Как найти жесткость стержня при растяжении - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

2.5. РАСЧЕТЫ НА ЖЕСТКОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Иногда наряду с условиями прочности добавляют ограничения на перемещение некоторых элементов конструкции, то есть вводят условие жесткости δmax ≤ [δ], где [δ] – величина допускаемого перемещения (изменение положения в пространстве) некоторого контролируемого сечения. Деформацию растягиваемого или сжимаемого элемента вычисляют по формуле (2. 4) закона Гука. Пример 2.1. Выполнить поверочный и проектный расчеты ступенчатого бруса. По результатам проектного расчета построить эпюру перемещения сечений. Исходные данные представлены в таблице: Решение Разбиваем брус на участки. Границей участка считают: а) точку приложения силового фактора; б) изменение размеров или формы поперечного сечения; в) изменение материала бруса. Брус одним концом защемлен, и в опоре возникает реакция R (рис. 2.5, а). Для нахождения внутренних усилий при подходе слева направо, придется определять опорную реакцию R. Указанную процедуру можно избежать при подходе справа налево, то есть со свободного конца. 1. Поверочный расчет А. Определение внутренних усилий. Применяем метод сечений. Рассекаем брус на две части в произвольном сечении участка I. Отбрасываем одну из частей (левую). Заменяем действие отброшенной части внутренним усилием NI. Внутреннее усилие всегда принимаем положительным, растягивающим; его вектор направлен от сечения (рис. 2.5, б). Уравнение равновесия составляем проецируя все силы на продольную ось x бруса Знак минус указывает на то, что усилие является сжимающим. Аналогично находим внутренние усилия на втором и третьем участках (рис. 2.5, в и г): Строим эпюру внутренних усилий – график, изображающий закон изменения внутренних усилий по длине бруса. Параллельно оси бруса проводим базисную линию (абсциссу графика) и по нормали к ней откладываем найденные выше значения внутренних усилий (ординаты графика) в выбранном масштабе с учетом знака. Положительные значения откладываем выше базисной линии, отрицательные – ниже (рис. 2.5, д). Поскольку в пределах каждого из участков внутренние усилия неизменны, высоты ординат графика – постоянны и огибающие линии (жирные) – горизонтальны. Б. Определение напряжений на каждом из участков: Строим эпюру напряжений. В. Коэффициенты запаса прочности по отношению к пределу текучести: Вывод: недогружен участок I, перегружен участок III. Для этих участков выполняем проектный расчет. 2. Проектный расчет Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] выполняем подбор размеров поперечных сечений I и III участков, предварительно назначив допускаемое напряжение Нормативный коэффициент запаса прочности выбрали из рекомендуемого диапазона значений [nт] = 1,3–2,2. 3. Определение перемещений сечений А. Удлинения каждого из участков Б. Перемещения сечений. За начало отсчета принимаем сечение d. Оно защемлено, его перемещение равно нулю δd = 0. Строим эпюру перемещений. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет ступенчатого бруса. Прочность одного из элементов обеспечена; другого – избыточна; третьего – не- достаточна. 2. Из условия прочности при растяжении подобраны площади попе- речных сечений двух элементов конструкции. 