Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.
Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.
на главную
Сложение дробей
Поддержать сайт
При сложении дробей могут встретиться разные случаи.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают
числители, а знаменатель оставляют тот же.
Пример.
C помощью букв это правило сложения можно записать так:
Запомните!
Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.
Сложение дробей с разными знаменателями
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться
следующими правилами.
- Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти
наименьшее общее кратное знаменателей.
Пример. Сложить дроби.
Как найти общий знаменатель
Находим НОК (15, 18).
НОК (15, 18) = 3 · 2 · 3 · 5 = 90
- Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1)
делим по очереди на знаменатель каждой дроби.Полученные числа и будут дополнительными множителями
для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби
.
90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби
.
- Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь
основным свойством дроби.После умножения в знаменателях
обеих дробей должен получиться наименьший общий знаменатель.
Затем складываем дроби как дроби с одинаковыми знаменателями.
- Проверяем полученную дробь.
- Eсли в результате получилась
неправильная дробь,
результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу
дробь.38 < 90
У нас дробь правильная.
- Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
- Eсли в результате получилась
- Ещё раз весь пример целиком.
Сложение смешанных чисел
Сочетательное и переместитительное свойства сложения позволяют привести
сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.
Чтобы сложить смешанные числа нужно.
- Отдельно сложить их целые части.
Пример.
Складываем целые части.
- Отдельно сложить дробные части.
Если у дробных частей знаменатели разные, то
сначала приводим их к общему знаменателю, а затем складываем.
- Сложить полученные результаты из пунктов 1 и 2.
- Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно
выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной
в пункте 1 целой части.
Ещё один пример на сложение смешанных чисел.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи
«ВКонтакте».
Оставить комментарий:
24 декабря 2018 в 11:19
Baur Nurgazinov
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Baur Nurgazinov
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
0
Спасибо
Ответить
2 января 2019 в 14:18
Ответ для Baur Nurgazinov
Лина Аникеева
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Лина Аникеева
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
1) приводим все дроби к общему знаменателю
(2 -1 ) · х=
2) Вычислаем разность в скобках
( — ) · х=
· х=
сократим дроби на 3
· х=
3) вычисляем х
х= :
По правилу деления дробей делитель переворачиваем
x= · =
4 — сокращаем
х=3
Проверка:
(2 -1 ) · 3=( — ) · 3= · 3= · 3 = · = =
Ответ верный
0
Спасибо
Ответить
24 января 2017 в 19:44
Фанис Газизов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Фанис Газизов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
0
Спасибо
Ответить
24 января 2017 в 21:12
Ответ для Фанис Газизов
Marina Kazakova
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Marina Kazakova
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
?
0
Спасибо
Ответить
1 марта 2016 в 18:39
Денис Демидов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Денис Демидов
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
спасибо сайт класс тему не понял
| было очень непонятно |
| теперь понятно + + |
+ + + + · + + + + + 
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 13:05
Ответ для Денис Демидов
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
0
Спасибо
Ответить
6 февраля 2016 в 18:54
Денис Бочин
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Денис Бочин
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Сложи
числа 30 и
числа 14.
0
Спасибо
Ответить
10 февраля 2016 в 19:03
Ответ для Денис Бочин
Алексей Пешков
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Алексей Пешков
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
1) от 30=;
2)
от 14=
2)
+ ===24=24
0
Спасибо
Ответить
14 января 2016 в 15:31
Анжела Волк
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Анжела Волк
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
2/6 или1/2 сравнение дробей
0
Спасибо
Ответить
14 января 2016 в 18:05
Ответ для Анжела Волк
Александр Хан
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Александр Хан
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
больше
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 10:33
Ответ для Анжела Волк
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Отрицательное число всегда меньше положительного =)
0
Спасибо
Ответить
27 декабря 2015 в 20:00
Надежда Егина
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Надежда Егина
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
0
Спасибо
Ответить
19 сентября 2016 в 10:07
Ответ для Надежда Егина
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
· a12· b4 · · a8· b5 = · a20 · b9=125· a20 · b9При раскрытии скобок отбросил знак ?, т.к. степень чётная, а значит получится +.
