Как найти y нулевой для параболы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение

Функция вида y=ax²+bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а≠0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.

Графиком квадратичной функции является парабола, она имеет вершину и две ветви, которые могут быть направлены либо вверх, либо вниз (рис.1). Красной точкой обозначена вершина параболы, из которой выходят ветви. Её координаты по графику – (3; –4). Направление ветвей зависит от значения коэффициента «а», то есть, если «а» – положительное число, то ветви направлены вверх; если число «а» – отрицательное, то ветви направлены вверх. На данном рисунке ветви направлены вверх, значит коэффициент «а» у формулы, которая задает эту функцию – положительное число. Коэффициент «с» показывает ординату (у) точки пересечения ветви параболы с осью у. Так, на рисунке №1 парабола пересекает ось у в точке (5;0), значит коэффициент с=5.

Рисунок №1.

Вершина параболы. Формула.

Чтобы найти координаты вершины параболы (х₀; у₀), надо воспользоваться формулой:

х₀=−b2a

для нахождения у₀ можно просто подставить значение х₀ в формулу данной функции y₀=ax²+bx+c вместо х.

Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.

Пример №1

Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х² – 8х + 5.

Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8

Подставим их в формулу и вычислим значение х₀:

х₀=−b2a=82∙2=84=2

Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у₀=2∙2² – 8∙2 + 5=8 – 16 + 5= –3

Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).

Ответ: (2; –3).

Нули параболы

Значения х, при которых функция принимает значения, равные нулю, называются нулями функции. Другими словами, Значения абсцисс (х) точек пересечения ветвей параболы с осью х, называются нулями функции. На рисунке №1 точки координаты точек пересечения ветвей параболы с осью х следующие: (1;0) и (5;0). Значит, нули функции – это значения х, равные 1 и 5.

Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.

Пример №2

Найти нули функции у=х² +4х – 5

Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х² +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:

х² +4х – 5=0

а=1, b=4, с= –5

D=b² – 4ac=4² – 4∙1∙(−5)=36

x=−b±√D2a

x=−4±√362; х₁=–5; х₂=1

Значит, нули функции равны –5 и 1

Ответ: –5 и 1

Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика

Если дискриминант уравнения отрицательный, значит, нулей функции нет, то есть парабола не пересекает ось х (вершина находится выше неё, если ветви направлены вверх и ниже, если ветви направлены вниз).

Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.

Пример №3

Для выполнения данного задания на соответствие необходимо сначала поработать с графиками, подписав на них, какими – отрицательными или положительными являются коэффициенты а и с.

Теперь можно выполнить соответствие:

Ответ: 231

Пример №4

Рассмотрим еще пример на соответствие

В данном задании рассмотрим коэффициенты в формулах и подчеркнем их: так, в формуле под буквой А коэффициент а=-2, т.е. отрицательный, значит, ветви направлены вниз, а это график под номером 2. В формулах под буквами Б и В первые и третьи коэффициенты одинаковые, значит, сравнить по рисунку их невозможно, следовательно, будем сравнивать по расположению вершины (справа или слева от оси у), а именно х₀.

Итак, найдем х₀ для формулы «Б»:

х₀=−b2a=−42∙2=−44=−1

Видим, что х₀ отрицательное, значит, вершина расположена слева от оси у, а это рисунок 3. Ну и осталось привести в соответствие В и 1.

Запишем в таблицу

Ответ: 231

Задание 11OM21R

На рисунках изображены графики функций вида . Установите соответствие между знаками коэффициентов а и с и графиками функций.

КОЭФФИЦИЕНТЫ

А) a>0, с >0 Б) а<0; с>0 В) а>0, с<0

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Ответ:

Решение

На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a<0 – ветви вниз; а>0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с<0 – пересечение в отрицательном направлении).

Теперь поработаем с графиками и подпишем на каждом из них соответствующие коэффициенты.

Теперь расставим в соответствии с указанными коэффициентами:

А) a>0, с >0 – это график №1

Б) а<0; с>0 – это график №3

В) а>0, с<0 – это график №2

Ответ: 132

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1105o

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) у=–х²–4х–3 Б) у=–х²+4х–3 В) у=х²+4х+3

Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х² (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.

Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3<0 в обоих случаях.

Далее надежнее всего вычислить вершины оставшихся двух парабол из уравнений А и Б по формуле -b/2a. Видим, что случае А (- (-4)) / (2 • -1) = -2, следовательно, вершина левее оси Y, так как x₀ отрицателен, значит, А-1, а Б-2.

Ответ: 123

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1101o

На рисунках изображены графики функций вида

y = ax² + bx + c

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Коэффициенты:

А) a > 0, c > 0

Б) a < 0, c > 0

В) a > 0, c < 0

Графики:

Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида

y = ax² + bx + c

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если a < 0, то ветви направлены вниз.

Таким образом, мы видим, что только у второй параболы ветви направлены вниз, а значит a < 0.

У первой и третьей ветви направлены вверх, то есть a > 0.

Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.

Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:

если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х

если c < 0, то вершина параболы расположена ниже оси x

Так, у первой параболы c < 0, у второй и третьей c > 0.

Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:

А) 3

Б) 2

В) 1

Ответ: 321

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Даниил Романович | Просмотров: 10.7k

Источник

Как найти вершину параболы: три формулы

Парабола присутствует в мире математики, физики и других наук. По траектории параболы передвигаются искусственные спутники, которые стремятся покинуть пределы Солнечной системы, мяч при игре в волейбол тоже описывает её траекторию. Нужно уметь строить параболу. А чтобы это не составляло труда, надо знать, как найти вершину параболы.

Нахождение вершины параболы: способы, примеры, советы

График функции y = ax 2 + bx + c, где a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член, называется параболой. Но обратите внимание на тот факт, что a ≠0.

У каждой точки параболы есть симметричная ей, кроме одной точки, и эта точка называется вершиной. Для того чтобы найти точку, которая является вершиной, нужно определиться, что такое точка на графике. Точка на графике – это определённая координата по оси абсцисс и по оси ординат. Она обозначается как (x; y). Давайте разбираться, как найти заветные числа.

Первый способ

Если вы хотите знать, как необходимо правильно вычислять координаты вершины, то нужно только выучить формулу x0 = -b/2a. Подставляя полученное число в функцию, получим y0.

Например, y =x 2 –8 x +15;

находим первый, второй коэффициенты и свободный член;

подставляем значения a и b в формулу;

вычисляем значения y;

Значит, вершина находится в точке (4;-1).

Ветви параболы симметричны относительно оси симметрии, которая идёт через вершину параболы. Зная корни уравнения, можно без особых трудностей посчитать абсциссу вершины параболы. Предположим, что k и n — корни квадратичного уравнения. Тогда точка x0 равноудалена от точек k и n, и её можно вычислить по формуле: x0 = (k + n)/2.

Рассмотрим на примере y =x 2 –6x+5

1) Приравниваем к нулю:

2) Находим дискриминант, используя формулу: D = b 2 –4 ac:

3) Находим корни уравнения по формуле (-b±√ D)/2a:

1 — первый корень;
5 — второй корень.

Второй способ

Дополнение до полного квадрата – отличный способ узнать, где располагается вершина. Используя этот способ, вы сможете вычислить точки x и y одновременно, без нужды подставлять x в начальный пример. Рассмотрим этот метод на примере функции: y=x 2 +8 x +10.

1. Сначала нужно приравнять выражение с переменной к 0. Потом перенести c в правую сторону с противоположным знаком, то есть у нас получается выражение x 2 + 8x = -10.

2. Теперь в левой части нужно сделать полный квадрат. Для этого посчитайте (b/2) 2 и увеличьте обе части уравнения результат. В этом случае нужно подставит 8 вместо b.

У нас получается 16. Теперь прибавьте это число к обеим частям уравнения:

3. Видно, что полученное выражение – полный квадрат. Его можно представить в форме: (x + 4) 2 = 6.

4. Используйте это выражение для поиска координат вершины параболы. Чтобы посчитать x, нужно приравнять его к 0. Получаем, x =-4. Координата y равна тому, что находится в правой части, то есть y =6. Вершина параболы этого уравнения (-4, 6).

Третий способ

Если вы знаете, что такое производная, то для вас есть другая формула. Несмотря на то, куда смотрят «рога» параболы, её вершина — точка экстремума. Для этого способа надо применить следующий алгоритм:

1. Нахождение первой производной по формуле f'(x) = (ax² + bx + c)’ = 2ax + b.

2. Приравнивание производной к 0. В итоге вы получите 0 = 2ax + b, отсюда можно найти то, что нас интересует.

Рассмотрим этот способ подробнее.

