Как найти замедление движения

Замедление действительно означает ускорение в обратном направлении; тогда как ускорение означает скорость, с которой объект ускоряется, замедление означает скорость, с которой объект замедляется. Например, самолет, визжащий до остановки, должен иметь высокую скорость замедления, чтобы оставаться на взлетно-посадочной полосе, и автомобиль должен иногда замедляться с точной скоростью, чтобы оставаться в потоке движения. Два уравнения полезны для расчета замедления. Одна формула включает время, необходимое для замедления объекта, а другая формула использует расстояние. Рассчитанные скорости замедления могут быть выражены в единицах стандартной земной гравитации (G).

TL; DR (слишком долго; не читал)

Замедление можно рассчитать как изменение скорости за период времени, используя формулу конечной скорости (s _f) минус начальная скорость (s _i), деленная на время изменения скорости (t): (s _f -s _i) ÷ т = замедления.

Замедление также можно рассчитать как изменение скорости на расстоянии, используя формулу конечной скорости в квадрате (s _f ²) минус начальная скорость в квадрате (s _i ²), деленная на удвоенное расстояние (d): (s _f ² -s _i ²) ÷ 2d = замедление.

При необходимости преобразуйте единицы, чтобы быть уверенными, что единицы, будь то футы в секунду или метры в секунду, остаются согласованными.

Использование разницы в скорости и времени

1. Рассчитать изменение скорости

Вычтите конечную скорость из начальной скорости.

2. Конвертировать единицы

Преобразуйте разницу скорости в единицы скорости, которые совместимы с рассчитываемым ускорением. Ускорение обычно выражается в футах в секунду в секунду или метрах в секунду в секунду. Если скорость указана в милях в час, преобразуйте эту скорость в футы в секунду, умножив результат на 1, 47 (5280 футов за милю ÷ 3600 секунд в час). Аналогичным образом умножьте километры в час на 0, 278, чтобы перевести скорость в метры в секунду.

3. Рассчитать среднее замедление

Разделите изменение скорости на время, в течение которого произошло изменение. Этот расчет дает среднюю скорость замедления.

4. Практикуй Формулу

Рассчитайте, например, замедление, необходимое для замедления приземляющегося самолета с 300 до 60 миль в час за 30 секунд.

Преобразуйте скорости так: 300 x 1, 47 = 440 футов в секунду и 60 x 1, 47 = 88 футов в секунду. Снижение скорости составляет 300 — 88 = 212 футов в секунду. Скорость замедления рассчитывается как 212 ÷ 30 = 7, 07 фута в секунду в секунду.

Использование разницы в скорости и расстояния

1. Проверьте Единицы

Преобразуйте начальную и конечную скорости в единицы, которые будут полезны для расчета ускорения (футы в секунду или метры в секунду). Также убедитесь, что расстояние, на котором происходит изменение скорости, соответствует совместимой единице (футы или метры).

2. Квадрат скорости

Выровняйте начальную скорость и конечную скорость.

3. Рассчитать разницу скоростей

Вычтите квадрат конечной скорости из квадрата начальной скорости.

4. Рассчитать среднюю скорость замедления

Разделите на два раза расстояние. Это средняя скорость замедления.

5. Практикуй Формулу

Рассчитайте, например, замедление, необходимое для остановки автомобиля на 140 футов, если он движется со скоростью 60 миль в час.

Преобразование 60 миль в час до 88 футов в секунду. Поскольку конечная скорость равна нулю, разница в этом квадрате равна: 7 744 футов в секунду в квадрате. Скорость замедления составляет 7 744 ÷ (2 x 140) = 27, 66 фута в секунду в секунду.

Замедление в гравитационных единицах (G)

1. Найти замедление

Рассчитайте скорость замедления, используя один из двух методов, описанных выше.

2. Преобразовать в единицы гравитации

Разделите замедление на стандартное гравитационное ускорение. В американских единицах это примерно 32 фута в секунду в секунду. Для метрических единиц стандартное гравитационное ускорение составляет 9, 8 метра в секунду в секунду. Результат дает среднее количество G, примененных для достижения замедления.

3. Практикуй Формулу

Увеличьте понимание, рассмотрев пример: найдите силу G, необходимую для остановки автомобиля в предыдущем примере.

Расчетное замедление составило 27, 66 футов в секунду в секунду. Замедление эквивалентно 27, 66 ÷ 32 = 0, 86 Гс.

подсказки

• Расчеты замедления, как и в примерах, часто включают только линейное движение. Для ускорений, связанных с двумя и тремя измерениями, математика включает векторы, которые являются направленными и более сложными.

