Как найти значение функции если оно определено - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Как найти значение функции

Под понятием функции в математике понимают связь между элементами множеств. Если говорить более точно, это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Вам понадобится

Знания в области алгебры и математического анализа.

Инструкция

Значения функции это некая область, значения из которой может принимать функция. Например область значения функции f(x)=|x| от 0 до бесконечности. Чтобы найти значение функции в конкретной точке необходимо подставить вместо аргумента функции его числовой эквивалент, полученное число и будет значением функции. Пусть дана функция f(x)=|x| — 10 + 4x. Найдем значение функции в точке x=-2. Подставим вместо x число -2: f(-2)=|-2| — 10 + 4*(-2) = 2 — 10 — 8 = -16. То есть значение функции в точке -2 равно -16.

Обратите внимание

Прежде чем искать значение функции в точке — убедитесь, что она входит в область определения функции.

Полезный совет

Аналогичным способом можно найти значение функции нескольких аргументов. Отличие в том, что вместо одного числа необходимо будет подставить несколько — по числу аргументов функции.

Источник

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок
«Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция
(возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «y = 2x − 1»

Вычислить «y» при «x = 15»
Найти значение «x», при котором
значение «y» равно «−19».

Для того, чтобы вычислить «y» при
«x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x»
необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, чтобы найти «x»
по известному «y», необходимо подставить вместо
«y» в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска «x»
мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо
«y» число «−19» .

−19 = 2x − 1

Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x»,
которое решается по правилам решения линейных уравнений.

Запомните!

Не забывайте про правило переноса в уравнениях.

При переносе из левой части уравнения в правую (и наоборот) буква или число меняет знак на
противоположный.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.

−2x = 18 | · (−1)
2x = −18

Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .

2x = −18 | (: 2)
x = −9

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

Верно ли равенство
«f(−2) = −18»?

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x»
числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Важно!

Когда подставляете отрицательное число вместо «x», обязательно заключайте его в скобки.

Не забывайте использовать
правило знаков.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили
«f(−2) = 12».

Это означает, что «f(−2) = −18»
для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию «y = x² −5x + 6»

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
(1; 2).

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Запомните!

Чтобы определить, принадлежит ли точка функции,
достаточно подставить её координаты в функцию (координату по оси
«Ox» вместо
«x» и координату по оси «Oy»
вместо «y»).

Если получится верное равенство, значит, точка принадлежит функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x² − 5x + 6»
координаты точки (1; 2).

Вместо «x» подставим «1».
Вместо «y» подставим «2».

2 = 1² − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
(1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1).
Принадлежит ли она
функции «y = x² − 5x + 6»?

Вместо «x» подставим «0».
Вместо «y» подставим «1».

1 = 0² − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)

В этом случае мы не получили верное равенство.
Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции
«y = x² − 5x + 6»

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график
мы уже
строили
в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y»
при x = 2.

Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции.
Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».

Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции
«y(x) = −2x + 1». Если мы правильно
провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

При расчетах мы также получили y = −3.

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

Важно!

Все полученные координаты точки с графика функции обязательно проверяйте
подстановкой значений «x» в функцию.

При подстановке числового значения «x» в функцию в результате должно получиться
то же значение «y», которое вы получили на графике.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

Ваши комментарии

Важно!

Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи

«ВКонтакте».

Оставить комментарий:

11 ноября 2018 в 15:46

Веточка Сакуры
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Веточка Сакуры
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Функция y=f(x) является нечётной и при x ⩽0 задаётся формулой y= — x² — 8x.Найдите значение фун. в т. минимума (y min).

0
Спасибо thanks
Ответить

12 ноября 2018 в 3:25
Ответ для Веточка Сакуры

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

y_min= y(4) = -16.

0
Спасибо thanks
Ответить

17 сентября 2018 в 13:28

Alesger Mammedov
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Alesger Mammedov
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

Добрый день помогите пожалуйста с задачкой
f(x²-3x)=3x²+5x-4
f(3)=?