Дана функция y = 4x²+16x-17;

Записываем производную и приравниваем к нулю.

f'(x) = (4x²+16x-17)’ = 8x+16 =0

Построение параболы

Самое трудное при построении – это верно найти точки функции. Для подробного построения нужно просчитать 5–7 точек (для школьного курса хватит этого). Для этого выбираем какое-либо значение x и подставляем его в данную функцию. Итогом подсчётов будет число точки по оси ординат. После этого ставим на координатную плоскость полученные нами точки. В итоге у нас получается парабола.

Рассмотрим подробнее вопрос о нахождении точек, которые нужно отметить. Для примера возьмём функцию y =-x 2 +11 x -24 с вершиной в точке (5,5;-6,25).

1) Строим таблицу

2) Заполняем таблицу

Так как парабола имеет осевую симметрию, то можно считать только значения справа или слева от вершины. Лучше считать те значения, которые ближе к 0, так удобнее. В нашем случае эти значения 4 и 5.

X	4	5	5,5	6	7
Y	-4	-6	-6,25	-6	-4

Советы

Правильно находите коэффициенты.

Пишите промежуточные вычисления на бумаге. Это не только облегчит нахождение вершины, но и поможет найти свои ошибки.

Делайте всё поэтапно. Следуйте алгоритму.

Обратите ваше внимание на то, что:

Нужно проверять правильно ли ваше решение.
Необходимо успокоиться. Решение любых задач по математике требует опыта. Просто нужно отработать данную тему, и тогда непременно у вас всё получится.

Видео

Это видео поможет вам научиться находить вершину параболы

Парабола, график, вершина, нули.

теория по математике 📈 функции

Функция вида y=ax 2 +bx+c, где а, b, с – некоторые числа, причем, а ≠ 0 число, х – переменная, называется квадратичной функцией.

Чтобы найти координаты вершины параболы (х₀; у₀), надо воспользоваться формулой:

для нахождения у₀ можно просто подставить значение х₀ в формулу данной функции y₀=ax 2 +bx+c вместо х.

Рассмотрим это на примере конкретно заданной функции.

Пример №1

Найти вершину параболы, заданной формулой у=2х 2 – 8х + 5.

Найдем, чему равны коэффициенты: а=2; b= – 8

Подставим их в формулу и вычислим значение х₀:

х₀= − b 2 a . . = 8 2 ∙ 2 . . = 8 4 . . = 2

Теперь в заданную по условию формулу вместо х подставим найденное значение у₀=2 ∙ 2 2 – 8 ∙ 2 + 5=8 – 16 + 5= –3

Итак, мы нашли координаты вершины параболы: (2; –3).

Рассмотрим, как найти нули функции не по рисунку, а по заданной формуле.

Пример №2

Найти нули функции у=х 2 +4х – 5

Так как нули функции это абсциссы точек пересечения ветвей параболы с осью х, то их координаты будут (х;0), то есть у=0. Значит, вместо у подставляем нуль в нашу формулу 0=х 2 +4х – 5 и получаем квадратное уравнение, решив которое, мы и найдем значения нулей функции:

D=b 2 – 4ac=4 2 – 4 ∙ 1 ∙ ( − 5 ) = 36

Значит, нули функции равны –5 и 1

Примечание к заданию по нахождению нулей функции без графика

Рассмотрим нахождение соответствия рисунков парабол, расположенных в системе координат значениям а и с.

Пример №3

Теперь можно выполнить соответствие:

Пример №4

Рассмотрим еще пример на соответствие

Итак, найдем х₀ для формулы «Б»:

х₀= − b 2 a . . = − 4 2 ∙ 2 . . = − 4 4 . . = − 1

Запишем в таблицу

А) a>0, с >0 Б) а 0 В) а>0, с

На рисунках в задании изображены параболы. Вспомним, что обозначают коэффициенты а и с: а – направление ветвей (a 0 – ветви вверх); коэффициент с показывает ординату точку пересечения параболы с осью х (с >0 – пересечение в положительном направлении; с 0, с >0 – это график №1

Б) а 0 – это график №3

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

Сразу обратим внимание на вариант В. Эта функция единственная, имеющая положительный коэффициент при х 2 (здесь а=1, т.е. а>0). При а>0 график параболы направлен ветками вверх. Такой график имеется только один – под №3. Кроме того, можно обратить внимание на коэфициент с. Она равен 3, т.е. с>0. Это указывает на то, что парабола должна пересечь ось Оу выше начала координат. Что и отображено на графике В. Получаем соответствие: В–3.

