Как найти значение логарифма по графику

Содержание:

Логарифмической функцией называется функция, задаваемая формулой:

где

Теорема 7.

Областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел, а областью значений — множество всех действительных чисел.

Доказательство:

Пусть . Тогда выражение , в соответствии с определением логарифма числа, имеет значение, если значение аргумента — положительное действительное число, т. е. областью определения логарифмической функции является множество всех положительных действительных чисел.

Любое действительное число может быть значением выражения , так как уравнение имеет корень при любом действительном . Значит, областью значений логарифмической функции является множество всех действительных чисел.

Теорема 8.

Логарифмическая функция на множестве всех положительных действительных чисел является возрастающей при и убывающей при , а ее график проходит через точку (1; 0).

Доказательство:

Пусть . Если допустить, что , то, с учетом возрастания показательной функции с большим единицы основанием (см. теорему 2 из параграфа 11 и следствие из нее), получим, что , или , что противоречит условию . Потому остается признать, что .

Пусть, тогда . Если , то по доказанному . После перехода к основанию получим, что , или .

Поскольку , то точка (1; 0) принадлежит графику логарифмической функции.

Из доказанной теоремы непосредственно получаем следующие утверждения.

Следствие 2.

Значения логарифмической функции с основанием, большим единицы, на промежутке (0; 1) отрицательны, а на промежутке положительны.

Следствие 3.

Значения логарифмической функции с положительным и меньшим единицы основанием на промежутке (0; 1) положительны, а на промежутке отрицательны.

Построим график функции . Для этого нанесем на координатную плоскость некоторые точки этого графика, составив предварительно таблицу значений функции.

Используя построенные точки и установленные свойства логарифмической функции, получим график функции , который представлен на рисунке 167.

Для построения графика функции учтем равенство и используем то, что график функции получается из графика функции симметричным отражением относительно оси абсцисс. Указанное преобразование проведено на рисунке 168.

Теорема 9.

График функции симметричен графику функции относительно прямой .

Доказательство:

Пусть точка принадлежит графику функции (рис. 169). Тогда ее координаты и удовлетворяют равенству . Но тогда истинно и равенство . А это означает, что точка принадлежит графику функции .

Так же доказывается, что если точка принадлежит графику функции , то точка принадлежит графику функции .

Для завершения доказательства остается заметить, что точки симметричны относительно прямой .

Теорема 10.

Если положительные основания и логарифмов оба больше единицы или оба меньше ее и , то при и при .

Доказательство:

Сравним значения выражений и :

Пусть , тогда, с учетом возрастания логарифмической функции с большим единицы основанием, получим или

Если , то , и потому , или

Если , то , и потому или

Пусть теперь . Поскольку логарифмическая функция с меньшим единицы основанием убывает, то , или

Если , то , и потому , а если , то , и потому

В соответствии с теоремой 10 с увеличением основания график функции на промежутке (0; 1) располагается более высоко, а на промежутке — более низко.

График любой логарифмической функции с основанием , большим единицы, похож на график функции . На рисунке 170 представлены графики функций

График любой логарифмической функции с положительным основанием , меньшим единицы, похож на график функции . На рисунке 171 приведены графики функций

Логарифм числа:

Определение:

Логарифмом положительного числа по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести чтобы получить .

Обозначение:

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Обозначение:

Примеры:

Определение:

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию ( — иррациональное число, приближенное значение которого:). Обозначение:

Пример:

Основное логарифмическое тождество:

Примеры:

Свойства логарифмов и формулы логарифмирования: 

Логарифм единицы no любому основанию равен нулю.

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

Логарифм степени положительного числа равен произведению показа теля степени на логарифм основания этой степени.

Формула перехода к логарифмам с другим основанием:

Следствия:

Объяснение и обоснование:

Логарифм числа

Если рассмотреть равенство то, зная любые два числа из этого равенства, мы можем найти третье:

Первые две операции, представленные в этой таблице (возведение в степень и извлечение корня степени), нам уже известны, а с третьей — логарифмированием, то есть нахождением логарифма данного числа, мы ознакомимся в этом параграфе.

В общем виде операция логарифмирования позволяет из равенства найти показатель степени Результат выполнения этой операции обозначается

Таким образом, логарифмом положительного числа по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести чтобы получить

Например:

1. так как
2. поскольку
3. потому что

Отметим, что при положительных уравнение всегда имеет единственное решение, поскольку функция принимает все значения из промежутка и при является возрастающей, а при — убывающей (рис. 15.1).

И так, каждое свое значение функция принимает только при одном значении Следовательно, для любых положительных чисел и уравнение имеет единственный корень

При уравнение не имеет корней, таким образом, при Ь < 0 значение выражения не существует . Например, не существуют значения

Отметим, что логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается Например,

В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение и составляли очень подробные таблицы их значений, которые использовались в различных вычислениях. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль. В современной науке и технике широко используются логарифмы, основанием которых является особенное число (такое же знаменитое, как и число ). Число , как и число , — иррациональное,

Логарифм по основанию называется натуральным логарифмом и обозначается Например,

Основное логарифмическое тождество

По определению логарифма, если Подставляя в последнее равенство вместо его значение, получаем равенство, которое называется основным логарифмическим тождеством:

Например:

Свойства логарифмов и формулы логарифмирования

Во всех приведенных ниже формулах

1) Из определения логарифма получаем, что поскольку Таким образом, логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

2) Поскольку то

Чтобы получить формулу логарифма произведения обозначим Тогда по определению логарифма

Перемножив почленно два последних равенства, имеем По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем

Таким образом,

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

4) Аналогично, чтобы получить формулу логарифма частного — достаточно разделить почленно равенства (1). Тогда По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем Таким образом,

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

5) Чтобы получить формулу логарифма степени обозначим По определению логарифма Тогда и по определению логарифма с учетом обозначения для имеем Таким образом,

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Учитывая, что при по формуле (4) имеем: Иными словами, при можно воспользоваться формулой

(запоминать эту формулу не обязательно, при необходимости можно записывать корень из положительного числа как соответствующую степень).

