Как найти заряд точечного диполя

Диполь
есть система, состоящая из двух равных
по модулю и противоположных по знаку
зарядов. Вектор I,
проведенный от отрицательного к
положительному заряду, называется
плечом диполя.

Электрический
момент диполя

,

где
– заряд диполя.

Электрический
дипольный момент молекулы принято
выражать в единицах атомного масштаба
– дебай (D) = 3,33∙10^-30Кл∙м.

Диполь
называется точечным, если расстояние
rот центра диполя до
точки, в которой рассматривается действие
диполя, много больше плеча диполя.

Напряженность
поля точечного диполя:

а)
на оси диполя

,
или

;

б)
на перпендикуляре к оси диполя

,
или

;

в)
в общем случае

,
или

,

где
─ угол между радиусом-векторомrи электрическим дипольным моментомр
(рис. 2.1).

Потенциал поля диполя

.

Потенциальная энергия
диполя в электростатическом поле

.

Механический момент,
действующий на диполь с электрическим
дипольным моментом
,
помещенный в однородное электрическое
поле с напряженностью,

или

,

где
– угол между направлением векторови.

Сила F,
действующая на диполь в неоднородном
электростатическом поле, обладающем
осевой (вдоль осих)
симметрией,

,

где
─ величина, характеризующая степень
неоднородности электростатического
поля вдоль оси х;– угол между векторамии.

Примеры решения задач

Пример
1.
Диполь с электрическим моментом
находится в однородном электрическом
поле напряженностью.
Вектор электрического моментасоставляет уголс направлением силовых линий поля.
Определить работуA
внешних сил, совершенную при повороте
диполя на угол
.

Решение.
Из исходного положения
(рис. 2.2, а)
диполь можно повернуть на угол
,
вращая его по часовой стрелкедо
угла
(рис. 2.2, б),
или
против часовой стрелки до угла
(рис. 2.2,в).

В
первом случае диполь будет поворачиваться
под действием сил поля. Следовательно,
работа внешних сил при этом отрицательна.
Во втором случае поворот может быть
произведен только под действием внешних
сил и работа внешних сил при этом
положительна.

Работу,
совершаемую при повороте диполя, можно
вычислить двумя способами: 1) непосредственно
интегрированием выражения элементарной
работы; 2) с помощью соотношения между
работой и изменением потенциальной
энергии диполя в электрическом поле.

а
б
в

Рис.
2.2

1-й
способ. Элементарная работа при
повороте диполя на угол:

,

а
полная работа при повороте на угол от
до:

.

Произведя
интегрирование, получим

. (2.1)

Работа
внешних сил при повороте диполя по
часовой стрелке

,

против
часовой стрелки

.

2-й
способ. Работа А внешних сил связана
с изменением потенциальной энергии
соотношением

,

где

─ потенциальные энергии системы
соответственно в начальном и конечном
состояниях. Так как потенциальная
энергия диполя в электрическом поле
выражается формулой,то

, (2.2)

что
совпадает с формулой (2.1), полученной
первым способом.

Пример
2.Три точечных заряда
,
,
,
образуют электрически нейтральную
систему, причем
.
Заряды расположены в вершинах
равностороннего треугольника. Определить
максимальные значения напряженностии потенциалаполя, создаваемого этой системой зарядов,
на расстоянииот центра треугольника, длина стороны
которого.

Решение.Нейтральную систему, состоящую из трех
точечных зарядов, можно представить в
виде диполя. Действительно, «центр
тяжести» зарядов
и
лежит на середине отрезка прямой,
соединяющей эти заряды (рис. 2.3). В этой
точке можно считать сосредоточенным
заряд.
А так как система зарядов нейтральная
(),
то

.

Так
как расстояние между зарядами Q₃
и Q
много меньше расстояния r
(рис. 2.4), то систему этих двух зарядов
можно считать диполем с электрическим
моментом,где

─
плечо диполя. Электрическиймомент
диполя

.

Тот
же результат можно получить другим
способом. Систему из трех зарядов
представим как два диполя с электрическими
моментами (рис. 2.5), равными по модулю:;.
Электрический момент системы зарядов
найдем как векторную суммуи,
и.Как
это следует из рис. 2.5, имеем.Так
как,то

,

что
совпадает с найденным ранее значением.

Напряженность
и потенциалполя диполя выражаются формулами

;

,

где─ угол между радиусом-вектороми электрическим дипольным моментом
(рис. 2.1).

Напряженность
и потенциал будут иметь максимальные
значения при
= 0, следовательно,

;

.

Так
как,то

;
.

Вычисления
дают следующие значения:

;
.

Задачи

201.
Вычислить электрический момент р диполя,
если его заряд,.
(Ответ:50
нКл∙м).

202.
Расстояние
между зарядамиидиполя равно 12 см. Найти напряженность
Е и потенциалполя, созданного диполем в точке,
удаленной накак от первого, так и от второго заряда.(Ответ:

;).

203.
Диполь с электрическим моментомобразован двумя точечными зарядамии.
Найти напряженностьE
и потенциал
электрического поля в точкеA
(рис. 2.6), находящейся на расстоянии
от центра диполя. (Ответ:

;

).

204.
Электрический момент диполя
.
Определить напряженность Е и потенциалполя, созданного в точкеA
(рис. 2.6), находящейся на расстоянии
от
центра диполя. (Ответ:;

).

205.
Определить напряженность E
и потенциал
поля, создаваемого диполем с электрическим
моментомна расстоянииот центра диполя, в направлении,
составляющем уголс вектором электрического момента.(Ответ:
;).

