер
- Теория
Заметили ошибку?
52. Взаимно обратные числа
Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными.
Например, если умножить 815 на 158, то получится 1 – эти числа взаимно обратные.
815∙158=8∙1515∙8=1.
Другой пример – числа 3 и 13, при умножении которых получится 3∙13=1.
Также и числа 4,4 и 522 взаимно обратны, потому что 4,4∙522=4410∙522
Если нужно определить, являются ли два числа взаимно простыми, необходимо эти числа перемножить.
Если ответ равен единице, числа – взаимно обратные.
Чтобы найти число взаимно обратное данному, надо:
-
Если число натуральное, например 7, представить его в виде дроби 71 и перевернуть дробь – 17.
Действительно, 7∙17=1.
-
Если дробь обыкновенная, например 38 , ее надо перевернуть – 83 .
Действительно, 38∙83=3∙88∙3=1.
-
Если число смешанное, например 323 , представить его в виде неправильной дроби 113 и перевернуть дробь –311.
Действительно, 323∙311=113∙311=1.
-
Если десятичная дробь, например 5,8, представить его в виде дроби 5810 и перевернуть дробь –1058.
Действительно, 5,8∙1058=5810∙1058=1.
Сформулируем общее правило.
Число ab, где а ≠ 0 и b ≠ 0, обратно числу ba, так как ab·ba=a·bb·a=1
Пример 1. Найдем значение выражения, для этого сгруппируем взаимно обратные дроби и затем найдем произведение:
511∙37∙73=511∙37∙73=511∙1=511.
Если число х сначала умножить на некоторое число а , а потом на число, обратное а , то получим опять х.
x∙a∙1a=x∙1=x
Например, x∙5∙15=x∙1=x.
С помощью взаимно обратных чисел можно решать некоторые уравнения.
Пример 2. Решим уравнение 34x=1.
x=1:34=1∙43=43=113.
Пример 3. Решим уравнение 89x=89.
x=89:89=89∙98=1.
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.