Как найти зависимость событий

Зависимые и независимые случайные события.
Основные формулы сложения и умножения вероятностей

Понятия зависимости и независимости случайных событий. Условная вероятность. Формулы сложения и умножения вероятностей для зависимых и независимых случайных событий. Формула полной вероятности и формула Байеса.

Теоремы сложения вероятностей

Найдем вероятность суммы событий A и B (в предположении их совместности либо несовместности).

Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:

P{A+B+ldots+N}=P{A}+P{B}+ldots+P{N}.

Пример 1. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го — 0,04; 46-го и большего — 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.

Решение. Искомое событие D произойдет, если будет продана пара обуви 44-го размера (событие A) или 45-го (событие B), или не меньше 46-го (событие C), т. е. событие D есть сумма событий A,B,C. События A, B и C несовместны. Поэтому согласно теореме о сумме вероятностей получаем

P{D}=P{A+B+C}=P{A}+P{B}+P{C}=0,!12+0,!04+0,!01 =0,!17.

Пример 2. При условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События «очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера» и «будет продана пара обуви размера не меньше 44-го» противоположные. Поэтому по формуле (1.2) вероятность наступления искомого события

P{overline{D}}=1-P{D}=1-0,!17=0,!83.

поскольку P{D}=0,!17, как это было найдено в примере 1.

Теорема 2.1 сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. Использование ее для нахождения вероятности совместных событий может привести к неправильным, а иногда и абсурдным выводам, что наглядно видно на следующем примере. Пусть выполнение заказа в срок фирмой «Electra Ltd» оценивается вероятностью 0,7. Какова вероятность того, что из трех заказов фирма выполнит в срок хотя бы какой-нибудь один? События, состоящие в том, что фирма выполнит в срок первый, второй, третий заказы обозначим соответственно A,B,C. Если для отыскания искомой вероятности применить теорему 2.1 сложения вероятностей, то получим P{A+B+C}=0,!7+0,!7+0,!7=2,!1. Вероятность события оказалась больше единицы, что невозможно. Это объясняется тем, что события A,B,C являются совместными. Действительно, выполнение в срок первого заказа не исключает выполнения в срок двух других.

Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

P{A+B}=P{A}+P{B}-P{AB}.

Зависимые и независимые события. Условная вероятность

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления «герба» в первом испытании (событие A) не зависит от появления или не появления «герба» во втором испытании (событие B). В свою очередь, вероятность появления «герба» во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события A и B независимые.

Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любое из них не зависит от любого другого события и от любой комбинации остальных.

События называются зависимыми, если одно из них влияет на вероятность появления другого. Например, две производственные установки связаны единым технологическим циклом. Тогда вероятность выхода из строя одной из них зависит от того, в каком состоянии находится другая. Вероятность одного события B, вычисленная в предположении осуществления другого события A, называется условной вероятностью события B и обозначается P{B|A}.

Условие независимости события B от события A записывают в виде P{B|A}=P{B}, а условие его зависимости — в виде P{B|A}ne{P{B}}. Рассмотрим пример вычисления условной вероятности события.

Пример 4. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Решение. Обозначим A извлечение изношенного резца в первом случае, а overline{A} — извлечение нового. Тогда P{A}=frac{2}{5},~P{overline{A}}=1-frac{2}{5}=frac{3}{5}. Поскольку извлеченный резец в ящик не возвращается, то изменяется соотношение между количествами изношенных и новых резцов. Следовательно, вероятность извлечения изношенного резца во втором случае зависит от того, какое событие осуществилось перед этим.

Обозначим B событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

P{B|A}=frac{1}{4},~~~P{B|overline{A}}=frac{2}{4}=frac{1}{2}.

Следовательно, вероятность события B зависит от того, произошло или нет событие A.

Формулы умножения вероятностей

Пусть события A и B независимые, причем вероятности этих событий известны. Найдем вероятность совмещения событий A и B.

Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

P{AB}=P{A}cdot P{B}.

Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

P{A_1A_2ldots{A_n}}=P{A_1}P{A_2}ldots{P{A_n}}.

