Как найти значение экстремума функции на отрезке - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Содержание:

Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при

Если дифференцируемая функция у = f(x) на отрезке возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке

Точка называется точкой локального максимума (минимума) функции если существует окрестность точки для всех точек которой верно неравенство

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках — ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции то либо не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть — критическая точка. Если f'(х) при переходе через точку меняет знак плюс на минус, то в точке функция имеет максимум, в противном случае — минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке хо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция имеет производную f'(х) в окрестности точки и вторую производную в самой точке . Если то точка является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке функция у = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка .

Пример:

Найти экстремумы функции

Решение:

Так как то критические точки функции и Экстремумы могут быть только в этих точках. Так как при переходе через точку производная меняет знак плюс на минус, то в этой точке функция имеет максимум. При переходе через точку производная меняет знак минус на плюс, поэтому в точке у функции минимум. Вычислив значения функции в точках и найдем экстремумы функции: максимум f(2) = 14 и минимум f(3) =13.

Пример:

Нужно построить прямоугольную площадку возле каменной стены так, чтобы с трех сторон она была отгорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к стене. Для этого имеется а погонных метров сетки. При каком соотношении сторон площадка будет иметь наибольшую площадь?

Решение:

Обозначим стороны площадки через Площадь площадки равна Пусть у — это длина стороны, примыкающей к стене. Тогда по условию должно выполняться равенство 2х + у = а. Поэтому (длина и ширина площадки не могут быть отрицательными). откуда Поскольку — единственная критическая точка, проверим, меняется ли знак производной при переходе через эту точку. При значит, в точке функция S имеет максимум. Значение функции

Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции.

Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является у = 2х.

Пример:

Требуется изготовить закрытый цилиндрический бак вместимостью Каковы должны быть размеры бака (радиус R и высота Н), чтобы на его изготовление пошло наименьшее количество материала?

Решение:

Площадь полной поверхности цилиндра равна Мы знаем объем цилиндра Значит, Находим производную этой функции:следовательно,

Экстремумы функции

Введём несколько новых понятий. Окрестностью точки называется любой промежуток, для которого является внутренней точкой.

Точка называется точкой минимума (максимума) функции если для всех из некоторой окрестности точки выполняется неравенство

Точки минимума и максимума обозначают соответственно.

Значение функции в точке минимума называется минимумом функции, а в точке максимума — максимумом функции. Обозначают их:

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума (лат. extremum — край, конец). Значения функции в точках её экстремума — её экстремальные значения, или экстремумы.

Например, для функции точка является точкой максимума (рис. 77). Её максимум:

Для функции точка является точкой минимума (рис. 78). Её минимум:

Функция, график которой изображён на рисунке 75, имеет четыре экстремальные точки: — точки максимума; и — точки минимума.

Точка экстремума функции не может принадлежать промежутку, на котором эта функция возрастает или убывает (почему?). Следовательно, те точки, в которых производная функции положительная или отрицательная, не могут быть точками её экстремума. Все остальные точки области определения функции являются её критическими точками. Поэтому точками экстремума функции могут быть только её критические точки. Это — необходимое условие существования экстремума.

Выбрать из критических точек функции точки экстремума позволяет достаточное условие существования экстремума.

Пусть функция непрерывна на промежутке и — её критическая точка, Тогда: точка при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «плюса» на «минус», является точкой максимума, а точка, при переходе через которую производная меняет знак с «минуса» на «плюс» — точкой минимума.

Действительно, если производная функции отрицательная, то при переходе через точку возрастание функции изменяется на убывание (рис. 79). В этом случае — точка максимума. Если же при переходе через точку убывание функции изменяется на возрастание, то — точка минимума (рис. 80).

Если же производная функции в точке равна нулю, а слева и справа от производная функции положительная (рис.81) или слева и справа отрицательная, то не является точкой экстремума.

Заказать решение задач по высшей математике

Пример №552

Найдите точки экстремума и экстремальные значения функции

Решение:

Критические точки функции: При переходе через точку производная меняет знаке поэтому —точка максимума. При переходе через точку производная меняет знак с поэтому — точка минимума (рис. 82).

Ответ.

Нахождение экстремумов функции можно оформлять в виде таблицы, как на с. 176. Особенно это удобно при общем исследовании функции, когда находят не только её экстремумы, но и другие свойства, строят её график.

Чтобы исследовать функцию, можно пользоваться следующей схемой:

найти область определения функции;
исследовать функцию на чётность, нечётность, периодичность;
найти точки пересечения графика функции с осями координат;
исследовать функцию на монотонность, то есть найти промежутки возрастания и убывания функции;
найти точки экстремума и экстремальные значения функции;
найти асимптоты графика функции;
построить график функции.

Пример №553

Исследуйте функцию и постройте её график.

Решение:

Область определения функции — все действительные числа, кроме Поскольку она не симметрична относительно нуля, то функция не может быть чётной или нечётной. Функция непериодическая.

Уравнение не имеет решений, поэтому график функции не пересекает ось Ось он пересекает в точке с ординатой

Критические точки:

Составим и заполним таблицу.

На промежутках функция возрастает, на промежутках функция убывает. — точка максимума, —точка минимума,

Область значений функции:

График функции имеет вертикальную асимптоту так как

График этой функции изображён на рисунке 83.

Пример №554

Может ли нечётная функция иметь экстремум в точке А чётная функция?

Решение:

Нечётная функция не может. Если в окрестности точки функция имеет экстремум, то с одной стороны от нуля она возрастает, а с другой — убывает, или наоборот. А нечётная функция — или только возрастает, или только убывает в окрестности точки Чётная функция может. Например, функция

Пример №555

Существуют ли такие числа при которых имеет экстремум функция

Решение:

При любых действительных значениях В каждой точке производная данной функции неотрицательная. Функция возрастает на поэтому не может иметь экстремумов.

Ответ. Не существуют.

Пример №556

Исследуйте функцию и постройте её график.

Решение.

2) Функция — нечётная, поскольку

Следовательно, её график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию на промежутке

3) если — график пересекает оси координат только в точке

4) Найдём производную функции:

Очевидно, что для всех х из области определения. Следовательно, функция убывает на каждом из промежутков и не имеет максимумов и минимумов.

Для более точного построения вычислим значение функции в нескольких точках:

График функции имеет вертикальные асимптоты и (Убедитесь самостоятельно.)

График функции изображён на рисунке 84.

Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Скалярное произведение и его свойства
Векторное и смешанное произведения векторов
Преобразования декартовой системы координат
Определитель матрицы
Критерий совместности Кронекера-Капелли
Формулы Крамера
Матричный метод

Источник

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Экстремумы функции

Для того чтобы ввести понятие наибольшего и наименьшего значения функций, вначале познакомимся с таким понятием, как экстремумы функций. Это понятие нам будет необходимо не для самого определения значений таких функций, а для построения схемы нахождения таких промежутков для конкретно заданных функций.

Определение 1

Точка $x’$ входящая в область определения функции называется точкой экстремума, если она либо будет точкой максимума, либо будет точкой минимума для функции $f(x)$.

Определение 2

Точка $x’$ будет называться точкой максимума для введенной функции $f(x)$, если у она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)le f(x'{rm })$.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение 3

Точка $x_0$ будет называться точкой минимума для введенной функции $f(x)$, если она имеет такую окрестность, что для всех точек $x$, которые входят в эту окрестность, будет верно $f(x)ge f(x'{rm })$.

Чтобы полностью разобраться в данном понятии, далее введем понятие критической точки функции.

Определение 4

Точка $x’$ будет называться критической точкой для данной функции $f(x)$, если выполняются два следующих условия:

Точка $x’$ является внутренней точкой для области определения данной функции;
$f’left(x'{rm }right)=0$ или не существует.

Сформулируем без доказательства теоремы о необходимом (теорема 1) и достаточном (теорема 2) условии для существования точки экстремума.

Если $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_0$, то либо её производная в ней равняется нулю, либо производная в ней не существует.

«Точки экстремума, наибольшее и наименьшее значение на промежутке» 👇

Теорема 2

Пусть точка $x’$ будет критической для $y=f(x)$ и принадлежит интервалу $(a,b)$, причем на каждом интервале $left(a,x'{rm }right) и (x'{rm },b)$ производная $f'(x)$ существует и сохраняет один и тот же знак. В этом случае:

Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright) >0$, а в $(x'{rm },b)$ $f’left(xright)
Если в $(a,x'{rm })$ $f’left(xright)0$, то $x’$ —будет точкой минимума для этой функции.
Если и в $(a,x'{rm })$, и в $(x'{rm },b)$ производная $имеет один и тот же постоянный знак$, то $x’$ не будет точкой экстремума для этой функции.

На рисунке 1 мы можем наглядно увидеть смысл теоремы 2.

Рисунок 1.

Примеры точек экстремумов вы можете видеть на рисунке 2.

Рисунок 2.

Правило исследования на экстремум

Найти $D(f)$;
Найти $f'(x)$;
Найти точки, где $f’left(xright)=0$;
Найти точки, где $f'(x)$ не будет существовать;
Отметить на координатной прямой $D(f)$ и все найденные в 3 и 4 пункте точки;
Определить знак $f'(x)$ на полученных промежутках;
Используя теорему 2, сделать заключение по поводу всех найденных точек.

Понятие наибольшего и наименьшего значений

Определение 5

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наибольшее значение в точке $x’in X$, если выполняется

[fleft(xright)le f(x’)]

Определение 6

Функция $y=f(x)$, которая имеет областью определения множество $X$, имеет наименьшее значение в точке $x’in X$, если выполняется

[fleft(xright)ge f(x’)]

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значение заданной функции на каком либо отрезке необходимо произвести следующие действия:

Найти $f'(x)$;
Найти точки, в которых $f’left(xright)=0$;
Найти точки, в которых $f'(x)$ не будет существовать;
Выкинуть из точек, найденных в пунктах 2 и 3 те, которые не лежат в отрезке $[a,b]$;
Вычислить значения в оставшихся точках и на концах $[a,b]$;
Выбрать из этих значений наибольшее и наименьшее.

Примеры задач

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения на [0,6]: $fleft(xright)=x^3-3x^2-45x+225$

Решение.

$f’left(xright)=3x^2-6x-45$;
$f’left(xright)=0$;
[3x^2-6x-45=0]
[x^2-2x-15=0]
[x=5, x=-3]
$f'(x)$ существует на всей $D(f)$;
$5in left[0,6right]$;
Значения:

[fleft(0right)=225] [fleft(5right)=50] [fleft(6right)=63]
Наибольшее значение равняется $225$, наименьшее равняется $50.$

Ответ: $max=225, min=50$.

Пример 2

Найти наибольшее и наименьшее значения на [-1,1]:$fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}$

Решение.

[fleft(xright)=frac{x^2-4x+4}{x-2}=frac{{(x-2)}^2}{x-2}=x-2, xne 2]

$f’left(xright)=(x-2)’=1$;

Точек экстремума нет.
Значения:

[fleft(-1right)=-3] [fleft(1right)=-1]

Ответ: $max=-1, min=-3$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке. Задание 12.

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим производную функции

3. Приравниваем производную к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак, и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции $f^{prime}(x)>0$ , то функция y=f(x) возрастает на этом промежутке.

Если на промежутке I производная функции $f^{prime}(x)<0$ , то функция y=f(x) убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-«.

В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».

6. Находим значение функции в концах отрезка,

затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
или сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию . График этой функции выглядит так:

В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: f(0) , а наименьшее — в левом: f(-1) .

2. Рассмотрим функцию на отрезке

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума f(0) , а наименьшее — в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения f(-1) и f(1) и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке , то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть f(0) и f(2) .

Чтобы найти наименьшее значение функции, нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, то есть f(4/3) и f(-1) .

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции — множество действительных чисел.

2. $f^{prime}(x)=3x^2-4x$

3. , если x_1=0 или x_2=4/3

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание — убывание, можно схематично изобразить ее график:

Рассмотрим несколько примеров решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике

1. Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке .

1. Функция определена при всех действительных значениях х

2. $y^{prime}= 15-3cosx$

cosx=5 Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

y(0)=5

Ответ: 5.

2. Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции на отрезке [].

1. ОДЗ функции

2. $y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3$

Производная равна нулю при , однако, в этих точках она не меняет знак:

$0<cos^2{x}<=1$ , следовательно, $3/{cos^2{x}}>=3$ , значит, $3/{cos^2{x}}-3>=0$ , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при x=0 .

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

$y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0$

у(0)=5

Ответ: 5.

3. Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [].

1. ОДЗ функции :

2. $y^{prime}=2/{cos^2{x}}-4$

3. $2/{cos^2{x}}-4=0$

$cos^2{x}=1/2$ ,

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку принадлежат два числа: -{pi}/4 и {pi}/4

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: $y^{prime}(0)=2/{cos^2(0)}-4=-2<0$ . При переходе через точки -{pi}/4 и {pi}/4 производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции на координатной прямой:

Очевидно, что точка является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с «-» на «+»), и чтобы найти наименьшее значение функции на отрезке , нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, .

Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции

Ответ: -1

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачать

Firefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Источник

Задание 11 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции $displaystyle y=-{{x^2+289}over{x}}.$

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю. Получим:

$x^2=289Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=17, hfill \ x=-17. end{array} right.$

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции

Найдем производную функции.

Приравняем производную к нулю.

$4x-5+{{1}over{x}}=0Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0Leftrightarrow left[ begin{array}{c} x=1, \ x={{1}over{4}}. end{array} right.$

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}.$

Перед нами сложная функция $y=2^{5-8x-x^2}.$ Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции $y=2^{5-8x-x^2}$ будет при том же x_0 , что и точка максимума функции А ее найти легко.

$t^{$

$t^{$ при x=-4 . В точке x = -4 производная ${{ t}}^{{$ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции .

Заметим, что точку максимума функции можно найти и без производной.

Графиком функции является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение достигается в вершине параболы, то есть при $x=-frac{8}{2}=-4.$

Ответ: — 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}.$

Напомним, что абсцисса — это координата по

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция монотонно возрастает, точка максимума функции $y=sqrt{4-4x-x^2}$ является и точкой максимума функции

Это вершина квадратичной параболы $tleft(xright)=4-4x-x^2;x_0=frac{-4}{2}=-2.$

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

${3x}^2+4x-4=0;$

$D=64;x=frac{-4pm 8}{6};x_1=frac{2}{3},x_2=-2.$

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с «+» на «-«. Значит, x = — 2 — точка максимума функции y(x) . Поскольку при функция y(x) убывает, $y_{max}left(xright)=yleft(-2right)=12.$ В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12.

6. Найдите наименьшее значение функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ на отрезке

Найдем производную функции $y={4x}^2-10x+2lnx-5$ и приравняем ее к нулю.

при $x_1=1,x_2=frac{1}{4}.$

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции . Точка $x_2=frac{1}{4}$ не лежит на отрезке Поэтому

и Значит, наименьшее значение функции на отрезке достигается при x=1. Найдем это значение.

$y_{min}left(xright)=yleft(1right)=4-10-5=-11.$

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

Мы применили формулу для логарифма произведения. при $x=frac{1}{9}.$

Если то Если , то

Значит, $x=frac{1}{9}$ — точка минимума функции y(x) . В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке $left[frac{1}{18};frac{5}{18}right].$

$y_{min}left(xright)=yleft(frac{1}{2}right)=1+3=4.$

Ответ: 4.

8. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

Найдем производную функции

Приравняем производную к нулю: $14-frac{7}{{cos}^2x}=0.$

${cos}^2x=frac{1}{2}.$

${cos}^2x=pm frac{1}{sqrt{2}}=pm frac{sqrt{2}}{2}$ . Поскольку $xin left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right], y$ если $x=pm frac{pi }{4}.$

Найдем знаки производной на отрезке $left[-frac{pi }{3};frac{pi }{3}right].$

При $x=frac{pi }{4}$ знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, $x=frac{pi }{4}$ — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при $x=-frac{pi }{3}$ и $x =frac{pi }{4}.$

$yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4;$

Мы нашли, что $y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{4}right)=-7+11=4.$

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при $-frac{pi }{3}$ не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4.

9. Найдите наименьшее значение функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9$ на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

${{(e}^{-x})}^{$

${left(e^{cx}right)}^{$

${(e}^{x+a})$

Найдем производную функции $y=e^{2x}-{8e}^x+9.$

если e^x=4. Тогда x=ln4.

При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x).

Ответ: -7.

10. Найдите наибольшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}.right]$

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

$sinx=frac{sqrt{3}}{2}.$

По условию, $xin left[0;frac{pi }{2}right]$ . На этом отрезке условие $sinx=frac{sqrt{3}}{2}$ выполняется только для $x=frac{pi }{3}.$ Найдем знаки производной слева и справа от точки $x=frac{pi }{3}.$

В точке $x_0=frac{pi }{3}$ производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка $x_0=frac{pi }{3}$ — точка максимума функции y(x) . Других точек экстремума на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right]$ функция не имеет, и наибольшее значение функции на отрезке $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ достигается при ${ x=}frac{pi }{{ 3}}.$

$y_{max}left(xright)=yleft(frac{pi }{3}right)=12.$

Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции на отрезке $left[0;frac{pi }{2}right].$

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю. — нет решений.

Что это значит? Производная функции не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку , получим, что для всех , и функция монотонно возрастает при $xin left[0;frac{pi }{2}right].$

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка $left[{ 0};frac{pi }{{ 2}}right]$ , то есть при x=0.

$y_{min}left(xright)=yleft(0right)=6.$

Ответ: 6

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями.
Информация на странице «Задание 11 Профильного ЕГЭ по математике» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Определение 1. Точканазываетсяточкоймаксимума
(минимума) функции,
если существует окрестность,
такая, чтодля всех.
Точки максимума и минимума функции
называются ееточками экстремума,
а значения функции в этих точках –экстремумами функции.

Заметим, что точкой экстремума функции
может быть только внутренняя точка
промежутка, в котором функция определена,
поскольку указанные в определении
неравенства должны выполняться в
некоторой окрестности точки
.

–точки
максимума,
– точки минимума функции.

О

х

Теорема
1 (необходимое
условие экстремума). Для того чтобы
дифференцируемая функция
имела в точкеэкстремум, необходимо
выполнение условия
.

Доказательство.
Пусть
–
точка экстремума дифференцируемой
функции.
Тогда найдется окрестностьточки,
в которойбудет наибольшим или наименьшим значением
функции.
Поэтому по теореме Ферма.
Теорема доказана.

Определение
2. Точки, в
которых производная равна нулю, называются
стационарными
точками
функции.

Из
доказанной теоремы следует, что точками
экстремума функции могут быть только
стационарные точки и точки, в которых
производная не существует. Такие точки
называют подозрительными на экстремум
или критическими
точками
функции.

Заметим,
что не всякая критическая точка является
точкой экстремума. Например, для функции
критической является стационарная
точка,
так каксуществует для всехх,
.
Но точкане является точкой экстремума этой
функции, так как функция всюду возрастает.

Таким образом, нам
надо найти условия, при которых критическая
точка является точкой экстремума –
достаточные условия экстремума. Есть
два типа таких условий. Одни используют
производную 1-го порядка, другие –
производную 2-го порядка.

Рассмотрим
достаточное условие экстремума,
опирающиеся на 1-ю производную функции.

Предположим,
что функция
непрерывна в окрестностикритической точкии в проколотой окрестностисуществует конечная
производная
,
сохраняющая определенный знак как
слева, так и справа от точки.
Тогда возможны следующие три случая:

1)
приипри,
то естьпри переходе через точкуменяет знак с плюса на минус. В этом
случае, в силу теоремы 3 § 8, функциявозрастает в промежуткеи убывает в промежутке,
поэтому значениеявляется наибольшим в окрестности,
то есть– точка максимума функции.

2)
приипри,
то естьпри переходе через точкуменяет знак с минуса на плюс. Рассуждая
как в 1-ом случае, приходим к выводу, что– точка минимума функции.

3)
При переходе через точку
не меняет знака. Тогда функция либо все
время возрастает, либо все время убывает,
так что в точкеэкстремума нет.

Таким
образом, достаточное условие экстремума
состоит в следующем:

если
производная функции при переходе через
критическую точку
меняет знак, то в этой точке функция
имеет экстремум. При перемене знака с
плюса на минус в точкефункция имеет максимум, с минуса на плюс
– минимум. Если же при переходе через
точкупроизводная знака не меняет, то в этой
точке экстремума нет.

Сформулируем
правило исследования функции на
экстремум. Нужно:

найти область
определения функции;
найти производную;
найти критические
точки функции из области определения,
то есть точки, в которых производная
равна нулю или не существует;
определить знак
производной слева и справа от каждой
из критических точек;
на
основании достаточного условия
экстремума сделать выводы относительно
каждой из критических точек.

Пример
1. Найдем
экстремумы функции
.

Решение.
Область определения
,существует во всех точках области
определения,,,,
– +

т.е.
при переходе через критическую точку
производная меняет знак с минуса на
плюс, поэтому–
точка минимума функции,– минимум функции.

Достаточное условие
экстремума функции, опирающееся на 2-ю
производную, формулируется следующим
образом.

Теорема
2. Пусть
и в точкесуществует 2-я производная. Тогда, если,
то–
точка минимума функции, а если,
то–
точка максимума функции.

Доказательство.
Пусть
.
Так какесть производная функции,
то по теореме 4 § 8 функцияв точкевозрастает, т.е. вблизи точкислева,
а справа,
т.е. при переходе через точкупроизводнаяменяет знак с минуса на плюс. Поэтому
по первому достаточному условию
экстремума функции точка−
точка минимума функции.

Если
,
то функцияв точкеубывает, меняя знак с плюса на минус,
поэтому точка−
точка максимума функции. Теорема
доказана.

Замечание.
Доказанная
теорема позволяет исследовать функции
на экстремум только в стационарных
точках, т.е. в точках, в которых первая
производная равна нулю. Вопрос остается
открытым и в том случае, когда вторая
производная равна нулю. В этом случае
нужно либо изучать поведение высших
производных, либо пользоваться правилом,
опирающимся на первую производную.

Пример
2. Найдем
экстремумы функции
.

Решение.
Область определения функции
,существует всюду в,– точка максимума,;– точки минимума,.

Остановимся
теперь на задаче о нахождении наибольшего
и наименьшего значений функции на
отрезке. Пусть функция
непрерывна на отрезке.
Тогда по 2-ой теореме Вейерштрасса она
принимает наи свое наибольшее, и свое наименьшее
значения. Однако в теореме Вейерштрасса
ничего не говорится о том, как искать
эти значения. Ясно, что эти значения
могут достигаться как во внутренних
точка отрезка, так и на его концах. Если
наименьшее (наибольшее) значение функции
достигается во внутренней точке отрезка,
то эта точка обязательно будет точкой
минимума (максимума) функции. А точки
экстремума функции обязательно находятся
в критических точках. Поэтому достаточно
сравнить значения функции на концах
отрезка и в критических точках, не
исследуя эти точки на экстремум.

Таким образом,
правило нахождения наибольшего и
наименьшего значений функции на отрезке
состоит в следующем. Нужно:

найти производную
данной функции;
найти критические
точки, принадлежащие данному отрезку;
вычислить значения
функции в найденных точках и на концах
отрезка;
из всех найденных
значений функции выбрать наибольшее
и наименьшее.

Пример
3. Найдем
наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке.

Решение.
Имеем
.
Из найденных стационарных точек функции
только.
Других критических точек нет, так как
производная определена всюду. Находим,,.
Видим, что,.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник