Как найти значение дроби со степенью

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

На главную страницу
На главную страницу

на главную

Возведение дроби в степень

Поддержать сайтспасибо

Запомните!
!

При возведении в степень дроби нужно
возвести в степень и числитель, и знаменатель.

возведение степень обыкновенной дроби

Данное свойство соответствует другой записи свойства № 5
«Степень частного», расмотренного на предыдущей странице.

Примеры возведения в степень дроби.

  • возведение в степень дробь
  • ()2 =

    =

    =

Как возвести в степень смешанное число

Чтобы возвести в степень смешанное число, сначала избавляемся от целой
части, превращая смешанное число в неправильную дробь. После этого
возводим в степень и числитель, и знаменатель.

Пример.

возведение в степень смешанного числа

Формулу возведения в степень дроби применяют как
слева направо, так и справа налево, то есть, чтобы
разделить друг на друга степени
одинаковыми показателями, можно разделить одно основание на другое,
а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Найти значение выражения рациональным способом.
    как возвести дробь в степень

На нашем сайте вы также можете проверить свои вычисления и
возвести число в степень онлайн.

Ваши комментарии

Важно!
Галка

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Пришелец пожимает плечами

Оставить комментарий:

Источник

План урока:

Степень с рациональным показателем

Свойства дробных степеней и операции с ними

Сравнение степеней

Степень с рациональным показателем

Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.

При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:

(am)n = amn

Подставим в эту формулу следующие значения переменных:

а = 3

m = 1/6

n = 6

Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:

mn = (1/6)•6 = 1

Подставляем эти значения:

(31/6)6 = 31/6•6 = 31 = 3

Получили, что

(31/6)6 = 3

Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:

1gfhdh

С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:

2gdfh

Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:

(а1/n)n = a1/n•n = a

Значит, по определению корня n-ой степени

3gdfg

4gfhj

Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.

Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень аm/n? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:

m/n = (1/n)•m

C учетом этого выполним преобразование:

5hgfhf

В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!

6hfgj

Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:

7hfgh

Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:

8hgfgh

Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:

1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5

Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:

9hgfh

Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:

10hdgh

Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 810,25. По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 810,25 можно так:

11gfdg

Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:

0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4

Теперь вычисления будет более простыми:

12fdgf

Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:

13hjui

Свойства дробных степеней и операции с ними

Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.

14ghj

Например, справедливы следующие действия:

50,5•52,5 = 50,5 + 2,5 = 53 = 125

195/3•191/3 = 195/3 + 1/3 = 192 = 361

29,36–0,37•29,361,37 = 29,36–0,37 + 1,37 = 29,361 = 29,36

15jli

Вот несколько примеров подобных вычислений:

174,5:173,5 = 174,5–3,5 = 171 = 1

49,36:46,36 = 49,36–6,36 = 43 = 64

2012:2014 = 2012–14 = 20–2

16nhf

Проиллюстрируем это правило примерами:

(60,25)8 = 60,25•8 = 62 = 36

(93/2)2 = 9(3/2)•2 = 93 = 729

(254)0,125 = 254•0,125 = 250,5 = 5

17hgj

Покажем, как можно применять данное правило:

41/6•161/6 = (4•64)1/6 = 641/6 = 2

0,51,5•501,5 = (0,5•50)1,5 = 251,5 = 251+0,5 = 251•250,5 = 25•5 = 125

4,90,5•100,5 = (4,9•10)0,5 = 490,5 =7

18hfgh

Это правило можно применять следующим образом:

3600,5:100,5 = (360:10)0,5 = 360,5 = 6

5003:503 = (500:50)3 = 103 = 1000

6,251/4:0,011/4 = (6,25:0,01)1/4 = 6251/4 = 5

Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если

19jghj

то верное и обратное:

20gkj

То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.

Пример. Вычислите значение выражения

21khjk

Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями

22gfg

Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:

(91/4)1/5•39/10 = (90,25)0,2•30,9 = 90,25•0,2•30,9 = 90,05•30,9 = (32)0,05•30,9 =

=32•0,05•30,9 = 30,1•30,9 = 30,1•0,9 = 31 = 3

Ответ: 3.

Пример. Упростите выражение

(81n+1– 65•81n)0,25

Решение. Степень 81n+1можно представить как произведение:

81n+1 = 81n•811 = 81•81n

С учетом этого можно записать:

(81n+1– 65•81n)0,25 = (81•81n– 65•81n)0,25 = (81n(81 – 65))0,25 =

= (81n•16)0,25 = 810,25n •160,25 = 810,25n •161/4 = 2•810,25n

Ответ: 2•810,25n.

Сравнение степеней

Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:

23jhgk

Отсюда следует вывод, что если a<b, то

а1/n<b1/n

теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:

аm/n<bm/n

Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):

24hhgk

В частности, справедливы следующие неравенства:

233,75< 243,75

634/3< 644/3

0,0080,002< 0,0080,002

Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:

a–n = 1/an = (1/а)n

Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:

20–3,14 и 50–3,14

Решение. Избавимся от знака минус в показателе:

20–3,14 = (1/20)3,14 = 0,053,14

50–3,14 = (1/50)3,14 = 0,023,14

Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 < 0,05 следует, что

0,023,14< 0,053,14

Это означает, что

50–3,14< 20–3,14

Ответ: 50–3,14< 20–3,14.

Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 00 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:

250 = 260 = 1

9,360 = 9,370 = 1

18,35460 = 12,36470 = 1

Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.

25jkgjk

На основании этого правила можно записать, что:

53,14< 53,15

45–0,563< 450,001

1,235–5,623< 1,235–4,958

Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:

1–7,56 = 1–0,15 = 10,236 = 1 521,36 = 1

Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,57,6 и 0,58,9. Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:

0,5 = 1/2 = 1/(21) = 2–1

Итак, 0,5 = 2–1. Тогда можно записать, что:

0,57,6 = (2–1)7,6 = 2–7,6

0,58,9 = (2–1)8,9 = 2–8,9

Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как

– 8,9 <– 7,6

то и

2–8,9< 2–7,6

Следовательно, 0,57,6> 0,58,9.

