Как найти xyz в матрице

Решение задач с матрицами

Если у вас возникли трудности при решении задач с матрицами, воспользуйтесь калькуляторами для решения матриц онлайн. Используя онлайн калькуляторы матриц вы сможете сложить, вычесть или перемножить между собой две матрицы, соответственно найдя их сумму, разность или произведение, также вы сможете найти ранг матрицы, определитель матрицы, обратную матрицу или транспонированную матрицу. Калькуляторы помогут решить матрицы и выдадут полноценное решение.

Матричный калькулятор

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, …). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Как пользоваться калькулятором матриц

1. Выберите матрицу (и) с помощью переключателей ()
2. Укажите размер, используя выпадающие списки под матрицей (3 × 3)
3. Заполните элементы (нулевые элементы можно оставить пустыми.)
4. Выберите нужную функцию из раскрывающегося списка и при необходимости введите дополнительные параметры.
5. Щелкните кнопку .
6. Если вас не устраивает отображение чисел, измените его: есть три варианта представления: правильные дроби (225), неправильные дроби (125) и десятичные дроби (2.4) с количеством знаков после запятой.

Транспонирование матриц

Определение

Транспонирование матрицы — это операция над матрицей, когда ее строки становятся столбцами с одинаковыми номерами.

Пример

Упражнение. Найдите транспонированную матрицу $ A ^ {T} $, если $ A = left ( begin {array} {rrr} {1} & {3} & {7} {2} & {4} & {-1 } end {array} right)$

Решение. $ A ^ {T} = left ( start {matrix} {rrr} {1} & {3} & {7} {2} & {4} & {-1} end {matrix} right) ^ {T} = left ( start {array} {rr} {1} & {2} {3} & {4} {7} & {-1} end {array} right)$

Вычисление обратной матрицы онлайн

С помощью онлайн-калькулятора матриц вы можете вычислить обратную матрицу. Для существования обратной матрицы исходная матрица должна быть невырожденной квадратной матрицей.

Чтобы вычислить обратную матрицу:

1. Выбрать матрицу или используя переключатель .
2. Введите размер массива .
3. Введите элементы массива.
4. Нажмите кнопку «Инвертировать «.

Для получения подробных инструкций по обращению матрицы используйте этот калькулятор обратной матрицы. См. Теорию исчисления обратных матриц здесь.

Расчёт определителя

В линейной математике есть два понятия: определитель и определитель. Определитель — это любое число, расположенное в соответствии с квадратной матрицей. Определитель используется для решения многих задач. Вы можете найти это с помощью формулы.

А определитель находится при умножении простых матриц, числа используются только со второстепенными и главными диагоналями.

не исключено, что изделия матрицы существенно отличаются друг от друга. Если индекс четный, число будет со знаком плюс, если нечетное, число будет со знаком минус. Дан определитель det A, скобки заменены на квадратные.
Пример 1

Воспользуемся свойствами степеней — A ^ {3} = A ^ {2} * A

Рейз от А до А ^ {2}

Далее воспользуемся свойством степени

Умножение матрицы на число

Умножая число b матрицы A = (aij), получаем матрицу, элементы которой равны ab · aij (каждый элемент матрицы умножается на число b).

Пример 9. Найдите значение полинома f (x) из матрицы A, если f (x) = 2×2–3x + 5.
2 * A ^ 2-3 * A + 5 * ДА
где A — матрица задачи, B = E — единичная матрица.

Ввод данных и функционал

• В качестве элементов используются правильные дроби (1/2, 29/7, -1/125), десятичные дроби (12, -0,01, 3,14) и числа в экспоненциальной форме (2,5e3, 1e-2).
• Длина вводимых чисел ничем не ограничена, введите не менее 1000 цифр, однако вам, возможно, придется подождать, пока идут вычисления!
• Используйте одну или две матрицы на задание (для выполнения операций с двумя матрицами переместите переключатель второй матрицы).
• Вставьте результат в A или B, используя кнопки «Вставить A» и «Вставить B».
• Перетащите матрицы из результата на A или B.
• Используйте стрелки (←, ↑, →, ↓) для перемещения между элементами

Что умеет наш калькулятор матриц?