Замечание. Иногда приходится находить логарифм произведения и в том случае, когда оба числа отрицательны

Тогда существует, но формулой (2) воспользоваться нельзя — она обоснована только для положительных значений В случае имеем и теперь Таким образом, для логарифма произведения можно воспользоваться формулой (2). Поэтому при можем записать: Отметим, что полученная формула справедлива и при поскольку в этом случае Таким образом, при

Аналогично можно обобщить и формулы (3) и (4):

при

при

4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием Пусть Тогда по определению логарифма Прологарифмируем обе части последнего равенства по основанию Получим Используя в левой части этого равенства формулу логарифма степени, имеем Тогда Учитывая, что получаем

Таким образом, логарифм положительного числа по одному основанию равен логарифму этого же числа по новому основанию , деленному на логарифм прежнего основания по новому основанию .

С помощью последней формулы можно получить следующие следствия. 1) Учитывая, что имеем

2) Аналогично, учитывая формулу перехода от одного основания логарифма к другому и формулу логарифма степени, получаем (при )

Записав полученную формулу справа налево, имеем

Примеры решения задач:

Пример №1

Вычислите:

Решение:

1) поскольку

2) так как

Комментарий:

Исходя из определения логарифма, необходимо подобрать такой показатель степени, чтобы при возведении основания логарифма в эту степень получить число, стоящее под знаком логарифма.

Пример №2

Запишите решение простейшего показательного уравнения:

Решение:

По определению логарифма:

1)

2)

3)

Комментарий:

Для любых положительных чисел и уравнение имеет единственный корень. Показатель степени в которую необходимо возвести основание чтобы получить , называется логарифмом по основанию поэтому

Пример №3

Выразите логарифм по основанию 3 выражения . (где ) через логарифмы по основанию 3 чисел и . (Коротко говорят так: «Прологарифмируйте данное выражение по основанию 3».)

Решение:

Комментарий:

Сначала запишем выражения, стоящие в числителе и знаменателе данного выражения, как степени чисел и букв. Далее учтем, что логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя, а затем то, что логарифм произведения () равен сумме логарифмов множителей.

Пример №4

Известно, что Выразите через

Решение:

Комментарий:

Сначала представим число 700 как произведение степеней данных чисел 5 и 7 и основания логарифма 2, а далее используем свойства логарифмов и подставим в полученное выражение значения и

Пример №5

Прологарифмируйте по основанию 10 выражение

Решение:

Комментарий:

Поскольку логарифмы существуют только для положительных чисел, то мы можем прологарифмировать данное выражение только в случае, когда Из условия не следует, что в данном выражении значения положительны. Поэтому будем пользоваться обобщенными формулами логарифмирования а также учтем, что

Иногда приходится искать выражение, зная его логарифм. Такую операцию называют потенцированием.

Пример №6

Найдите по его логарифму:

Решение:

Комментарий:

Пользуясь формулами логарифмирования справа налево, запишем правые части данных равенств в виде логарифма какого-либо выражения. Из полученного равенства получаем (как будет показано, значение , удовлетворяющее равенству (1), — единственное).

Пример №7

Вычислите значение выражения

Решение:

Поскольку

Кроме того

Тогда

Итак,

Комментарий:

Попытаемся привести показатель степени данного выражения к виду чтобы можно было воспользоваться основным логарифмическим тождеством: Для этого перейдем в показателе степени к одному основанию логарифма — 5.

Логарифмическая функция

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида

1. График логарифмической функции

Функции — взаимно обратные функции, поэтому их графики симметричны относительно прямой

2. Свойства логарифмической функции

1. Область определения: 2. Область значений: 3. Функция ни четная, ни нечетная. 4. Точки пересечения с осями координат:

С осью , с осью

5. Промежутки возрастания и убывания:

функция возрастает на всей области определения

функция убывает на всей области определения

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8.

Объяснение и обоснование:

Понятие логарифмической функции

Логарифмической функцией называется функция вида Покажем, что эта функция является обратной функции

Действительно, показательная функция при возрастает на множестве , а при — убывает на множестве . Область значений функции — промежуток Таким образом, функция обратима и имеет обратную функцию с областью определения и областью значений . Напомним, что для записи формулы обратной функции достаточно из равенства выразить через у и в полученной формуле аргумент обозначить через , а функцию — через .

Тогда из уравнения по определению логарифма получаем — формулу обратной функции, в которой аргумент обозначен через , а функция — через . Изменяя обозначения на традиционные, имеем формулу — функции, обратной функции

Как известно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой Таким образом, график функции можно получить из графика функции симметричным отображением его относительно прямой На рис. 16.1 приведены графики логарифмических функций при и при График логарифмической функции называют логарифмической кривой.

Свойства логарифмической функции

Свойства логарифмической функции и другие свойства прочитаем из полученного графика функции и обоснуем, опираясь на свойства функции

Поскольку область определения прямой функции является областью значений обратной, а область значений прямой функции — областью определения обратной, то, зная эти характеристики для функции получаем соответствующие характеристики для функции

Функция:

1) 2)

Область определения :

1) 2)

Область значений:

1) 2)

Обоснуем это, опираясь на свойства функции

Например, при возьмем По основному логарифмическому тождеству можно записать: Тогда, учитывая, что имеем Поскольку при функция является возрастающей, то из последнего неравенства получаем А это и означает, что при функция возрастает на всей области определения.