3. По результатам проектного расчета вычислены деформации каждого элемента конструкции. Крайнее сечение переместится относительно защемления на 217 мкм в сторону от защемления. Пример 2.2. К стальному брусу постоянного сечения вдоль его оси приложены две силы. По условиям эксплуатации введено ограничение на величину перемещения [δ] концевого сечения С. Из условий прочности и жесткости подобрать размер поперечного сечения. Решение 1. Определение внутренних усилий Покажем возникающую в опоре реакцию R; определение внутренних усилий методом сечений начнем вести со свободного конца. Ось х – про- дольная ось бруса (на рисунке не показана). I участок: ∑ x = 0; − NI + F1 = 0; ⇒ NI = F1 = 40кН. II участок: ∑ x = 0; − NII + F1 − F2 = 0; ⇒ NII = F1 − F2 = 40 − 60 = −20кН . F1 = 40 кН; F2 = 60 кН; a = 0,5 м; [σ] = 180 МПа; [δ] = 1 мм. Строим эпюру внутренних усилий. Опасным является участок I, на котором действует Nmax = – 40 кН (пластичные материалы одинаково сопротивляются деформации растяжения и сжатия). 2. Проектный расчет из условия прочности Из условия прочности при растяжении находим требуемую площадь поперечного сечения стержня 3. Проектный расчет из условия жесткости Перемещение сечения С является суммой двух слагаемых: откуда требуемая площадь поперечного сечения стержня Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений площади поперечного сечения: 2,22 и 1,5 см2, удовлетворяющее обоим условиям: А ≥ 2,22 см2. Пример 2.3. Жесткая балка (ее деформацией пренебречь) подперта стальным стержнем (подкосом). Проверить прочность стержня. Определить допускаемую нагрузку F для заданного размера поперечного сечения стержня. Выполнить проектный расчет из условия прочности и жесткости ([δF] – допускаемая величина перемещения балки в точке приложения силы). Решение 1. Поверочный расчет А. Определение внутреннего усилия в стержне Рассекаем стержень на две части (рис. а). Отбрасываем одну из частей и показываем внешнюю нагрузку F, внутреннее усилие N и две составляющих опорной реакции R (рис. б). Составляем такое уравнение равновесия, в которое не вошли бы опорные реакции. Усилие в стержне сжимающее. Б. Определение напряжения В. Коэффициент запаса прочности Фактический коэффициент запаса 1,06 не входит в рекомендуемый (нормативный) диапазон значений [nт]=1,3−2,3. Вывод: прочность недостаточна. 2. Определение допускаемой нагрузки на конструкцию для заданного размера поперечного сечения стержня Из условия прочности при растяжении σ = ≤ [σ] находим допускаемую нагрузку на стержень [N]≤ A⋅[σ]= 15⋅10−4 ⋅170⋅106 = 255 кН. Здесь допускаемое Нормативный коэффициент запаса по текучести назначили из рекомендуемого диапазона n[ т]=1,3−2,3. Из условия равновесия (см. этап 1) находим связь между допускаемой внешней нагрузкой [F] на конструкцию и внутренним усилием [N] в стержне: 3. Проектный расчет из условия прочности Требуемое значение площади поперечного сечения из условия прочности при растяжении: 4. Проектный расчет из условия жесткости Под действием внешней нагрузки стержень деформируется; сечения балки изменяют свое положение в пространстве. Установим связь между внутренним усилием, деформацией стержня и перемещением заданного сечения конструкции. Покажем схему в исходном и деформированном (пунктирные линии) состояниях (рис. в). Контролируемое перемещение сечения балки в точке D приложения силы δF связано с перемещением узла С точки прикрепления стержня к балке соотношением: Вследствие перемещения узла С стержень укорачивается на Δ = CC′⋅sinα. Деформацию стержня определяем по закону Гука: Здесь ℓ – длина стержня, определяется из схемы нагружения (рис. а). Тогда из условия жесткости конструкции: Сравнивая результаты проектных расчетов из условия прочности и жесткости, назначаем большее из двух значений: 28,2 и 33,3 см2, удовлетворяющее обоим условиям, то есть А ≥ 33,3 см2. Выводы 1. Выполнен поверочный расчет стержня. Прочность элемента конструкции недостаточна. 2. Для заданного размера поперечного сечения нагрузка F, приложенная к конструкции, не должна превышать 42,5 кН. 3. Из условий прочности и жесткости при растяжении найдено значение площади поперечного сечения элемента конструкции, удовлетворяющее обоим условиям: 33,3 см2.

