Как найти значение большого корня

06
Фев 2014

Категория: Справочные материалы

Извлечение корня из большого числа

2014-02-06
2021-06-25

Автор: egeMax |

комментария 4

При решении текстовых задач на составление уравнений очень часто приходится  вычислять квадратный корень из больших чисел. Если говорить про стандартные задачи из ОГЭ и ЕгЭ , то в таких случаях обычно предполагается, что корень (из дискриминанта при решении квадратного уравнения) извлечь можно.

Но как без калькулятора вычислить корни больших чисел? Предположим, вам требуется найти корень из 1369. Есть простой и логичный алгоритм. Сначала надо определить десятки. Для этого ищем целые числа, в квадраты которых заключено число. Так квадрат 30- это 900, квадрат 40- 1600. Значит искомое число от 30 до 40.

Проверим теперь какие числа точно не подойдут. Т.к. произведение чётных чисел всегда четно, то отпадают все четные — 32, 34, 36, 38. Так как исходное число оканчивается не на 5, то 35 тоже отпадает. Теперь вспоминаем таблицу умножения. Число заканчивается на 9. 3 * 3 =9 и 7 * 7 = 49. Значит это либо 33, либо 37. Путем не сложной проверки можно убедиться, что искомое число — 37.

Как быстро извлекать квадратные корни

14 декабря 2012

Довольно часто при решении задач мы сталкиваемся с большими числами, из которых надо извлечь квадратный корень. Многие ученики решают, что это ошибка, и начинают перерешивать весь пример. Ни в коем случае нельзя так поступать! На то есть две причины:

1. Корни из больших чисел действительно встречаются в задачах. Особенно в текстовых;
2. Существует алгоритм, с помощью которого эти корни считаются почти устно.

Этот алгоритм мы сегодня и рассмотрим. Возможно, какие-то вещи покажутся вам непонятными. Но если вы внимательно отнесетесь к этому уроку, то получите мощнейшее оружие против квадратных корней.

Итак, алгоритм:

1. Ограничить искомый корень сверху и снизу числами, кратными 10. Таким образом, мы сократим диапазон поиска до 10 чисел;
2. Из этих 10 чисел отсеять те, которые точно не могут быть корнями. В результате останутся 1—2 числа;
3. Возвести эти 1—2 числа в квадрат. То из них, квадрат которого равен исходному числу, и будет корнем.

Прежде чем применять этот алгоритм работает на практике, давайте посмотрим на каждый отдельный шаг.

Ограничение корней

В первую очередь надо выяснить, между какими числами расположен наш корень. Очень желательно, чтобы числа были кратны десяти:

10² = 100;
20² = 400;
30² = 900;
40² = 1600;
…
90² = 8100;
100² = 10 000.

Получим ряд чисел:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Что нам дают эти числа? Все просто: мы получаем границы. Возьмем, например, число 1296. Оно лежит между 900 и 1600. Следовательно, его корень не может быть меньше 30 и больше 40:

То же самое — с любым другим числом, из которого можно найти квадратный корень. Например, 3364:

Таким образом, вместо непонятного числа мы получаем вполне конкретный диапазон, в котором лежит исходный корень. Чтобы еще больше сузить область поиска, переходим ко второму шагу.

Отсев заведомо лишних чисел

Итак, у нас есть 10 чисел — кандидатов на корень. Мы получили их очень быстро, без сложных размышлений и умножений в столбик. Пора двигаться дальше.

Не поверите, но сейчас мы сократим количество чисел-кандидатов до двух — и снова без каких-либо сложных вычислений! Достаточно знать специальное правило. Вот оно:

Последняя цифра квадрата зависит только от последней цифры исходного числа.

Другими словами, достаточно взглянуть на последнюю цифру квадрата — и мы сразу поймем, на что заканчивается исходное число.

Существует всего 10 цифр, которые могут стоять на последнем месте. Попробуем выяснить, во что они превращаются при возведении в квадрат. Взгляните на таблицу:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Эта таблица — еще один шаг на пути к вычислению корня. Как видите, цифры во второй строке оказались симметричными относительно пятерки. Например:

2² = 4;
8² = 64 → 4.