Аналогично можно обосновать, что при функция убывает на всей области определения. 6) Промежутки знакопостоянства. Поскольку график функции пересекает ось в точке то, учитывая возрастание функции при и убывание при имеем:

Значение функции:

1) 2)

Значение аргумента

1) 2)

Значение аргумента

1) 2)

Примеры решения задач:

Пример №8

Найдите область определения функции:

Решение:

1)Область определения функции задается неравенствомОтсюдато есть 2) Область определения функции задается неравенством Это неравенство выполняется при всех действительных значениях Таким образом, 3) Область определения функции задается квадратным неравенством Решая его, получаем или (см. рисунок), То есть

Комментарий:

Поскольку выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, то для нахождения области определения данной функции необходимо найти те значения аргумента х, при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, будет положительным.

Пример №9

Изобразите схематически график функции:

Комментарий:

Область определения функции — значения следовательно, график этой функции всегда расположен справа от оси Этот график пересекает ось в точке При логарифмическая функция возрастает, таким образом, графиком функции у будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента поднимаются. При логарифмическая функция убывает, таким образом, графиком функции будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются.

Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение:

Пример №10

Изобразите схематически график функции

Решение:

Последовательно строим графики:

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика данной функции с помощью геометрических преобразований. 1. Можно построить график функции у (основание логарифма — логарифмическая функция возрастает). 2. Затем можно построить график функции (справа от оси график функции остается без изменений, и эта же часть графика отображается симметрично относительно оси ). 3. После этого можно построить график данной функции параллельным переносом графика функции вдоль оси на 2 единицы.

Пример №11

Сравните положительные числа зная, что:

Решение:

1) Поскольку функция возрастающая, то для положительных чисел из неравенства c получаем 2) Так как функция убывающая, то для положительных чисел из неравенства получаем

Комментарий:

В каждом задании данные выражения — это значения логарифмической функции в точках . Используем возрастание или убывание соответствующей функции: 1) при функция возрастающая, и поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента; 2) при функция убывающая, следовательно, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента.

Пример №12

Сравните с единицей положительное число зная, что

Решение:

Поскольку а из условия получаем, что (то есть), то функция убывающая, поэтому

Комментарий:

Числа — это два значения функции Исходя из данного неравенства, выясняем, является эта функция возрастающей или убывающей, и учитываем, что она возрастает при и убывает при

Решение логарифмических уравнений

1. Основные определения и соотношения

Определение:

Логарифмом положительного числа по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести чтобы получить

График функции

2. Решение простейших логарифмических уравнений

Ориентир

Если — число (), то

(используем определение логарифма)

Пример:

Ответ: 10

3. Использование уравнений-следствий

Ориентир:

Если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каж дое следующее верно, то гарантируем, что получаются уравнения- следствия. При использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения.

Пример:

По определению логарифма получаем

Проверка, — посторонний корень (в основании логарифма получаем отрицательное число);

Ответ: 2

4. Равносильные преобразования логарифмических уравнений

Замена переменных

Ориентир:

Если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то соответствующее выражение с переменной удобно обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример:

Ответ: 0,1; 1000.

Уравнение вида

Ориентир:

(учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов)

Пример:

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

— посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ); — корень (удовлетворяет условиям ОДЗ). Ответ: 3.

Равносильные преобразования уравнений в других случаях

Ориентир:

• 1. данного уравнения (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ)
• 2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Пример:

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

— корень (удовлетворяет условиям ОДЗ); — посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ). Ответ: 1.

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических уравнений

Простейшим логарифмическим уравнением обычно считают уравнение

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на всей своей области определения, то есть при (см. графики в п. 1 табл. 23), и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Учитывая, что логарифмическая функция принимает все действительные значения, уравнение всегда имеет единственный корень, который можно записать, исходя из определения логарифма:

Если рассмотреть уравнение и выполнить замену переменной: f (х) = t, то получим простейшее логарифмическое уравнение имеющее единственный корень Выполняя обратную замену, получаем, что решения уравнения (2) совпадают с корнями уравнения

Следовательно, уравнения (2) и (3) равносильны. Таким образом, мы обосновали, что для равносильного преобразования простейшего логарифмического уравнения. (1) или уравнения (2) (которое мы также будем относить к простейшим при условии, что основание — число) достаточно применить определение логарифма. Если обозначить равносильность уравнений значком то коротко этот результат можно записать так:

Напомним, что все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения (2) ОДЗ задается условием Но для всех корней уравнения (3) это условие выполняется автоматически (потому что ). Поэтому в явном виде ОДЗ для простейших логарифмических уравнений можно не записывать (поскольку оно учитывается автоматически при переходе от уравнения (2) к уравнению (3)). Например, уравнение равносильно уравнению корень которого и является корнем данного уравнения. Аналогично записано и решение простейшего уравнения в табл. 23.

Использование уравнений-следствий при решении логарифмических уравнений

При решении уравнения главное — не потерять его корни, и поэтому важно следить за тем, чтобы каждый корень первого уравнения оставался корнем следующего уравнения — в этом случае получаем уравнения-следствия. Напомним, что каждый корень данного уравнения обращает его в верное числовое равенство. Используя это определение, можно обосновать, что в случае, когда преобразования уравнений проводятся так: если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то мы получаем уравнения-следствия (поскольку каждый корень первого уравнения будет и корнем следующего уравнения). Хотя при использовании уравнений-следствий и не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составляющей решения при использовании уравнений-следствий.

Пример решения логарифмического уравнения с помощью уравнений- следствий и оформление такого решения приведены в п. 3.

Равносильные преобразования логарифмических уравнений

Одним из часто используемых способов равносильных преобразований уравнений является замена переменной.

Напомним общий ориентир, которого мы придерживались при решении уравнений из других разделов: если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то соответствующее выражение с переменной удобно обозначить одной буквой ( новой переменной).

Например, в уравнение переменная входит только в виде поэтому для его решения целесобразно применить замену получить квадратное уравнение имеющее корни а затем выполнить обратную замену и получить простейшие логарифмические уравнения: Тогда, по определению логарифма, корнями данных уравнений являются и

Принимая во внимание то, что замена переменной (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием уравнения на любом множестве, для выполнения замены не обязательно находить ОДЗ данного уравнения. После выполнения обратной замены мы получили простейшие логарифмические уравнения, ОДЗ которых (как было показано выше) учитываются автоматически и могут также не записываться. Таким образом, в приведенном решении ОДЗ данного уравнения учтена автоматически, и поэтому в явном виде ОДЗ можно не записывать в решение. Именно так и оформлено решение этого уравнения в п. 4.