Источник

Растяжение–
такой вид нагружения, при котором в
поперечном сечении стержня возникают
только нормальные силыN,
а все остальные внутренние силовые
факторы (поперечные силы, крутящий и
изгибающий моменты) равны нулю.

Приложение
нормальных сил к стержню может быть
различным, но в любом случае система
внешних сил образует равнодействующую
Р, направленную вдоль оси стержня, то
есть во всех поперечных сечениях стержня
возникают нормальные силы N,
равные силе Р:N=P.

При расчетах в
сопротивлении материалов сжатие
отличается от растяжения формально
только знаком силыN.

Таким образом, при
рассмотрении задач сохраняется единство
подхода к вопросам растяжения и сжатия.

Если для нагруженного
по концам растянутого однородного
стержня напряжения остаются постоянными
как по сечению, так и по длине, то такое
напряженное состояние называется
однородным.

Рассмотрим задачу
о распределении напряжений
ипри растяжении (сжатии) в поперечном
сечении стержня (рис. 6.1).

Три стороны задачи
о растяжении и сжатии стержня.

1. Статистическая сторона задачи

P

Краевой
эффект

Рис.
6.1 Растяжение стержня

M_кр
= Q_x=
Q_y
= M_x
= M_y
= M_z=0

(1)

(2)

2. Геометрическая сторона задачи

Применим гипотезу
плоских сечений:

Волокна при
растяжении (сжатии) по высоте в поперечном
сечении бруса деформируются одинаково

(3).

Выделим два сечения
стержня до приложения нагрузки и
рассмотрим их положение в нагруженном
состоянии (рис. 6.2).

a b

b₁

a₁

aabbдо приложения нагрузки

a₁a₁b₁b₁при нагружении

a b

b₁

a₁

Рис. 6.2 Деформация
стержня

3. Физическая сторона задачи

Заключается в
применении закона Гука.

(4) где -относительная
деформация,

Е– модуль
упругости 1 рода = 210⁵МПа

Объединяем все
три стороны задачи

(5)

подставляем в
интеграл (2)

(6) 
— нормальное напряжение

Найдем растяжение
стержня при удлинении, сжатии.

Рис. 6.3 Нормальное напряжение
при растяжении

EF
–жесткостьбруса при
растяжении, сжатии.

Абсолютная
деформация бруса длинной l=dzравна

где l
– абсолютная
деформация.

Условия прочности:

— допускаемое
нормальное напряжение.

Материалы

Пластичные материалы	Хрупкие материалы
— предел текучести материала	— предел прочности материала
n – коэффициент запаса прочности

n–
вводится по следующим причинам:

неточное
определение внешних нагрузок
приближенные
методы расчета
отклонения
в размерах деталей
разброс
в механических характеристиках
материала.

Для хрупких
материалов nбольше чем
для пластичных материалов, так как у
хрупких материалов большая неоднородность
структуры.

если
N(z) = const, F(z) = const

Условие жесткости
l[l]

7. Типы задач сопротивления материалов

Мы выполняем расчет
по допускаемым напряжениям, при этом
вся конструкция считается прочной, если
напряжение в опасной точке _maxне превосходит []
– допускаемого значения (рис. 7.1).



_max

Рис. 7.1 Эпюра напряжений 

1. Проверочный
расчет

Дано:

Размеры стержня,
внешняя нагрузка.

2.Проектировочный
расчет

Дано:

Внешняя нагрузка,
[]

_max
= []
условие
экономичности

3.Определение
допустимой внешней нагрузки

Дано:

размеры стержня,


_max==

4. Расчет на
жесткость.

Условия жесткости:
l =

Пример (Р-1)

все величины заданы
в системе СИ

, Па

5,610⁷

1,1210⁷

2,2510⁷

1,1210⁷

-2,2510⁷

1,687

, м^-4

1,35

1,012

Рис.
39 Пример решения задания Р-1

Рис.
7.2 Пример решения задачи Р-1

Решение

Найдем реакции
связей

Построим эпюру
нормальных сил

Построим эпюру
нормальных напряжений

Построим эпюру
перемещений

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Условие прочности при растяжении (сжатии):,где

—площадь поперечного сечения; — максимальная продольная сила;

—максимальное нормальное напряжение; или — допускаемое напряжение

Если расчет ведется по методу предельных состояний,то в расчет вместо допускаемого напряжения вводится расчетное сопротивление материала R.

