Как найти значащие цифры частного

Так как x1 имеет четыре значащие цифры, а x2 имеет пять значащих цифр, то при округлении произведения оставляют шесть значащих цифр, из

которых

две

–

запасные.

Частное

равно

f

=

x1

≈1,84227 . Погрешности:

x2

∆x1 = 0,005,

∆x2 = 0,0005.

δ f

=

∆x1

+

∆x2

= 0,005

+ 0,0005

= 2,1 10−4 .

x1

x2

27,12

14,721

∆ f

=

f

δ f

=1,84227 2,1 10−4 = 3,9 10−4 .

Проводим окончательное округление с учетом того, что частное должно

иметь четыре верных знака:

f =1,842 ± 0,0004 .

Ответ:

f

=1,842 ± 0,0004 .

Число верных знаков частного

Пусть

f

=

x1

и x2 ≠ 0, а α1 ≠ 0,α2 ≠ 0

— первые значащие цифры

у

x2

делимогоx1

и делителя x2

соответственно.

Любую их двух переменных

xi

можно представить в следующем виде: xi =αi 10mi + βi 10mi−1 + , где i=1,2. Тогда, как и в случае с произведением нескольких переменных, предельную

относительную	погрешность	xi	можно вычислить	по формуле
δxi =	1	101−Ni ,	где Ni —	количество верных цифр в	переменной xi .
	2 αi

Следовательно, предельная относительная погрешность произведения будет

иметь	вид δ f =	1	(	1	+	1	) 101−N , где N —	наименьшее количество верных
2
		α1	α2
цифр	у переменных	x1, x2 . Получаем значение предельной относительной
погрешности δ f	≤	1 102−N , в случае если	хотя бы одна α1 или α2 равна
			2

— 18 —

единице. Если же α1 ≥ 2 и α2 ≥ 2, то частное имеет N-1 верный знак, и

δ f ≤ 12 101−N .

Пример. Вычислить количество верных цифр частного двух приближенных чисел x1 = 8,3, x2 = 6,21.

Так как x1 имеет две значащие цифры, а x2 имеет три значащие цифры, то наименьшее количество верных цифр равно двум. Вычисляем предельную

относительную погрешность δ f = 12 (18 + 16) 101−2 = 487 10−1 ≤ 12 10−1. В данном

случае получаем, что произведение имеет всего одну верную цифру. Ответ: данное произведение имеет один верный знак.

Погрешности возведения в степень и извлечение корня

Так как извлечение корня m-й степени из переменной можно

	рассматривать как возведение в степень	1	этой переменной, то эти две
	m

операции можно рассматривать как одинаковые.

Предельная относительная погрешность возведения в m-ю степень переменной x в m раз больше предельной относительной погрешности самой

переменной δ f = mδx , где	f = xm .
Действительно, если f	= xm , то ln f = m ln x и		∆f		= m		∆x		.
			f				x
Следовательно, δ f = mδx .
							1
В случае извлечение	корня m-й степени из		переменной x f = x m и

δ f = m1 δx .

Предельная абсолютная погрешность возведения в m-ую степень вычисляется по формуле:

— 19 —

∆ f = m

xm

δx ,

(1.13)

а возведения в степень

1

соответственно: ∆ f

=

1

xm

δx .

m

m

Правила округления при делении аналогичны правилам округления при умножении и делении.

Пример 1. Вычислить объем куба, если его сторона приближенно равна 1,7 см, и найти погрешность вычисления.

Объем куба равен: V = x3 = 4,913 ≈ 4,91 (оставляем три значащие цифры, один знак – запасной). Абсолютная погрешность: ∆x = 0,05, относительная погрешность: δx = ∆xx = 01,,057 = 0,0294.

Тогда δV = 3 δx = 0,0882 и ∆V =V δV = 4,91 8,82 10−2 = 0,43.

Производим окончательное округление с учетом того, что результат должен иметь два верных знака: V = 4,9 ± 0,4 см3 .

Ответ: V = 4,9 ± 0,4 см3 .

Пример 2. Вычислить сторону куба, если его объем приближенно равен 4,9см3 , и найти погрешность вычисления.

