Как найти значение функции по графику егэ

В 2022 году в вариантах ЕГЭ Профильного уровня появилась задание №10 по теме «Графики функций». Можно считать его подготовительным для освоения задач с параметрами.

Как формулируется задание 10 ЕГЭ по математике? По графику функции, который дается в условии, вам нужно определить неизвестные параметры в ее формуле. Возможно — найти значение функции в некоторой точке или координаты точки пересечения графиков функций.

Чтобы выполнить это задание, надо знать, как выглядят и какими свойствами обладают графики элементарных функций. Надо уметь читать графики, то есть получать из них необходимую информацию. Например, определять формулу функции по ее графику.

Вот необходимая теория для решения задания №10 ЕГЭ.

Что такое функция

Чтение графика функции

Четные и нечетные функции

Периодическая функция

Обратная функция

5 типов элементарных функций и их графики

Преобразование графиков функций

Построение графиков функций

Да, теоретического материала здесь много. Но он необходим — и для решения задания 10 ЕГЭ, и для понимания темы «Задачи с параметрами», а также для дальнейшего изучения математики на первом курсе вуза.

Рекомендации:

Запоминай, как выглядят графики основных элементарных функций. Замечай особенности графиков, чтобы не перепутать параболу с синусоидой : -)

Проверь себя: какие действия нужно сделать с формулой функции, чтобы сдвинуть ее график по горизонтали или по вертикали, растянуть, перевернуть?

Разбирая решения задач, обращай внимание на то, как мы ищем точки пересечения графиков или неизвестные переменные в формуле функции. Такие элементы оформления встречаются также в задачах с параметрами.

Задание 10 в формате ЕГЭ-2021

Линейная функция

Необходимая теория

1. На рисунке изображён график функции . Найдите значение , при котором

Решение:

Найдем, чему равны k и b. График функции проходит через точки (3; 4) и (-1; -3). Подставив по очереди координаты этих точек в уравнение прямой y = kx + b, получим систему:

Вычтем из первого уравнения второе:

Уравнение прямой имеет вид:

Найдем, при каком значение функции равно -13,5.

Ответ: -7.

2. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Запишем формулы функций.

Одна из них проходит через точку (0; 1) и ее угловой коэффициент равен -1. Это линейная функция

Другая проходит через точки (-1; -1) и (-2; 4). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу линейной функции

Вычтем из первого уравнения второе.

тогда

Прямая задается формулой:

Найдем абсциссу точки пересечения прямых. Эта точка лежит на обеих прямых, поэтому:

Ответ: -1,75.

3. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.

Решение:

Прямая, расположенная на рисунке ниже, задается формулой так как ее угловой коэффициент равен 1 и она проходит через точку (-3; -2).

Для прямой, расположенной выше, угловой коэффициент равен

Эта прямая проходит через точку (-2; 4), поэтому: эта прямая задается формулой

Для точки пересечения прямых:

Ответ: -12.

Квадратичная функция. Необходимая теория

4. На рисунке изображен график функции Найдите b.

Решение:

На рисунке — квадратичная парабола полученная из графика функции сдвигом на 1 вправо, то есть

Получим:

Ответ: -2.

5. На рисунке изображен график функции . Найдите с.

Решение:

На рисунке изображена парабола, ветви которой направлены вверх, значит, коэффициент при положительный. График сдвинут относительно графика функции на 1 единицу вправо вдоль оси Ох. Формула функции имеет вид .

Значит, с = 1.

Ответ: 1

6. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции проходит через точки с координатами (1; 1) и (-2; -2). Подставляя координаты этих точек в формулу функции, получим:

отсюда

Формула функции имеет вид:

Ответ: 31.

7. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

Найдем a, b и c в формуле функции . График этой функции пересекает ось ординат в точке (0; -3), поэтому

График функции проходит через точки (-1; -3) и (2; 3). Подставим по очереди координаты этих точек в формулу функции:

отсюда

Найдем абсциссу точки B. Для точек A и B:

(это абсцисса точки A) или (это абсцисса точки B).