Три типа задач при расчете на прочность при растяжении (сжатии)

1. Проверочный расчет

2. Проектный расчет или подбор сечения

3. Определение допускаемой нагрузки

Рассмотрим схему, согласно которой стержень растягивается силой Р. Ширина стержня b, длина ℓ.

Под действием силы Р стержень удлиняется на величину ∆ℓ (абсолютная деформация), а его поперечное сечение уменьшается и становится равным b^‘. Тогда найдем величину отношения абсолютной деформации к первоначальной длине бруса:

Эта безразмерная величина называется относительной продольной деформацией.

Это относительная поперечная деформация.

Отношение называется коэффициентом Пуассона, который для каждого материала имеет свое значение и изменяется в приделах от 0 до 0,5 (0,5 — каучук ,0 — пробка):

медь, μ = 0,31 : 0,34; сталь, μ = 0,25 : 0,33; чугун, μ = 0,19 : 0,27; бетон, μ = 0,08 : 0,18

Коэффициент Пуассона характеризует физические свойства материала.

Влияние собственного веса на напряжения и деформации.В длинных вертикальных брусьях существенную роль играет собственный вес, он вызывает напряжения и деформации, которые нельзя не учитывать. Вес материала G представляет собой нагрузку, равномерно распределенную по объему бруса. Рассмотрим схему, согласно которой стержень подвергается действию собственного веса G (а).

Схема к учету собственного веса: а) общее нагружение; б) для определения напряжений; в) для определения удлинений

Проведем сечение 1 – 1 и рассмотрим равновесие отсеченной части (рис. б). В сечении 1 – 1 будет действовать неизвестное усилие от собственного веса N_G, Составим уравнение равновесия на ось z:

, где — это удельный вес, т.е. вес единицы объема материала в естественном состоянии (вместе с порами).

Определим напряжение от собственного веса:

Как видно из формулы, напряжения от собственного веса не зависят от площади сечения. Наибольшие напряжения возникают в верхнем ,закрепленном сечении ,где z=l.

(1)

Теперь разберемся с деформациями. Так как напряжения возрастают пропорционально расстоянию z, то и относительные удлинения бесконечно малых по длине элементов бруса dz согласно закону Гука пропорциональны величине z:

Абсолютное удлинение элемента dz составляет:

Полное удлинение всего бруса складывается из удлинений отдельных элементов:

(2)Умножим числитель и знаменатель на А:

(3), где -вес всего стержня.

Если сравнить формулу (3) и формулу закона Гука для деформаций: увидим, что абсолютное удлинение бруса от собственного веса равно половине того удлинения, которое получит тот же брус от силы, равной его весу и приложенной к свободному концу.

Иными словами, абсолютное удлинение от собственного веса равно удлинению, которое получит брус, если его вес будет сосредоточен в центре тяжести.

Вывод закона Гука при растяжении – сжатии. В ходе многочисленных экспериментов установлена зависимость между нагрузкой, приложенной к стержню, и перемещениями сечений, к которым эта нагрузка приложена:

(1), где ∆ℓ – абсолютное удлинение стержня, ℓ – длина этого стержня, А – площадь сечения стержня , Е – модуль упругости первого рода (модуль Юнга), характеризует жесткость материала, то есть способность материала сопротивляться действию внешних сил, чем жестче материал, тем меньше он деформируется при данной величине напряжений… Размерность Е — [МПа]. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение: сталь, Е = 2^.10⁵ МПа, медь, Е = 1^.10⁵ МПа, алюминий, Е = 0,7^.10⁵ МПа. Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.

Произведение ЕА – называется жесткостью сечения стержня при растяжении – сжатии.