Пример 5. Три ящика содержат по 10 деталей. В первом ящике — 8 стандартных деталей, во втором — 7, в третьем — 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Вероятность того, что из первого ящика взята стандартная деталь (событие A), P{A}=frac{8}{10}=frac{4}{5}. Вероятность того, что из второго ящика взята стандартная деталь (событие B), P{B}=frac{7}{10}. Вероятность того, что из третьего ящика взята стандартная деталь (событие C), P{C}=frac{9}{10}. Так как события A, B и C независимые в совокупности, то искомая вероятность (по теореме умножения)

P{ABC}=P{A}P{B}P{C}=frac{4}{5}frac{7}{10}frac{9}{10}=0,!504.

Пусть события A и B зависимые, причем вероятности P{A} и P{B|A} известны. Найдем вероятность произведения этих событий, т. е. вероятность того, что появится и событие A, и событие B.

Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

P{AB}=P{A}cdot P{B|A};qquad P{AB}=P{B}cdot P{A|B}

Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Пример 6. В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие A), при втором — черный (событие B) и при третьем — синий (событие C).

Решение. Вероятность появления белого шара при первом испытании P{A}=frac{5}{12}. Вероятность появления черного шара при втором испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность P{B|A}=frac{4}{11}. Вероятность появления синего шара при третьем испытании, вычисленная в предположении, что при первом испытании появился белый шар, а при втором — черный, P{C|AB}=frac{3}{10}. Искомая вероятность

P{ABC}=P{A}P{B|A}P{C|AB}=frac{5}{12}frac{4}{11}frac{3}{10}.

Формула полной вероятности

Теорема 2.5. Если событие A наступает только при условии появления одного из событий B_1,B_2,ldots{B_n}, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события A равна сумме произведений вероятностей каждого из событий B_1,B_2,ldots{B_n} на соответствующую условную вероятность события B_1,B_2,ldots{B_n}:

P{A}=sumlimits_{i=1}^{n}P{B_i}P{A|B_i}.

(2.1)

При этом события B_i,~i=1,ldots,n называются гипотезами, а вероятности P{B_i} — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором — 30%, на третьем — 20%. Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.

Решение. Обозначим A событие, означающее годность собранного узла; B_1, B_2 и B_3 — события, означающие, что детали сделаны соответственно на первом, втором и третьем станке. Тогда

P{B_1}=0,!5;~~~~~P{B_2}=0,!3;~~~~~P{B_3}=0,!2;
P{A|B_1}=0,!98;~~~P{A|B_2}=0,!95;~~~P{A|B_3}=0,!8.

Искомая вероятность

begin{gathered}P{A}=P{B_1}P{A|B_1}+P{B_2}P{A|B_2}+P{B_3}P{A|B_3}=hfill\=0,!5cdot0,!98+0,!3cdot0,!95+0,!2cdot0,!8=0,!935.end{gathered}

Формула Байеса

Эта формула применяется при решении практических задач, когда событие A, появляющееся совместно с каким-либо из событий B_1,B_2,ldots{B_n}, образующих полную группу событий, произошло и требуется провести количественную переоценку вероятностей гипотез B_1,B_2,ldots{B_n}. Априорные (до опыта) вероятности P{B_1},P{B_2},ldots{P{B_n}} известны. Требуется вычислить апостериорные (после опыта) вероятности, т. е., по существу, нужно найти условные вероятности P{B_1|A},P{B_2|A},ldots{P{B_n|A}}. Для гипотезы B_j формула Байеса выглядит так:

P{B_j|A}=frac{P{B_j} P{A|B_j}}{P{A}}.

Раскрывая в этом равенстве P{A} по формуле полной вероятности (2.1), получаем

P{B_j|A}=dfrac{P{B_j}P{A|B_j}}{sumlimits_{i=1}^{n}P{B_i}P{A|B_i}}.

Пример 8. При условиях примера 7 рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный.

Решение. Рассчитаем условные вероятности по формуле Байеса:

для первого станка

P{B_1|A}=dfrac{P{B_1}P{A|B_1}}{P{A}}=frac{0,!5cdot0,!98}{0,!935}approx0,!525;

для второго станка

P{B_2|A}=dfrac{P{B_2}P{A|B_2}}{P{A}}=frac{0,!3cdot0,!95}{0,!935}approx0,!304;

для третьего станка

P{B_3|A}=dfrac{P{B_3}P{A|B_3}}{P{A}}=frac{0,!2cdot0,!8}{0,!935}approx0,!171.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Определение.
Два события называют независимыми,
если вероятность появления одного из
них не зависит от того, произойдет другое
событие или нет.

Например, опыт
состоит в бросании двух монет. Пусть А
и В
– события, состоящие в том, что герб
появится соответственно на первой и
второй монете. В данном случае вероятность
события А
не зависит от того, произошло событие
В
или нет. Следовательно, событие А
независимо от события В.

Определение.
Несколько событий называют попарно
независимыми,
если каждые два из них независимы.

Например, опыт
состоит в бросании трех монет. Пусть А,
В,
С
– события, состоящие в том, что герб
появится соответственно на первой,
второй и третьей монете. В данном случае
каждые два из рассматриваемых событий
(т.е. А
и В,
А
и С,
В
и С)
– независимы. Следовательно, события
А, В и С – попарно независимые. ◄

Определение.
Два события называют зависимыми,
если вероятность появления одного из
них меняется в зависимости от того,
произойдет другое событие или нет.

Например, в урне
3 белых и 2 черных шара. Наудачу берут
один шар, не возвращая его в урну. Если
появился белый шар (событие А),
то вероятность появления белого шара
во втором испытании (событие В)
Р(В)
=
.
Если же в первом испытании появился
черный шар (т.е. событиеА
не произошло), то вероятность Р(В)
=
.
Т.е. вероятность событияВ
зависит от того, произошло событие А
или нет. Следовательно, события А
и В
– зависимые.

Отметим, что
зависимость
и независимость событий всегда взаимны,
т.е. если событие В
не зависит от события А,
то и событие А
не зависит от события В.

2.4. Теорема умножения вероятностей независимых событий

Сформулируем
теорему умножения вероятностей
независимых событий.

Теорема.
Вероятность
совместного появления двух независимых
событий А и В равна произведению
вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А)·Р(В).

(2.5)

Для того чтобы
обобщить теорему умножения на несколько
событий, введем понятие независимости
событий в совокупности.

Определение.
Несколько событий называют независимыми
в совокупности,
если каждое из них и любая комбинация
остальных событий (содержащих либо все
остальные события, либо часть из них)
есть события независимые.

Например, если
события А1,
А2
и А3
независимые в совокупности, то независимыми
являются события: А1
и А2,
А1
и А3,
А2
и А3,
А1А2
и А3,
А1А3
и А2,
А2А3
и А1.

Подчеркнем, что
если несколько событий независимы
попарно, то из этого еще не следует их
независимость в совокупности. В этом
смысле требование независимости событий
в совокупности сильнее требования их
попарной независимости.

Теперь мы можем
сформулировать следствие из теоремы
умножения вероятностей, обобщающее
теорему умножения на несколько событий.

Следствие.
Вероятность
совместного появления нескольких
событий, независимых в совокупности,
равна произведению вероятностей этих
событий.

Р(А1А2…Аn)
= Р(А1)·Р(А2)
…·Р(Аn).

(2.6)

Пример 2.4.
Имеется три урны, содержащих по 10 шаров.
В первой урне 5 шаров красного цвета, во
второй – 4, в третьей – 6. Из каждой урны
наудачу вынимают по одному шару. Найти
вероятность того, что все три шара
окажутся красного цвета.

Решение.
Вероятность того, что из первой урны
вынут шар красного цвета (событие А)
Р(А)
=
= 0,5. Вероятность того, что из второй урны
вынут шар красного цвета (событиеВ)
Р(В)
=
= 0,4. Вероятность того, что из третьей
урны вынут шар красного цвета (событиеС)
Р(С)
=
= 0,6.

Так как события
А,
В
и С
независимые в совокупности, то искомая
вероятность (по теореме умножения) равна

Р(АВС)
= Р(А)·Р(В)·Р(С)
= 0,5·0,4·0,6 = 0,12. ◄

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №34. Условная вероятность. Независимость событий.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Условная вероятность

— Совместные и несовместные события

— Схема решения задач на вычисление условной вероятности события;

— Задачи на определение независимости событий.

Глоссарий по теме

Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.

Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.

События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления остальных событий рассматриваемого множества событий.

Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается PA(B).

Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014. с. 186-194.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иногда нам требуется выяснить вероятность совместного появления зависимых событий. Самый простой пример – найти вероятность получить выигрышную комбинацию в азартной карточной игре, где вероятность выпадения каждой новой карты зависит от того, какие карты уже лежат на столе.

Рассмотрим примерную задачу:

Из колоды карт извлекают четыре карты. Первые две оказались семёрками. Какова вероятность, что одна или обе оставшиеся карты окажутся семёрками? (колода содержит 36 карт)

1. 1/561

2. 65/561

3. 1/105

4. 17/518

Теоретическая часть

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример совместных событий: выпадение чётного числа и выпадение числа, кратного трём, при броске игрального кубика. Когда выпадает шесть, реализуются сразу оба события.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример несовместных событий: выпадение чётного числа и выпадение нечётного числа при броске игрального кубика.

Теорема о сумме двух событий:

Вероятность суммы любых двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления: Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Рассмотрим пример.

В лотерее выпущено 10 000 билетов, из них: 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 выигрышей по 50 рублей и 1000 выигрышей по 10 рублей. Какова вероятность того, что человек, купивший билет, выиграет не менее 50 рублей?

Решение: Введем для удобства обозначение событий А — «человек выиграл 50 рублей», В — «человек выиграл 100 рублей», С — «человек выиграл 200 рублей», D — «человек выиграл не менее 50 рублей». Событие D означает, что выигрыш может составлять 50 и более рублей, то есть 50, 100 или 200 рублей: М=А+В+С. События А, В, С – попарно несовместны.

Воспользуемся теоремой: Р(М)=Р(А)+Р(В)+Р(С)=0,061.

Задача.

Дана вероятность исходного события. Чему равна вероятность противоположного события?

Вероятность исходного события А обозначим Р(А). Вероятность противоположного события Р(Ᾱ).

Решение:

События А и Ᾱ образуют полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Тогда вероятность противоположного события находится по формуле:

P(Ᾱ)=1-P(A)

  1. События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления остальных событий рассматриваемого множества событий.

Например, монета брошена два раза.

A – выпала «Решка»

B – выпал «Орёл»

Вероятность появления «Орла» во втором испытании не зависит от результата первого испытания.

Теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ)=Р(А)·Р(В)

Рассмотрим пример.

Задача.

Подбрасываются две монеты. Найдите вероятность выпадения двух орлов.

Решение:

Введем обозначение событий:

A1– на 1-й монете выпадет орёл;

A2– на 2-й монете выпадет орёл.

Событие “выпадение двух орлов” заключается в том, что на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл, следовательно, это произведение событий A1A2. Вероятность выпадения орла на одной монете не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события A1 и A2 независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

P(A1A2) = P(A1)· P(A2) = 1/2 · 1/2 = 1/4.

  1. Событие B называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события B, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В  и обозначается PA(B).

Отыскать вероятность совместного появления зависимых событий помогает теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло: P(AB) = P(A)·PA(B).

Связь теории вероятностей с теорией множеств.

В математике принято устанавливать связи между различными разделами. Связь между теорией вероятностей и теорией множеств устанавливается следующим образом: события отождествляются с множествами. В таком случае понятию исход будет эквивалентно понятие элемент множества. При таком подходе выберите из списка, какому понятию из теории множеств соответствует данное понятие из теории вероятностей:

— Невозможное событие (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

— Сумма событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

— Произведение событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара без возврата. Найдите вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

Решение.

А – первый шар окажется черным

В — второй шар красный

С — третий шар белый

. 

Ответ: 4/91.

2. Колю отпускают гулять при условии сделанных уроков с вероятностью 0,8. Папа выдает ему деньги на мороженое с вероятностью 0,6. С какой вероятностью Коля пойдет гулять без мороженого?

Решение.

A – папа выдал Коле денег на мороженое

B – Колю отпустили гулять

Вероятность того, что Коля пойдёт гулять, есть в условии задачи P(B) = 0,8. Вероятность, что папа не выдаст ему деньги на мороженое, равна P(Ᾱ) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4. Вероятность одновременного осуществления двух независимых событий – произведение их вероятностей P(ᾹB) = P(Ᾱ)·P(B) = 0,8·0,4 = 0,32.