0
Спасибо
Ответить
21 апреля 2015 в 15:17
Алина Гимадеева
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
Алина Гимадеева
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 2
1) 15 — 7
4/7= 2) 20
4/5 — 1
5/6 *
1/3
3) 5
1/3 + 4
1/3 +
2/5
0
Спасибо
Ответить
14 апреля 2016 в 12:32
Ответ для Алина Гимадеева
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Судя по всему, не разобрались с использованием кнопки дробь. Интерпретирую задачу следующим образом:
1) 15 ? 7
=8
2) 20
? 1 · = ? = = = =9 — похоже ошибка в примере, он гораздо сложнее двух других.
3) 5
+4 + = 9 + = + = = =10
0
Спасибо
Ответить
7 апреля 2015 в 20:06
Александр Гридюшко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Александр Гридюшко
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
как решить?4
+
0
Спасибо
Ответить
7 апреля 2015 в 21:13
Ответ для Александр Гридюшко
Анастасия Власова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Анастасия Власова
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
4+ = + = + = = = = 6
0
Спасибо
Ответить
14 апреля 2015 в 16:55
Ответ для Александр Гридюшко
Asel Talantbekovna
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
Asel Talantbekovna
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 8
4 + = + = = =16:3=1
0
Спасибо
Ответить
16 апреля 2015 в 19:06
Ответ для Александр Гридюшко
Мирон Федоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Мирон Федоров
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Asel не правильно
0
Спасибо
Ответить
Содержание материала
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
- Видео
- НОЗ и НОК
- Как устроена десятичная дробь
- Как привести десятичную дробь к новому знаменателю
- Чтобы найти общий знаменатель, перемножим знаменатели:
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют тот же.
Пример.
C помощью букв это правило сложения можно записать так:
Запомните! 
Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.
Видео
НОЗ и НОК
При работе с дробями используются наименьший общий знаменатель (НОЗ) — это наименьшее натуральное число среди всех ОЗ ряда дробных чисел и наименьшее общее кратное (НОК) — это самый меньший общий делитель данного ряда чисел.
Наименьшее общее кратное — это НОЗ этого ряда. К нему можно прийти поиском НОК.
Например, необходимо провести следующую операцию для двух дробных значений: 7/16, 19/6. Нужно узнать, какой НОК у 16 и 6. Простые множители этих чисел:
16=8*2; 6= 3*2
НОК (16, 6) =8*2*3= 48.
Число 48 и есть искомый НОЗ.
Существует простое правило о том, как перевести дробное число к НОЗ. Вычисления проводятся по порядку:
- Найти НОК.
- Для каждого дробного числа из ряда определить дополнительный множитель. Определить его можно с помощью деления НОЗ на знаменатель каждой из дробей.
- Умножить обе части каждой дроби на их дополнительные множители.
Пример. Есть 2 дробных значения: 3/14 и 18/30. Теперь можно воспользоваться правилом, для того чтобы найти НОЗ:
- Найти НОК: 14 = 2*7; 30 = 5*2*3; НОК (14,32) = 5*2*7*3 = 210;
- Найти дополнительные множители: 210/14 = 15; 210/30 = 7;
- Перемножить верхнюю и нижнюю части с дополнительными множителями: 3*15/14*15 = 45/210; 18*7/30*7 = 126/210.
Как устроена десятичная дробь
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Десятичную дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
- 0,3
- 4,23
- 9,939
Конечная десятичная дробь — это дробь, в которой количество цифр после запятой точно определено.
Бесконечная десятичная дробь — это когда после запятой количество цифр бесконечно. Для удобства математики договорились округлять эти цифры до 1-3 после запятой.
Как привести десятичную дробь к новому знаменателю
Для приведения десятичной дроби к новому знаменателю, необходимо десятичную дробь преобразовать в обыкновенную дробь. Затем числитель и знаменатель дроби домножить на дополнительный множитель.
Разберём пример. Приведём десятичную дробь 2.5 к знаменателю 4.Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную дробь. 2.5 =5/2 Найдём дополнительный множитель — для этого разделим 4 на 2 получится 4 / 2 = 2. Домножим числитель и знаменатель дроби на 2 получится дробь 10/4
2.5
=
2.5 × 101 × 10
=
2510
=
5 × 5 2 × 5
=
52
=
5 × 22 × 2
=
104
Чтобы найти общий знаменатель, перемножим знаменатели:
Дополнительный множитель к первой дроби:
Дробь примет вид:
Дополнительный множитель ко второй дроби:
Дробь примет вид:
Дополнительный множитель к третьей дроби:
Дробь примет вид:
Итак, были дроби:
Запишем полученные дроби с общим знаменателем:
Вычитание дробей с разными знаменателями
Теперь научимся вычитать дроби у которых разные знаменатели. Когда вычитают дроби их знаменатели должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, от дроби 
можно вычесть дробь 
, поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби 
нельзя вычесть дробь 
, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения: 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям 
и 
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ 
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от 
пиццы отрезать 
пиццы, то получится 
пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей 
и 
к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби 
и 
. Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь 
(восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь 
(три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь 
и описывает эти пять кусочков.