26jhj

Например, справедливы неравенства:

0,997> 0,997,24

0,5715,36> 0,5716,47

0,490,04> 0,490,05

Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.

Пример. Докажите, что

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 281/3

Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.

Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 < 20 усилится, если вместо 10 написать большее число (11 < 20), или вместо 20 написать меньшее число (10 < 19). Очевидно, что если усиленное неравенство верное, то и изначальное (ослабленное) также справедливо.

Очевидно, что можно легко посчитать значение выражения 271/3:

27hgfh

Также ясно, что 271/3< 281/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 271/3 (1)

Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 271/3< 281/3

Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 271/3 = 3, мы можем переписать (1) так:

0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7<3 (2)

Далее будем работать с левой частью. Очевидно, что 0,80,8< 0,90,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,90,8< 0,90,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:

0,80,8< 0,90,8<0,90,7

или просто 0,80,8<0,90,7. Абсолютно аналогично можно записать, что

0,70,8< 0,90,7<0,90,7

Или 0,70,8<0,90,7. Наконец, в силу правила (3), 0,90,9<0,90,7. Итак, имеем три неравенства:

0,90,9<0,90,7

0,80,8<0,90,7

0,70,8<0,90,7

Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):

0,90,7 + 0,90,7 + 0,90,7<3

3•0,90,7< 3

Поделим обе части на 3:

0,90,7< 1

Заменим единицу равным ему выражением 10,7:

0,90,7<10,7 (4)

Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.

Источник

Задание №2 ЕГЭ по математике базовый уровень

[su_box title=”Описание задания” style=”soft” box_color=”#c1e8cc” title_color=”#0c0a0a”]

Во задании №2 ЕГЭ по математике необходимо продемонстрировать знания работы со степенными выражениями.

Тематика заданий: операции со степенями

Бал: 1 из 20

Сложность задания: ♦◊◊

Примерное время выполнения: 3 мин.
[/su_box]

Теория к заданию №2

Правила обращения со степенями можно представить следующим образом:

Кроме этого, следует напомнить об операциях с дробями:

Теперь можно перейти к разбору типовых вариантов! 🙂

Разбор типовых вариантов заданий №2 ЕГЭ по математике базового уровня

Во всех заданиях, аналогично первому заданию, нам необходимо найти значение выражения.

Вариант 2МБ1
Алгоритм выполнения:
  1. Представить число с отрицательным показателем в виде правильной дроби.
  2. Выполнить первое умножение.
  3. Представить степени чисел в виде простых чисел, заменив степени их умножением.
  4. Выполнить умножение.
  5. Выполнить сложение.
Решение:

Чтобы представить отрицательную степень числа в виде обыкновенной дроби, необходимо 1 разделить на это число, но уже в положительной степени.

То есть: 10-1 = 1/101 = 1/10

Выполним первое умножение, то есть умножение целого числа на правильную дробь. Для этого числитель дроби умножим на целое число, а знаменатель оставим без изменения.

9 · 1/10 = (9 · 1)/10 = 9/10

Первая степень числа всегда есть само число.

101 = 10

Вторая степень числа – это число умноженное само на себя.

102 = 10 · 10 = 100

Вычислим значение выражения, учитывая, что
получим:
Ответ: 560,9

Вариант 2МБ2
Алгоритм выполнения:
  1. Представить первую степень числа в виде целого числа.
  2. Представить отрицательные степени чисел в виде правильных дробей.
  3. Выполнить умножение целых чисел.
  4. Выполнить умножение целых чисел на правильные дроби.
  5. Выполнить сложение.
Решение:

Первая степень числа всегда есть само число. (101 = 10)
Чтобы представить отрицательную степень числа в виде обыкновенной дроби, необходимо 1 разделить на это число, но уже в положительной степени.
То есть:

10-1 = 1/101 = 1/10

10-2 = 1/102 = 1/(10 · 10) = 1/100

Выполним умножение целых чисел.

3 · 101 = 3 · 10 = 30

Выполним умножение целых чисел на правильные дроби.

4 · 10-2 = 4 · 1/100 = (4 ·1)/100 = 4/100

2 · 10-1 = 2 · 1/10 = (2 · 1)/10 = 2/10

Вычислим значение выражения, учитывая, что
получим:
Ответ: 30,24

Вариант 2МБ3
Алгоритм выполнения:
  1. Представить степени чисел в виде умножения и вычислить значение степеней чисел.
  2. Выполнить умножение.
  3. Выполнить сложение.
Решение:

Представим степени чисел в виде умножения. Для того чтобы представить степень числа в виде умножения, нужно это число умножить само на себя столько раз сколько содержится в показателе степени.

24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

23 = 2 · 2 · 2 = 8

Выполним умножение:

4 · 24 = 4 · 16 = 64

3 · 23 = 3 · 8 = 24

Вычислим значение выражения:

Ответ: 88

Вариант 2МБ4
Алгоритм выполнения:
  1. Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.
  2. Вынести общий множитель за скобку.
  3. Выполнить действие в скобках.
  4. Представить степень числа в виде умножения и вычислить значение степени числа.
  5. Выполнить умножение.
Решение:

Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.

44 = 4 · 43

Вынесем общий множитель за скобку

3 · 43 + 2 · 44 = 43 · (3 + 2 · 4)

Выполним действие в скобках.

(3 + 2 · 4) = (3 + 8) = 11

Представим степень числа в виде умножения. Для того чтобы представить степень числа в виде умножения, нужно это число умножить само на себя столько раз сколько содержится в показателе степени.

43 = 4 · 4 · 4 = 64

Вычислим значение выражения, учитывая, что

получим:
Ответ: 704

Вариант 2МБ5
Алгоритм выполнения:
  1. Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.
  2. Вынести общий множитель за скобку.
  3. Выполнить действие в скобках.
  4. Представить степень числа в виде умножения и вычислить значение степени числа.
  5. Выполнить умножение.
Решение:

Представим степень числа таким образом, чтобы можно было вынести за скобку общий множитель.

53 = 5 · 52

Вынесем общий множитель за скобку

2 · 53 + 3 · 52 = 52 · (2 · 5 + 3)

Выполним действие в скобках.

(2 · 5 + 3) = (10 + 3) = 13

Представим степень числа в виде умножения. Для того чтобы представить степень числа в виде умножения, нужно это число умножить само на себя столько раз сколько содержится в показателе степени.

52 = 5 · 5 = 25

Вычислим значение выражения, учитывая, что

  , а 

получим:
Выполняем умножение в столбик, имеем:
Ответ: 325

Вариант 2МБ6
Решение:

В данном задании удобней привести значения к более привычному виду, а именно записать числа в числителе и знаменателе в стандартном виде:

После этого можно выполнить деление 24 на 6, в результате получим 4.

Десять в четвертой степени при делении на десять в третьей степени даст десять в первой, или просто десять, поэтому мы получим:

4 • 10 = 40

Ответ: 40

Вариант 2МБ6
Решение:

В данном случае мы должны заметить, что число 6 в знаменателе раскладывается на множители 2 и 3 в степени 5:

После этого можно выполнить сокращения степеней у двойки: 6-5=1, у тройки: 8-5=3.

Теперь возводим 3 в куб и умножаем на 2, получая 54.

Ответ: 54

Вариант 2МБ6
Алгоритм выполнения
  1. Применяем к числителю св-во степеней (ах)у=аху. Получаем 3–6.
  2. Применяем к дроби св-во степеней ax/ay=ax–y.
  3. Возводим 3 в полученную степень.
Решение:

(3–3)2 /3–8 = 3–6 /3–8= 3–6–(–8)) = 3–6+8 = 32 = 9

Ответ: 9

Вариант 2МБ7
Алгоритм выполнения
  1. Используем для степени в числителе (149) св-во (аb)х=ax·bx. 14 разложим на произведение 2 и 7. Получим произведение степеней с основаниями 2 и 7.
  2. Преобразуем выражение в 2 дроби, каждая из которых будет содержать степени с одинаковыми основаниями.
  3. Применяем к дробям св-во степеней ax/ay=ax–y.
  4. Находим полученное произведение.
Решение:

149 / 27·78  = (2·7)9 / 27·78 = 29·79 / 27 78 = 29–7·79–8 = 22·71 = 4·7 = 28

Ответ: 28

Вариант 2МБ8
Алгоритм выполнения
  1. Выносим за скобки общий множитель 52=25.
  2. Выполняем в скобках умножение чисел 2 и 5. Получаем 10.
  3. Выполняем в скобках сложение 10 и 3. Получаем 13.
  4. Выполняем умножение общего множителя 25 и 13.
Решение:

2·53+3·52 = 52·(2·5+3) = 25·(10+3) = 25·13 = 325

Ответ: 325

Вариант 2МБ9
Алгоритм выполнения
  1. Возводим в квадрат (–1). Получим 1, поскольку происходит возведение в четную степень.
  2. Возводим (–1) в 5-ю степень. Получим –1, т.к. происходит возведение в нечетную степень.
  3. Выполняем действия умножения.
  4. Получаем разность двух чисел. Находим ее.
Решение:

6·(–1)2+4·(–1)5 = 6·1+4·(–1) = 6+(–4) = 6–4 = 2

Ответ: 2

Вариант 2МБ10
Алгоритм выполнения
  1. Преобразуем множители 103 и 102 в целые числа.
  2. Находим произведения путем переноса десят.запятой вправо на соответствующее число знаков.
  3. Находим результирующую сумму.
Решение:

9,4·103+2,2·102 = 9,4·1000+2,2·100 = 9400+220 = 9620

Ответ: 9620

Вариант 2МБ11
Алгоритм выполнения
  1. Преобразуем 10
    2     в целое число и выполняем умножение в числителе путем переноса деся.запятой.
  2. Преобразуем 10–2 в десят.дробь и выполняем умножение в знаменателе путем переноса десят.запятой влево.
  3. Домножаем числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десят.запятой в знаменателе.
  4. Находим результат путем деления числителя дроби на ее знаменатель.
Решение:

1,6·102 / 4·10–2 = 1,6·100 / 4·0,01 = 160/ 0,04 = 160·100 / 0,04·100 =  16000 / 4 = 4000

Ответ: 40000

Вариант 2МБ12
Алгоритм выполнения
  1. Применяем к дроби св-ва степеней ax·ay=ax+y и ax/ay=ax–y.
  2. Возводим 3 в полученную степень.
Решение:

3–10·35 / 3–7 = 3

–10+5  /3–7 = 3–5 / 3–7 = 3–5–(–7)) = 3–5+7 = 32 = 9

Ответ: 9

Вариант 2МБ13
Алгоритм выполнения
  1. Представляем выражение в знаменателе как степень с основанием 8. Далее применяем св-во степеней (ах)у=аху, получаем 812.
  2. Применяем к дроби св-во степеней ax/ay=ax–y.
Решение:

813 /646 =813 / (82)6 =813 /812 = 813–12 = 81 = 8

Ответ: 8

Вариант 2МБ14
Алгоритм выполнения
  1. Преобразуем степени в числителе дроби и в делителе (число 92) так, чтобы получились степени с основанием 3.
  2. Используем св-во степеней (ах)у=аху для преобразованных степеней.
  3. Используем св-во степеней ax/ay=ax–y.
  4. Возводим 3 в полученную степень.
Решение:

274 /36 : 92 =(33)4 / 36 : (32)2 = 312/36 : 34 = 312–6–4 = 32 = 9

Ответ: 9

Вариант 2МБ15
Алгоритм выполнения
  1. Возводим каждый из множителей в соответствующую степень. Получим соответственно: 0,01, 1000, 4.
  2. Перемножаем 0,01 и 1000 путем переноса десят.запятой вправо на 3 знака. Получим 10.
  3. Умножаем 10 на 4.
Решение:

(0,1)2·103·22 = 0,01·1000·4 = 10·4 = 40

Ответ: 40

Даниил Романович | Просмотров: 17.6k | Оценить:

Как сокращать дроби объяснение. Сокращение дробей. Что значит сократить дробь

Без знания того, как сократить дробь, и наличия устойчивого навыка в решении подобных примеров очень непросто изучать в школе алгебру. Чем дальше, тем больше на базовые знания о сокращении обыкновенных дробей накладывается новой информации. Сначала появляются степени, потом множители, которые позже становятся многочленами.

Как тут не запутаться? Основательно закреплять умения в предыдущих темах и постепенно готовиться к знаниям о том, как сократить дробь, усложняющуюся год от года.

Базовые знания

Без них не удастся справиться с заданиями любого уровня. Чтобы понять, нужно уяснить два простых момента. Первый: сокращать можно только множители. Этот нюанс оказывается очень важным при появлении многочленов в числителе или знаменателе. Тогда нужно четко различать, где находится множитель, а где стоит слагаемое.

Второй момент говорит о том, что любое число можно представить в виде множителей. Причем результатом сокращения является такая дробь, числитель и знаменатель которых уже невозможно сократить.

Правила сокращения обыкновенных дробей

Для начала стоит проверить, делится ли числитель на знаменатель или наоборот. Тогда именно на это число нужно провести сокращение. Это самый простой вариант.

Вторым является анализ внешнего вида чисел. Если оба заканчиваются на один или несколько нолей, то их можно сократить на 10, 100 или тысячу. Здесь же можно заметить, являются ли числа четными. Если да, то смело можно сокращать на два.

Третьим правилом того, как сократить дробь, становится разложение на простые множители числителя и знаменателя. В это время нужно активно использовать все знания о признаках делимости чисел. После такого разложения остается только найти все повторяющиеся, перемножить их и произвести сокращение на получившееся число.

Как быть, если в дроби стоит алгебраическое выражение?

Здесь появляются первые трудности. Потому что именно здесь появляются слагаемые, которые могут быть идентичны множителям. Их очень хочется сократить, а нельзя. До того как сократить алгебраическую дробь, ее нужно преобразовать так, чтобы она имела множители.

Для этого потребуется выполнить несколько действий. Возможно, потребуется пройти их все, а может, уже первое даст подходящий вариант.

    Проверить, не отличаются ли числитель и знаменатель или какое-либо выражение в них на знак. В этом случае необходимо просто вынести за скобки минус единицу. Так получаются одинаковые множители, которые можно сократить.

    Посмотреть, можно ли вынести из многочлена за скобки общий множитель. Возможно, так получится скобка, которую также можно сократить, или это будет вынесенный одночлен.

    Попробовать провести группировку одночленов с тем, чтобы потом в них вынести общий множитель. После этого может оказаться, что появятся множители, которые можно сократить, или снова повторить вынесение за скобки общих элементов.

    Попытаться рассмотреть в записи формулы сокращенного умножения. С их помощью легко удастся преобразовать многочлен в множители.

Последовательность действий с дробями со степенями

Для того чтобы без проблем разобраться в вопросе о том, как сократить дробь со степенями, необходимо твердо запомнить основные действия с ними. Первое из них связано с умножением степеней. В этом случае, если основания одинаковые, показатели необходимо сложить.

Второе — деление. Опять же у тех, которые имеют одинаковые основания, показатели потребуется вычесть. Причем вычитать нужно из того числа, которое стоит в делимом, а не наоборот.

Третье — возведение в степень степени. В этой ситуации показатели перемножаются.

Для успешного сокращения потребуется также умение приводить степени к одинаковым основаниям. То есть видеть, что четыре — это два в квадрате. Или 27 — куб трех. Потому что сократить 9 в квадрате и 3 в кубе сложно. Но если преобразовать первое выражение как (3 2) 2 , то сокращение пройдет успешно.

На этом уроке мы изучим основное свойство дроби, узнаем, какие дроби являются равными друг другу. Научимся сокращать дроби, определять, является ли дробь сократимой или нет, попрактикуемся в сокращении дробей и узнаем, когда стоит использовать сокращение, а когда нет.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis
dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore
voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum
enim
fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?



Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Основное свойство дроби

Представьте себе такую ситуацию.

За столом 3
 человека и 5
 яблок. Делятся 5
 яблок на троих. Каждому достается по (mathbf{frac{5}{3}}) яблока.

А за соседним столом еще 3
 человека и тоже 5
 яблок. Каждому опять по (mathbf{frac{5}{3}})

При этом всего 10
 яблок и 6
 человек. Каждому по (mathbf{frac{10}{6}})

Но это одно и то же.

(mathbf{frac{5}{3} = frac{10}{6}})

Эти дроби эквивалентны.

Можно увеличить в два раза количество людей и в два раза количество яблок. Результат будет тем же самым.

В математике это формулируется так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное 0), то новая дробь будет равна исходной
.

Это свойство иногда называют «основным свойством дроби

».

$$mathbf{frac{a}{b} = frac{acdot c}{bcdot c} = frac{a:d}{b:d}}$$

Например, Путь от города до деревни- 14
 км.

Мы идем по дороге и определяем пройденный путь по километровым столбикам. Пройдя шесть столбиков, шесть километров, мы понимаем, что прошли (mathbf{frac{6}{14}}) пути.