206.
Диполь с электрическим моментом
равномерно вращается с частотойотносительно оси, проходящей через
центр диполя и перпендикулярной его
плечу. Точка С находится на расстоянииот центра диполя и лежит в плоскости
вращения диполя. Вывести закон изменения
потенциала как функцию времени в точке
С. Принять, что в начальный момент времени
потенциал в точке С.
Построить график зависимости.
(Ответ:
;;).

207.
Диполь с электрическим моментом
равномерно вращается с угловой скоростьюотносительно оси, проходящей через
центр диполя и перпендикулярной его
плечу. Определить среднюю потенциальную
энергиюзаряда,
находящегося на расстояниии лежащего в плоскости вращения, завремя,
равное
полупериоду
(от
до).
В начальный момент времени считать.
(Ответ:).

208.
Два диполя с электрическими моментами
инаходятся на расстояниидруг от друга. Найти силу их взаимодействия,
если оси диполей лежат на одной прямой.

(Ответ:
).

209.
Два диполя с электрическими моментами
инаходятся
на расстояниидруг от друга, так что оси диполей лежат
на одной прямой. Вычислить взаимную
потенциальную энергию диполей,
соответствующую их устойчивому
равновесию. (Ответ:

).

210.
Диполь с электрическим моментомприкреплен к упругой нити (рис. 2.7). Когда
в пространстве, где находится диполь,
было создано электрическое поле
напряженностью,
перпендикулярно плечу диполя и нити,
диполь повернулся на угол.
Определить момент силы М, который
вызывает закручивание нити на 1
рад.
(Ответ:

).

211.
Диполь с электрическим моментом
прикреплен
к упругой нити (рис. 2.7). Когда в пространстве,
где находится диполь, было создано
электрическое поленапряженностью

,
перпендикулярно плечу диполя и нити,
диполь повернулся на малый угол.
Определить момент силы М, который
вызывает закручивание нити на 1
рад.
(Ответ:
).

212.
Диполь с электрическим моментом
находится в однородном электрическом
поле напряженностью.
Вектор электрического момента составляет
уголс
линиями поля. Какова потенциальная
энергия П поля? Считать,
когда вектор электрического момента
диполя перпендикулярен линиям поля.
(Ответ:
).

213.
Диполь с электрическим моментом
свободно
устанавливается в однородном электрическом
поле напряженностью.
Вычислить работу А, необходимую для
того, чтобы повернуть диполь на угол.
(Ответ:

).

214.
Диполь с электрическим моментом
свободно установился в однородном
электрическом поле напряженностью.
Определить изменение потенциальной
энергиидиполя при повороте его на угол.
(Ответ:
).

215.
Перпендикулярно плечу диполя с
электрическим моментом
возбуждено однородное электрическое
поле напряженностью.
Под действием сил поля диполь начинает
поворачиваться относительно оси,
проходящей через его центр. Найти угловую
скоростьдиполя в момент прохождения им положения
равновесия. Момент инерции диполя
относительно оси, перпендикулярной
плечу ипроходящей
через его центр.
(Ответ: ;).

216.
Диполь с электрическим моментом
свободно
установился в однородном электрическом
поле напряженностью.
Диполь повернули на малый угол и
предоставили самому себе. Определить
частоту собственных колебаний диполя
в электрическом поле. Момент инерции
диполя относительно оси, проходящей
через его центр.
(Ответ:
).

217.
Диполь с электрическим моментом
находится в неоднородном электрическом
поле. Степень неоднородности поля
характеризуется величиной,
взятой в направлении оси диполя. Вычислить
силуF,
действующую на диполь в этом направлении.
(Ответ:
).

218.
Диполь с электрическим моментом
установился вдоль силовой линии в поле
точечного зарядана расстоянииот него. Определить для этой точки
величину,
характеризующую степень неоднородности
поля в направлении силовой линии и силуF,
действующую на диполь.
(Ответ:

;
).

219.
Диполь с электрическим моментом
установился
вдоль силовой линии в поле, созданном
бесконечной прямой нитью, заряженной
бесконечной прямой нитью, заряженной
с линейной плотностьюна
расстоянииот нее. Определить в этой точке величину,
характеризующую степень неоднородности
поля в направлении силовой линии и силуF,
действующую на диполь.(Ответ:
;).

220.
Диполь с электрическим моментом
образован
двумя точечными зарядамии.
Найти напряженность Е и потенциалэлектрического поля в точке В (рис. 2.6),
находящихся на расстоянииот центра диполя.
(Ответ:
;

).

221.
Электрический момент диполя
.
Определить напряженность Е и потенциалполя, созданного в точке В (рис. 3.6),
находящейся на расстоянииот центра диполя. (Ответ:
;

).

222.
Определить напряженность Е и потенциал
поля, создаваемого диполем с электрическим
моментомна расстоянииот центра диполя, в направлении,
составляющем уголс
вектором электрического момента.
(Ответ:
;).

223.
Диполь с электрическим моментом
равномерно вращается с угловой скоростьюотносительно
оси, проходящей через центр диполя и
перпендикулярной его плечу. Определить
среднюю потенциальную энергиюзаряда,
находящегося на расстояниии лежащего в плоскости вращения, в
течение времени.В
начальный момент времени считать
.
(Ответ:
).

224.
Диполь с электрическим моментом
свободно устанавливается в однородном
электрическом поле напряженностью.
Вычислить работу А, необходимую для
того, чтобы повернуть диполь на угол.
(Ответ:
).

225.
Диполь с электрическим моментом
свободно установился в однородном
электрическом поле напряженностью.
Определить изменение потенциальной
энергиидиполя при повороте его на угол.
(Ответ:

).

226.
Молекула HF
обладает электрическим моментом
.
Межъядерное расстояние
.
Найти заряд
такого диполя и объяснить, почему
найденное значениесущественно отличается от значения
элементарного заряда.
(Ответ:

).