Одиночная матрица (только матрица A или матрица B)

• Транспонировать;
• Вычислить определитель;
• Найдите рейтинг и отслеживайте;
• Возвести в степень;
• Умножить на число;
• Вычислить обратную матрицу;
• Свести к треугольному и ступенчатому виду;
• Найдите LU-разложение;
• Выполните элементарные преобразования;
• Выполнять действия с выражениями, содержащими массивы.

С двумя матрицами (Матрица A и Матрица B)

• Складка;
• Вычесть;
• Умножить;
• Решить системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида AX = B;
• Выполнять действия с выражениями, содержащими массивы.

Скелетное разложение матрицы онлайн

Выполнить разложение скелетной матрицы онлайн

1. Выбрать матрицу или используя переключатель .
2. Введите размер массива.
3. Введите элементы массива.
4. Щелкните по кнопке «разложение скелета «.

Вычисление ранга матрицы онлайн

С помощью онлайн-калькулятора матриц вы можете рассчитать ранг матрицы.

Чтобы вычислить ранг матрицы:

1. Выбрать матрицу или используя переключатель .
2. Введите размер массива .
3. Введите элементы массива.
4. Нажмите кнопку «рейтинг «.

Для подробного пошагового вычисления ранга матрицы используйте этот калькулятор ранга матрицы. См. Теорию вычисления ранга матрицы здесь.

Возведение матрицы в степень

Возведение в степень матрицы определяется как умножение матрицы на ту же матрицу. Поскольку произведение матриц существует только тогда, когда количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы, только квадратные матрицы могут быть возведены в степень n-й степени матрицы путем умножения матрицы на сам n раз:

Пример 8. Дана матрица. Найдите A² и A³.

Найти произведение матриц самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 9. Для матрицы

Находит произведение заданной матрицы и транспонированной матрицы, произведение транспонированной матрицы и заданной матрицы.

Примеры нахождения произведения матриц различной размерности

• Пример 3. Найдите произведение матриц A и B.

Решение. Количество строк в матрице A — 2, количество столбцов в матрице B — 2. Следовательно, размер матрицы C = AB — 2 X 2.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

• Пример 4. Найдите произведение матриц.

вы можете найти решение этой и других подобных проблем в онлайн-калькуляторе Matrix Product Calculator.

• Пример 5. Найдите произведение матриц A и B.

Решение. Количество строк в матрице A — 2, количество столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размер матрицы C = AB — 2 X 1.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Произведение матриц запишется как матрица-столбец: .

вы можете найти решение этой и других подобных проблем в онлайн-калькуляторе Matrix Product Calculator .

• Пример 6. Найдите произведение матриц A и B.

Решение. Количество строк в матрице A — 3, количество столбцов в матрице B — 3. Следовательно, размер матрицы C = AB — 3 X 3.

Вычисляем элементы матрицы C = AB.

Нашел продукт матриц: .

вы можете найти решение этой и других подобных проблем в онлайн-калькуляторе Matrix Product Calculator .

• Пример 7. Найдите произведение матриц A и B.

Решение. Количество строк в матрице A — 1, количество столбцов в матрице B — 1. Следовательно, размер матрицы C = AB — 1 X 1.

Вычисляем элемент матрицы C = AB.

Произведение матриц представляет собой матрицу из одного элемента: .

вы можете найти решение этой и других подобных проблем в онлайн-калькуляторе Matrix Product Calculator .

Программная реализация двух массивов на языке C ++ в продукте рассматривается в соответствующей статье в разделе «Компьютеры и программирование».

Произведение двух матриц

Определение

Произведение матрицы $ A_ {m times n} $ на матрицу $ B_ {n times k} $ представляет собой матрицу $ C_ {m times k} $, такую ​​что матричный элемент $ C $ в $ i $ -я строка и в столбце $ j $ -я, например, элемент $ C_ {ij} $, равны сумме произведений элементов $ i $ -ой строки матрицы $ A $ для соответствующих элементов $ j $ -го столбца матрицы $ B$.