Skip to content

Равномерное движение (движение тела с постоянной скоростью)

Формула скорости движения при равномерном движении:

v=const
a=0
v — скорость, м/с
s — перемещение, м
t — время, с
Формула перемещения при равномерном движении:

Координата вычисляются через кинематическое уравнение равномерного прямолинейного движения по  формуле:

График — Равномерного прямолинейного движения

Равноускоренное движение

Формула скорости при равноускоренном движении:

a=const
v₀ — начальная скорость, м/с
a — ускорение, м/с²
Формула для нахождения перемещения при равноускоренном движении:

или

Уравнение равноускоренного движения в проекции на оси координат:

Формула для определения ускорения при равноускоренном прямолинейном движении:

v₀ — начальная скорость, м/с
v — мгновенная скорость, м/с
Формула для определения средней скорости движения:

График — Равноускоренное движение при a>0

Равнозамедленное движение

Равнозамедленное движение — это движение тела, при котором модуль скорости равномерно уменьшается с течением времени, а вектор ускорения остается постоянным как по модулю, так и по направлению.

Формула скорости при равнозамедленном движении:

Формула перемещения при равнозамедленном движении:

График — Равнозамедленное движение при a<0

Свободное падение

Постоянная величина скорости свободного падения тела равна g=9,8 м/с²
Формула для вычисления скорости при свободном падении тела:

Формула для вычисления перемещения при свободном падении тела:


Формула координаты при свободном падении тела:

Формула высоты с которой тело свободно падает:

Формула для определения скорости тела в конце свободного падения:

Время свободного падения тела равно:

61814

Установившееся
замедление
,
м/с², рассчитывают по формуле

.
(7.11)

=9,81*0,2=1,962
м/с²;

=9,81*0,4=
3,942 м/с²;

=9,81*0,6=5,886м/с²;

=9,81*0,8=7,848
м/с².

Результаты
расчетов по формуле (7.10) сведены в таблицу
7.2

Таблица
7.2 – Зависимость остановочного пути и
установившегося замедления от начальной
скорости торможения и коэффициента
сцепления

	, км/ч
10	20	30	40	50	60	70	80
0,2	4,61	13,15	25,63	42,05	62,40	86,69	114,92	147,09
0,4	3,62	9,21	16,77	26,30	37,79	51,26	62,69	84,09
0,6	3,29	7,90	13,83	21,05	29,59	39,45	50,62	63,10
0,8	3,13	7,25	12,35	18,43	25,49	33,55	42,58	52,61

По
данным таблицы 7.2 строим зависимость
остановочного пути и установившегося
замедления от начальной скорости
торможения и коэффициента сцепления
(рисунок 7.2).

7.9 Построение тормозной диаграммы атс

Тормозной
диаграммой (рисунок 7.3)называется зависимость замедления и
скорости движения АТС от времени.

7.9.1
Определение скорости и замедления на
участке диаграммы, соответствующем
времени запаздывания срабатывания
привода

Для
этого этапа
==const,= 0 м/с².

В
эксплуатации начальная скорость
торможения
= 40 км/ч для всех категорий АТС.

7.9.2
Определение скорости АТС на участке
диаграммы, соответствующем времени
нарастания замедления

Скорость
,
м/с, соответствующую концу времени
нарастания замедления, определяют по
формуле

.
(7.12)

=11,11-0,5*9,81*0,7*0,1=10,76
м/с.

Промежуточные
значения скорости на данном участке
определяют по формуле (7.12), при этом
= 0;
коэффициент сцепления для категории
М₁=
0,7.

7.9.3
Определение скорости и замедления на
участке диаграммы, соответствующем
времени установившегося замедления

Время
установившегося замедления
,
с, рассчитывают по формуле

,
(7.13)

с.

Скорость
,
м/с, на участке диаграммы, соответствующем
времени установившегося замедления,
определяют по формуле

,
(7.14)

при= 0.

м/с.

Величину
установившегося замедления для рабочей
тормозной системы автомобилей категории
М₁принимают=7,0
м/с²[2].

8
Определение параметров управляемости
АТС

Управляемость АТС
– это его свойство сохранять в определенной
дорожной обстановке заданное направление
движения или изменять его в соответствии
с воздействием водителя на рулевое
управление.

8.1
Определение максимальных углов поворота
управляемых колес

8.1.1
Определение максимального угла поворота
наружного управляемого колеса

Максимальный
угол поворота наружного управляемого
колеса
,
град, можно определить из выражения

,
(8.1)

где
R_н1
min
– радиус поворота наружного колеса.

Радиус
поворота наружного колеса принимается
равным соответствующему параметру
прототипа –
R_н1
min
= 6 м.