Рассмотрим также равносильные преобразования уравнения вида

Как уже отмечалось, все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений. Для уравнения (4) ОДЗ задается системой неравенств Поскольку логарифмическая функция возрастает (при ) или убывает (при ) на всей своей области определения и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то равенство (4) может выполняться (на ОДЗ) тогда и только тогда, когда Учитывая ОДЗ, получаем, что уравнение (4) равносильно системе

Полученный результат символично зафиксирован в п. 4, а коротко его можно сформулировать так:

• чтобы решить уравнение вида с помощью равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов.

Пример использования этого ориентира приведен в табл. 23.

Замечание 1.

Полученную систему (5)-(7) можно несколько упростить. Если в этой системе выполняется равенство (5), то значения и между собой равны, поэтому если одно из них будет положительным, то второе также будет положительным. Таким образом, уравнение (4) равносильно системе, состоящей из уравнения (5) и одного из неравенств (6) или (7) (обычно выбирают простейшее из этих неравенств). Например, уравнение рассмотренное в табл. 23, равносильно системе

Но учитывая, что ограничения ОДЗ этого уравнения:

мы не решали, а только проверяли, удовлетворяют ли найденные корни этим ограничениям, приведенное упрощение не дает существенного выигрыша при решении.

Замечание 2.

Как было обосновано выше, если выполняется равенство (4), то обязательно выполняется и равенство (5). Таким образом, уравнение (5) является следствием уравнения (4). Поэтому для нахождения корней уравнения (4): достаточно найти корни уравнения-следствия (5): и выполнить проверку найденных корней подстановкой в данное уравнение. (При таком способе решения ОДЗ уравнения (4) будет учтено опосредствованно, в момент проверки полученных корней, и его не придется явно записывать.)

Выполняя равносильные преобразования логарифмических уравнений в более сложных случаях, можно придерживаться следующего ориентира (он следует из определения равносильных уравнений и обоснован в курсе 10 класса):

• 1) Учитываем ОДЗ данного уравнения,
• 2) Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Например, решим уравнение

с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ОДЗ уравнения а затем, выполняя каждое преобразование уравнения, все время следить за тем, можно ли на ОДЗ выполнить это преобразование и в обратном направлении. Если ответ положителен, то выполненные преобразования равносильны. Если же какое-то преобразование для всех значений переменной из ОДЗ можно выполнить только в одном направлении (от исходного уравнения к следующему), а для его выполнения в обратном направлении необходимы какие-то дополнительные ограничения, то мы получим только уравнение-следствие, и полученные корни придется проверять подстановкой в исходное уравнение.

Применим этот план к решению уравнения (8).

Чтобы привести это уравнение к простейшему, перенесем все члены уравнения с логарифмами влево. Получим равносильное уравнение

(Равносильность уравнений (8) и (9) следует из известной теоремы: если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному на любом множестве. Равносильность этих уравнений следует также из того, что мы можем не только перейти от равенства (8) к равенству (9), но и выполнить обратное преобразование, пользуясь свойствами числовых равенств.) Учитывая, что сумма логарифмов положительных (на ОДЗ) чисел равна логарифму произведения, получаем уравнение

На ОДЗ данного уравнения можно выполнить и обратное преобразование: поскольку то логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Таким образом, от равенства (10) можно вернуться к равенству (9), то есть этот переход также приводит к равносильному уравнению. Уравнение (10) — это простейшее логарифмическое уравнение. Оно равносильно уравнению, которое получается по определению логарифма:

Выполняя равносильные преобразования полученного уравнения, имеем:

Поскольку все равносильные преобразования выполнялись на ОДЗ данного уравнения, учтем ее, подставляя полученные корни в ограничения ОДЗ: — корень, поскольку удовлетворяет условиям ОДЗ;

не является корнем (посторонний корень), потому что не удовлетворяет условиям ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет только один корень

Замечание:

Рассмотренное уравнение можно было решить и с использованием уравнений-следствий, не учитывая явно ОДЗ, но проверив полученные решения подстановкой их в исходное уравнение. Поэтому каждый имеет право выбирать способ решения: использовать уравнения- следствия или равносильные преобразования данного уравнения. Однако для многих уравнений проверку полученных корней выполнить достаточно непросто, а для неравенств вообще нельзя использовать следствия.

Это обусловлено тем, что не удается проверить все решения — их количество у неравенств, как правило, бесконечно. Таким образом, для неравенств приходится выполнять только равносильные преобразования (по ориентирам, аналогичным приведенным выше).

Пример №13

Решите уравнение

Решение:

Проверка. — посторонний корень (под знаком логарифма получаем 0), — корень, поскольку имеем

Ответ: 14

Комментарий:

Решим данное уравнение с помощью уравнений-следствий. При использовании уравнений-следствий главное — гарантировать, что в случае, когда первое равенство верно, то и все последующие также будут верны. Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения (1) на 2 (если равенство (1) верно, то и равенство (2) верно). Если равенства (1) и (2) верны (при значениях , которые являются корнями этих уравнений), то при таких значениях существуют все записанные логарифмы. Тогда выражения — положительны. Следовательно, для положительных можно воспользоваться формулами: таким образом, равенства (3) и (4) также верны.

Учитывая, что функция возрастающая, а значит, каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, из равенства логарифмов (4) получаем равенство соответствующих аргументов (5). Если равенство (5) верно, то знаменатель дроби не равен нулю, и после умножения обеих его частей на получаем верное равенство (6) (а значит, и верное равенство (7)). Поскольку мы использовали уравнения-следствия, то в конце необходимо выполнить проверку.

