Как найти взаимное расположение прямых в кубе

Рис. (1). Дороги на земле и на эстакадах не пересекаются.

Рис. (2). Скрещивающиеся прямые.

1. Допустим, что прямые (AB) и (CD) всё-таки лежат в одной плоскости.
2. Значит, эта плоскость идёт через прямую (AB) и точку (D), то есть, она совпадает с плоскостью (α).
3. Это противоречит условиям теоремы, по которым прямая (CD) не находится в плоскости (α), а пересекает её.
Теорема доказана.

В пространстве прямые могут пересекаться, скрещиваться или быть параллельными.
 

Рис. (3). Параллельные прямые.

Рис. (4). Пересекающиеся прямые.

Рис. (5). Скрещивающиеся прямые.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через (CD), будет пересекаться с (DE) и (AB), которая ей параллельна.
 Теорема доказана.

Представление о скрещивающихся прямых дают: 

• дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая – под эстакадой;
• детская горка, где одна из скрещивающихся прямых – самая нижняя ступенька лесенки, а вторая – бортик самой горки;
• телеграфные провода и провода антенны.

К кубе АВСDА₁В₁С₁D₁ прямые A₁D₁ и ВВ₁,  AB и B₁C₁,  В₁D и  ВC, RL и BC, AB₁ и D₁C₁  являются скрещивающимися.

Признак  скрещивающихся прямых.

Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема о скрещивающихся прямых.

Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.

10 класс. Геометрия. Параллельные прямые в пространстве.

• Оглавление
• Занятия
• Обсуждение
• О курсе

Вопросы

Задай свой вопрос по этому материалу!

Поделись с друзьями

Комментарии преподавателя

1. Тема и цели урока

Мы уже изучали параллельные прямые в планиметрии. Теперь нужно дать определение параллельных прямых в пространстве и доказать соответствующие теоремы.

2. Определение параллельных прямых в пространстве

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).

Обозначение параллельных прямых: a || b.

3. Теорема 1 и ее доказательство

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Дано: прямая а, (Рис. 2.)

Доказать: существует единственная прямая b || a,

Через прямую а и точку , не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α (Рис. 3.). В плоскости α можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку M (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.

Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда плоскость β проходит через точку M и прямую а. Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости β и α совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.

4. Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) и ее доказательство

Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Дано: а || b,

Доказать:

Доказательство: (Рис. 4.)

Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.

Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a = MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости α..

Докажем, что N — это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая bпринадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и bпараллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. Лемма доказана.

5. Теорема 2 и ее доказательство

Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.

Дано:

Доказать: .

Доказательство: (Рис. 5.)

Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая черезточку К и прямую а. Докажем, что прямая bлежит в плоскости α.

Предположим противное. Пусть прямая bне лежит в плоскости α. Тогда прямая bпересекает плоскость α в точке К. Так как прямые bи с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая bлежит в плоскости α.

Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и bпересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.

Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и bпараллельны (по определению), что и требовалось доказать.

6. Итоги урока

Итак, мы дали определение параллельных прямых и доказали теорему о параллельных прямых в пространстве. Также мы доказали важную лемму о пересечении параллельными прямыми плоскости и с помощью этой леммы доказали теорему: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Эта теория будет использоваться дальше и для доказательства других теорем, и для решения задач.

Куб — свойства, виды и формулы

Среди многогранников куб – это один из наиболее известных объектов, знакомых с далёкого детства. Более подробно эта тема изучается на уроках геометрии в старших классах, когда от фигур на плоскости переходят к телам в пространстве.

Кубу можно дать определение различными способами, каждый из которых только подчеркнёт тот или иной класс тел в пространстве, выделит основные признаки и особенности:

многогранник, у которого все рёбра равны, а грани попарно перпендикулярны;

прямая призма, все грани которой есть квадраты;

прямоугольный параллелепипед, все рёбра которого равны.

Всеми этими и многими другими подобными формулировками геометрия позволяет описывать одну и ту же фигуру в пространстве.

Элементы куба

Основными элементами многогранника считаются грани, рёбра, вершины.

Грань

Плоскости, образующие поверхность куба, называются гранями. Другое название – стороны.

Интересно, сколько граней у куба и каковы их особенности. Всего граней шесть. Две из них, параллельные друг другу, считаются основаниями, остальные – боковыми.

Грани куба попарно перпендикулярны, являются квадратами, равны между собой.

Ребро

Линии пересечения сторон называются рёбрами.

Не каждый школьник может ответить, сколько рёбер у куба. Их двенадцать. Они имеют одинаковые длины. Те из них, что обладают общим концом, расположены под прямым углом по отношению к любому из двух остальных.

Рёбра могут пересекаться в вершине, быть параллельными. Не лежащие в одной грани ребра, являются скрещивающимися.

Вершина

Точки пересечения рёбер называются вершинами. Их число равно восьми.

Центр грани

Отрезок, соединяющий две вершины, не являющийся ребром, называется диагональю.

Пересечение диагоналей грани считается центром грани – точкой, равноудалённой от всех вершин и сторон квадрата. Это есть центр симметрии грани.

Центр куба

Пересечение диагоналей куба является его центром – точкой, равноудалённой от всех вершин, рёбер и сторон многогранника.

Это есть центр симметрии куба.

Ось куба

Рассматриваемый многогранник имеет несколько осей ортогональной (под прямым углом) симметрии. К ним относятся: диагонали куба и прямые, проходящие через его центр параллельно рёбрам.

Диагональ куба

Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной стороне, называется диагональю рассматриваемого многогранника.

Учитывая, что ребра куба имеют равные измерения a, можно найти длину диагонали:

Формула доказывается с помощью дважды применённой теоремы Пифагора.

Диагональ куба — одна из осей симметрии.

Все диагонали куба равны между собой и точкой пересечения делятся пополам.

Диагональ грани куба

Длина диагонали грани в √2 раз больше ребра, то есть:

Эта формула доказывается также с помощью теоремы Пифагора.

Объем куба

Как для любого параллелепипеда, объём куба равен произведению всех трёх измерений, которые в данном случае равны:

Периметр куба

Сумма длин всех рёбер равна:

Площадь поверхности

Сумма площадей всех граней называется площадью поверхности куба. Она равна:

Сфера, вписанная в куб

Такая сфера имеет центр, совпадающий с центром куба.

Радиус равен половине ребра:

Сфера, описанная вокруг куба

Как для вписанной сферы, центр совпадает с точкой пересечения диагоналей, радиус равен половине диагонали:

Координаты вершин куба

В зависимости от расположения фигуры в системе координат, можно по-разному рассчитывать координаты вершин.

Наиболее часто используют следующий способ. Одна из вершин совпадает с началом координат, рёбра параллельны осям координат или совпадают с ними, координаты единичного куба в этом случае будут равны:

Такое расположение удобно для введения четырёхмерного пространства (вершины задаются всеми возможными бинарными наборами длины 4).

Свойства куба

Плоскость, рассекающая куб на две части, есть сечение. Его форма выглядит как выпуклый многоугольник.

Построение сечений необходимо для решения многих задач. Как правило, используется метод следов или условие параллельности прямых и плоскостей.

у куба все грани равны, являются квадратами;

у куба все рёбра равны;

один центр и несколько осей симметрии.

Параллельность в пространстве с примерами решения

Содержание:

Параллельность в пространстве

В этом параграфе вы ознакомитесь с основными понятиями стереометрии, аксиомами стереометрии и следствиями из них. Расширите свои представления о многогранниках. Вы узнаете о взаимном расположении двух прямых, прямой и плоскости, двух плоскостей в пространстве. Ознакомитесь с правилами, по которым изображают пространственные фигуры на плоскости.