,

=25,65.

8.1.2
Определение максимального угла поворота
внутреннего управляемого колеса

Максимальный
угол поворота внутреннего управляемого
колеса можно определить, приняв колею
шкворней равной колее колес.
Предварительно необходимо
определить расстояние от мгновенного
центра поворота до наружного заднего
колеса.

Расстояние
от мгновенного центра поворота до
наружного заднего колеса
,
м, рассчитывают по формуле

,
(8.2)

.

Максимальный
угол поворота внутреннего управляемого
колеса
,
град, можно определить из выражения

,
(8.3)

,

=33,34.

8.1.3
Определение среднего максимального
угла поворота управляемых колес

Средний
максимальный угол поворота управляемых
колес
,
град, можно определить по формуле

,

(8.4)

.

8.2
Определение минимальной ширины проезжей
части

Минимальную
ширину проезжей части
,
м, рассчитывают по формуле

,
(8.5)

=5,6-(5,05-1,365)=1,915м.

8.3
Определение критической по условиям
увода скорости движения

Критическую
по условиям увода скорость движения
,
м/с, рассчитывают по формуле

,
(8.6)

где
,– коэффициенты сопротивления уводу
колес передней и задней оси соответственно,
Н/град.

Коэффициент
сопротивления уводу одного колеса
,
Н/рад, ориентировочно определяют по
эмпирической зависимости

,
(8.7)

где
– внутренний диаметр шины, м;– ширина профиля шины, м;– давление воздуха в шине, кПа.

К_δ1=(780(0,33+2*0,175)0,175(0,17+98)
*2)/57.32=317,94, Н/град

К_δ1=(780(0,33+2*0,175)0,175(0,2+98)*2)/
57.32=318,07,Н/град

.

Поворачиваемость
проектируемого автомобиля – избыточная.

Для
обеспечения безопасности движения
должно выполняться условие

>
.
(***)

Условие
(***) не выполняется, так как при определении
коэффициентов сопротивления уводу были
учтены только параметры шин. В тоже
время при определении критической по
уводу скорости необходимо учитывать
распределение массы автомобиля,
конструкцию подвески и другие факторы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В этой главе. . .

• Изучаем скорость перемещения
• Разбираемся с разными видами скорости
• Замедляемся и разгоняемся
• Исследуем связь между ускорением, временем и перемещением
• Связываем скорость, ускорение и перемещение

Представьте себе, что вы участвуете в гонке “ Формула-1” и в гоночном автомобиле мчитесь навстречу славе. Скорость огромна, ветер свистит, а уверенность в победе высока, ведь отрыв от соперников значителен и осталось пройти последний поворот. Похоже, что ближайший преследователь, чемпион прошлого года, также прилагает значительные усилия — в зеркале заднего вида на мгновение показалась серебристая обшивка его болида. Необходимо что-то предпринять, поскольку преследователь очень быстро сокращает отставание.

Вам известно все или почти все о скорости и ускорении. С такими знаниями вы знаете, что нужно делать: жмете на педаль газа, и болид ускоряется. Знание законов изменения скорости позволило с легкостью пройти последний поворот. А вот и взмах клетчатого флага на финише, к которому вы пришли за рекордное время. Отлично! Безусловно, вам помогло знание именно тех тем, которые излагаются в этой главе: перемещение, скорость и ускорение.

Наверняка у вас уже есть интуитивное представление об этих понятиях, иначе вы не смогли бы управлять автомобилем или даже велосипедом. Перемещение описывает изменение места расположения, скорость характеризует быстроту перемещения, а ускорение знакомо всякому, кому приходилось перемещаться в автомобиле. С этими понятиями люди сталкиваются ежедневно, а физика поможет организовать их изучение. Знание этих физических понятий позволяет планировать дороги и транспортные развязки, строить и запускать космические корабли, отслеживать движение планет, предсказывать погоду, а также… приводит нас в бешенство в дорожной пробке.

Понимание законов физики включает понимание основ движения, и именно этой теме посвящена данная глава. Приступаем.

Передвигаемся и перемещаемся

С точки зрения физики перемещение возникает при переходе какого-то объекта из точки 1 в точку 2. Попросту говоря, перемещение — это пройденное объектом расстояние. Рассмотрим, например, движущийся вдоль линейки мячик для игры в гольф, который показан на рис. 3.1. Допустим, что сначала мячик находится возле отметки 0 (схема А).

Пока что все в порядке. Допустим, что мячик сместился на новое место, например на 3 метра вправо (схема Б). В таком случае говорят, что мячик переместился, или произошло перемещение. В данном случае перемещение равно 3 метрам. В исходном положении мячик находился на отметке 0 метров, а в конечном положении — на отметке +3 метра.