227.
Точечный заряд
находится на расстоянииот точечного диполя с электрическим
моментом.
Определить потенциальную энергию П и
силуF
их взаимодействия в случае, когда
точечный заряд находится на оси диполя.
(Ответ:

;).

228.
Точечный заряд
находится на расстоянииот точечного диполя с электрическим
моментом.
Определить потенциальную энергию П и
силуF
их взаимодействия в случае, когда
точечный заряд находится на перпендикуляре
к оси диполя. (Ответ:
;).

229.
Два диполя (рис. 2.8) с электрическими
моментаминаходятся на расстояниидруг от друга
(─ плечо диполя). Определить потенциальную
энергию П взаимодействия диполей.
(Ответ:

).

230.
Два одинаково ориентированных диполя
(рис. 2.9) с электрическими моментами
находятся на расстояниидруг от друга
(─ плечо диполя). Определить потенциальную
энергию П и силуF
взаимодействия диполей.
(Ответ:
;).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задачи, тесты

Диполь в поле и поле диполя

Основные
вопросы электростатики: Какое поле создаёт данное распределение зарядов
и какая сила действует на эти заряды во внешнем поле? Относительно
точечного заряда эти вопросы решаются известными всем формулами
школьного курса. Следующий важный и простой объект электростатики –
это, конечно, диполь. Диполь – это два разноимённых, равных по
величине  точечных заряда, расположенных на фиксированном
расстоянии l друг от друга. Диполь характеризуется дипольным моментом p = qL            (1)
где  l – вектор, направленный от отрицательного заряда к
положительному.
Интерес к диполю связан, в частности, с тем, что молекулы многих веществ
обладают дипольным моментом, а кроме того, молекулы всех веществ
приобретают дипольный момент во внешнем электрическом поле. И
макроскопические тела (как проводящие, так и не проводящие ток) во
внешнем поле поляризуются, т.е. приобретают дипольный момент. Важнейшие
приложения представленных здесь результатов – это поля в диэлектрике.
Поставим
самые напрашивающиеся вопросы в заявленной теме и попытаемся их
разрешить. Никакой особой математики, выходящей за рамки школьного
курса, нам не понадобится.
Производную от функции Ф(х) будем
обозначать  dФ/dх. Для удобства записи некоторых результатов
мы
будем использовать скалярное произведение векторов.
Напомним, что 
a · b = a · b  · cos α, где α – угол между
векторами. Размерную константу в законе Кулона мы обозначаем

Диполь в поле 
(простые задачи)
1. Какие
силы действуют на диполь в однородном электрическом поле?

Пусть диполь p
находится в поле напряжённостью E,  
пусть вектор дипольного момента составляет угол α с вектором
напряжённости поля. Легко видеть, что на диполь в этом случае действует
пара сил с моментом
М = qElsin α = pEsin α, которая стремится
ориентировать диполь вдоль силовых линий поля. Так что если диполь
может вращаться, то он сориентируется указанным образом. Заметим, что у
диполя есть и другое положение равновесия, когда он сориентирован
противоположным образом, но это положение неустойчиво.
2. Какова
энергия диполя в однородном поле?
Как
всегда, в задачах, где речь идёт о потенциальной энергии, надо сначала
условиться, откуда мы будем эту энергию отсчитывать. Пусть мы
отсчитываем её от указанного выше равновесного положения. Тогда энергия
– это работа, которую совершат силы поля при вращении диполя вокруг
своего центра от исходного положения, характеризуемого углом α (см.
рис. к п. 1),  до равновесного. Напомним, что работа связана
только с перемещением заряда вдоль направления E.
Заряды диполя при таком вращении сместятся вдоль линий поля (в разные
стороны) на l (1– cos α)/2. Поэтому искомая энергия W = qEl (1 –
cos α) = pE(1
– cos α).
Но чаще в учебниках по электричеству предпочитают в этой задаче
полагать, что W = 0 в том положении диполя, когда вектор p 
перпендикулярен E.
В этом случае
W = –qEl cos α = –pE.
Высказанное
в конце п. 1 утверждение можно теперь сформулировать и иначе: диполь
стремится занять теперь положение с минимальной энергией. Так,
дипольные молекулы диэлектрика во внешнем поле стремятся все
сориентироваться указанным образом (а тепловое движение мешает им в
этом).
3.
Теперь пусть диполь, сориентированный вдоль линий поля, 
находится
в неоднородном поле. Тогда, как легко видеть, на него вдоль линий поля
действует сила, направленная в сторону увеличения величины
поля:    

(индексы
«+» и «–» помечают тот заряд диполя, к которому относится
соответствующая физическая величина). Именно эта сила объясняет самый
простой опыт, в котором заряженное тело (независимо от знака заряда)
притягивает мелкие кусочки бумаги.

Поле диполя
4.
Прежде чем заняться расчётом поля диполя, остановимся на общих
моментах. Пусть, например, нас интересует гравитационное поле какого-то
астероида неправильной формы. Поле в непосредственной близости от
астероида можно получить только путём компьютерного расчёта. Но, чем
дальше мы отходим от астероида, тем с большей точностью мы можем
рассматривать его как материальную точку (поле которой мы знаем). При
стремлении к большей математической строгости надо было сказать, что мы
знаем асимптотическое поведение поля при
С похожей ситуацией мы сталкиваемся и в электростатическом поле. Электростатическое поле по
своим свойствам очень похоже на гравитационное (потому что аналогичны
фундаментальные законы: закон Кулона и закон всемирного тяготения), но,
если так можно сказать, «богаче» его. Ведь электрические заряды могут
быть двух типов, между ними возможно и притяжение, и отталкивание, а
между «гравитационными зарядами» (т.е. массами)  возможно
только
притяжение.
Будем считать, что в какой-то ограниченной области
распределены положительные и отрицательные точечные заряды q₁,
q₂, … ,
q_n. Полный заряд системы
                                                                          