0
Спасибо thanks
Ответить

17 сентября 2018 в 23:01
Ответ для Alesger Mammedov

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

f(3) = 26 ± 7√21

0
Спасибо thanks
Ответить

13 ноября 2016 в 6:43

Роман Безбородов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

(^-^)
Роман Безбородов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 1

определите вид графика

0
Спасибо thanks
Ответить

14 ноября 2016 в 17:30
Ответ для Роман Безбородов

Евгений Фёдоров
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

(^-^)
Евгений Фёдоров
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 60

y = a^x; a > 1.

0
Спасибо thanks
Ответить

7 сентября 2016 в 22:08

Иван Баранов
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

(^-^)
Иван Баранов
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 3

у=Х²+2Х-3 найдите значение функции, если значение аргумента равно -2
у=3х-5 при каком значении аргумента значение функции раво 10

0
Спасибо thanks
Ответить

8 сентября 2016 в 15:26
Ответ для Иван Баранов

Юлия Анарметова
(^-^)
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 11

(^-^)
Юлия Анарметова
Профиль
Благодарили: 0

Сообщений: 11

аргумент это х значит у=(-2)²+2 · (-2)-3=4-4-3=-3
у=3х-5 значит 10=3х-5
10+5=3х
15=3х
х=15:3=5

0
Спасибо thanks
Ответить

Источник

1. Понятие функции

Функция y=f(x) – соответствие, при котором каждому числу x из множества D сопоставляется единственное число y из множества E.

x– аргумент функции, y – значение функции; D или D(f) – область определения функции; это совокупность всех значений x, для которых можно вычислить значение функции. E или E(f) – область значений функции; это совокупность всех значений, которые может принимать выражение f(x).

График функции y=f(x) – множество точек (x,y) на координатной плоскости, где x принимает все возможные значения из D(f), а y=f(x).

Четная функция: f(-x)=f(x) для всех ;

Нечетная функция: f(-x)=-f(x) для всех ;

График четной функции симметричен относительно оси OY. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Периодическая функция с периодом T>0: f(x+T)=f(x) для всех .

Нули функции – значения x такие, что f(x)=0. Интервалы знакопостоянства – множества значений аргумента, при которых значения функции только положительны или только отрицательны.

На рисунке изображена функция с областью определения [a, e]. Нули функции: x=b, x=c, x=d; интервалы знакопостоянства: y>0 при ; y<0 при .

Функция возрастает на множестве X, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть для любых , если x₁<x₂, то f(x₁)<f(x₂). Функция убывает на множестве X, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Т.е. для любых , если x₁<x₂, то f(x₁)>f(x₂).

2. Основные элементарные функции

а) степенная функция .

б) показательная функция .

в) логарифмическая функция .

г) тригонометрические функции

y=sinx, y=cosx

y=tgx

y=ctgx

д) обратные тригонометрические функции

y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x

3. Некоторые алгебраические функции

а) линейная .

График функции – прямая линия, проходящая через точки (0, b) и .

Функция возрастает при a>0, убывает при a<0.

Частные случаи: y=b – прямая, параллельная оси OX;

y=ax – прямая, проходящая через начало координат.

б) квадратичная .

График функции – парабола. Ветви параболы направлены вверх при a>0, вниз при a<0. Вершина параболы:

Точки пересечения с осями координат:

с осью OX – (x₁, 0) и (x₂, 0),

где , D=b²-4ac – корни квадратного трехчлена;

с осью OY – (0, c).

Пример 1. График какой функции является возрастающим:

а) ; б) у = х³ – 27; в) y=2^-x?

Решение:

Рассмотрим каждую из функций в отдельности:

а) – степенная функция. Область определения этой функции: . На всей области определения функция монотонна.

Возьмём два значения х₁ = 1 и х₂ = 4. Им соответствует у₁ = – 1, у₂ = – 2. Видим, что если х₁ < x₂ , то у₁ > у₂. Функция убывающая.