В физике перемещение часто обозначают символом ​( s )​, т.е. в данном случае ( s ) равно 3 метрам.

Как и любое другое измерение в физике, перемещение выражается в некоторых единицах, обычно в сантиметрах или метрах. Но часто можно встретить и другие единицы: километр, дюйм, фут, миля или даже световой год (расстояние, которое проходит свет за один год и которое тяжело измерить обычной линейкой; оно приблизительно равно 9 460 800 000 000 километрам или 9 460 800 000 000 000 метрам).

Ученые любят очень подробно описывать разные ситуации. Например, исходное положение часто обозначают символом( s_0 )(или, в англоязычной литературе,( s_i ) где ​( i )​ обозначает “initial”, т.е. исходный). А конечное положение часто обозначают символом ( s_1 ) (или, в англоязычной литературе, ( s_f ) где ​( f )​ обозначает “final”, т.е. конечный). Таким образом, положения на схеме А и схеме Б на рис. 3.1 выражаются символами ( s_0 ) и ( s_1 ) соответственно. А перемещение ( s ) между ними равно их разности, т.е. конечное положение минус исходное положение:

Перемещения не обязательно должны быть положительными: они могут быть нулевыми или даже отрицательными. На схеме В на рис. 3.1 показана ситуация, когда неугомонный мячик переместился в новое положение у отметки -4 метра. Чему равно перемещение в этом случае? Ответ зависит от выбранного исходного положения. Исходное положение также часто называют начальной точкой (в которой начинается действие), которую можно выбрать произвольным образом. Если в качестве исходного положения выбрать положение 0 на линейке, то получим следующее перемещение:

Обратите внимание, что ( s ) отрицательно!

В качестве начальной точки можно выбрать отличное от 0 положение. Например, для перехода между исходным положением на схеме А на рис. 3.1 и конечным положением на схеме В получим следующее перемещение:

Величина перемещения зависит от выбора начальной точки. В простых задачах выбор начальной точки очевиден, а как быть в более сложных случаях, например, когда движение происходит не вдоль линейки?

Разбираемся с осями

В реальном мире объекты редко движутся вдоль линеек, как мячик для гольфа на рис. 3.1. Часто движение происходит в двух или даже трех измерениях пространства. Чтобы измерить движение в двух пространственных измерениях, нужно иметь две пересекающиеся линейки, которые называются осями. Горизонтальную ось называют осью X, а вертикальную — осью Y, а при движении в трехмерном пространстве используют еще одну ось Z (если представить, что оси X и Y лежат в плоскости страницы, то ось Z как бы “торчит” из нее).

На рис. 3.2 показан пример движения мячика для гольфа в двумерном пространстве. Мячик движется из центра рисунка в верхний правый угол.

Используя оси, можно сказать, что мячик передвинулся на +4 метра по оси X и на +3 метра по оси Y. Новое положение мячика обозначается парой чисел (4; 3), где первое число относится к оси X, а второе — к оси Y, т.е. оно выражается в формате ( (x,y) ).

Чему равно перемещение? Изменение положения по оси X обозначается символом ​( Delta x )​ (греческий символ ​( Delta )​ произносится “дельта” и означает “изменение”) и равно: конечное положение минус исходное положение. Если мячик стартует из центра рисунка, т.е. из положения (0; 0), то изменение положения по оси X равно:

Аналогично, изменение положения по оси Y равно:

Допустим, что нужно вычислить величину суммарного перемещения по обеим осям X и Y. Иначе говоря, насколько далеко удалился мячик от исходного положения в центре рисунка? Это можно подсчитать на основе теоремы Пифагора, т.е. выполнить следующие вычисления:

Итак, величина перемещения мячика равна 5 метрам.

Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы.

Измеряем скорость

В предыдущих разделах рассматривалось движение в одном или двух пространственных измерениях. Однако реальные перемещения происходят за некоторый промежуток времени, т.е. с некоторой скоростью. Например, за какое время произошло перемещение на рис. 3.1 из исходного положения в конечное положение: за 12 лет или 12 секунд?

Остальная часть этой главы посвящена измерению скорости перемещений. Аналогично измерению перемещения в пространстве, можно измерять разницу во времени между началом и концом движения, которая обычно выражается следующим образом:

Здесь ​( t_1 )​ обозначает конечное время, ​( t_0 )​ — начальное время, а их разность — количество времени, необходимого для перемещения, например движения мячика от начального к конечному положению. Когда ученые хотят узнать, насколько быстро происходит это событие, то фактически это значит, что они хотят измерить скорость.