      
      (2)
Мы
уже понимаем, что при Q ≠ 0 поле при больших r переходит в поле
точечного заряда Q. Но возникает очень важный для нас вопрос: каким
будет поле на больших расстояниях, если полный заряд
Q = 0? 
Самое простое распределение точечных зарядов с Q = 0 – это и есть
диполь. Вот почему изучение поля диполя несёт в себе важные
принципиальные моменты.
Итак, нас будут в основном интересовать
такие ситуации, когда все характерные размеры r весьма велики по
сравнению с расстоянием

l

между зарядами диполя. Эту ситуацию можно
описать двояко. Во-первых, мы можем всегда иметь в виду, что заряды
расположены на конечном расстоянии

l

друг от друга, и интересоваться
поведением полученных решений при Но можно и п росто
говорить о точечном диполе с определённым дипольным моментом p, тогда все наши
результаты справедливы при любом r > 0 (две эти точки зрения,
конечно, эквивалентны).
Мы
будем использовать известные всем формулы для полей точечных зарядов и
в полученных выражениях учитывать, что

l

мало.
Поэтому напомним формулы
приближённых вычислений: если  , то
Везде
в выкладках знак «≈» будет указывать на то, что мы воспользовались
этими формулами в случае малого параметра (малый параметр в
рассматриваемых задачах – это l/r).
5.
Качественная картинка силовых линий поля диполя хорошо известна,
приводится во многих учебниках, и мы не будем её здесь приводить. Хотя
и расчёт поля в произвольной точке несложен, мы всё же ограничимся
расчётом потенциала и напряжённости вдоль двух выделенных направлений.
Совместим начало системы координат с центром диполя, ось х направим
вдоль вектора p, а ось Y – перпендикулярно  (при этом заряды
диполя отстоят от начала координат на расстояние ).
Будем
считать, что в бесконечно удалённой точке  
6.
Рассчитаем напряжённость поля диполя на оси Y.
По принципу суперпозиции, E
= E₊ +  E_–, 
где E₊
и  E_–
– векторы напряжённости полей отдельных зарядов. Из подобия
треугольников: 
что можно записать как 
Теперь
скажем о ходе потенциала вдоль оси Y. По­скольку в любой точке оси Y
вектор E перпендикулярен оси, то при перемещении какого-то заряда вдоль
этой оси поле диполя никакой работы не совершает, и следовательно, в
любой точке этой оси
7.
Вычислим потенциал j поля в произвольной точке оси х. По принципу
суперпозиции, он равен сумме потенциалов и 
созданных
положительным и отрицательным
зарядами.                        

Пусть х > 0, тогда:
   
       
   
       
    (3)
(выражение для (х) для
х < 0 будет c другим знаком).
Из
симметрии задачи ясно, что на оси х вектор напряжённости поля E имеет только
составляющую Е_х. Её можно вычислить, исходя из
известной формулы, связывающей напряжённость поля и потенциал:
                                                                            
      
       
       
   
       (4)
но в школьном курсе формулу (4) обычно обходят стороной, поэтому
вычислим Ех непосредственно: или

Итак, при удалении от диполя по оси х или по оси y поле спадает как r^–3.
Можно доказать, что так же ведёт себя поле по любому направлению.
Выражение для потенциала в произвольной точке приведём без
вывода:   (т.е. при удалении

по любому направлению, кроме оси Y, потенциал спадает как r^–2).
Убедитесь, что в частных случаях эта формула приводит к уже известным
нам результатам.
8. Отступление.
Вспомним, что у бесконечной равномерно заряженной плоскости
напряжённость поля не зависит от расстояния от плоскости (или, если
угодно, спадает как r⁰). У точечного заряда –
убывает как r^–2. У диполя, как мы выяснили,
убывает на бесконечности как r^–3. Попробуйте
догадаться, у какого распределения зарядов напряжённость поля 
убывает как  r^–1;  r^–4.

Взаимодействие диполя с
другими зарядами
9.
Теперь рассмотрим взаимодействие диполя и точечного заряда q′ (пусть q′
> 0). Рисунок в значительной степени повторяет рисунок в п.
5. 
Там мы рассчитали напряжённость поля диполя и, следовательно, уже
знаем, какая сила  действует на точечный заряд. Заметим, что
это
взаимодействие являет нам простейший пример нецентральных сил
(вспомните, где в школьном курсе встречаются нецентральные силы между
частицами).
Но ещё остались вопросы: какая сила действует на диполь?
где она приложена? Можно ответить на эти вопросы сразу, без раздумий.
Искомая сила F,
по третьему закону Ньютона, должна быть равна  – F ′ и
должна быть приложена на одной прямой с  F ′.
Быть может, кого-то удивит, что равнодействующая двух сил, действующих
на заряды  +q  и  –q  диполя,
оказалась приложена
где-то в стороне от диполя. Что это значит? Ничего не значит. А что
значит, что равнодействующая сил тяжести, действующих на бублик,
приложена в центре дырки? Равнодействующая двух сил никакого особого
смысла не имеет, она просто во всех отношениях заменяет несколько (или
даже бесчисленное множество) сил в фундаментальных уравнениях механики.
(Объективности ради отметим, что есть весьма известные авторы, для
которых такая точка зрения неприемлема. Они предпочитают говорить, что
на диполь со стороны точечного заряда действует сила, приложенная к
самому диполю, и ещё момент сил).
10. Найдите
силу и энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р₁ 
и  р₂
лежат на одной прямой. Расстояние между диполями x.
Сосчитаем суммарную энергию зарядов второго диполя в поле первого (см.
п. 7):

