Как найти заключение силлогизма

Этот урок будет посвящён многопосылочным умозаключениям. Так же как и в случае однопосылочных умозаключений, вся необходимая информация в скрытом виде будет присутствовать уже в посылках. Однако, поскольку посылок теперь будет много, то способы её извлечения становятся более сложными, а потому и добытая в заключении информация не будет казаться тривиальной. Кроме того, нужно отметить, что существует много разных видов многопосылочных умозаключений.

Мы с вами сосредоточимся только на силлогизмах. Они отличаются тем, что и в посылках и в заключении имеют категорические атрибутивные высказывания и на основании наличия или отсутствия каких-то свойств у объектов позволяют сделать вывод о наличии или отсутствии у них других свойств.

Содержание:

• Простой категорический силлогизм
• Правила терминов
• Задачи Эйнштейна
• Энтимемы
• Сориты
• Упражнения
• Проверочные вопросы на усвоение материала

Простой категорический силлогизм

Простой категорический силлогизм – это одно из наиболее простых и часто встречающихся умозаключений. Он состоит из двух посылок. В первой посылке говорится об отношении терминов А и В, во второй – об отношениях терминов В и С. На основании этого делается вывод об отношении терминов А и С. Такой вывод возможен потому, что обе посылки содержат общий термин В, который опосредует отношение между терминами А и С.

Приведём пример:

• Все рыбы не могут жить без воды.
• Все акулы – это рыбы.
  

  ---

• Следовательно, все акулы не могут жить без воды.

В данном случае, термин «рыбы» – это общий термин для двух посылок, и он помогает связать термины «акулы» и «существа, способные жить без воды». Общий термин для двух посылок принято называть средним термином. Субъект заключения (в нашем примере это «акулы») называют меньшим термином. Предикат заключения («существа, способные жить без воды») называют бóльшим термином. Соответственно, посылку, содержащую меньший термин, называют меньшей посылкой («Все акулы – это рыбы»), а посылку, содержащую больший термин, – бóльшей посылкой («Все рыбы не могут жить без воды»).

Фигура – это форма простого категорического силлогизма, которая определяется расположением среднего термина.

Сверху расположена большая посылка, за ней следует меньшая посылка, под чертой находится заключение. Буквой S обозначен меньший термин, буквой P – больший термин, буквой М – средний термин.

Далее, фигуры могут наполняться разным содержанием, то есть на место посылок и заключений могут подставляться разные типы категорических атрибутивных высказываний. Например:

• Всякий М есть P
• Всякий S есть М
  

  ---

• Всякий S есть P

или:

• Ни один М не есть P
• Некоторые М есть S
  

  ---

• Некоторые S не есть P

Эти различные сочетания высказываний в фигурах образуют так называемые модусы. Каждая фигура имеет 64 модуса, таким образом, на все четыре фигуры приходятся всего 256 модусов. Если подумать обо всём многообразии умозаключений, имеющих форму силлогизмов, то 256 модусов – это не так уж и много. Кроме того, далеко не все модусы образуют правильные умозаключения, то есть существуют такие модусы, которые при истинности посылок не гарантируют истинности умозаключения. Такие модусы называются неправильными. Правильными же называются те модусы, с помощью которых из истинных посылок мы всегда получаем истинное заключение. Всего существует 24 правильных модуса – по шесть на каждую фигуру. Это означает, что во всей классической силлогистике, которая исчерпывает львиную долю рассуждений, производимых людьми, существует всего 24 вида правильных умозаключений. Это очень маленькое число, поэтому правильные модусы не так уж и сложно запомнить.

Каждый из этих модусов ещё в Средние века получил особое мнемоническое наименование. Каждый тип категорического атрибутивного высказывания был обозначен с помощью всего одной буквы.  Высказывания типа «Все S есть P» обозначили буквой «а», первой буквой в латинском слове «affirmo» («утверждаю»), и их запись превратилась в «SaP». Высказывания вида «Некоторые S есть P» записывались с помощью буквы «i», второй гласной в слове «affirmо», поэтому они выглядели как «SiP». Высказывания формы «Ни один S не есть P» обозначили буквой «е», первой гласной в латинском слове «nego» («отрицаю»), их стали записывать в виде «SeP». Как вы, наверное, уже догадались высказывания типа «Некоторые S не есть P» обозначили буквой «о», второй гласной в слове «nego», их формальная запись выглядела как «SoP». Поэтому модусы правильных силлогизмов традиционно обозначаются именно с помощью этих четырёх букв, которые для удобства запоминания представлены в виде слов. Таблица всех правильных модусов выглядит так:

Фигура I	Фигура II	Фигура III	Фигура IV
Barbara (aaa) Celarent (eae) Darii (aii) Ferio (eio) Barbari (aai) Celaront (eao)	Baroko (aoo) Cesare (eae) Camestres (aee) Festino (eio) Camestrop (aeo) Cesaro (eao)	Bocardo (oao) Disamis (iai) Datisi (aii) Ferison (eio) Darapti (aai) Felapton (eao)	Camenos (aeo) Dimaris (iai) Camenes (aee) Fresison (eio) Bramantip (aai) Fesapo (eao)

К примеру, модус второй фигуры Cesare (eae) в развёрнутом виде будет выглядеть так:

• Ни один P не есть М
• Все S есть М
  

  ---

• Ни один S не есть P

Хотя 24 модуса – это совсем не много и в таблице можно усмотреть некоторые регулярности (например, для всех фигур верны модусы eao и eio), запомнить её всё равно сложно. К счастью, это совсем и необязательно. Для проверки силлогизмов можно также пользоваться модельными схемами. Только в отличие от тех схем, которые мы строили раньше, на них уже должно присутствовать не два, а три термина: S, P, M.

Давайте возьмём модус четвёртой фигуры Bramantip (aai) и проверим его с помощью модельных схем.

• Всякий P есть М
• Всякий М есть S
  

  ---

• Некоторые S есть P

Сначала нужно найти такие модельные схемы, при которых обе посылки будут одновременно истинными. Таких схем всего четыре:

Теперь на каждой из этих схем мы должны проверить, верно ли будет высказывание «Некоторые S есть P», представляющее заключение. В результате проверки, мы обнаруживаем, что на каждой схеме это высказывание будет верным. Таким образом, умозаключение по модусу Bramantip (aai) четвёртой фигуры правильное. Если бы была хотя бы одна схема, на которой это высказывание было бы ложным, то умозаключение было бы неправильным.

Метод проверки силлогизмов с помощью модельных схем хорош, так как он позволяет представить отношения между терминами наглядно. Однако для некоторых посылок могут оказаться верными очень много схем сразу. В результате их построение и проверка будут представлять собой трудоёмкую и отнимающую много времени задачу. Таким образом, метод модельных схем не всегда удобен.

Поэтому логики разработали ещё один метод для определения, правильный силлогизм или нет. Этот метод называется синтаксическим и представляет собой два перечня правил (правила терминов и правила посылок), при соблюдении которых силлогизм будет верным.

Модус простого категорического силлогизма является правильным, если он удовлетворяет следующим условиям:

Правила терминов

1. Простой категорический силлогизм должен включать только три термина.
2. Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок.
3. Если больший или меньший термин не распределён в посылке, то он должен быть нераспределён и в заключении.

Правила посылок:

1. Хотя бы одна из посылок должна быть утвердительной.
2. Если обе посылки являются утвердительными, то и заключение должно быть утвердительным.
3. Если одна из посылок отрицательная, то и заключение должно быть отрицательным.

Правила посылок понятны, а правила терминов требуют некоторых пояснений. Начнём с правила о трёх терминах. Хотя оно кажется очевидным, оно довольно часто нарушается вследствие так называемой подмены терминов. Посмотрите на следующий силлогизм:

• Золото – элемент 11 группы, шестого периода периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева, с атомным номером 79.
• Молчание – золото.
• Молчание – элемент 11 группы, шестого периода периодической системы химических элементов Д. И. Менделеева, с атомным номером 79.

Прежде всего, если вы помните фигуры и правильные модусы, вы сразу можете сказать, что этот силлогизм неправильный, так как он относится ко второй фигуре и имеет модус aaa, который не принадлежит к списку правильных модусов для этой фигуры. Но если вы их не помните, всё равно вы можете выявить его ложность, потому что здесь явно присутствует четыре термина, вместо трёх. Термин «золото» употребляется в двух совершенно различных смыслах: как химический элемент и как нечто, обладающее ценностью. Посмотрим на более сложный пример:

• Все книги из собрания Российской государственной библиотеки нельзя прочитать за целую жизнь.
• «Отцы и дети» Ивана Тургенева – книга из собрания Российской государственной библиотеки.
• «Отцы и дети» Ивана Тургенева нельзя прочитать за целую жизнь.

Кажется, что этот силлогизм соответствует модусу Barbara первой фигуры. Однако посылки истинны, а заключение ложно.

Если бы мы заменили слово «все» на слова «каждый в отдельности», то первая посылка попросту стала бы ложной: «Каждую в отдельности книгу из собрания Российской государственной библиотеки нельзя прочитать за целую жизнь». Таким образом, мы получаем четыре термина вместо трёх, а потому это умозаключение ложно.

Теперь перейдём к правилам о распределённости терминов. Для начала объясним, что это за характеристика. Термин называют распределённым, если в высказывании речь идёт обо всех объектах, входящих в его объём. Соответственно, термин не распределён, если в высказывании речь идёт не обо всех объектах, составляющих его объём. Грубо говоря, термин распределён, если мы говорим обо всех предметах, и не распределён, если мы говорим только о некоторых предметах, о части объёма термина.

Давайте возьмём типы высказываний и посмотрим, какие термины в них распределены, а какие нет. Распределённый термин отмечается знаком «+», нераспределённый – знаком «–».

Все S⁺ есть P^–.

Ни один S⁺ не есть P⁺.

Некоторые S^– есть P^–.

Некоторые S^– не есть P⁺.

а⁺ есть P^–.

a⁺ не есть P⁺.

Как видно, субъект всегда распределён в общих и единичных высказываниях, но не распределён в частных. Предикат всегда распределён в отрицательных высказываниях, но не распределён в утвердительных. Если теперь перенести это на наши правила для терминов, то получается, что средний термин хотя бы в одной из посылок должен быть взят во всём своём объёме.

• Пингвины – это птицы.
• Некоторые птицы не умеют летать.
  

  ---

• Пингвины не умеют летать.

Хотя и высказывания над чертой и высказывание под чертой истинны, умозаключение как таковое здесь отсутствует. Здесь нет логического перехода от посылок к заключению. И это можно легко выявить, так как средний термин «птицы» ни разу не берётся во всём своём объёме.

Что касается третьего правила терминов, если в посылках речь идёт только о части объектов из объёма терминов, то в заключении мы не можем ничего утверждать обо всех объектах объёма терминов. Мы не можем перейти от части к целому. Кстати, обратный переход возможен: если мы говорим обо всех элементах объёма терминов, то мы можем сделать заключение о части из них.

Задачи Эйнштейна

Эта игра является нашей версией всемирно известной «загадки Эйнштейна», в которой 5 иностранцев живут на 5 улицах, едят 5 видов еды и т.д. Подробнее про эту задачу написано здесь. В подобных заданиях вам нужно сделать правильное умозаключение на основе имеющихся посылок, которых, на первый взгляд, для этого недостаточно.

Энтимемы

Во время реальных дискуссий и споров мы довольно часто опускаем те или иные части рассуждения. Это приводит к возникновению энтимем. Энтимема – это сокращённая форма умозаключения, в которой пропущены посылки или заключение. Важно не путать энтимемы с однопосылочными умозаключениями. Энтимема – это именно многопосылочное умозаключение, просто его части в силу тех или иных причин опущены. Иногда такие пропуски оправданы, так как оба собеседника хорошо разбираются в проблеме, и им нет нужды проговаривать все шаги. Между тем, недобросовестные собеседники могут специально пользоваться энтимемами, чтобы затемнить и запутать своё рассуждение и скрыть свои истинные аргументы или выводы. Поэтому необходимо уметь отличать корректные энтимемы от некорректных. Энтимема называется корректной, если она может быть восстановлена в виде правильного модуса категорического силлогизма, и если все пропущенные посылки оказываются истинными.