Оба других графика – 1-й и 2-й – пересекают ось Оу ниже начала координат, что соответствует значению с=–3

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

На рисунках изображены графики функций вида

Установите соответствие между знаками коэффициентов a и c и графиками функций.

Мы вспоминаем, за что отвечают коэффициенты a и b при построении графиков функции вида

Коэффициент a определяет направление ветвей параболы: если a > 0, то ветви направлены вверх, а если a 0.

Далее мы смотрим, на что влияет коэффициент c.

Коэффициент c отвечает за положение параболы относительно оси x, или же отвечает за сдвиг по оси y, а именно:

если c > 0, то вершина параболы расположена выше оси х

Из всего вышеперечисленного можно найти ответ:

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить

Парабола свойства и график квадратичной функции

Что такое парабола знают, пожалуй, все. А вот как ее правильно, грамотно использовать при решении различных практических задач, разберемся ниже.

Сначала обозначим основные понятия, которые дает этому термину алгебра и геометрия. Рассмотрим все возможные виды этого графика.

Узнаем все основные характеристики этой функции. Поймем основы построения кривой (геометрия). Научимся находить вершину, другие основные величины графика данного типа.

Узнаем: как правильно строится искомая кривая по уравнению, на что надо обратить внимание. Посмотрим основное практическое применение этой уникальной величины в жизни человека.

Что такое парабола и как она выглядит

Алгебра: под этим термином понимается график квадратичной функции.

Геометрия: это кривая второго порядка, имеющая ряд определенных особенностей:

Любая прямая пересекает на плоскости искомую линию в 2-х точках – так называемые, «нули» (кроме основного экстремума графика).

Множество точек плоскости ХОY (М), расстояние FM которых до F = расстоянию MN до прямой Где F – фокус, AN – директриса. Эти понятия рассмотрим ниже.

Каноническое уравнение параболы

На рисунке изображена прямоугольная система координат (XOY), экстремум, направление ветвей чертежа функции вдоль оси абсцисс.

Каноническое уравнение имеет вид:

где коэффициент p – фокальный параметр параболы (AF).

В алгебре оно запишется иначе:

y = a x2 + b x + c (узнаваемый шаблон: y = x2).

Свойства и график квадратичной функции

Функция обладает осью симметрии и центром (экстремум). Область определения – все значения оси абсцисс.

Область значений функции – (-∞, М) или (М, +∞) зависит от направления ветвей кривой. Параметр М тут означает величину функции в вершине линии.

Как определить, куда направлены ветви параболы

Чтобы найти направление кривой такого типа из выражения, нужно определить знак перед первым параметром алгебраического выражения. Если а ˃ 0, то они направлены вверх. Если наоборот – вниз.

Как найти вершину параболы по формуле

Нахождение экстремума является основным этапом при решении множества практических задач. Конечно, можно открыть специальные онлайн калькуляторы, но лучше это уметь делать самому.

Как же ее определить? Есть специальная формула. Когда b не равно 0, надо искать координаты этой точки.

Формулы нахождения вершины:

Пример.

Имеется функция у = 4 * x2 + 16 * x – 25. Найдём вершины этой функции.

Для такой линии:

х = -16 / (2 * 4) = -2,

y = 4 * 4 — 16 * 2 — 25 = 16 — 32 — 25 = -41.

Получаем координаты вершины (-2, -41).

Смещение параболы

Классический случай, когда в квадратичной функции y = a x2 + b x + c, второй и третий параметры равны 0, а = 1 – вершина находится в точке (0, 0).

Движение по осям абсцисс или ординат обусловлено изменением параметров b и c соответственно. Сдвиг линии на плоскости будет осуществляться ровно на то количество единиц, чему равно значение параметра.

Пример.

Имеем: b = 2, c = 3.

Это означает, что классический вид кривой сдвинется на 2 единичных отрезка по оси абсцисс и на 3 по оси ординат.

Как строить параболу по квадратному уравнению

Школьникам важно усвоить, как правильно начертить параболу по заданным параметрам.

Анализируя выражения и уравнения, можно увидеть следующее:

Точка пересечения искомой линии с вектором ординат будет иметь значение, равное величине с.

Все точки графика (по оси абсцисс) будут симметричны относительно основного экстремума функции.

Кроме того, места пересечения с ОХ можно найти, зная дискриминант (D) такой функции:

Для этого нужно приравнять выражение к нулю.