Но если мы не видим столбиков (может, их не установили), можно путь считать по электрическим столбам вдоль дороги. Их 40
 штук на каждый километр. То есть всего 560
 на всем пути. Шесть километров- (mathbf{6cdot40 = 240}) столбов. То есть мы прошли 240
 из 560
 столбов- (mathbf{frac{240}{560}})

(mathbf{frac{6}{14} = frac{240}{560}})

Пример 1

Отметьте точку с координатами (5; 7
) на координатной плоскости XО
Y
. Она будет соответствовать дроби (mathbf{frac{5}{7}})

Соедини начало координат с получившейся точкой. Построй другую точку, которая имеет координаты в два раза больших предыдущих. Какую дробь ты получил? Будут ли они равны?

Решение

Дробь на координатной плоскости можно отмечать точкой. Чтобы изобразить дробь (mathbf{frac{5}{7}}), отметим точку с координатой 5
 по оси Y
 и 7
 по оси X
. Проведем прямую из начала координат через нашу точку.

На этой же прямой будет лежать и точка, соответствующая дроби (mathbf{frac{10}{14}})

Они являются эквивалентными: (mathbf{frac{5}{7} = frac{10}{14}})

Калькулятора онлайн выполняет сокращение алгебраических дробей
 в соответствии с правилом сокращения дробей: замена исходной дроби равной дробью, но с меньшими числителем и знаменателем, т.е. одновременное деление числителя и знаменателя дроби на их общий наибольший общий делитель (НОД). Также калькулятор выводит подробное решение, которое поможет понять последовательность выполнения сокращения.

Дано:

Решение:

Выполнение сокращения дробей

проверка возможности выполнения сокращения алгебраической дроби

1) Определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби

определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя алгебраической дроби

2) Сокращение числителя и знаменателя дроби

сокращение числителя и знаменателя алгебраической дроби

3) Выделение целой части дроби

выделение целой части алгебраической дроби

4) Перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

перевод алгебраической дроби в десятичную дробь

Помощь на развитие проекта сайт

Уважаемый Посетитель сайта.

Если Вам не удалось найти, то что Вы искали — обязательно напишите об этом в комментариях, чего не хватает сейчас сайту. Это поможет нам понять в каком направлении необходимо дальше двигаться, а другие посетители смогут в скором времени получить необходимый материал.

Если же сайт оказался Ваме полезен — подари проекту сайт всего 2 ₽
 и мы будем знать, что движемся в правильном направлении.

Спасибо, что не прошели мимо!

I. Порядок действий при сокращении алгебраической дроби калькулятором онлайн:

  1. Чтобы выполнить сокращение алгебраической дроби введите в соответствующие поля значения числителя, знаменателя дроби. Если дробь смешанная, то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если дробь простая, то оставьте поле целой части пустым.
  2. Чтобы задать отрицательную дробь, поставьте знак минус в целой части дроби.
  3. В зависимости от задаваемой алгебраической дроби автоматически выполняется следующая последовательность действий:
  • определение наибольшего общего делителя (НОД) числителя и знаменателя дроби
    ;
  • сокращение числителя и знаменателя дроби на НОД
    ;
  • выделение целой части дроби
    , если числитель итоговой дроби больше знаменателя.
  • перевод итоговой алгебраической дроби в десятичную дробь
     с округлением до сотых.
  • В результате сокращения может получиться неправильная дробь. В этом случае у итоговой неправильной дроби будет выделена целая часть и итоговая дробь будет переведена в правильную дробь.

    • II. Для справки:

    Дробь — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Обыкновенная дробь (простая дробь) записывается в виде двух чисел (числитель дроби и знаменатель дроби), разделенных горизонтальной чертой (дробной чертой), обозначающей знак деления.
    числитель дроби — число, стоящее над дробной чертой. Числитель показывает, сколько долей взяли у целого.
    знаменатель дроби — число, стоящее под дробной чертой. Знаменатель показывает, на сколько равных долей разделено целое.
    простая дробь — дробь, не имеющая целой части. Простая дробь может быть правильной или неправильной.
    правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому правильная дробь всегда меньше единицы. Пример правильных дроби: 8/7, 11/19, 16/17.
    неправильная дробь — дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю, поэтому неправильная дробь всегда больше единицы или равна ей. Пример неправильных дроби: 7/6, 8/7, 13/13.
    смешанная дробь — число, в состав которого входит целое число и правильная дробь, и обозначает сумму этого целого числа и правильной дроби. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь. Пример смешанных дробей: 1¼, 2½, 4¾.

    III. Примечание:

    1. Блок исходных данных выделен желтым цветом
      , блок промежуточных вычислений выделен голубым цветом
      , блок решения выделен зеленым цветом
      .
    2. Для сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных или смешанных дробей воспользуйтесь онлайн калькулятором дробей с подробным решением.

    Разберемся в том, что такое сокращение дробей, зачем и как сокращать дроби, приведем правило сокращения дробей и примеры его использования.

    Yandex.RTB R-A-339285-1

    Что такое «сокращение дробей»

    Сократить дробь

    Сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий делитель, положительный и отличный от единицы.

    В результате такого действия получится дробь с новым числителем и знаменателем, равная исходной дроби.

    К примеру, возьмем обыкновенную дробь 6 24 и сократим ее. Разделим числитель и знаменатель на 2 , в результате чего получим 6 24 = 6 ÷ 2 24 ÷ 2 = 3 12 . В этом примере мы сократили исходную дробь на 2 .

    Приведение дробей к несократимому виду

    В предыдущем примере мы сократили дробь 6 24 на 2 , в результате чего получили дробь 3 12 . Нетрудно заметить, что эту дробь можно сократить еще. Как правило, целью сокращения дробей является получение в итоге несократимой дроби. Как привести дробь к несократимому виду?

    Это можно сделать, если сократить числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД). Тогда, по свойству наибольшего общего делителя, в числителе и в знаменателе будут взаимно простые числа, и дробь окажется несократимой.

    a b = a ÷ Н О Д (a , b) b ÷ Н О Д (a , b)

    Приведение дроби к несократимому виду

    Чтобы привести дробь к несократимому виду нужно ее числитель и знаменатель разделить на их НОД.

    Вернемся к дроби 6 24 из первого примера и приведем ее к несократимому виду. Наибольший общий делитель чисел 6 и 24 равен 6 . Сократим дробь:

    6 24 = 6 ÷ 6 24 ÷ 6 = 1 4

    Сокращение дробей удобно применять, чтобы не работать с большими цифрами. Вообще, в математике существует негласное правило: если можно упростить какое-либо выражение, то нужно это делать. Под сокращением дроби чаще всего подразумевают ее приведение к несократимому виду, а не просто сокращение на общий делитель числителя и знаменателя.

    Правило сокращения дробей

    Чтобы сокращать дроби достаточно запомнить правило, которое состоит из двух шагов.

    Правило сокращения дробей

    Чтобы сократить дробь нужно:

    1. Найти НОД числителя и знаменателя.
    2. Разделить числитель и знаменатель на их НОД.

    Рассмотрим практические примеры.

    Пример 1. Сократим дробь.

    Дана дробь 182 195 . Сократим ее.

    Найдем НОД числителя и знаменателя. Для этого в данном случае удобнее всего воспользоваться алгоритмом Евклида.

    195 = 182 · 1 + 13 182 = 13 · 14 Н О Д (182 , 195) = 13

    Разделим числитель и знаменатель на 13 . Получим:

    182 195 = 182 ÷ 13 195 ÷ 13 = 14 15

    Готово. Мы получили несократимую дробь, которая равна исходной дроби.

    Как еще можно сокращать дроби? В некоторых случаях удобно разложить числитель и знаменатель на простые множители, а потом из верхней и нижней частей дроби убрать все общие множители.

    Пример 2. Сократим дробь

    Дана дробь 360 2940 . Сократим ее.

    Для этого представим исходную дробь в виде:

    360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7

    Избавимся от общих множителей в числителе и знаменателе, в результате чего получим:

    360 2940 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 = 2 · 3 7 · 7 = 6 49

    Наконец, рассмотрим еще один способ сокращения дробей. Это так называемое последовательное сокращение. С использованием этого способа сокращение производится в несколько этапов, на каждом из которых дробь сокращается на какой-то очевидный общий делитель.

    Пример 3. Сократим дробь

    Сократим дробь 2000 4400 .

    Сразу видно, что числитель и знаменатель имеют общий множитель 100 . Сокращаем дробь на 100 и получаем:

    2000 4400 = 2000 ÷ 100 4400 ÷ 100 = 20 44

    20 44 = 20 ÷ 2 44 ÷ 2 = 10 22

    Получившийся результат снова сокращаем на 2 и получаем уже несократимую дробь:

    10 22 = 10 ÷ 2 22 ÷ 2 = 5 11

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

    Чтобы понять, как сокращать дроби, сначала рассмотрим один пример.

    Сократить дробь — значит, разделить числитель и знаменатель на одно и то же . И 360, и 420 оканчиваются на цифру, поэтому можем сократить эту дробь на 2. В новой дроби и 180, и 210 тоже делятся на 2, сокращаем и эту дробь на 2. В числах 90 и 105 сумма цифр делится на 3, поэтому оба эти числа делятся на 3, сокращаем дробь на 3. В новой дроби 30 и 35 оканчиваются на 0 и 5, значит, оба числа делятся на 5, поэтому сокращаем дробь на 5. Получившаяся дробь шесть седьмых — несократимая. Это — окончательный ответ.

    К этому же ответу можем прийти другим путем.

    И 360, и 420 оканчиваются нулем, значит, они делятся на 10. Сокращаем дробь на 10. В новой дроби и числитель 36, и знаменатель 42 делятся на 2. Сокращаем дробь на 2. В следующей дроби и числитель 18, и знаменатель 21 делятся на 3, значит, сокращаем дробь на 3. Пришли к результату — шесть седьмых.

    И еще один вариант решения.

    В следующий раз рассмотрим примеры сокращения дробей.

    а}???

    Привет! Я Криста.

    Я создаю онлайн-курсы, чтобы помочь вам в учебе по математике. Читать далее.

    Преобразование дробных показателей в корни и наоборот

    Пройти курс

    Хотите узнать больше об Алгебре 2? У меня есть пошаговый курс для этого. 🙂

    Учить больше
    9{ гидроразрыва {1} {2}}???

    Возведение числа в степень ???1/2??? равносильно извлечению квадратного корня из этого значения, поэтому мы получаем

    ???sqrt{frac{1}{6} cdot frac{1}{6} cdot frac{1}{6} }}???

    ???sqrt{frac{1}{216}}???

    ???frac{sqrt{1}}{sqrt{216}}???

    ???frac{1}{sqrt{36 cdot 6}}???

    ???frac{1}{sqrt{36} sqrt{6}}???

    ???frac{1}{6sqrt{6}}???

    Нам нужно рационализировать знаменатель. { красный { гидроразрыва 1 2}}
    $
    9{ красный { гидроразрыва 1 4}}
    $

    Так как же это работает?

    Мы можем использовать один из законов экспоненты, чтобы объяснить, как работают дробные экспоненты.

    Как вы, наверное, уже знаете, $$ sqrt{9} cdot sqrt{9} = 9 $$ . Хорошо, давайте посмотрим, как это будет работать с рациональными (читай: дробными) показателями. Поскольку теперь мы знаем, что $$ sqrt{9{ гидроразрыва 1 п}
    $

    $$ frac 1 n $$ — это еще один способ спросить: Какое число нужно умножить само на себя n раз, чтобы получить x?

    Когда числитель равен

    , а не 1

    Ниже приведен конкретный пример, иллюстрирующий формулу показателей степени дроби, когда числитель не равен единице.

    Источник

    Дробная степень




    Какими свойствами обладает степень с дробным показателем (дробная степень)? Как выполнить возведение числа в дробную степень?