Подробнее о скорости: что же это такое

Наверняка вам известно из опыта, что скорость определяется следующим образом:

скорость = расстояние/время.

Например, если расстояние ​( s )​ пройдено за время ​( t )​, то скорость ​( v )​ равна:

Переменная ​( v )​ обозначает только величину скорости, но истинная скорость также имеет направление (более подробно это описывается в главе 4). Иначе говоря, скорость является вектором (векторы обычно обозначаются полужирным начертанием, например ( mathbf{v} )). Векторы обладают величиной и направлением, т.е., зная скорость, мы знаем не только быстроту, но и направление движения. Аналогично, перемещение в более общем смысле является вектором, т.е. характеризуется не только величиной, но и направлением смещения (более подробно векторы описываются в главе 4).

Достаточно просто, не так ли? Точнее говоря (физики очень любят точность), скорость равняется изменению положения, деленному на изменение времени. Потому скорость движения вдоль оси X можно выразить следующим образом:

В реальном мире скорость может принимать очень разные формы, некоторые из них описываются в следующих разделах.

Смотрим на спидометр: мгновенная скорость

Итак, у нас уже есть общее представление о скорости. Именно ее измеряет спидометр автомобиля, не так ли? Когда вы катите по прямолинейному шоссе, все, что нужно делать, — всего лишь следить за показаниями спидометра. “Уже 140 километров в час. Пожалуй, сбросим скорость до 120”. Именно так мы часто поступаем в жизни, а иначе говоря, так мы определяем мгновенную скорость.

Понятие мгновенной скорости играет важную роль в понимании физических процессов. В данный момент времени спидометр показывает 120 километров в час, значит, ваша мгновенная скорость равна именно этой величине. Если вы ускоритесь до 150 километров в час, то ваша мгновенная скорость станет равной этой новой величине. Мгновенная скорость — это скорость в данный момент времени. Спустя две секунды мгновенная скорость может стать совершенно другой.

Движемся постоянно: равномерная скорость

А что если долгое время автомобиль едет со скоростью 120 километров в час? В физике эта скорость называется равномерной (или постоянной), а в жизни она возможна только при движении на абсолютно ровных и прямолинейных дорогах, когда долгое время можно поддерживать движение без изменения скорости.

Равномерное движение с постоянной скоростью является простейшим видом движения, поскольку оно никак не меняется.

Движемся вперед и назад: неравномерное движение

Название этого типа движения говорит само за себя: неравномерное движение означает движение со скоростью, меняющейся со временем. Именно с такой скоростью мы чаще всего сталкиваемся в повседневной жизни. Вот как выглядит уравнение изменения скорости от исходной скорости ​( v_1 )​ до конечной скорости ​( v_0 )​:

Остальная часть этой главы посвящена ускорению, которое характеризует неравномерность движения.

Жмем на секундомер и определяем среднюю скорость

Выражение со скоростями не так уж неосязаемо, как может показаться. Измерения скорости можно сделать более конкретными. Допустим, что вам хочется совершить путешествие из Нью-Йорка в Лос-Анджелес, которые находятся на расстоянии около 2781 миль друг от друга. Если предположить, на это путешествие ушло 4 суток, то какой была ваша скорость?

Скорость можно найти, если поделить пройденное расстояние на затраченное на это время:

Итак, результат 695,3 получен, но в каких единицах он выражен?

В этом выражении мили делятся на сутки, т.е. результат равен 695,3 милям в сутки. Это не совсем стандартная единица измерений и вполне естественно было бы поинтересоваться: а сколько это миль в час? Для ответа на этот вопрос нужно перевести сутки в часы, как показано в главе 2. Поскольку в сутках 24 часа, то получим следующий результат:

Итак, получен более понятный результат 28,97 миль в час. Смущает лишь столь малая величина скорости, ведь обычно машины едут со скоростью в 2-3 раза быстрее, однако среднюю скорость для всего путешествия мы вычислили, разделив все расстояния на все время, включая время отдыха.

Среднюю скорость часто обозначают с помощью штриха над переменной: ​( overline{v} )​ .

Средняя скорость и неравномерное движение

Средняя скорость отличается от мгновенной, если только вы не движетесь равномерно, когда скорость вообще не меняется. А средняя скорость неравномерного движения, когда все расстояние делится на все время, может отличаться от мгновенной скорости.

Путешествуя из Нью-Йорка в Лос-Анджелес, вам наверняка придется провести несколько ночей в отелях, и во время вашего отдыха мгновенная скорость автомобиля равна 0 миль в час, а средняя скорость — 28,97 миль в час! Дело в том, что средняя скорость получена в результате деления всего расстояния на все время.