Пример №14

Решите уравнение

Решение:

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Учитывая ОДЗ, получаем, что х = 1 входит в ОДЗ, таким образом, является корнем; не входит в ОДЗ, следовательно, не является корнем данного уравнения. Ответ: 1.

Комментарий:

Решим данное уравнение с по мощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ОДЗ данного уравнения и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства. Заметим, что на ОДЗ выражение может быть как положительным, так и отрицательным, поэтому мы не имеем права применять к выражению формулу: (это приведет к потере корня). Применение обобщенной формулы логарифмирования приведет к уравнению с модулем. Используем другой способ преобразований, учтя, что Поскольку на ОДЗ все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, то все преобразования от уравнения (1) к уравнению (2) равносильны. Выполнить равносильные преобразования уравнения (2) можно с использованием ориентира, приведенного на с. 213. Равносильность уравнений (2) и (3) можно обосновать также через возрастание функции которая каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

Пример №15

Решите уравнение

Решение:

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению

Замена: Получаем:

(оба корня входят в ОДЗ). Ответ: 16; 64.

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ Поскольку в уравнение входят логарифмы с разными основаниями, то приведем их к одному и тому же основанию (желательно числовому, иначе можно потерять корни уравнения). В данном случае приводим к основанию 4 по формуле После приведения логарифмов к одному основанию переменная входит в уравнение только в одном виде Выполним замену Поскольку по ограничениям ОДЗ Тогда полученное дробное уравнение (1) равносильно квадратному уравнению (2). Поскольку замена и обратная замена являются равносильными преобразованиями на ОДЗ, то для полученных решений достаточно проверить, входят ли они в ОДЗ.

Пример №16

Решите уравнение

Решение:

ОДЗ: На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Замена: Получаем:

Обратная замена дает

Ответ: 0,1; 1000

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ и используем ориентир: если переменная входит и в основание, и в показатель степени, то для решения такого уравнения можно попытаться прологарифмировать обе его части (только если они положительны). В запись уравнения входит десятичный логарифм , поэтому прологарифмируем обе части по основанию 10 (на ОДЗ они обе положительны ). Поскольку функция возрастающая, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, если выполняется равенство (1), то выполняется и равенство (2), и наоборот: если выполняется равенство (2), то выполняется и равенство (1). Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильны на ОДЗ. При применение формулы является равносильным преобразованием, а значит, уравнения (2) и (3) также равносильны . Обоснование равносильности дальнейших преобразований полностью совпадает с аналогичным обоснованием в предыдущей задаче.

Пример №17

Решите уравнение

Решение:

Замена: Получаем

Обратная замена дает

— корней нет. Ответ: 2.

Комментарий:

Если сначала рассмотреть данное уравнение как простейшее логарифмическое, то по определению логарифма оно равносильно уравнению Как уже отмечалось (с. 211), ОДЗ данного уравнения для всех корней уравнения (1) учитывается автоматически, поскольку всегда. После этого уравнение (1) решается по схеме решения показательных уравнений (табл. 19, с. 178). Поскольку поэтому уравнение (2) равносильно уравнению (3).

Пример №18

Решите систему уравнений

Решение:

По определению логарифма имеем

Из второго уравнения последней системы получаем и подставляем в первое уравнение:

Проверка — решение данной системы.

— постороннее решение

(под знаком логарифма получаем отрицательные числа). Ответ: (1; 4).

Комментарий:

Как и логарифмические уравнения, системы логарифмических уравнений можно решать как с помощью систем-следствий (каждое решение первой системы является решением второй), так и с помощью равносильных преобразований систем (все решения каждой из них являются решениями другой).

Кроме того, при решении логарифмических систем можно применить те же способы, что и при решении других видов систем (способ алгебраического сложения, подстановка некоторого выражения из одного уравнения в другое, замена переменных).

Решим данную систему с помощью систем-следствий. Для этого достаточно гарантировать, что если данная система состоит из верных равенств, каждая следующая система также будет содержать верные равенства. Как и для уравнений, при использовании систем-следствий необходимо выполнить проверку полученных решений подстановкой в исходную систему.

Замечание. Данную систему можно было решить и с помощью равносильных преобразований систем. При этом пришлось бы учесть ОДЗ данной системы следить за равносильностью выполненных у — х > 0 , преобразований (в данном случае все написанные преобразования являются равносильными на ОДЗ), а в конце проверить, удовлетворяют ли полученные решения условиям ОДЗ (пара чисел удовлетворяет условиям ОДЗ, а пара не удовлетворяет условиям ОДЗ).

Пример №19

Решите систему уравнений

Решение:

Тогда из первого уравнения имеем Замена дает уравнения

Обратная замена дает то есть Тогда из второго уравнения системы имеем (не принадлежит ОДЗ), (принадлежит ОДЗ). Таким образом, решение данной системы

Ответ: (5; 5).

Комментарий:

Решим данную систему с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ее ОДЗ и гарантировать, что на каждом шагу были выполнены именно равносильные преобразования уравнения или всей системы. В первом уравнении системы все логарифмы приведем к одному основанию (на ОДЗ

На ОДЗ следовательно, Тогда после замены имеем и поэтому переход в решении от дробного уравнения к квадратному является равносильным. Поскольку замена (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием, то, заменяя первое уравнение системы равносильным ему (на ОДЗ) уравнением получаем систему, равносильную данной (на ее ОДЗ).

Решение логарифмических неравенств

1. График функции

2. Равносильные преобразования простейших логарифмических неравенств

Знак неравенства не меняется, и учитывается ОДЗ.

Знак неравенства меняется, и учитывается ОДЗ.