1
Сторона куба равна: a =V 3	≈1,6995 ≈1,70 (оставляем три значащие

цифры, один знак – запасной, округление проводим по правилам описанным

ранее).	Абсолютная погрешность: ∆V = 0,05, относительная погрешность
δV	=	∆V	=	0,05		= 0,0102 .
V
		4,9
	Тогда δa =	1 δV = 0,0034 и ∆a = a δa =1,70 0,0034 = 0,0058.
						3

Проводим окончательное округление с учетом того, что результат должен иметь два верных знака: a =1,7 ± 0,01см.

Ответ: a =1,7 ± 0,01см.

— 20 —

На странице вопроса С помощью калькулятора выполнили деление : 0, 00125 : 356 приближенно равно 0, 0000035 с помощью того же калькулятора найдите ещё две значащие цифры частного? из категории Математика вы найдете
ответ для уровня учащихся 5 — 9 классов. Если полученный ответ не
устраивает и нужно расшить круг поиска, используйте удобную поисковую
систему сайта. Можно также ознакомиться с похожими вопросами и ответами
других пользователей в этой же категории или создать новый вопрос. Возможно,
вам будет полезной информация, оставленная пользователями в комментариях, где
можно обсудить тему с помощью обратной связи.

Значащие цифры  десятичного числа – это все его цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 1

x = 0.002036,    цифры 2036 являются значащими;

x = 2.27×10⁶,     значащими цифрами являются цифры 2, 2, 7;

x = 2270000,     все цифры этого числа являются значащими.

Значащая цифра в записи числа верна, если абсолютная погрешность числа меньше или равна пяти единицам разряда, следующего за этой цифрой.

Пример 2

Определить, сколько верных значащих цифр содержит число:

x = 0.002306 ± 0.00001.

Для определения числа верных значащих цифр запишем x и Dx таким образом, чтобы легко было сравнить разряды этих чисел:

x     = 0.002306, абсолютная погрешность Dx = 0.00001.

x     = 0.002306,

Dx  = 0.00001.

Третья значащая цифра (0) не может быть верной, так как она одного порядка с погрешностью. Верными могут быть цифры, которые стоят перед ней (2, 3). Цифра 3 будет верной, если Dx £ 0.00005. В нашем случае это условие выполнено, следовательно, 2, 3 – верные значащие цифры.

Цифры в записи числа, следующие за верными, называются сомнительными.

Пример 3

x     = 1.121 ± 0.003;

x     = 1.121;

Dx  = 0.003.

В числе x = 1.121 три верные значащие цифры (1, 1, 2) и одна сомнительная (1).

Пример 4

x     = 0.002306 ± 0.00007;

x     = 0.002306;

Dx  = 0.00007.

В числе x = 0.002306 одна верная значащая цифра (2), три сомнительные (3, 0, 6).

Пример 5

x     = 12.3 ± 0.5;

x     = 12.3;

Dx  =   0.5.

В числе x = 12.3 три значащие цифры, две верные значащие цифры (1, 2), одна сомнительная (3).

Пример 6

x     = 12.3 ± 0.8;

x     = 12.3;

Dx  =   0.8.

В числе x = 12.3 одна верная значащая цифра (1), две сомнительные (2, 3).

При записи абсолютной и относительной погрешностей используют, как правило, одну-две значащие цифры. Приближенные числа принято записывать следующим образом: сначала записывают все верные значащие цифры, затем одну-две сомнительные. То есть в записи приближенного числа, как правило, число значащих цифр на одну-две больше, чем число верных значащих цифр.

Практическое правило. Одна верная значащая цифра в записи числа соответствует приблизительно относительной погрешности 10 %. И наоборот, относительная погрешность 10 % соответствует приблизительно одной верной значащей цифре. Две верные значащие цифры соответствуют относительной погрешности 1 %, три верные значащие цифры – относительной погрешности 0.1 %.

Математика

6 класс

Урок № 69

Приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел

Перечень рассматриваемых вопросов:

– десятичная дробь, приближённое значение, округление;

– значащая цифра десятичной дроби;

– приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел.

Тезаурус

Округление десятичной дроби – замена десятичной дроби приближённым значением с меньшим количеством значащих цифр.

Десятичная дробь – это дробь, записанная в десятичной форме.