Пример 2. Найти значение выражения 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь 
, нужно разделить её числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби 
на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ 
Теги
Содержание
- Общий знаменатель дробей онлайн
- Как привести дроби к общему знаменателю?
- Общий знаменатель трёх дробей
- Сложение дробей
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
- Сложение дробей с разными знаменателями
- Как найти общий знаменатель
- Приведение дробей к общему знаменателю
- Умножение «крест-накрест»
- Метод общих делителей
- Метод наименьшего общего кратного
- как найти общий знаменатель
- Находим общий знаменатель
- Что такое общий знаменатель?
- Но что такое общий знаменатель простыми словами ?
- Пример общего знаменателя :
- В каком случае ноз двух дробей будет являться произведением знаменателей?
- Когда ноз двух дробей равен произведению знаменателей?
- Формула общего знаменателя
- Нахождение общего знаменателя с помощью нок.
- Пример нахождения общего знаменателя методом разложения на множители
- Пример номер 2 подбора общего знаменателя
- Как найти общий знаменатель дробей онлайн
- Переходим к нахождению общего знаменателя онлайн
- Что такое наименьший общий знаменатель?
- Но, что же такое «наименьший общий знаменатель»
- Определение, что же такое «наименьший общий знаменатель»
- Формула наименьшего общего кратного
- Как найти наименьший общий знаменатель на калькуляторе
- Как найти общий знаменатель трех дробей
- Задача/пример найдите общий знаменатель для трех дробей.
- Найдем общий знаменатель для трех дробей на калькуляторе через НОК.
- Как найти общий знаменатель дробей с разными знаменателями
Общий знаменатель дробей онлайн
Калькулятор приводит несколько дробей к общему знаменателю. Просто введите дроби и получите подробное решение и ответ. Можно вводить две, три дроби и более. Числители и знаменатели дробей должны быть натуральными числами.
Как привести дроби к общему знаменателю?
Чтобы выполнить с дробями такие операции, как сравнение, сложение и вычитание, дроби нужно привести к общему знаменателю.
Пример. Привести к общему знаменателю дроби 
и 
Решение. Находим наименьшее общее кратное знаменателей дробей. НОК(12, 
= 24. Это число и будет новым знаменателем.
Чтобы знаменатели обеих дробей стали равны 24, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 2 = 24:12, а числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 24:8.
Приводим к общему знаменателю первую дробь:
Приводим к общему знаменателю вторую дробь:
Общий знаменатель трёх дробей
Если к общему знаменателю требуется привести три дроби и более, то алгоритм действий в таком случае аналогичен алгоритму для двух дробей.
- Находим наименьшее число , которое делится на знаменатели всех дробей (наименьшее общее кратное знаменателей всех дробей). Найденное число будет новым знаменателем.
- Домножаем числитель и знаменатель каждой дроби на частное
и знаменатель 
каждой дроби на частное 
В результате знаменатели всех дробей будут равны 
.
Чтобы разобраться лучше, рассмотрим пример.
Пример. Привести к общему знаменателю три дроби 
и 
Решение. Сначала найдём наименьшее общее кратное знаменателей дробей. Число 12 делится на знаменатели всех дробей, и это наименьшее такое число. Поэтому НОК(3, 4, 6) = 12. Число 12 будет новым знаменателем.
Чтобы знаменатели дробей стали равны 12, числитель и знаменатель первой дроби нужно домножить на 4 = 12:3, числитель и знаменатель второй дроби — на 3 = 12:4, а числитель и знаменатель третьей дроби — на 2 = 12:6.
Приводим дроби к общему знаменателю и получаем:
Всё — дроби приведены! Пожалуй, самая большая сложность — правильно найти (или угадать) число, которое будет новым знаменателем.
Источник
Сложение дробей
При сложении дробей могут встретиться разные случаи.
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют тот же.
C помощью букв это правило сложения можно записать так:
Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.
Сложение дробей с разными знаменателями
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.
- Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти наименьшее общее кратное знаменателей.
Пример. Сложить дроби.
Как найти общий знаменатель
Находим НОК (15, 18) .
НОК (15, 18) = 3 · 2 · 3 · 5 = 90
- Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1) делим по очереди на знаменатель каждой дроби.
Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.
90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби
.
90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби
.
Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь основным свойством дроби.
После умножения в знаменателях обеих дробей должен получиться наименьший общий знаменатель. Затем складываем дроби как дроби с одинаковыми знаменателями. 
Проверяем полученную дробь.
- Eсли в результате получилась неправильная дробь, результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу дробь.
Источник
Приведение дробей к общему знаменателю
Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.
Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:
Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.
Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются — этот процесс называется . А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются .
Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:
- Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
- Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
- Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.
Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них — в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.
Умножение «крест-накрест»
Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую — на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:
Задача. Найдите значения выражений:
В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:
Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом — так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.
Единственный недостаток данного метода — приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.
Метод общих делителей
Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:
- Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
- Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
- При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать — в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.
Задача. Найдите значения выражений:
Заметим, что . Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем:
Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!
Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.
В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.
Метод наименьшего общего кратного
Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.
Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».
Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку . Это число намного меньше произведения .
Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их (НОК).
Обозначение: наименьшее общее кратное чисел обозначается . Например, ; .
Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:
Задача. Найдите значения выражений:
Заметим, что . Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 — общий.
Аналогично, . Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 — общий.
Теперь приведем дроби к общим знаменателям:
Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:
- Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
- Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, , следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.
Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.
Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи — не предел!
Единственная проблема — как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.
Источник
как найти общий знаменатель
Как найти общий знаменатель, что такое общий знаменатель и конечно же нахождение общего знаменателя онлайн на нашем калькуляторе. И если вам требуется наименьший общий знаменатель, то он тут.
И! Вне зависимости от класса — общий знаменатель находят одинаково!
Находим общий знаменатель
Что такое общий знаменатель?
Кроме понятия «общий знаменатель«, есть еще такое понятие как — «Наименьший общий знаменатель (НОЗ)» — это. тоже самое, что и «НОК». Поэтому, мы не будем это разбирать здесь второй раз.
Но что такое общий знаменатель простыми словами ?
Общий знаменатель — это любое целое число, которое делится без остатка на первый и второй знаменатель.
Количество чисел, которые могут быть общим знаменателем стремится к бесконечности, но обычно общим знаменателем принимают НОЗ
Пример общего знаменателя :
Для того, чтобы понять, «что такое общий знаменатель» нам нужен пример двух дробей и какое-то действие(иначе смысла в этом нет), пусть это будут две дроби 1/2 и 1/3 и действие сложение — «+».
Для таких маленьких чисел, как 2 и 3 — «нок» будет равен 6. Для этого нам никакие инструменты не понадобятся, наверняка вы это тоже смогли посчитать в уме.
Т.е. 6 делится на 2 без остатка 6 : 2 = 3, и 6 делится на 3 без остатка 6 : 3 = 2.
Мы получили два числа, первую дробь 1/2 надо умножить на 3, чтобы привести её к общему знаменателю 6 — 1*3/2*3 = 3/6.
А вторую дробь нужно умножить на 2, чтобы привести и её к общему знаменатель 6, 1*2/3*2 = 2/6.
После того, как мы нашли общий знаменатель, мы можем произвести действие, в нашем случае — «+» — 3/6 + 2/6 = (3 + 2)/6 = 5/6.
Когда мы нашли «общий знаменатель» мы смогли выполнить необходимое действие с дробями.
В каком случае ноз двух дробей будет являться произведением знаменателей?
Отличный поисковый запрос — «в каком случае ноз двух дробей будет являться произведением знаменателей?«, что выше не было озвучено.
Когда ноз двух дробей равен произведению знаменателей?
Как минимум, когда знаменатели будут простыми числами, т.е. в качестве примера, это выше приведенные дроби со знаменателями 2 и 3. Эти числа являются простыми, т.е. делятся на себя и на 1.
И общий знаменатель двух чисел 2 и 3 будет равен произведению 2 * 3 = 6.
Формула общего знаменателя
Как вы знаете. что если умножить и числитель и знаменатель на одно число, то результат дроби не изменится! Поэтому мы можем вывести формулу общего знаменателя буквами :
Первую дробь умножаем на знаменатель второй дроби.