Поговорим о том, как восстановить энтимему до полного силлогизма. В первую очередь нужно понять, что именно пропущено. Для этого нужно обратить внимание на слова-маркеры, обозначающие причинно-следственные связи: «таким образом», «следовательно», «так как», «потому что», «в результате» и т.д. К примеру, возьмём рассуждение: «Золото – это драгоценный металл, потому что оно практически не окисляется на воздухе». Здесь заключением является высказывание «Золото – это драгоценный металл». Одна из посылок: «Золото практически не окисляется на воздухе». Ещё одна посылка пропущена. Нужно сказать, что чаще всего пропускают именно одну из посылок. Довольно странно, если в рассуждении отсутствует самое важное – вывод.

Итак, мы установили, что именно пропущено. В нашем примере – это посылка. Большая это посылка или меньшая? Как вы помните, меньшая посылка содержит субъект заключения («золото»), а большая – предикат заключения («драгоценный металл»). Посылка, содержащая субъект заключения нам уже известна: «Золото практически не окисляется на воздухе». Значит, нам известна меньшая посылка, и не известна большая. Кроме того, благодаря известной посылке, мы можем установить и средний термин: «металлы, которые практически не окисляются на воздухе», – тот термин, который не содержится в заключении.

 Теперь располагаем известную нам информацию в форме силлогизма:

• 1.
• 2. Золото практически не окисляется на воздухе.
  

  ---

• 3. Золото – это драгоценный металл.

Или в виде схемы:

• 1.
• 2. SaМ
  

  ---

• 3. SaP

В большей посылке должны находиться предикат заключения и средний термин: «драгоценные металлы» (P) и «металлы, которые окисляются на воздухе» (M). Здесь возможны два варианта:

• 1. P M
• 2. SaМ
  

  ---

• 3. SaP

Или:

• 1. М P
• 2. SaМ
  

  ---

• 3. SaP

Значит, возможен силлогизм либо второй фигуры, либо первой фигуры. Теперь смотрим на нашу табличку с правильными модусами силлогизмов. Во второй фигуре вообще нет правильных модусов, где в заключении стояло бы высказывание типа а. В первой фигуре есть только один такой модус – Barbara. Достраиваем наш силлогизм:

• 1. МаP
• 2. SaМ
  

  ---

• 3. SaP

Или:

• 1. Все металлы, которые практически не окисляются на воздухе, являются драгоценными.
• 2. Золото практически не окисляется на воздухе.
  

  ---

• 3. Золото – драгоценный металл.

Теперь проверяем, истинна ли наша восстановленная посылка. В нашем случае она истинна, поэтому энтимема была правильной.

Сориты

Термином «сориты» пользовался Льюис Кэррол для обозначения сложных силлогизмов, которые имеют более чем две посылки. По большому счёту, сорит представляет собой гибрид силлогизма и энтимемы. Он устроен следующим образом: дано множество посылок, из каждой пары посылок делаются промежуточные выводы, которые обычно опускаются, к промежуточным выводам присоединяются новые посылки, из них делаются новые промежуточные выводы, к которым опять присоединяются новые посылки и так далее, пока мы не переберём все имеющиеся посылки и не дойдём до окончательного заключения. В принципе подобным образом люди и рассуждают в повседневной жизни. Поэтому очень важно уметь решать сориты и оценивать, правильны они или нет.

Мы приведём пример сорита из книги Льюиса Кэррола «История с узелками»:

1. Все полисмены из нашей округи ужинают у нашей кухарки.
2. Человек с длинными волосами не может не быть поэтом.
3. Амос Джадд никогда не сидел в тюрьме.
4. Все кузены нашей кухарки любят холодную баранину.
5. В этой округе нет других поэтов, кроме полисменов.
6. С нашей кухаркой не ужинает никто, кроме её кузенов.
7. Все люди с короткими волосами сидели в тюрьме.

---

8. Амос Джадд любит холодную баранину.

Над чертой находятся посылки, под чертой – заключение.

Как же нужно решать и проверять сориты? Дадим пошаговую инструкцию. Во-первых, необходимо привести все посылки в более или менее стандартную форму:

1. Все полисмены из нашей округи ужинают у нашей кухарки.
2. Все люди с длинными волосами являются поэтами.
3. Амос Джадд не сидел в тюрьме.
4. Все кузены нашей кухарки любят холодную баранину.
5. Все поэты из нашего округа являются полисменами.
6. Все люди, ужинающие с нашей кухаркой, приходятся ей кузенами.
7. Все люди с короткими волосами сидели в тюрьме.

Теперь нужно взять две исходные посылки. По большому счёту, неважно, с каких именно посылок вы начнёте. Главное, чтобы ваши исходные посылки вместе содержали всего три термина. Это означает, что мы не можем взять посылки «Амос Джадд не сидел в тюрьме» и «Все кузены нашей кухарки любят холодную баранину». В них входят четыре разных термина, а потому мы не можем сделать из них никакого заключения. Я в качестве исходных возьму посылки 7 и 3 и сделаю из них вывод по правилам для простых категорических силлогизмов.

• 1. Все люди с короткими волосами сидели в тюрьме.
• 2. Амос Джадд не сидел в тюрьме.
  

  ---

• 3. Амос Джадд не является человеком с короткими волосами.

Этот силлогизм соответствует модусу Camestres (aee) второй фигуры. Теперь для удобства я переформулирую наш промежуточный вывод следующим образом: «Амос Джадд является человеком с длинными волосами». Этот промежуточный вывод я соединяю с посылкой номер 2:

• 1. Все люди с длинными волосами являются поэтами.
• 2. Амос Джадд является человеком с длинными волосами.
  

  ---

• 3. Амос Джадд является поэтом.

Этот силлогизм соответствует модусу Barbara (aaa) первой фигуры. Теперь я присоединяю этот промежуточный вывод к посылке номер 5:

• 1. Все поэты из нашего округа являются полисменами.
• 2. Амос Джадд является поэтом.
  

  ---

• 3. Амос Джадд является полисменом.

Этот силлогизм опять же соответствует модусу Barbara (aaa) первой фигуры. Присоединяем промежуточный вывод к посылке номер 1:

• 1. Все полисмены из нашей округи ужинают у нашей кухарки.
• 2. Амос Джадд является полисменом.
  

  ---

• 3. Амос Джадд ужинает у нашей кухарки.

Это силлогизм, как вы уже, наверное, заметили, тоже представляет собой модус Barbara (aaa) первой фигуры. Присоединяем этот вывод к посылке номер 6:

• 1. Все люди, ужинающие с нашей кухаркой, приходятся ей кузенами.
• 2. Амос Джадд ужинает у нашей кухарки.
  

  ---

• 3. Амос Джадд приходится кузеном нашей кухарке.

Опять Barbara, которая является одним из самых распространённых модусов. Присоединяем к нашему последнему промежуточному выводу последнюю посылку номер 4:

• 1. Все кузены нашей кухарки любят холодную баранину.
• 2. Амос Джадд приходится кузеном нашей кухарке.
  

  ---

• 3. Амос Джадд любит холодную баранину.

Итак, с помощью всё того же модуса Barbara мы получили наше заключение: «Амос Джадд любит холодную баранину». Таким образом, сориты решаются и проверяются с помощью пошагового разделения на простые категорические силлогизмы. В нашем примере сорит оказался правильным, но возможны и обратные ситуации. Существует два условия корректности соритов. Во-первых, каждый сорит должен разбиваться на последовательность правильных модусов силлогизмов. Во-вторых, заключение, которое вы получаете, когда все посылки исчерпаны, должно совпасть с заключением сорита. Это условие действует в тех случаях, когда вы имеете дело с чужим рассуждением, в котором уже присутствует какое-то заключение.

Итак, мы рассмотрели различные многопосылочные умозаключения на примере простых категорических силлогизмов, энтимем и соритов. По большому счёту, если вы знаете, как иметь с ними дело, то вы вооружены для любых дискуссий с любыми противниками. Единственное, что может на данный момент вызывать некоторое недовольство, это необходимость тратить много времени на проверку правильности умозаключений. Не стоит расстраиваться по этому поводу: лучше выглядеть тугодумом, который рассуждает правильно, чем блестящим демагогом, который не замечает своих и чужих ошибок. Тем более, с накоплением опыта внимательного отношения к умозаключениям у вас появится чутьё, автоматический навык, позволяющий быстро отделять корректные рассуждения от некорректных. Поэтому упражнений к этому уроку будет много, чтобы у вас была возможность набить руку.

Упражнения

Упражнения 1, 2 и 3 взяты из книги Льюиса Кэррола «История с узелками», М.: Мир, 1973.

Упражнение 1

Сделайте заключения из следующих посылок по правилам для простого категорического силлогизма. Помните, что простой категорический силлогизм должен содержать только три термина. Не забывайте приводить высказывания к стандартному виду.

1

---

• Зонтик – очень нужная вещь в путешествии.
• Отправляясь в путешествие, всё лишнее следует оставлять дома.
• ?

2

---

• Музыка, которую можно услышать, вызывает колебания воздуха.
• Музыка, которую нельзя услышать, не стоит того, чтобы за неё платили деньги.
• ?

3

---

• Ни один француз не любит пудинга.
• Все англичане любят пудинг.
• ?

4

---

• Ни один старый скряга не жизнерадостен.
• Некоторые старые скряги тощи.
• ?

5

---

• Все непрожорливые кролики чёрные.
• Ни один старый кролик не склонен к воздержанию в пище.
• ?

6

---

• Ничто разумное никогда не ставило меня в тупик.
• Логика ставит меня в тупик.
• ?

7

---

• Ни в одной из исследованных до сих пор стран не обитают драконы.
• Неисследованные страны пленяют воображение.
• ?

8

---

• Некоторые сны ужасны.
• Ни один барашек не внушает ужаса.
• ?

9

---

• Ни одному лысому созданию не нужна расчёска.
• Ни у одной ящерицы нет волос.
• ?

10

---

• Все яйца можно разбить.
• Некоторые яйца сварены вкрутую.
• ?

Упражнение 2

Проверьте, правильны ли следующие рассуждения. Попробуйте разные способы проверки. Не забывайте ставить большую посылку на первую строку.

1

---

• Словари полезны.
• Полезные книги высоко ценятся.
• Словари высоко ценятся.

2

---

• Золото тяжёлое.
• Ничто, кроме золота, не сможет заставить его замолчать.
• Ничто лёгкое не сможет заставить его замолчать.

3

---

• Некоторые галстуки безвкусны.
• Всё, сделанное со вкусом, приводит меня в восторг.
• Я не в восторге от некоторых галстуков.

4

---

• Ни одно ископаемое животное не может быть несчастно в любви.
• Устрица может быть несчастна в любви.
• Устрицы – не ископаемые животные.

5

---

• Ни одна горячая сдоба не полезна.
• Все булочки с изюмом неполезны.
• Булочки с изюмом – не сдоба.

6

---

• Некоторые подушки мягкие.
• Ни одна кочерга не мягкая.
• Некоторые кочерги – не подушки.

7

---

• Скучные люди невыносимы.
• Ни одного скучного человека не упрашивают остаться, когда он собирается уходить из гостей.
• Ни одного невыносимого человека не упрашивают остаться, когда он собирается уходить из гостей.

8

---

• Ни одна лягушка не имеет поэтической внешности.
• Некоторые утки выглядят прозаично.
• Некоторые утки – не лягушки.

9

---

• Все разумные люди ходят ногами.
• Все неразумные люди ходят на голове.
• Ни один человек не ходит на голове и ногах.

Упражнение 3

Найдите заключения следующих соритов.

1

• Малые дети неразумны.
• Тот, кто может укрощать крокодилов, заслуживает уважения.
• Неразумные люди не заслуживают уважения.

2

• Ни одна утка не танцует вальс.
• Ни один офицер не откажется потанцевать вальс.
• У меня нет другой птицы, кроме уток.

