Значение производной в точке
0 =
Изучаем производные
Что такое производная?
Геометрический смысл производной
Физический смысл производной
Обобщённая таблица производных
Как найти производную?
Производная сложной функции
Что такое дифференциал функции?
Экстремумы функции
С помощью данного сервиса можно найти наибольшее и наименьшее значение функции одной переменной f(x) с оформлением решения в Word. Если же задана функция f(x,y), следовательно, необходимо найти экстремум функции двух переменных. Также можно найти интервалы возрастания и убывания функции.
- Решение онлайн
- Видеоинструкция
- Оформление Word
- Также решают
Необходимое условие экстремума функции одной переменной
Уравнение f’0(x*) = 0 — это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает.
Достаточное условие экстремума функции одной переменной
Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f»0(x*) > 0
то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.
Если в точке x* выполняется условие:
f’0(x*) = 0
f»0(x*) < 0
то точка x* — локальный (глобальный) максимум.
Пример №1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции:
на отрезке [1; 3].
Решение.
Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)=5/2, f(3)=3 8/81
Ответ: fmin=5/2 при x=2; fmax=9 при x=1
Пример №2. С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x)
.
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x)
. Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=±π/3+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем , значит x=π/3+2πk, k∈Z – точки минимума функции; , значит x=-π/3+2πk, k∈Z – точки максимума функции.
Пример №3. Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0
, то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.
Пример №4. Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x — x2
Наибольший объем цилиндра
Найти размеры цилиндра наибольшего объема, изготовленного из заготовки в форме шара радиуса R.
Решение:
Объем цилиндра равен: V = πr2H
где H = 2h,
Подставим эти значения в целевую функцию.
V → max
Найдем экстремум функции. Поскольку функция объема V(h) зависит только от одной переменной, то найдем производную с помощью сервиса Производная онлайн
и приравняем ее к нулю.
dV/dh = 2πR2 — 6πh2
dV/dh = 0
2πR2 — 6πh2 = 0 или R2 = 3h2
Откуда
При высоте и радиусе основания размеры цилиндра будут наибольшими.
bold{mathrm{Basic}} | bold{alphabetagamma} | bold{mathrm{ABGamma}} | bold{sincos} | bold{gedivrightarrow} | bold{overline{x}spacemathbb{C}forall} | bold{sumspaceintspaceproduct} | bold{begin{pmatrix}square&square\square&squareend{pmatrix}} | bold{H_{2}O} | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Подписаться
Войдите, чтобы сохранять заметки
Войти
Номер Строки
Примеры
-
производное:от:f(x)=3-4x^2,:x=5
-
производное:от:f(x)=4^xln(x),:x=4
-
производное:от:f(x)=4sin(x)+2x^{x},:x=2
-
производное:от:f(x)=ln(x),:x=17
- Показать больше
Описание
Найти производную функции в заданной точке
derivative-point-calculator
ru
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
Advanced Math Solutions – Derivative Calculator, Implicit Differentiation
We’ve covered methods and rules to differentiate functions of the form y=f(x), where y is explicitly defined as…
Read More
Введите Задачу
Сохранить в блокнот!
Войти
Данный онлайн калькулятор вычисляет значения функции одной переменной для заданных значений переменной . Функция задается при помощи формулы, в которой могут участвовать математические операции, константы и математические функции. Синтаксис описания формулы см. ниже.
Вычисление значений функции
Значения переменной x через запятую
Значения переменной x через запятую, для указания десятичной точки используйте точку.
Точность вычисления
Знаков после запятой: 1
Файл очень большой, при загрузке и создании может наблюдаться торможение браузера.
В формуле допускается использование одной переменной (обозначается как x), числа пи ( pi), следующих математических операторов:
+ — сложение
— — вычитание
* — умножение
/ — деление
^ — возведение в степень
и следующих функций:
- sqrt — квадратный корень
- rootp — корень степени p, например root3(x) — кубический корень
- exp — e в указанной степени
- lb — логарифм по основанию 2
- lg — логарифм по основанию 10
- ln — натуральный логарифм (по основанию e)
- logp — логарифм по основанию p, например log7(x) — логарифм по основанию 7
- sin — синус
- cos — косинус
- tg — тангенс
- ctg — котангенс
- sec — секанс
- cosec — косеканс
- arcsin — арксинус
- arccos — арккосинус
- arctg — арктангенс
- arcctg — арккотангенс
- arcsec — арксеканс
- arccosec — арккосеканс
- versin — версинус
- vercos — коверсинус
- haversin — гаверсинус
- exsec — экссеканс
- excsc — экскосеканс
- sh — гиперболический синус
- ch — гиперболический косинус
- th — гиперболический тангенс
- cth — гиперболический котангенс
- sech — гиперболический секанс
- csch — гиперболический косеканс
- abs — абсолютное значение (модуль)
- sgn — сигнум (знак)
Решение
$$0$$
$$frac{d}{d x} 0$$
Подробное решение
-
Производная постоянной равна нулю.
Ответ:
Первая производная
[src]
$$0$$
Вторая производная
[src]
$$0$$
Третья производная
[src]
$$0$$