Ответ: 6.

Степенные функции. Необходимая теория

8. На рисунке изображены графики функций и , которые пересекаются в точках А и В. Найдите абсциссу точки В.

Решение:

График функции проходит через точку (2; 1); значит,

График функции проходит через точки (2; 1) и (1; -4), — угловой коэффициент прямой; (находим как тангенс угла наклона прямой и положительному направлению оси X); тогда

Для точек A и B имеем:

Отсюда (абсцисса точки A) или (абсцисса точки B).

Ответ: -0,2.

9. На рисунке изображён график функции . Найдите f (6,76).

Решение:

Функция задана формулой:

Ее график проходит через точку (4; 5); значит,

Тогда

Ответ: 6,5.

10. На рисунке изображен график функции . Найдите .

Решение:

График функции на рисунке симметричен графику функции относительно оси Y. Он проходит через точку (-1; 1). Значит, формула изображенной на рисунке функции: , а = — 1. Тогда = 5.

Ответ: 5.

Показательная функция. Необходимая теория

11. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции проходит через точки (-3; 1) и (1; 4). Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции получим:

Поделим второе уравнение на первое:

Подставим во второе уравнение:

Ответ: 0,25.

12. На рисунке изображен график функции . Найдите

Решение:

График функции проходит через точку Это значит, что

формула функции имеет вид: .

Ответ: 2.

Логарифмическая функция. Необходимая теория

13. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции проходит через точки (-3; 1) и (-1; 2). Подставим по очереди эти точки в формулу функции.

Отсюда:

Вычтем из второго уравнения первое:

или — не подходит, так как (как основание логарифма).

Тогда

Ответ: 4.

14. На рисунке изображен график функции .

Найдите f(0,2).

Решение:

График логарифмической функции на рисунке проходит через точки и . Подставив по очереди координаты этих точек в формулу функции, получим систему уравнений:

Формула функции:

Найдем :

Ответ: -7.

Тригонометрические функции. Необходимая теория

15. На рисунке изображён график функции Найдите

Решение:

График функции сдвинут на 1,5 вверх; Значит, Амплитуда (наибольшее отклонение от среднего значения).

Это график функции Он получен из графика функции растяжением в 2 раза по вертикали и сдвигом вверх на .

Ответ:

16. На рисунке изображён график функции

Найдите .

Решение:

На рисунке — график функции Так как

График функции проходит через точку A  Подставим и координаты точки А в формулу функции.

Так как  получим:

Ответ: 2.

17. На рисунке изображен график периодической функции у = f(x). Найдите значение выражения

Решение:

Функция, график которой изображен на рисунке, не только периодическая, но и нечетная, и если то

Пользуясь периодичностью функции , период которой T = 4, получим:

Ответ: 5.

Друзья, мы надеемся, что на уроках математики в школе вы решаете такие задачи. Для углубленного изучения темы «Функции и графики» (задание 10 ЕГЭ по математике), а также задач с параметрами и других тем ЕГЭ — рекомендуем Онлайн-курс для подготовки к ЕГЭ на 100 баллов.

В ЕГЭ 2022 года добавили новую задачу на графики функций. Для решения этой задачи нужно сначала определить формулу функции, а затем вычислить ответ на вопрос задачи. И если вычисление ответа по известной формуле обычно не составляет труда, то вот определение самой формулы часто ставит школьников в тупик. Поэтому мы разберем три разных подхода к этому вопросу.

Замечание. Про то как определяется формула у прямой и параболы я написала в этой и этой статьях. Поэтому здесь в примерах я буду использовать другие функции – дробные, иррациональные, показательные и логарифмические, но все три описанных здесь способа работают и для линейных, и для квадратичных функций в том числе.

1 способ – находим формулу по точкам

Этот способ подходит вообще для любой девятой задачи, но занимает достаточно много времени и требует хорошего навыка решения систем уравнений.

