Как найти закон движения математика

Содержание:

1. Динамика материальной точки
2. Прямая задача динамики точки
3. Основные законы динамики
4. Уравнения движения материальной точки в декартовых и естественных системах отсчета
5. Две основные задачи динамики материальной точки
6. Порядок решения прямой задачи динамики невольной материальной точки
7. Примеры решения задач на тему: Динамика материальной точки
8. Решение задач на тему: Движение материальной точки по криволинейной траектории

Динамика − раздел механики, в котором изучается движение тел под действием приложенных сил. Основной задачей динамики является определение кинематического уравнения движения материальной точки, если известны, приложенные силы к ней со стороны окружающих тел и начальные условия, положение и скорость тела в начальный момент времени.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Динамика материальной точки

Динамикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение материальных объектов в зависимости от физических факторов, то есть от причин, вызывающих это движение.

Напомним, что в классической механике движение материальных объектов рассматривается с помощью абстрактных моделей: материальной точки, механической системы и абсолютно твердого тела.

Материальная точка — это материальное тело, размерами и разницей в движении его частей которого можно пренебречь.

Механической системой (системой материальных точек) называется совокупность материальных точек, которые между собой взаимодействуют, то есть, положение и движение которых взаимосвязаны.

Абсолютно твердым телом называется совокупность материальных точек, расстояния между которыми во время движения не меняются.

Движение механической системы определяется движением всех его точек. Поэтому изучение динамики начинается с изучения движения одной материальной точки.

В динамике точки рассматриваются две основные задачи:

— движение точки задается, а необходимо найти силы, которые это движение реализуют (первая, или прямая задача);
— силы задаются, а необходимо определить закон движения, который является результатом действия этих сил.

Для решения этих задач используются базовые сведения из статики и кинематики, а также законы динамики, то есть, общие законы движения тел и механических систем под действием приложенных к ним сил. Эти законы впервые в наиболее полном виде сформулированы Исааком Ньютоном в конце XVII века.

Прямая задача динамики точки

Первая (прямая) задача динамики содержит условие: По заданному движению, совершаемому точкой данной массы, требуется найти неизвестную действующую силу.

Основные законы динамики

В динамике изучается движение материальных систем в связи с действующими на них силами. Самым простым объектом механики является материальная точка.

Материальная точка — тело, размерами которого при решении данной задачи можно пренебречь.

Если на положение материальной точки и на ее движение не наложены никакие ограничения, точка называется свободной, в противном случае имеем дело с движением несвободной точки.

Движение механической системы определяется движением всех ее материальных точек. Поэтому изучение динамики начинается с изучения движения одной материальной точки.

В основе динамики лежат три закона И. Ньютона, которые впервые в наиболее полном и законченном виде были сформулированы в книге «Математические начала натуральной философии» (1686 г.).

2. Второй закон (основной закон динамики):
cила, которая действует на материальную точку, равна произведению массы точки на ее ускорение, а направление силы совпадает с направлением ускорения:

Если на точку действует несколько сил, то их можно заменить равнодействующей:

Если точка движется по какой-то поверхности, то на нее, кроме активных сил действует и реакция связи .

Таким образом в общем случае в уравнении (1.1):

3. Третий закон (закон равенства действия и противодействия):
Силы взаимодействия двух материальных точек равны между собой по модулю и направлены вдоль одной прямой, которая соединяет эти точки, в противоположные стороны.

Уравнения движения материальной точки в декартовых и естественных системах отсчета

Вместо уравнения движения (1.1) в векторной форме можно получить уравнение в скалярной форме, если спроектировать (1.1) на оси декартовой или естественной систем координат.

Уравнение движения в декартовых координатах:

Здесь  — проекции силы на соответствующие декартовые оси координат;

 — проекции ускорения на те же оси.

Две основные задачи динамики материальной точки

Первая задача (прямая): зная массу точки и законы ее движения, например, в декартовых координатах:

определить равнодействующую приложенных к точке сил.

Сначала нужно определить проекции ускорения точки на оси координат:

Используя уравнение движения точки в декартовых координатах (1.3), определяем значения проекций равнодействующей приложенных к точке сил, а также ее модуль:

Направление вектора силы относительно осей координат определяется с помощью направляющих косинусов:

Вторая задача (обратная): зная силы, которые действуют на материальную точку, ее массу, а также первоначальные условия (положение точки и ее скорость в некоторые моменты времени, не обязательно в начальный), получить уравнение движения точки.