Значащая цифра десятичной дроби – это первая слева направо отличная от нуля цифра, а также все следующие за ней цифры.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зачастую необходимо быстро прикинуть результат, который получается при сложении, вычитании, умножении или делении двух десятичных дробей. Если дроби имеют много знаков после запятой, выполнить эти действия быстро довольно сложно. Для этого используют правила приближения суммы, разности, произведения и частного двух чисел.

Сумма (разность, произведение, частное) двух чисел считается приближённо равной сумме (разности, произведению, частному) их приближений.

Поясним на примере.

1,45 + 2,32

Округлим данные числа до десятых.

1,45 ≈ 1,5

2,32 ≈ 2,3

Сложим приближённые значения дробей.

1,5 + 2,3 = 3,8

Проверим с исходными числами.

1,45 + 2,32 = 3,77

Округлим сумму до десятых.

3,77 ≈ 3,8

Получили тот же результат.

Итак, чтобы вычислить приближённую сумму или разность двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, то есть до одного и того же разряда. Затем сложить или вычесть полученные приближения.

Рассмотрим пример.

23,184567 + 4,4486

Округлим эти числа с точностью до одной сотой.

23,184567 ≈ 23,18

4,4486 ≈ 4,45

Найдём сумму приближённых значений.

23,18 + 4,45 = 27,63

23,184567 + 4,4486 ≈ 27,63

Теперь рассмотрим умножение и деление.

Чтобы вычислить приближённое произведение или частное двух чисел, надо округлить эти числа с точностью до одной и той же значащей цифры, перемножить или разделить полученные приближения и результат округлить до той же значащей цифры.

Пусть даны числа.

246,76556 и 0,0078653

Найдём их произведение и частное.

Округлим числа до трёх значащих цифр.

246,76556 ≈ 247

0,0078653 ≈ 0,00787

Вычислим произведение их приближений.

247·0,00787 = 1,94389

Округлим результат также до трёх значащих цифр.

1,94389 ≈ 1,94

Получаем, что

246,76556 · 0,0078653 ≈ 1,94

Вычислим частное приближений этих чисел и тоже округлим его до трёх значащих цифр.

247 : 0,00787 = 31385,00635… ≈ 31400

Получаем, что

246,76556 : 0,0078653 ≈ 31400

Точность вычислений находится в противоречии с простотой вычислений. Чем большим количеством цифр мы пользуемся, тем точнее наш результат.

Пример

Вычислить 2,2637².

Для простоты вычислений округлим до одной значащей цифры.

2,2637 ≈ 2

Тогда 2² = 4.

Округлим до двух значащих цифр.

2,2637 ≈ 2,3

Тогда 2,3² = 5,29

Округлим до трёх значащих цифр.

2,2637 ≈ 2,26

2,26² = 5,1076

Если же посчитать не приближённый, а реальный результат, то получается

2,2637² = 5,12433769

Видим, что наиболее приближённый к реальному результат дало нам округление до трёх значащих цифр. А самый далёкий от реального результат дало округление до одной значащей цифры.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Вставьте вместо пропусков верные цифры.

Задание. Вычислите приближённое значение произведения, округлив множители до двух значащих цифр.

2,465·1,923 ≈ …

Решение

Округлим множители до двух значащих цифр.

2,465≈ 2,5

1,923≈1,9

Найдём произведение приближённых значений.

2,5·1,9=4,75

Округлим произведение также до двух значащих цифр.

4,75≈4,8

Ответ:2,465·1,923 ≈4,8.

Тип 2. Подстановка элементов в пропуски в тексте

Нахождение приближённого значения частного десятичных дробей

Задание. Вставьте вместо пропуска цифру, чтобы получилось верное равенство.

3,_781 : 0,00494 ≈ 3,6 : 0,0049

Решение. При нахождении приближённого значения частного, числа были округлены до двух значащих цифр. В делимом третья значимая цифра 7, значит, при округлении ко второй цифре прибавили единицу. Получилось 6, значит, исходная цифра – это 5.

Ответ: 3,5781 : 0,00494 ≈ 3,6 : 0,0049

Тип 3. Добавление подписей к изображениям

Нахождение приближённого значения произведения и частного десятичных дробей

Задание. Округлив числа a и b с точностью до двух значащих цифр, найдите и впишите результаты действий.

a = 191,452; b = 0,004868

a : b =

a · b =

Решение

Округлим числа до двух значащих цифр.