А вторую дробь умножаем на знаменатель первой дроби
Нахождение общего знаменателя с помощью нок.
Для того чтобы найти общий знаменатель, можно воспользоваться правилом «НОК» для двух чисел, которые здесь — знаменатели.
Если вы не сходили по ссылке, то давайте вкратце попробуем разобраться в формуле подбора общего знаменателя.
Пример нахождения общего знаменателя методом разложения на множители
Это тоже самое. что и выше приведенный «НОК» — только может называться по другому. 
Этот способ может называться как «нахождение общего знаменателя методом разложения на множители»
Либо «метод нахождения наименьшего общего знаменателя» или просто «НОЗ»
Рассмотрим два знаменателя 8 и 6, к примеру это могут быть две дроби 1/8 и 1/6 и нам нужно найти их общий знаменатель.
Надо расположить в первую строчку наибольший знаменатель — это 8 и разложить его на множители:
Ниже раскладываем меньший знаменатель :
Далее нам нужно исключить все множители, которые повторяются в меньшем знаменателе. это 2 и у нас остается 3. далее эту тройку надо умножить на больший знаменатель :
Итого получаем общий знаменатель = 24.
Пример номер 2 подбора общего знаменателя
Чтобы у вас не возникало сомнений, давайте разберем второй пример подбора общего знаменателя, пусть это будут 4 и 10.
Берем больший знаменатель раскладываем его на множители :
Раскладываем меньший знаменатель :
Виртуально исключаем повторяющиеся множители из второго знаменателя — это 2. И во втором знаменателе остается вторая 2. Умножаем больший знаменатель на 2 :
Итого получаем общий знаменатель 20, двух чисел 4 и 10.
Как найти общий знаменатель дробей онлайн
У нас есть калькулятор, который в том числе умеет находить общий знаменатель дробей онлайн!
Прежде чем приступать к поиску общего знаменателя, давайте найдем общий знаменатель для двух знаменателей, а потом проверим данное решение на калькуляторе.
Пусть это будут два знаменателя 20 и 6.
Раскладываем больший знаменатель на множители :
Раскладываем на множители второй знаменатель :
Исключаем повторяющиеся множители во втором знаменателе и у нас остается одна двойка.
Умножаем больший знаменатель на 2 :
Итого получаем их общий знаменатель 40.
Переходим к нахождению общего знаменателя онлайн
Вводим первый знаменатель 20.
Набираем второй знаменатель 8.
Получаем результат нахождения общего знаменателя онлайн :
Далее вы можете сравнить два результата нахождения общего знаменателя.
Что такое наименьший общий знаменатель?
Разница между «общим знаменателем«(1) и «наименьшим общим знаменателем«(2) в том, что первое может быть бесконечное количество. а второе «НОЗ», только один!
Но, что же такое «наименьший общий знаменатель»
НОЗ — это абсолютно тоже самое, что и «НОК».
Определение, что же такое «наименьший общий знаменатель»
Наименьший общий знаменатель двух знаменателей — это самое маленькое целое число, которое делится без остатка на первый и второй знаменатель.
Формула наименьшего общего кратного
Для нахождения «наименьшего общего знаменателя» двух знаменателей, нужно эти два знаменателя разложить на множители. Больший знаменатель записываем в первую строчку, второй знаменатель раскладываем на множители и записываем во вторую строчку.
Сравниваем две строки и удаляем из второй все цифры, которые повторяются в первой строчке.
То число(если больше 1, то перемножаем между собой) умножаем на большее число.
Для понимания формулы наименьшего общего кратного нам нужен пример!
Предположим, что у нас есть два знаменателя 10 и 6 и нужно найти наименьший общий знаменатель :
Разложим больший знаменатель на множители :
Разложим второй знаменатель на множители :
Теперь, нам нужно исключить повторяющеюся цифру 2 из второй строчки, остается цифра 3.
Умножаем больший знаменатель на 3.
Итого получаем, что наименьший общий знаменатель двух знаменателей 10 и 5 равно 30.
Как найти наименьший общий знаменатель на калькуляторе
Для понимания процесса получения наименьшего общего знаменателя на калькуляторе нам потребуются два знаменателя, например 18 и 12 из дробей 1/18 и 1/12
Прежде чем приступать к нахождению «нок» двух чисел на калькуляторе, давайте найдем наименьшее общее кратное, как мы делали это выше :
Раскладываем большее число на множители :
Раскладываем меньшее число на множители :
Исключаем повторяющиеся цифры — это одна 2 и 3, остается 2.