Порядок решения прямой задачи динамики невольной материальной точки

1. Изобразить на рисунке материальную точку в промежуточном положении.
2. Показать активные силы и реакции связей, которые на нее действуют.
3. Выбрать систему отсчета.
4. Записать векторное уравнение движения точки в форме второго закона динамики (1.1).
5. Спроектировать векторное уравнение движения точки на выделенные оси координат.
6. Из полученных уравнений определить необходимые величины.

Примеры решения задач на тему: Динамика материальной точки

Задача № 1

В шахту начинает опускаться равноускорено лифт, масса которого В первые 10 с он проходит 35 м.

Определить натяжение каната, на котором висит лифт.

Решение. Изобразим кабину лифта в произвольном положении (рис.1.1). На лифт действует сила тяжести , которая направлена вниз, и натяжение каната , который направлен вдоль троса вверх.

Движение происходит по вертикали, поэтому направим ось вертикально вниз в соответствии с направлением скорости и ускорения.

Запишем уравнение движения кабины лифта в форме второго закона Ньютона:

где  — ускорение кабины лифта.

С учетом сил, действующих на кабину лифта, уравнение будет иметь вид:

Спроектируем это уравнение на ось :

С учетом того, что , находим

Мы получили зависимость натяжения каната от ускорения, с которым движется кабина лифта.

Проанализируем эту зависимость. Может быть три случая:

В первом случае

То есть, если кабина лифта движется без ускорения в любом направлении, натяжение троса будет равняться силе тяжести кабины лифта.

Во втором случае натяжение троса меньше силы тяжести кабины лифта, потому что , а если , то 

В третьем случае натяжение троса всегда больше силы тяжести кабины лифта, потому что  и 

Например, когда  то есть натяжение троса вдвое превышает силу тяжести кабины лифта.

В нашей задаче ускорение определится с выражения для пути при равнопеременном движении с учетом того, что начальная скорость :

Тогда:

Ответ: натяжение троса 

Задача № 2

К телу весом которое лежит на столе, привязали нить, второй конец которой (рис.1.2) держат в руке.

Определить, с каким ускорением надо поднимать тело вверх вертикально, чтобы нить оборвалась, если она рвется когда натяжение достигает величины

Решение: Изобразим тело с привязанной к нему нитью (рис.1.2). Покажем силы, которые действуют на тело: сила тяжести и натяжение нити . Ось направляется по вертикали вверх в положительном направлении скорости и ускорения.

Запишем уравнение движения тела в векторной форме:

Спроектируем это уравнение на ось :

Откуда:

Если учесть числовые данные, то

Ответ: 

Задача № 3

Пуля весом падает вертикально вниз под действием силы тяжести и испытывает опору среды (рис.1.3). Закон движения шара соответствует уравнению , причем выражается в сантиметрах, — в секундах.

Определить силу сопротивления среды  в виде функции скорости, то есть

Решение. Изобразим шар в произвольном положении на траектории и покажем силы, которые на него действуют (рис.1.3):

 — сила тяжести;

— сила сопротивления среды.

Движение шара происходит вдоль вертикали, поэтому направим ось вертикально вниз по направлению скорости. Тогда положение шара будет определяться координатой .

Запишем уравнение движения шара в векторной форме:

и спроектируем его на ось :

откуда 

Таким образом, чтобы определить силу сопротивления , необходимо знать ускорение шара .

Поскольку закон изменения координаты известен, то

Находим первую и вторую производные от закона движения пули:

Таким образом,

Из выражения (с учетом того, что ) вытекает

то есть 

Ответ: 

Задача № 4

Движение тела массой выражается уравнениями:

где  и  — в метрах, а  — в секундах.

Определить силу , которая действует на тело, принимая его за материальную точку (рис.1.4).

Решение. Проекции на оси координат силы , которая приложена к телу, определяются по формулам:

где  и  — проекции ускорения тела на оси координат.

В данном случае

Итак

Модуль силы  равен:

Сила направлена вертикально вниз, поскольку Таким образом, искомая сила, модуль которой равен , является силой тяжести.

Ответ: 

Задача № 5

Прямолинейное движение ножа резального аппарата жатки зерноуборочного комбайна (рис.1.5) приближено выражается уравнением ( — в метрах; — в секундах).

Определить силу , которая приводит нож к движению, в зависимости от расстояния . Вес ножа

Объяснение: Для привода ножа резального аппарата жатки используются плоские и пространственные механизмы. Среди плоских механизмов нашли применение кривошипно-шатунные, которые состоят из кривошипа 1, шатуна 2 и ножа жатки 3. Механизм преобразует вращательное движение кривошипа 1 в обратно поступательное движение ножа 3.

В уборочных машинах ось кривошипного пальца находится выше линии движения ножа .

Решение. Изобразим нож резного аппарата в среднем положении на перемещении и покажем силы, которые действуют на него.

На нож действует сила веса , нормальная реакция опорной поверхности направляющих ножа и сила со стороны шатуна , которая вызывает движение ножа.

Запишем уравнение движения ножа в векторной форме:

Проектируем это уравнение на направление движения ножа (ось ):

 или 

Из последнего уравнения следует, что для определения силы необходимо знать ускорение .

Поскольку задан закон движения ножа : то ускорение определяется как вторая производная от закона движения по времени:

Итак, 

Учтем, что  и получим:

Ответ: 

Задача № 6

Нагруженная вагонетка массой опускается по канатной железной дороге с наклоном и имеет скорость (рис.1.6).

Определить натяжение каната при равномерном опускании и при торможении вагонетки, если время торможения , общий коэффициент сопротивления движению . При торможении вагонетка движется равнозамедленно.

Решение. Изобразим вагонетку в произвольном положении. Покажем силы, которые действуют на нее: силу тяжести , нормальную реакцию железной дороги , натяжение каната и силу сопротивления .

Выбираем декартовую систему координат: ось направим параллельно дороге в сторону движения; ось — вверх перпендикулярно дороге. Запишем векторное уравнение движения вагонетки в форме второго закона Ньютона:

Проектируем векторное уравнение движения на оси координат:

Поскольку все время движения вагонетки, то , и из уравнение (2) легко находим величину нормальной реакции:

Тогда общая сила сопротивления движению составляет:

Для определения натяжения  используем уравнение (1)

При равномерном опусканье и составит:

При равнозамедленном торможении 

где  — начальная скорость;

 — конечная скорость.

Таким образом 

Тогда

Ответ: 

Из полученных результатов следует, что при торможении нагрузка на канат увеличивается по сравнению с нагрузкой при равномерном движении.

Задача № 7

Вагон весом скатывается по колее, которая наклонена к горизонту под углом .

Определить силу торможения вагона , которая вызывается трением колес по рельсам, предполагая, что движение вагона происходит с постоянным ускорением, а также то значение угла , при котором вагон будет скатываться равномерно.

Решение. Изображаем вагон в виде материальной точки в произвольном положении на наклонной плоскости и показываем силы, которые на него действуют (рис.1.7): — сила тяжести вагона; — нормальная реакция рельсов; — сила трения.

Выбираем декартовую систему координат, причем ось направим параллельно рельсам в сторону движения вагона; а ось  — перпендикулярно рельсам.

Запишем уравнение движения вагона в векторной форме:

и спроектируем его на оси выбранной системы координат:

По уравнению (2) определим силу торможения вагона:

По условиям задачи вагон движется с ускорением  которое направлено вдоль оси , то есть .

Если подставим в уравнение (3) , то получим:

Определим значение угла , при котором вагон будет скатываться равномерно. Поскольку

то

где  — коэффициент трения.

Откуда получим

Из этого уравнения вытекает, что при изменении угла , можно найти значение угла, при котором . Если в уравнении (4) присвоить , то

Поскольку известно, что коэффициент трения равен тангенсу угла трения , то

Таким образом, при углу наклона рельсов к горизонту, что равен углу трения , вагон будет скатываться равномерно.

Ответ: 

Задачи, которые рекомендуются для самостоятельной работы: 26.2, 26.8, 26.10, 26.20, 26.24 [2].

Решение задач на тему: Движение материальной точки по криволинейной траектории

При решении задач, связанных с движением точки по криволинейной траектории, если траектория известна, удобно рассматривать движение точки в естественной системе координат  (рис.1.8):

где  — модуль скорости точки,

 — радиус кривизны траектории в заданном положении точки.

В уравнениях (1.6) и (1.8) суммы проекций сил, действующих на точку, на направления осей: касательной (), нормальной () и бинормальной () к  траектории в заданном положении точки.

Порядок решения прямой задачи динамики точки в случае использования уравнений (1.6) и (1.8) совпадает с рекомендациями пунктов 1 и 6 занятия № 1.

Если задано уравнение движения материальной точки по траектории в виде , то для нахождения равнодействующей приложенных к этой точке сил, необходимо сначала найти проекции и полного ускорения точки:

Далее, с уравнений (1.6), (1.7) находим значения касательной и нормальной проекции силы :

Модуль приложенной к материальной точке силы, при естественном способе обозначения движения, будет равен

Задача № 1

Материальная точка массой движется по окружности с радиусом согласно закону

Определить модуль равнодействующей сил, приложенных к материальной точке.

Решение. В задаче движение материальной точки задано естественным способом, поэтому для определения равнодействующей сил воспользуемся зависимостями (1.6) и (1.7):

Определим касательное и нормальное ускорение материальной точки:

Поскольку , то проекция равнодействующей на касательную ось равняется нулю.

Находим нормальную составляющую равнодействующей сил:

Модуль равнодействующей определим из выражения (1.11):

Таким образом, заданное движение материальной точки происходит под действием силы, постоянной по модулю и направленной вдоль радиуса к центру окружности.

Ответ: 

Задача № 2

Материальная точка массой движется по окружности с радиусом согласно закону

Определить проекцию равнодействующей сил, приложенных к материальной точке, на касательную к траектории в момент времени

Решение. Для определения проекции  воспользуемся уравнением (1.6):

Сначала найдем значение скорости материальной точки:

При 

Определяем величину касательного ускорения

при 

Подставив в уравнение (1) значения  и , получим:

Ответ: 

Задача № 3

Материальная точка массой движется по окружности с радиусом согласно закону

Определить модуль равнодействующей сил, действующих на точку, в момент времени

Решение. Поскольку движение материальной точки задано естественным способом, то модуль равнодействующей сил, приложенных к точке, определяется по зависимостям (1.10) и (1.11):

Величины касательного и нормального ускорения материальной точки определяются по уравнениям (1.9):

Учитывая, что скорость точки 

то касательное ускорение точки равно:

Поскольку в момент времени скорость точки:

то нормальное ускорение точки составит:

Определяем и по уравнениям (1.10):

Тогда модуль равнодействующей сил, действующих на материальную точку, равен:

Ответ: 

Задача № 4

На криволинейных участках железнодорожного пути наружный рельс поднимают выше над внутренним (рис.1.9). При движении поезда на этом участке его скорость поддерживают такой, чтобы давление вагона на рельсы было направлено перпендикулярно железнодорожному полотну.

Определить величину повышения внешнего рельса над внутренним при следующих данных: радиус закругления железнодорожного пути , скорость поезда , расстояние между рельсами

Решение. На вагон действуют: сила тяжести , которая направлена вертикально вниз, и реакции рельсов на колеса  и , которые направлены перпендикулярно железнодорожному полотну.

Запишем уравнение движения вагона в векторной форме:

где  — ускорение вагона.

Поскольку движение происходит по криволинейной траектории, то выбираем естественную систему координат: ось направим по нормали к центру кривизны траектории, а ось  — по касательной в сторону движения вагона. Бинормаль, ось , на рис. 1.9 не показано.

Проектируем уравнение движения (1) на ось :

 или 

Из рис. 1.8 видно, что 

Итак, 

Подставив числовые значения известных величин, получаем:

Ответ: 

Задача № 5

Груз весом который подвешен к нитке длиной в неподвижной точке , представляет собой конический маятник (рис.1.10), то есть движется по окружности в горизонтальной плоскости, при этом нитка с вертикалью образует угол ­ .

Определить величину скорости груза и модуль силы натяжения нити .

Решение. Изобразим груз в любом положении и покажем силы, которые на него действуют: силу тяжести , которая направлена вертикально вниз, и натяжение нити , которое направлено к точке подвеса .

Для решения задачи выбираем естественную систему координат: ось  направлена по касательной к окружности в сторону движения груза, ось — по нормали к центру кривизны и ось — вертикально вверх.

Запишем уравнение движения груза в векторной форме:

Проектируем это векторное уравнение на оси координат:

Модуль силы натяжения нити найдем из третьего из уравнений (1), учитывая, что :

Из второго из уравнений (1) найдем , если учесть, что 

Тогда

Откуда

Ответ: 

Задача № 6

Материальная точка весом движется по горизонтальной поверхности под действием силы . В период разгона точки путь, который она проходит, меняется по закону ( — в секундах, — в метрах). Траекторией движения точки на плоскости (рис.1.11) является окружность с радиусом

Определить модуль силы , которая действует, в момент, когда модуль скорости точки равен

Решение. Изобразим точку  в любом положении на окружности (рис.1.11). Покажем силы, действующие на материальную точку: силу тяжести ; реакцию поверхности , которая перпендикулярна поверхности, и заданную силу , которая лежит в плоскости движения точки и направлена в сторону центра кривизны траектории.

С точкой повяжем естественную систему координат. Ось направим по касательной к окружности в сторону движения, а ось — перпендикулярно ей в сторону центра кривизны окружности.

Запишем уравнение движения точки в виде второго закона Ньютона:

Спроектируем это векторное уравнение на оси выбранной системы координат:

Поскольку закон движения известен, то: 

По условиям Найдем момент времени, когда это условие выполняется:

Тогда:

Учитывая, что масса точки равна , находим:

Определяем модуль искомой силы:

Ответ: 

Задача № 7

Радиус закругления моста в точке равен  (рис.1.12).

Определить, с какой силой автомобиль давит на мост в точке , если его масса , а модуль скорости движения

Решение. Рассмотрим автомобиль как материальную точку, поскольку его размерами по сравнению с размерами моста можно пренебречь. Изобразим автомобиль в точке моста (рис.1.12) и покажем силы, которые действуют на него: — силу тяжести автомобиля и — реакцию моста.

Поскольку автомобиль движется по криволинейной траектории, то для решения задачи воспользуемся естественной системой координат .

Запишем уравнение движения автомобиля в векторной форме:

и спроектируем его на оси выбранной системы координат:

 (поскольку  то ),                           (1)

Из уравнения (2) определяем реакцию моста по модулю:

Сила давления  автомобиля на мост равна по модулю реакции моста, но направлена вниз.

Поскольку вес автомобиля равен

то, если мост выпуклый, сила давления автомобиля на него уменьшается по сравнению с тем случаем, когда автомобиль движется по горизонтальному мосту.

Зададим дополнительный вопрос: с какой скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы сила давления автомобиля на мост равнялась нулю?

Поскольку , то 

 или

Отсюда

Ответ: 

Задача № 8

Камень весом  который привязан к нитке длиной , описывает окружность в вертикальной плоскости (рис.1.13).

Определить наименьшее значение угловой скорости вращения, при которой нить разорвется, если ее сопротивление разрыву составляет 

Решение. Представим камень в любом положении на дуге окружности. Положение точки определяется углом , который отсчитывается от вертикали в направлении угловой скорости.

На камень (точку ) действуют сила тяжести и сила натяжения нити .

С точкой свяжем естественную систему координат и запишем уравнение движения точки в векторной форме:

Спроектируем это уравнение на оси выбранной системы координат:

Заметим, что , а . То есть уравнение (2) преобразуется в вид:

Отсюда

Из уравнения (3) вытекает, что при угловая скорость  является только функцией угла . Наименьшее значение , когда нить разрывается, будет при , то есть, когда , что соответствует положению камня в точке . Таким образом:

Ответ: 

Задача № 9

Трек для испытания автомобилей на кривых отрезках пути имеет виражи, профиль которых (рис.1.14) в поперечном пересечении является прямой, которая наклонена к горизонту так, что внешний край трека выше внутреннего.

Определить, с какой наименьшей и самой большой скоростью можно ехать по виражу, имеющему радиус кривизны и угол наклона к горизонту ­? Коэффициент трения шин о поверхность трека считать известным.

Решение. На автомобиль, который движется по виражу, действуют: сила тяжести , сила нормального давления со стороны поверхности виража и сила трения , которая направлена вдоль поверхности виража в плоскости, которая перпендикулярна направлению скорости. Возникновение силы трения обуславливается трением колес автомобиля о поверхность виража.