 Ясно,
что диполи, обращённые друг к другу разноимёнными полюсами (как на
рисунке), притягиваются (этому соответствует знак «–» в выражении для
W), при перевороте одного из диполей энергия сменит знак.
Не будем
больше воспроизводить довольно однообразные выкладки и сразу выпишем
выражение для величины силы взаимодействия этих диполей
(проверьте!):  
11. Найдите
энергию взаимодействия двух диполей, у которых  р₁ лежит на прямой,
соединяющей  диполи, а р₂ 
перпендикулярен к ней. Расстояние между диполями x. (Проверьте себя –
ответ очевиден.)
12. Найдите
энергию взаимодействия двух диполей, у которых векторы р₁ и р₂ параллельны друг
другу  и оба перпендикулярны оси

х

,
на которой расположены диполи.

 Дополнительные
замечания
13.
Итак, диполь являет нам простейший пример системы зарядов с полным
зарядом Q = 0. Как мы видели, потенциал поля диполя на больших
расстояниях от него убывает как r^–2. Нельзя ли обобщить этот результат
на более общий случай?
Можно обобщить понятие дипольного момента
так, чтобы оно характеризовало любое распределение зарядов. В
частности, для системы n точечных зарядов дипольный момент определяют
так: 
                                     
.                                    
(5)

Легко видеть, что эта величина
аддитивна. Можно доказать, что Р
при Q = 0 не зависит от выбора начала отсчёта. Убедитесь, что в частном
случае эта формула переходит в (1).
Сосчитайте дипольный момент Р
ряда простых распределений зарядов (во всех случаях расстояние между
ближайшими зарядами

l

).
Можно
было бы вести речь и о непрерывных распределениях зарядов, но тогда
вместо сумм в (2) и (5) пришлось бы писать интегралы по объёму.
Полученные
выше результаты подсказывают нам, в чём значение дипольного момента. И
действительно,  можно в общем случае доказать, что чем дальше
мы
отойдём от произвольной системы зарядов с полным зарядом Q =
0  и
дипольным моментом Р
≠ 0, тем её поле будет ближе к рассмотренному нами полю элементарного
диполя с дипольным моментом  Р.
Можно
было бы пойти по этому пути дальше и рассмотреть поле системы зарядов с
Q = 0 и P = 0. Один из самых простых примеров такой системы представлен
на рис. а – это так называемый квадруполь. Потенциал поля квадруполя
убывает на бесконечности как r^–3.    

Ряд
«точечный заряд – диполь – квадруполь…» можно продолжать и далее.
Общее название таких объектов мультиполь. Но мы на этом остановимся.

14.
При помещении атома в электрическое поле силы, приложенные к ядру и к
электронной оболочке, направлены в разные стороны. Под действием этих
сил атом приобретает дипольный момент
Р, совпадающий по направлению с направлением напряжённости
внешнего поля Е₀.
Конечно,
молекулы тоже приобретают во внешнем поле дипольный момент (но для них,
вообще говоря,  несправедливо предыдущее утверждение о
направлении
вектора Р).
Но многие
молекулы имеют дипольные моменты и в отсутствие внешнего поля. Причём
эти собственные дипольные моменты обычно намного превышают наведённые
моменты (если говорить об обычных, достижимых в лаборатории полях). Для
множества процессов в природе (в частности, для существования жизни)
чрезвычайно важно, что у молекулы воды есть дипольный момент.
 «Трудно вообразить, на что был бы похож мир, если бы атомы в
молекуле Н₂О были расположены по прямой линии,
как в молекуле СО₂; вероятно, наблюдать это было
бы некому» (Э.Парселл.
Электричество и магнетизм. – М., 1975).

Ответы
К п. 8.
Система зарядов, у которой напряжённость поля убывает на бесконечности
как  r^–1, –
это бесконечная равномерно заряженная нить.
К п. 11.
При перемещении первого диполя вдоль оси х на его заряды действуют со
стороны второго диполя силы, перпендикулярные этой оси, т.е. никакая
работа при этом не совершается, значит, W = 0.
К п. 12.
Для упрощения расчёта надо удачно выбрать способ перевода одного из
диполей из бесконечности в интересующее нас состояние. Удобно сначала
перемещать его вдоль оси х, ориентировав его вектор дипольного момента
вдоль оси (при этом работа сил взаимодействия диполей равна нулю), а
потом повернуть его на 90°. При повороте второго диполя внешние силы
должны совершить работу (см. п. 2) .  Это и есть энергия
взаимодействия диполей.
К п. 13.
Дипольные моменты равны:  а) 0;  б) 2qlj;
в) 0;  г) –3qli
(здесь
i  и j
– единичные векторы в направлениях осей X и Y соответственно).

Тогда векторная величина, равная:

[overrightarrow{p_e}=qoverrightarrow{l }left(1right),]

называется моментом диполя (электрическим моментом диполя). В формуле (1) $q$ — абсолютное значение каждого из зарядов диполя.

Электрическое поле диполя складывается из напряжённостей зарядов, которые составляют диполь. Так как плечо диполя мало, поэтому можно считать, что оно много меньше, чем расстояние до точек, в которых рассчитывается напряженность поля. Найдем потенциал диполя. В точке А (рис.1) формула для потенциала будет иметь вид:

[{varphi }_A=frac{q}{4pi {varepsilon }_0varepsilon }left(frac{1}{r_+}-frac{1}{r_-}right)left(2right).]

Рис. 1

Так как $lll r$, можно считать, что:

[r_—r_+approx lcostheta , r_-cdot r_+approx r^2left(3right).]