Умножаем большее число на 2.
Итого получаем, что наименьшее общее кратное двух чисел 18 и 12 = 36.
Теперь проверим правильность нахождения «нок» на калькуляторе.
Набираем первое число – пусть это будет число 12
Нажимаем «нок» на калькуляторе – для этого есть специальная кнопка.
После нажатия на кнопку нок – нам нужно добавить втрое число –пусть это будет 18.
И нам отсеется нажать кнопку равно!
И видим результат нахождения наименьшего общего кратного на калькуляторе…
Как найти общий знаменатель трех дробей
Для того чтобы найти общий знаменатель сразу трех дробей нужно подряд найти нок между этими тремя знаменателями!
Для подтверждения данного тезиса — давайте решим задачку/пример.
Задача/пример найдите общий знаменатель для трех дробей.
У нас даны три дроби и у них у всех три разных знаменателя :
Для такой простой задачи можно в уме посчитать. перебором. а потом подтвердим наше решение через «НОК».
5 — не подходит — не делится на 3.
10 — не подходит — не делится на 3.
15 — не подходит, не делится на 2.
20 — не подходит, не делится на 3.
25 — не подходит, не делится на 2.
30 — подходит , делится на все без остатка. мы нашли общий знаменатель для трех дробей, методом перебора
Найдем общий знаменатель для трех дробей на калькуляторе через НОК.
Набираем первый знаменатель — 2.
Нажимаем кнопку — «НОК».
Набираем второй знаменатель — 3.
Далее опять нажимаем — «НОК».
Набираем третий знаменатель — 6.
Получаем общий знаменатель для трех дробей посчитанный онлайн на калькуляторе.
Как найти общий знаменатель дробей с разными знаменателями
Если говориться о том, чтобы найти общий знаменатель, то логично предположить, что у дробей изначально разные знаменатели — иначе, зачем искать общий знаменатель — ведь знаменатели одинаковые.
Выше были рассмотрены варианты нахождения общего знаменателя дробей с разными знаменателями .
Вариант разложения знаменателей на множители.
Вариант нахождения общего знаменателя с помощью НОК и т.д
Источник
Калькулятор дробей
- Главная
- /
- Математика
- /
- Арифметика
- /
- Калькулятор дробей
Если вам необходимо произвести математические операции с дробями воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:
Просто заполните необходимые поля и получите ответ и подробное решение.
Данный калькулятор может работать как с положительными, так и с отрицательными дробями.
При этом нужно помнить, что:
− ac = a− c = − ac
Всегда нужно использовать только последний вариант.
Сложение дробей
С одинаковыми знаменателями
При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остаётся прежним.
Формула
ac + bc = a + bc
Пример
Для примера сложим следующие дроби с равными знаменателями:
27 + 47 = 2 + 47 = 67
С разными знаменателями
При сложении дробей с разными знаменателями для начала необходимо привести дроби к общему знаменателю. А затем сложить числители.
Формула (универсальная)
ac + bd = a⋅d + b⋅cc⋅d
Пример №1
Для примера сложим следующие дроби с разными знаменателями:
12+13=1⋅32⋅3+1⋅23⋅2=36+26=3+26=56
Пример №2
Существуют также частные случаи, когда знаменатель одной дроби можно привести к знаменателю второй. Например:
12+14=1⋅22⋅2+14=24+14=2+14=34
Этот же пример можно решить и применяя вышеуказанную универсальную формулу:
12+14=1⋅42⋅4+1⋅24⋅2=48+28=4+28=68=34
Обратите внимание, что мы сократили дробь:
68=3 ⋅ 24 ⋅ 2=34
Сложение смешанных чисел
Смешанные числа — это такие числа, у которых есть как дробная часть, так и целая.
Преобразуя в неправильную дробь
Для начала смешанное число (дробь) нужно преобразовать в неправильную дробь, а потом можно складывать как в предыдущих примерах.
Формула
a bc + d ef = b + a ⋅ cc + e + d ⋅ ff
Пример
Для примера сложим два смешанных числа:
312+123=1+3⋅22+2+1⋅33=72+53=7⋅32⋅3+5⋅23⋅2=216+106=21+106=316=5⋅6+16=5⋅66 + 16=516
Обратите внимание, что из полученной неправильной дроби мы выделили целую часть:
316=5⋅6+16=5⋅66 + 16=516
Складывая целую и дробную части отдельно
Целую и дробную части смешанных чисел можно складывать по отдельности.
Формула
a bc + d ef = (a + d) + (bc + ef)
Пример
Решим предыдущий пример этим способом:
3 12 + 1 23 = (3+1)+(12+23) = 4+1⋅32⋅3+2⋅23⋅2=4+36+46=4+3+46=4+76=4+116 = 516
Вычитание дробей
Вычитание дробей происходит по тем же принципам, что и сложение.
С одинаковыми знаменателями
Формула
ac − bc = a − bc
Пример
Для примера вычтем одну дробь из другой с равными знаменателями:
35−25=3−25=15
С разными знаменателями
Тут также, как и при сложении, дроби нужно подвести под общий знаменатель, а затем вычитать.
Формула
ac − bd = a⋅d − b⋅cc⋅d
Пример
Для примера вычтем одну дробь из другой, с разными знаменателями:
34−13=3⋅34⋅3−1⋅43⋅4=912−412=9−412=512
Вычитание смешанных чисел
Для начала смешанные числа преобразуем в неправильные дроби, потом приводим полученные дроби к общему знаменателю, а затем вычтем одну из другой. Далее выделяем целую часть если она есть.
Формула
a bc − d ef = b + a ⋅ cc − e + d ⋅ ff
Пример
312−123=1+3⋅22−2+1⋅33=72−53=7⋅32⋅3−5⋅23⋅2=216−106=21−106=116=1⋅6+56=1⋅66 + 56=156
Умножение дробей
При умножении дробей неважно одинаковые или разные у них знаменатели. Числитель одной дроби умножается на числитель другой, а знаменатели тоже перемножаются между собой.
Формула
ac ⋅ be = a ⋅ bc ⋅ e
Давайте рассмотрим несколько примеров:
Пример №1
Умножим дроби с одинаковыми знаменателями:
13⋅23=1⋅23⋅3=29
Пример №2
Умножим дроби с разными знаменателями:
13⋅24=1⋅23⋅4=212=1⋅26⋅2=16
Пример №3
Умножим смешанные числа:
112⋅223=1+1⋅22⋅2+2⋅33=32⋅83=3⋅82⋅3=246=4
Деление дробей
При делении одной дроби на другую также неважно одинаковые или разные у них знаменатели. Чтобы разделить одну дробь на другую нужно перемножить числитель первой дроби и знаменатель второй, а знаменатель первой умножить на числитель второй.
Формула
ac : be = a ⋅ ec ⋅ b
Давайте рассмотрим несколько примеров:
Пример №1
Разделим одну дробь на другую с таким же знаменателем:
23:13=23⋅31=2⋅33⋅1=63=2
Пример №2
Делим дроби с разными знаменателями:
12:23=12⋅32=1⋅32⋅2=34
Пример №3
Деление смешанных чисел:
412:223=1+4⋅22:2+2⋅33=92:83=92⋅38=9⋅32⋅8=2716=1⋅16+1116=1⋅1616 + 1116=11116
См. также
Приведение дробей к общему знаменателю
27 июля 2011
Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.
Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:
Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.
Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются — этот процесс называется приведением к общему знаменателю. А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями.
Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:
- Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
- Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
- Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.
Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них — в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.
Умножение «крест-накрест»
Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую — на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:
Задача. Найдите значения выражений:
В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:
Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом — так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.
Единственный недостаток данного метода — приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.
Метод общих делителей
Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:
- Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
- Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
- При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать — в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.
Задача. Найдите значения выражений:
Заметим, что 84 : 21 = 4; 72 : 12 = 6. Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем:
Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!
Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.
В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.
Метод наименьшего общего кратного
Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.
Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».
Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку 24 : 8 = 3; 24 : 12 = 2. Это число намного меньше произведения 8 · 12 = 96.
Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их наименьшим общим кратным (НОК).
Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a; b). Например, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.
Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:
Задача. Найдите значения выражений:
Заметим, что 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 — общий. Поэтому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.
Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 — общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.
Теперь приведем дроби к общим знаменателям:
Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:
- Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
- Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702, следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.
Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.
Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи — не предел!
Единственная проблема — как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.
Смотрите также:
- Сложение и вычитание дробей
- Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
- Тест к уроку «Простые проценты» (легкий)
- Метод узлов в задаче B5
- Процент: неизвестно начальное значение (метод пропорции)
- Задача B14: движение навстречу