Средняя скорость может зависеть от фактически пройденного пути. Допустим, что, путешествуя по штату Огайо, вы решили подвезти попутчика в штат Индиана и погостить у вашей сестры в штате Мичиган. Все путешествие может иметь вид, показанный на рис. 3.3: первые 80 миль — в штат Индиана, а потом 30 миль — в штат Мичиган.

Если ехать со скоростью 55 миль в час, то для преодоления всего пути длиной 80 + 30 = 110 миль потребуется 2 часа. Но если взять расстояние по прямой между начальной и конечной точкой путешествия, которое равно 85,4 миль, то средняя скорость будет равна:

Таким образом, получена средняя скорость для расстояния от начальной до конечной точки путешествия вдоль пунктирной линии. Но если вам нужно определить скорость для каждого из двух отрезков фактически пройденного пути, то нужно измерить длину каждого из двух отрезков и разделить их на время их прохождения.

При движении с равномерной скоростью это можно сделать легко и просто, поскольку в таком случае средняя скорость равняется мгновенной скорости в любой точке пути.

Изучая движение, нужно учитывать не только скорость, но и направление движения. Именно по этой причине огромное значение имеет понятие вектора скорости. Более подробно векторы описываются в главе 4.

Ускоряемся и замедляемся

Как и в случае со скоростью, вам уже наверняка знакомо понятие ускорения. Ускорение характеризует быстроту изменения скорости. При выезде с подземной парковки порой приходится слышать визг шин — кто-то пытается ускориться, подрезать и обогнать вас на выезде. Вот он проскакивает перед вами буквально в нескольких сантиметрах и резко тормозит прямо перед вами, принуждая вас резко нажать на педаль тормоза. Именно в таких ситуациях очень полезно и важно знать основы физики.

Определяем ускорение

С точки зрения физики ускорение (​( a )​) — это изменение скорости (( Delta v )) за единицу времени (( Delta t )):

Это соотношение можно переписать иначе для известных начальной и конечной скоростей в начальный и конечный моменты времени соответственно:

Ускорение, как и скорость, является векторной величиной и часто обозначается полужирным начертанием: ​( mathbf{a} )​. Иначе говоря, ускорение, как и скорость, характеризуется направлением. Более подробно векторы описываются в главе 4.

Определяем единицу ускорения

Единицу ускорения можно легко определить, если проанализировать определение ускорения, в котором изменение скорости делится на изменение времени:

Подставляя единицы измерения, получим:

Итак, единица ускорения — это единица расстояния, деленная на единицу времени в квадрате. Иначе говоря, ускорение — это скорость изменения скорости.

Поскольку ускорение — это расстояние, деленное на время в квадрате, то среди единиц измерения можно встретить следующие: километр на секунду в квадрате, метр на секунду в квадрате, сантиметр на секунду в квадрате, миля на секунду в квадрате, фут на секунду в квадрате и т.д.

Шутки ради допустим, что вы едете со скоростью 75 миль в час и в зеркале заднего вида видите проблесковый маячок дорожного патруля. Жмете на тормоза и останавливаетесь спустя 20 секунд. Инспектор дорожного патруля подходит к вам и сообщает: “Выдвигались со скоростью 75 миль в час в зоне, где скорость движения ограничена величиной 30 миль в час”. Что можно ответить? Попробуйте поразить воображение инспектора своими познаниями физики.

Быстро подсчитайте величину своего замедления после сигнала инспектора, чтобы поразить его своим исключительным законопослушанием! Достаньте калькулятор и начните вводить в него данные. Преобразуйте величину скорости 75 миль в час в более впечатляющие единицы измерения, например в сантиметры в секунду. Для этого сначала преобразуйте единицу измерения скорости, т.е. выразите ее в милях в секунду:

Теперь попробуем преобразовать мили в секунду в более впечатляющие для инспектора единицы измерения, например в сантиметры в секунду. Как известно, 1 миля содержит 5280 футов, а 1 фут — 12 дюймов. Тогда пройденное расстояние в дюймах в секунду равно:

В главе 2 уже упоминалось, что 1 дюйм равен 2,54 сантиметрам, потому пройденное расстояние в сантиметрах в секунду равно:

Таким образом исходная скорость движения была равна 3,4⋅10³ сантиметров в секунду, а конечная — 0 сантиметров в секунду. Это изменение скорости произошло за 20 секунд. Так чему же равняется ускорение? Напомним еще раз формулу ускорения:

Подставляя числа, получим:

Итак, ускорение равно 170 см/с². Однако попробуем присмотреться к этому результату более внимательно и вспомнить точное определение ускорения:

Конечная скорость равна 0 см/с, а исходная — 3,4⋅10³ см/с, так что подставляя значения в эту формулу, получим:

Иначе говоря, мы получили -170 см/с², а не +170 см/с², что с точки зрения физики (и законов дорожного движения) имеет большое значение. Если бы ваше ускорение было равно +170 см/с², то конечная скорость через 20 секунд была бы равна 150 миль в час, а не 0 миль в час. Ни один инспектор дорожного движения не обрадовался бы такому конечному результату.

Теперь вам осталось только очаровательно улыбнуться и сказать инспектору: “Возможно, я ехал несколько быстрее, чем следовало, но я чрезвычайно законопослушный гражданин и, едва услышав вашу сирену, мгновенно затормозил с замедлением -170 см/с²”. Возможно, инспектор будет настолько впечатлен этим результатом и вашими познаниями физики, что отпустит вас без наказания.

Аналогично скорости, ускорение может принимать разный вид в разных физических задачах. Ускорение может быть положительным, отрицательным, средним, мгновенным, равномерным или неравномерным. В следующих разделах описываются некоторые такие ситуации.

Положительное и отрицательное ускорение

При решении физических задач всегда нужно внимательно следить за знаком используемой величины. Ускорение, как и скорость, может быть отрицательным или положительным. При торможении автомобиля его скорость меняется с положительной до 0, а потому ускорение имеет отрицательный знак.

Ускорение, как и скорость, обладает знаком.

Не следует думать, что отрицательное ускорение всегда означает замедление, а положительное ускорение всегда означает ускорение. На рис. 3.4 показан пример ситуации, когда мячик для игры в гольф движется с замедлением из начального положения (схема А на рис. 3.4) в конечное положение (схема Б на рис. 3.4), но с положительным ускорением.

Поскольку отрицательная величина скорости уменьшается, то в целом ускорение мячика имеет положительную величину. Иначе говоря, для уменьшения отрицательной скорости нужно сделать положительное приращение скорости, т.е. ускорение при этом будет положительным.

Знак ускорения сообщает нам о том, как меняется скорость. Положительное ускорение означает, что скорость увеличивается в положительном направлении и уменьшается в отрицательном направлении. И наоборот, отрицательное ускорение означает, что скорость увеличивается в отрицательном направлении и уменьшается в положительном направлении.

Среднее и мгновенное ускорение

Аналогично скорости, ускорение может иметь мгновенное или среднее значение. Среднее ускорение равно отношению изменения скорости к изменению времени. Среднее ускорение обозначается штрихом сверху, ​( overline{a} )​, и вычисляется аналогично средней скорости, т.е. от конечной скорости отнимается начальная скорость и полученная разность делится на все время (т.е. на разность конечного и начального времени):

Это соотношение дает нам среднее ускорение, но фактическое ускорение в произвольный момент времени не всегда равно среднему ускорению. Например, в предыдущем примере после того, как вы заметили сигнал инспектора, вы очень сильно нажимаете педаль тормоза, и автомобиль тормозит с очень большим ускорением. Но перед самой остановкой вы отпускаете педаль тормоза, и ваш автомобиль тормозит с уже меньшим ускорением. Оба эти мгновенные значения отличаются от величины среднего ускорения, вычисленного после деления всего изменения скорости на все время торможения.

Равномерное и неравномерное ускорение

Движение с неравномерным ускорением означает движение с изменением ускорения. Например, при движении в городе часто приходится тормозить перед знаками и сигналами остановки движения, а потом снова разгоняться.

Однако существуют ситуации, когда ускорение остается неизменным во время движения, например ускорение свободного падения под действием силы притяжения Земли. Это ускорение в общем случае равно 9,8 метров в секунду в квадрате, направлено к центру Земли и неизменно.

Связываем ускорение, время и перемещение

Итак, в этой главе вы познакомились с четырьмя параметрами движения: ускорением, скоростью, временем и перемещением. Перемещение и время связаны следующим простым соотношением для скорости:

Аналогично, скорость и время связаны следующим простым соотношением для ускорения:

Однако эти соотношения связывают только по два “уровня” переменных, т.е. скорость с перемещением и временем, а ускорение со скоростью и временем. А как связать три “уровня” переменных, т.е. ускорение со временем и перемещением?

Допустим, что вы участвуете в гонке и после пробного заезда хотели бы знать ускорение, которое способен обеспечить ваш автомобиль по известному пройденному пути 402 метра за 5,5 секунд. Таким образом, получается задача, в которой нужно связать ускорение с перемещением и временем.

Итак, для решения этой задачи нужно вывести уравнение связи ускорения с перемещением и временем.

Работу с уравнениями можно заметно упростить, если использовать алгебраические подстановки, например использовать переменную ​( v )​ вместо разности ​( v_1-v_0 )​ и переменную ​( t )​ вместо разности ​( t_1-t_0 )​. В случае необходимости после получения решения можно сделать обратную подстановку, заменяя переменную ( v ) разностью ( v_1-v_0 )​ и переменную ( t ) разностью ( t_1-t_0 ).

Не такие уж и далекие связи

Попробуем связать ускорение, перемещение и время, жонглируя разными переменными, пока не получим нужный результат. Перемещение равно средней скорости, умноженной на время:

Итак, у нас есть отправная точка. Какова средняя скорость автомобиля из предыдущего примера? Начальная скорость была равна 0, а конечная — очень большой. Поскольку ускорение было постоянным, то скорость росла линейно от нуля до конечного значения (рис. 3.5).

При постоянном ускорении средняя скорость равна половине суммы конечной и начальной скоростей:

Конечная скорость равна:

Тогда средняя скорость равна:

Теперь подставим это выражение для средней скорости в уравнение для перемещения ​( s=overline{v}t )​ и получим:

Теперь вместо переменной ​( t )​ можно подставить исходную разность конечного и начального моментов времени и получим:

Ура! Мы вывели одно из наиболее важных соотношений между ускорением, перемещением, временем и скоростью, которые используются в физических задачах.

Выводим более сложные соотношения

А что если движение началось не с нулевой начальной скоростью? Как в таком случае связать ускорение, время и перемещение? Как такое начальное значение скорости, например 100 миль в час, повлияет на величину пройденного расстояния? Поскольку расстояние равно скорости, умноженной на время, то искомое соотношение имеет следующий вид:

Такое выражение не так уж и легко запомнить, если, конечно, вы не обладаете фотографической памятью. Сложно даже запомнить более простую формулу связи между перемещением и временем для движения с постоянным ускорением, с нулевого начального момента и с нулевой начальной скоростью:

Если движение начинается не с нулевой скоростью, то к предыдущему выражению нужно добавить расстояние, которое было бы пройдено за то же время с начальной скоростью. Подобные соображения на основе здравого смысла значительно упрощают решение физических задач. Механическое запоминание формул без понимания их смысла не всегда поможет вам найти ошибку в вычислениях.

Так каким же было ускорение автомобиля в одном из предыдущих примеров? Теперь мы знаем, как связаны перемещение, ускорение и время, и для ответа на этот вопрос нужно применить алгебраические навыки. Итак, мы имеем:

После деления обеих частей на ( t^2 ) и умножения на 2 получим:

Великолепно! Подставляя числа, получим:

Итак, получилось, что ускорение автомобиля равно 27 метров в секунду в квадрате. Насколько велико это ускорение? Например, ускорение свободного падения в поле тяготения Земли, ​( g )​, равно около 9,8 метров в секунду в квадрате, т.е. ускорение автомобиля приблизительно равно ​( 2,7g )​.

Связываем скорость, ускорение и перемещение

До сих мы достаточно успешно справлялись со всеми предложенными задачами. А что если немножко усложнить их условия? Допустим, что в примере с автомобилем вам известно только ускорение 26,3 метров в секунду в квадрате и конечная скорость 146,3 метров в секунду, а нужно определить пройденное расстояние. Справитесь ли вы с таким заданием? Внимательный читатель уверенно ответит: “Никаких проблем, только дайте мне калькулятор”.

Прежняя задача в новой формулировке кажется более сложной, поскольку в прежних соотношениях всегда присутствовало время. Это значит, что, зная время движения, вы легко сможете решить задачу даже в новой более сложной формулировке. Чтобы определить время движения, достаточно знать ускорение, а также начальную и конечную скорости.

Поскольку:

то получим выражение для времени движения:

Теперь, зная время, можно определить пройденное расстояние по формуле:

Второй член можно исключить, потому что ​( v_0 )​ = 0. Итак, после подстановки чисел получим:

Как выглядит формула связи перемещения, ускорения и скорости? Для ее получения нужно найти выражение для времени движения:

Поскольку при движении с равномерным ускорением ( s=overline{v}t ), a ( overline{v}={}^1!/!_2(v_1-v_0) ), то получим:

Подставляя в эту формулу выражение для времени движения, получим:

После несложных алгебраических преобразований получим:

Перемещая член ​( 2a )​ в другую часть уравнения, получим еще одно важное соотношение, которое связывает скорость, ускорение и перемещение:

Уф, это выражение стоит запомнить!

После решения всех этих задач каждый читатель по праву может считать себя повелителем движения.