Ответ: 0,32.

Источник

Полная вероятность и формула Байеса

  1. Зависимые события и условные вероятности
  2. Вероятность совместного появления событий
  3. Формула полной вероятности
  4. Формула Байеса
  5. Примеры

п.1. Зависимые события и условные вероятности

Чтобы вспомнить о сложении и умножении вероятностей и независимых событиях – см. §39 справочника для 9 класса.

Напомним, что два случайных события A и B называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.
Например: при бросании монеты несколько раз каждый следующий бросок совершенно не зависит от предыдущих.

Два случайных события A и B называют зависимыми, если вероятность одного из них зависит от того, произошло или нет другое событие.
Вероятность события B, определенная при условии, что событие A произошло, называется условной вероятностью и обозначается (P(B|A)) или (P_A(B)).
Для условных вероятностей справедливы формулы: $$ P(A|B)=frac{P(Awedge B)}{P(B)}, P(B|A)=frac{P(Awedge B)}{P(A)} $$ где (P(Awedge B)) — вероятность совместного появления событий A и B.

Например:
Рассмотрим урну, в которой находится 3 белых и 3 черных шара.
Мы достаем шары, смотрим на их цвет и не возвращаем их на место. События в последовательности становятся зависимыми.
Пусть событие A=»в 1й раз достаем черный шар»,
Событие B=»во 2й раз достаем белый шар»
Событие C=»во 2й раз достаем черный шар»
После того, как произошло событие A, в урне остается 3 белых и 2 черных шара.
Тогда условная вероятность для события B при условии, что событие A произошло:
(P(B|A)=frac35)
Аналогично, условная вероятность для события C:
(P(B|A)=frac25)

п.2. Вероятность совместного появления событий

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие произошло: $$ P(Awedge B)=P(B)cdot P(A|B)=P(A)cdot P(B|A) $$ Это утверждение также называют теоремой умножения вероятностей.

Например:
Продолжая предыдущий пример, вероятность события ((Awedge B)) – 1й раз достали черный шар и 2й раз белый – равна: $$ P(Awedge B)=P(A)cdot P(B|A)=frac12cdot frac35=0,3 $$ Также, напомним:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: $$ P(Awedge B)=P(A)cdot P(B) $$

Например:
Пусть в урне 3 белых и 3 черных шара. Мы достаем шары, смотрим на их цвет и возвращаем их на место. В последовательности наших действий все события будут независимыми. Каждый раз, вероятность достать белый или черный шар будет равна 1/2. Поэтому, в этом случае вероятность события ((Awedge B)) – 1й раз достали черный шар, а 2й раз белый – равна: $$ P(Awedge B)=P(A)cdot P(B)=frac12cdotfrac12=0,25 $$

п.3. Формула полной вероятности

Чтобы вспомнить о несовместных событиях и полной группе событий – см. §39 справочника для 9 класса.
Например:
При подбрасывании монеты события A=«получить орла» и B=«получить решку» — несовместные, т.к. одновременно произойти не могут.
В то же время, эти несовместные события A и B образуют пространство элементарных событий или полную группу (Omega=left{B;Bright}), т.к. ничего другого, кроме орла или решки, получить нельзя. Сумма вероятностей (P(A)+P(B)=frac12+frac12=1), как и положено для полной группы.

Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий (B_1,B_2,…,B_k), которые образуют полную группу событий, то вероятность события A определяется по формуле полной вероятности: $$ P(A)=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)+…+P(B_k)P(A|B_k)=sum_{i=1}^k P(B_i)P(A|B_i) $$

Например:
В 11А и 11Б учится по 35 человек, а в 11В — 30 человек. Будем считать тех, у кого 4 и 5 баллов по алгебре и геометрии, «знатоками математики». Таких учеников в 11А — 10 человек, в 11Б — 7 человек, и в 11В — 3 человека.
Какова вероятность, что произвольно выбранный 11-классник окажется знатоком математики?
Пусть события A=«знаток математики», Bi=«ученик i-го класса», (i=overline{1,3})
Составим таблицу:

i Класс К-во
учеников		 (P(B_i)) К-во
знатоков		 (P(A|B_i)) (P(B_i)cdot P(A|B_i))
1 11A 35 35/100=0,35 10 10/35=2/7 0,1
2 11Б 35 35/100=0,35 7 7/35=1/5 0,07
3 11В 30 30/100=0,3 10 3/30=1/10 0,03
Всего 100 1 20 × 0,2

Получаем полную вероятность (P(A)=sum_{i=1}^3 P(B_i)cdot P(A|B_i)=0,2)
В данном случае ответ можно получить и проще: 20 знатоков на 100 человек дает (P(A)=0,2).

п.4. Формула Байеса

По данному выше определению полной вероятности событие A случается, если происходит одно из событий полной группы (left{B_iright}).
Допустим, что событие A случилось. А какова вероятность, что при этом произошло конкретное событие (B_1inleft{B_iright})? Т.е., нас интересует условная вероятность (P(B_1|A)).
По теореме об умножении вероятностей: $$ P(Awedge B_1)=P(B_1)cdot P(A|B_1)=P(A)cdot P(B_1|A) $$ Откуда: $$ P(B_1|A)=frac{P(B_1)cdot P(A|B_1)}{P(A)} $$ То же самое справедливо для любого события (B_pinleft{B_iright}). Предположение о том, что случилось событие (B_p), называют гипотезой.

Если событие A может произойти только при выполнении одного из событий полной группы (left{B_iright}) и событие A случилось, то вероятность гипотезы, что при этом случилось событие (B_pinleft{B_iright}), определяется формулой Байеса: $$ P(B_p|A)=frac{P(B_p)cdot P(A|B_p)}{P(A)}=frac{P(B_p)cdot P(A|B_p)}{sum_{i=1}^k P(B_i)P(A|B_i)} $$ Вероятность (P(B_p)) называют априорной вероятностью.
Вероятность (P(B_p|A)) называют апостериорной вероятностью. Случившееся событие A может поменять априорную (предварительную) оценку вероятности события (B_p).

Например:
Продолжим задачу с 11-классниками. Какова вероятность того, что произвольно взятый знаток математики учится в 11Б?
Наши события: A=«знаток математики», B2=«ученик 11Б класса».
Событие A «случилось» — у нас имеется знаток, а событие B2 — это гипотеза про 11Б.
И ответом на поставленный вопрос является вероятность (P(B_2|A)).
Из нашей таблицы: $$ P(B_2)cdot P(A|B_2)=0,07; P(A)=0,2 $$ Получаем: $$ P(B_2|A)=frac{P(B_2)cdot P(A|B_2)}{P(A)}=frac{0,07}{0,2}=0,35 $$ Т.е. 11Б дает 35% всех знатоков математики в этой школе.
Если сравнить апостериорную вероятность (P(B_2|A)=0,35) с априорной вероятностью (P(B_2)=0,35), они равны. Событие A не повлияло на оценку вклада 11Б в интеллектуальный багаж школы, он находится на среднем уровне.
Теперь найдем вероятность того, что произвольно взятый знаток математики учится в 11А: begin{gather*} P(B_1|A)=frac{P(B_1)cdot P(A|B_1)}{P(A)}=frac{0,1}{0,2}=0,5\ P(B_1|A)gt P(B_1) end{gather*} Вклад 11А по факту (апостериорная вероятность 0,5) оказывается большим, чем ожидалось по количеству учеников (априорная вероятность 0,35). 50% знатоков всей школы – из этого класса.
Наконец, найдем вероятность того, что произвольно взятый знаток математики учится в 11В: begin{gather*} P(B_3|A)=frac{P(B_3)cdot P(A|B_3)}{P(A)}=frac{0,03}{0,2}=0,15\ P(B_3|A)lt P(B_3) end{gather*} Вклад 11В по факту (апостериорная вероятность 0,15) оказывается меньшим, чем ожидалось по количеству учеников (априорная вероятность 0,3). Только 15% знатоков всей школы – из этого класса.