Примеры:

Функция возрастающая, тогда

Учитывая ОДЗ, имеем

Ответ:

Функция убывающая, тогда

Учитывая ОДЗ, имеем

Ответ:

3. Решение более сложных логарифмических неравенств

Ориентир:

I. С помощью равносильных преобразований данное неравенство приводится к неравенству известного вида.

Схема равносильных преобразований неравенства:

• 1. Учитываем ОДЗ данного неравенства (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ).
• 2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было вы полнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

II. Применяется метод интервалов (данное неравенство приводится к неравенству ) и используется схема:

Пример №20

1)

ОДЗ: На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенствам: Замена Тогда то есть Решение этого неравенства

Обратная замена дает

Тогда

Учитывая, что функция возрастающая, получаем:

С учетом ОДЗ имеем:

Ответ:

Пример №21

2) Решим неравенство методом интервалов. Оно равносильно неравенству Обозначим

1.

2. Нули функции: Тогда На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению (полученному по определению логарифма). То есть В ОДЗ входит только Итак, имеет единственный нуль функции 3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решения неравенства

Ответ:

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических неравенств

Простейшими логарифмическими неравенствами обычно считают неравенства вида

Для решения такого неравенства можно применять равносильные преобразования. Для этого необходимо учесть его ОДЗ:

и рассмотреть два случая: основание логарифма больше 1 и основание меньше 1 (но больше 0).

I. При логарифмическая функция возрастает на всей своей области определения (при ), поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Таким образом, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента (в данном случае переходя к выражениям, стоящим под знаком логарифма), мы должны оставить тот же знак неравенства, то есть

Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (большему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что на ОДЗ неравенство (1) равносильно неравенству (2). Коротко это можно записать так:

II. При логарифмическая функция убывает на всей области определения (при ), поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента, мы должны знак неравенства изменить на противоположный, то есть

Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (меньшему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что при неравенство (1) на его ОДЗ равносильно неравенству (5). Коротко это можно записать так:

Суммируя полученные результаты, отметим, что для решения неравенства вида с помощью равносильных преобразований необходимо учесть его ОДЗ, а при переходе от значений функции к значениям аргумент а (выражениям, стоящим под знаком логарифма) — значение : при знак неравенства не меняется, при знак неравенства меняется на противоположный

Примеры использования этих ориентиров приведены в табл. 24. Замечание. Системы неравенств, полученные для случаев I и II, можно несколько упростить. Например, если в системе выполняются неравенство (2): и неравенство (4): то из этих неравенств следует, что Следовательно, неравенство (3) этой системы выполняется автоматически, когда выполняются неравенства (2) и (4), и его можно не записывать в эту систему (см. п. 2 табл. 24). Аналогично обосновывается, что в случае II неравенство (4) в системе является следствием неравенств (3) и (5), и его также можно не записывать в систему. Например, решим неравенство

(ОДЗ данного неравенства учтено автоматически, поскольку, если то выполняется и неравенство ) Решаем неравенство Тогда отсюда (см. рисунок) или — решение данного неравенства (его можно записать и так:

Решение более сложных логарифмических неравенств выполняется или с помощью равносильных преобразований данного неравенства (и приведения его к известному виду неравенств), или с помощью метода интервалов

Схема равносильных преобразований логарифмических неравенств полностью аналогична схеме равносильных преобразований логарифмических уравнений:

1. учитываем ОДЗ данного неравенства;
2. следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

В этом случае на ОДЗ каждое решение данного неравенства будет решением второго и, наоборот, каждое решение второго неравенства будет решением первого, то есть эти неравенства равносильны (на ОДЗ). Примеры решения логарифмических неравенств с помощью равносильных преобразований и методом интервалов и оформления такого решения приведены в табл. 24. Рассмотрим еще несколько примеров.

Примеры решения задач:

Пример №22

Решите неравенство

Комментарий:

Решим данное неравенство с помощью равносильных преобразований. Как и для уравнений, для этого достаточно учесть ОДЗ данного неравенства и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства. Поскольку на ОДЗ выражения, стоящие под знаком логарифмов, положительны, то формулу для положительных и можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях. Таким образом, выполняя преобразование неравенства по этой формуле, получим неравенство, равносильное данному (на его ОДЗ). Чтобы применить свойства логарифмической функции, запишем число (-1 ) как значение логарифмической функции: (разумеется, эту формулу можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях) и учтем, что

Решение:

На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству

Функция убывающая, поэтому

Получаем Последнее неравенство имеет решения:

(см. рисунок).

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ:

Пример №23

Решите неравенство

Решение:

Учитывая ОДЗ данного неравенства и то, что функция убывающая, получаем

то есть

Тогда

Так как функция возрастающая, получаем

Это неравенство равносильно системе

которая равносильна системе

Решаем неравенства (4) и (5) методом интервалов и находим их общее решение (см. рисунок)

Для неравенства (4) ОДЗ:

нуль функции

Для неравенства (5) ОДЗ:

нуль функции

Ответ:

Комментарий:

ОДЗ данного неравенства задается системой

При выполнении равносильных преобразований главное — учесть ОДЗ в ходе решения. При переходе от неравенства (1) к неравенству (2) в записи последнего остается выражение для которого ОДЗ:

Следовательно, при таком переходе ограничение (7) будет неявно учтено, поэтому достаточно учесть только ограничение (6) (что и сделано в левой части неравенства (2)). Чтобы применить свойства соответствующих логарифмических функций, записываем сначала  (и учитываем, что а затем —

При переходе от неравенства (2) к неравенству (3) получаем таким образом, и в этом случае не равенство (7) учтено автоматически. Для нахождения общих решений неравенств (4) и (5) удобно их решения методом интервалов разместить одно над другим так, чтобы одинаково обозначенные точки находились одна над другой. Тогда из приведенного рисунка легко увидеть общее решение системы неравенств.

Определение логарифмической функции

Если величины и связаны уравнением , то называют логарифмической функцией от . Возьмем и будем придавать независимому переменному значения, равные целым положительным числам. Составим для значений таблицу:

Заметим, что в этой таблице значения растут в геометрической прогрессии, в то время как значения растут в арифметической прогрессии. Это будет иметь место во всех случаях, когда а больше единицы. Если давать значения, образующие убывающую геометрическую прогрессию с положительными членами, то будет принимать значения убывающей арифметической прогрессии, как это видно из таблицы:

Напомним, что отрицательные числа и нуль не имеют логарифмов, точнее, они не имеют действительных логарифмов.