Давайте разберем алгоритм на примере конкретной 9-ой задачи ЕГЭ:

Алгоритм:

1. Находим 2 точки с целыми координатами. Обычно они выделены жирно, но если это не так, то не проблема найти их самому.
Пример:

2. Подставляем эти координаты в «полуфабрикат» функции. Вместо (f(x))– координату игрек, вместо (x) – икс. Получается система.

3. Решаем эту систему и получаем готовую формулу.

4. Готово, функция найдена, можно переходить ко второму этапу – вычислению (f(-8)). Если вы вдруг не знаете, что это значит – в конце статьи я рассматриваю этот момент более подробно.

Давайте посмотрим метод еще раз на примере с логарифмической функцией.
Пример:

2 способ – преобразование графиков функций

Этот способ сильно быстрее первого, но требует больше знаний. Для использования преобразований функций нужно знать, как выглядят функции без изменения и как преобразования их меняют. Наиболее удобно использовать этот способ для иррациональной функции ((y=sqrt{x}) ) и функции обратной пропорциональности ((y=frac{1}{x})).

Вот как выглядит применение этого способа:

Для использования этого способа надо знать, как выглядят изначальные функции:

И понимать, как меняются функции от преобразований:

Часто даже по «полуфабрикату» функции понятно, какие преобразования сделали с функцией:

Пример:

3 способ – гибридный

Идеально подходит для логарифмических и показательных функций, так как обычно у таких функций неизвестно основание и с помощью преобразований его не найти. С другой стороны, независимо от оснований любая показательная функция должна проходить через точку ((0;1)), а любая логарифмическая — через точку ((1;0)).

По смещению этих точек легко понять, как именно двигали функцию, но только если ее не растягивали, а лишь перемещали вверх-вниз, влево-вправо (как обычно и бывает в задачах на ЕГЭ).

Основание же лучше находить уже следующим действием, используя подстановку координат точки в «полуфабрикат» функции.

Как отвечать на вопросы в задаче, когда уже определили функцию

— Если просят найти (f)(любое число), то нужно это число подставить в готовую функцию вместо икса.
Пример:

— Если просят найти «при каком значении x значение функции равно *любому числу*», то надо решить уравнение, в одной части которого будет функция, а в другой — то самое число. Аналогично надо поступить, если просят «найти корень уравнения (f(x)=) *любое число*».
Пример:

— Если просят найти абсциссу точки пересечения – надо приравнять 2 функции и решить получившееся уравнение. Корень уравнения и будет искомой абсциссой. Аналогично надо делать в задачах, где даны две точки пересечения (A)(*любое число*;*другое число*) и (B(x_0;y_0)) и просят найти (x_0).
Пример:

— Если просят найти ординату точки пересечения – надо приравнять 2 функции, найти иксы и подставить подходящий икс в любую функцию. Точно также решаем если просят найти (y_0) точки пересечения двух функций.
Пример:

— Иногда просят найти просто какой-либо из коэффициентов функции. Тогда надо просто восстановить функцию и записать в ответ то, о чем спросили:
Пример:

Задача на тему “Графики функций” в едином государственном экзамене по математике профильного уровня появилась только в 2022 году, на данный момент это самая молодая и мало изученная задача на экзамене.

В перечне требований к результатам освоения основной образовательной программы среднего общего образования указано, что для успешного выполнения этой задачи экзаменуемый должен уметь:

• определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции; описывать по графику поведение и свойства функции, находить по графику функции наибольшее и наименьшее значения; строить графики изученных функций, описывать с помощью функций различные реальные зависимости между величинами и интерпретировать их графики;
• моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, а именно – решать уравнения, простейшие системы уравнений, используя свойства функций и их графиков; использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;

В перечне элементов содержания, проверяемых на едином государственном экзамене по математике задачей на тему “Графики функций” указаны:

• Линейная функция, её график
• Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график
• Квадратичная функция, её график
• Степенная функция с натуральным показателем, её график
• Тригонометрические функции, их графики
• Показательная функция, её график
• Логарифмическая функция, её график

А также преобразования графиков функций: сдвиг, умножение на число, отражение относительно координатных осей.

Количество заданий по теме графики функций, представленных на сайте fipi.ru [2] в открытом банке задач, на данный момент невелико, поэтому при подготовке к экзамену мы можем дополнительно использовать задачи из сборников, рекомендованных ФИПИ [1], варианты ЕГЭ, тренировочных [3] и диагностических работ этого и прошлого года и собственную фантазию.

Примерное время выполнения задания выпускником, изучавшим математику на профильном уровне, 8 минут.

Перейдём к разбору задач. Первая группа из трёх заданий решается подстановкой координат единственной точки в указанную функцию, получением недостающего параметра и вычислением искомого значения.

Задача 1. На рисунке 1 изображён график функции вида . Найдите значение f(10).

Рис. 1

Рис. 2

Решение: Координаты точки, указанной на рисунке, (2;1), подставляем в равенство, получаем  или k=2, значит, изображённая функция имеет вид   а .

Ответ: 0,2.

Задача 2. На рисунке 2 изображён график функции вида . Найдите значение переменной, при которой f(x)=-4.

Решение: На приведённом рисунке указаны две точки, координаты первой (1;0) не позволяют найти значения параметра a, так как все логарифмические функции данного вида проходят через эту точку. Подставляя в равенство координаты второй точки (2;-1), получаем  или , значит, изображённая функция имеет вид  а f(x)=-4, если  или x=16.

Ответ: 16.

Задача 3. На рисунке 3 изображён график функции вида . Найдите значение f(-3).

Рис. 3

Решение: На приведённом рисунке указаны две точки, координаты первой (0;1) не позволяют найти значения параметра a, так как все показательные функции данного вида проходят через эту точку.

Подставляя в равенство координаты второй точки (-1;2), получаем 2=a^-1 или , значит, изображённая функция имеет вид , а . Ответ: 8.

В следующей группе задач будут рассмотрены линейные функции, напомним основные сведения о них.

Линейную функцию можно задать уравнением с угловым коэффициентом y=kx+b, где коэффициент k отвечает за угол наклона α прямой к оси O_x (рис.4).

В случае когда свободный коэффициент b равен нулю, функция превращается в прямую пропорциональность y=kx, если нулю равен угловой коэффициент k, то графиком функции будет горизонтальная прямая y=b (рис.5).

Рис. 4

Рис. 5

Следует напомнить, что существует ещё один способ задания линейной функции, эффективный на ЕГЭ, – это уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (x₁;y₁) и .

Задача 4. На рисунке 6 изображён график функции вида f(x)=kx+b. Найдите значение f(5).

Рис. 6

Рис. 7

Решение: Способ 1. Определим координаты выделенных точек A(2;1)  и B(0;-2). Самым простым способом решения задачи является подстановка координат выделенных точек в функцию и решение полученной системы уравнений . Следовательно, на рисунке изображён график функции y=1,5x-2, а f(5)=1,5⋅5-2=5,5.

Способ 2. Построив вспомогательный прямоугольный треугольник (рис.7), проходящий через две выделенные точки, получим, что тангенс угла наклона прямой к оси O_x равен , а прямая пересекает ось O_y в точке с ординатой равной b, значит, b=-2, следовательно, на рисунке изображён график функции y=1,5x-2, а f(5)=1,5⋅5-2=5,5.

Способ 3. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точки и подставим в него координаты выделенных точек A(2;1) и B(0;-2), через которые проходит наша прямая. Получим, что . Ответ: 5,5.

Задача 6. На рисунке 8 изображён график функции вида f(x)=kx+b. Найдите сумму коэффициентов k и b.

Рис. 8

Решение: Эту задачу опять можно решить подстановкой двух точек в исходную функцию или с помощью уравнения прямой, проходящей через две точки. При решении с помощью нахождения тангенса угла наклона (рис.9) могут возникнуть трудности, связанные с тем, что ученики неверно находят угол α между прямой и осью O_x, путая его со смежным углом β.

Рис. 9

, .

Коэффициент b можно найти, подставив координату одной из точек, например (-1;4), в уравнение . Получаем или , тогда . Ответ: 0,5.

Задача 7. На рисунке 10 изображены графики двух линейных функций, пересекающиеся в точке A. Найдите абсциссу точки A.

Рис. 10

Решение: Уравнения линейных функций  и , абсцисса точки пересечения x=1,25.

Ответ: 1,25.

Перейдём к задачам на квадратичную функцию.

Задача 8. На рисунке 11 изображён график функции вида . Найдите значение f(-6).

Рис. 11

Решение: у этой задачи опять существует несколько способов решения, ученикам с минимальным уровнем знаний о квадратичной функции проще будет воспользоваться первым способом, а более продвинутым школьникам – последующими.

Способ 1. Найдём координаты выделенных точек (-3;-2), (-2;-1) и (-1;2) и решим систему, подставив их в уравнение функции. , , а .

Способ 2. Для решения задачи можно использовать значение абсциссы вершины параболы  и подставить только две точки в функцию , b=6, c=7. При таком способе решения системы решается несколько быстрее и выглядит менее громоздко.

Способ 3. Этот способ подойдёт для школьников, которые знакомы с элементарными преобразованиями графиков функций, претендует на высокие баллы за экзамен и хочет потратить на решение задачи минимум времени.

Рис. 12

Введём вспомогательную систему координат с центром в вершине параболы (рис.12) и заметим, что в новой системе координаты точек равны (0;0), (1;1) и (2;4), то есть в новой системе координат эта парабола задаётся уравнением y=x².

Из этого мы можем сделать вывод, что график искомой функции получается линейными преобразованиями квадратичной функции y=x², а именно сдвигом на 3 единицы влево и на 2 вниз, то есть искомая функция имеет вид , а f(-6)=7.

Ответ: 7.

Задача 9. На рисунке 13 изображён график функции вида . Найдите значение c.

Рис. 13

Рис. 14

Решение: Этот номер можно решать подстановкой трёх точек в уравнение функции, а можно опять ввести вспомогательную систему координат (рис.14), в которой у параболы будут два пересечения с осью O_x – точки 2 и 3. Следовательно, квадратичная функция в новой системе координат описывается равенством y=a(x-2)(x-3). Подставив точку (4;2) получим, что a=1. А далее, легко видеть, что искомый график получается из графика y=(x-2)(x-3) сдвигом на 4 по вертикали, то есть уравнение имеет вид y=(x-2)(x-3)-4 или y=x²-5x+2, значит, c=2.

Ответ: 2.

Задача 10. На рисунке 15 изображены графики функций видов f(x)=2x²-5x+5 и g(x)=ax²+bx+c, пересекающиеся в точкаx A и B. Найдите ординату точки B.

Рис. 15

Решение: При решении этой задачи учащиеся сталкиваются с двумя проблемами: не все школьники могут сопоставить функции и их графики, и не все школьники понимают где расположена точка B, так как она не указана на рисунке.

Задача о сопоставлении графиков быстро решается нахождением вершины параболы, заданной уравнением f(x)=2x²-5x+5, абсцисса её вершины , значит, график функции y=f(x) расположен справа. Находим коэффициенты a, b и c для функции y=g(x) и получаем, что g(x)=x²+3x-2.

Для того, чтобы найти точки пересечения двух функций, нужно решить систему уравнений . Решениями системы являются две пары чисел (1;2) и (7;68), первая пара является координатами точки A, изображенной на рисунке, значит, второе решение соответствует координатам точки B, ордината которой равна 68.

Ответ 68.

Задача 11. На рисунке 16 изображён график функции вида f(x)=ax²+bx+c. Найдите произведение абсцисс точек, для которых f(x)=-13.

Рис. 16

Решение: Находим коэффициенты a, b и c для функции y=f(x) и получаем, что f(x)=-x²-8x-14.

Для того, чтобы найти абсциссы точек, при которых f(x)=-13, нужно решить уравнение -x²-8x-14=-13⇔x²+8x+1=0. Произведение корней уравнения находится по теореме Виета и равно .

Ответ: 1.

Успешному решению задач на графики дробно-рациональных функций помогает знание того, что график функции  имеет две асимптоты: вертикальную  и горизонтальную , к которой график функции стремится при x→∞. График дробно-рациональной функции вида симметричен относительно точки пересечения асимптот.

Задача 12. На рисунке 17 изображён график функции вида . Найдите значение f(6).

Рис. 17

Рис. 18

Решение: Способ 1. График функции имеет две асимптоты: вертикальную  и горизонтальную , получаем что   и , откуда d=4c и a=2c. Из рисунка видно, что график функции проходит через точку (-2;-1). Подставив всю известную информацию в уравнение функции, получим , следовательно, , а .

Способ 2: Введём новую систему координат, так что оси будут направлены вдоль асимптот исходной функции (рис.18).

В этой системе координат наш график является графиком обратной пропорциональности . В новой системе координат график проходит через точку с координатами (2;-3), значит , получаем .

График искомой функции получается линейными преобразованиями функции , а именно сдвигом на 4 единицы влево и на 2 вверх, то есть искомая функция имеет вид , а .

Ответ: 1,4.

Задача 13. На рисунке 19 изображён график функции вида . Найдите значение a.

Рис. 19

Рис. 20

Решение: Способ 1. Найдём координаты точек, через которые проходит график функции, (0;-2), (π;8) и решим систему, подставив их в уравнение функции , значит, искомая функция имеет вид .

Способ 2. Коэффициент a у искомой функции отвечает за сжатие-растяжение графика функции вдоль оси O_y. Мы видим, что амплитуда у графика, изображённого на рисунке, равна 10 и делаем вывод, что 2|a|=10, то есть a=5 или a=-5, чтобы выбрать нужное значение, заметим, что в точке 0 у изображённой функции достигается минимальной значение, тогда как у обычной функции y=cosx точка 0 является точкой локального максимума, значит, график был не только растянут вдоль оси O_y, но и симметрично отражён относительно оси O_x, а коэффициент a=-5. Последнее преобразование графика – сдвиг на 3 вверх, значит, искомая функция имеет вид . Ответ: -5.

Задача 14. На рисунке 20 изображён график функции вида . Найдите значение.

Решение: График искомой функции – синусоида, растянутая в 1,5 раза и сдвинутая на 0,5 вниз, то есть функция имеет вид , . Ответ: -1,25.

Мы видим, что для успешного решения задач на тему “Графики функций” учащийся должен не только быть знакомым с графиками элементарных функций, а ещё и моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и системы уравнений по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры, быть знакомым с элементарными преобразованиями графиков функций.

Производная положительна только тогда, когда функция возрастает. То есть, нам необходимо найти точки, в которых функция растет. Смотрим на график нашей функции: функция растет на промежутках: от (x=-7) до (x=0) и от (x = 6) до (x=12).

Так как по условию нам нужны только ЦЕЛЫЕ точки, в которых производная положительна, то это будут: (x=—6); (x=-5), (x=-4), (x=-3), (x=-2), (x=-1), (x=7), (x=8), (x=9), (x=10), (x=11). Всего точек получилось (11). Я отметил их зеленым цветом.

Обратите внимание, что точки (x=-7), (x=0), (x=6), (x=12) мы не считаем, так как в этих точках у нас будут минимумы и максимумы функции, а в них производная равна нулю, то есть не положительна.

Ответ: (11.)

Пример 2
На рисунке 6 изображен график функции, определенной на промежутке ((-10;12)). Найдите количество точек, в которых производная функции равна нулю.

Комбинированные задачи

Версия для печати и копирования в MS Word

Гиперболы

Версия для печати и копирования в MS Word

Корни

Версия для печати и копирования в MS Word

Параболы

Версия для печати и копирования в MS Word

Тригонометрические функции

Версия для печати и копирования в MS Word

Линейные функции

Версия для печати и копирования в MS Word

Показательные и логарифмические функции

Версия для печати и копирования в MS Word