п.5. Примеры

Пример 1. Двигатель работает в трех режимах: нормальном (65% времени), форсированном (25% времени) и холостом. Вероятность поломки в каждом из режимов соответственно равна (p_1=0,1; p_2=0,8; p_3=0,05).
а) найдите вероятность поломки двигателя во время работы;
б) двигатель сломался. Какова вероятность, что он в этот момент работал в форсированном режиме?

а) Пусть событие A=«поломка двигателя», Bi — «работа в i-м режиме», (i=overline{1,3})
Необходимо найти полную вероятность (P(A)).
Составим таблицу:

i Режим Часть
времени
(P(B_i))		 Вероятность
поломки
(P(A|B_i))		 (P(B_i)cdot P(A|B_i))
1 Нормальный 0,65 0,1 0,065
2 Форсированный 0,25 0,8 0,2
3 Холостой 0,1 0,05 0,005
Всего 1 × 0,27

Вероятность поломки (полная вероятность): $$ P(A)=sum_{i=1}^3 P(B_i)cdot P(A|B_i)=0,27 $$
б) Событие A=«поломка двигателя» произошло. Гипотеза B2 — «работа в форсированном режиме» при фактической поломке имеет вероятность: $$ P(B_2|A)=frac{P(B_2)cdot P(A|B_2)}{P(A)}=frac{0,2}{0,27}=frac{20}{27}approx 0,741 $$ Апостериорная вероятность (P(B_2|A)approx 0,741) больше априорной вероятности (P(B_2)=0,25).

Ответ: a) 0,27; б) (frac{20}{27}approx 0,741)

Пример 2. В состязании лучников участвуют три стрелка. Вероятность попадания в мишень для каждого из них равна 0,3; 0,5 и 0,7. Один из стрелков стреляет и не попадает. Какова вероятность, что это был:
а) первый стрелок;
б) второй стрелок;
в) третий стрелок;

Пусть событие A=«промах», Bi — «выстрел i-го стрелка», (i=overline{1,3})
Т.к. стрелять мог любой из стрелков (P(B_i)=frac13) для каждого из них.
Чтобы найти вероятность промаха, нужно от 1 отнять вероятность попадания.
Составим таблицу:

i (P(B_i)) Вероятность
промаха
(P(A|B_i))		 (P(B_i)cdot P(A|B_i))
1 (frac13) 1-0,3=0,7 (frac13cdot 0,7=frac{7}{30})
2 (frac13) 1-0,5=0,5 (frac13cdot 0,5=frac{1}{6})
3 (frac13) 1-0,7=0,3 (frac13cdot 0,3=frac{1}{10})
∑ 1 × 0,5

Полная вероятность: $$ P(A)=sum_{i=1}^3 P(B_i)cdot P(A|B_i)=frac{7}{30}+frac16+frac{1}{10}=0,5 $$ Промах произошел. Находим апостериорные вероятности для каждого стрелка: begin{gather*} P(B_1|A)=frac{P(B_1)cdot P(A|B_1)}{P(A)}=frac{7/30}{0,5}=frac{7}{15}approx 0,467\ P(B_2|A)=frac{P(B_2)cdot P(A|B_2)}{P(A)}=frac{1/6}{0,5}=frac{2}{3}approx 0,333\ P(B_3|A)=frac{P(B_3)cdot P(A|B_3)}{P(A)}=frac{1/10}{0,5}=frac{1}{5}=0,2\ end{gather*} С точки зрения практической, можно сказать, что «вероятнее всего», это был первый стрелок.

Ответ: a) (frac{7}{15}); б) (frac{1}{3}); в) (frac{1}{5})

Пример 3. Три фрилансера на площадке выполняют заказы в отношении по количеству 3:4:3. Доля успешно выполненных заказов для каждого из них составляет 98%, 95% и 90%.
а) найдите вероятность успешного выполнения заказа на площадке;
б) найдите вероятность неуспеха на площадке;
в) кто из фрилансеров, вероятнее всего, виноват в неуспешной работе?