При этом местоположение точки A можно характеризовать вектором$overrightarrow{ r}$ с началом в любой точке диполя, ввиду малых геометрических размеров диполя. В таком случае формулу (2) можно записать в виде:

[varphi left(rright)=frac{1}{4pi {varepsilon }_0varepsilon }frac{overrightarrow{p_e}cdot overrightarrow{r}}{r^3}left(4right),]

где $qlcostheta =frac{overrightarrow{p_e}cdot overrightarrow{r}}{r}.$ Зная связь напряженности поля и потенциала:

[overrightarrow{E}=-gradvarphi (5)]

запишем формулу для напряженности поля диполя, которая будет иметь вид:

[overrightarrow{E}=frac{1}{4pi {varepsilon }_0varepsilon }left(frac{3left({overrightarrow{p}}_ecdot overrightarrow{r}right)overrightarrow{r}}{r^5}-frac{overrightarrow{p_e}}{r^3}right)left(6right).]

Согласно формуле (6) напряженность поля диполя убывает быстрее, чем напряженность кулоновского поля одиночного заряда, пропорционально третьей степени расстояния. Силовые линии электростатического поля около диполя изображены на рис. 2.

Рис. 2

Модуль вектора сопряженности

Если сферическую систему координат разместить так, чтобы ее центр совпал с серединой плеча диполя, а полярная ось была параллельна $overrightarrow{p_e}$ (рис.3), то составляющие вектора напряженности будут иметь вид:

[E_r=frac{1}{2pi {varepsilon }_0varepsilon }frac{p_ecos vartheta}{r^3},E_vartheta=frac{1}{4pi {varepsilon }_0varepsilon }frac{p_esin vartheta}{r^3},E_{varphi }=0. left(7right).]

В таком случае модуль вектора напряженности равен:

[E=frac{1}{4pi {varepsilon }_0varepsilon }frac{p_e}{r^3}sqrt{3{cos}^2vartheta+1}left(8right).]

Рис. 3

Вычисление момента сил

В однородном поле сила, которая действует на диполь со стороны поля ($overrightarrow{F}$), равна нулю, так как к зарядам приложены одинаковые по модулю и противоположные по направлению силы:

[overrightarrow{F}={overrightarrow{F}}_++{overrightarrow{F}}_-=0left(9right),]

где ${overrightarrow{F}}_+$- сила, действующая на положительный заряд диполя, ${overrightarrow{F}}$ — сила, действующая на отрицательный заряд диполя.

Момент этих сил равен:

[overrightarrow{M}=overrightarrow{p_e}times overrightarrow{E}left(10right).]

Момент сил $overrightarrow{M}$ стремится повернуть ось диполя в направлении поля $overrightarrow{E}.$ Существует два положения равновесия диполя: диполь параллелен полю (устойчивое положение) и антипараллелен (неустойчивое положение).

Если поле не однородно, то сила (сумма сил действующих на положительный и отрицательный заряд) не равна нулю.$ overrightarrow{F}={overrightarrow{F}}_++{overrightarrow{F}}_-ne 0$. В этом случае сила равна:

[overrightarrow{F}=qleft({overrightarrow{E}}_+-{overrightarrow{E}}_-right)left(11right).]

В том случае, если мы имеем дело с точечным диполем (плечо диполя очень мало), то сила, действующая на диполь, может быть записана как:

[overrightarrow{F}=p_{ex}frac{partial overrightarrow{E}}{?x}+p_{ey}frac{partial overrightarrow{E}}{partial y}+p_{ez}frac{partial overrightarrow{E}}{partial z}left(12right).]

или, что то же самое, но короче:

[overrightarrow{F}=left(overrightarrow{p}overrightarrow{nabla }right)overrightarrow{E}left(13right).]

Содержание книги

Предыдующая страница

§9. Электрическое поле и его свойства

9.12 Электрический диполь.

Часто возникает необходимость найти характеристики электрического поля, создаваемого системой зарядов, локализованных в небольшой области пространства. Примером такой системы зарядов могут служить атомы и молекулы, состоящие из электрически заряженных ядер и электронов. Если требуется найти поле на расстояниях, которые значительно больше размеров области расположения частиц, то нет необходимости пользоваться точными, но громоздкими формулами, достаточно ограничится более простыми приближенными выражениями.

Пусть электрическое поле создается набором точечных зарядов q_k (k = 1,2…N), расположенных в пределах небольшой области пространства, характерные размеры которой обозначим l (Рис. 202). Для расчета характеристик электрического поля, в некоторой точке A, находящейся на расстоянии r, значительно превышающем l, все заряды системы можно «объединить» и рассматривать систему зарядов как точечный заряд Q, величина которого равна сумме зарядов исходной системы

(~Q = q_1 + q_2 + ldots + q_N) . (1)

Этот заряд можно мысленно расположить в любой точке области расположения системы зарядов q_k (k = 1,2…N), так как при l << r, изменение положения в пределах малой области незначительно повлияет на изменение поля в рассматриваемой точке.

В рамках такого приближения напряженность и потенциал электрического поля определяются по известным формулам

(~E = frac{Q}{4 pi varepsilon_0 r^2} ; varphi = frac{Q}{4 pi varepsilon_0 r}) . (2)

Если суммарный заряд системы равен нулю, то указной приближение является слишком грубым, приводящим к выводу об отсутствии электрического поля.

Более точное приближение можно получить, если мысленно собрать отдельно положительные и отрицательные заряды рассматриваемой системы. Если их «центры» смещены друг относительно друга, то электрическое поле такой системы может быть описано как поле двух точечных зарядов, равных по величине и противоположных по знаку, смещенных друг относительно друга. Более точную характеристику системы зарядов в этом приближении мы дадим немного позднее, после изучения свойств электрического диполя.