3

• Всякий, кто находится в здравом уме, может заниматься логикой.
• Ни один лунатик не может быть присяжным заседателем.
• Ни один из ваших сыновей не может заниматься логикой.

4

• В этой коробке нет моих карандашей.
• Ни один из моих леденцов – не сигара.
• Вся моя собственность, не находящаяся в этой коробке, состоит из сигар.

5

• Ни один терьер не блуждает среди знаков Зодиака.
• То, что не блуждает среди знаков Зодиака, не может быть кометой.
• Только у терьера хвост колечком.

6

• Никто не станет выписывать газету «Таймс», если он не получил хорошего образования.
• Ни один дикобраз не умеет читать.
• Те, кто не умеет читать, не получили хорошего образования.

7

• Никто их тех, кто действительно ценит Бетховена, не станет шуметь во время исполнения «Лунной сонаты».
• Морские свинки безнадёжно невежественны в музыке.
• Те, кто безнадёжно невежественен в музыке, не станут соблюдать тишину во время исполнения «Лунной сонаты».

8

• Вещи, продаваемые на улице, не имеют особой ценности.
• Только дрянь можно купить за грош.
• Яйца большой гагарки представляют большую ценность.
• Лишь то, что продаётся на улице, и есть настоящая дрянь.

9

• Те, кто нарушает свои обещания, не заслуживают доверия.
• Любители выпить очень общительны.
• Человек, выполняющий свои обещания, честен.
• Ни один трезвенник не ростовщик.
• Тому, кто очень общителен, всегда можно верить.

10

• Любая мысль, которую нельзя выразить в виде силлогизма, поистине смешна.
• Моя мечта о сдобных булочках не стоит того, чтобы её записывать на бумаге.
• Ни одну мою несбыточную мечту нельзя выразить в виде силлогизма.
• Мне не приходило в голову ни одной действительно смешной мысли, о которой я бы не сообщим своему другу.
• Я только и мечтаю, что о сдобных булочках.
• Я никогда не высказывал своему другу ни одной мысли, если она не стоила того, чтобы её записать на бумаге.

Упражнение 4

Проверьте правильность следующих энтимем.

1. Барсик – не законопослушный кот, потому что он украл у меня сосиску.
2. Ртуть жидкая, следовательно, она не может быть металлом.
3. Ни один послушный ребёнок не устраивает истерик по пустякам. Поэтому Толя – непослушный ребёнок.
4. Некоторые женщины глупы, значит, некоторые мужчины могут этим воспользоваться.
5. Все девушки хотят выйти замуж, так как каждая из них мечтает о пышном белом платье.
6. Ни один студент не хочет получить двойку на экзамене, вот почему все студенты – ботаники.
7. Некто украл у меня кошелёк, поэтому у меня совсем не осталось денег.
8. Павлины – самовлюблённые птицы, потому что у них большой красивый хвост.

Проверьте свои знания

Если вы хотите проверить свои знания по теме данного урока, можете пройти небольшой тест, состоящий из нескольких вопросов. В каждом вопросе правильным может быть только 1 вариант. После выбора вами одного из вариантов, система автоматически переходит к следующему вопросу. На получаемые вами баллы влияет правильность ваших ответов и затраченное на прохождение время. Обратите внимание, что вопросы каждый раз разные, а варианты перемешиваются.

← 6 Умозаключения8 Типы рассуждений →

Умозаключения,
в которых с необходимостью выводится
заключение от знания большей степени
общности к знанию меньшей степени
общности, как уже говорилось, называются
дедуктивными
(от
лат. deductio
—
«выведение»).

Пример:
Все
цветы — растения. Роза
— цветок.

Роза
— растение.

Типичной
формой дедуктивного умозаключения
является простой
категорический силлогизм (от
гр. sillogismos
—
«получение вывода»).

Простой
категорический силлогизм состоит из
двух посылок и заключения.

Анализ
силлогизма всегда начинают с заключения.
Субъект суждения, которым является
заключение — это меньший
термин
заключения (S),
предикат
— больший
термин
(Р).

Посылка,
в которой содержится больший термин,
называется большей
посылкой,
посылка с меньшим термином — меньшей
посылкой.

Понятие,
которое содержится в каждой из посылок,
но отсутствует в заключении, называется
средний
термин
(М)

В
вышеприведенном примере: роза (S).
растение
(Р),
а
цветы — (М).

Итак,
простой
категорический
силлогизм
—
это умозаключение об отношении большего
и меньшего терминов на основании их
связи со средним термином.

И

зобразим это графически:

Схема
графически представляет нам аксиому
силлогизма, которая лежит в основе
вывода по категорическому силлогизму:
«Все, что присуще роду, присуще и его
виду».

Общие
правила категорического силлогизма

Чтобы
с помощью силлогизма получить истинное
заключение, мы должны иметь истинные
посылки и соблюдать правила терминов,
посылок и фигур.

I.
Правила терминов.

1. В
каждом силлогизме должно быть только
3 термина (S,
Р. М). Если
правило нарушено, то ошибка называется
«учетверение термина».

Пример
такой ошибки

:
Труд
— основа жизни.

Изучение
логики — труд.

Изучение
логики — основа жизни.

Здесь
термин «труд» трактуется в разном
смысле: в большей посылке — широко, а в
мень­шей — узко.

2. Средний
термин должен быть распределен, по
крайней мере, в одной из посылок:

Все
полезные вещи имеют приятный запах.

Духи
«Шанель» имеют приятный запах.

Духи
«Шанель» полезны.

Здесь
средний термин «имеют приятный запах»
(удобно записывать так: «есть имеющие
приятный запах») не распределен ни в
одной из посылок. Поэтому заключение
ложно. Поясним это графически:

Как
мы видим, и S
и
Р
затрагивают
лишь часть объема среднего термина —
«имеющие приятный запах». Следовательно,
достоверный вывод здесь получить нельзя.

1. Если
   термин не распределен в посылке, то он
   не может быть распределен в заключении:

Все
солдаты умеют стрелять.

Все
дети
— не
солдаты.

Все
дети не умеют стрелять.

Предикат
вывода («умеют стрелять») — распределен,
а в посылке он не распределен. Смысл
этого правила состоит в том, что при его
нарушении в заключении о большем круге
предметов, чем содержится в посылках.

II.
Правила посылок.

1. Из
   двух отрицательных посылок вывод
   сделать нельзя:

Все
негры — не белые.

Ни
один кусок угля — не белый.

?

Термин
«негры» и термин «кусок угля» никак не
связаны со средним термином «белый».
Все три термина находятся в отношении
несовместимости, поэтому вывод здесь
не возможен.

2.
Из двух частных посылок вывод сделать
нельзя:

Некоторые
студенты — отличники.

Некоторые
студенты — хорошие шахматисты.

?

Здесь
средний термин не распределен в обеих
посылках.

3.
Если одна из посылок отрицательная, то
и заключение должно быть отрицательным:

Все
студенты имеют зачетные книжки.

Дмитриев
— не студент.

Дмитриев
не имеет зачетной книжки.

Любая
отрицательная посылка свидетельствует
о том, что средний термин несовместим
с S
или
Р.
Отсюда
— несовместимость друг с другом большего
и меньшего терминов.

4. Если
одна из посылок частная, то и заключение
должно быть частным:

Все
десантники умеют прыгать с парашютом.

Некоторые
военнослужащие — десантники.

Некоторые
военнослужащие умеют прыгать с парашютом.

Фигуры
силлогизма и их правила

Фигуры
силлогизма
— это его формы, которые различаются
по положению среднего термина М
в
посылках. Всего фигур — четыре.

У
каждой из фигур — свои правила. I.
Первая фигура.

Все
металлы проводят электрический ток.

Медь
— металл.

Медь
проводит электрический ток.

Правила
первой фигуры: большая посылка должна
быть общей, меньшая посылка —
утвердительной.

Распространенная
ошибка: заключение делается по первой
фигуре с меньшей отрицательной посылкой.
Например.

Все
дети любят шоколад.

Петрова
— не ребенок.

Петрова
не любит шоколад.

Здесь
нарушено правило терминов: термин, не
распределенный в посылке, не может быть
распределен в заключении.

II.
Вторая фигура.

Все
приключенческие фильмы интересны.

Этот
фильм — неинтересен.

Этот
фильм — не приключенческий.

Правила
второй фигуры: большая посылка должна
быть общим суждением, а меньшая посылка
и заключение должны быть отрицательными
суждениями. Распространенная
ошибка:
заключение делается по второй фигуре
с двумя утвердительными посылками.
Например:

Все
зайцы едят морковку.

Егоров
есть морковку.

Егоров
— заяц?!

Здесь
нарушается правило терминов: средний
термин не распределен в обеих посылках.

III.Третья
фигура

Все
бамбуки цветут один раз в жизни.

Все
бамбуки — многолетние растения.

Некоторые
многолетние растения цветут один раз
в жизни. Правило
третьей фигуры: меньшая посылка должна
быть утвердительной, а заключение —
частным.

Распространенная
ошибка: заключение — общеутвердительное
суждение. Например:

Все
лисицы любят сыр.

Все
лисицы имеют длинный хвост.

Все.
кто имеет длинный хвост, любят сыр.

Ясно,
что
длинным хвостом обладают не только
лисицы.

IV.
Четвертая фигура.

Все
киты плавают.

Все
плавающие живут в воде.

Некоторые,
живущие в воде, — киты.

Четвертая
фигура не дает общеутвердительных
заключений. Эта фигура используется
редко.

Правила
четвертой
фигуры.

а) если
большая посылка является утвердительной,
то меньшая должна быть общей;

б) если
одна из посылок отрицательная, то большая
посылка должна быть общей.
Возможная
ошибка при использовании четвертой
фигуры: меньшая посылка — частная при
утвердительной большей. Например:

Все
кошки имеют усы.

Некоторые
имеющие усы пишут стихи.

Некоторые
пишущие стихи — кошки?

Модусы
категорического силлогизма

Модусы
категорического
силлогизма
— это разновидности силлогизма, которые
отличаются друг от друга количественной
и качественной характеристиками входящих
в него посылок и заключения.

В
четырех фигурах правильных модусов 19:

1-я
фигура — AAA,
ЕАЕ,
АН, ЕЮ;

2-я
фигура — А
ЕЕ,
АО
О,
ЕАЕ,
ЕЮ;

3-я
фигура — AAI.
ЕАО,
IAI,
АЛ,
ОАО,
ЕЮ;

4-я
фигура — AAL
АЕЕ,
IAI,
ЕАО,
ЕЮ.

Пример:

Все
рыбы не имеют легких.

Все
киты имеют легкие.

Ни
одна рыба — не кит.

Большая
посылка — общеутвердительное суждение
(А).
Меньшая
посылка — общеотрицательное суждение
(Е).
Заключение
— общеотрицательное суждение (Е).

Таким
образом, модус данного силлогизма —
ЕАЕ
(1-я
фигура). Определив модус и фигуры
силлогизма и соотнеся модус с таблицей
правильных модусов, мы можем быстро
определить, верен ли силлогизм.

3.
ДРУГИЕ ВИДЫ СИЛЛОГИЗМОВ Сокращенный
силлогизм

В
повседневной жизни мы часто пользуемся
силлогизмами, у которых некоторые части
выпущены. Эти силлогизмы называются
сокращенными или энтимемами (от греч.
—
«в уме»). В зависимости от того, на чем
нам необходимо сосредоточить внимание,
мы можем оставить только одну посылку
или убрать заключение.

Пример.
Если мы о ком-то говорим: «Нужно быть
непорядочным человеком, чтобы совершать
подобные поступки», — то это выражение
представляет собой силлогизм. Когда мы
этому силлогизму придадим полную форму,
он приобретет следующий вид:

Все
люди, которые совершают подобные
поступки, непорядочны.

Этот
человек совершает подобные поступки.

Следовательно,
этот человек— непорядочный.

Чтобы
восстановить энтимему в полный силлогизм,
необходимо руководствоваться следующими
правилами:

1. Найти
   заключение и так его сформулировать,
   чтобы меньший и больший термины были
   четко выражены.
   Заключение обычно идет после слов:
   «значит», «следовательно» и т.п. или же
   перед словами «потому, что», «ибо», «так
   как». Если таких слов нет, то в энтимеме
   пропущено заключение.