    Определение.

    1) Степенью числа a (a>0) с рациональным показателем r

        [r = frac{m}{n},]

    где m — целое число, n — натуральное число (n>1), называется число

        [{a^{frac{m}{n}}} = sqrt[n]{{{a^m}}}]

    2) При a=0 и r>0 

        [{0^r} = 0.]

    В частности,

        [{a^{frac{1}{2}}} = sqrt a ]

    При a<0 степень с дробным показателем не определяется.

    Все свойства степеней из курса алгебры 7 класса выполняются и для степеней с рациональными показателями.

    Для упрощения вычислений при возведении числа в дробную степень удобно использовать таблицу степеней и следующее свойство корня:

        [sqrt[n]{{{a^m}}} = {(sqrt[n]{a})^m}]

    Примеры.

    Выполнить возведение в дробную степень:

        [1){81^{frac{1}{4}}} = sqrt[4]{{81}} = 3;]

        [2){128^{frac{5}{7}}} = sqrt[7]{{{{128}^5}}} = {(sqrt[7]{{128}})^5} = {2^5} = 32;]

    Если показатель степени — десятичная дробь, нужно предварительно перевести ее в обыкновенную.

        [3){625^{0,75}} = {625^{frac{3}{4}}} = sqrt[4]{{{{625}^3}}} = {(sqrt[4]{{625}})^3} = ]

        [ = {5^3} = 125;]

        [4){243^{0,4}} = {243^{frac{2}{5}}} = sqrt[5]{{{{243}^2}}} = {left( {sqrt[5]{{243}}} right)^2} = ]

        [ = {3^2} = 9.]

    Смешанное число нужно предварительно перевести в неправильную дробь:

        [5){(15frac{5}{8})^{frac{2}{3}}} = {(frac{{125}}{8})^{frac{2}{3}}} = sqrt[3]{{{{(frac{{125}}{8})}^2}}} = {(sqrt[3]{{frac{{125}}{8}}})^2} = ]

        [ = {(frac{5}{2})^2} = frac{{25}}{4} = 6frac{1}{4};]

        [6){(12frac{1}{4})^{1,5}} = {(frac{{49}}{4})^{frac{3}{2}}} = sqrt {{{(frac{{49}}{4})}^3}} = {(sqrt {frac{{49}}{4}} )^3} = ]

        [ = {(frac{7}{2})^3} = frac{{343}}{8} = 42frac{7}{8}.]

    А как вычисляется отрицательная дробная степень?

    Степень с отрицательным рациональным показателем также определена только для a>0:

        [ a^{ - frac{m}{n}} = frac{1}{{a^{frac{m}{n}} }} = frac{1}{{sqrt[n]{{a^m }}}} = frac{1}{{(sqrt[n]{a})^m }} ]

    При возведении обыкновенной дроби в степень с отрицательным показателем удобно использовать формулу:

        [ (frac{a}{b})^{ - n} = (frac{b}{a})^n ]

    Примеры.

    Выполнить возведение в степень с отрицательным рациональным показателем:

        [ 1)625^{ - frac{3}{4}} = frac{1}{{625^{frac{3}{4}} }} = frac{1}{{(sqrt[4]{{625}})^3 }} = frac{1}{{5^3 }} = frac{1}{{125}}; ]

        [ 2)0,0004^{ - 1,5} = frac{1}{{0,0004^{frac{3}{2}} }} = frac{1}{{(sqrt {0,0004} )^3 }} = ]

        [ = frac{1}{{0,02^3 }} = (frac{1}{{0,02}})^3 = (frac{{100}}{2})^3 = ]

        [ = 50^3 = 125000; ]

        [ 3)(1frac{{61}}{{64}})^{ - frac{2}{3}} = (frac{{125}}{{64}})^{ - frac{2}{3}} = (frac{{64}}{{125}})^{frac{2}{3}} = (sqrt[3]{{frac{{64}}{{125}}}})^2 = ]

        [ = (frac{4}{5})^2 = frac{{16}}{{25}} = 0,64. ]

    Источник

    Мы уже знакомы с понятием степени с ЦЕЛЫМ показателем, когда в степени стоит целое число (n). Давайте разберемся, что такое степень с РАЦИОНАЛЬНЫМ показателем, когда в степени обыкновенная дробь — (a^{frac{p}{q}}).

    Рациональный показатель – это выражение вида (frac{p}{q}), где (p)-некоторое целое число, а (q) – натуральное число, причем (qge2). Это строгое определение рационального показателя, но простыми словами мы будем изучать дробные степени, когда у вас в показателе стоит обыкновенная дробь.

    Определение

    Положительное число (a) в степени (frac{p}{q}) является арифметическим корнем степени (q) из числа (a) в степени (p):

    $$ a^{frac{p}{q}}=sqrt[q]{a^p}. $$

    Для того, чтобы научиться считать дробные степени, достаточно запомнить формулу из определения. Разберемся на примерах, как это работает, но нам понадобится хорошее знание арифметического корня n-й степени.

    И обращаем ваше внимание, что

    $$ sqrt[q]{a^p}=(sqrt[q]{a})^p,$$

    Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень и потом возвести в степень, или возвести в степень, а потом уже извлечь корень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте. Рассмотрим несколько примеров:

    Пример 1
    $$ 8^{frac{2}{3}}=sqrt[3]{8^2}=(sqrt[3]{8})^2=2^2=4; $$
    $$ 27^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{27^1}=sqrt[3]{27}=3;$$
    $$ 3^{frac{1}{5}}=sqrt[5]{3}; $$
    $$ 7^{-frac{5}{6}}=sqrt[6]{7^{-5}}=sqrt[6]{frac{1}{7^5}}=frac{1}{sqrt[6]{7^{5}}};$$

    Обратите внимание, что у обыкновенного квадратного корня двойка в показателе не пишется: пишем так (sqrt{a}), а имеем в виду (sqrt[2]{a}.)
    $$ 7^{frac{1}{2}}=sqrt{7};$$
    $$ 5^{frac{3}{2}}=sqrt{5^3}.$$

    Пусть есть некоторое положительное число (a), целое число (p) и натуральное число (q), тогда справедливы следующие соотношения:

    $$1.; a^{frac{p}{q}}=(a^{frac{1}{q}})^p,$$
    $$2.; a^{frac{p}{q}}=a^{frac{p*k}{q*k}},$$
    $$ 3.;a^p= a^{frac{pq}{q}}, $$

    где (k) и (q) – натуральные числа большие 1.