Учитывая, что F/А = σ, выражение (1) можно записать так: В этой формуле поделим левую и правую части на ℓ , тогда в правой части длины ℓ сократятся, а в левой получим:

получаем величину относительной продольной деформации.

Тогда: Или, собственно, закон Гука при растяжении-сжатии:

Этот закон был предложен в 1660 г. английским физиком Гуком (закон был опубликован только в 1678 г.). В 1680 г. этот же закон независимо от Гука открыл французский ученый Мариотт.

Температурные напряжения. При нагреве или охлаждении в элементах конструкций возникают напряжения. Рассмотрим стержень, защемленный с двух сторон и подвергающийся нагреву, т.е. имеем: t₂>t₁.

Схема к расчету нагретого стержня

В случае, если при нагреве или охлаждения стержня, ничего не препятствует изменению его длины, то в нем не возникает никаких напряжений. Другое дело в статически неопределимых системах. При нагреве бруса, жестко защемленного обоими концами (см. схему), заделки препятствуют его свободному удлинению, и в них возникают реактивные силы Р₁ и Р₂ , вызывающие сжатие бруса.

Составим уравнение статики: Р₁ – Р₂ = 0 Как видим, задача статически неопределима.

Если мысленно снять правое защемление, то под действием усилия распора и температуры возникнут перемещения:

, где α – коэффициент линейного расширения материала. Тогда имеем:

Напряжения, вызванные изменением температуры в стержне постоянного сечения, не зависят от его длины, площади поперечного сечения, а зависят от модуля упругости, коэффициента линейного расширения α и разности температур ∆t.

При нагреве стержня в нем возникают сжимающие напряжения при невозможности свободного удлинения (а), при охлаждении – растягивающие, поскольку брус будет испытывать растяжение, не имея возможности свободно укорачиваться (б). Вообще при изучении температурных напряжений следует строго разграничивать понятия: растяжение и удлинение, сжатие и укорочение, так как в некоторых задачах стержни могут удлиняться, испытывая при этом сжатие и наоборот.

Растяжение (сжатие) – это такой вид нагружения стержня, при котором в его поперечном сечении возникает внутренняя продольная сила Ν, действующая вдоль центральной оси z.

Продольная сила Ν – это равнодействующая всех внутренних нормальных сил в сечении. Для вычисления продольной силы применяется метод сечений.

Продольная сила Ν численно равна алгебраической сумме проекций всех сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения, на продольную ось бруса.

Правило знаков для продольной силы Ν: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна.

График изменения продольных сил по длине стержня называется эпюрой. Эпюра N строится методом сечений на характерных участках бруса. Строится эпюра для использования ее при расчете бруса на прочность. Она дает возможность найти наибольшие значения продольных сил и положение сечений, в которых они возникают.

При растяжении (сжатии) возникают только нормальные напряжения. Согласно гипотезе Я. Бернулли (или гипотеза плоских сечений) в поперечных сечениях, удаленных от места приложения нагрузок, нормальные напряжения распределяются по сечению практически равномерно, а сами сечения, перпендикулярные к оси стержня z, остаются плоскими в процессе нагружения.

Нормальные напряжения в сечении при растяжении (сжатии) вычисляются по формуле

где А – площадь поперечного сечения.

Правило знаков для σ совпадает с правилом знаков для N.

В наклонном сечении, нормаль к которому составляет угол α с осью стержня z,

При растяжении в продольном направлении стержень удлиняется, а его поперечные размеры уменьшаются, при сжатии, напротив, в продольном направлении стержень укорачивается, а его поперечные размеры увеличиваются; Δℓ — абсолютное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, Δb – абсолютная поперечная деформация.

Относительное удлинение или укорочение участка стержня длиной ℓ, называемое линейной деформацией, определяется следующим образом

ε=Δℓ/ℓ.