2. Если
   имеется заключение, а нет одной из
   посылок, то необходимо установить —
   большая или меньшая посылка присутствует.
   Предикат заключения — это больший
   термин. Субъект заключения — меньший
   термин. По тому, какой термин содержится
   в имеющейся в посылке, определяем какая
   посылка.

3. Итак,
   мы знаем, какая посылка отсутствует,
   знаем средний термин. Исходя из этого
   определяем оба термина недостающей
   посылки.

Энтимемы
широко используются в обыденной
разговорной речи, но следует быть
внимательным, ибо не всегда можно
заметить ошибку, которую ясно зафиксировать
в полном силлогизме. Например: «Он —
некультурный человек, так как не читал
роман Джойса «Улисс»». Разворачиваем
энтимему в полный силлогизм:

Все
некультурные люди не читали роман Джойса
«Улисс». Он
не читал роман Джойса « Улисс».

Он
— некультурный человек.

Из
двух отрицательных посылок заключения
не следует.

Сложный
силлогизм (полисиллогизм)

Это
два или несколько простых категорических
силлогизмов, связанных друг с другом
таким образом, что заключение одного
становится посылкой другого силлогизма
и т.д. Общая формула полисиллогизма
такова.

М—
P
Все, что укрепляет здоровье (М) — полезно
(Р).

С
— М. Физкультура (С) укретяет здоровье
(М).

С
— Р Физкультура (С) полезна (Р).

S
—
С Плавание
(S)
— это физкультура (С).

Следовательно,
S
— Р: Плавание (S)
— полезно (Р).

Всякое
научное мышление в развернутой или
скрытой форме являет собой полисиллогизм,
который следует из целой системы
умозаключений.

Сокращенный
сложный полисиллогизм называется
соритом. В сорите все промежуточные
заключения опускаются, приводится же
только последнее заключение.

Сложносокращенный
силлогизм, в котором посылками служат
энтимемы, называется эпихейремой.

Схема
эпихейремы:

Все
А
суть
С,
так
как А
суть
В.

Все
Д
суть
А.
так как Д
суть
Е.

Следовательно,
все Д
суть
С. Разделительно-категорический
силлогизм

В
разделительно-категорическом умозаключении
одна посылка является разделительным
суждением, а вторая посылка и заключение
— категорические суждения.
Разделительно-категорический силлогизм
имеет два модуса:

а) утверждающе-отрицающий:

б) отрицающе-утверждающий.
Общая
формула модуса а).

А
есть
или В,
или
С.

А
есть
В.

Следовательно,
А не есть С. Пример:

Войны
бывают или реакционные, или прогрессивные

.
Войны,
цель которых захват чужих земель, не
прогрессивны Следовательно,
захватнические войны не прогрессивны.

Общая
формула модуса б):

А
есть
или В,
или
С.

А
не
есть В.

Следовательно,
А
есть
С.
Пример:

Минеральные
удобрения бывают или азотными, или
фосфорными. Это
удобрение не азотное.

Следовательно,
это удобрение — фосфорное.

Условный
(гипотетический) силлогизм

Как
мы помним, кроме категорических суждений
есть условные и разделительные суждения.
Поэтому могут быть силлогизмы, в посылки
которых входят условные суждения,
разделительные суждения, или и те и
другие.

Схема
условного суждения: Если А
есть
В,
то
С есть Д.

Первое
суждение (Если А
есть
В)
называется
«основанием», а второе (С
есть
Д)
—
«следствием».

Если
в силлогизме обе посылки и заключение
являются условными суждениями, то он
называется условным.
Структура
условного умозаключения: Если А,
то
В.

Если
В.
то
С.

Если
А,
то
С.

Например:

Если
по проводнику пропустить электрический
ток, то вокруг проводника образуется
магнитное поле.

Если
вокруг проводника образуется магнитное
поле, то железные опилки располагаются
в этом
магнитном
поле вдоль силовых линий.

Следовательно,
если по проводнику пропустить электрический
ток, то железные опилки располагаются
в его магнитном поле вдоль силовых
линий.

Условно-категорический
силлогизм

Это
силлогизм, где одна посылка — условное
суждение, а вторая — простое категорическое.
При этом категорическая посылка обычно
состоит из тех же терминов, что основание
или следствие условной посылки.

Условно-категорический
силлогизм имеет два модуса: а) утверждающий
и б) отрицающий Схема утверждающего
модуса:

Если
есть А,
то
есть В.

А
есть.

Следовательно,
есть В.

Пример:
Если
это дерево ель, то оно не теряет на зиму
иголок.

Это
дерево ель.

Следовательно,
данное дерево не теряет на зиму иголок.

Схема
отрицающего модуса:

Если
есть А,
то
есть В.

В
нет.

Следовательно,
А
нет.

Пример:
Если
Богданов хороший лыжник, то он выполнит
норматив мастера спорта.

Богданов
не выполнил норматив мастера спорта по
лыжам.
Следовательно, Богданов не является
хорошими лыжником.

Обратим
внимание на следующий факт. В условных
силлогизмах можно делать заключение
только от утверждения основания к
утверждению следствия. И от отрицания
следствия к отрицанию основания. Нельзя
делать заключение от утверждения
следствия к утверждению основания и от
отрицания основания к отрицанию
следствия. Дело в том, что одно и то же
явление может вызываться разными
причинами. Если я отрицаю, что данная
причина вызвала к жизни то или иное
явление, то это не значит, что его не
могла произвести какая-то другая причина.
Если я утверждаю, что данное действие
произошло, то это не значит, что оно
порождено данной причиной — могло быть
множество других причин, которые его
могли породить.

Пример
1.
Попробуем
утверждать следствие:

Если
кто-нибудь читает хорошие книги, то он
расширяет свой кругозор.

Кузнецов
расширил кругозор.

Следует
ли отсюда, что Кузнецов читал хорошие
книги? Нет, ибо Кузнецов мог ходить на
лекции, беседовать с хорошими специалистами
и т.д. То есть причин расширения кругозора
много.

Пример
2. Попробуем отрицать основание:

Если
кто-нибудь читает хорошие книги, то он
расширяет свой кругозор.

Кузнецов
не читает хороших книг.

Можем
ли мы сказать, что Кузнецов не расширяет
свой кругозор? Нет, ибо верны в данном
случае соображения, приведенные в
примере 1. Разделительное
умозаключение

Разделительным
умозаключением называется
умозаключение, в котором одна или
несколько посылок — разделительные.
Существуют чисто разделительные и
разделительно-категорические
умозаключения.

Как
мы помним, общая форма разделительного
суждения такова: А
есть
или В,
или
С,
или
Д
или
Е.
Каждый
член разделительного суждения называется
альтернативой.

В
чисто разделительном силлогизме обе
посылки являются разделительными
суждениями.

Формула
чисто разделительного силлогизма:

S
есть
А,
или
В,
или
С,

А
есть
или А,,
или
А.

S
есть
или A,
или
А₂,
или
В,
или
С.

Пример:
Всякая
философская система есть или идеализм,
или материализм.

Идеалистическая
философия есть или объективный идеализм,
или субъективный идеализм.

Следовательно,
всякая философская система есть или
объективный идеализм, или субъективный
идеализм, или материализм.
Условно-разделительный
силлогизм

Условно-разделительное
умозаключение —
это умозаключение, в котором одна посылка
состоит из двух или более условных
суждений, а другая является разделительным
суждением.

В
зависимости от числа членов в разделительной
посылке это умозаключение может быть
дилеммой
(если разделительная посылка содержит
два члена), трилеммой
(если разделительная посылка содержит
три члена) и полилеммой
(число разделительных членов больше
двух).

Дилеммы
и трилеммы бывают двух видов: конструктивные
и деструктивные; обе формы дилеммы и
трилеммы могут быть простыми и сложными.

Простая
конструктивная дилемма.
Это умозаключение состоит из двух
посылок. В первой утверждается, что из
двух разных оснований вытекает одно и
то же следствие. Во второй посылке,
которая является разделительным
суждением, утверждается, что одно или
другое из этих оснований истинно.

Схема
простой конструктивной дилеммы:

Если
А
есть
В,
то
С
есть
D;
если
Е
есть
F,
то
С есть D.

А
есть
В
или
Е
есть
F.

Следовательно,
С
есть
D.

Пример:
Если
студент ходит на лекции, то он знает
логику.

Если
студент читает учебник логики, то он
знает логику.

Студент
ходит на лекции или читает учебник
логики.
Студент знает логику.

Сложная
конструктивная дилемма.
Это умозаключение, где в первой посылке
есть два основания, из которых вытекают
два следствия. Во второй посылке
(разделительном суждении) говорится об
истинности одного или другого основания.
В заключении утверждается истинность
одного или другого следствия. Отличие
сложной конструктивной дилеммы от
простой в том, что оба следствия ее
условной посылки не одинаковы, а различны.

Схема
сложной конструктивной дилеммы:

Если
А
есть
В,
то
С
есть
D:
если
Е
есть
F,
то
G
есть
Н.

Но
или А
есть
В.
или
Е
есть
F.

Следовательно,
или С
есть
D,
или
G
есть
Н.

Пример:
Рассуждение
Штирлица в романе «Семнадцать мгновений
весны» (см.: Семенов Ю. Собр. соч. в 8 т. Т.
3. — М.. 1991. — С 567-574).

Если
я вернусь в Берлин, меня может арестовать
гестапо, если я поеду в Москву, то не
выполню задание до конца.

Но
я могу направиться в Берлин или вернуться
в Москву.

Следовательно,
или меня может арестовать гестапо, или
я не выполню задание до конца.

Более
сложные ситуации выражаются логической
формой трилеммы или даже полимеммы.

Пример
сложной конструктивной трилеммы;

Во
многих русских народных сказках говорится
о камне, который лежит на перекрестке
трех дорог. На камне надпись, содержащая
в себе трилемму:

Прямо
пойдешь — жизнь потеряешь;

Налево
пойдешь — коня потеряешь;

Направо
пойдешь — в неволю попадешь.

Герой
сказки может поехать прямо, или направо,
или налево.

Следовательно,
он или жизнь потеряет, или коня потеряет,
или в неволю попадет.

Достоверность
лемматического умозаключения находится
в зависимости от правильности условных
суждений в большей посылке и от полноты
членов деления в меньшей.

Нередко
эти условия не соблюдаются, тогда
лемматическое умозаключение делается
источником ошибок.

Причина
ошибок чаще всего — неполное перечисление
членов деления. Двумя альтернативами
не всегда можно исчерпать все возможные
случаи — альтернатив может быть много
больше. Пример подобной ошибки:

Если
студент любит учение, то он не нуждается
в поощрении. Если студент чувствует
отвращение к учению, то любое поощрение
неэффективно.

Студент
может любить учение или испытывать к
нему отвращение.

Следовательно,
поощрение в деле обучения или излишне,
или бесполезно.

Ошибка
здесь в том, что кроме «любви к учению»
и «отвращения к учению» у студента может
быть и, так сказать, нейтральная позиция
— для таких студентов поощрение учения
в какой-либо форме может оказаться
действенным.

«Epagoge» redirects here. For the genus of moth, see Epagoge (genus).

«Minor premise» redirects here. For the 2020 thriller film, see Minor Premise (film).

A syllogism (Greek: συλλογισμός, syllogismos, ‘conclusion, inference’) is a kind of logical argument that applies deductive reasoning to arrive at a conclusion based on two propositions that are asserted or assumed to be true.

In its earliest form (defined by Aristotle in his 350 BC book Prior Analytics), a syllogism arises when two true premises (propositions or statements) validly imply a conclusion, or the main point that the argument aims to get across.^[1] For example, knowing that all men are mortal (major premise) and that Socrates is a man (minor premise), we may validly conclude that Socrates is mortal. Syllogistic arguments are usually represented in a three-line form:

All men are mortal.
Socrates is a man.
Therefore, Socrates is mortal.^[2]

In antiquity, two rival syllogistic theories existed: Aristotelian syllogism and Stoic syllogism.^[3] From the Middle Ages onwards, categorical syllogism and syllogism were usually used interchangeably. This article is concerned only with this historical use. The syllogism was at the core of historical deductive reasoning, whereby facts are determined by combining existing statements, in contrast to inductive reasoning in which facts are determined by repeated observations.

Within some academic contexts, syllogism has been superseded by first-order predicate logic following the work of Gottlob Frege, in particular his Begriffsschrift (Concept Script; 1879). Syllogism, being a method of valid logical reasoning, will always be useful in most circumstances and for general-audience introductions to logic and clear-thinking.^[4][5]

Early history[edit]

In antiquity, two rival syllogistic theories existed: Aristotelian syllogism and Stoic syllogism.^[3]

Aristotle[edit]

Aristotle defines the syllogism as «a discourse in which certain (specific) things having been supposed, something different from the things supposed results of necessity because these things are so.»^[6] Despite this very general definition, in Prior Analytics, Aristotle limits himself to categorical syllogisms that consist of three categorical propositions, including categorical modal syllogisms.^[7]

The use of syllogisms as a tool for understanding can be dated back to the logical reasoning discussions of Aristotle. Before the mid-12th century, medieval logicians were only familiar with a portion of Aristotle’s works, including such titles as Categories and On Interpretation, works that contributed heavily to the prevailing Old Logic, or logica vetus. The onset of a New Logic, or logica nova, arose alongside the reappearance of Prior Analytics, the work in which Aristotle developed his theory of the syllogism.

Prior Analytics, upon rediscovery, was instantly regarded by logicians as «a closed and complete body of doctrine,» leaving very little for thinkers of the day to debate and reorganize. Aristotle’s theory on the syllogism for assertoric sentences was considered especially remarkable, with only small systematic changes occurring to the concept over time. This theory of the syllogism would not enter the context of the more comprehensive logic of consequence until logic began to be reworked in general in the mid-14th century by the likes of John Buridan.

Aristotle’s Prior Analytics did not, however, incorporate such a comprehensive theory on the modal syllogism—a syllogism that has at least one modalized premise, that is, a premise containing the modal words ‘necessarily’, ‘possibly’, or ‘contingently’. Aristotle’s terminology, in this aspect of his theory, was deemed vague and in many cases unclear, even contradicting some of his statements from On Interpretation. His original assertions on this specific component of the theory were left up to a considerable amount of conversation, resulting in a wide array of solutions put forth by commentators of the day. The system for modal syllogisms laid forth by Aristotle would ultimately be deemed unfit for practical use and would be replaced by new distinctions and new theories altogether.

Medieval syllogism[edit]

Boethius[edit]

Boethius (c. 475–526) contributed an effort to make the ancient Aristotelian logic more accessible. While his Latin translation of Prior Analytics went primarily unused before the 12th century, his textbooks on the categorical syllogism were central to expanding the syllogistic discussion. Rather than in any additions that he personally made to the field, Boethius’s logical legacy lies in his effective transmission of prior theories to later logicians, as well as his clear and primarily accurate presentations of Aristotle’s contributions.

Peter Abelard[edit]

Another of medieval logic’s first contributors from the Latin West, Peter Abelard (1079–1142), gave his own thorough evaluation of the syllogism concept and accompanying theory in the Dialectica—a discussion of logic based on Boethius’s commentaries and monographs. His perspective on syllogisms can be found in other works as well, such as Logica Ingredientibus. With the help of Abelard’s distinction between de dicto modal sentences and de re modal sentences, medieval logicians began to shape a more coherent concept of Aristotle’s modal syllogism model.

Jean Buridan[edit]

The French philosopher Jean Buridan (c. 1300 – 1361), whom some consider the foremost logician of the later Middle Ages, contributed two significant works: Treatise on Consequence and Summulae de Dialectica, in which he discussed the concept of the syllogism, its components and distinctions, and ways to use the tool to expand its logical capability. For 200 years after Buridan’s discussions, little was said about syllogistic logic. Historians of logic have assessed that the primary changes in the post-Middle Age era were changes in respect to the public’s awareness of original sources, a lessening of appreciation for the logic’s sophistication and complexity, and an increase in logical ignorance—so that logicians of the early 20th century came to view the whole system as ridiculous.^[8]

Modern history[edit]

The Aristotelian syllogism dominated Western philosophical thought for many centuries. Syllogism itself is about drawing valid conclusions from assumptions (axioms), rather than about verifying the assumptions. However, people over time focused on the logic aspect, forgetting the importance of verifying the assumptions.

In the 17th century, Francis Bacon emphasized that experimental verification of axioms must be carried out rigorously, and cannot take syllogism itself as the best way to draw conclusions in nature.^[9] Bacon proposed a more inductive approach to the observation of nature, which involves experimentation and leads to discovering and building on axioms to create a more general conclusion.^[9] Yet, a full method of drawing conclusions in nature is not the scope of logic or syllogism, and the inductive method was covered in Aristotle’s subsequent treatise, the Posterior Analytics.

In the 19th century, modifications to syllogism were incorporated to deal with disjunctive («A or B») and conditional («if A then B») statements. Immanuel Kant famously claimed, in Logic (1800), that logic was the one completed science, and that Aristotelian logic more or less included everything about logic that there was to know. (This work is not necessarily representative of Kant’s mature philosophy, which is often regarded as an innovation to logic itself.) Although there were alternative systems of logic elsewhere, such as Avicennian logic or Indian logic, Kant’s opinion stood unchallenged in the West until 1879, when Gottlob Frege published his Begriffsschrift (Concept Script). This introduced a calculus, a method of representing categorical statements (and statements that are not provided for in syllogism as well) by the use of quantifiers and variables.

A noteworthy exception is the logic developed in Bernard Bolzano’s work Wissenschaftslehre (Theory of Science, 1837), the principles of which were applied as a direct critique of Kant, in the posthumously published work New Anti-Kant (1850). The work of Bolzano had been largely overlooked until the late 20th century, among other reasons, because of the intellectual environment at the time in Bohemia, which was then part of the Austrian Empire. In the last 20 years, Bolzano’s work has resurfaced and become subject of both translation and contemporary study.

This led to the rapid development of sentential logic and first-order predicate logic, subsuming syllogistic reasoning, which was, therefore, after 2000 years, suddenly considered obsolete by many.^{[original research?]} The Aristotelian system is explicated in modern fora of academia primarily in introductory material and historical study.

One notable exception to this modern relegation is the continued application of Aristotelian logic by officials of the Congregation for the Doctrine of the Faith, and the Apostolic Tribunal of the Roman Rota, which still requires that any arguments crafted by Advocates be presented in syllogistic format.

Boole’s acceptance of Aristotle[edit]

George Boole’s unwavering acceptance of Aristotle’s logic is emphasized by the historian of logic John Corcoran in an accessible introduction to Laws of Thought.^[10][11] Corcoran also wrote a point-by-point comparison of Prior Analytics and Laws of Thought.^[12] According to Corcoran, Boole fully accepted and endorsed Aristotle’s logic. Boole’s goals were «to go under, over, and beyond» Aristotle’s logic by:^[12]

1. providing it with mathematical foundations involving equations;
2. extending the class of problems it could treat, as solving equations was added to assessing validity; and
3. expanding the range of applications it could handle, such as expanding propositions of only two terms to those having arbitrarily many.

More specifically, Boole agreed with what Aristotle said; Boole’s ‘disagreements’, if they might be called that, concern what Aristotle did not say. First, in the realm of foundations, Boole reduced Aristotle’s four propositional forms to one form, the form of equations, which by itself was a revolutionary idea. Second, in the realm of logic’s problems, Boole’s addition of equation solving to logic—another revolutionary idea—involved Boole’s doctrine that Aristotle’s rules of inference (the «perfect syllogisms») must be supplemented by rules for equation solving. Third, in the realm of applications, Boole’s system could handle multi-term propositions and arguments, whereas Aristotle could handle only two-termed subject-predicate propositions and arguments. For example, Aristotle’s system could not deduce: «No quadrangle that is a square is a rectangle that is a rhombus» from «No square that is a quadrangle is a rhombus that is a rectangle» or from «No rhombus that is a rectangle is a square that is a quadrangle.»

Basic structure[edit]

A categorical syllogism consists of three parts:

1. Major premise
2. Minor premise
3. Conclusion

Each part is a categorical proposition, and each categorical proposition contains two categorical terms.^[13] In Aristotle, each of the premises is in the form «All A are B,» «Some A are B», «No A are B» or «Some A are not B», where «A» is one term and «B» is another:

• «All A are B,» and «No A are B» are termed universal propositions;
• «Some A are B» and «Some A are not B» are termed particular propositions.

More modern logicians allow some variation. Each of the premises has one term in common with the conclusion: in a major premise, this is the major term (i.e., the predicate of the conclusion); in a minor premise, this is the minor term (i.e., the subject of the conclusion). For example:

Major premise: All humans are mortal.

Minor premise: All Greeks are humans.

Conclusion: All Greeks are mortal.

Each of the three distinct terms represents a category. From the example above, humans, mortal, and Greeks: mortal is the major term, and Greeks the minor term. The premises also have one term in common with each other, which is known as the middle term; in this example, humans. Both of the premises are universal, as is the conclusion.

Major premise: All mortals die.

Minor premise: All men are mortals.

Conclusion: All men die.

Here, the major term is die, the minor term is men, and the middle term is mortals. Again, both premises are universal, hence so is the conclusion.

Polysyllogism[edit]

A polysyllogism, or a sorites, is a form of argument in which a series of incomplete syllogisms is so arranged that the predicate of each premise forms the subject of the next until the subject of the first is joined with the predicate of the last in the conclusion. For example, one might argue that all lions are big cats, all big cats are predators, and all predators are carnivores. To conclude that therefore all lions are carnivores is to construct a sorites argument.

Types[edit]

There are infinitely many possible syllogisms, but only 256 logically distinct types and only 24 valid types (enumerated below). A syllogism takes the form (note: M – Middle, S – subject, P – predicate.):

Major premise: All M are P.

Minor premise: All S are M.

Conclusion: All S are P.

The premises and conclusion of a syllogism can be any of four types, which are labeled by letters^[14] as follows. The meaning of the letters is given by the table:

code	quantifier	subject	copula	predicate	type	example
A	All	S	are	P	universal affirmative	All humans are mortal.
E	No	S	are	P	universal negative	No humans are perfect.
I	Some	S	are	P	particular affirmative	Some humans are healthy.
O	Some	S	are not	P	particular negative	Some humans are not clever.

In Prior Analytics, Aristotle uses mostly the letters A, B, and C (Greek letters alpha, beta, and gamma) as term place holders, rather than giving concrete examples. It is traditional to use is rather than are as the copula, hence All A is B rather than All As are Bs. It is traditional and convenient practice to use a, e, i, o as infix operators so the categorical statements can be written succinctly. The following table shows the longer form, the succinct shorthand, and equivalent expressions in predicate logic:

Form	Shorthand	Predicate logic
All A is B	AaB	or
No A is B	AeB	or
Some A is B	AiB
Some A is not B	AoB

The convention here is that the letter S is the subject of the conclusion, P is the predicate of the conclusion, and M is the middle term. The major premise links M with P and the minor premise links M with S. However, the middle term can be either the subject or the predicate of each premise where it appears. The differing positions of the major, minor, and middle terms gives rise to another classification of syllogisms known as the figure. Given that in each case the conclusion is S-P, the four figures are:

	Figure 1	Figure 2	Figure 3	Figure 4
Major premise	M–P	P–M	M–P	P–M
Minor premise	S–M	S–M	M–S	M–S

(Note, however, that, following Aristotle’s treatment of the figures, some logicians—e.g., Peter Abelard and Jean Buridan—reject the fourth figure as a figure distinct from the first.)

Putting it all together, there are 256 possible types of syllogisms (or 512 if the order of the major and minor premises is changed, though this makes no difference logically). Each premise and the conclusion can be of type A, E, I or O, and the syllogism can be any of the four figures. A syllogism can be described briefly by giving the letters for the premises and conclusion followed by the number for the figure. For example, the syllogism BARBARA below is AAA-1, or «A-A-A in the first figure».

The vast majority of the 256 possible forms of syllogism are invalid (the conclusion does not follow logically from the premises). The table below shows the valid forms. Even some of these are sometimes considered to commit the existential fallacy, meaning they are invalid if they mention an empty category. These controversial patterns are marked in italics. All but four of the patterns in italics (felapton, darapti, fesapo and bamalip) are weakened moods, i.e. it is possible to draw a stronger conclusion from the premises.

Figure 1	Figure 2	Figure 3	Figure 4
Barbara	Cesare	Datisi	Calemes
Celarent	Camestres	Disamis	Dimatis
Darii	Festino	Ferison	Fresison
Ferio	Baroco	Bocardo	Calemos
Barbari	Cesaro	Felapton	Fesapo
Celaront	Camestros	Darapti	Bamalip

Fig. 1, treble clef. «A syllogism’s letters can be best represented in music— take E, for example.» -Marilyn Damord^{[citation needed]}

The letters A, E, I, and O have been used since the medieval Schools to form mnemonic names for the forms as follows: ‘Barbara’ stands for AAA, ‘Celarent’ for EAE, etc.

Next to each premise and conclusion is a shorthand description of the sentence. So in AAI-3, the premise «All squares are rectangles» becomes «MaP»; the symbols mean that the first term («square») is the middle term, the second term («rectangle») is the predicate of the conclusion, and the relationship between the two terms is labeled «a» (All M are P).

The following table shows all syllogisms that are essentially different. The similar syllogisms share the same premises, just written in a different way. For example «Some pets are kittens» (SiM in Darii) could also be written as «Some kittens are pets» (MiS in Datisi).

In the Venn diagrams, the black areas indicate no elements, and the red areas indicate at least one element. In the predicate logic expressions, a horizontal bar over an expression means to negate («logical not») the result of that expression.

It is also possible to use graphs (consisting of vertices and edges) to evaluate syllogisms.^[15]

Examples[edit]

Barbara (AAA-1)[edit]

   All men are mortal. (MaP)

   All Greeks are men. (SaM)

∴ All Greeks are mortal. (SaP)

Celarent (EAE-1)[edit]

Similar: Cesare (EAE-2)

   No reptile has fur. (MeP)

   All snakes are reptiles. (SaM)

∴ No snake has fur. (SeP)

Camestres (AEE-2)
M: reptile S: fur      P: snake Camestres is essentially like Celarent with S and P exchanged. Similar: Calemes (AEE-4)    All snakes are reptiles. (PaM)    No fur bearing animal is a reptile. (SeM) ∴ No fur bearing animal is a snake. (SeP)

Darii (AII-1)[edit]

Similar: Datisi (AII-3)

   All rabbits have fur. (MaP)

   Some pets are rabbits. (SiM)

∴ Some pets have fur. (SiP)

Disamis (IAI-3)
M: rabbit S: fur      P: pet Disamis is essentially like Darii with S and P exchanged. Similar: Dimatis (IAI-4)    Some rabbits are pets. (MiP)    All rabbits have fur. (MaP) ∴ Some fur bearing animals are pets. (SiP)

Ferio (EIO-1)[edit]

Similar: Festino (EIO-2), Ferison (EIO-3), Fresison (EIO-4)

   No homework is fun. (MeP)

   Some reading is homework. (SiM)

∴ Some reading is not fun. (SoP)

Baroco (AOO-2)[edit]

   All cats are mammals. (SaM)

   Some pets are not mammals. (SoM)

∴ Some pets are not cats. (SoP)

Bocardo (OAO-3)[edit]

   Some cats are not pets. (MoP)

   All cats are mammals. (MaS)

∴ Some mammals are not pets. (SoP)

---

Barbari (AAI-1)[edit]

   All men are mortal. (MaP)

   All Greeks are men. (SaM)

∴ Some Greeks are mortal. (SiP)

Bamalip (AAI-4)
M: man S: mortal      P: Greek Bamalip is exactly like Barbari with S and P exchanged:    All Greeks are men. (PaM)    All men are mortals. (MaS) ∴ Some mortals are Greek. (SiP)

Celaront (EAO-1)[edit]

Similar: Cesaro (EAO-2)

   No reptiles have fur. (MeP)

   All snakes are reptiles. (SaM)

∴ Some snakes have no fur. (SoP)

Camestros (AEO-2)[edit]

Similar: Calemos (AEO-4)

   All horses have hooves. (PaM)

   No humans have hooves. (SeM)

∴ All humans are not horses. (SoP)

Felapton (EAO-3)[edit]

Similar: Fesapo (EAO-4)

   No flowers are animals. (MeP)

   All flowers are plants. (MaS)

∴ Some plants are not animals. (SoP)

Darapti (AAI-3)[edit]

   All squares are rectangles. (MaP)

   All squares are rhombuses. (MaS)

∴ Some rhombuses are rectangles. (SiP)

Table of all syllogisms[edit]

This table shows all 24 valid syllogisms, represented by Venn diagrams. Columns indicate similarity, and are grouped by combinations of premises. Borders correspond to conclusions. Those with an existential assumption are dashed.

figure	A ∧ A	A ∧ E	A ∧ I	A ∧ O	E ∧ I
1	Barbara	Barbari			Celarent	Celaront	Darii				Ferio
2			Camestres	Camestros	Cesare	Cesaro			Baroco		Festino
3		Darapti				Felapton	Datisi	Disamis		Bocardo	Ferison
4		Bamalip	Calemes	Calemos		Fesapo		Dimatis			Fresison

Terms in syllogism[edit]

With Aristotle, we may distinguish singular terms, such as Socrates, and general terms, such as Greeks. Aristotle further distinguished types (a) and (b):

Such a predication is known as a distributive, as opposed to non-distributive as in Greeks are numerous. It is clear that Aristotle’s syllogism works only for distributive predication, since we cannot reason All Greeks are animals, animals are numerous, therefore all Greeks are numerous. In Aristotle’s view singular terms were of type (a), and general terms of type (b). Thus, Men can be predicated of Socrates but Socrates cannot be predicated of anything. Therefore, for a term to be interchangeable—to be either in the subject or predicate position of a proposition in a syllogism—the terms must be general terms, or categorical terms as they came to be called. Consequently, the propositions of a syllogism should be categorical propositions (both terms general) and syllogisms that employ only categorical terms came to be called categorical syllogisms.

It is clear that nothing would prevent a singular term occurring in a syllogism—so long as it was always in the subject position—however, such a syllogism, even if valid, is not a categorical syllogism. An example is Socrates is a man, all men are mortal, therefore Socrates is mortal. Intuitively this is as valid as All Greeks are men, all men are mortal therefore all Greeks are mortals. To argue that its validity can be explained by the theory of syllogism would require that we show that Socrates is a man is the equivalent of a categorical proposition. It can be argued Socrates is a man is equivalent to All that are identical to Socrates are men, so our non-categorical syllogism can be justified by use of the equivalence above and then citing BARBARA.

Existential import[edit]

If a statement includes a term such that the statement is false if the term has no instances, then the statement is said to have existential import with respect to that term. It is ambiguous whether or not a universal statement of the form All A is B is to be considered as true, false, or even meaningless if there are no As. If it is considered as false in such cases, then the statement All A is B has existential import with respect to A.

It is claimed Aristotle’s logic system does not cover cases where there are no instances.
Aristotle’s goal was to develop «a companion-logic for science.
He relegates fictions, such as mermaids and unicorns, to
the realms of poetry and literature. In his mind, they exist outside the
ambit of science, which is why he leaves no room for such non-existent
entities in his logic. This is a thoughtful choice, not an inadvertent
omission. Technically, Aristotelian science is a search for definitions,
where a definition is ‘a phrase signifying a thing’s essence.’…
Because non-existent entities cannot be anything, they do not, in
Aristotle’s mind, possess an essence… This is why he leaves
no place for fictional entities like goat-stags (or unicorns).»
^[16]

However, many logic systems developed since do consider the case where there may be no instances. Medieval logicians were aware of the problem of existential import and maintained that negative propositions do not carry existential import, and that positive propositions with subjects that do not supposit are false.

The following problems arise:

For example, if it is accepted that AiB is false if there are no As and AaB entails AiB, then AiB has existential import with respect to A, and so does AaB. Further, if it is accepted that AiB entails BiA, then AiB and AaB have existential import with respect to B as well. Similarly, if AoB is false if there are no As, and AeB entails AoB, and AeB entails BeA (which in turn entails BoA) then both AeB and AoB have existential import with respect to both A and B. It follows immediately that all universal categorical statements have existential import with respect to both terms. If AaB and AeB is a fair representation of the use of statements in normal natural language of All A is B and No A is B respectively, then the following example consequences arise:

«All flying horses are mythical» is false if there are no flying horses.

If «No men are fire-eating rabbits» is true, then «There are fire-eating rabbits» is true; and so on.

If it is ruled that no universal statement has existential import then the square of opposition fails in several respects (e.g. AaB does not entail AiB) and a number of syllogisms are no longer valid (e.g. BaC,AaB->AiC).

These problems and paradoxes arise in both natural language statements and statements in syllogism form because of ambiguity, in particular ambiguity with respect to All. If «Fred claims all his books were Pulitzer Prize winners», is Fred claiming that he wrote any books? If not, then is what he claims true? Suppose Jane says none of her friends are poor; is that true if she has no friends?

The first-order predicate calculus avoids such ambiguity by using formulae that carry no existential import with respect to universal statements. Existential claims must be explicitly stated. Thus, natural language statements—of the forms All A is B, No A is B, Some A is B, and Some A is not B—can be represented in first order predicate calculus in which any existential import with respect to terms A and/or B is either explicit or not made at all. Consequently, the four forms AaB, AeB, AiB, and AoB can be represented in first order predicate in every combination of existential import—so it can establish which construal, if any, preserves the square of opposition and the validity of the traditionally valid syllogism. Strawson claims such a construal is possible, but the results are such that, in his view, the answer to question (e) above is no.

Syllogistic fallacies[edit]

People often make mistakes when reasoning syllogistically.^[17]

For instance, from the premises some A are B, some B are C, people tend to come to a definitive conclusion that therefore some A are C.^[18][19] However, this does not follow according to the rules of classical logic. For instance, while some cats (A) are black things (B), and some black things (B) are televisions (C), it does not follow from the parameters that some cats (A) are televisions (C). This is because in the structure of the syllogism invoked (i.e. III-1) the middle term is not distributed in either the major premise or in the minor premise, a pattern called the «fallacy of the undistributed middle». Because of this, it can be hard to follow formal logic, and a closer eye is needed in order to ensure that an argument is, in fact, valid.^[20]

Determining the validity of a syllogism involves determining the distribution of each term in each statement, meaning whether all members of that term are accounted for.

In simple syllogistic patterns, the fallacies of invalid patterns are:

• Undistributed middle: Neither of the premises accounts for all members of the middle term, which consequently fails to link the major and minor term.
• Illicit treatment of the major term: The conclusion implicates all members of the major term (P – meaning the proposition is negative); however, the major premise does not account for them all (i.e., P is either an affirmative predicate or a particular subject there).
• Illicit treatment of the minor term: Same as above, but for the minor term (S – meaning the proposition is universal) and minor premise (where S is either a particular subject or an affirmative predicate).
• Exclusive premises: Both premises are negative, meaning no link is established between the major and minor terms.
• Affirmative conclusion from a negative premise: If either premise is negative, the conclusion must also be.
• Negative conclusion from affirmative premises: If both premises are affirmative, the conclusion must also be.

Other types of syllogism[edit]

• Disjunctive syllogism
• Hypothetical syllogism
• Legal syllogism
• Polysyllogism
• Prosleptic syllogism
• Quasi-syllogism
• Statistical syllogism

See also[edit]

• Syllogistic fallacy
• Argumentation theory
• Buddhist logic
• Enthymeme
• Formal fallacy
• Logical fallacy
• The False Subtlety of the Four Syllogistic Figures
• Tautology (logic)
• Venn diagram

References[edit]

Sources[edit]

• Aristotle, [c. 350 BCE] 1989. Prior Analytics, translated by R. Smith. Hackett. ISBN 0-87220-064-7
• Blackburn, Simon. [1994] 1996. «Syllogism.» In The Oxford Dictionary of Philosophy. Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8.
• Broadie, Alexander. 1993. Introduction to Medieval Logic. Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0.
• Copi, Irving. 1969. Introduction to Logic (3rd ed.). Macmillan Company.
• Corcoran, John. 1972. «Completeness of an ancient logic.» Journal of Symbolic Logic 37:696–702.
• — 1994. «The founding of logic: Modern interpretations of Aristotle’s logic.» Ancient Philosophy 14:9–24.
• Corcoran, John, and Hassan Masoud. 2015. «Existential Import Today: New Metatheorems; Historical, Philosophical, and Pedagogical Misconceptions.» History and Philosophy of Logic 36(1):39–61.
• Englebretsen, George. 1987. The New Syllogistic. Bern: Peter Lang.
• Hamblin, Charles Leonard. 1970. Fallacies. London: Methuen. ISBN 0-416-70070-5.
  • Cf. on validity of syllogisms: «A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.»
• Łukasiewicz, Jan. [1957] 1987. Aristotle’s Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic. New York: Garland Publishers. ISBN 0-8240-6924-2. OCLC 15015545.
• Malink, Marko. 2013. Aristotle’s Modal Syllogistic. Cambridge, MA: Harvard University Press.
• Patzig, Günter. 1968. Aristotle’s theory of the syllogism: a logico-philological study of Book A of the Prior Analytics. Dordrecht: Reidel.
• Rescher, Nicholas. 1966. Galen and the Syllogism. University of Pittsburgh Press. ISBN 978-0822983958.
• Smiley, Timothy. 1973. «What is a syllogism?» Journal of Philosophical Logic 2:136–54.
• Smith, Robin. 1986. «Immediate propositions and Aristotle’s proof theory.» Ancient Philosophy 6:47–68.
• Thom, Paul. 1981. «The Syllogism.» Philosophia. München. ISBN 3-88405-002-8.

External links[edit]

• Smith, Robin. «Aristotle’s Logic». In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Koutsoukou-Argyraki, Angeliki. Aristotle’s Assertoric Syllogistic (Formal proof development in Isabelle/HOL, Archive of Formal Proofs)
• Lagerlund, Henrik. «Medieval Theories of the Syllogism». In Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Encyclopedia of Philosophy.
• Aristotle’s Prior Analytics: the Theory of Categorical Syllogism an annotated bibliography on Aristotle’s syllogistic
• Fuzzy Syllogistic System
• Development of Fuzzy Syllogistic Algorithms and Applications Distributed Reasoning Approaches
• Comparison between the Aristotelian Syllogism and the Indian/Tibetan Syllogism
• The Buddhist Philosophy of Universal Flux (Chapter XXIII – Members of a Syllogism (avayava))
• Online Syllogistic Machine An interactive syllogistic machine for exploring all the fallacies, figures, terms, and modes of syllogisms.

§ 3. ПРОСТОЙ КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ

1. Состав простого категорического силлогизма

Широко распространенным видом опосредованных умозаключений является категорический силлогизм[32]. Он состоит из трех категорических суждений, два из которых являются посылками, а третье — заключением. Например:

1. Обвиняемый (М) имеет право на защиту (Р).

2. Бобров (S) — обвиняемый (М).

____________________

3. Бобров (S) имеет право на защиту (Р).

В отличие от терминов суждения — субъекта (S) и предиката (Р) — понятия, входящие в состав силлогизма, называются терминами силлогизма. Различают меньший, больший и средний термины.

Меньшим термином силлогизма называется понятие, которое в заключении является субъектом (в нашем примере понятие «Бобров»). Б?льшим термином силлогизма называется понятие, которое в заключении является предикатом («имеет право на защиту»). Меньший и больший термины называются крайними и обозначаются соответственно латинскими буквами S (меньший термин) и Р (больший термин).

Каждый из крайних терминов входит не только в заключение, но и в одну из посылок. Посылка, в которую входит меньший термин, называется меньшей посылкой, посылка в которую входит больший термин, называется большей посылкой. В нашем примере большей посылкой будет первое суждение (1), меньшей — второе суждение (2).

Для удобства анализа силлогизма посылки принято располагать в определенной последовательности: б?льшую — на первом месте, меньшую — на втором. Под чертой записывают заключение.

Однако в рассуждении меньшая посылка может находиться на первом месте, а б?льшая — на втором. Иногда посылки стоят после заключения.

Посылки различаются не их местом в силлогизме, а входящими в них терминами.

Вывод в силлогизме был бы невозможен, если бы в нем не было среднего термина. Средним термином силлогизма называется понятие, входящее в обе посылки и отсутствующее в заключении (в нашем примере — «обвиняемый»). Средний термин обозначается латинской буквой М (от латинского medius — «средний»).

Средний термин связывает два крайних термина. Отношение крайних терминов (субъекта и предиката) устанавливается благодаря их отношению к среднему термину.

Итак, простой категорический силлогизм — это умозаключение об отношении двух крайних терминов на основании их отношения к среднему термину.

2. Аксиома силлогизма

Правомерность вывода, т. е. логического перехода от посылок к заключению, в категорическом силлогизме основывается на положении (аксиоме силлогизма): все, что утверждается или отрицается относительно всех предметов некоторого класса, утверждается или отрицается относительно каждого предмета и любой части предметов этого класса[33].

В приведенном примере — все, что утверждается относительно всех обвиняемых, утверждается и относительно конкретного обвиняемого (см. в круговых схему 31).

Рассмотрим силлогизм:

Обвиняемый (М) не обязан доказывать свою невиновность (Р).

Куницын (S) — обвиняемый (М).

__________________

Куницын (S) не обязан доказывать свою невиновность (Р).

В этом силлогизме все, что отрицается относительно каждого обвиняемого, отрицается и относительно конкретного лица (схема 32).

Схема 31

Схема 32

Вопросы для самопроверки

1. Какое умозаключение называется простым категорическим силлогизмом? Приведите его определение.

2. Какие термины входят в состав категорического силлогизма? Какая посылка называется большей и какая — меньшей?

3. Какая аксиома обосновывает вывод в категорическом силлогизме? Как она формулируется?

3. Общие правила категорического силлогизма

Из истинных посылок не всегда можно получить истинное заключение. Его истинность обусловлена правилами силлогизма. Этих правил пять: три относятся к терминам и два — к посылкам.

Правила терминов.

1-е правило: в силлогизме должно быть только три термина. Вывод в силлогизме основан на отношении двух крайних терминов к среднему, поэтому в нем не может быть ни меньше, ни больше трех терминов. Нарушение этого правила связано с отождествлением разных понятий, которые принимаются за одно и рассматриваются как средний термин. Эта ошибка основана на нарушении требований закона тождества и называется учетверением терминов.

Нельзя, например, получить заключение из посылок: «Законы не создаются людьми» и «Закон — это нормативный акт, принятый высшим органом государственной власти», так как вместо трех терминов мы имеем дело с четырьмя: в первой посылке имеются в виду объективные законы, существующие независимо от людей, во второй — юридический закон, устанавливаемый государством. Это два разных понятия, которые не могут связать крайние термины.

2-е правило: средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок[34]. Если средний термин не распределен ни в одной из посылок, то связь между крайними терминами остается неопределенной.

Например, в посылках «Некоторые юристы (М—) — члены коллегии адвокатов (Р)», «Все сотрудники нашего коллектива (S) — юристы (М—)» средний термин (М) не распределен в большей посылке, так как является субъектом частного суждения, и не распределен в меньшей посылке как предикат утвердительного суждения. Следовательно, средний термин не распределен ни в одной из посылок, поэтому необходимую связь между крайними терминами (S и Р) установить нельзя, что видно из схемы 33, на которой изображены три возможных случая: 1) «Ни один сотрудник нашего коллектива не является членом коллегии адвокатов» (S₁); 2) «Некоторые сотрудники нашего коллектива — члены коллегии адвокатов» (S₂); 3) «Все сотрудники нашего коллектива члены коллегии адвокатов» (S₃).

Схема 33

3-е правило: термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен и в заключении.

Например:

Нравственные нормы (М) не санкционируются государством (Р+).

Нравственные нормы (М) — формы социальной регуляции (S—).

_____________________

Некоторые формы социальной регуляции (S—) не санкционируются государством (Р+).

Меньший термин (S) не распределен в посылке (как предикат утвердительного суждения), поэтому он не распределен и в заключении (как субъект частного суждения). Делать вывод с распределенным субъектом в форме общего суждения («Ни одна форма социальной регуляции не санкционируется государством») это правило запрещает.

Ошибка, связанная с нарушением правила распределенности крайних терминов, называется незаконным расширением меньшего (или большего) термина.

Правила посылок.

1-е правило: хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением.

Из этого правила следует:

а) Из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не следует.

Например, из посылок «Студенты нашего института (М) не изучают биологию (Р)», «Сотрудники НИИ (S) не являются студентами нашего института (М)» нельзя получить необходимого заключения, так как оба крайних термина (S и Р) исключаются из среднего. Поэтому средний термин не может установить определенного отношения между крайними терминами. В заключении меньший термин (М) может полностью или частично входить в объем большего термина (Р) или полностью исключаться из него. В соответствии с этим возможны три случая: 1) «Ни один сотрудник НИИ не изучает биологию (S₁); 2) «Некоторые сотрудники НИИ изучают биологию» (S₂); 3) «Все сотрудники НИИ изучают биологию» (S₃) (схема 34).

Схема 34

Схема 35

б) Если одна из посылок — отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным.

Например:

Судья, являющийся родственником потерпевшего (М), не может участвовать в рассмотрении дела (Р).

Судья К. — родственник потерпевшего (М).

____________________

Судья К. (S) не может участвовать в рассмотрении дела (Р).

Этот пример показывает, что в силлогизме с одной отрицательной посылкой средний термин исключается из объема крайнего термина (в данном случае — большего), поэтому объем крайнего термина, который входит в объем среднего, исключается из объема другого крайнего термина (схема 35).

2-е правило: хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением.

Из правила следует:

а) Из двух частных посылок заключение с необходимостью не следует.

Если обе посылки — частноугвердительные суждения (II), то вывод сделать нельзя согласно 2-му правилу терминов: в частноутвердительном суждении ни субъект, ни предикат не распределены, поэтому и средний термин не распределен ни в одной из посылок.

Если обе посылки — частноотрицательные суждения (ОО), то вывод сделать нельзя согласно 1-му правилу посылок.

Если одна посылка — частноугвердительная, а другая — частноотрицательная (IO или OI), то в таком силлогизме распределенным будет только один термин — предикат частноотрицательного суждения (1). Если этим термином будет средний, то вывода сделать нельзя, так, согласно 2-му правилу посылок, заключение должно быть отрицательным. Но в этом случае предикат заключения должен быть распределен, что противоречит 3-му правилу терминов: больший термин, не распределенный в посылке, окажется распределенным в заключении; если же больший термин распределен (2), то вывода не следует согласно 2-му правилу терминов.

1) Некоторые М(—) есть Р(-).

Некоторые S(-) не есть М(+).

2) Некоторые М(-) не есть Р(+).

Некоторые S(-) есть М(-).

Ни один из этих случаев не дает необходимых заключений, в чем легко убедиться, подобрав соответствующие примеры.

б) Если одна из посылок — частное суждение, то и заключение должно быть частным.

Если одна посылка общеугвердительная, а другая — частноутвердительная (AI, IA), то в них распределен только один термин — субъект общеугвердительного суждения.

Согласно 2-му правилу терминов, это должен быть средний термин. Но в таком случае два крайних термина, в том числе меньший, не будут распределены. Поэтому в соответствии с 3-м правилом терминов меньший термин не будет распределен в заключении, которое будет частным суждением. Например:

Все студенты нашего института (М+) изучают логику (Р—).

Некоторые сотрудники милиции (S—) — студенты нашего института (М—).

_________________________

Некоторые сотрудники милиции (S—) изучают логику (Р—).

Если одна из посылок утвердительная, а другая — отрицательная, причем одна из них частная (EI, АО, ОА), то распределенными окажутся два термина: субъект и предикат общеотрицательного суждения (EI) или субъект общего и предикат частного суждения (АО, ОА). Но в том и другом случае, согласно 2-му правилу посылок, заключение будет отрицательным, т. е. суждением с распределенным предикатом. Атак как вторым распределенным термином должен быть средний (2-е правило терминов), то меньший термин в заключении окажется нераспределенным, т. е. заключение будет частным. Например:

Все врачи (Р+) имеют медицинское образование (М—).

Некоторые из присутствующих (S—) не имеют медицинского образования (М+).

_____________________

Некоторые из присутствующих (S—) не врачи (Р+).

Вопросы для самопроверки

1. Назовите правила терминов и посылок простого категорического силлогизма.

2. К каким логическим ошибкам ведет нарушение правил?

4. Фигуры категорического силлогизма. Правила фигур

В посылках простого категорического силлогизма средний термин может занимать место субъекта или предиката. В зависимости от этого различают четыре разновидности силлогизма, которые называют фигурами (схема 36).

Схема 36

В первой фигуре средний термин занимает место субъекта в большей и место предиката в меньшей посылках.

Во второй фигуре — место предиката в обеих посылках.

В третьей фигуре — место субъекта в обеих посылках.

В четвертой фигуре — место предиката в большей и место субъекта в меньшей посылках.

Эти фигуры исчерпывают все возможные комбинации терминов.

Фигуры силлогизма — это его разновидности, различающиеся положением среднего термина в посылках.

Каждая фигура имеет свои особые правила, которые выводятся из общих.

Правила 1-й фигуры:

1. Б?льшая посылка — общее суждение.

2. Меньшая посылка — утвердительное суждение.

Докажем сначала 2-е правило. Если меньшая посылка будет отрицательным суждением, то согласно 2-му правилу посылок заключение также будет отрицательным, в котором Р распределен. Но тогда он будет распределен и в большей посылке, которая также должна быть отрицательным суждением (в утвердительном суждении Р не распределен), а это противоречит 1-му правилу посылок. Если же большая посылка будет утвердительным суждением, то Р будет не распределен.

Но тогда он не будет распределен и в заключении (согласно 3-му правилу терминов). Заключение с нераспределенным Р может быть только утвердительным суждением, так как в отрицательном суждении Р распределен. А это значит, что и меньшая посылка — утвердительное суждение, так как в противном случае заключение будет отрицательным.

Теперь докажем 1-е правило. Так как средний термин в этой фигуре занимает место субъекта в большей и место предиката в меньшей посылке, то, согласно 2-му правилу терминов, он должен быть распределен хотя бы в одной из посылок. Но меньшая посылка — утвердительное суждение. Значит, средний термин в ней не распределен. Но в таком случае он должен быть распределен в большей посылке, а для этого она должна быть общим суждением (в частной посылке субъект не распределен).

1-я фигура дает любые заключения: общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные, что определяет ее познавательное значение и широкое применение в рассуждениях.

1-я фигура — наиболее типичная форма дедуктивного умозаключения. Из общего положения, выражающего нередко закон науки, правовую норму, делается вывод об отдельном факте, единичном случае, конкретном лице. Широко применяется эта фигура в судебной практике. Юридическая оценка (квалификация) правовых явлений, применение нормы права к отдельному случаю, назначение наказания за преступление, совершенное конкретным лицом, и другие судебные решения принимают логическую форму 1-й фигуры силлогизма.

Например:

Все лица, лишенные свободы (М), имеют право на гуманное обращение и уважение достоинства, присущего человеческой личности (Р)[35].

Н. (S) лишен свободы (М).

______________________

Н. (S) имеет право на гуманное обращение и уважение достоинства, присущего человеческой личности (Р).

Правила 2-й фигуры:

1. Б?льшая посылка — общее суждение.

2. Одна из посылок — отрицательное суждение.

Второе правило фигуры выводится из 2-го правила терминов (средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок). Но так как средний термин занимает место предиката в обеих посылках, то одна из них должна быть отрицательным суждением с распределенным предикатом.

Если одна из посылок—отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным (суждение с распределенным предикатом). Но в этом случае предикат заключения (больший термин) должен быть распределен и в большей посылке, где он занимает место субъекта суждения. Такой посылкой должно быть общее суждение, в котором субъект распределен. Значит, большая посылка должна быть общим суждением.

2-я фигура применяется, когда необходимо показать, что отдельный случай (конкретное лицо, факт, явление) не может быть подведен под общее положение. Этот случай исключается из числа предметов, о которых сказано в большей посылке. В судебной практике 2-я фигура используется для заключений об отсутствии состава преступления в данном конкретном случае, для опровержения положений, противоречащих тому, о чем говорится в посылке, выражающей общее положение.

Например:

Подстрекателем (Р) признается лицо, склонившее другое лицо к совершению преступления (М).

Н. (S) не признается лицом, склонившим другое лицо к совершению преступления (М).

__________________

Н. (S) не является подстрекателем (Р).

Правила 3-й фигуры:

1. Меньшая посылка — утвердительное суждение.

2. Заключение — частное суждение.

1-е правило доказывается так же, как 2-е правило 1-й фигуры. Но если меньшая посылка — утвердительное суждение, то его предикат (меньший термин силлогизма) не распределен. Термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен в заключении. Значит, заключение должно быть частным суждением.

Давая только частные заключения, 3-я фигура применяется чаще всего для установления частичной совместимости признаков, относящихся к одному предмету. Например:

Осмотр места происшествия (М) имеет одной из своих задач обнаружение следов преступления (Р).

Осмотр места происшествия (М) — следственное действие (S).

_____________________

Некоторые следственные действия (S) имеют одной из своих задач обнаружение следов преступления (Р).

В практике рассуждения 3-я фигура применяется сравнительно редко.

4-я фигура силлогизма также имеет свои правила. Однако выведение заключения из посылок по этой фигуре не характерно для естественного процесса рассуждения. Например:

Захват заложника (Р) — преступление против общественной безопасности (М).

Преступление против общественной безопасности (М) — общественно опасное деяние, предусмотренное Особенной частью Уголовного кодекса (S).

_____________________________

Некоторые общественно опасные деяния, предусмотренные Особенной частью Уголовного кодекса (S), являются захватом заложника (Р).

Такой ход рассуждения представляется в известной мере искусственным, на практике выводы в подобных случаях делаются обычно по 1-й фигуре:

Преступления против общественной безопасности (М) — общественно опасные деяния, предусмотренные Особенной частью Уголовного кодекса (Р).

Захват заложника (S) — преступление против общественной безопасности (М).

_____________________________

Захват заложника (S) — общественно опасное деяние, предусмотренное Особенной частью Уголовного кодекса (Р).

Так как ход рассуждения по 4-й фигуре не типичен для процесса мышления, правила этой фигуры нами не рассматриваются.

5. Модусы силлогизма

Посылками силлогизма могут быть суждения, различные по качеству и количеству: общеутвердительные (А), общеотрицательные (Е), частноутвердительные (I) и частноотрицательные (О).

Разновидности силлогизма, различающиеся количественными и качественными характеристиками посылок, называются модусами простого категорического силлогизма.

Так как каждая посылка может быть любым из четырех суждений, число возможных комбинаций посылок в каждой фигуре равно 2⁴, т. е. 16:

Очевидно, в четырех фигурах число комбинаций равно 64.

Однако не все модусы согласуются с общими правилами силлогизма. Например, модусы, заключенные в скобках, противоречат 1-му и 2-му правилам посылок, модус IA не проходит по первой и второй фигурам, так как противоречит 2-му правилу терминов, и т. д. Поэтому, отобрав только те модусы, которые согласуются с общими правилами силлогизма, получим 19 модусов, которые называются правильными. Их принято записывать вместе с заключением:

Правильные модусы можно вывести, исключив комбинации посылок, не соответствующие общим правилам, и те, которые не соответствуют правилам фигур[36].

Вопросы для самопроверки

1. Что такое фигура силлогизма? Какое место занимает в них средний термин?

2. Дайте характеристику 1-й, 2-й и 3-й фигурам.

3. Каким особым правилам подчиняются фигуры силлогизма?

4. Что называется модусом силлогизма?

6. Категорический силлогизм с выделяющими суждениями

Правила силлогизма сформулированы для силлогистических умозаключений, не включающих в качестве посылок выделяющие суждения. Если же такие посылки есть, то эти силлогизмы не подчиняются некоторым общим правилам, а также особым правилам фигур.

Рассмотрим наиболее распространенные случаи.

1. Вывод из двух частных посылок.

Некоторые адвокаты (М-) — выпускники Московского университета (Р—).

Некоторые юристы (S—) — адвокаты (М+).

________________________

Некоторые юристы (S—) — выпускники Московского университета (Р—).

В этом примере меньшая посылка — частноутвердительное выделяющее суждение («Некоторые юристы, и только юристы, являются адвокатами») с распределенным предикатом (средним термином силлогизма). Так как средний термин в одной из посылок распределен, заключение из двух частных посылок следует с необходимостью. Легко проверить, что все другие общие правила силлогизма соблюдаются.

2. Вывод по 1-й фигуре, в которой б?льшая посылка — частное суждение.

Необходимость вывода в этом силлогизме может быть показана на приведенном примере: средний термин в меньшей посылке распределен.

3. Одна из посылок — частное суждение, заключение — общее суждение.

Некоторые юристы (Р+) — следователи (М+).

Все участники совещания (S+) — следователи (М—).

________________________

Все участники совещания (S+) — юристы (Р-).

Б?льшая посылка в этом примере — частноутвердительное выделяющее суждение с распределенным предикатом — средним термином силлогизма.

4. Вывод по 2-й фигуре из двух утвердительных посылок.

Приведенный пример показывает, что вывод по 2-й фигуре следует с необходимостью, так как средний термин в одной из посылок распределен.

5. Вывод по 1-й фигуре, в которой меньшая посылка — отрицательное суждение.

Лицо, совершившее преступление (М+), привлекается к уголовной ответственности (Р+).

Н. (S+) не совершил преступления (М+).

_____________________

Н. (S+) не привлекается к уголовной ответственности (Р+).

Вывод следует с необходимостью, так как б?льшая посылка — общеутвердительное выделяющее суждение с распределенным предикатом. Предикат — больший термин силлогизма — распределен в посылке и в заключении.

Рассмотренные примеры показывают, что силлогизмы, в состав которых входят выделяющие суждения, подчиняются не всем правилам. Это обусловлено особенностью выделяющих суждений, распределенностью их терминов. Поэтому, устанавливая логическую необходимость вывода в силлогизме с выделяющим суждением, необходимо иметь в виду эту особенность. Целесообразно проверять правильность вывода с помощью круговых схем.

В некоторых случаях большей посылкой силлогизма является определение через род и видовое отличие. Так как такое определение подчиняется правилу соразмерности, оно выражается в форме общеутвердительною выделяющего суждения, оба термина которого распределены. А это значит, что на силлогизм, большей посылкой которого является определение, также не распространяются некоторые правила.

Такие силлогизмы используются в судебной практике, в частности при квалификации преступлений. Например:

Хулиганство (Р+) — это умышленные действия, грубо нарушающие общественный порядок и выражающие явное неуважение к обществу (М+).

Действия Н. (S+) являются умышленными, грубо нарушающими общественный порядок и выражающими явное неуважение к обществу (М—).

____________________

Действия Н. (S) являются хулиганством (Р).

Заключение получено из двух утвердительных посылок по 2-й фигуре.

Вопросы для самопроверки

1. Как распределены термины в общеутвердительных, общеотрицательных, частноутвердительных и частноотрицательных выделяющих суждениях?

2. Почему силлогизмы с выделяющими посылками не подчиняются некоторым правилам?

Данный текст является ознакомительным фрагментом.