191,452 ≈ 190

0,004868 ≈ 0,0049

Найдём частное приближённых значений.

190 : 0,0049 = 38775,5

Округлим до двух значащих цифр.

38775,5… ≈ 39000

Найдём произведение приближённых значений.

190 · 0,0049 = 0,931

Округлим произведение также до двух значащих цифр.

0,931 ≈ 0,93

Ответ:

a : b = 39000

a · b = 0,93

ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П.»СПРАВОЧНИК ПО ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА», 1965

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ

25. Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр

1. Предварительные замечания. Различают приближенные вычисления со строгим учетом погрешностей и без строгого учета. В менее ответственных вычислениях с приближенными числами пользуются вторым способом, основанным на так называемых правилах подсчета цифр.

В этих правилах используются понятия десятичных знаков, значащих цифр, точных и сомнительных цифр. Напомним, что десятичными знаками числа называют все его цифры, стоящие правее запятой. Например, числа 3,5 и 3,05 имеют соответственно один и два десятичных знака.

Значащими цифрами числа называются все его цифры, начиная с первой слева отличной от нуля, кроме нулей, стоящих в конце записи числа на месте отброшенных при округлении цифр (как уже отмечалось, эти нули обычно подчеркивают или пишут меньшими).

Примеры. В числе 3,5 — две значащих цифры, в числе 0,0307 — три значащих цифры. В числе 35000, полученном в результате округления до тысяч, две значащих цифры.

Если граница абсолютной погрешности приближенного числа равна половине единицы разряда последней его цифры, то все цифры этого числа называют точными. Если же эта граница больше половины единицы разряда последней цифры числа, то последняя цифра такого числа называется сомнительной.

Примеры. В числе 2,06 (±0,005) цифры 2, 0 точные, а 6 — сомнительная. В числе 2,06 (±0,01) цифры 2 и 0 точные, а 6 — сомнительная. В числе 35000, полученном в результате округления до тысяч, цифры 3 и 5 точные, а все три нуля — сомнительные.

Правила подсчета цифр тесно связаны с принципом А.Н. Крылова (1863-1945): Приближенное число следует писать так, чтобы в нем все значащие цифры, кроме последней, были верны и лишь последняя цифра была бы сомнительна и при том не более как на одну единицу. Например, если приближенное число записано так: 𝑥 ≈ 3,52, то это значит, что оно дано с точностью до сотых, т.е. 𝑥 ≈ 3,52(±0,01). Если же известно, что 𝑥 ≈ 3,72 (±0,02), то, согласно принципу А.Н. Крылова, его надо писать так: 𝑥 ≈ 3,7.

Вычисления с приближенными числами, записанными таким способом, выполняют как и над точными числами, но, придерживаясь таких правил.

2. Правила подсчета цифр.

I. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков.

Пример. Найти сумму приближенных чисел 127; 42; 67; 3; 0,12 и 3,03.

Решение.

Пример. Найти разность чисел: 418,7 — 39,832

Решение.

II. При умножении и делении приближенных чисел в произведении надо сохранить столько значащих цифр, сколько их есть е данном числе с наименьшим количеством значащих цифр.

Пример. Умножить приближенные числа 3,4 и 12,32.

Решение.

Задача. Площадь прямоугольной грядки приближенно равна 7,6 кв. м, ширина -2,38 м. Чему равна ее длина?

Решение. Длина грядки равна частному от деления 7,6 на 2,38.

Действие деления выполняют так:

Последнюю цифру частного 9 можно было и не писать, а, получив в частном две значащие цифры, заметив, что остаток больший половины делителя, округлить частное с избытком.

III. При возведении приближенных чисел в квадрат, и куб в результате сохраняется столько значащих цифр, сколько их в основании.

Примеры.

2,3² = 5,29 ≈ 5,3;

0,8³ = 0,512 ≈ 0,5.

IV. В промежуточных результатах следует брать одной цифрой больше, чем рекомендуют предыдущие правила.

V. Если некоторые данные имеют больше десятичных знаков (при действиях первой ступени) или больше значащих цифр (при действиях II и III ступеней), чем другие, то их предварительно следует округлить, сохраняя лишь одну запасную цифру.

VI. Если данные можно брать с произвольной точностью, то для получения результата с 𝑘 цифрами данные следует брать с таким числом цифр, которое дает согласно правилам I — IV 𝑘 + 1 цифру в результате.