Рассмотрим движение центра тяжести автомобиля (точка ), считая, что все силы приложены к этой точке. Первым рассмотрим случай движения автомобиля, когда сила трения (рис.1.14, а). С точки  повяжем естественную систему координат : нормаль направим в центр кривизны, — перпендикулярно .

Запишем уравнение движения автомобиля в векторной форме:

и спроектируем это уравнение на оси координат и :

Из уравнения (1) найдем величину нормальной реакции :

Подставим найденное значение в уравнение (2) и определим скорость автомобиля, когда сила трения о поверхность трека равна нулю:

При максимальной скорости автомобиля сила трения направлена к нижнему краю виража (рис.1.14, б) и равняется

Векторное уравнение движения автомобиля в этом случае будет иметь вид:

Проектируем уравнение (4) на оси :

Уравнение (5) перепишем в виде:

откуда

Подставим значение в уравнение (6) и определим максимальное значение скорости :

Отсюда:

Если скорость автомобиля минимальная  (рис.1.14, в), то трение направлено к верхнему краю трека и проекции уравнения (4) на оси будут иметь вид:

Из уравнений (8) и (9) получаем:

Ответ: 

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика механической системы
24. Динамика плоского движения твердого тела
25. Динамика относительного движения материальной точки
26. Динамика твердого тела
27. Кинематика простейших движений твердого тела
28. Общее уравнение динамики
29. Работа и мощность силы
30. Обратная задача динамики
31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
33. Сферическое движение твёрдого тела
34. Движение свободного твердого тела
35. Сложное движение твердого тела
36. Сложное движение точки
37. Плоское движение тела
38. Статика твердого тела
39. Равновесие составной конструкции
40. Равновесие с учетом сил трения
41. Центр масс
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Пример решения задачи по определению закона движения точки твердого тела массой m, начинающего скользить из состояния покоя по наклонной плоскости с заданным углом и коэффициентом трения скольжения f.

Задача

По наклонной плоскости из состояния покоя начинает скользить тело массой m = 1 кг (рисунок 5.1). Коэффициент трения скольжения f = 0,1.

Рисунок 5.1

Определить закон движения точки, если угол α = 30°.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Решение

В данном случае тело движется поступательно, следовательно, его можно рассматривать как материальную точку. Направим ось x вдоль движения. Начало оси возьмем в начальном положении точки. Тогда x₀= 0.

Поскольку движение начинается из состояния покоя, начальная скорость V₀ тоже равна нулю.

Расположим тело в произвольный момент времени и покажем все силы, действующие на него, включая реакции связей. На тело действуют сила тяжести G, сила трения F_тр и нормальная реакция наклонной плоскости N (рисунок 5.2).

Рисунок 5.2

Запишем уравнение второго закона динамики в векторном виде

и в проекциях на оси координат

Из второго уравнения системы (3) можно определить величину нормальной реакции поверхности:

Первое уравнение системы (3) разделим слева и справа на m:

С точки зрения математики полученное уравнение является простейшим дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Уравнение связывает две переменные величины – скорость точки и время.

Смысл разделения переменных заключается в том, чтобы все слагаемые уравнения, куда входит скорость, были с одной стороны от знака равенства, а слагаемые, куда входит время – с другой стороны знака равенства.

Умножив уравнение (4) на dt слева и справа, получим

Сокращая слева на dt, получим:

Величина

постоянная и ее можно внести под знак дифференциала. Тогда уравнение (5) перепишется в виде равенства двух дифференциалов:

Если дифференциалы равны, то интегралы равны с точностью до постоянной величины:

или

где

это ускорение точки.

Полученный результат дает зависимость проекции скорости на ось x от времени и от постоянной интегрирования C₁.

Для определения постоянной C₁ воспользуемся начальным значением скорости. Зная значение скорости точки в начальный момент времени V₀, и подставляя его в (6), получим

или C₁ = V₀.

Таким образом, зависимость скорости от времени примет вид

Учитывая, что

снова получим дифференциальное уравнение первого порядка относительно координаты x

Снова разделим переменные

и после интегрирования получим

где C₂ – вторая постоянная интегрирования. Для определения C₂ воспользуемся значением координаты x в начальный момент. Получим C₂ =  x₀.

Тогда (8) запишется в виде

Подставляя начальные значения и исходные данные, получим

Ответ: Таким образом, тело движется вниз по наклонной плоскости по закону x = 0,207∙t².