Как видите, последняя цифра в обоих случаях одинакова. А это значит, что, например, корень из 3364 обязательно заканчивается на 2 или на 8. С другой стороны, мы помним ограничение из предыдущего пункта. Получаем:

Красные квадраты показывают, что мы пока не знаем этой цифры. Но ведь корень лежит в пределах от 50 до 60, на котором есть только два числа, оканчивающихся на 2 и 8:

Вот и все! Из всех возможных корней мы оставили всего два варианта! И это в самом тяжелом случае, ведь последняя цифра может быть 5 или 0. И тогда останется единственный кандидат в корни!

Финальные вычисления

Итак, у нас осталось 2 числа-кандидата. Как узнать, какое из них является корнем? Ответ очевиден: возвести оба числа в квадрат. То, которое в квадрате даст исходное число, и будет корнем.

Например, для числа 3364 мы нашли два числа-кандидата: 52 и 58. Возведем их в квадрат:

52² = (50 +2)² = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58² = (60 − 2)² = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Вот и все! Получилось, что корень равен 58! При этом, чтобы упростить вычисления, я воспользовался формулой квадратов суммы и разности. Благодаря чему даже не пришлось умножать числа в столбик! Это еще один уровень оптимизации вычислений, но, разумеется, совершенно не обязательный

Примеры вычисления корней

Теория — это, конечно, хорошо. Но давайте проверим ее на практике.

Задача. Вычислите квадратный корень:

Для начала выясним, между какими числами лежит число 576:

400 < 576 < 900
20² < 576 < 30²

Теперь смотрим на последнюю цифру. Она равна 6. Когда это происходит? Только если корень заканчивается на 4 или 6. Получаем два числа:

24; 26.

Осталось возвести каждое число в квадрат и сравнить с исходным:

24² = (20 + 4)² = 576

Отлично! Первый же квадрат оказался равен исходному числу. Значит, это и есть корень.

Задача. Вычислите квадратный корень:

Здесь и далее я буду писать только основные шаги. Итак, ограничиваем число:

900 < 1369 < 1600;
30² < 1369 < 40^2;

Смотрим на последнюю цифру:

1369 → 9;
33; 37.

Возводим в квадрат:

33² = (30 + 3)² = 900 + 2 · 30 · 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37² = (40 − 3)² = 1600 − 2 · 40 · 3 + 9 = 1369.

Вот и ответ: 37.

Задача. Вычислите квадратный корень:

Ограничиваем число:

2500 < 2704 < 3600;
50² < 2704 < 60^2;

Смотрим на последнюю цифру:

2704 → 4;
52; 58.

Возводим в квадрат:

52² = (50 + 2)² = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;

Получили ответ: 52. Второе число возводить в квадрат уже не потребуется.

Задача. Вычислите квадратный корень:

Ограничиваем число:

3600 < 4225 < 4900;
60² < 4225 < 70^2;

Смотрим на последнюю цифру:

4225 → 5;
65.

Как видим, после второго шага остался лишь один вариант: 65. Это и есть искомый корень. Но давайте все-таки возведем его в квадрат и проверим:

65² = (60 + 5)² = 3600 + 2 · 60 · 5 + 25 = 4225;

Все правильно. Записываем ответ.

Заключение

Многие спрашивают: зачем вообще считать такие корни? Не лучше ли взять калькулятор и не парить себе мозг?

Увы, не лучше. Давайте разберемся в причинах. Их две:

• На любом нормальном экзамене по математике, будь то ГИА или ЕГЭ, пользоваться калькуляторами запрещено. И за пронесенный в класс калькулятор могут запросто выгнать с экзамена.
• Не уподобляйтесь тупым американцам. Которые не то что корни — они два простых числа сложить не могут. А при виде дробей у них вообще начинается истерика.

В общем, учитесь считать. И все будет хорошо. Удачи!

Смотрите также:

1. Выделение полного квадрата
2. Преобразование выражений с корнем — часть 1
3. Знаки тригонометрических функций
4. Задача B1 — время, числа и проценты
5. Как решать задачу 18: графический подход
6. Задача B2 про комиссию в терминале

   Извлечение корня из большого числа. Дорогие друзья! В этой статье мы с вами разберём как извлекать корень из большого числа без калькулятора. Это необходимо не только для решения некоторых типов задач ЕГЭ (есть такие — на движение), но и для общего математического развития этот аналитический приём знать желательно.

Казалось бы, всё просто: разложи на множители, да извлекай. Проблемы нет. Например число 291600 при разложении даст произведение:

Вычисляем:

Есть одно НО! Способ хорош если легко определяются делители 2, 3, 4 и так далее. А что делать если число, из которого мы извлекаем корень является произведением простых чисел? Например 152881 является произведением чисел 17, 17, 23, 23.  Попробуй-ка сходу найди эти делители.

Суть рассматриваемого нами метода —  это чистый анализ. Корень при наработанном навыке находится быстро. Если навык не отработан, а просто понят подход, то немного медленнее, но всё же определяется.

Извлечём корень из 190969.

Сначала определим — между какими числами (кратными ста) лежит наш результат.

Очевидно, что результат корня из данного числа лежит в пределах от 400 до 500, так как    

400²=160000   и   500²=250000

Действительно:

Далее смотрим, где «стоит» это число: 

посредине, ближе к 160 000 или к 250 000?

Число 190969 находится примерно посредине, но все же  ближе к 160000. Можно сделать вывод, что результат нашего корня будет меньше 450. Проверим:

Действительно, он меньше 450, так как  190 969 < 202 500.

Теперь проверим число 440:

Значит наш результат меньше 440, так как 190 969 < 193 600.

Проверяем число 430:

Мы установили, что результат данного корня лежит в пределах от 430 до 440.

Далее используются свойства произведений чисел. Известно, что:

Произведение чисел имеющих на конце 1 или 9 дают число с 1 в конце. Например, 21 на 21 равно 441.

Произведение чисел имеющих на конце 2 или 8 дают число с 4 в конце. Например, 18 на 18 равно 324.

Произведение чисел имеющих на конце 5 дают число с 5 в конце. Например, 25 на 25 равно 625.

Произведение чисел имеющих на конце 4 или 6 дают число с 6 в конце. Например 26 на 26 равно 676.

Произведение чисел имеющих на конце 3 или 7 дают число с 9 в конце. Например, 17 на 17 равно 289.

Так как число 190969 заканчивается цифрой 9, то это произведение либо числа 433, либо 437.

*Только они при возведении в квадрат могут дать 9 в конце.

Проверяем:

Значит результат корня будет равен 437.

То есть, мы как бы «нащупали» верный ответ.

Как видите, максимум что потребуется это осуществить 5 действий столбиком. Возможно, вы сразу попадёте в точку, или сделаете всего три действия. Всё зависит о того, как точно вы сделаете начальную оценку числа.

Извлеките самостоятельно корень  из  148996

Такой дискриминант получается в задаче:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 336 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 5 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 48 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Объективно говоря, вероятность того, что  вам попадёт подобная задача, очень мала. Но пусть этот приём  в вашем арсенале будет. Впереди вас ждёт много полезного, не пропустите!

Есть ещё метод по извлечению корня из большого числа, называют его алгоритмом Евклида. Его достоинство состоит в том, что можно извлекать корень из любого числа с необходимой точностью до десятых, сотых и тд. То есть корни неизвлекаемые в целых числах. *В будущем статья будет обязательно дополнена.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Оглавление

Введение                                                                                                             3-4                                 
                                                                                                           Глава
1. История квадратного
корня                                                                4                                          Глава
2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел       5               

Глава 3.  Формула Древнего
Вавилона                                                             5                                  Глава
4.  Канадский метод                                                                                 5   
                               Глава 5.  Способ разложения на простые
множители                                     6                           Глава
6. Метод вычетов нечётного
числа                                                         6                                   Глава
7. Метод подбора угадыванием  (метод оценки)                                 6-7                    
Глава 8. Метод отбрасывания полного
квадрата                                             7                                Глава
9. Извлечение квадратного корня уголком                                          7-9 
                               Глава 10. Практическая часть. Диаграммы                                                     8-9

(анкетирования среди учащихся 8-11 класса).