Наличие корней параболы зависит от результата:

D ˃ 0, то х1, 2 = (-b ± D0,5) / (2 * a),

D = 0, то х1, 2 = -b / (2 * a),

D ˂ 0, то нет точек пересечения с вектором ОХ.

Получаем алгоритм построения параболы:

определить направление ветвей,

найти координаты вершины,

найти пересечение с осью ординат,

найти пересечение с осью абсцисс.

Пример 1.

Дана функция у = х2 5 * х + 4. Необходимо построить параболу. Действуем по алгоритму:

а = 1, следовательно, ветви направлены вверх,

координаты экстремума: х = (-5) / 2 = 5/2, y = (5/2)2 — 5 * (5/2) + 4 = -15/4,

с осью ординат пересекается в значении у = 4,

найдем дискриминант: D = 25 — 16 = 9,

ищем корни:

Х1 = (5 + 3) / 2 = 4, (4, 0),

Х2 = (5 — 3) / 2 = 1, (1, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Пример 2.

Для функции у = 3 * х2 2 * х 1 нужно построить параболу. Действуем по приведенному алгоритму:

а = 3, следовательно, ветви направлены вверх,

координаты экстремума: х = (-2) / 2 * 3 = 1/3, y = 3 * (1/3)2 — 2 * (1/3) — 1 = -4/3,

с осью у будет пересекаться в значении у = -1,

найдем дискриминант: D = 4 + 12 = 16. Значит корни:

Х1 = (2 + 4) / 6 = 1, (1,0),

Х2 = (2 — 4) / 6 = -1/3, (-1/3, 0).

По полученным точкам можно построить параболу.

Директриса, эксцентриситет, фокус параболы

Исходя из канонического уравнения, фокус F имеет координаты (p/2, 0).

Прямая АВ – директриса (своего рода хорда параболы определенной длины). Ее уравнение: х = -р/2.

Эксцентриситет (константа) = 1.

Заключение

Мы рассмотрели тему, которую изучают школьники в средней школе. Теперь вы знаете, глядя на квадратичную функцию параболы, как найти её вершину, в какую сторону будут направлены ветви, есть ли смещение по осям, и, имея алгоритм построения, сможете начертить её график.

источники:

Парабола, график, вершина, нули.

http://tvercult.ru/nauka/parabola-svoystva-i-grafik-kvadratichnoy-funktsii

Источник

Home » 8 класс » Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax²+bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax²+bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а<0 то ветви параболы направлены вниз.
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

2 ) Вершина параболы, ее находят по формуле x=(-b)/2a, найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y;

3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax²+bx+c=0;

Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax²+bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax²+bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax²+c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

Как решать квадратные уравнения посмотреть тут.

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x²+4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2)²+4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x²+4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b²-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x₁=(-4+2)/2=-1
x₂=(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x²+4x+3 значения
y=(-4)²+4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)²+4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1)²+4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)²+4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x²+4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1<0.
a=-1 b=4 c=0 x=(-b)/2a=(-4)/(2*(-1))=2 y=-(2)²+4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x²+4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax²+bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x²+4x значения
y=0²+4*0=0
y=-(1)²+4*1=-1+4=3
y=-(3)²+4*3=-9+13=3
y=-(4)²+4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x²-4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0)²-4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x²-4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax² +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x²=4
x₁=2
x₂=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x²-4 значения
y=(-2)²-4=4-4=0
y=(-1)²-4=1-4=-3
y=1²-4=1-4=-3
y=2²-4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Источник

Графиком квадратичной функции является парабола.

Если дана квадратичная функция

y=ax2+bx+c¯,гдеa,b,c∈ℝиa≠0,

то абсциссу вершины параболы

(xo;yo)

можно вычислить по формуле:

xo=−b2a

Ординату можно вычислить, подставив полученное значение

в формулу данной функции:

yo=axo2+bxo+c

Пример:

найти координаты вершины параболы

y=−x2+4x−3

(a = -1); (b = 4); (c = -3).

xo=−b2a=−42⋅−1=−4−2=2

Полученное значение подставляем в данную формулу функции:

yo=axo2+bxo+c=−1⋅(2¯)2+4⋅2¯−3=−4+8−3=1

Вершина параболы — точка ((2;1)).

Источник

Вершина параболы

Содержание:

Что такое вершина параболы
Вывод формулы координат вершины параболы
Как найти координаты, основные способы
Примеры решения задач

Что такое вершина параболы

Определение

Вершина параболы — это точка, в которой наблюдается пересечение параболой оси координат и ее невозможность держать направление выше или ниже в координатной плоскости.