Основные понятия стереометрии. Аксиомы стереометрии

Изучая математику, вы со многими понятиями ознакомились с помощью определений. Так, из курса планиметрии вам хорошо знакомы определения четырехугольника, трапеции, окружности и др.

Определение любого понятия основано на других понятиях, содержание которых вам уже известно. Например, рассмотрим определение трапеции: «Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны». Видим, что определение трапеции основано на таких уже введенных понятиях, как четырехугольник, сторона четырехугольника, параллельные и непараллельные стороны и др. Итак, определения вводятся по принципу «новое основано на старом». Тогда ясно, что должны существовать первоначальные понятия, которым определений не дают. Их называют основными понятиями (рис. 27.1).

В изученном вами курсе планиметрии определения не давали таким фигурам, как точка и прямая. В стереометрии, кроме них, к основным понятиям отнесем еще одну фигуру — плоскость.

Наглядное представление о плоскости дают поверхность водоема в безветренную погоду, поверхность зеркала, поверхность полированного стола, мысленно продолженные во всех направлениях.

Используя понятие плоскости, можно считать, что в планиметрии мы рассматривали только одну плоскость, и все изучаемые фигуры принадлежали этой плоскости. В стереометрии же рассматривают бесконечно много плоскостей, расположенных в пространстве.

Как правило, плоскости обозначают строчными греческими буквами

Плоскость, так же как и прямая, состоит из точек, то есть плоскость — это множество точек.

Существует несколько случаев взаимного расположения точек, прямых и плоскостей в пространстве. Приведем примеры.

На рисунке 27.4 изображена точка А, принадлежащая плоскости . Также говорят, что точка А лежит в плоскости или плоскость проходит через точку А. Кратко это можно записать так: .

На рисунке 27.5 изображена точка В, не принадлежащая плоскости . Кратко это можно записать так: .

На рисунке 27.6 изображена прямая , принадлежащая плоско­сти . Также говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую . Кратко это можно записать так:

Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что прямая пересекает плоскость. На рисунке 27.7 изображена прямая , пересекающая плоскость в точке А. Записывают:

В дальнейшем, говоря «две точки», «три точки», «две плоскости» и т.п., будем иметь в виду, что это разные точки, разные прямые и разные плоскости. Если две плоскости имеют общую точку, то говорят, что эти плоскости пересекаются.

На рисунке 27.8 изображены плоскости , пересекающиеся по прямой . Записывают:

На начальном этапе изучения стереометрии невозможно доказывать теоремы, опираясь на другие утверждения, поскольку этих утверждений еще нет. Поэтому первые свойства, касающиеся точек, прямых и плоскостей в пространстве, принимают без доказательства и называют аксиомами. Отметим, что ряд аксиом стереометрии по формулировкам до­словно совпадают со знакомыми вам аксиомами планиметрии.

• какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей;
• через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Мы не будем знакомиться со строгим аксиоматическим построением стереометрии. Рассмотрим лишь некоторые утверждения, выражающие основные свойства плоскостей пространства, основываясь на которых обычно строят курс стереометрии в школе.

Аксиома А1. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

Если в любой плоскости пространства выполняются аксиомы планиметрии, то выполняются и следствия из этих аксиом, то есть теоремы планиметрии. Следовательно, в стереометрии можно поль­зоваться всеми известными нам свойствами плоских фигур.

Аксиома А2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Рисунки 27.9-27.11 иллюстрируют эту аксиому.

Из этой аксиомы следует, что три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость, про­ ходящую через эти точки. Поэтому для обозначения плоскости можно указать любые три ее точки, не лежащие на одной прямой.

Например, на рисунке 27.12 изображена плоскость АВС. Запись означает, что точка М принадлежит плоскости АВС. Запись означает, что прямая MN принадлежит плоскости АВС (рис. 27.12).

Аксиома АЗ. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.

Например, на рисунке 27.13 точки А, В и С принадлежат плоскости АВС. Тогда можно записать: Из этой аксиомы следует, что если прямая не принадлежит плоскости, то она имеет с данной плоскостью не более одной общей точки.

Утверждение, сформулированное в аксиоме АЗ, часто используют на практике, когда хотят проверить, является ли данная поверхность ровной (плоской). Для этого к поверхности в разных местах прикладывают ровную рейку и проверяют, есть ли зазор между рейкой и поверхностью (рис. 27.14).

Аксиома А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Эту аксиому можно проиллюстрировать с помощью согнутого листа бумаги или с помощью вашего учебника (рис. 27.15).

Пример:

Докажите, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

Решение:

Пусть точка А является общей для двух плоскостей , то есть (рис. 27.16). По аксиоме А4 плоскости пересекаются по прямой. Пусть Тогда все общие точки плоскостей принадлежат прямой . Точка А является общей для плоскостей . Следовательно, Кроме аксиом, есть и другие свойства, описывающие взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в пространстве. Опираясь на аксиомы, можно доказать, например, следующие утверждения (следствия из аксиом стереометрии).

Теорема 27.1. Через прямую и не принадлежащую ей точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 27.17).

Теорема 27.2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 27.18).

Из аксиомы А2 и теорем 27.1 и 27.2 следует, что плоскость однозначно определяется:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2. прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;
3. двумя пересекающимися прямыми.

Таким образом, мы указали три способа задания плоскости.

Пространственные фигуры

Начальные сведения о многогранниках. В стереометрии, кроме точек, прямых и плоскостей, рассматривают пространственные фигуры, то есть фигуры, не все точки ко­торых лежат в одной плоскости. Некоторые из пространственных фигур вам уже знакомы. Так, на рисунке 28.1 изображены цилиндр, конус и шар. Подробно эти фигуры вы будете изучать в 11 классе.

На рисунке 28.2 изображена еще одна знакомая вам пространственная фигура — пирамида. Эта фигура является частным видом многогранника. Примеры многогранников показаны на рисунке 28.3.

Поверхность многогранника состоит из многоугольников. Их называют гранями многогранника. Стороны многоугольников называют ребрами многогранника, а вершины — вершинами много­гранника (рис. 28.4).

На рисунке 28.5 изображена пятиугольная пирамида FABCDE.

Поверхность этого многогранника состоит из пяти треугольников, которые называют боковыми гранями пирамиды, и одного пятиугольника, который называют основанием пирамиды. Вершину F, общую для всех боковых граней, называют вершиной пирамиды.

Ребра FA, FB, FC, FD и FE называют боковыми ребрами пирамиды, а ребра А В, ВС, CD, DE и ЕА — ребрами основания пирамиды.

На рисунке 28.6 изображена треугольная пирамида DABC. Треугольную пирамиду называют также тетраэдром.

Еще одним частным видом многогранника является призма. На рисунке 28.7 изображена треугольная призма . Этот многогранник имеет пять граней, две из которых — равные треугольники АВС и Их называют основаниями призмы.

Остальные грани призмы — параллелограммы. Их называют боковыми гранями призмы. Ребра называют боковыми ребрами призмы.

На рисунке 28.8 изображена четырехугольная призма . Ее поверхность состоит из двух равных четырехугольников ABCD и (основания призмы) и четырех параллелограммов (боковые грани призмы).

Вы знакомы также с частным видом четырехугольной призмы — прямоугольным параллелепипедом. На рисунке 28.9 изображен прямоугольный параллелепипед . Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

В свою очередь, частным видом прямоугольного параллелепипеда является куб. Все грани куба — равные квадраты (рис. 28.10).

Четырехугольную призму, основанием которой является параллелограмм, называют параллелепипедом.

В курсе геометрии 11 класса вы более подробно ознакомитесь с многогранниками и их частными видами.

Пример:

На ребрах и куба отметили соответственно точки М и N так, что (рис. 28.11). Постройте точку пересечения прямой MN с плоскостью АВС.

Решение:

Точки М и N принадлежат плоскости . Тогда по аксиоме АЗ прямая MN принадлежит этой плоскости. Аналогично прямая AD также принадлежит плоскости . Из планиметрии известно, что прямые, лежащие в одной плоскости, или параллельны, или пересекаются. Поскольку , то прямые AD и MN пересекаются. Пусть X — точка их пересечения (рис. 28.12). Точки А и D принадлежат плоскости АВС. Тогда по аксиоме АЗ прямая AD принадлежит этой же плоскости. Точка X принадлежит прямой AD. Следовательно, точка X принадлежит плоскости АВС. Поскольку точка X также принадлежит прямой MN, то прямая MN пересекает плоскость АВС в точке X.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Из курса планиметрии вы знаете, что две прямые называют пересекающимися, если они имеют только одну общую точку. Такое же определение пересекающихся прямых дают и в стереометрии. Вам также известно, что две прямые называют параллельными, если они не пересекаются. Можно ли это определение перенести в стереометрию?

Обратимся к рисунку 29.1, на котором изображен куб . Каждая из прямых АВ и не имеет с прямой DC общих точек. При этом прямые АВ и DC лежат в одной плоскости — в плоскости АВС, а прямые и DC не лежат в одной плоскости, то есть не существует плоскости, которая проходила бы через эти прямые. Этот пример показывает, что в стереометрии для двух прямых, не имеющих общих точек, возможны два случая взаимного расположения: прямые лежат в одной плоскости и прямые не лежат в одной плоскости. Для каждого из этих случаев дадим соответствующее определение.

Определение. Две прямые в пространстве называют параллельным и, если они лежат в одной плоскости и не пересека­ются. Если прямые параллельны, то записывают:

Определение. Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. Например, на рисунке 29.1 прямые АВ и DC — параллельные, а прямые и DC — скрещивающиеся.

Наглядное представление о параллельных прямых дают колонны здания, корабельный лес, бревна сруба (рис. 29.2).

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают провода линий электропередачи, различные элементы строительных конструкций (рис. 29.3). Итак, существуют три возможных случая взаимного расположения двух прямых в пространстве (рис. 29.4):

1. прямые пересекаются;
2. прямые параллельны;
3. прямые скрещиваются.

Два отрезка называют параллельными (скрещивающимися), если они лежат на параллельных (скрещивающихся) прямых. Например, ребра и треугольной призмы (рис. 29.5) являются параллельными, а ребра АС и — скрещивающимися.

Теорема 29.1. Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны параллельные прямые Докажем, что существует единственная плоскость такая, что

Существование плоскости , проходящей через прямые , следует из определения параллельных прямых.

Если предположить, что существует еще одна плоскость, проходящая через прямые , то через прямую а и некоторую точку прямой будут проходить две различные плоскости, что проти­воречит теореме 27.1.

Существует три способа задания плоскости. Теорему 29.1 можно рассматривать как еще один способ задания пло­скости — с помощью двух параллельных прямых.

Установить параллельность двух прямых, лежащих в одной плоскости, можно с помощью известных вам из курса планиметрии признаков параллельности двух прямых. А как установить, являются ли две прямые скрещивающимися? Ответить на этот вопрос позволяет следующая теорема.

Теорема 29.2 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся (рис. 29.6).

На рисунке 29.7 ребра АВ и DC тетраэдра DABC являются скрещивающимися. Действительно, прямая DC пересекает плоскость АВС в точке С, не принадлежащей прямой АВ. Следовательно, по признаку скрещивающихся прямых прямые АВ и DC являются скрещивающимися.

Параллельность прямой и плоскости

Вам уже известны два возможных случая взаимного расположения прямой и плоскости:

1. прямая принадлежит плоскости, то есть все точки прямой принадлежат плоскости;
2. прямая пересекает плоскость, то есть прямая имеет с плоскостью только одну об­щую точку.

Понятно, что возможен и третий случай, когда прямая и плоскость не имеют общих точек. Например, прямая, содержащая ребро куба , не имеет общих точек с плоскостью АВС (рис. 30.1).

Определение. Прямую и плоскость называют параллель­ными, если они не имеют общих точек.

Если прямая и плоскость параллельны, то записывают: Также принято говорить, что прямая параллельна плоскости , а плоскость параллельна прямой .

Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дают некоторые спортивные снаряды. Например, брусья параллельны плоскости пола (рис. 30.2). Другой пример — водосточная труба: она параллельна плоскости стены (рис. 30.3).

Выяснять, параллельны ли данные прямая и плоскость, с помощью определения затруднительно. Гораздо эффективнее пользоваться следующей теоремой.

Теорема 30.1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Например, на рисунке 30.1 прямые и содержат противолежащие стороны квадрата . Эти прямые параллельны.

Поскольку , то по признаку параллельности прямой и плоскости

Отрезок называют параллельным плоскости, если он принадлежит прямой, параллельной этой плоскости. Например, ребро АВ куба параллельно плоскости (рис. 30.1).

Вы умеете устанавливать параллельность двух прямых с помощью теорем-признаков, известных из планиметрии. Рассмотрим теоремы, описывающие достаточные условия параллельности двух прямых в пространстве.

Теорема 30.2. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

На рисунке 30.4 прямая параллельна плоскости . Плоскость проходит через прямую и пересекает плоскость по прямой . Тогда

Теорема 30.3. Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются по прямой, отличной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых.

На рисунке 30.5 прямые параллельны, плоскость проходит через прямую , а плоскость — через прямую Тогда

Теорема 30.4. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Пример:

Докажите, что если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна прямой их пересечения.

Решение:

Пусть даны прямая и плоскости такие, что (рис. 30.6). Докажем, что В плоскостях найдутся соответственно такие прямые , что Если хотя бы одна из прямых совпадает с пря­мой , то утверждение задачи доказано. Если же каждая из прямых отлична от прямой , то по теореме 30.4 Воспользовавшись теоремой 30.3, приходим к выводу, что . Но , следовательно,

Параллельность плоскостей

Рассмотрим варианты возможного взаимного расположения двух плоскостей. Вы знаете, что две плоскости могут иметь общие точки, то есть пересекаться. Понятно, что две плоскости могут и не иметь общих точек. Например, плоскости АВС и , содержащие основания призмы, не имеют общих точек (рис. 31.1).

Определение. Две плоскости называют параллельны ми, если они не имеют общих точек.

Если плоскости параллельны, то записывают: Также принято говорить, что плоскость параллельна плоскости или плоскость параллельна плоскости

Наглядное представление о параллельных плоскостях дают потолок и пол комнаты; поверхность воды, налитой в аквариум, и его дно (рис. 31.2).

Из определения параллельных плоскостей следует, что любая прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, параллельна другой плоскости.

В тех случаях, когда надо выяснить, являются ли две плоскости параллельными, удобно пользоваться следующей теоремой.

Теорема 31.1 (признак параллельности двух плоско­стей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Например, на рисунке 31.3 изображен прямоугольный параллелепипед . Имеем: и . Тогда по признаку параллельности двух плоскостей .

Будем говорить, что два многоугольника параллельны, если они лежат в параллельных плоскостях. Например, грани и прямоугольного параллелепипеда параллельны (рис. 31.3). Рассмотрим некоторые свойства параллельных плоскостей.

Теорема 31.2. Через точку в пространстве, не принадлежа­щую данной плоскости, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна (рис. 31.4).

Теорема 31.3. Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны (рис. 31.5).

Пример:

Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Решение:

Пусть даны параллельные плоскости и параллельные прямые АВ и такие, что (рис. 31.6). Докажем, что . Параллельные прямые АВ и задают некоторую плоскость причем

По теореме 31.3 получаем: . Следовательно, четырехугольник — параллелограмм. Отсюда .

Параллельное проектирование

Многие явления и процессы, наблюдаемые нами в повседневной жизни, служат примерами преобразований, при которых образом пространственной фигуры является плоская фигура. Увидеть одно из таких явлений можно в солнечную погоду, когда предмет отбрасывает тень на плоскую поверхность (рис. 32.1). Этот пример иллюстрирует преобразование фигуры, которое называют параллельным проектированием. С помощью этого преобразования на плоскости создают изображения пространственных фигур.

Многие рисунки настоящего учебника, на которых изображены пространственные фигуры, можно рассматривать как тени, отбрасываемые на плоскость страницы предметами, освещенными па­раллельными лучами. Ознакомимся подробнее с параллельным проектированием.

Пусть даны плоскость прямая пересекающая эту плоскость, и фигура F (рис. 32.2). Через каждую точку фигуры F проведем прямую, параллельную прямой (если точка фигуры F принадлежит прямой то будем рассматривать саму прямую ). Точки пересечения всех проведенных прямых с плоскостью образуют некоторую фигуру . Описанное преобразование фигуры F называют параллельным проектированием. Фигуру называют параллельной проекцией фигуры F на плоскость в направлении прямой Также фигуру называют изображением фигуры на плоскости в направлении прямой

Выбирая выгодные положения плоскости и прямой можно получить наглядное изображение данной фигуры F. Это связано с тем, что параллельное проектирование обладает рядом замечательных свойств (см. теоремы 32.1-32.3). Благодаря этим свойствам изображение фигуры похоже на саму фигуру.

Пусть даны плоскость и прямая пересекающая эту плоскость. Если прямая параллельна прямой то ее проекцией на плоскость является точ­ка (рис. 32.3). Проекцией прямой также является точка. Если отрезок параллелен прямой или лежит на прямой , то его проекцией на плоскость является точка (рис. 32.3).

В следующих теоремах будем рассматривать прямые и отрезки, не параллельные прямой и не лежащие на ней.

Теорема 32.1. Параллельной проекцией прямой является прямая; параллельной проекцией отрезка является отрезок (рис. 32.4).

Теорема 32.2. Параллельной проекцией двух параллельных прямых являются или прямая (рис. 32.5), или две параллельные прямые (рис. 32.6). Параллельные проекции двух параллельных отрезков лежат на одной прямой или на параллельных прямых (рис. 32.6).

Теорема 32.3. Отношение параллельных проекций отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению самих отрезков (рис. 32.7).

Рассмотрим изображения некоторых многоугольников на плоскости в на­правлении прямой

Если прямая параллельна плоскости многоугольника или принадлежит этой плоскости, то изображением многоугольника является отрезок. Теперь рассмотрим случай, когда прямая пересекает плоскость много­угольника.

Из свойств параллельного проектирования следует, что параллельной проекцией треугольника является треугольник (рис. 32.8).

Поскольку при параллельном проектировании сохраняется параллельность отрезков, то изображением параллелограмма (в частности, прямоугольника, ромба, квадрата) является параллелограмм (рис. 32.9).

Также из свойств параллельного проектирования следует, что изображением трапеции является трапеция.

Параллельной проекцией окружности является фигура, которую называют эллипсом (рис. 32.10).

Изображения объектов с помощью параллельного проектирования широко используют в самых разных областях промышленности, например в автомобилестроении (рис. 32.11).

ГЛАВНОЕ В ПАРАГРАФЕ 4

Основные аксиомы стереометрии

• А1. В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.
• А2. Через любые три точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
• АЗ. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит этой плоскости.
• А4. Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Плоскость однозначно определяется:

1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2. прямой и точкой, не принадлежащей этой прямой;
3. двумя пересекающимися прямыми;
4. двумя параллельными прямыми.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

• Две прямые называют пересекающимися, если они имеют только одну общую точку.
• Две прямые в пространстве называют параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
• Две прямые в пространстве называют скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Свойство параллельных прямых

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Признак скрещивающихся прямых

Если одна из двух прямых лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то данные прямые — скрещивающиеся.

Параллельность в пространстве

Прямую и плоскость называют параллельными, если они не имеют общих точек. Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то данная прямая параллельна самой плоскости.

Условия параллельности двух прямых в пространстве

• Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то прямая пересечения плоскостей параллельна данной прямой.
• Если через каждую из двух параллельных прямых проведена плоскость, причем эти плоскости пересекаются по прямой, от­ личной от двух данных, то эта прямая параллельна каждой из двух данных прямых.
• Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой.

Признак параллельности двух плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны соответственно двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Свойства параллельных плоскостей

Через точку в пространстве, не принадлежащую данной плоско­сти, проходит плоскость, параллельная данной плоскости, и притом только одна.

Прямые пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Математика Алгебра Линейная алгебра Векторная алгебра Высшая математика Дискретная математика Математический анализ Математическая логика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Перпендикулярность в пространстве
• Векторы и координаты в пространстве
• Множества
• Рациональные уравнения
• Числовые последовательности
• Предел числовой последовательности
• Предел и непрерывность числовой функции одной переменной
• Функции, их свойства и графики

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

– прямые совпадают.

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;

– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и совпадают векторы коллинеарны.

Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

– прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;

– прямые и пересекаются определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и параллельные вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. а первые две строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и совпадают все строки определителя пропорциональны, т.е.

---

Расстояние между параллельными прямыми

Найдем расстояние между параллельными прямыми, заданными каноническими уравнениями (рис.4.35)

где — произвольные точки на прямых и соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:

Искомое расстояние равно высоте параллелограмма, построенного на векторах и , и может быть найдено по формуле (4.35).

---

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

Найдем расстояние между скрещивающимися прямыми, заданными каноническими уравнениями

где — произвольные точки на прямых и соответственно.

Искомое расстояние равно высоте параллелепипеда, построенного на векторах (рис.4.36), т.е.

где

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е. и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

---

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми

вычисляется по формуле

---

Пример 4.16. Найти расстояние между прямой, проходящей через точки , и осью абсцисс. Найти величину острого угла между этими прямыми.

Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид так как ось проходит через точку а — ее направляющий вектор. Каноническое уравнение прямой получено в примере 4.15,»а»:

Полагая по формуле (4.38) получаем:

Острый угол находим по формуле (4.39):

---

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:

т.е. прямая проходит через точку коллинеарно вектору а плоскость перпендикулярна вектору

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой и плоскости соответствуют следующие признаки:

– прямая и плоскость пересекаются векторы и не ортогональны (рис.4.37,а);

– прямая и плоскость параллельны векторы и ортогональны, а точка не принадлежит плоскости (рис.4.37,б);

– прямая лежит в плоскости векторы и ортогональны, а точка принадлежит плоскости (рис.4.37,в).

Учитывая свойство скалярного произведения векторов получаем:

– прямая и плоскость пересекаются ;

– прямая и плоскость параллельны

– прямая лежит в плоскости

---

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов и , как правило, выбирают меньший. Если прямая перпендикулярна плоскости (ее ортогональная проекция на плоскость является точкой), то угол считается равным . Если обозначить и углы, образованные наклонной с перпендикуляром к плоскости, то

Поскольку угол (или ) равен углу между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости , то . Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла между прямой и плоскостью:

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие параллельности прямой и плоскости.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Красной линией показанные прямые АА1 и ВД,  а за признаком непрямых прямых ми видим, Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые сами, то есть прямая BD лежит в плоскости нижней грани куба, а прямая AA1 пересекает эту плоскость в точке А, которая не  принадлежит прямой BD ⇒ Прямые АА1 и BD  не пересекаются на укр.языке *мимобіжні прямі*