Заключение                                                                                                
        10                                 Список
литературы                                                                                         11                                
   

Введение

Актуальность
исследования. В этом году я изучал тему квадратные корни. Всё хорошо пока под рукой
таблица квадратов, но однажды на уроке геометрии при решении задачи надо было
извлечь квадратный корень из большого числа, а таблицы квадратов нет. Пришлось
число разложить на простые множители. Корень был извлечён, но вопрос существуют
ли другие способы для извлечения квадратного корня, остался.  Я решил изучить этот вопрос
глубже, чем он изложен в школьной программе.

Практическая
значимость: данный
материал можно использовать в 8, 9, 10, 11 классах на уроках, олимпиадах, ОГЭ и
ЕГЭ.

Цель работы: найти и показать те способы
извлечения квадратных корней, которыми можно будет воспользоваться, не имея под
рукой калькулятора.

   Задачи:

1.           
Изучить литературу по данному вопросу.

2.           
Рассмотреть особенности каждого найденного
способа и его алгоритм.

3.           
Показать практическое применение полученных
знаний  и оценить

      степень сложности в использовании различных
способов и алгоритмов.

Объект
исследования: математические символы – квадратные корни.

Предмет
исследования: особенности способов извлечения квадратных корней без калькулятора.

Методы
исследования:

1.                 
Поиск
способов и алгоритмов извлечения квадратных корней из больших чисел без
калькулятора.

2.                 
Сравнение
найденных способов.

3.                 
Анализ
полученных способов.

Все знают, что
извлечь квадратный корень из большого числа без калькулятора — это сложная задача.
Когда нет под рукой калькулятора, то начинаем методом подбора стараться
вспомнить данные из таблицы квадратов целых чисел, но это не всегда помогает.
Также на экзаменах  ОГЭ и ЕГЭ пользование калькулятором запрещено и нет таблицы
квадратов целых чисел, а надо извлечь корень из чисел больше 100 или 1000.

 Но изучая информацию
по данной теме, я узнал, что извлекать корни из таких чисел возможно и без
таблицы и калькулятора, люди научились делать это задолго до изобретения
микрокалькулятора. Исследуя эту тему, я нашел несколько способов решения данной
проблемы.

Глава 1. История квадратного корня

           Термин корень имеет долгую и сложную историю. Извлечение
квадратного корня древние греки понимали строго геометрически. При переводе
греческое слово «сторона» превратилась в «мула» (основание, корень). Поэтому
при переводе с индийского  на арабский использовался термин «джизр» (корень
растения).

          Современное обозначение впервые употребил немецкий математик
Кристоф Рудольф, из школы алгебраистов в 1525 году. Черта над подкоренным
выражением вначале отсутствовала; её позже ввёл Декарт для иной цели (вместо
скобок), и эта черта вскоре слилась со знаком корня.

          Арифметическим квадратным корнем из числа  a  называется
неотрицательное число, квадрат которого равен данному числу  a.

Теорема о последней цифре квадрата числа

      Если числа оканчиваются на цифру от 1 до 9 и когда мы возводим их в
квадрат, то на конце полученного числа будут стоять цифры:

…1²=…1                                    …6²=…6

…2²=…4                                   …7²=…9

…3²=…9                                   …8²=…4

…4²=…6                                   …9²=…1

…5²=…5

    Если в конце числа стоят цифры 2,3,7,8, то полный квадратный корень
извлечь из него нельзя.

Чтобы возвести в квадрат числа, заканчивающиеся на 5. Алгоритм прост.
Число до последней пятерки умножаем на следующее, т.е. это же число плюс
единица и к полученному числу справа приписываем 25. Например,

15² = (1∙(1+1))25 = 225

25²  = (2∙(2+1))25 = 625

85² = (8∙(8+1))25 = 7225

Глава 2. Способ использования таблицы квадратов двузначных чисел.