б) у = х³ – 27 – алгебраическая функция. Область определения – множество всех действительных чисел. На всей области определения функция монотонна. Возьмём два значения х₁ = 3, х₂ = 4. Им соответствует у₁ = 0, у₂ = 37.

Видим, что если х₁ < x₂ , то и у₁ < у₂. Функция возрастающая.

в) y=2^-x – показательная функция. Областью определения является множество всех действительных чисел. На всей области определения функция монотонна. Пусть х₁ = 0, х₂ = 1. Им соответствуют у₁ = 1, у₂ = 0,5.

Видим, что если х₁ < x₂ , то у₁ > у₂. Функция убывающая.

Ответ: б) у = х³ – 27.

Пример 2. Парабола у = 2х² – (а – 3)х + а + 3 проходит через начало координат. Найдите абсциссу вершины параболы.

Решение:

Найдём значение параметра а. Т.к. парабола проходит через начало системы координат, то координаты точки (0; 0) являются корнями уравнения параболы: 0 = 2 ∙ 0² – (а – 3) ∙ 0 + а + 3; а = – 3.

Уравнение параболы примет вид: у = 2х² + 6х.

Абсцисса вершины параболы находится по формуле: . Получаем .

Ответ: – 1, 5.

Пример 3. В каких точках график функции f(x) = x² – 3 пересекает прямую у(х) = х – 1?

Решение:

Ответом на данный вопрос является решение системы

х² – 3 = х – 1; х² – х – 2 = 0; х₁= – 1, или х₂ = 2.

Соответственно, у₁ = – 2, у₂ = 1.

Ответ: (– 1; – 2), (2; 1).

Пример 4. При каких значениях k прямые – kх + 7у = – 13 и 14у – 3х + 5 = 0 параллельны?

Решение:

Две различные прямые у = k₁х + b₁ и у = k₂х + b₂ параллельны, если k₁ = k₂, но при этом b₁ ≠ b₂.

В обоих уравнениях выразим у через х.

. Следовательно, . При этом .

Ответ: при k = – 1,5.

Пример 5. Найти точки пересечения прямой у = 5 + х с осями координат.

Решение:

Когда график функции пресекает ось ОХ, значение у = 0.

Получаем уравнение 5 + х = 0, х = – 5.

Когда график функции пересекает ось OY, значение х = 0, т.е. у = 5.

Ответ: (– 5; 0), (0; 5).

Пример 6. Найти нули функции у = (х + 1)∙(х – 2).

Решение:

Решаем уравнение (х + 1)∙(х – 2) = 0.

х + 1 = 0 или х – 2 = 0; х₁ = – 1, х₂ = 2.

Ответ: (– 1; 0), (2; 0).

Пример 7. Найти область значений функции .

Решение:

Оцениваем последовательно:

Ответ: .

Пример 8. Найдите сумму целых значений функции у = 3 – 2 sin x.

Решение:

Оценим значение 3 – 2 sin x.

Сумма целых чисел: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

Ответ: 15.

Пример 9. Найти область определения функции .

Решение:

Функция задана аналитически, следовательно, область определения совпадает с областью допустимых значений выражения .

х² + х ≠ 0, т.к. на нуль делить нельзя.

х (х + 1) ≠ 0; х ≠ 0 или х ≠ – 1.

Ответ: .

Пример 10. Найдите область определения функции .

Решение:

Допустимые значения выражения :

Ответ: .

Пример 11. Найдите область определения функции .

Решение:

Допустимые значения выражения: .

Ответ: (– 1; + ∞).

Пример 12. Графиком квадратичной функции является парабола с вершиной в точке А(0; 2), проходящая через точку В(2; – 6). Задайте эту функцию формулой.

Решение:

Уравнение квадратичной функции у = ах² + bх + с.

1) точка А является вершиной параболы, следовательно .

Уравнение примет вид: у = ах² + с.

2) точка А принадлежит графику, следовательно её координаты удовлетворяют уравнению, т.е. 2 = а ∙ 0 + с; с = 2.

Уравнение примет вид: у = ах² + 2.

3) график проходит через точку В. Её координаты также удовлетворяют уравнению: – 6 = а ∙ 2² + 2, – 8 = 4 ∙ а, а = – 2.

Получили уравнение у = – 2х² + 2.

Ответ: у = – 2х² + 2.

Пример 13. Найдите g (x) , если f (x) = 2x – 3, g (f (x)) = x. Вычислите g (1).

Решение:

Так как нужно вычислить g (1), то это значит, что нужно найти x такое, что f (x) = 1.

2x – 3 = 1, х = 2.

Следовательно, g (f (x)) = 2, т.е. g (1) = 2.

Ответ: g (1) = 2.

Пример 14. Написать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения кривых y=5^2x, y=5^3x-1 и через точку параболы y=(2x-1)², в которой производная функции, задающей параболу, равна 8.

Решение:

1) найдём точку пересечения кривых:

2) найдём точку параболы, в которой производная равна 8:

3) прямая проходит через две точки (1; 25) и (1,5; 4). Согласно уравнению прямой, проходящей через две точки, имеем:

– 21х + 21 = 0,5у – 12,5; – 42х + 42 = у – 25; у = – 42х + 47.

Ответ: у = – 42х + 47.

Задания для самостоятельного решения

Базовый уровень

1) Вычислите значение функции в точке х₀ = 1.

2) Найдите значение функции при х = 4.

3) Для функции вычислите f(-1)-f(1).

4) Найдите g(f(x)), если Вычислите g(f(2)).

Найдите области определения функций:

5) .

6) .

7) .

9) .

10) .

11) .

12)

13) .

14) y=log₅(x+3).

15) y=log₅(x²-4).

16) .

При каких значениях х функции не определены?

17) .

18) .

19) .

20) .

21) y=ctgx+tgx.

22) .

23) .

Укажите длину интервала области определения для функций:

24) .

25) y=log₄(5x+6-x²)

26) y=log₆(x²+3).

Укажите области значения функций:

27) y=-3sinx.

28) y=0,7cos3x.

29) .

Решите задачи:

30) Сколько натуральных значений может принять функция y=log₂(4-x²) на всей области определения?

31) Найдите сумму целых значений функции y=3cosx-5.

32) Укажите функцию, областью значений которой является множество .

33) Укажите график функции, возрастающей на отрезке [-3; 2].

34) Укажите функцию, которая возрастает на всей области определения.

1) y=-x^0,5; 2) y=1-e^-x; 3) y=ctg2x; 4) y=|-x|.

35) Найдите нули функции .

36) Найдите нули функции

37) Найдите наименьшее значение функции f(x)=3^2x-1 на промежутке [-3; 1].

38) Вычислите координаты точек пересечения графика функции у = – 2х² + 4х + 6 с осью OY.

39) Вычислите ординату точки пересечения прямой у = 5 – 2х с осью ОY.

40) Укажите точки пересечения графиков функций у = 2х + 4 и у = – 2х.

41) В каких точках график функции f (x) = 3x² + 6x пересекает прямую у = 6 – х?

42) Укажите промежутки возрастания функции y=sin3x на интервале .

43) Укажите промежутки убывания функции y=-2cosx на интервале .

Повышенный уровень

44) При каких значениях а графики функций у = 3х – 4х³ и у = а имеют единственную общую точку?

45) Найдите длину промежутка области значений функции .

46) Найдите середину промежутка области значений функции y=cosx+|cosx|.

47) Найдите наибольшее целое значение выражения 2t, где t – число, принадлежащее области значений функции y=cos2x•tg2x.

48) Найдите наименьшее значение функции .

49) Укажите наименьшее значение функции y=log₂(x²-4x+12).

50) Укажите наибольшее значение функции .

51) Вычислите значение функции y=4•sin7x при , если при функция принимает значение – 2.

52) Вычислите значение функции y=|tg2x| при , если значение данной функции при равно 1.

53) Найдите значение 2sint, где t – сумма точек максимума функции на промежутке .

54) Укажите наибольшее значение функции y=cos(tgx) на промежутке .

Источник

На чтение 4 мин Просмотров 5.4к.

Как найти значение аргумента по значению функции? Это можно сделать с помощью формулы функции.

Если формула задана формулой вида y=f(x), чтобы найти значение аргумента по значению функции, надо в формулу вместо y подставить заданное значение функции и решить получившееся уравнение относительно икса.

1) Линейная функция задана формулой y=5x-8. Найти значение аргумента, при котором значение функции равно 7; -38;0.

Поменяем местами левую и правую часть, чтобы запись выглядела в привычном виде (знаки при этом менять не надо):

Это — линейное уравнение. Неизвестное — в одну сторону, известные — в другую (при переносе слагаемых из одной части в другую знаки меняются на противоположные):

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

2) При каком значении аргумента значение функции

Решаем квадратное уравнение.

При y=0 x=3 и x=0,5.

Это — неполное квадратное уравнение. Общий множитель x выносим за скобки

При y=3 x=0 и x=3,5.

Значение аргумента по заданному значению функции можно также найти с помощью графика. О том, как это сделать, мы будем говорить в следующий раз.

В прошлый раз мы находили значение функции по значению аргумента с помощью формулы.

Рассмотрим, как по данному графику функции найти y по x.

1) Пользуясь графиком линейной функции, изображенной на рисунке 1, найдите значение функции,если значение аргумента равно 1; 3; -3, -1; 0.

Аргумент — это x, функция — y.

Найти значение функции по значению аргумента — значит, по данному значению x найти, чему равен y.

Начнём с x=1. На оси абсцисс Ox находим x=1. Чтобы найти соответствующее значение y, надо из точки на Ox идти либо вверх, либо вниз, чтобы попасть на график.

От x=1 идём вверх. От полученной точки на графике надо двигаться либо влево, либо вправо, чтобы попасть на ось Oy. В данном случае идем влево и попадаем с ординатой y=2 (стрелочки помогают увидеть направление движения).

Следовательно, при x=1 y=2.

Аналогично, если x=3, идем вверх до пересечения с графиком, затем влево до пересечения с осью ординат Oy.

Получаем, что при x=3 y=4.

Если x=-3, чтобы попасть на график функции, нужно идти вниз, затем — вправо, до пересечения с осью Oy.

При x=-1 ни вверх, ни вниз двигаться не надо — эта точка уже на графике функции. Следовательно, y=0.

Записываем: при x=-1 y=0.

При x=0 идем до графика вверх и попадаем в точку с ординатой y=2.

2) На рисунке 2 изображен график функции y=f(x).

Пользуясь графиком, найдите значение функции, если значение аргумента равно 1; 3; 5; 7; -1; -5.

Чтобы по графику функции найти y по x, сначала надо от точки с данной абсциссой попасть на график, двигаясь вверх либо вниз, а затем от точки на графике идти к оси Oy, двигаясь влево или вправо.

При x=1 идем до графика функции вверх, затем влево — на ось Oy. Попадаем в точку с ординатой y=2.

Пишем: при x=1 y=2.

При x равном -1 и -5 идем сначала вверх, затем — вправо.

При иксах равных 3; 5 и 7 идём вниз и влево.

Обратите внимание: различным значениям икса может соответствовать одно значение y:

Дана следующая функция y=f(x) :
y = 2x – 10, если x > 0
y = 0, если x = 0
y = 2 * |x| – 1, если x

Требуется найти значение функции по переданному x .

Получить с клавиатуры значение x .
Если x больше 0, то вычислить выражение 2*x-10 , результат присвоить переменной y .

Иначе если x равен 0, то присвоить y значение 0.

Иначе присвоить y результат выражения 2*|x|-1 .

Вывести значение y на экран.

var x , y : integer ;
begin
readln ( x ) ;
if x > 0 then y : = 2 * x – 10
else
if x = 0 then y : = 0
else y : = 2 * abs ( x ) – 1 ;

writeln ( y ) ;
end .

main ( ) <
int x , y ;
scanf ( «%d» , & x ) ;
if ( x > 0 ) y = 2 * x – 10 ;
else
if ( x == 0 ) y = 0 ;
else
y = 2 * abs ( x ) – 1 ;

printf ( «%d
» , y ) ;
>

x = input ( )
x = int ( x )

if x > 0 :
y = 2 *x – 10
elif x == 0 :
y = 0
else :
y = 2 * abs ( x ) – 1

В КуМир функция взятия модуля от числа возвращает вещественное значение. Поэтому используется функция int(), чтобы привести к целому, иначе присвоение невозможно.

Источник

Функция. Вычисление значений функции по формуле

План урока

Зависимость между величинами, независимая и зависимая переменные;
Функциональная зависимость или функция;
Область определения функции;
Вычисление значений функции по формуле.

Цели урока

Знать, что такое функция, зависимая и независимая переменные;
Знать, как найти значение функции по графику;
Знать, что такое область определения функции;
Уметь находить значение функции по формуле.

Разминка

От чего зависит время, за которое автомобиль доберется из пункта А в пункт В?
От чего зависит время, за которое закипит вода в чайнике?
Что общего между этими зависимостями?

Что такое функция

Как часто в своей жизни вы встречали слово «функция»? Скорее всего, хотя бы раз вы его слышали. В математике тоже есть своя функция, которая отражает зависимость, связь нескольких величин. Например, расстояние зависит от скорости движения и времени, площадь круга зависит от его радиуса, масса воды в бассейне зависит от его объема.

В данной статье будет рассматриваться зависимость между двумя величинами.

К примеру, давайте вспомним, как находится объем куба V. Он зависит от длины его ребра a.

Для каждого значения переменной a можно найти соответствующее ему значение V. Давайте попробуем:

если a=2, то V=a3=23=8;

если a=3, то V=a3=33=27;

если a=0,1, то V=a3=0,13=0,001.

Зависимость переменной V от значения переменной a можно записать формулой:

V=a3

Переменную a, значения которой выбираются произвольно, называют
независимой
переменной, а переменную V, значения которой определяются в зависимости от выбранного значения переменной a, называют
зависимой
переменной.

Одна сторона прямоугольника равна 5 см, другая x см. Выразите зависимость площади прямоугольника от его стороны. Найдите значение площади прямоугольника при x=3; 2,4; 5 см.

Решение

Площадь прямоугольника находится как произведение его длины a на ширину b. Запишем это формулой:

S=ab.

Одна из сторон равна 5 см, другая x см. Подставим их в формулу:

S=5x.

Найдем значение площади прямоугольника при различных значениях переменной x.

При x=3 см, S=5·x=5·3=15 см2

При x=2,4 см, S=5·x=5·2,4=12 см2

При x=5 см, S=5·x=5·5=25 см2

Ответ: S=5x; 15 см2, 12 см2, 25 см2.

На рисунке 1 представлен график зависимости температуры y (в градусах Цельсия) от времени x (в часах). Определите, чему равна температура при x=2,5 ч, x=12,5 ч.

Решение

Рис. 1. График зависимости температуры y от времени x

С помощью графика для каждого момента времени x (в часах) можно найти соответствующую температуру y (в градусах Цельсия).

При x=2,5 ч, температура y=-4℃.

При x=12,5 ч, температура y=2℃.

В данном примере x – независимая переменная, а y – зависимая переменная.

Ответ: -4℃; 2℃.

Функциональной зависимостью
или
функцией
называют зависимость одной переменной от другой. Такую, что каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.

При этом, независимую переменную называют
аргументом
, а о зависимой переменной говорят, что она является
функцией
от этого аргумента. Значения зависимой переменной называют
значениями функции
, а все значения, которые принимает независимая переменная, образуют
область определения функции
.

1. Маша спешила к Кате на день рождения со скоростью 7 км/ч. Выразите формулой зависимость расстояния S, пройденного Катей, от времени t в пути.

2. Велосипедист, ехал к месту отдыха со скоростью 12 км/ч. Задайте формулой зависимость расстояния S от времени t. Вычислите, какое расстояние велосипедист проехал за 3,5 ч, за 1,5 ч, за 30 минут.

Вычисление значений функции по формуле

Наиболее распространенный способ задания функции – с помощью формулы, т.к. она позволяет для любого значения аргумента находить соответствующее значение функции путем вычислений.

Найдите все значения функции fx=6x-42 при целых значениях аргумента, если -2≤x<4.

Решение

1. Найдем все целые значения аргумента на указанном промежутке: -2, -1, 0, 1, 2, 3.

2. Найдем значения функции при указанных значениях аргумента:

если x=-2, то fx=6x-42=6·(-2)-42=-12-42=-162=-8;

если x=-1, то fx=6x-42=6·(-1)-42=-6-42=-102=-5;

если x=0, то fx=6x-42=6·0-42=-42=-2;

если x=1, то fx=6x-42=6·1-42=6-42=22=1;

если x=2, то fx=6x-42=6·2-42=12-42=82=4;

если x=3, то fx=6x-42=6·3-42=18-42=142=7.

Ответ: -8, -5, -2, 1, 4, 7.

Результаты вычислений в предыдущем примере удобно записать в виде таблицы значений функции (таблица 1). Поскольку мы вычисляли целочисленные значения функции, то выбирали значения с шагом 1.

Таблица 1. Таблица значений функции fx=6x-42

x	-2	-1	0	1	2	3
f(x)	-8	-5	-2	1	4	7

В рассмотренном примере был указан промежуток, где функция определена (область определения функции), однако, если она не указана, то считают, что область определения состоит из всех значений независимых переменных, при которых формула имеет смысл.

Например, область определения функции y=x2+4 состоит из всех чисел. А вот область определения функции y=5x-7 состоит из всех чисел, кроме числа 7, т.к. при подстановке числа 7 в формулу, задающую функцию, получим в знаменателе нуль, чего быть не должно, т.к. на нуль делить нельзя.

Найдите значение аргумента, при котором значение функции y=3,5x-12 равно 16.

Решение

1. Подставим значение функции в формулу.

y=3,5x-12

16=3,5x-12

2. Найдем значение аргумента, решив получившееся уравнение.

3,5x-12=16

3,5x=16+12

3,5x=28

x=28∶3,5

x=8

Ответ: 8.

1. Функция задана формулой y=16x. В таблице 2 указаны некоторые значения аргумента. Заполните таблицу, вычислив соответствующие значения функции.

Таблица 2. Таблица значений функции y=16x

x	-8	-4	-2	1	4	16
y

2. Катер, двигаясь со скоростью v км/ч в течение 8 часов, прошел путь s км. Задайте формулой зависимость s от v. Пользуясь полученной формулой, найдите: а) s, если v=45 км/ч км/ч; б) v, если s=96 км.

Контрольные вопросы

1. Какая зависимость называется функцией?

2. Как найти значение функции по формуле?

3. Как найти значение аргумента, зная формулу и значение функции?

4. Что такое аргумент и значение функции?

5. Что такое область определения функции?

6. Что такое таблица значений функции и как ее составить?

Ответы

Упражнение 1

1. S=7t.

2. S=12t; 42 км, 18 км, 6 км.

Упражнение 2

x	-8	-4	-2	1	4	16
y	-2	-4	-8	16	4	1

2. S=8v, 360 км, 12 км/ч.

Источник