Как найти значение графика функции 7 класс

Прежде чем перейти к разбору решения задач с функциями обязательно прочитайте урок
«Что такое функция в математике».

После того, как вы действительно поймете, что такое функция
(возможно, придется прочитать урок не один раз) вы с бóльшей уверенностью сможете решать задания с функциями.

В этом уроке мы разберем, как решать основные типы задач на функцию и графики функций.

Как получить значение функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «y = 2x − 1»

1. Вычислить «y» при «x = 15»
2. Найти значение «x», при котором
   значение «y» равно «−19».

---

Для того, чтобы вычислить «y» при
«x = 15» достаточно подставить в функцию вместо «x»
необходимое числовое значение.

Запись решения выглядит следующим образом.

y(15) = 2 · 15 − 1 = 30 − 1 = 29

Для того, чтобы найти «x»
по известному «y», необходимо подставить вместо
«y» в формулу функции числовое значение.

То есть теперь наоборот, для поиска «x»
мы подставляем в функцию «y = 2x − 1» вместо
«y» число «−19» .

−19 = 2x − 1

Мы получили линейное уравнение с неизвестным «x»,
которое решается по правилам решения линейных уравнений.

−19 = 2x − 1
0 = 2x − 1 + 19
−2x = −1 + 19
−2x = 18

Как и при решении линейного уравнения, чтобы найти неизвестное, сейчас
требуется умножить и левую, и правую часть на «−1» для смены знака.

−2x = 18       | · (−1)
2x = −18                

Теперь разделим и левую, и правую часть на «2», чтобы найти «x» .

2x = −18     | (: 2)
x = −9                

Как проверить верно ли равенство для функции

Рассмотрим задание.
Функция задана формулой «f(x) = 2 − 5x».

Верно ли равенство
«f(−2) = −18»?

---

Чтобы проверить верно ли равенство, нужно подставить в функцию «f(x) = 2 − 5x»
числовое значение «x = −2» и сопоставить с тем, что получится при расчетах.

Неправильно

Правильно

С помощью расчетов мы получили
«f(−2) = 12».

Это означает, что «f(−2) = −18»
для функции «f(x) = 2 − 5x» не является верным равенством.

Как проверить, что точка принадлежит графику функции

Рассмотрим функцию «y = x² −5x + 6»

Требуется выяснить, принадлежит ли графику этой функции точка с координатами
(1; 2).

---

Для этой задачи нет необходимости, строить график заданной функции.

Вернемся к нашему заданию. Подставим в функцию «y = x² − 5x + 6»
координаты точки (1; 2).

Вместо «x» подставим «1».
Вместо «y» подставим «2».

2 = 1² − 5 · 1 + 6
2 = 1 − 5 + 6
2 = −4 + 6
2 = 2 (верно)

У нас получилось верное равенство, значит, точка с координатами
(1; 2) принадлежит заданной функции.

Теперь проверим точку с координатами (0; 1).
Принадлежит ли она
функции «y = x² − 5x + 6»?

Вместо «x» подставим «0».
Вместо «y» подставим «1».

1 = 0² − 5 · 0 + 6
1 = 0 − 0 + 6
1 = 6 (неверно)

В этом случае мы не получили верное равенство.
Это означает, что точка с координатами (0; 1) не принадлежит функции
«y = x² − 5x + 6»

Как получить координаты точки функции

С любого графика функции можно снять координаты точки. Затем необходимо убедиться, что при подстановке координат
в формулу функции получается верное равенство.

Рассмотрим функцию «y(x) = −2x + 1». Её график
мы уже
строили
в предыдущем уроке.

Найдем на графике функции «y(x) = −2x + 1», чему равен «y»
при x = 2.

Для этого из значения «2» на оси «Ox» проведем перпендикуляр к графику функции.
Из точки пересечения перпендикуляра и графика функции проведем еще один перпендикуляр к оси «Oy».

Полученное значение «−3» на оси «Oy» и будет искомым значением «y».

Убедимся, что мы правильно сняли координаты точки для x = 2
в функции «y(x) = −2x + 1».

Для этого мы подставим x = 2 в формулу функции
«y(x) = −2x + 1». Если мы правильно
провели перпендикуляр, мы также должны получить в итоге y = −3.

y(2) = −2 · 2 + 1 = −4 + 1 = −3

При расчетах мы также получили y = −3.

Значит, мы правильно получили координаты с графика функции.

При получении координат точек с графика функции высока вероятность, что вы ошибетесь, т.к. проведение перпендикуляра к осям выполняется «на глазок».

Только подстановка значений в формулу функции дает точные результаты.

---

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

---

b) Во втором случае функция та же, только значения (x=-6) и (x=3) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу ((-6;3)). 

Поэтому точки ((-6); (-1)) и ((3); (2)) на рисунке отмечены светлыми кружочками.

По графику линейной функции, можно определить наибольшее и наименьшее значения линейной функции на заданном отрезке.

В случае

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ параллелен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁ = k₂.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k₁x + b₁ перпендикулярен графику функции y = k₂x + b₂, если k₁k₂ = −1 или k₁ = −1/k₂.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Графическое решение уравнений

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом видеоуроке к изучению предлагается тема «Функция y=x 2 . Графическое решение уравнений». В ходе этого занятия учащиеся смогут познакомиться с новым способом решения уравнений – графическим, который основан на знании свойств графиков функций. Учитель покажет, как можно решить графическим способом функцию y=x 2 .

Учим алгебра 7 класс. Как решать уравнения алгебра 7 класс, примеры, дроби, функции, степени, модули

В 7 классе ученикам предстоит научиться решать уравнения, дроби, строить функции, разбираться в модулях. Для этого следует познакомиться с основными понятиями в темах, рассмотреть алгоритм решения и пошагово учиться находить ответы. Главное правило — начать с простых примеров, постепенно переходя на более сложные. Большинство задач можно решать несколькими методами (это касается и примеров), следует выбрать самый простой и удобный для себя.

Как решать уравнения алгебра 7 класс

Начнем с решения линейных уравнений (на рисунке показано, по какому принципу они устроены). Чтобы найти ответ в таких уравнениях, нужно совершать действия: раскрытие скобок, поиск подобных слагаемых, умножение/деление частей на одно и тоже число, перенос слагаемых из одной части уравнения в другую. Всё зависит от конкретного примера.

Рассмотрим несколько примеров пошагового решения линейных уравнений.

Пример 1.
6x + 24 = 0

Поскольку части уравнения (левая и правая) равны, то можно отнять из каждой одинаковое число. Равенство не изменится, а пример станет значительно проще. В представленном уравнении отняли 24 и слева, и справа. В левой части 24 сократилось, а в правой (0 — 24) получилось -24 (не забываем ставить знак минуса).

Получилось: 6x = -24. Теперь можем сократить 6 и -24 на число 6 (или рассуждаем так: чтобы найти множитель, нужно произведение разделить на другой множитель). В ответе будет -4. Не забудьте в самом конце подставить полученное число вместо х. Совпал ответ — значит, все правильно.

Можно рассуждать проще: чтобы упростить уравнение, нужно из левой части отправить в правую число 24, поменяв его знак. Равенство сохранится (на рисунке ниже).

Пример 2.
9 + 16x = 41 + 14x

Это уравнение более сложное. Здесь важно запомнить несколько моментов:

• числа без х переносятся в левую часть, а с х — в правую;
• при переносе знаки меняют.

Пример 3.
7(10 — 4x) + 5x = 12 — 3(5x + 2)

1. Раскрыть скобки, выполнив умножение: 7 умножаем на каждое число в скобках (в правой части -3 на каждое). При выполнении действия не забывайте сохранять знаки.
2. Записываем уравнение, получившееся после раскрытия скобок. Ещё раз сверяем знаки.
3. Числа с х отправляются в левую часть, без х — в правую. Знаки чисел, которые переходят в другую часть, меняем.
4. Подсчитываем результат с обеих сторон.
5. Делим -64 на -8 и получаем ответ. Не забываем, что минус на минус при делении и умножении дают плюс.

В рассмотренных уравнениях корень точно определён. Так получается не всегда.

Пример 4.

Обратите внимание, в ответе получилось 0x = 0. Это значит, что x может быть любым числом, потому что при умножение хоть какого числа на 0 получится 0.

В этом примере корней нет, так как любое число, которое умножают на 0, будет равно 0 (21 никак не получится).

Как решать систему уравнений алгебра 7 класс

Системой называют несколько уравнений, в которых нужно найти такие значения неизвестных, чтобы равенство сохранилось. Разберемся на примерах, как выглядят системы и какие методы их решения существуют.

метод подстановки

Из самого названия следует, что алгоритм требует что-то подставлять. Ниже представлена система, где нужно найти значения x и y.

Суть метода подстановки: переменную в одном из уравнений выражают через другую переменную. Затем подставляют полученное выражение в другое уравнение.

Смотрим на систему. Видим, что удобнее будет выразить x во втором уравнении (так как он один). Выражаем путем переноса за знак «равно» 12y. Получилось: x = 11 — 12y (не забываем менять знак при переносе числа).

В первое уравнение вместо «x» записываем получившееся выражение. Меняем только x, остальное сохраняется в прежнем виде.

Далее преобразуем уравнение, в которое поместили выражение. Раскрываем скобки (перемножаем 5 на каждое значение). y оставляем в левой части, числа переносим в правую, знаки меняем. Таким образом нашли значение y (y = 1).

Теперь подставляем полученную единицу во второе уравнение (x = 11 — 12y).

Убедиться в правильном решение можно так: подставьте полученные значения в систему. Если равенства сохранятся, значит, решено верно.

метод сложения

Чтобы решить систему методом сложения, нужно из двух уравнений сделать одно. Просто складываем первое и второе. Здесь «y» просто сократились, и получилось простое уравнение. Как только нашли значение «х», нужно подставить его в любой пример (здесь поставили во второе уравнение). В ответе пишется так: (4; 3) — первым всегда пишется х, затем у.

графический метод

У нас есть система, где y = 5x и y = -2x + 7. Рассмотрим алгоритм решения системы уравнений:

1. Подбираем 2 числа для х. Мы взяли 0 и 1, подставляем в первое уравнение: y = 5 * 0 = 0; у = 5 * 1 = 5. Значит первая прямая имеет координаты: (0; 0) и (1; 5).
2. Для второго уравнения подбираем значения х. Взяли 3 и 2, подставляем и находим у: -2 * 3 + 7 = 1; -2 * 2 + 7 = 3. Значит прямая имеет координаты (3; 1) и (2; 3).
3. Отмечаем на графике соответствующие прямые, подписываем их название.
4. на месте пересечения получившихся прямых ставим точку — это будет решение.
5. Точка имеет координаты (1; 5).

На заметку! Старайтесь подбирать такие значения х, чтобы у был небольшим. Так отмечать будет проще.

Выбирайте самый удобный способ решения. Третий метод — графический, считают самым неточным.

Как решать дроби 7 класс

Дроби можно разделить на 2 основных вида:

Они различаются в способе написания (смотрите рисунок ниже). В свою очередь и те, и другие делятся еще на несколько видов.

Для начала рассмотрим решение примеров с десятичными дробями.

Особое внимание при решении стоит уделить запятым. При сложении и вычитании запятые стоят строго друг под другом, при умножении это не имеет значения.

Примеры решения обыкновенных дробей.

• при сложении и вычитании нужно привести дроби к общему знаменателю, найти дополнительные множители. Так, для чисел 6 и 4 общим знаменателем стало число 24. Дополнительные множители считали так: 24 : 6 = 4 (для первой дроби) и 24 : 4 = 6 (для второй). Потом умножили доп. множители на числители и полученные числа сложили. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделяем целую часть, при необходимости сокращаем дроби.
• при умножении пишем дроби под одной чертой, сокращаем.
• при делении нужно вторую дробь перевернуть, поставить знак умножения и сократить дроби.

Если пример состоит из простой и десятичной дроби, то следует привести их к одному виду (к которому проще или удобнее считать).

Примеры 7 класс как решать

Теперь закрепим решение дробей на примерах.

Решение примера, представленного ниже:

1. Видим, что присутствует как обыкновенная дробь, так и десятичные. Нужно привести к одному виду. Так как десятичных больше, и превратить 1/4 в этот вид проще, то делим 1 на 4, а целую часть сохраняем. Вышло 5,25.
2. Далее умножаем — 3 на каждое число в скобках, внимательно следим за знаками.
3. Остается от 10,4 отнять 9,3. В итоге вышло 1,1.

Но можно было решить проще. Первое действие всегда в скобках. Поэтому от 5,25 отнимаем 2,15. Получится 3,1. Умножаем ее на 3 — вышло 9,3. И отнимаем: 10,4 — 9,3 = 1,1. Этот способ даже проще, потому что не нужно следить за знаками при раскрытии скобок.

Чтобы верно решить следующий пример, нужно:

• точно проставить порядок действий (умножение и деление делаем в первую очередь, затем складываем);
• Умножить десятичные дроби столбиком, не забыть поставить запятую;
• деление здесь простое: переставили запятую на один знак вправо, поделили, получили -2.
• сложили числа.

Как решать задачи алгебра 7 класс

Задачи решаются путем составления уравнений.

Другие примеры задач с подробными решениями в видео-материалах.

Как решать функции алгебра 7 клас с

Функцией принято считать зависимость y от x. При этом x является переменной (или аргументом), а у — это значение функции (зависимая переменная).

• y(x) = 8x
• y(x) = −3x — 62
• y(x) = x−1 + 18

Чтобы найти значение у, которое бы соответствовало определенному значению х, нужно просто это значение х подставить в функцию.

Как решать степени алгебра 7 класс

Если требуется взять какое-либо число несколько раз, то проще записать его в степени. Например, нужно двойку взять три раза, т. е.: 2 * 2 * 2. Получается длинная запись. Поэтому придумали писать так: 2³ (читается: два в третьей степени).

Чтобы число возвести в степень (она указывается справа от числа вверху), нужно его умножать на самого себя столько раз, какая цифра указана. Рассмотрим подробнее на примерах.

Не всегда получается возвести число в степень «в уме». Иногда посчитать сложно. Например, возвести 6 в 5 степень, быстро получится не у каждого. Чтобы всякий раз не считать столбиком, лучше выучить основные степени. Они представлены в таблице.

При возведении любого числа в степень 1, получится это же число. Если возводить число в нулевую степень, в ответе будет 1.

Рассмотрим несколько примеров со степенями.

Отдельное внимание обращаем на возведение в степень отрицательного числа. Если такое число возводить в четную степень (2; 4; 6 и т.д.), то получится положительный ответ, если в нечетную, то ответ со знаком минус.

Алгебра модули как решать

Модулем числа называют это же число, только без знака минус. Например: | − 9 | = 9. При этом если число изначально неотрицательное, то оно остается прежним.

Перейдем к простым примерам.

Логично предположить, что под модулем будет число 4. Также подойдет число -4, ведь из-под модуля все равно выйдет положительное. Так, корнями уравнения будут: x = 4 и x = − 4.

Из-под модуля не может выйти отрицательное число. Поэтому, если видим что-то похожее: Ι-8 + хΙ = -8, значит, корней не будет, так как уравнение заведомо нерешаемо.

Другие примеры описаны в видео.

Об Авторе

Смотрите также

• 

Сочинение рассуждение на тему патриотизм, патриотизм сочинение ЕГЭ: ложный и истинный патриотизм, народный патриотизм роман Война и мир, примеры сочинений

Урок патриотизма в школе. Тема урока патриотизм: урок литературы патриотизм, патриотическое воспитание на уроках истории, урок мужества патриотизм. Дети герои Великой Отечественной войны Валя Котик, Валерий Волков, Марат Казей, Надя Богданова, Люся Герасименко, Вашкевич Лида, Валя Зенкина, Костя Кравчук, Вася Коробко, Витя Хоменко, Саша Ковалёв: краткая биография

Современный сценарий выпускного в школе: сценарий выпускного современный прикольный веселый, красивые платья на выпускной 11 класс, современные песни текст на выпускной

2 комментария

Спасибо большое очень помогли.

Огромное спасибо!А то учитель неможет нормально тему объяснить

План урока:

Понятие функции

Растяжение и сжатие графиков функций

Параллельный перенос графиков функций

Гипербола и обратная пропорциональность

Дробно-линейная функция

Понятие функции

Понятие функции в школьной программе впервые встречается в 7 классе, поэтому настоятельно рекомендуем перечитать посвященный этой теме урок. Напомним, что функцией (в учебной литературе может использоваться сокращение ф-ция) называется соответствие между элементами двух множеств или, другими словами, зависимость между двумя величинами. Чаще всего в алгебре рассматриваются числовые ф-ции, которые заданы аналитически, то есть формулой. В качестве примера можно привести запись

у = 5х + 7

Здесь х – это независимая переменная, или аргумент, а у – зависимая величина, или просто функция. Принципиально важно, что каждому значению аргумента соответствует только одно значение зависимой величины. Часто в математике используют запись

y = f (x)

Она читается как «игрек равен эф от икс» и означает, что величина у как-то зависит от х. По сути, она равноценна записи

у = у (х)

Если в скобках стоит конкретное число, то запись означает значение ф-ции при этом значении аргумента.

Так, если

у(x) = 4x²

то

у (5) = 4•5² = 100

у (10) = 4•10² = 400

У каждой ф-ции есть область допустимых значений (используется сокращение ОДЗ), или область определения функции. Это те значения аргумента, при которых ф-ция определена. Здесь возможны два случая. В первом область определения указывается прямо. Например, если рассматривается функция у = х⁴ при значениях х от 1 до 3, то и областью определения будет всё множество чисел от 1 до 3. Для обозначения области определения используется запись D(y) или D(f). При изучении неравенств мы уже познакомились с такими объектами, как числовые промежутки. Именно с их помощью указывают ОДЗ.

Пример. Постройте график функции у = х, если D(y) = [– 3; 4].

Решение. Ф-ция у = х – это линейная функция, мы уже умеем строить их графики (они представляют собой прямую линию). Выглядеть он будет так:

Однако в условии также есть запись D (y) = [– 3; 4], которая означает, что ф-ция определена только при х от – 3 до 4. С учетом этого условия график несколько преобразится:

Грубо говоря, часть графика, которая не входит в область определения, просто «отрезана».

Значительно чаще область определения явно не указывается. В этом случае предполагается, что ф-ция определена во всех точках числовой прямой, в которых ее вообще возможно вычислить. Например, ф-цию у = 9х³ – 47 можно вычислить при любом значении х, поэтому ее область определения – вся числовая прямая, то есть D(y) = (– ∞; + ∞).

А когда же вычислить функцию невозможно? К этому уроку нам известны две таких ситуации:

• когда в операции деления делителем является ноль, либо ноль является основанием степени с отрицательным показателем;
• когда под знаком корня находится отрицательное выражение.

Например, вычислить ф-цию у = 5/х при х = 0 невозможно, поэтому ее область определения – вся числовая прямая, кроме нуля, то есть

D(y) = (– ∞; 0)⋃(0; + ∞)

Функция 

имеет область определения D(y) = [5; + ∞), так как при х< 5 подкоренное выражение становится отрицательным.

Также выделяют такое понятие, как область значений функции. Это множество всех значений, которые может принимать ф-ция. Проще всего проиллюстрировать это понятие на графике произвольной ф-ции:

Для обозначения области значений используется запись Е(у) или Е(f). Так, у ф-ции у = х² при D(y) = [– 2; 2] областью значений будет промежуток [0; 4], то есть Е(у) = [0; 4]. Это видно из графика функции:

Ещё раз напомним, что область определения и область значения функции указываются с помощью числовых промежутков.

Теперь перейдем к тем понятиям, которые не изучались ранее. Первое из них – это нули функции. Так называют те значения аргумента, при которых функция обращается в ноль.

Так, у ф-ции

у = х² – 9х + 20

есть два нуля, х = 4 и х = 5. Убедиться в этом можно подстановкой:

у(4) = 4² – 9•4 + 20 = 0

у (5) = 5² – 9•5 + 20 = 0

Для нахождения нулей ф-ции у = f(x) надо просто решить уравнение

f(x) = 0

Например, чтобы найти нули приведенной выше функции

у = х² – 9х + 20

надо решить уравнение

х² – 9х + 20 = 0

Сделаем это, ведь мы уже умеем решать квадратные уравнения:

D = (– 9)² – 4•1•20 = 1

На графике нули ф-ции – это те точки, в которых график пересекает ось Ох:

Ещё одно новое понятие – промежутки знакопостоянства. Так называют промежутки числовой прямой, на которых ф-ция либо только положительна, либо только отрицательна. Для наглядности покажем их на графике:

Пусть есть ф-ция у = f(x). Для нахождения промежутков знакопостоянства необходимо решить неравенства f(x)>0 и у = f(x)< 0.

Пример. Найдите промежутки знакопостоянства функции у = 3х – 36

Решение. Решим неравенство 3х – 36 > 0:

3х> 0

3х >36

х > 12

Получаем, что функция положительна на промежутке (12; + ∞).

Аналогично решив неравенство 3х – 36 < 0, получим, что ф-ция отрицательна на промежутке (– ∞; 12).

Пример. Дана функция у = х² – 5х. Найдите такое значение величины а, для которого выполняется условие у(а) = у(а + 2).

Решение. Очевидно, что у(а) = а² – 5а. Теперь вычислим у(а + 2):

у(а + 2) = (а + 2)² – 5(а + 2) = а² + 4а + 4 – 5а – 10 = а² – а – 6.

Теперь приравняем значения у(а) и у(а + 2):

а² – 5а = а² – а – 6

а² – 5а – а² + а = – 6

– 4а = – 6

а = 1,5

Убедимся, что мы нашли требуемое значение а:

у(1,5) = 1,5² – 5•1,5 = 2,25 – 7,5 = – 5,25

у(1,5 + 2) = у(3,5) = 3,5² – 5•3,5 = 12,25 – 17,5 = – 5,25

Ответ: 1,5

Растяжение и сжатие графиков функций

Пусть на координатной плоскости есть точка А с координатами (х₀; у₀). Куда переместится эта точка, если ее ордината (то есть у₀) увеличится, например, в два или в три раза? Она отодвинется от оси Ох. Если же ее ордината уменьшится, то точка приблизится к оси. Наконец, если ордината поменяет знак, то точка, изначально, лежащая выше оси, окажется ниже её. Проиллюстрируем это на картинке:

Пусть есть пара функций у(х) и g = k•у(х), где k– какое-то постоянное число (константа), не равная нулю. Примерами таких пар являются:

• у = х и g = 3х (здесь k = 3);
• у = х² и g = – 0,7х² (k = – 0,7)
• y = x² + 2x + 4 и g = 4(x² + 2x + 4) = 4х² + 8х + 16 (k = 4).

Посмотрим, как связаны графики таких функций. На рисунке красным цветом показана функция у(х), а синим g = 2у(x):

При любом значении аргумента выполняется условие g(х) = 2у(х). Это значит, что ордината (координата у) каждой точки графика g(х) вдвое больше, чем ордината соответствующей точки графика у(х). В частности, отрезок АА₂ вдвое длиннее отрезка АА₁:

АА₂ = 2АА₁

Аналогично можно записать, что

BB₂ = 2BB₁

Таким образом, график g(x) выглядит так, будто бы график у(х) «растянули» в 2 раза. Каждая точка «переезжает» на новое место, сдвигаясь по вертикали. Так, если точка А₁ имела координаты (– 6; 2), то при растяжении графика функции она получит координаты (– 6; 4), то есть ее координата у увеличится вдвое. Точка B₁ имела координаты (2; – 2), а в графике g(х) занимает позицию (2; – 4).

Убедимся в этом на примере ф-ций у = х² и g = 2х²:

• при х = 1 имеем у(1) = 1² = 1; g(х) = 21² = 2
• при х = 2 получаем у(2) = 2² = 4 и g(x) = 22² = 8
• при х = 3 у(3) = 3² = 9 и g(3) = 23² = 18

В общем случае говорят, что график функции g(х) = ky(x) получается растяжением графика у(х) в k раз.

Пример. Функция у(х) задана графически:

Постройте график функции g(х) = 3у(х).

Решение. Каждую точку отодвинем от оси Ох, увеличив координату у точек в 3 раза:

Если коэффициент k находится в пределах 0 < k < 1, то график не растягивается, а наоборот, «сжимается». Точки перемещаются ближе к оси Ох.Для примера посмотрим на график ф-ции у = 0,5х². Он может быть получен сжатием графика функции у = х²:

При сжатии графика каждая точка параболы приближается к оси Ох, при этом ордината точек уменьшается вдвое. Так, точка А₂ с координатами (3; 9) переходит в точку А₁ с координатами (3; 4,5).

Отдельно стоит рассмотреть случай, при котором коэффициент k является отрицательным. В этом случае график отображается симметрично относительно оси Ох. Те точки, которые имели изначально положительную ординату и находились выше Ох, в результате получают отрицательную ординату и оказываются ниже оси Ох. Покажем на рисунке графики ф-ций у = х² и у = – х² (то есть k =– 1):

Если же, например, коэффициент k = – 2, то надо и растянуть график, и перевернуть его относительно оси Ох. В частности, так выглядит график у = – 2х²:

Параллельный перенос графиков функций

Теперь посмотрим, как передвинется отдельная точка на координатной плоскости, если к ее ординате добавить какое-нибудь число. Если это число положительное, то точка поднимется выше, а если отрицательное, то она опустится:

Это означает, что если к какой-нибудь функции добавить некоторое число, то график функции переместится вверх или вниз. Для примера построим графики функций у = х² + 2 и у = х² – 5:

График у = х² + 2 представляет собой тот же график у = х², то есть параболу, который подняли на две единицы вверх. График у = х² – 5 получен за счет сдвига вниз на 5 единиц этой же параболы. Подобное перемещение называют параллельным переносом графика функции.

Параллельный перенос возможен не только в вертикальном, но и в горизонтальном направлении. Для такого перемещения надо изменить абсциссу точки, а не ординату:

Аналогично может сдвинуться не только точка, но и целый график функции. Если вместо аргумента х подставить в ф-цию величину (х +n), то график сместится на n единиц влево.

Проиллюстрируем это с помощью ф-ций у = х² и g = (х + 3)². Будем вычислять значения обеих ф-ций в некоторых точках, причем для функции g будем брать значения х, меньше на три единицы:

у(0) = 0² = 0 и g(– 3) = g(– 3 + 3)² = 0² = 0

у(– 1) = (– 1)² = 1 и g(– 4) = g(– 4 + 3)² = (– 1)² = 1

у(– 2) = (– 2)² = 4 и g(– 5) = g(– 5 + 3)² = (– 2)² = 4

Видно, что одинаковые значения ф-ции принимают тогда, когда аргумент у ф-ции g меньше на 3. Это значит что если сместить точку графика у = х² на 3 единицы влево, по она попадает на график g = (х + 3)².