         Быстро, просто, доступно на экзамене. Но сразу понятно, что
корни, большие 100 уже этим способом извлечь невозможно. Способ удобен для
заданий с маленькими корнями и при наличии таблицы.

Глава 3.  Формула Древнего Вавилона.

         Число x представлено в виде суммы , где  ближайший
к числу х точный квадрат натурального числа  .

Извлечем с
помощью этой формулы   квадратный корень, например из числа 40:

.

 Этот способ
удобен   для нахождения приближённого значения квадратного корня.

Глава 4. 
Канадский метод.

      Этот
быстрый метод был открыт  молодыми учёными одного из ведущих университетов
Канады в 20 веке. Его точность – не более двух – трёх  знаков после запятой.
Вот их формула: , где X — число, из которого необходимо
извлечь квадратный корень, а S  — число
ближайшего точного квадрата.

       Давайте попробуем извлечь 
квадратный корень из 40 

             
.

Глава 5. Способ разложения на простые множители

          Для извлечения квадратного корня можно разложить число на
простые множители и извлечь квадратный корень из произведения.

Таким способом принято пользоваться при решении заданий с корнями        

7056 3528 1764   882   441   147    49 7

2 2 2 2 3 3 7 7

  . 

            Практика показывает, что очень редко предлагаются задания с
полным разложением. Чаще мы видим, что корень до конца не извлечь.

Поэтому, этот способ лишь частично решает проблему извлечения без
калькулятора.

Глава 6. Метод вычетов нечётного
числа.

        Суть
метода: из подкоренного выражения нужно последовательно вычитать нечетные числа
пока разность не станет равной 0 и посчитать количество вычитаний. Например,
посчитаем:

256-1, 255-3, 252-5,
247-7, 240-9, 231-11,
220-13, 207-15, 192-17,
175-19, 156-21, 135-23,

112-25, 87-27, 60-29,
31-31      

Общее количество
вычитаний равно 16.

       Российские ученые называют
этот метод извлечения арифметического квадратного корня «методом черепахи»
из-за его медлительности.
            Недостатком такого способа является то, что если извлекаемый корень
не является целым числом, то можно узнать только его целую часть, но не
точнее.   

Глава 7.  Метод 
подбора  угадыванием (метод оценки).

       Данный
метод эффективно применяется при вычислении квадратных корней из чисел в
диапазоне от 100 до 10 000.

Алгоритм
извлечения квадратного корня методом оценки.

       
Рассмотрим пример извлечения квадратного корня из числа 7056.

Шаг №1 —
ограничение корней.

6400 < 7056 < 8100,  80² <
7056 < 90², 80 <  < 90.

Шаг №2 –
«отсев» лишних чисел. У нас есть 10 чисел — «кандидатов» на корень.

       Квадратный
корень из 7056 обязательно заканчивается на 4 или на 6, получаем:

80<<90;

 =…4 или =
…6

Известно, что
корень лежит в пределах от 80 до 90, на котором есть только два числа,
оканчивающихся на 4 и 6, это числа 84 и 86.

Шаг №3 — финальные вычисления. Итак, у нас осталось 2 числа «кандидата». Чтобы
узнать, какое из них является корнем, необходимо взять «золотую середину» —
число 85, и возвести его в квадрат  85² = (8∙(8+1))25 = 7225, 7225
> 7056, значит,  = 84.

Глава 8. Метод отбрасывания
полного квадрата.

        Этот способ применим только
для извлечения квадратного корня из точного квадрата, а алгоритм нахождения
зависит от величины подкоренного числа. Выделяем из числа квадрат, который
оканчивается той же цифрой, что и данное число.

       Извлечение корней до числа . Число 2209 представим в виде суммы,
выделив из этого числа квадрат 9, затем выделенный квадрат отбрасываем, к числу
сотен первого слагаемого (22) прибавляем всегда 25. Получим ответ 47.

      Так можно извлекать только квадратные
корни до числа.

.

       Извлечение корней после 75²=
5625, вычисляются следующим образом:

 .