Другие примеры решения задач >

    Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются  они  в одно действие. Итак:

Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.

Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.

Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени: 

Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).

Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):

Рассмотрим задачи:

Материальная точка движется прямолинейно по закону  

x (t) = t² – 7t – 20

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.

Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)

Найдем закон изменения скорости:  v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.

При t = 5 имеем:

Ответ: 3

Решить самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t² – 48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.

Посмотреть решение

Материальная точка движется прямолинейно по закону  x (t) = 0,5t³ – 3t² + 2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.

Посмотреть решение

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = –t⁴ + 6t³ + 5t + 23

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.

Посмотреть решение

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/6) t² + 5t + 28

где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?

Найдем закон изменения скорости:

Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с,  необходимо решить уравнение:

Ответ: 3

Решите самостоятельно:

Материальная точка движется прямолинейно по закону  x (t) = t² – 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах,  t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

Посмотреть решение

Материальная точка движется прямолинейно по закону

x (t) = (1/3) t³ – 3t² – 5t + 3 

где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

Посмотреть решение

Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.

Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

План урока:

Закон сложения скоростей

Мгновенная скорость, направление мгновенной скорости

Ускорение. Касательное ускорение. Центростремительное ускорение

Равноускоренное движение

Свободное падение

Равномерное движение точки по окружности

Закон сложения скоростей

Как уже упоминалось в предыдущем уроке, скорость тела зависит от выбранной наблюдателем системы отсчета. Разберем следующий пример: в безветренную погоду пчела летит со скоростью    относительно земли. Это будет собственная скорость пчелы. Затем погода меняется и начинает дуть ветер, перпендикулярный скорости пчелы. Скорость ветра обозначена  (см. рисунок 1).

Рисунок 1 – Первоначальная скорость пчелы и ветра

Естественно, что ветер начнет сдувать пчелу с первоначального курса. Собственная скорость не изменяется, так как это характеристика самой пчелы, но ее скорость относительно земли (по модулю и направлению) изменится и станет (см. рисунок 2):

Рисунок 2 – Изменившаяся скорость пчелы

Систему отсчета, связанную с землей, можно считать неподвижной. Если же рассматривать движение пчелы относительно воздуха, можно говорить о движущейся со скоростью v₂ системе отсчета.

Рисунок 3 – Векторы скорости и перемещений при движении пчелы при ветре

Мгновенная скорость, направление мгновенной скорости

Средняя скорость. Средняя путевая скорость

Так как в реальной жизни тела редко движутся с постоянной скорость, но необходимо как-то описывать их движение и скорость, ввели понятие мгновенной скорости.

Мгновенная скорость – это скорость тела в выбранный конкретный момент времени.

Если по определению скорости разделить перемещение на суммарное время пути, можно получить средняя скорость:

Фактически, это та же формула, которая используется при расчетах для прямолинейного равномерного движения.

То есть средняя скорость движения – это такая скорость, с которой тело должно было бы двигаться, если бы оно перемещалось из начальной точки в конечную равномерно и прямолинейно. Из выражения для вычисления средней скорости можно увидеть, что средняя скорость сонаправлена вектору перемещения.

Касательно же мгновенной скорости, чтобы ее найти, необходимо разделить общее время Δt на одинаковые отрезки Δt₁, Δt₂,…Δt_n,  и найти средние скорости за эти отрезки времени:

А куда направлена мгновенная скорость? Из рисунка 5 видно, что при уменьшении отрезков времени Δt_b направление вектора перемещения ему соответствующее постепенно приближается к направлению касательной к траектории. Значит, мгновенная скорость направлена по касательной к линии траектории.

Еще одна важная характеристика, использующаяся в кинематике – средняя путевая скорость. Из названия вытекает, что средняя путевая скорость – это отношение пути (S), пройденного телом, к отрезку времени (t), за которое оно этот путь прошло:

Именно о путевой скорости идет речь, когда говорят, что автомобиль ехал из одного города в другой со скоростью 70 км/ч, например.

Ускорение. Касательное ускорение. Центростремительное ускорение

Продолжая речь о телах, движущихся неравномерно, необходимо сказать о такой физической величине, как ускорение.

Единицы измерения ускорения:

Рисунок 6 – Тело перемещается из точки 1 в точку 2 (в верхнем правом углу дана иллюстрация к разности векторов)

Если скорость тела меняется не равномерно на выбранном участке пути, нужно поступить так же, как и в случае с поиском мгновенной скорости: разделить  на маленькие отрезки времени и рассматривать ускорение на каждом из них.

Поскольку ускорение получается из разности векторов скорости (конечной и начальной), в общем случае оно будет направлено под некоторым углом к мгновенной скорости (а, следовательно, и к вектору перемещения, и к касательной к траектории).

Рисунок 7 – Полное, касательно и центростремительное ускорение тела, движущегося из точки 1 в точку 2

Равноускоренное движение

Прямолинейное равноускоренное движение. Определение скорости при равноускоренном движении. Уравнения движения при равноускоренном движении

Когда движение тела происходит с постоянным по модулю и направлению ускорением, такой тип движения называют равноускоренным. Для него справедливо выражение:

Частный случай равноускоренного движения – прямолинейное равноускоренное движение. Как следует из названия, это движение вдоль прямой линии с постоянным ускорением.

При условии, что ускорение сонаправлено начальной скорости, формула для вычисления скорости при прямолинейном равноускоренном движении записывается в скалярном виде:

v = v₀ + a * t

Если же ускорение противонаправлено начальной скорости, это выражение станет таким:

v = v₀ — a * t

Рассмотрим график зависимости скорости от времени при равноускоренном движении (см. рисунок 8). Считаем, что тело совершает движение вдоль оси ОХ, а все величины – начальная скорость (v_ox) , ускорение (a_x)  – взяты в проекции на эту ось.

Рисунок 8 – График зависимости скорости от времени при прямолинейном равноускоренном движении

Как известно из предыдущего курса физики, путь, который прошло тело, можно найти как площадь фигуры под графиком зависимости скорости движения от времени. Общую площадь под графиком можно найти как сумму площадей прямоугольника ABCD и треугольника ADE.

Свободное падение

Движение тела, брошенного вертикально вверх. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Криволинейное равноускоренное движение

Примерами движения с постоянным ускорением может служить свободное падение, движение брошенного вертикально вверх тела, движение тела, брошенного под углом к горизонту. Поговорим об этих видах движения подробнее.

• Свободное падение

Представим, что какое-то небольшое, но тяжелое тело подняли на высоту h, а затем отпустили (см. рисунок 9).

Рисунок 9 – Свободное падение тела

Тело начнет падать. Принимаем допущение, что на это тело воздействует одна только сила тяжести (силой сопротивления воздуха и силой ветра пренебрегаем). Тогда тело будет двигаться вертикально вниз, а его ускорение будет равняться ускорению свободного падения:

• Движение тела, брошенного вертикально вверх

Представим, что тело подкинули вертикально наверх с начальной скоростью v₀ (см. рисунок 10).

Рисунок 10 – Тело бросили вертикально вверх

Очевидно, что тело сначала будет лететь вверх, постепенно замедляясь, пока его скорость не уменьшится до нуля. Затем тело полетит вниз, постепенно ускоряясь. Получается, что максимальной своей скорости тело будет достигать два раза – у земли, и эта скорость будет равно начальной скорости v₀ (вообще нужно было бы писать v_oy, но так как рассматривается движение вдоль только одной оси OY, опустим индекс y).

Отсюда можно найти полное время полета:

• Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Данный тип движения чуть сложнее, чем предыдущие два, так как придется рассматривать движение сразу вдоль двух осей OX и OY (см. рисунок 11). Этот тип движения относится к криволинейному равноускоренному движению. Будем считать, что тело подбросили с начальной скоростью  под углом α к горизонту.

Рисунок 11 – Тело брошено под углом к горизонту

Уравнения движения в общем виде по двум осям выглядят так:

Еще время полета можно посчитать, учитывая что  в двух моментах – в начале полета и в конце. Значит можно посчитать:

Равномерное движение точки по окружности

Центростремительное ускорение

Представим себе равномерное движение по окружности: во время этого типа движения скорость не меняется по модулю, однако меняется по направлению (см. рисунок 12).

Рисунок 12 – Изменение направления скорости при равномерном движении по окружности

За изменение направления скорости отвечает центростремительное ускорение (  Оно, так же как и скорость, постоянно по модулю, но меняется по направлению – в любой точке окружности оно направлено к ее центру. Центростремительное ускорение можно найти по формуле:

где R – радиус окружности, по которой циклически движется тело.