При график функции имеет вид, указанный на рис. 33 ().

Логарифм числа. Исследование

1)Запишите вместо х такие числа, чтобы равенства были верными.

а) 2^х = 16 б) 3^х = 9 в) 4^х = 64

2)При каких значениях аргумента функция у = 2^х получает значение равное 6? Является ли это значение х единственным?

3)Между какими двумя целыми числами находятся значения х удовлетворяющие равенствам? а) 2^х = 24 б) 3^х = 18 в) 4 ^х = 56

Что такое логарифм

Логарифмом по основанию а числа b, называется такое число, что

при возведении числа а в эту степень получится число b .

Это записывается так . Здесь, при число а и b  положительные действительные числа. Запись является логарифмической записью равенства и наоборот запись

является экспоненциальной записью для равенства .

То есть записи и эквивалентны.

Равенство называется основным логарифмическим тождеством.

Пример №24

Заменим логарифмическую запись экспоненциальности.

Решение:

логарифмическая запись: экспоненциальная запись:

Пример №25

Найдём значение логарифмического выражения.

Решение:

Логарифм чисел по основанию 10 и е соответственно обозначаются как . Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом, по основанию е — натуральным логарифмом.

При вычислении логарифмов можно пользоваться калькулятором. Например, виртуальным калькулятором по адресу http://web2.0calc.com

Исследование. Постройте в тетради таблицу значений и график функций обратной ей функции . Запишите своё мнение о полученных функциях.

Логарифмическая функция

Для каждого значения области определения функции соответствует единственное значение из области значений, т.е. для функции существует обратная функция .

Значит, если график функции отразить симметрично относительно прямой у = х, то получим график функции .

1)Область определения логарифмической функции все

положительные числа:

2)Множество значений логарифмической функции множество всех действительных чисел:

3)При логарифмическая функция является возрастающей, при убывающей.

4)График функции пересекает ось абсцисс в точке (1; 0). В качестве примера для на рисунке даны графики .

Постройте графики в тетради.

Если , то при логарифмическая функция принимает отрицательные значения, при принимает положительные значения.

В качестве примера для на рисунке даны графики функций у = log_i_ х, у .

Постройте графики в тетради.Если , то при логарифмическая функция принимает положительные значения, при принимает отрицательные значения.

Логарифмическая шкала и решение задач

В химии: Показатель рН-мера активности ионов водорода в растворе, количественно выражающая его кислотность. Для вычисления уровня рН в растворах используется формула

Здесь, Н+ концентрация ионов в мол/л. Из формулы следует, что при увеличении показателя рН па 1 единицу, концентрация ионов в растворе увеличивается в 10 раз. По шкале рН значения показателя рН изменяются от 0 до 14. Если рН равно 7, то раствор считается нейтральным, меньше 7 — кислым, больше 7 — щелочным.

В физике: Громкость звука измеряется в децибелах и вычисляется по формуле . Здесь I — интенсивность звука (ватт/м²), I₀ — наименьшая интенсивность звука, которую различает человеческое ухо (принято 10^-12 ватт/м²). Человеческое ухо может различать звуки в очень большом диапазоне от 0 dB (тишина) до 180 dB.

Землетрясение. В 1935 году американский сейсмолог Чарлз Рихтер вывел формулу и создал логарифмическую шкалу определения силы землетрясения (она называется шкалой Рихтера). Здесь М -сила землетрясения (в баллах), А — максимальная амплитуда волны (в микронах), зарегистрированная на сейсмографе, А_о— амплитуда (принято 1 микрон (10 ^-6 м)) самой маленькой сейсмической волны зарегистрированной сейсмографом (её называют «нулём землетрясения»). Формулу можно записать иначе, как . Таким образом, по шкале Рихтера, амплитуда сейсмической волны в 4 балла в 10 раз больше амплитуды сейсмической волны в 3 балла.

Биология. Биологи по длине следа слона, могут, приблизительно, определить его возраст ( а). Для этого они используют формулу .

Свойства логарифмов

1. Логарифм произведения:

Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Здесь и , х и у — положительные действительные числа.

2. Логарифм частного:

Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов. Здесь и , х и у — положительные действительные числа.

3. Логарифм степени:

Логарифм степени числа равен произведению степени и логарифма этого числа. Здесь и , х — положительное действительное число.

Свойство 1.

Доказательство свойства 1:

Обозначим

Свойство 2.

Доказательство свойства 2:

Обозначим .

Свойство 3.

Доказательство свойства 3:

Обозначим

Используя свойства логарифмов, запишите данные выражения через логарифмы положительных чисел х, у и z.

Пример:

Используя свойства логарифмов запишите в виде логарифма какого-либо числа вида .

Пример:

Запишите в виде логарифма следующие выражения, зная, что переменные могут принимать только положительные значения.

Пример:

Переход к новому основанию:

По основному логарифмическому тождеству и свойству степени логарифма имеем:

Отсюда:

В частном случае при

На многих калькуляторах существуют кнопки для вычисления только десятичного логарифма (lg) и натурального логарифма (In). Поэтому, возникает необходимость представлять логарифмы в виде десятичных и натуральных логарифмов.

Пример:

Запишите в виде : а) десятичного; б) натурального логарифма и вычислите.

Логарифм числа и его свойства

Логарифм числа:

Логарифмом положительного числа b по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести а, чтобы получить b. Обозначение:

поскольку

так как

поскольку

Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Обозначение:

Натуральный логарифм — это логарифм по основанию — иррациональное число, приближенное значение которого:

Обозначение:

2. Основное логарифмическое тождество

3. Свойства логарифмов и формулы логарифмирования

Логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

4. Формула перехода к логарифмам с другим основанием

Следствия

Объяснение и обоснование:

Логарифм числа в высшей математике

Если рассмотреть равенство то, зная любые два числа из этого равенства, мы можем найти третье:

Первые две операции, представленные в этой таблице (возведение в степень и извлечение корня степени), нам уже известны, а с третьей — логарифмированием, то есть нахождением логарифма данного числа — мы познакомимся в этом параграфе.

