Как найти закономерность чисел онлайн - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В курсе высшей математики в теме «Ряды» возникает задача о нахождении общего члена ряда или задача о последующих членах ряда, если задано несколько первых членов. Задача не простая. Особенно, если последовательность хитрая. Решить такую задачу бывает не просто. Вот почему, такие же задачки иногда предлагают в тестах на сообразительность или при проверке коэффициента IQ. Теперь вы сможете и задачи по вышке решать легко и интеллект показать при прохождении тестов. Для этого вам просто надо воспользоваться нашим решателем. Сделать это очень просто. Вводите через запятую известные члены последовательности и добавляете в конце три точки, а затем нажимаете кнопку «решить» и получаете результат, если закономерность существует. В качестве ответа вы получите формулу общего члена ряда и продолжение вашей последовательности. Примеры последовательностей приведены ниже.

1, 4, 9, 16, 25, ...

1, -1, 1, -1, 1, ...

5, 14, 23, 32, 41, ...

А вот пример посерьезнее:

1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, ...

Или вот такая последовательность — любителям математики:

118, 199, 226, 235, ...

И на закуску, совсем жесткая последовательность:

3, 2, 1, 7, 4, 1, 1, 8, ...

Наш решатель справляется даже с такой головоломкой.

Правда, с некоторыми головоломками решатель может и не справиться… Пишите в комментариях решенные вами головоломки или те, которые не удалось решить…

Похожие публикации

2015-11-27 • Просмотров [ 30188 ]

Источник

Калькулятор

Инструкция

Шаг 1. Введите в поле число или буквенное выражение.

Шаг 2. Нажмите на кнопку “Анализ”.

Шаг 3. Получите подробный результат.

Вводить в калькулятор можно исключительно латинские буквы и любые цифры с клавиатуры.

Числовая последовательность

Последовательность – это когда числа идут друг за другом в определённой последовательности. Если говорить на математическом языке, то числовая последовательность – функция вида , , где N – множество натуральных чисел или функция натурального аргумента.

Последовательность можно задавать тремя основными способами:

Последовательность задаётся аналитически, если даётся формула её n-ого порядка . Например, – последовательность нечётных чисел 1, 3, 5, 7, 9, … .
Объяснением, из каких элементов строится последовательность. Например, все члены последовательности равняются единице (1). В этом случае говорится о стандартной последовательности – 1, 1, 1, …, 1, 1, 1, … .
Объяснением правила, которое позволяет вычислить -й член последовательности, если мы знаем предыдущие члены. Тогда задают один или два изначальных членов последовательности. Например, $y_1 = 3, y_n = y_{n-1} + 4$ , если = 2, 3, 4, … . Тогда здесь , , и т. д.

Источник

Как пользоваться калькулятором идентификации последовательности

Шаг 1

Введите свой набор чисел в поле ввода. Цифры следует разделять запятыми.

Шаг 2

Нажмите Enter на клавиатуре или на стрелку справа от поля ввода.

Шаг 3

Во всплывающем окне выберите «Определить последовательность». Вы также можете воспользоваться поиском.

Что такое определение последовательности в математике

Последовательность — это такой набор элементов числа, который:
— Для каждого натурального числа вы можете указать элемент этого набора.
— Этот номер является номером позиции и указывает позицию позиции в последовательности.
— Для любого элемента (члена) последовательности вы можете указать последовательность, которая следует за ним.
Таким образом, последовательность является результатом последовательного выбора элементов данного набора. Если какой-либо окончательный набор элементов назвать образцом окончательного объема, последовательность окажется образцом бесконечного объема.

Источник

В чистой математике существует множество абстрактных объектов, которые редко находят применение в реальной жизни. Последовательность Кимберлинга — один из объектов высокой математики, разработанный Кларком Кимберлингом.

Числовые последовательности

Последовательностью называется упорядоченный набор элементов числового пространства. Термин «ряд» означает сумму членов соответствующей ему последовательности, и в популярной литературе используется как синоним. Числовые наборы отличаются огромным многообразием. Первая упорядоченная серия чисел, которую мы изучаем еще в раннем детстве — это натуральный ряд. Натуральные числа используются для счета предметов, а сам ряд выглядит как:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 … n

Предельно просто. Если записать такой ряд строгим математическим языком, то закон формирования этой серии чисел выглядит как n. Из этой последовательности мы можем выделить другие, например, ряд четных чисел, который выгляди как:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 … 2n

а также набор нечетных:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 … 2n – 1

Законы задания последовательности принимают вид 2n для четной и 2n – 1 — для нечетной. Однако не для каждой серии чисел можно задать закон. К примеру, ряд простых чисел, первые члены которого выглядят как:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…

невозможно абсолютно точно задать при помощи закона. Леонард Эйлер предложил закон вида n² – n + 41, и он верен только для первых сорока членов простого ряда. Существует множество многочленов, которые описывают некоторую часть последовательности простых чисел, однако, так как научное сообщество до сих пор не знает, есть ли у нее предел, точного закона до сих пор не выведено. Последовательность Кимберлинга также относится к рядам, которые не имеют четкого буквенного закона, а строятся по заданному алгоритму.

Последовательность Кимберлинга

Кларк Кимберлинг — американский математик, профессор университета Эвансвиля. Кимберлинг известен тем, что заведует энциклопедией центров треугольника, которая на данный момент включает более 6 000 замечательных точек треугольника. Профессор Кимберлинг также сформировал сложную последовательность, которая сегодня носит его имя. Рассмотрим алгоритм ее построения.

Алгоритм последовательности Кимберлинга

Для построения заданного набора чисел на основе натурального ряда для i-го количества элементов необходимо:

на i-той итерации отбросить i-й элемент;
поменять местами элементы с номерами i + k и i – k столько раз, пока не будет выполнено условие k = i;
дописать оставшиеся элементы натурального ряда.

Если говорить простыми словами, то последовательность Кимберлинга строится следующим образом. Запишем первые 10 членов натурального ряда:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

На первой итерации i = 1 отбросим первый элемент, то есть 1. Запишем полученный ряд под исходным:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

На второй итерации i = 2 выбрасываем второй элемент из набора, то есть 3, выделим ее жирным шрифтом и подчеркнем. В начала ряда записываем элемент справа от «жирной» тройки, а затем элемент слева, то есть 4 и 2. После этого дописываем оставшуюся часть последовательности и получаем:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
4, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

На третьей итерации i = 3 выбрасываем третий элемент нижнего ряда, то есть выделенную жирным кеглем пятерку, а ниже запишем соседнее число справа, а затем число слева, то есть 6 и 2. После этого дополним последовательность еще двумя членами: элементами ряда через один от «жирной» пятерки, сначала правое, затем левое, то есть 7 и 4. После этого добавим «остатки» натурального ряда:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
4, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
6, 2, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13

На четвертой итерации i = 4 мы выбрасываем четвертый элемент нижнего ряда, то есть выделенную четверку. После чего записываем последовательно правое и левое число от четверки (8 и 7), затем правое и левое число через одно от четверки (9 и 2), затем правое и левое число через два от четверки (10, 6). После чего дописываем остатки и получаем:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
4, 2, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
6, 2, 7, 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13
8, 7, 9, 2, 10, 6, 11, 12, 13

Теперь выпишем в один ряд выделенные числа, которые мы «выбрасывали» при подсчетах. Получим последовательность:

1, 3, 5, 4, 10.

Это и есть начало последовательности Кимберлинга. Повторять цикл можно произвольное количество раз, но с увеличением количества итераций увеличивается и длина исходного ряда, и количество перестановок.

Наш онлайн-калькулятор автоматически строит последовательность Кларка Кимберлинга с иллюстрацией промежуточных выкладок. Для построения ряда чисел выбранной длины вам понадобится только ввести количество членов в форму калькулятора и получить результат. Не используйте слишком большие значения i, так как это непростая вычислительная задача и для значений больше 200 калькулятору понадобится время.

Заключение

Теория чисел — это чистая, абстрактная математика, которая далеко не всегда находит применение в реальной жизни. Для построения занятного ряда Кимберлинга используйте нашу программу, которая выдаст как промежуточные вычисления, так и конечный результат.

Источник

Линейной рекуррентной последовательностью (возвратной последовательностью, линейной рекуррентой) называется всякая числовая последовательность $x_{0},x_{1},dots$ , задаваемая линейным рекуррентным соотношением:

$x_{n}=a_{1}cdot x_{n-1}+dots +a_{d}cdot x_{n-d}$ для всех

с заданными начальными членами $x_{0},dots ,x_{d-1}$ , где — фиксированное натуральное число, называемое порядком последовательности, $a_{1},dots ,a_{d}$ — заданные числовые коэффициенты, $a_{d}neq 0$ .

Примеры известных линейных рекуррентных последовательностей можно посмотреть под калькулятором.

Линейная рекуррентная последовательность

Размер последовательности для расчета

Начальные члены

Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Примеры линейных рекуррентных последовательностей

Начнем с того, что такие известные понятия, как арифметическая прогрессия и геометрическая прогрессия, можно описать как линейные рекуррентные последовательности.

Арифметическую прогрессию с первым членом a₁ и разностью прогрессии d можно представить как линейное рекуррентное соотношение второго порядка следующего вида:
$x_n = 2x_{n-1} - x_{n-2}$
с x₁ = a₁ и x₂ = a₁+d соответственно. Вот так это выглядит для a₁ = 1 и d = 2.

Геометрическую прогрессию с первым членом a₁ и знаменателем прогрессии q можно представить как линейное рекуррентное соотношение первого порядка вида:
$x_n = qx_{n-1}$
c x₁ = a₁. Вот как это выглядит для геометрической прогрессии со знаменателем 2.

Одной из самых известных линейных рекуррентных последовательностей являются числа Фибоначчи — это последовательность, в которой первые два числа равны 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Соотношение двух последовательных чисел Фибоначчи дает, между прочим, приближение золотого сечения.

Числа Фибоначчи относятся к последовательностям Люка — семейству пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка. К ним же относятся и числа Люка — последовательность, в которой, как и в числах Фибоначчи, каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел, но с первыми членами 2 и 1 соответственно. Числа Люка могут использоваться для проверки на простоту.

Еще две примечательные последовательности Люка это числа Пелля, с формулой
$x_n=2x_{n-1}+x_{n-2}$
и начальными членами 0 и 1, и числа Пелля-Люка или сопутствующие числа Пелля, с той же формулой и начальными членами 2 и 2. Примечательны эти числа тем, что с их помощью можно построить бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из двух:
$frac{1}{1},frac{3}{2},frac{7}{5},frac{17}{12},frac{41}{29},dots,$
Здесь в числителе половина числа Пелля-Люка (2, 6, 14, 34, …), а в знаменателе — число Пелля (1, 2, 5, 12, …), начиная со второго числа в последовательности (n=1). Помимо этого соотношение двух последовательных чисел Пелля дает приближение так называемого серебрянного сечения.

И наконец числа трибоначчи, параметры калькулятора по умолчанию, это последовательность целых чисел, где каждое последующее число является суммой трех предыдущих, с начальными членами 0, 0, и 1. Название образовано по аналогии с «Фибоначчи» с заменой на приставку «три», от латинского tri.

Источник