Глава 9.  Извлечение квадратного корня уголком.

Для извлечения квадратного корня уголком   рассмотрим
алгоритм:
1-й шаг. Число 7056 разбиваем на грани справа налево, каждая из которых должна
содержать две цифры. Получаем две грани:  .
2-й шаг. Извлекаем квадратный корень из первой грани 70, получаем ≈ 8 с остатком. Цифра 8 –это первая цифра результата.
3-й шаг. Число 8 возводим в квадрат (8² = 64) и число 64
вычитаем из первой грани, получаем 70 — 64=6. Число 6 – первый остаток.
4-й шаг. К остатку 6 приписываем вторую грань 56, получаем число 656.

5-й шаг. Удваиваем первую цифру результата 8 и,
записывая слева, получаем-16

           К числу 16 нужно приписать такую
наибольшую цифру, чтобы произведение числа, которое мы получим, на эту цифру
было бы либо равно числу 656, либо меньше. Это цифра 4. Она находится путем
подбора: так как 164 ∙ 4 = 656, то цифра 4 – это вторая цифра результата.

 6-й шаг. Находим остаток 656 – 656 =
0. Так как остаток равен нулю, то мы получили точное значение корня – 84.

	= 8 *    64			= 8 4    64
16 *      *	6 56		16 4      4	6 56       6 56

                                                                                                                       0          

Глава 10.  Практическая часть. Диаграммы (анкетирования среди учащихся
8-11 класса).

        Получив результаты анкетирования, учащихся я свел все данные в
диаграммы. В опросе участвовало 150 учащихся.

       Диаграмма
№ 1 — сложно ли Вам  извлекать квадратный корень из числа меньше 100, если нет
таблицы квадратов?

   

       Диаграмма  № 2 — сложно ли
Вам  извлекать квадратный корень из числа больше 100, если нет таблицы
квадратов?

         Диаграмма  № 3 – каким образом Вы
извлекаете корень их числа больше 100?

       Диаграмма  № 4 – интересно
Вам было бы знать простые способы извлечение корней?

Заключение

        В ходе
исследования было выявлено, что современной науке известно много способов
извлечения квадратного корня, начиная со способа математиков Древнего Вавилона
и заканчивая способом степенных рядов сложных степеней из разделов высшей
математики. Были изучены и отработаны на практике все найденные способы. Предположение,
что существует не менее двух способов извлечения квадратных корней без калькулятора,
подтвердилось.

     Описанные в
работе методы извлечения корней встречаются во многих источниках. Тем не менее,
разобраться в них оказалось для меня непростой задачей, что вызвало немалый
интерес. Представленные алгоритмы позволят всем, кто заинтересуется данной
темой, быстрее овладеть навыками вычисления квадратного корня, их можно
использовать  при проверке своего решения и не зависеть от наличия в кармане
калькулятора. Тем более на экзамене в 9 и 11 классах применение калькулятора не
допускается.

    Таким
образом, цель работы достигнута, задачи выполнены.

Литература
и сайты Интернета:

1.    
И.Н.
Сергеев, С.Н. Олехник,  С.Б.Гашков «Примени математику». – М.: Наука, 1990

2.    
Керимов
З., «Как найти целый корень?» Научно-популярный физико-математический журнал
«Квант» №2, 1980

3.    
Петраков
И.С. «математические кружки в 8-10 классах»;  Книга для учителя. – М.: Просвещение,1987

4.    
Тихонов
А.Н., Костомаров Д.П. «Рассказы о прикладной математики». — М.: Наука. Главная
редакция физико — математической литературы, 1979

5.     Ткачева М.В. Домашняя
математика. Книга для учащихся 8 класса   учебных заведений.  – Москва,
Просвещение, 1994г.

6.     Жохов В.И., Погодин В.Н.
Справочные таблицы по математике. — М.: ООО «Издательство «РОСМЭН-ПРЕСС»,
2004.-120 с.

7.     http://translate.google.ru/translate

8.     http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm

9.     http://ru.wikipedia.ord /wiki
/teorema/