3. Применение правил. Применение вычислений способом подсчета цифр рассмотрим на примере.

Пример. Найти значение , если 𝑎 ≈ 9,31, 𝑏 ≈ 3,1, 𝑐 ≈ 2,33.

Решение.

𝑎 — 𝑏 = 9,31 — 3,1 = 6,21;

(𝑎 — 𝑏) 𝑐 = 6,21 · 2,33 ≈ 14,5;

𝑎 + 𝑏 = 9,31 + 3,1 = 12,4;

𝑥 = 14,5 : 12,4 ≈ 1,2.

Ответ. 𝑥 ≈ 1,2.

Примечание. Сформулированные выше правила подсчета цифр имеют вероятностный смысл: они наиболее вероятны, хотя существуют примеры, не удовлетворяющие этим правилам. Поэтому вычисления способом подсчета цифр — самый грубый способ оценки погрешности результатов действий. Однако он очень прост и удобен, а точность таких вычислений вполне достаточна для большинства технических расчетов. Поэтому этот способ широко распространен в вычислительной практике.

В более ответственных вычислениях пользуются способом границ или способом граничных погрешностей.

26. Приближенные вычисления по способу границ

Наилучшим в смысле строгости из известных способов приближенных вычислений является способ границ. Пользуясь этим способом, по известным нижним и верхним границам данных чисел, находят отдельно нижнюю и верхнюю границы результата.

Пусть, например, надо сложить два числа:

𝑥 ≈ 3,2(±0,05) и 𝑦 ≈ 7,9(±0,05).

Имеем: 3,15 < 𝑥 < 3,25, 7,85 < 𝑦 < 7,95, откуда 11,00 < 𝑥 + 𝑦 < 11,20.

Итак, 𝑥 + 𝑦 ≈ 11,1(±0,1).

Вообще, нижняя граница суммы приближенных чисел равна сумме нижних границ слагаемых, а верхняя — сумме верхних границ слагаемых. Символически это можно записать так:

НГ(𝑖 + 𝑦) = НГ𝑥 + HГ𝑦; ВГ(𝑥 + 𝑦) = ВГ𝑥 + ВГ𝑦.

Аналогичные правила справедливы для умножения:

НГ(𝑥𝑦) = НГ𝑥 · НГ𝑦; ВГ(𝑥 𝑦) = ВГ𝑥 · ВГ𝑦.

Для обратных действий — вычитания и деления — соответствующие правила имеют такой вид:

НГ(𝑥 — 𝑦) = НГ𝑥 — ВГ𝑦; ВГ(𝑥 — 𝑦) = ВГ𝑥 — НГ𝑦.

Из определения НГ и ВГ вытекают также следующие правила:

1) округлять НГ можно только по недостатку, а ВГ — по избытку;

2) чем меньше разность ВГ𝑥 — НГ𝑥, тем точнее определяется 𝑥;

3) в качестве приближенного значения 𝑥 рекомендуется брать среднее арифметическое чисел НГ𝑥 и ВГ𝑥 или число, близкое к нему.

Применение способа границ при вычислениях рассмотрим на примере.

Пример. Найти значение

если 𝑎 ≈ 9,21(±0,01); 𝑏 ≈ 3,05(±0,02), 𝑐 ≈ 2,33(±0,01).

Решение. Определяем НГ и В Г каждого из чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐 и, выполнив над ними соответствующие действия, находим НГ и ВГ числа 𝑥.

Запись удобно оформить в виде такой таблицы.

Компоненты 𝑎 𝑏 𝑐 𝑎 — 𝑏 (𝑎 — 𝑏) 𝑐 𝑎 + 𝑏 𝑖

НГ 9,20 3,03 2,32 6,13 14,22 12,23 1,15

ВГ 9,22 3,07 2,34 6,19 14,49 12,29 1,19

1,15 < 𝑖 < 1,19

2,34 : 2 = 1,17; 0,04 : 2 = 0,02

𝑖 ≈ 1,17 (±0,02).

⇦ Ctrl предыдущая страница / следующая страница Ctrl ⇨

ГЛАВНАЯ СТРАНИЦА / МЕНЮ САЙТА / СОДЕРЖАНИЕ ДАННОЙ СТАТЬИ