Пример

Упражнение. Найдите $ AB $, если $ A = left ( begin {array} {rrr} {1} & {2} & {0} {3} & {1} & {-1} end {array} right) $, $ B = left ( start {matrix} {l} {1} {2} {3} end {matrix} right)$

Решение. Поскольку $ A = A_ {2 times 3} $ и $ B = B_ {3 times 1} $, результатом является матрица размерности $ C = C_ {2 times 1} $, то есть матрица форма $ C = left ( begin {array} {c} {c_ {11}} {c_ {21}} end {array} right) $. Находим элементы этой матрицы:

$ c_ {11} = a_ {11} cdot b_ {11} + a_ {12} cdot b_ {21} + a_ {13} cdot b_ {31} = 1 cdot 1 + 2 cdot 2 + 0 cdot 3 = 5 $ $ c_ {21} = a_ {21} cdot b_ {11} + a_ {22} cdot b_ {21} + a_ {23} cdot b_ {31} = 3 cdot 1+ 1 cdot 2 + (- 1) cdot 3 = 2 $

Итак, получаем:

$ C = AB = left ( start {matrix} {l} {5} {2} end {matrix} right)$

Все расчеты можно было бы провести в более компактной форме:

$ AB = left ( start {array} {ccc} {1} & {2} & {0} {3} & {1} & {-1} end {array} right) _ {2 times 3} cdot left ( begin {array} {l} {1} {2} {3} end {array} right) _ {3 times 1} = left ( begin {array} {c} {1 cdot 1 + 2 cdot 2 + 0 cdot 3} {3 cdot 1 + 1 cdot 2 + (- 1) cdot 3} end {array} справа)$

Отвечать. $ C = AB = left ( start {matrix} {l} {5} {2} end {matrix} right)$

Свойства произведения матриц:

1. Ассоциативность $ (A cdot B) cdot C = A cdot (B cdot C)$
2. Ассоциативность умножением $ ( mu cdot A) cdot B = mu cdot (A cdot B)$
3. Дистрибутивность $ A cdot (B + C) = A cdot B + A cdot C $, $ (A + B) cdot C = A cdot C + B cdot C$
4. Умножение на единичную матрицу $ E_ {m} cdot A_ {m times n} = A_ {m times n} cdot E_ {n} = A_ {m times n}$
5. В общем случае умножение матриц некоммутативно, т.е. $ AB neq BA$
6. $ EA = A$

Вычисление выражений с матрицами

вы можете оценивать различные арифметические выражения с массивами, а также с результатами некоторых преобразований этих массивов.

Из чего могут состоять выражения?

• Целые и дробные числа
• Матрицы A, B
• Знаки арифметики: +-*/
• Круглая скобка для изменения приоритета операций: ()
• Транспонирование: ^ T
• Возведение в степень: ^

Примеры корректных выражений

• Сложение двух матриц: A + B, (A) + (B), ((A) + B)
• Возведение линейной комбинации матриц в степень: (3А — 0,5Б) ^ 5
• Произведение транспонированной матрицы на оригинал: A ^ TA
• Обратная квадратная матрица для B: B ^ -2

Сложение и вычитание

Эти действия можно выполнять, когда массивы равны друг другу, так что в итоге мы получим выражение одинакового размера. Сложение и вычитание выполняются по аналогии друг с другом.

Пример 1

Упражнение

Даны две матрицы, найдите их сумму.

Решение

Элемент из первой строки добавляется к элементу из второй. Вычитание тоже производится абсолютно, только вместо большего ставить минус.

Пример 2

Упражнение

Даны две матрицы, найдите их разницу.

Пример 3

Упражнение

Найдите C = 2A + 3B.

Инструкция матричного онлайн калькулятора

С помощью онлайн-калькулятора матриц вы можете складывать, вычитать, умножать, транспонировать матрицы, вычислять обратные, псевдообратные, ранг матриц, определитель матрицы, m-норму и l-норму матрицы, повышать матрицу до степень, умножить матрицу на число, выполнить декомпозицию скелета матрицы, удалить строки или столбцы, линейно зависящие от матрицы, выполнить гауссово исключение, решить уравнение матрицы AX = B, выполнить LU-разложение матрицы , вычислить ядро ​​(нулевое пространство) матрицы, выполнить ортонормировку Грамма-Шмидта и ортонормировку Грамма-Шмидта.

Онлайн-калькулятор матриц работает не только с десятичными числами, но и с дробями. Для ввода дроби необходимо ввести исходные матрицы а также введите числа, например a или a / b, где a и b — целые или десятичные числа (b — положительное число). Например 12/67, -67,78 / 7,54, 327,6, -565.

Кнопка
в левом верхнем углу матрицы открывается меню (рис.1) для преобразования исходной матрицы (создание единичной матрицы, нулевой матрицы, удаление содержимого ячеек ) так далее

Рисунок 1

Для расчетов пустая ячейка считается нулевой.

Для операций с одной матрицей (например, транспонирование, обратное, псевдообратное, скелетное разложение и т.д.) сначала выберите конкретную матрицу с помощью переключателя .

Кнопки Fn1, Fn2 и Fn3 позволяют переключаться между различными группами функций.

При нажатии на рассчитанные матрицы открывается меню (рис. 2), которое позволяет записать эту матрицу в исходные матрицы а также а также преобразует элементы массива на месте в дробь, смешанную дробь или десятичное число.

Рис. 2

Что такое матрица?

Матрица размера n × m представляет собой прямоугольную таблицу особого типа, состоящую из n строк и m столбцов, заполненных числами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. При необходимости размер записывается следующим образом: An × m.

Примеры матриц

MI4 × 4 =

1	0	0	0
0	1	0	0
0	0	1	0
0	0	0	1

A3 × 3=

-413	2	-1
3	-25	1
2,5	-0,025	-2

A4 × 4 =

2	-1	0	0
-3	2	0	0
31 год	-19	3	-4
-23	14	-2	3

Элементы матрицы

Элементы A обозначаются aij, где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

Удаление линейно зависимых строк или столбцов матрицы онлайн

Онлайн-калькулятор матриц позволяет удалять из матрицы линейно зависимые строки или столбцы, например, создавать матрицу полного ранга.

Чтобы удалить линейно зависимые строки или столбцы из матрицы:

1. Выбрать матрицу или используя переключатель .
2. Введите размер массива.
3. Введите элементы массива.
4. Нажмите кнопку «Ранжировать полную строку» или «Ранжировать полную колонку».

Решение матричного уравнения или системы линейных уравнений AX=B онлайн

С помощью онлайн-калькулятора матриц вы можете решить матричное уравнение AX = B относительно матрицы X. В частном случае, если матрица B является вектором-столбцом, то X будет решением системы линейных уравнений AX = B.

Чтобы решить матричное уравнение:

1. Введите размеры матриц а также .
2. Вставьте элементы матриц.
3. Нажмите кнопку «Решение AX = B».

Обратите внимание, что матрицы а также в нем должно быть одинаковое количество строк .

Построение ядра (нуль-пространства) матрицы онлайн

Калькулятор матриц можно использовать для построения нулевого (ядерного) пространства матрицы.

Чтобы построить нулевое (ядерное) пространство массива:

1. Выбрать матрицу или используя переключатель .
2. Укажите размер массива.
3. Введите элементы массива.
4. Щелкните кнопку «Ядро (·)».

Вычисление суммы, разности, произведения матриц онлайн

Онлайн-калькулятор матриц может рассчитать сумму, разность или произведение матриц. Для вычисления суммы или разности матриц они должны быть одинакового размера, а для вычисления произведения матриц количество столбцов в первой матрице должно равняться количеству строк во второй матрице.

Чтобы вычислить сумму, разность или произведение матриц:

1. Введите размеры матриц а также .
2. Вставьте элементы матриц.
3. Нажмите кнопку «A + B», «AB» или «A × B».

Исключение Гаусса или приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду онлайн

Онлайн-калькулятор матриц выполняет метод исключения Гаусса как для квадратных, так и для прямоугольных матриц любого ранга. Сначала выполняется обычный метод Гаусса. Если в какой-то момент точка поворота равна нулю, выбирается другой вариант подавления по Гауссу с самой большой точкой поворота, выбранной в столбце.

Для исключения Гаусса или триангуляции матрицы

1. Выбрать матрицу или используя переключатель .
2. Укажите размер массива.
3. Введите элементы массива.
4. Нажмите кнопку «Треугольный вид».

Решение матричных уравнений

Финальная глава саги.

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях».

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано.

Краткое содержание прошлых частей:

• Линейная алгебра изучает векторы, матрицы и другие понятия, которые относятся к упорядоченным наборам данных. Линейной алгебре интересно, как можно трансформировать эти упорядоченные данные, складывать и умножать, всячески обсчитывать и находить в них закономерности.
• Вектор — это набор упорядоченных данных в одном измерении. Можно упрощённо сказать, что это последовательность чисел.
• Матрица — это тоже набор упорядоченных данных, только уже не в одном измерении, а в двух (или даже больше).
• Матрицу можно представить как упорядоченную сумку с данными. И с этой сумкой как с единым целым можно совершать какие-то действия. Например, делить, умножать, менять знаки.
• Матрицы можно складывать и умножать на другие матрицы. Это как взять две сумки с данными и получить третью сумку, тоже с данными, только теперь какими-то новыми.
• Матрицы перемножаются по довольно замороченному алгоритму. Арифметика простая, а порядок перемножения довольно запутанный.

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

❌ Никакого практического применения следующего материала в народном хозяйстве вы не увидите. Это чистая алгебра в несколько упрощённом виде. Отсюда до практики далёкий путь, поэтому, если нужно что-то практическое, — посмотрите, как мы генерим Чехова на цепях Маркова.

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

Шаг 1. Упрощаем уравнение

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Приводим матричное уравнение к упрощённому виду

Шаг 2. Вводим единичную матрицу

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу.

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100 1

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100 -1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
100 1 × 100 -1 = 100 × 0,01 = 1.

Вот такое, только в мире матриц.

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А -1 . Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение:

А -1 × А × Х = А -1 × В

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись:

А -1 × А = E — единичная матрица

E × Х = А -1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А -1 × В — новая запись уравнения

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B.

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A -1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто.

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы:

1. Делим единицу на определитель матрицы A.
2. Считаем транспонированную матрицу алгебраических дополнений.
3. Перемножаем значения и получаем нужную матрицу.

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Третье действие: получаем обратную матрицу

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А -1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Решаем матричное уравнение и находим неизвестную матрицу X. Мы получили кратные числа и внесли дробь в матрицу

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново.

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Проверяем ответ и получаем матрицу B — наши расчёты верны

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:

Решение матричных уравнений: теория и примеры

Решение матричных уравнений: как это делается

Матричные уравнения имеют прямую аналогию с простыми алгебраическими уравнениями, в которых присутствует операция умножения. Например,

где x — неизвестное.

А, поскольку мы уже умеем находить произведение матриц, то можем приступать к рассмотрению аналогичных уравнений с матрицами, в которых буквы — это матрицы.

Итак, матричным уравнением называется уравнение вида

где A и B — известные матрицы, X — неизвестная матрица, которую требуется найти.

Как решить матричное уравнение в первом случае? Для того, чтобы решить матричное уравнение вида A ⋅ X = B , обе его части следует умножить на обратную к A матрицу слева:

.

По определению обратной матрицы, произведение обратной матрицы на данную исходную матрицу равно единичной матрице: , поэтому

.

Так как E — единичная матрица, то E ⋅ X = X . В результате получим, что неизвестная матрица X равна произведению матрицы, обратной к матрице A , слева, на матрицу B :

.

Как решить матричное уравнение во втором случае? Если дано уравнение

то есть такое, в котором в произведении неизвестной матрицы X и известной матрицы A матрица A находится справа, то нужно действовать аналогично, но меняя направление умножения на матрицу, обратную матрице A , и умножать матрицу B на неё справа:

,

,

.

Как видим, очень важно, с какой стороны умножать на обратную матрицу, так как . Обратная к A матрица умножается на матрицу B с той стороны, с которой матрица A умножается на неизвестную матрицу X . То есть с той стороны, где в произведении с неизвестной матрицей находится матрица A .

Как решить матричное уравнение в третьем случае? Встречаются случаи, когда в левой части уравнения неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Тогда известную матрицу из правой части уравнения следует умножить слева на матрицу, обратную той, которая в упомянутом выше произведении трёх матриц была слева, и справа на матрицу, обратную той матрице, которая располагалась справа. Таким образом, решением матричного уравнения

.

Решение матричных уравнений: примеры

Пример 1. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Теперь у нас есть всё, чтобы найти матрицу, обратную матрице A :

.

Наконец, находим неизвестную матрицу:

Пример 2. Решить матричное уравнение

.

Пример 3. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

До сих пор мы решали уравнения с матрицами второго порядка, а теперь настала очередь матриц третьего порядка.

Пример 4. Решить матричное уравнение

.

Решение. Это уравнение первого вида: A ⋅ X = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится слева. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A слева. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A , и делаем это легко, так как определитель матрицы A равен единице:

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 5. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид X ⋅ A = B , то есть в произведении матрицы A и неизвестной матрицы X матрица A находится справа. Поэтому решение следует искать в виде , то есть неизвестная матрица равна произведению матрицы B на матрицу, обратную матрице A справа. Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Находим неизвестную матрицу:

Пример 6. Решить матричное уравнение

.

Решение. Данное уравнение имеет вид A ⋅ X ⋅ B = C , то есть неизвестная матрица X находится в середине произведения трёх матриц. Поэтому решение следует искать в виде . Найдём матрицу, обратную матрице A .

Сначала найдём определитель матрицы A :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы A :

.

Составим матрицу алгебраических дополнений:

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей A :

.

Находим матрицу, обратную матрице A :

.

Найдём матрицу, обратную матрице B .

Сначала найдём определитель матрицы B :

.

Найдём алгебраические дополнения матрицы B :

Составим матрицу алгебраических дополнений матрицы B :

.

Транспонируя матрицу алгебраических дополнений, находим матрицу, союзную с матрицей B :

.

Находим матрицу, обратную матрице B :

.

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n

Матричный вид записи: А × X = B

где А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n — матрица системы.

X = x 1 x 2 ⋮ x n — столбец неизвестных,

B = b 1 b 2 ⋮ b n — столбец свободных коэффициентов.

Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X . Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A — 1 :

A — 1 × A × X = A — 1 × B .

Так как А — 1 × А = Е , то Е × X = А — 1 × В или X = А — 1 × В .

Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие d e t A н е р а в е н н у л ю . Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится d e t А .

В том случае, если d e t A н е р а в е н н у л ю , у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если d e t А = 0 , то систему нельзя решить данным методом.

Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

2 x 1 — 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 — 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 — x 2 + 5 x 3 = 2

• Записываем систему в виде матричного уравнения А X = B , где

А = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 , X = x 1 x 2 x 3 , B = 1 3 2 .

• Выражаем из этого уравнения X :

• Находим определитель матрицы А :

d e t A = 2 — 4 3 1 — 2 4 3 — 1 5 = 2 × ( — 2 ) × 5 + 3 × ( — 4 ) × 4 + 3 × ( — 1 ) × 1 — 3 × ( — 2 ) × 3 — — 1 × ( — 4 ) × 5 — 2 × 4 — ( — 1 ) = — 20 — 48 — 3 + 18 + 20 + 8 = — 25

d e t А не равняется 0, следовательно, для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

• Находим обратную матрицу А — 1 при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения А i j к соответствующим элементам матрицы А :

А 11 = ( — 1 ) ( 1 + 1 ) — 2 4 — 1 5 = — 10 + 4 = — 6 ,

А 12 = ( — 1 ) 1 + 2 1 4 3 5 = — ( 5 — 12 ) = 7 ,

А 13 = ( — 1 ) 1 + 3 1 — 2 3 — 1 = — 1 + 6 = 5 ,

А 21 = ( — 1 ) 2 + 1 — 4 3 — 1 5 = — ( — 20 + 3 ) = 17 ,

А 22 = ( — 1 ) 2 + 2 2 3 3 5 — 10 — 9 = 1 ,

А 23 = ( — 1 ) 2 + 3 2 — 4 3 — 1 = — ( — 2 + 12 ) = — 10 ,

А 31 = ( — 1 ) 3 + 1 — 4 3 — 2 4 = — 16 + 6 = — 10 ,

А 32 = ( — 1 ) 3 + 2 2 3 1 4 = — ( 8 — 3 ) = — 5 ,

А 33 = ( — 1 ) 3 + 3 2 — 4 1 — 2 = — 4 + 4 = 0 .

• Записываем союзную матрицу А * , которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А :

А * = — 6 7 5 17 1 — 10 — 10 — 5 0

• Записываем обратную матрицу согласно формуле:

A — 1 = 1 d e t A ( A * ) T : А — 1 = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 ,

• Умножаем обратную матрицу А — 1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

X = A — 1 × B = — 1 25 — 6 17 — 10 7 1 — 5 5 — 10 0 1 3 2 = — 1 25 — 6 + 51 — 20 7 + 3 — 10 5 — 30 + 0 = — 1 0 1

Ответ: x 1 = — 1 ; x 2 = 0 ; x 3 = 1

Линейная алгебра и, в частности, матрицы — это основа математики нейросетей. Когда говорят «машинное обучение», на самом деле говорят «перемножение матриц», «решение матричных уравнений» и «поиск коэффициентов в матричных уравнениях». 

