Как найти заряд прошедший через резистор

2016-12-18   

Какой заряд протечет через резистор после замыкания ключа? Активным сопротивлением катушки пренебречь. Параметры $mathcal{E}, r, L$ и $R$ заданы.

Решение:

Напряжение на катушке равно напряжению на сопротивлении:

$Li_{L}^{ prime} = i_{R}R$. (1)

Через достаточно большое время ток в цепи определяется законом Ома:

$I = frac{ mathcal{E}}{r}$ (2)

(ток через сопротивление Я равен нулю, поскольку активное (омическое) сопротивление катушки равно нулю).

Проинтегрируем обе части (1) по времени в пределах от нуля до бесконечности:

$int_{0}^{ infty} Li_{L}^{ prime} dt = int_{0}^{ infty} i_{R} Rdt$ (3)

или

$L int_{0}^{ infty} i_{L}^{ prime} dt = R int_{0}^{ infty} i_{R}dt$,

где $i_{L}$ и $i_{R}$ — токи через катушку и сопротивление соответственно. Учитывая, что $i_{L}(0) = 0$ и $i_{L}( infty) = I$, $q = int_{0}^{ infty} i_{R} dt$ — заряд, прошедший через сопротивление, из (2,3) находим:

$q = frac{LI}{R} = frac{L mathcal{E}}{Rr}$.

Задача может быть решена без применения интегрирования. Перепишем (1) в виде:

$L frac{ Delta i}{ Delta t} = frac{ Delta q}{ Delta t} R$

или

$L Delta i = Delta q R$. (5)

Суммируя (5) по всем промежуткам времени с учетом (2), приходим к полученному выше ответу.

Спрятать решение

Источник: Гельф­гат И. М. Сбор­ник задач по фи­зи­ке для 10 клас­са, Х.: «Гим­на­зия», 2001 (№ 13.48 + 13.49*)

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах. 

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте. 

Как быстро и эффективно исправить почерк?  Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью. 

В этой статье мы рассмотрим резистор и его взаимодействие с напряжением и током, проходящим через него. Вы узнаете, как рассчитать резистор с помощью специальных формул. В статье также показано, как специальные резисторы могут быть использованы в качестве датчика света и температуры.

Представление об электричестве

Новичок должен быть в состоянии представить себе электрический ток. Даже если вы поняли, что электричество состоит из электронов, движущихся по проводнику, это все еще очень трудно четко представить себе. Вот почему я предлагаю эту простую аналогию с водной системой, которую любой желающий может легко представить себе и понять, не вникая в законы.

Обратите внимание, как электрический ток похож на поток воды из полного резервуара (высокого напряжения) в пустой(низкое напряжение). В этой простой аналогии воды с электрическим током, клапан аналогичен токоограничительному резистору.
Из этой аналогии можно вывести некоторые правила, которые вы должны запомнить навсегда:
— Сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает
— Для того чтобы протекал ток, на концах проводника должны быть разные потенциалы.
— Количество воды в двух сосудах можно сравнить с зарядом батареи. Когда уровень воды в разных сосудах станет одинаковым, она перестанет течь, и при разряде аккумулятора, разницы между электродами не будет и ток перестанет течь.
— Электрический ток будет увеличиваться при уменьшении сопротивления, как и скорость потока воды будет увеличиваться с уменьшением сопротивления клапана.

Я мог бы написать гораздо больше умозаключений на основе этой простой аналогии, но они описаны в законе Ома ниже.

Резистор

Резисторы  могут быть использованы для контроля и ограничения тока, следовательно, основным параметром резистора является его сопротивление, которое измеряется в Омах. Не следует забывать о мощности резистора, которая измеряется в ваттах (Вт), и показывает, какое количество энергии резистор может рассеять без перегрева и выгорания. Важно также отметить, что резисторы используются не только для ограничения тока, они также могут быть использованы в качестве делителя напряжения для получения низкого напряжения из большего. Некоторые датчики основаны на том, что сопротивление варьируется в зависимости от освещённости, температуры или механического воздействия, об этом подробно написано в конце статьи.

Закон Ома

Понятно, что эти 3 формулы выведены из основной формулы закона Ома, но их надо выучить для понимания более сложных формул и схем. Вы должны быть в состоянии понять и представить себе смысл любой из этих формул. Например, во второй формуле показано, что увеличение напряжения без изменения сопротивления приведет к росту тока. Тем не менее, увеличение тока не увеличит напряжение (хотя это математически верно), потому что напряжение — это разность потенциалов, которая будет создавать электрический ток, а не наоборот (см. аналогию с 2 емкостями для воды). Формула 3 может использоваться для вычисления сопротивления токоограничивающего резистора при известном напряжении и токе. Это лишь примеры, показывающие важность этого правила. Вы сами узнаете, как использовать их после прочтения статьи.

Последовательное и параллельное соединение резисторов

Понимание последствий параллельного или последовательного подключения резисторов очень важно и поможет вам понять и упростить схемы с помощью этих простых формул для последовательного и параллельного сопротивления:

В этом примере схемы, R1 и R2 соединены параллельно, и могут быть заменены одним резистором R3 в соответствии с формулой:

В случае  с 2-мя параллельно соединёнными резисторами, формулу можно записать так:

Кроме того, что эту формулу можно использовать для упрощения схем, она может быть использована для создания номиналов резисторов, которых у вас нет.
Отметим также, что значение R3 будет всегда меньше, чем у 2 других эквивалентных резисторов, так как добавление параллельных резисторов обеспечивает дополнительные пути
электрическому току, снижая общее сопротивление цепи.

Последовательно соединённые резисторы могут быть заменены одним резистором, значение которого будет равно сумме этих двух, в связи с тем, что это соединение обеспечивает дополнительное сопротивление тока. Таким образом, эквивалентное сопротивление R3 очень просто вычисляется: R₃=R₁+R₂

В интернете есть удобные он-лайн калькуляторы для расчета последовательного и параллельного соединения резисторов.

Токоограничивающий резистор

Самая основная роль токоограничивающих резисторов — это контроль тока, который будет протекать через устройство или проводник. Для понимания их работы, давайте сначала разберём простую схему, где лампа непосредственно подключена к 9В батареи. Лампа, как и любое другое устройство, которое потребляет электроэнергию для выполнения определенной задачи (например, светоизлучение) имеет внутреннее сопротивление, которое определяет его текущее потребление. Таким образом, отныне, любое устройство может быть заменено на эквивалентное сопротивление.

Теперь, когда лампа будет рассматриваться как резистор, мы можем использовать закон Ома для расчета тока, проходящего через него. Закон Ома гласит, что ток, проходящий через резистор равен разности напряжений на нем, поделенное на сопротивление резистора: I=V/R или точнее так:
I=(V₁-V₂)/R
где (V₁-V₂) является разностью напряжений до и после резистора.

Теперь обратите внимание на рисунок выше, где добавлен токоограничительный резистор. Он будет ограничивать ток идущий к лампе, как это следует из названия. Вы можете контролировать, количество тока протекающего через лампу, просто выбрав правильное значение R1. Большой резистор будет сильно снижать ток, а небольшой резистор менее сильно (так же, как в нашей аналогии с водой).

Математически это запишется так:

Из формулы следует, что ток уменьшится, если значение R1 увеличится. Таким образом, дополнительное сопротивление может быть использовано для ограничения тока. Однако важно отметить, что это приводит к нагреву резистора, и вы должны правильно рассчитать его мощность, о чем будет написано дальше.

Вы можете воспользоваться он-лайн калькулятором для расчета токоограничительного резистора светодиода.

Резисторы как делитель напряжения

Как следует из названия, резисторы могут быть использованы в качестве делителя напряжения, другими словами, они могут быть использованы для уменьшения напряжения путем деления его. Формула:

Если оба резистора имеют одинаковое значение (R₁=R₂=R), то формулу можно записать так:

Другой распространенный тип делителя, когда один резистор подключен к земле (0В), как показано на рисунке 6B.
Заменив Vb на 0 в формуле 6А, получаем:

Узловой анализ

Теперь, когда вы начинаете работать с электронными схемами, важно уметь их анализировать и рассчитывать все необходимые напряжения, токи и сопротивления. Есть много способов для изучения электронных схем, и одним из наиболее распространенных методов является узловой, где вы просто применяете набор правил, и рассчитываете шаг за шагом все необходимые переменные.

Упрощенные правила узлового анализа

Определение узла

Узел – это любая точка соединения в цепи. Точки, которые связаны друг с другом, без других компонентов между ними рассматриваются как единый узел. Таким образом, бесконечное число проводников в одну точку считаются одним узлом. Все точки, которые сгруппированы в один узел, имеют одинаковые напряжения.

Определение ветви

Ветвь представляет собой набор из 1 и более компонентов, соединенных последовательно, и все компоненты, которые подсоединены последовательно к этой цепи, рассматриваются как одна ветвь.

Все напряжения обычно измеряются относительно земли  напряжение на которой всегда равно 0 вольт.

Ток всегда течет от узла с более высоким напряжением на узел с более низким.

Напряжение на узле может быть высчитано из напряжения около узла, с помощью формулы:
V₁-V₂=I₁*(R₁)
Перенесем:
V₂=V₁-(I₁*R₁)
Где V₂ является искомым напряжением, V₁ является опорным напряжением, которое известно, I₁ ток, протекающий от узла 1 к узлу 2 и R₁ представляет собой сопротивление между 2 узлами.

Точно так же, как и в законе Ома, ток ответвления можно определить, если напряжение 2х соседних узлах и сопротивление известно:
I ₁=(V₁-V₂)/R₁

Текущий входящий ток узла равен текущему выходящему току, таким образом, это можно записать так: I ₁+ I₃=I₂

Важно, чтобы вы были в состоянии понимать смысл этих простых формул. Например, на рисунке выше, ток протекает от V1 до V2, и, следовательно, напряжение V2 должно быть меньше, чем V1.
Используя соответствующие правила в нужный момент, вы сможете быстро и легко проанализировать схему и понять её. Это умение достигается практикой и опытом.

Расчет необходимой мощности резистора

При покупке резистора вам могут задать вопрос: «Резисторы какой мощности вы хотите?» или могут просто дать 0.25Вт резисторы, поскольку они являются наиболее популярными.
Пока вы работаете с сопротивлением больше 220 Ом, и ваш блок питания обеспечивает 9В или меньше, можно работать с 0.125Вт или 0.25Вт резисторами. Но если напряжение более 10В или значение сопротивления менее 220 Ом, вы должны рассчитать мощность резистора, или он может сгореть и испортить прибор. Чтобы вычислить необходимую мощность резистора, вы должны знать напряжение через резистор (V) и ток, протекающий через него (I):
P=I*V
где ток измеряется в амперах (А), напряжение в вольтах (В) и Р — рассеиваемая мощность в ваттах (Вт)

На фото предоставлены резисторы различной мощности, в основном они отличаются размером.

Разновидности резисторов

Резисторы могут быть разными, начиная от простых переменных резисторов (потенциометров) до реагирующих на температуру, свет и давление. Некоторые из них будут обсуждаться в этом разделе.

Переменный резистор (потенциометр)

На рисунке выше показано схематическое изображение переменного резистора. Он часто упоминается как потенциометр, потому что он может быть использован в качестве делителя напряжения.

Они различаются по размеру и форме, но все работают одинаково. Выводы справа и слева  эквивалентны фиксированной точке (например, Va и Vb на рисунке выше слева), а средний вывод является подвижной частью потенциометра, а также используется для изменения соотношения сопротивления на левом и правом выводах. Следовательно, потенциометр относится к делителям напряжения, которым можно выставить любое напряжение от Va к Vb.
Кроме того, переменный резистор может быть использован как тока ограничивающий путем соединения выводов Vout и Vb, как на рисунке выше (справа). Представьте себе, как ток будет течь через сопротивление от левого вывода к правому, пока не достигнет подвижной части, и пойдет по ней, при этом, на вторую часть пойдет очень мало тока. Таким образом, вы можете использовать потенциометр для регулировки тока любых электронных компонентов, например лампы.

LDR (светочувствительные резисторы) и термисторы

Есть много датчиков основанных на резисторах, которые реагируют на свет, температуру или давление. Большинство из них включаются как часть делителя напряжения, которое изменяется в зависимости от сопротивления резисторов, изменяющегося под воздействием внешних факторов.

Терморезисторы

Фоторезистор (LDR)

Как вы можете видеть на рисунке 11A, фоторезисторы различаются по размеру, но все они являются резисторами, сопротивление которых уменьшается под воздействием света и увеличивается в темноте. К сожалению, фоторезисторы достаточно медленно реагируют на изменение уровня освещённости, имеют достаточно низкую точность, но очень просты в использовании и популярны. Как правило, сопротивление фоторезисторов может варьироваться от 50 Ом при солнце, до более чем 10МОм в абсолютной темноте.

Как мы уже говорили, изменение сопротивления изменяет напряжение с делителя. Выходное напряжение можно рассчитать по формуле:

Если предположить, что сопротивление LDR изменяется от 10 МОм до 50 Ом, то V_out будет соответственно от 0.005В до 4.975В.

Термистор похож на фоторезистор, тем не менее, термисторы имею гораздо больше типов, чем фоторезисторы, например, термистор может быть либо с отрицательным температурным коэффициентом (NTC), сопротивление которого уменьшается с повышением температуры, или положительным температурным коэффициентом (PTC), сопротивление которого будет увеличиваться с повышением температуры. Сейчас термисторы реагируют на изменение параметров среды очень быстро и точно.

Схемотехническое обозначение резисторов

Про определение номинала резистора используя цветовую маркировку можно почитать здесь.

Оригинал статьи

Теги:

Электричество. Закон сохранения электрического заряда,

закон Кулона, конденсатор, сила тока,

закон Ома для участка цепи, последовательное и параллельное соединение

проводников, работа и мощность тока,

закон Джоуля – Ленца

В. З. Шапиро

     В задании 14 проверяются знания по теме «Постоянный электрический ток». Это задание базовому уровня. Задачи носят, в основном, расчетный характер. Их решение основывается на знаниях законов и закономерностей постоянного электрического тока, умении «читать» электрические схемы, работать с графическими зависимостями.

1. На графике показана зависимость силы тока I в проводнике от времени t. Определите заряд, прошедший через проводник за Δt = 60 с с момента начала отсчёта времени.

Ответ: _____________________ Кл.

Необходимая теория: Постоянный электрический ток

Используя зависимость силы тока от времени, электрический заряд можно определить как площадь геометрической фигуры под графиком. В данной задаче требуется рассчитать площадь трапеции Применяя геометрическую формулу площади трапеции  и подставляя значения физических величин, получим  (Кл).

Ответ: 180 Кл.

Секрет решения. Подобный прием нахождения значения физической величины через площадь под графиком применяется во многих разделах физики: в «Механике», «МКТ и термодинамике», «Электродинамике». Здесь важно правильно выделить геометрическую фигуру, так как иногда требуется найти площадь не всей фигуры, а только ее части. Как всегда, в расчетах требует особого внимания система единиц (СИ).  Пренебрежение одним из перечисленных моментов приведет к потере «легкого» балла.

2. Пять одинаковых резисторов с сопротивлением 3 Ом соединены в электрическую цепь, через которую течёт ток I (см. рисунок). Идеальный вольтметр показывает напряжение 9 В. Чему равна сила тока I?

Ответ: __________________________ А.

Необходимая теория: Соединения проводников

Резисторы, подключенные к вольтметру, соединены между собой последовательно. Отсюда следует, что сумма напряжений на каждом резисторе равна значению напряжения, которое показывает вольтметр. Запишем это в виде формулы   Используя закон Ома, выразим значения напряжений  и

Здесь учтено, что в указанной точке (см. схему) ток I разделяется на две равные части из-за равенства сопротивлений в разветвленных частях цепи.

Деление силы тока на две равные части

Таким образом,

Подставляя численные значения, получим

Ответ: 2А.

Секреты решения. В задачах со схемами необходимо уметь выделять виды соединения проводников. После этого можно использовать известные закономерности для силы тока, напряжения и сопротивления. Ввиду того, что в задачах может быть большое количество проводников, решение в общем виде бывает громоздким, что может привести к математической ошибке. Поэтому лучше подставлять численные значения на ранних этапах решения.

3. На плавком предохранителе счётчика электроэнергии указано: «15 А, 380 В». Какова максимальная суммарная мощность электрических приборов, которые можно одновременно включать в сеть, чтобы предохранитель не расплавился?

Ответ: _________________________Вт.

Необходимая теория: Работа и мощность тока

Формулы для расчета мощности электрического тока имеют вид:

В зависимости от условия задачи, надо применять ту или иную формулу. Так как в задаче дается сила тока и напряжения, необходимо воспользоваться формулой

Подставляя численные значения, проведем расчет:

(Вт).

Ответ: 5700 Вт.

    Секреты решения.

Формулы для расчета мощности лучше изучать как следствия формул для расчета работы тока или количества теплоты, выделяющейся в проводнике с током.

При делении этих формул на время t получим формулы для расчета мощности.