Пусть событие A=«успех», Bi — «работа i-го фрилансера», (i=overline{1,3})
Составим таблицу успешной деятельности:

i (P(B_i)) Вероятность успеха
(P(A|B_i))		 (P(B_i)cdot P(A|B_i))
1 0,3 0,98 0,294
2 0,4 0,95 0,38
3 0,3 0,9 0,27
∑ 1 × 0,944

Вероятность успешного выполнения (полная вероятность): $$ P(A)=sum_{i=1}^3 P(B_i)cdot P(A|B_i)=0,944 $$ б) Вероятность неуспеха (противоположное событие): $$ P(overline{A})=1-P(A)=1-0,944=0,056 $$ в) Составим таблицу неуспешной деятельности:

i (P(B_i)) Вероятность неуспеха
(P(overline{A}|B_i))		 (P(B_i)cdot P(overline{A}|B_i))
1 0,3 1-0,98=0,02 0,006
2 0,4 1-0,95=0,05 0,02
3 0,3 1-0,9=0,1 0,03
∑ 1 × 0,056

Апостериорные вероятности для каждого из фрилансеров: begin{gather*} P(B_1|overline{A})=frac{P(B_1)cdot P(overline{A}|B_1)}{P(overline{A})}=frac{0,006}{0,056}=frac{3}{28}approx 0,107\ P(B_2|overline{A})=frac{P(B_2)cdot P(overline{A}|B_2)}{P(overline{A})}=frac{0,02}{0,056}=frac{5}{14}approx 0,357\ P(B_3|overline{A})=frac{P(B_3)cdot P(overline{A}|B_3)}{P(overline{A})}=frac{0,03}{0,056}=frac{15}{28}approx 0,536 end{gather*} Наибольшая вероятность неуспеха – у третьего фрилансера.

Ответ: а) 0,944; б) 0,056; в) третий фрилансер.

Пример 4. Докажите, что если полная вероятность события A равна $$ P(A)=sum_{i=1}^k P(B_i)cdot P(A|B_i) $$ то вероятность противоположного события равна (P(overline{A})=1-P(A)).

По условию событие A происходит только при выполнении одного из событий полной группы (left{B_iright}. i=overline{i,k}). Соответственно, противоположное событие (overline{A}) также происходит при выполнении одного из событий (B_i). При этом условная вероятность для противоположного события: $$ P(overline{A}|B_i)=1-P(A|B_i) $$ Заметим также, что для полной группы сумма вероятностей равна 1: begin{gather*} sum_{i=1}^k P(B_i)=1 end{gather*} Получаем: begin{gather*} P(overline{A})=sum_{i=1}^k P(B_i)cdot P(overline{A}|B_i)=sum_{i=1}^k P(B_i)cdot (1-P(A|B_i))=\ =sum_{i=1}^k P(B_i)-sum_{i=1}^k P(B_i)cdot P(A|B_i)=1-P(A) end{gather*} Что и требовалось доказать.

Источник


1.6.2. Зависимые и независимые события

События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления / непоявления

остальных событий рассматриваемого множества событий (во всех возможных комбинациях).

Так, например, при подбрасывании двух или бОльшего количества монет вероятность выпадения орла или решки на любой монете не

зависит от того, что выпадет на других монетах. Вероятности выпадения граней кубика во 2-м испытании не зависят

от того, какая грань выпала в 1-м испытании.

Теперь более любопытная ситуация. Событие  называют зависимым, если его вероятность  зависит от

одного или бОльшего количества событий, которые уже произошли.

Например:  – из неполной колоды игроку будет сдана карта

червовой масти. Вероятность этого события зависит от того, какие карты уже были извлечены из колоды.

И, конечно, близкий многим пример:

 – на

экзамене студенту достанется простой билет. 

Если идти не самым первым, то событие  будет зависимым, поскольку его

вероятность  зависит от того, какие билеты уже

вытянули однокурсники.

Как определить зависимость / независимость событий?

Иногда об этом прямо сказано в условии задачи, но чаще приходится проводить самостоятельный анализ. Какого-то однозначного ориентира

тут нет, и факт зависимости либо независимости событий вытекает из естественных логических рассуждений.

Чтобы не валить всё в одну кучу, начнём с независимых событий:

1.6.3. Теорема умножения вероятностей независимых событий

1.6.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий

| Оглавление |



Полную и свежую версию этой книги в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти точку пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника
  • Как исправить провисшие межкомнатные двери
  • Как составить комплекс ритмической гимнастики кратко для школьников
  • Как составить письмо прокурору
  • Как составить план наблюдения за животными