Понятно, что между простой матрицей в линейной алгебре и нейросетью, которая генерирует котов, много слоёв усложнений, дополнительной логики, обучения и т. д. Но здесь мы говорим именно о фундаменте. Цель — чтобы стало понятно, из чего оно сделано. 

Краткое содержание прошлых частей: 

И вот наконец мы здесь: если мы можем перемножать матрицы, то мы можем и решить матричное уравнение.

Что такое матричное уравнение

Матричное уравнение — это когда мы умножаем известную матрицу на матрицу Х и получаем новую матрицу. Наша задача — найти неизвестную матрицу Х.

Шаг 1. Упрощаем уравнение 

Вместо известных числовых матриц вводим в уравнение буквы: первую матрицу обозначаем буквой A, вторую — буквой B. Неизвестную матрицу X оставляем. Это упрощение поможет составить формулу и выразить X через известную матрицу.

Шаг 2. Вводим единичную матрицу 

В линейной алгебре есть два вспомогательных понятия: обратная матрица и единичная матрица. Единичная матрица состоит из нулей, а по диагонали у неё единицы. Обратная матрица — это такая, которая при умножении на исходную даёт единичную матрицу. 

Можно представить, что есть число 100 — это «сто в первой степени», 100¹

И есть число 0,01 — это «сто в минус первой степени», 100^-1

При перемножении этих двух чисел получится единица:
100¹ × 100^-1 = 100 × 0,01 = 1. 

Вот такое, только в мире матриц. 

Зная свойства единичных и обратных матриц, делаем алгебраическое колдунство. Умножаем обе известные матрицы на обратную матрицу А^-1. Неизвестную матрицу Х оставляем без изменений и переписываем уравнение: 

А-1 × А × Х = А-1 × В  

Добавляем единичную матрицу и упрощаем запись: 

А-1 × А = E — единичная матрица 

E × Х = А-1 × В — единичная матрица, умноженная на исходную матрицу, даёт исходную матрицу. Единичную матрицу убираем

Х = А-1 × В — новая запись уравнения 

После введения единичной матрицы мы нашли способ выражения неизвестной матрицы X через известные матрицы A и B. 

💡 Смотрите, что произошло: раньше нам нужно было найти неизвестную матрицу. А теперь мы точно знаем, как её найти: нужно рассчитать обратную матрицу A^-1 и умножить её на известную матрицу B. И то и другое — замороченные процедуры, но с точки зрения арифметики — просто. 

Шаг 3. Находим обратную матрицу

Вспоминаем формулу и порядок расчёта обратной матрицы: 

Собираем формулу и получаем обратную матрицу. Для удобства умышленно оставляем перед матрицей дробное число, чтобы было проще считать.

Шаг 4. Вычисляем неизвестную матрицу

Нам остаётся посчитать матрицу X: умножаем обратную матрицу А^-1 на матрицу B. Дробь держим за скобками и вносим в матрицу только при условии, что элементы новой матрицы будут кратны десяти — их можно умножить на дробь и получить целое число. Если кратных элементов не будет — дробь оставим за скобками.

Шаг 5. Проверяем уравнение

Мы решили матричное уравнение и получили красивый ответ с целыми числами. Выглядит правильно, но в случае с матрицами этого недостаточно. Чтобы проверить ответ, нам нужно вернуться к условию и умножить исходную матрицу A на матрицу X. В результате должна появиться матрица B. Если расчёты совпадут — мы всё сделали правильно. Если будут отличия — придётся решать заново. 

👉 Часто начинающие математики пренебрегают финальной проверкой и считают её лишней тратой времени. Сегодня мы разобрали простое уравнение с двумя квадратными матрицами с четырьмя элементами в каждой. Когда элементов будет больше, в них легко запутаться и допустить ошибку.

Ну и что

Алгоритм решения матричных уравнений несложный, если знать отдельные его компоненты. Дальше на основе этих компонентов математики переходят в более сложные пространства: работают с многомерными матрицами, решают более сложные уравнения, постепенно выходят на всё более и более абстрактные уровни. И дальше, в конце пути, появляется датасет из миллионов котиков. Этот датасет раскладывается на пиксели, каждый пиксель оцифровывается, цифры подставляются в матрицы, и уже огромный алгоритм в автоматическом режиме генерирует изображение нейрокотика:

Этого котика не существует, а матрицы — существуют. 