Точка А₁ сдвинулась влево на 3 единицы и перешла в точку А₂. Аналогично точка В₁ отобразилась в точку В₂.

Пусть в общем случае есть функции у = у(х) и g(x) = у(х +n), где n – некоторое постоянное число. Значение у(х) в точке х₀ обозначается как у₀. Теперь найдем значение g(x) в точке (х₀ – n):

g(х₀–n) = у(х₀ –n+n) = y(x₀).

Получили, то же самое значение, что и у у(х). Покажем это на рисунке:

Рассмотрим теперь случай, когда график сдвигается вправо. Для этого из аргумента исходной функции надо вычесть какое-то число. На рисунке показаны графики функций у = 2х и у = 2(х – 4):

Каждая точка исходного графика (например, А₁) «переехала» на 4 единицы вправо.

Надо понимать, что иногда один график можно получить из другого в несколько переходов. Пусть надо построить график у = – (х – 4)² + 5. Его можно получить из обычной параболы у = х² в три шага.

Сперва строим график у = (х – 4)². Вершина параболы, как и все остальные точки, сместится на 4 позиции вправо:

Далее построим график у = – (х – 4)². Для этого его надо отобразить симметрично относительно оси Ох (ось симметрии параболы не сдвигается, но ее ветви будут направлены вниз, а не вверх):

Последний шаг – это построение графика у = – (х – 4)² + 5. Его можно получить, подняв предыдущий график на 5 единиц вверх:

Гипербола и обратная пропорциональность

Ранее мы уже строили графики степенных функций. Однако мы рассматривали только случаи, при которых показателем в степени являлось натуральное число. Теперь же изучим функцию у = х^{– 1}. Напомним, что по определению отрицательной степени

Найдем область определения функции у = 1/х. Ясно, что аргумент не может равняться нулю, так как иначе получим деление на ноль:

у(0) = 1:0

При любых других значениях х значение у вычислить можно, а потому областью определения будет промежуток (– ∞; 0)⋃(0;+ ∞).

При положительных значениях аргумента ф-ция также будет положительной:

у(5) = 1:5 = 0,2

у(2) = 1:2 = 0,5

у(10) = 1:10 = 0,1

При отрицательных х величина у будет становиться отрицательной:

у(– 5) = 1:(– 5) = – 0,2

у(– 2) = 1:(– 2) = – 0,5

у(– 10) = 1:(– 10) = – 0,1

Это означает, что график ф-ции будет располагаться в I и III четвертях.

Можно заметить, что чем больше х, тем ближе у к нулю:

у(1) = 1

у(10) = 0,1

у(100) = 0,01

И наоборот, чем ближе х к нулю, тем больше у:

у(0,1) = 1:0,1 = 10

у(0,01) = 100

у (0,001) = 1000

При этом у не может равняться нулю. Действительно, дробь равна нулю только тогда, когда ее числитель равен нулю. Однако варьируя х, мы меняем только знаменатель, а в числителе остается единица. Поэтому областью значений функции у = х^{– 1} является промежуток (– ∞; 0)⋃(0;+ ∞).

Для построения графика найдем некоторые точки графика и занесем их в таблицу. Мы построим две таблицы – одну для положительных х, другую для отрицательных:

Теперь можно посмотреть и на сам график:

Первое, что бросается в глаза – это то, что график не представляет собой единую, непрерывную линию. Он разбит на две ветви, одна из которых располагается в III четверти, а другая – в I четверти. Такой «разрыв» связан с тем, что ноль не входит в область определения ф-ции.

Также можно заметить симметричность графика. Действительно, одна из ветвей является симметричным отображением второй ветви.

Построенный нами график называется гиперболой.

На координатной плоскости есть две прямые линии, к которым гипербола приближается, но при этом он не касается их. Это оси Ох и Оу. Для наглядности покажем их штриховой линией:

В математике подобные линии называют асимптотами функции. Горизонтальная асимптота прямая соответствует линии х = 0, а вертикальная асимптота линии у = 0.

Зная, как выглядит график у = 1/х, мы можем построить и другие, схожие с ним графики для ф-ций у = k/х, где k– это некоторое число. Их можно получить из гиперболы, используя сжатие и растяжение графиков. Если коэффициент k больше единицы, то график «отдаляется» от осей Ох и Оу:

Все эти линии являются примерами гипербол. Если коэффициент k отрицательный, то графики переворачиваются относительно оси Ох и занимают II и IV четверти:

Все приведенные зависимости вида у = k/х называют обратными пропорциональностями.

Примерами обратной пропорциональности являются ф-ции:

Обратная пропорциональность очень часто встречается в жизни. Так, время, затрачиваемое на поездку на автомобиле, обратно пропорционально средней скорости движения. Количество товара, которое можно купить на одну зарплату, обратно пропорционально стоимости этого товара.

Дробно-линейная функция

Теперь рассмотрим несколько более сложные ф-ции, чьи графики, однако, также представляют собой гиперболу. Пусть есть ф-ция вида

Как будет выглядеть ее график? Для ответа на этот вопрос выполним преобразование:

Здесь мы в числителе и знаменателе добавили и сразу вычли слагаемое 2.Этот прием помог нам выделить целую часть из дроби. В результате мы получили ф-цию, график которой можно получить с помощью двух параллельных переносов графика у = 6/х. Сначала график сместится на две единицы вправо:

На следующем шаге график поднимется на единицу вверх:

Стоит обратить внимание, что при таком передвижении гиперболы передвигаются и асимптоты графика гиперболы:

Функция

представляет собой дробь, являющуюся отношением двух линейных многочленов, х + 3 и х – 2. В математике подобные ф-ции называют дробно-линейными функциями. В качестве примеров дробно-линейных функций можно привести:

Из любой дробно-линейной функции можно выделить целую часть. Покажем это на нескольких примерах:

Во всех этих случаях график дробно-линейной функции можно построить с помощью двух параллельных переносов гиперболы.

Однако есть одно исключение. Иногда при выделении из дроби целой части дробной части не остается вовсе, то есть линейные полиномы можно сразу сократить. Например:

Графиком таких функций являются прямые горизонтальные линии. Однако на них должна быть одна «исключенная». Действительно, пусть надо построить график ф-ции

Проведя преобразования, получим

то есть у = 2. Однако в знаменателе дроби не может стоять ноль. Если же подставить в дробь х = – 2, то получим деление на ноль:

Поэтому график ф-ции будет выглядеть так:

Итак, по итогам урока мы узнали:

1. как растягиваются и сжимаются графики;
2. как графики функций переносятся вверх-вниз и влево-вправо;
3. что такое обратная пропорциональность и как выглядит ее график – гипербола;
4. как выглядит дробно-линейная функция, и каким образом ее график можно получить из гиперболы с помощью параллельных переносов.

Вопросы
занятия:

· 
показать на примере как строится график функции;

· 
ввести понятие «график функции»;

· 
познакомить со специальными приборами, которые вычерчивают графики
функциональных зависимостей и используются в различных сферах деятельности
человека.

Материал
урока

Давайте
возьмём функцию, которая задана формулой:

Составим
таблицу значений этой функции с шагом 1.

Затем
изобразим систему координат. Вспомним, что горизонтально расположенную ось
называют осью абсцисс. А вертикально расположенную ось – осью ординат.

Каждую
из найденных пар значений х и у
изобразим точкой в координатной плоскости.

Соединим
эти точки плавной линией и получим график нашей функции:

Следует
отметить, что чем больше точек, принадлежащих графику мы
отметим на координатной плоскости, тем более точно будет построен график
функции.

Таким
образом, сформулируем определение.

Определение.

Графиком
функции называется множество всех точек плоскости, абсциссы
которых принадлежат области определения, а ординаты равны соответствующим
значениям функции.

Давайте
построим график ещё одной функции, заданной формулой:

Составим
таблицу значений данной функции с шагом 1.

Изображаем
систему координат. И отмечаем в координатной плоскости все точки, координаты
которых записаны в нашей таблице.

Соединяем
отмеченные точки линией. И получаем график заданной функции для заданных
значений аргумента.

График
функции является наглядным представлением зависимости между величинами.

Например,
на следующем графике показано, как изменяется температура воздуха в течение
суток.

Для
получения такой информации на практике используют специальный прибор, который
называется термографом.

Перо
вычерчивает на ленте, которая намотана на барабан, непрерывную линию, выражающую
зависимость между временем и температурой воздуха.

Существуют
и другие приборы, которые вычерчивают графики функциональных зависимостей.

Одним
из таких является кардиограф.

Он
позволяет получить графическое описание работы сердца.

А
ещё есть такой прибор, как сейсмограф.

Он
используется для обнаружения и
регистрации колебаний почвы, которые, например, могут быть вызваны
землетрясением

А
теперь решим задачу.

Пример.

И
ещё задача.

Пример.