    Давайте попробуем их доказать:

    Из определения степени с рациональным показателем следует, что:

    $$ a^{frac{p}{q}}=sqrt[q]{a^p}=(sqrt[p]{a})^p=(a^{frac{1}{q}})^p,$$

    Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:

    $$ a^{frac{p}{q}}=sqrt[q]{a^p}=sqrt[q*k]{a^{p*k}}= a^{frac{p*l}{q*k}}, $$

    Третья формула на наш взгляд очевидна, просто сократить степень справа и получите исходное выражение.

    Пример 2
    $$8^{frac{4}{3}}=(8^{frac{1}{3}})^4=2^4=16;$$
    $$4^{frac{15}{5}}=4^{frac{3}{1}}=4^3=64;$$
    $$3^{-frac{6}{2}}=3^{-3}=frac{1}{3^3}=frac{1}{27}.$$

    Свойства степени с рациональным показателем

    Пусть (a) и (b) – некоторые положительные числа, а числа (frac{m}{n}) и (frac{c}{d}) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:

    $$ mathbf {1. ;a^{frac{m}{n}}*a^{frac{c}{d}}=a^{frac{m}{n}+frac{c}{d}}} $$
    $$ 3^{frac{2}{5}}*3^{frac{8}{5}}=3^{frac{2}{5}+frac{8}{5}}=3^{frac{10}{5}}=3^2=9; $$
    $$ 2^{frac{1}{3}}*4^{frac{4}{3}}=2^{frac{1}{3}}*(2^2)^{frac{4}{3}}=2^{frac{1}{3}}*2^{frac{8}{3}}=2^{frac{1}{3}+frac{8}{3}}=2^{frac{9}{3}}=2^3=8;$$

    При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели складываются.

    $$mathbf {2. ; a^{frac{m}{n}}:a^{frac{c}{d}}=a^{frac{m}{n}-frac{c}{d}}}$$
    $$ 5^{frac{8}{3}}:5^{frac{2}{3}}=5^{frac{8}{3}-frac{2}{3}}=5^{frac{6}{3}}=5^2=25;$$

    При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели вычитаются.

    $$mathbf {3. ; (a^{frac{m}{n}})^{frac{c}{d}}=a^{frac{m}{n}*frac{c}{d}}}$$
    $$ (9^{frac{1}{3}})^{frac{3}{2}}=9^{frac{1}{3}*frac{3}{2}}=9^{frac{1}{2}}=sqrt[2]{9^1}=sqrt{9}=3;$$

    При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.

    $$mathbf {4. ; (a*b)^{frac{m}{n}}=a^{frac{m}{n}}*b^{frac{m}{n}}}$$
    $$ (27*8)^{frac{2}{3}}=27^{frac{2}{3}}*8^{frac{2}{3}}=sqrt[3]{27^2}*sqrt[3]{8^2}=(sqrt[3]{27})^2*(sqrt[3]{8})^2=3^2*2^2=9*4=36;$$

    Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.

    $$ mathbf {5.; left(frac{a}{b}right)^{frac{m}{n}}=frac{a^{frac{m}{n}}}{b^{frac{m}{n}}}}$$

    Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.

    И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.

    Пусть опять есть некоторое положительное число (a>1) и дроби (frac{m}{n}) и (frac{c}{d}).

    $$mathbf {6. ; При ; n gt 0 qquad a^n gt 1},$$
    $$mathbf {При ; n lt 0 qquad 0 lt a^n lt 1}.$$

    7. Если же (a gt 1) и (n gt m), то

    $$ a^n>a^m.$$

    Если ( 0 lt a lt 1 ) и (n gt m), то

    $$ a^n lt a^m.$$

    Разберем несколько примеров:

    Пример 3
    $$ 3^{-frac{3}{4}}*3^{-frac{1}{4}}=3^{-frac{3}{4}-frac{1}{4}}=3^{-1}=frac{1}{3};$$
    $$ 2^{frac{1}{2}}:2^{frac{1}{4}}=2^{frac{1}{2}-frac{1}{4}}=2^{frac{1}{4}}=sqrt[4]{3};$$
    $$ (5^{-frac{1}{2}})^{-4}=5^{(-frac{1}{2})*(-4)}=5^2=25; $$
    $$ (0,125)^{-frac{2}{3}}*8^{-frac{2}{3}}=(0,125*8)^{-frac{2}{3}}=1^{-frac{2}{3}}=1; $$
    $$ (4,4)^{frac{1}{3}}:(0,55)^{frac{1}{3}}=(frac{4,4}{0,55})^{frac{1}{3}}=8^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{8}=2;$$

    $$ 3^{frac{1}{3}} lt 3^{frac{1}{2}},$$

    Так как основание степени больше единицы (3 gt 1) и (frac{1}{3} lt frac{1}{2}).

    $$ (frac{1}{5})^{frac{1}{3}} gt (frac{1}{5})^{frac{1}{2}}, $$

    Так как (0 lt frac{1}{5} lt 1) и (frac{1}{3} lt frac{1}{2}).

    Источник

    Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти свой кюаркод
  • Как найти катет прямоугольной трапеции
  • Как найти предложение осложненное обособленным приложением
  • Как найти максимальную полезную мощность двигателя
  • Как найти данные телефона на компьютере