Экспериментально установлено, что в определенной области нагрузок при упругом поведении материала между нормальными напряжениями и линейными деформациями существует линейная зависимость (закон Гука для напряжений)

σ=εЕ,

где Е – модуль продольной упругости или модуль Юнга, это физическая const. Для каждого из материалов величина модуля упругости имеет свое значение:

сталь, Е = 2^.10⁵ МПа,

медь, Е = 1^.10⁵ МПа,

алюминий, Е = 0,7^.10⁵ МПа.

Значение модуля упругости устанавливается экспериментально.

Согласно закону Гука (данную запись называют законом Гука для деформаций)

Δℓ=Νℓ/ЕА

Произведение ЕА – называется жесткостью стержня при растяжении – сжатии.

Перемещение произвольного сечения ступенчатого стержня

w=∑Δℓ_i

Относительная поперечная деформация:

ε′=Δb/b

где b – поперечный размер стержня.

Эксперименты также показывают, что в упругой стадии деформирования между продольной и поперечной деформациями существует взаимосвязь

μ =│ε′⁄ε│ — const,

где μ — коэффициент Пуассона, берется по модулю ,поскольку у продольной и поперечной деформации разные знаки (при растяжении продольные волокна увеличиваются, а поперечные уменьшаются в размере).

Для твердых материалов имеет значения коэффициент Пуассона

0≤μ ≤0,5

Изменение температуры стержня вызывает его удлинение (при нагревании) или укорочение (при охлаждении)

где — a- коэффициент линейного температурного расширения; Δtº=(tº_к-tº_н) — изменение температуры между значениями начальным (tº_н) и конечным (tº_к).

Статически неопределимыми называют системы, имеющие лишние связи – внешние или внутренние.

Для определения внутренних усилий в таких системах недостаточно рассматривать только уравнения равновесия.

В этом случае требуются дополнительные уравнения, число которых равно количеству лишних связей. Дополнительные уравнения составляются на основе анализа картины деформирования системы и использования законов деформирования ее элементов.

Алгоритм решения подобных задач включает следующее:

1) Статическая часть. Составляются уравнения равновесия с включением неизвестных усилий, действующих по направлению лишних связей.

2) Геометрическая часть. Составляются уравнения, описывающие взаимосвязь перемещений характерных точек, удлинений и укорочений отдельных стержней между собой.

3) Физическая связь. Записываются законы деформирования отдельных стержней системы.

Порядок расчета статически неопределимых брусьев

Задаться направлениями возможных опорных реакций и составить уравнение статики для всей системы в целом.
Определить степень статической неопределимости и использовать метод сечений с целью выразить неизвестные усилия через неизвестные опорные реакции. При этом неизвестные продольные силы (N) следует предполагать положительными и поэтому направлять «от сечения».
Сформулировать условие совместности деформаций участков бруса.
В процессе превращения условия совместности в уравнение совместности деформаций различий в характере деформаций участков не учитывать.

Порядок расчета статически неопределимых шарнирно-стержневых систем

Задаться направлениями опорных реакций, но уравнений равновесия для всей системы не составлять, а сразу использовать метод сечений и составить уравнения статики для выделенной части системы.
Определить степень статической неопределимости как разницу между количеством всех неизвестных, оказавшихся в уравнениях статики, и числом самих этих уравнений.
Рассмотреть (изобразить) любую возможную картину деформаций системы и из ее анализа сформулировать условия совместности деформаций стержней системы (столько, какова степень статической неопределимости).
В процессе преобразования условий совместности в уравнения совместности деформаций обязательно учитывать различие в характере деформаций стержней (т.е. вводить удлинение со знаком «плюс», а укорочение со знаком «минус») в соответствии с той картиной деформации, которую мы рассматриваем.

Источник

Подборка формул для расчета элементов и конструкций на растяжение-сжатие и решения задач сопротивления материалов по расчету нормальных напряжений, деформаций и перемещения сечений стержней при продольном нагружении.

Обозначения в формулах:

σ — нормальные напряжения,
N – внутренняя продольная сила,
A – площадь поперечного сечения,
[σ] – допустимые напряжения,
E – модуль продольной упругости,
ε — относительные деформации.

Закон Гука: