Как найти закономерность между числами

Закономерность — это регулярные устойчивые взаимосвязи в количествах, свойствах и явлениях объектов. В математической закономерности нужно найти алгоритм, согласно которому в цепочке чисел происходит их повторение, изменение или замещение в соответствии с установленным правилом. 

В чем смысл игры?

Игры такого рода развивают умение выделять закономерности в последовательном ряде элементов. Для этого сначала нужно внимательно рассмотреть задание: сравнить соседние объекты и попробовать определить правило закономерности.

Решить задачу можно с помощью простого счета, обобщения по какому-либо признаку или простого анализа рисунка, текста или схемы.

Как научить ребенка находить закономерности?

Маленьким детям, для решения задач на поиски закономерностей, понадобится только смекалка и воображение. Достаточно лишь объяснить, как можно установить закономерность между звеньями ряда. Если задачу решить не получается, то вместо прямых подсказок следует задать дополнительные вопросы, не раскрывая решение задачи полностью.

В любом случае, пользы будет больше, если ребенок решит, хотя бы одну задачу самостоятельно, нежели взрослый просто расскажет, как её решать. 

Рассмотрим способы, которые помогут ребенку понять закономерности и последовательности в заданиях.

Инструкция по решению числовых последовательностей:

• Найти разницу между двумя рядом стоящими числами
• Определить алгоритм построения последовательности
• Применить алгоритм к следующей паре чисел
• Использовать алгоритм для определения следующего числа в ряду

Инструкция по нахождению закономерностей в заданиях с геометрическими фигурами:

• Рассмотреть фигуры и разделить их, на повторяющиеся группы
• Определить какой элемент изменился в группе
• Решить, какая именно фигура отсутствует или является лишней.

---

Задания для 1 класса

Задание 1

Раскрась дорожки для зайчика и белочки, сохраняя закономерность.

Решение: Белочка и зайчик бегут по разным дорожкам. У каждой дорожки есть своя закономерность. У зайчика повторяется 3 цвета на дорожке: красный, голубой, жёлтый, а у белочки 4: зеленый, коричневый, фиолетовый, жёлтый.

В этом задании можно обратить внимание на то, что обе дорожки состоят из 12 кругов. Но количество повторяющихся цветов разное.

Задание 2

Найди закономерность в ряду геометрических фигур. 

Решение: В этом ряду нужно обратить внимание на размеры фигур, а не на цвет и форму. Сначала идет одна большая фигура, а за ней две маленькие, далее они повторяются.

Задание 3

Нарисуйте в четвертом квадрате правильный ответ. 

Решение: Рассмотрев внимательно рисунок, мы увидим, что круги в квадратах исчезают по одному, против часовой стрелки. В этой задаче имеет значение только расположение кругов квадрате. Таким образом, в последний квадрат мы должны нарисовать один синий круг в нижнем левом углу.

Задание 4

Соблюдая закономерность, продолжи ряд чисел до 10. Сформулируй правило, которое действует в этой закономерности. Используя это правило, придумай свою закономерность.

• 2, 4, 6,…

Решение: В этом ряду каждая цифра увеличивается на 2 относительно предыдущей – мы вычислили правило для данной закономерности. Значит, чтобы продолжить ряд, мы прибавим к каждой следующей цифре по 2. Ответ будет выглядеть так: 2,4,6,8,10.

Чтобы придумать подобную закономерность, нужно использовать сформулированное выше правило: например, 1,3,5,7,9.

---

Задания для 2 класса

Задание 1

Найди закономерность и в пустом квадрате нарисуй нужное количество кругов.

Решение: В таблице в первом горизонтальном ряду количество кругов увеличивается на 1. Во втором ряду увеличивается на 2. Таким образом, можно предположить, что в третьем ряду количество кругов будет увеличиваться на 3 и ответ будет 9. Можно заметить, что и в вертикальных рядах эта закономерность повторяется.

Задание 2

В цепочке чисел найди закономерность и вставь пропущенные числа

• 95, 90, 85, 80, 75,_, 65,_, _,50

Решение: В цепочке чисел можно выделить пары: 95 -90, 85 – 80 и далее. Каждый раз, в паре, число уменьшается на 5. Значит, после 75 запишем 70, после 65 — 60, а затем 55 .

Задание 3

Найди закономерность и продолжи последовательность.

• 2, 3, 5, 8, …, …, …, …

Решение: В этой цепочке чисел к каждому последующему числу прибавляется предыдущее. 2+3=5+3=8+5=13+8=21+13=34 и далее.

Задание 4

В поезде едут геометрические фигуры. Нарисуйте фигуры, в четвёртом вагоне, соблюдая закономерность их расположения.

Решение: В поезде едут геометрические фигуры: квадрат, треугольник, прямоугольник и круг. В трёх вагонах все места заняты фигурами, в определённом порядке. Расставим их и в четвертом вагоне: Круг в нём будет располагаться в нижнем левом углу, квадрат в верхнем левом, треугольник поедет в правом нижнем, а прямоугольник – в левом верхнем углу.

---

Задания для 3 класса

Задание 1

Рассмотрите картинку и найдите закономерность в задаче.

Решение: В таблице мы увидим такую закономерность: 

8-5=3, то есть число увеличилось на 3; далее 14-8=6, соответственно, число увеличилось на 6. В последней связке 23-14=9 число увеличилось на 9. Мы делаем вывод, что каждое следующее число увеличивается на предыдущее значение+3. Таким образом, следующее число увеличивается на 9+3=12. 23 + 12 = 35. Ответ: 35.

Задание 2

 В пустые клетки вставьте геометрические фигуры, сохраняя закономерность.

Решение: Чтобы выполнить задание, нужно фигуры расставить по порядку, друг за другом, соблюдая последовательность. Значит, после прямоугольника стоит круг, треугольник и квадрат  и т. д. 

Задание 3

Найди закономерность и продолжи ряды:

• 12, 23, 34, 45, 56…
• 13, 24, 35, 46…

Решение: В этой задаче каждая последующая цифра увеличивается так: десятки на один десяток и единицы на одну единицу. 12=10+2, 23=20+3, 34=30+5 и т. д.  

Задание 4

 Продолжи ряд, сохраняя закономерность.

• 12, 36, 13, 39, 14, 42, 15,…

Решение: В числовой цепочке выделяем пары чисел. Первая пара:12 и 36. 12×3=36, далее по порядку: 13×3=39. Умножая каждый раз на 3, цифры, следующие по порядку (12,13,14,15…), мы продолжаем последовательный ряд. Ответ: 45.

---

Задания для 4 класса

Задание 1

Найди ошибку в бусах.

Решение: В первых бусах повторяются квадрат и круг, значит лишний шестой круг. Во вторых бусах, повторяется закономерность: круг, два треугольника, два круга, лишний – восьмой, по счету, круг.

Задание 2

Определите закономерность. Найдите лишнее число.

• 8, 16, 20, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72.

Решение: В этом числовом ряду таблица умножения на 8. Ответ: число 20 – лишнее.

Задание 3

Каких геометрических фигур не хватает? Дорисуй их, соблюдая закономерность в таблице: 

Решение: Определить, какой элемент изменился во втором и последующих рядах, можно, выделив последовательность: ромб, трапеция, шестиугольник и параллелограмм. Во втором ряду недостает шестиугольника, в третьем — ромба, в четвертом – параллелограмма и трапеции. 

В одном из предыдущих уроков ты узнал о свойствах предметов и как они связаны с математикой. На этом уроке ты познакомишься с понятием — математическая закономерность.

Закономерность — постоянно повторяющаяся взаимосвязь явлений, действий или свойств предметов.

Закономерности, как и свойства предметов связаны с математикой и с логикой. Зная закономерность, ты точно можешь знать, что будет дальше. После четверга точно будет пятница, после 10 часов утра будет 11 часов утра. Последовательность действий, явлений, свойств или событий в закономерности всегда определена, то есть мы точно знаем что будет дальше.

Типы закономерностей

Существует несколько типов закономерностей: убывающие, возрастающие, циклические и сложные закономерности. Давайте познакомимся с каждой подробнее.

Возрастающая закономерность

Закономерность, у которой числовое свойство увеличивается согласно некоторому закону или формуле, называется возрастающей.

Например, дерево растет и на его стволе каждый год добавляется одно новое кольцо. Этот процесс называется простой возрастающей закономерностью. В этой закономерности легко вычислить, сколько колец будет через 2 года или через 10 лет. Количество колец в стволе соответствует возрасту дерева.

Приведем пример возрастающей закономерности, которая сложнее чем в примере с деревом. Представьте одноклеточный организм, который каждую минуту делится на две клетки. На картинке хорошо видно, что в первую минуту мы видим 1 клетку, во вторую — уже 2 клетки, а затем 4 клетки, 8, 16. Каждую минуту количество увеличивается в 2 раза. Зная предыдущее количество, можно узнать, сколько будет клеток в следующую минуту. Этот процесс называется тоже возрастающей закономерностью. Для настоящих математиков будет несложно установить формулу увеличения закономерности для этого примера. Эта задача для тебя еще сложная, так как ты только начали изучать математику. Главное сейчас чтобы ты понять, что такое закономерность.

Убывающая закономерность

Закономерность, у которой числовое свойство уменьшается согласно некоторому закону или формуле, называется убывающей.

Представьте соревнования по поеданию сосисок на скорость, в которых участвуют два участника. У каждого по 10 сосисок на тарелке (это столько, сколько у тебя пальцев на руках). Первый съедает одну сосиску за минуту, а второй съедает 2 сосиски за минуту. Ясно, что второй участник соревнований победит, так как он съедает больше сосисок за минуту, чем первый участник. Но нам важно увидеть закономерность. На рисунке мы можем увидеть, как в каждой тарелке уменьшается количество сосисок. Этот процесс называется убывающей закономерностью. Второй участник съел всю тарелку сосисок за пять минут и победил!

Циклическая закономерность

Закономерность, которая повторяется каждый раз, называется циклической. Полный круг в циклической закономерности называется циклом закономерности.

Ты точно знаешь закономерность такого типа — это смена времен года. Весна-Лето-Осень-Зима и потом происходит повторение.

Рассмотрим пример с предметами разной формы. На рисунке ты видишь цепочку из разного количества предметов. Попробуй найти закономерность на рисунке ниже. Продолжи цепочку.

Предметы повторяются через каждые три ячейки. Зная закономерность, мы можем предположить, какие предметы будут дальше. За последним звеном будет треугольник, затем круг, далее квадрат.

Сложные закономерности

Закономерности, которые состоят из нескольких видов закономерностей или имеют несколько свойств, называются сложными.

Рассмотрим пример закономерностей на одной и той же цепочке, но будем искать закономерности в зависимости от свойства звеньев. Попробуй найти следующее звено в примере ниже.

Закономерность по форме

Видим, как чередуются звенья цепочки. Точно знаем, что по форме следующим будет круг, обозначим его как большой круг

Закономерность по размеру

Видим, как чередуются звенья цепочки: большая и затем две маленькие фигуры, то есть следующей будет маленькая фигура.

Закономерность по цвету

Получилась самая длинная закономерность в цепочке, выделим ее и определим, какой будет следующий цвет.

Как видишь, закономерность зависит от свойств элементов цепочки. Для одной и той же цепочки мы нашли различные закономерности в зависимости от свойства. Объединим полученные результаты и узнаем, какое звено будут следующим.

Алгоритм поиска закономерностей

Давайте еще раз повторим все шаги для выявления закономерностей.

1. Определяем количество свойств цепочки;
2. Определяем закономерность для каждого свойства;
3. Сопоставляем закономерности для определения всех свойств следующего звена в цепочке.

Поиск закономерностей — это очень хороший навык для юного математика. В будущем, когда ты будешь изучать цифры, тебе обязательно этот навык пригодится. Мы создали набор тестов, где ты сможешь потренироваться в поиске закономерностей. Попробуй пройти все тесты с хорошим результатом и двигайся дальше в изучении математики.

Сразу отметим, что единой универсальной методики для решения задач на числовые ряды нет. Закономерности, по которым числа следуют друг за другом, могут быть самыми разными, и научиться быстро решать такого рода задачи можно только путём практики — прорешав большое количество других задач на ряды.

Рассмотрим самые простые случаи.

Надо продолжить ряд

1) 2 4 6 8 …

В этом случае всё просто — каждое следующее число на 2 больше предыдущего (т.е. это ряд чётных чисел, или арифметическая прогрессия с шагом 2), поэтому следующее число будет 10

2) 4 8 16 32 …

Тут каждое следующее число в 2 раза больше предыдущего (геометрическая прогрессия), поэтому следующим будет число 64

3) 6 11 17 24 …

Этот случай уже чуть сложнее. В этом числовом ряду разница между соседними числами на 1 больше, чем разница между предыдущими

11 — 6 = 5

17 — 11 = 6

24 -17 = 7

Как видим, шаг (разница) между соседними числами каждый раз увеличивается на 1.

Соответственно, после 24 будет число, которое на 8 больше, то есть 32

Хотите, чтобы ваш ребёнок обучался самостоятельно?
Вам поможет наш ВИДЕОКУРС

Пример 1

Ряд: 18 10 6 4 …

Взглянув на этот ряд, можно достаточно быстро понять, что разница между соседними числами с каждым шагом сокращается в 2 раза

18 – 10 = 8

10 — 6 = 4 (8:4 = 2)

6 – 4 = 2 (4:2 = 2)

Следовательно, следующий шаг — это 2:2 = 1, то есть число будет 4-1 = 3

Пример 2

Ряд: 7 15 31 63

Этот ряд противоположен предыдущему. Тут разница между соседними числами с каждым шагом увеличивается в 2 раза

15 – 7 = 8

31 – 15 = 16 (16:8 = 2)

63 – 31 = 32 (32:16 = 2)

Следующий шаг будет 32∙2 = 64, соответственно, следующее число будет 63 + 64 = 127

Ответ: 127

Пример 3

Ряд: 2 4 8 10 20 22 44 46 92 94

Взглянем на этот ряд подробнее.

4 – 2 = 2

8:4 = 2

10 – 8 =2

20:10 = 2

То есть одно число на 2 больше предыдущего, а следующее — в 2 раза больше предыдущего.

Далее опять — на 2 больше, и потом в два раза больше.

Следующие числа в этом ряду:

22 – 20 = 2

44:22 = 2

46 – 44 = 2

92:46 = 2

94 – 92 = 2

Соответственно, следующее число будет в 2 раза больше, чем 94. Т.е. это будет 94∙2 = 188

Ответ: 188

ВИДЕОКУРС 2plus2.online по решению олимпиадных задач по математике для 4 класса и задач из вступительных экзаменов в 5-й класс физматшколы.

Пример 4

Ряд: 1 2 3 5 7 11 13 17 19

В этом ряду бесполезно искать закономерности, насколько соседние числа отличаются друг от друга. Все числа в этом ряду — простые, то есть без остатка делятся только на 1 и на само себя. Соответственно, следующим в ряду будет следующее после 19 простое число, то есть 23.

После того, как вы поняли, что это ряд простых чисел, то вы поняли, почему иные закономерности в этом ряду искать бесполезно — ведь математики до сих пор не нашли закона, по которому распределяются простые числа, и как можно по формуле (а не путём перебора) найти следующее простое число, зная предыдущие.

Ответ: 23

Дата публикации
02.05.2020