Калькулятор матриц — действия с матрицами онлайн

С помощью калькулятора матриц вы сможете выполнять различные преобразования матриц, решать СЛАУ, а также находить некоторые характеристики, как, например, определитель, след и ранг. Подробнее о функционале и использовании калькулятора смотрите после блока с самим калькулятором.

Также может быть интересно:

• Калькулятор таблицы истинности. СДНФ. СКНФ. Полином Жегалкина
• Калькулятор комплексных чисел

Как пользоваться калькулятором матриц

1. Выберите матрицу (или матрицы) с помощью переключателей ()
2. Укажите размер с помощью выпадающих списков под матрицей ( × )
3. Заполните элементы (нулевые элементы можно не заполнять.)
4. Выберите в выпадающем списке требуемую функцию и, если требуется, введите дополнительные параметры.
5. Нажмите кнопку .
6. Если вывод чисел не устраивает, просто поменяйте его — доступны три варианта представления: правильные дроби (2), неправильные дроби () и десятичные дроби (2.4) с указанием числа знаков после запятой.

Ввод данных и функционал

• В качестве элементов используются обыкновенные правильные дроби (1/2, 29/7, -1/125), десятичные дроби (12, -0.01, 3.14), а также числа в экспоненциальной форме (2.5e3, 1e-2).
• Длина вводимых чисел ничем не ограничена, вводите хоть 1000 цифр, правда, возможно, придётся подождать, пока будут идти вычисления!
• Используйте для работы одну или две матрицы (чтобы выполнять операции с двумя матрицами, передвиньте переключатель второй матрицы).
• Вставляйте результат в A или B с помощью кнопок «Вставить в A» и «Вставить в B».
• Перетаскивайте (drag-and-drop) матрицы из результата в A или B.
• Используйте стрелки (←, ↑, →, ↓) для перемещения по элементам

Что умеет наш калькулятор матриц?

С одной матрицей (только Матрица A или Матрица B)

• Транспонировать;
• Вычислять определитель;
• Находить ранг и след;
• Возводить в степень;
• Умножать на число;
• Вычислять обратную матрицу;
• Приводить к треугольному и ступенчатому вид;
• Находить LU-разложение;
• Выполнять элементарные преобразования;
• Выполнять действия с выражениями, содержащими матрицы.

С двумя матрицами (Матрица A и Матрица B)

• Складывать;
• Вычитать;
• Умножать;
• Решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) вида AX=B;
• Выполнять действия с выражениями, содержащими матрицы.

Вычисление выражений с матрицами

Вы можете вычислять различные арифметические выражения с матрицами, а также с результатами некоторых преобразований этих матриц.

Из чего могут состоять выражения?

• Целые и дробные числа
• Матрицы A, B
• Знаки арифметических действий: + - * /
• Круглые скобки для изменения приоритета операций: ( )
• Транспонирование: ^T
• Возведение в целую степень: ^

Примеры корректных выражений

• Cложение двух матриц: A+B, (A)+(B), ((A) + B)
• Возведение линейной комбинации матриц в степень: (3A - 0.5B)^5
• Произведение транспонированной матрицы на исходную: A^TA
• Обратная матрица в квадрате для B: B^-2

Что такое матрица?

Матрицей размера n×m называется прямоугольная таблица специального вида, состоящая из n строк и m столбцов, заполненная числами. Матрицы обозначаются заглавными латинскими буквами. При необходимости размер записывается следующим образом: An×m.

Примеры матриц

Элементы матрицы

Элементы A обозначаются aij, где i — номер строки, в которой находится элемент, j — номер столбца.

Некоторые теоретические сведения

Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: aTij = aji

Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали — aii

Единичная матрица E_n×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.

Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение: rank(A)

След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)

Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.

Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение: An

Обратная матрица A⁻¹ — матрица, произведение которой на исходную матрицу A равно единичной матрице: A-1×A = A×A-1 = E

Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.

LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. A = L·U

Сложение матриц A_n×m и B_n×m — матрица C_n×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij+bij

Разность матриц A_n×m и B_n×m — матрица C_n×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij-bij

Умножение матриц A_n×k и B_k×m — матрица C_n×m, у которой элемент (c_ij) равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы A на соответствующие элементы j-того столбца матрицы B: cij = ai1·b1j + ai2·b2j + ... + aik·bkj