Чтобы найти ВП, необходимо применить формулу:

(lbrackfrac{-b}{2a};-frac{b^2-4ac}{4a}rbrack)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Исходя из координат, можно узнать расположение вершины параболы и построить ее.

Вывод формулы координат вершины параболы

Рассматриваемую формулу используют для решения квадратных уравнений, которые имеют вид:

(y;=;ax^2;+;bx;+;c)

Ее график представляет собой параболу, формулу которой мы определили выше. Но не всегда требуется пользоваться данной формулой, так как сначала можно найти значение х, а затем подставить его в уравнение и найти y.

Для того, чтобы вывести формулу ВП, нужно преобразовать квадратную функцию к виду:

(y;=;f(x;+;l);+;m)

Делают это с помощью метода выделения полного квадрата, то есть (left(a+bright)^2) преобразуют в (a^2+2ab+b^2.)

Функции вида (y;=;f(x;+;l);+;m) отличаются от (y;=;f(x)) сдвигом из графиков по оси абсцисс на –l и по оси ординат на m. l в переписанной квадратичной функции равняется:

(frac{-b}{2a}, а frac{left(4ac-b^2right)}{4a})

Получается, что l и m — это координаты x₀ и y₀.

Приведем доказательство:

Соединяем первые два члена многочлена: (y;=;(ax^2;+;bx);+;c.)
Выносим коэффициент a за скобку, b при этом делим на a: (y=aleft(x^2+frac baxright)+c.)
Представляем, что у нас есть квадрат суммы, в котором x является слагаемым, а из выражения в скобках необходимо рассчитать его полный квадрат суммы. Одночлен (frac bax) умножаем на два и делим на два одновременно. Далее прибавляем и вычитаем квадрат второго слагаемого квадрата суммы. Получаем: (y=aleft(x^2+2frac b{2a}x+frac{b^2}{4a^2}-frac{b^2}{4a^2}right)+c.)
Выделяем квадрат суммы: (y=aleft(left(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2}{4a}right)+c.)
Умножаем на a: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2}{4a}+c.)
Приводим свободные члены к общему знаменателю: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2-frac{b^2+4ac}{4a}.)
Меняем знак: (y=aleft(x+frac b{2a}right)^2+frac{b^2-4ac}{4a}.)

Мы привели функцию (y;=;ax^2;+;bx;+;c) к виду (y;=;a{(x;+;l)}^2;+;m,) что соответствует (y;=;f(x;+;l);+;m,) где (f(x);=;ax^2. )

Как найти координаты, основные способы

Существует несколько способов нахождения координат ВП:

(x_0=frac{-b}{2a}) — подходит в том случае, если дискриминант квадратного уравнения равен нулю.
(y_0=-frac{b^2-4ac}{4a}) — это формула дискриминанта, поделенная на 4а.
(x_0=frac{x_1+x_2}2) — среднее арифметическое между нулями функции. Можно использовать, если в выражении есть нули.
Если функция имеет вид (y=aleft(x-x_0right)^2+y_0), то в ее вершиной совпадают координаты (left(x_0;y_0right).)

Примеры решения задач

Задача №1

Найти вершину параболы для уравнения: (y=x^2-5x+7.)

Решение: В выражение (x=-frac b{2a}) подставляем известные числа и получаем (x=frac52=2,5). Теперь подставляем x в исходное уравнение: (2,5^2-5times2,5+7=0,75.)

Ответ: (2,5; 0,75).

Задача №2

Найти ВП для уравнения: y=5(x-1)(x+7).

Решение: Ищем нули функции: 5(x-1)(x+7)=0. Тогда x-1=0 либо x+7=0. Из этого x=1; x=-7.

Подставляем и получаем: (x_0=frac{x_1+x_2}2=frac{1+left(-7right)}2=-3.)

Второе: (y_0=5timesleft(-3-1right)left(-3+7right)=-80.)

Ответ: (-3; -80).

Задача №3

Найти вершину параболы для уравнения: (y=x^2-7x+3 ).

Решение: (х_0=-frac b{2a}=-frac{left(-7right)}{2times1}=3,5.)

Второе: (y_0=3,5^2-7times3,5+3=-9,25.)

Ответ: (3,5; -9,25).

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 2.50 (Голосов: 8)

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Поиск по содержимому

Источник