Электрическим диполем называется система, состоящая из двух точечных зарядов одинаковых по величине и противоположных по знаку, расположенных на малом расстоянии друг от друга.

Рассчитаем характеристики электрического поля, создаваемого диполем, состоящего из двух точечных зарядов +q и —q, расположенных на расстоянии a друг от друга (Рис. 203). Сначала найдем потенциал и напряженность электрического поля диполя на его оси, то есть на прямой, проходящей через оба заряда. Пусть точка A, находится на расстоянии r от центра диполя, причем будем считать, что r >> a. В соответствии с принципом суперпозиции потенциал поля в данной точке описывается выражением

(~varphi = frac{q}{4 pi varepsilon_0 left (r — frac{a}{2}right )} — frac{q}{4 pi varepsilon_0 left (r + frac{a}{2}right )} = frac{q}{4 pi varepsilon_0} frac{a}{r^2 — left (frac{a}{2}right )^2} approx frac{qa}{4 pi varepsilon_0 r^2}) . (3)

На последнем шаге мы пренебрегли вторым малой величиной (~left (frac{a}{2}right )^2) по сравнению с r² . Величину вектора напряженности электрического поля также можно вычислить на основании принципа суперпозиции

(~E = frac{q}{4 pi varepsilon_0 left (r — frac{a}{2}right )^2} — frac{q}{4 pi varepsilon_0 left (r + frac{a}{2}right )^2} = frac{q}{4 pi varepsilon_0} frac{2ar}{left (r^2 — left (frac{a}{2}right )^2right )^2} approx frac{qa}{2 pi varepsilon_0 r^3}) . (4)

Напряженность поля можно вычислить, используя соотношение между потенциалом и напряженностью поля (~E_x = -frac{Delta varphi}{Delta x}) . В данном случае вектор напряженности направлен вдоль оси диполя, поэтому его модуль рассчитывается следующим образом

(~E = -frac{Delta varphi}{Delta r} = -frac{varphi(r + Delta r) — varphi(r)}{Delta r} = frac{qa}{4 pi varepsilon_0} frac{1}{Delta r} left ( frac{1}{(r + Delta r)^2} — frac{1}{r^2} right ) = -frac{qa}{4 pi varepsilon_0} frac{1}{Delta r} frac{-2rDelta r -(Delta r)^2}{r^2(r + Delta r)^2} approx frac{qa}{2 pi varepsilon_0 r^3}) . (5)

Обратите внимание, что поле диполя ослабевает быстрее поля точечного заряда, так потенциал поля диполя убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а напряженность поля — обратно пропорционально кубу расстояния.

Аналогичным, но более громоздким, способом можно найти потенциал и напряженность поля диполя в произвольной точке, положение которой определим с помощью полярных координат: расстояния до центра диполя r и угла θ (Рис. 204). По принципу суперпозиции потенциал поля в точке A равен

(~varphi = frac{q}{4 pi varepsilon_0 r_+} — frac{q}{4 pi varepsilon_0 r_-} = frac{q}{4 pi varepsilon_0} frac{r_- — r_+}{r_-r_+}) . (6)

Учитывая, что r >> a, формулу (6) можно упростить с помощью приближений (~r_-r_+ approx r^2 ; r_- — r_+ approx a cos theta) , в этом случае получаем

(~varphi = frac{qa cos theta}{4 pi varepsilon_0 r^2}) .

Вектор напряженности электрического поля (~vec E) удобно разложить на две составляющие: радиальную (~vec E_r) , направленную вдоль прямой, соединяющей данную точку с центром диполя, и перпендикулярную ей (~vec E_{theta}) (рис. 205). При таком разложении каждая компонента направлена вдоль направления изменения каждой из координат точки наблюдения, поэтому может быть найдена из соотношения, связывающего напряженность поля и изменение потенциала.

Для того, чтобы найти компоненты вектора напряженности поля, запишем отношение изменения потенциала, при смещении точки наблюдения в направлении соответствующих векторов (Рис. 206).

Радиальная составляющая тогда выразится соотношением

(~E_r = -frac{Delta varphi}{Delta r} = -frac{varphi(r + Delta r) — varphi(r)}{Delta r} = frac{qa cos theta}{4 pi varepsilon_0} frac{1}{Delta r} left ( frac{1}{(r + Delta r)^2} — frac{1}{r^2} right ) = frac{qa cos theta}{4 pi varepsilon_0} frac{1}{Delta r} frac{2rDelta r + (Delta r)^2}{r^2(r + Delta r)^2} approx frac{qa cos theta}{2 pi varepsilon_0 r^3}) .

Для расчета перпендикулярной составляющей следует учесть, что величина малого смещения в перпендикулярном направлении выражается через изменение угла следующим образом (~Delta l = r Delta theta) . Поэтому величина этой компоненты поля равна

(~E_{theta} = -frac{Delta varphi}{r Delta theta} = -frac{varphi(theta + Delta theta) — varphi(theta)}{r Delta theta} = -frac{qa}{4 pi varepsilon_0 r^3} frac{cos (theta + Delta theta) — cos theta}{Delta theta} = frac{qa sin theta}{4 pi varepsilon_0 r^3} frac{sin Delta theta}{Delta theta} approx frac{qa sin theta}{4 pi varepsilon_0 r^3}) .

При выводе последнего соотношения использована тригонометрическая формула для разности косинусов и приближенное соотношение, справедливое при малых Δθ : sin Δθ ≈ Δθ.

Полученные соотношения полностью определяют поле диполя в произвольной точке и позволяют построить картину силовых линий этого поля (рис. 207).

Теперь обратим внимание, что во всех формулах, определяющих потенциал и напряженность поля диполя, фигурирует только произведение величины одного из зарядов диполя на расстояние между зарядами. Поэтому именно это произведение является полной характеристикой электрических свойств и называется дипольным моментом системы. Так как диполь является системой двух точечных зарядов, то он обладает осевой симметрией, осью которой является прямая, проходящая через заряды. Следовательно, для задания полной характеристики диполя следует указать и ориентацию оси диполя. Проще всего это сделать, задавая вектор дипольного момента, величина которого равна дипольному моменту, а направление совпадает с осью диполя

(~vec p = q vec a) , (7)

где (~vec a) — вектор, соединяющий отрицательный и положительный заряды диполя ^[1]. Такая характеристика диполя весьма удобна и позволяет во многих случая упрощать формулы, придавая им векторный вид. Так, например, потенциал поля диполя в произвольной точке, описываемый формулой (6), может быть записан в векторной форме

(~varphi = frac{vec p cdot vec r}{4 pi varepsilon_0 r^3}) . (8)

После введения векторной характеристики диполя, его дипольного момента, появляется возможность использовать еще одну упрощающую модель – точечный диполь: систему зарядов, геометрическими размерами которой можно пренебречь, но обладающей дипольным моментом ^[2].

Рассмотрим поведение диполя в электрическом поле. Пусть два точечных заряда, находящиеся на фиксированном расстоянии друг от друга, помещены в однородное электрическое поле. Со стороны поля на заряды действуют силы F = ±qE, равные по величине и противоположные по направлению. Суммарная сила, действующая на диполь равна нулю, однако эти силы приложены к различным точкам, поэтому суммарный момент этих отличен от нуля, а равен

(~M = Fa sin alpha = qEa sin alpha = pE sin alpha) , (9)

где α — угол меду вектором напряженности поля и вектором дипольного момента. Наличие момента силы, приводит к тому, что дипольный момент системы стремится повернуться по направлению вектора напряженности электрического поля.

Обратите внимание, что и момент силы, действующий на диполь, полностью определяется его дипольным моментом. Как мы показали ранее, если сумма сил, действующих на систему, равна нулю, то суммарный момент сил не зависит от оси, относительно которой этот момент рассчитывается. Положению равновесия диполя соответствуют как направление по полю α = 0, так и против него α = π, однако легко показать, что первое положение равновесия устойчиво, а второе нет.

Если электрический диполь находится в неоднородном электрическом поле, то силы, действующие на заряды диполя различны, поэтому результирующая сила отлична от нуля.

Для упрощения, будем считать, что ось диполя совпадает с направлением вектора напряженности внешнего электрического поля. Совместим ось системы координат с направлением вектора напряженности (Рис. 209). Результирующая сила, действующая на диполь, равна векторной сумме сил, действующих на заряды диполя,

(~F = F_+ — F_- = q(E(x+a) — E(x)) = qa frac{Delta E}{Delta x}) . (10)

Здесь E(x) — напряженность поля в точке расположения отрицательного заряда, E(x + a) — напряженность в точке положительного заряда. Так как расстояние между зарядами мало, разность напряженностей представлена как произведение скорости изменения напряженности на размер диполя. Таким образом, в неоднородном поле, на диполь действует сила, направлена в сторону возрастания поля, или диполь втягивается в область более сильного поля.

В заключение вернемся к строгому определению дипольного момента произвольной системы зарядов. Вектор дипольного момента, системы, состоящей из двух зарядов (Рис. 210), может быть записан в виде

(~vec p = q vec a = q(vec r_+ — vec r_-) = (+q)vec r_+ — (-q)vec r_-) .

Если теперь пронумеровать заряды, то эта формула приобретает вид

(~vec p = (+q)vec r_+ — (-q)vec r_- = q_1 vec r_1 + q_2 vec r_2) ,

где величины зарядов понимаются в алгебраическом смысле, с учетом их знаков. Последняя формула допускает очевидное обобщение (обоснованием которого является принцип суперпозиции) на систему произвольного числа зарядов

(~vec p = q_1 vec r_1 + q_2 vec r_2 + q_3 vec r_3 + ldots = sum_{k} {q_k vec r_k}) . (11)

Эта формула определяет дипольный момент произвольной системы зарядов, с ее помощью произвольная система зарядов может быть заменена на точечный диполь (Рис. 211). Положение диполя внутри области расположения зарядов произвольно, естественно, если электрическое поле рассматривается на расстояниях значительно превышающих размеры системы.

Задания для самостоятельной работы.

1. Докажите, что для произвольной системы зарядов, алгебраическая сумма которых равна нулю, дипольный момент, определяемый по формуле (11), не зависит от выбора системы отсчета.
2. Определите «центры» положительных и отрицательных зарядов системы, по формулам аналогичным, формулам для координат центра масс системы. Если все положительный и все отрицательные заряды собрать в своих «центрах», то получим диполь, состоящий из двух зарядов. Покажите, что его дипольный момент совпадает с дипольным моментом, рассчитанным по формуле (11).
3. Получите двумя способами формулу, выражающую силу взаимодействия точечного диполя и точечного заряда, находящегося на оси диполя: во-первых, найдите силу, действующую на точечный заряд со стороны диполя; во-вторых, найдите силу, действующую на диполь со стороны точечного заряда; в-третьих, убедитесь, что эти силы равны по модулю и противоположны по направлению.

Примечания

1. ↑ Направление вектора дипольного момента, в принципе можно задать и противоположным, но исторически сложилось задание направления дипольного момента от отрицательного к положительному заряду. При таком определении силовые линии как бы являются продолжением вектора дипольного момента.
2. ↑ Очередная, абсурдная на первый взгляд, но удобная абстракция – материальная точка, имеющая два заряда, разнесенных в пространстве.

Следующая страница