В общем виде операция логарифмирования позволяет из равенства (где найти показатель Результат выполнения этой операции обозначается Таким образом, логарифмом положительного числа по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести чтобы получить

2) Например: 1) поскольку поскольку

3) поскольку

Отметим, что при положительных уравнение всегда имеет единственное решение, поскольку функция принимает все значения из промежутка является возрастающей, а при — убывающей (рис. 126).

Итак, каждое свое значение функция принимает только при одном значении Следовательно, для любых положительных чисел уравнение имеет единственный корень

При уравнение не имеет корней, таким образом, при значение выражения не существует.

Например, не существуют значения

Отметим, что логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается

Например,

В недалеком прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение и составляли очень подробные таблицы их значений, которые использовались в разных вычислениях. В эпоху всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою ведущую роль. В современной науке и технике широко используются логарифмы, основанием которых является особенное число (такое же знаменитое, как и число Число как и число — иррациональное, Логарифм по основанию называется натуральным логарифмом и обозначается

Например,

Основное логарифмическое тождество

По определению логарифма, если Подставляя в последнее равенство вместо его значение, получаем равенство, которое называется основным логарифмическим тождеством:

где

Например:

Свойства логарифмов и формулы логарифмирования

Во всех приведенных ниже формулах

1) Из определения логарифма получаем, что

поскольку Таким образом, логарифм единицы по любому основанию равен нулю.

2) Поскольку то

3) Чтобы получить формулу логарифма произведения обозначим Тогда по определению логарифма

Перемножив почленно два последних равенства, имеем По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем Таким образом,

Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.

4) Аналогично, чтобы получить формулу логарифма частного достаточно разделить почленно равенства (1). Тогда По определению логарифма и с учетом введенных обозначений из последнего равенства получаем Таким образом,

Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.

5) Чтобы получить формулу логарифма степени обозначим По определению логарифма Тогда и по определению логарифма с учетом обозначения для имеем Таким образом,

Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

Учитывая, что при по формуле (4) имеем: To есть при можно пользоваться формулой (можно не запоминать эту формулу, а каждый раз записывать корень из положительного числа как соответствующую степень).

Замечание. Иногда приходится находить логарифм произведения и в том случае, когда числа оба отрицательные Тогда и существует, но формулой (2) воспользоваться нельзя — она обоснована только для положительных значений В случае имеем и теперь

Таким образом, для логарифма произведения можно воспользоваться формулой (2). Поэтому при можем записать:

Отметим, что полученная формула справедлива и при поскольку в этом случае Таким образом, при

Аналогично можно обобщить и формулы (3) и (4):

при при

Формула перехода к логарифмам с другим основанием

Пусть Тогда по определению логарифма Прологарифмируем обе части последнего равенства по основанию Получим

Используя в левой части этого равенства формулу логарифма степени, имеем Тогда Учитывая, что получаем где

Таким образом, логарифм положительного числа по одному основанию а равен логарифму этого же числа по новому основанию деленному на логарифм прежнего основания а по новому основанию

С помощью последней формулы можно получить следующие следствия.

1. Учитывая, что имеем где
2. Аналогично, учитывая формулу перехода от одного основания логарифма к другому и формулу логарифма степени, получаем (при

Записав полученную формулу справа налево, имеем где

Примеры решения задач:

Пример №26

Вычислите:

Решение:

1) поскольку

2) так как

Комментарий:

Учитывая определение логарифма, необходимо подобрать такой показатель степени, чтобы при возведении основания логарифма в эту степень получить число, стоящее под знаком логарифма.

Пример №27

Запишите решение простейшего показательного уравнения:

Комментарий:

Для любых положительных чисел уравнение имеет единственный корень. Показатель степени в которую необходимо возвести основание чтобы получить называется логарифмом по основанию поэтому

Решение:

По определению логарифма:

Пример №28

Выразите логарифм по основанию 3 выражения (где и

через логарифмы по основанию 3 чисел (Коротко говорят так «Прологарифмируйте заданное выражение по основанию 3».)

Комментарий:

Сначала запишем выражения, стоящие в числителе и знаменателе данного выражения, как степени чисел и букв. Далее учтем, что логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов числителя и знаменателя, а затем то, что логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей.

После этого учтем, что каждый из логарифмов степеней равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени, а также то, что

Решение:

Пример №29

Известно, что Выразите через

Решение:

Комментарий Сначала представим число 700 как произведение степеней данных чисел 5 и 7 и основания логарифма 2, а далее используем свойства логарифмов и подставим в полученное выражение значения

Пример №30

Прологарифмируйте по основанию 10 выражение

Комментарий:

Поскольку логарифмы существуют только для положительных чисел, то мы можем прологарифмировать данное выражение только в случае когда Из условия не следует, что в данном выражении значения с положительны. Поэтому будем пользоваться обобщенными формулами логарифмирования а также учтем, что

Решение:

Иногда приходится искать выражение, зная его логарифм. Такую операцию называют потенцированием.

Пример №31

Найдите х по его логарифму:

Решение:

Комментарий:

Пользуясь формулами логарифмирования справа налево, запишем правые части данных равенств в виде логарифма какого-то выражения.

Из полученного равенства получаем (значение удовлетворяющее равенству (1), — единственное).

Пример №32

Вычислите значение выражения

Комментарий:

Попытаемся привести показатель степени данного выражения к виду чтобы можно было воспользоваться основным логарифмическим тождеством:

Для этого перейдем в показателе степени к одному основанию логарифма (к основанию 5).

Решение:

Поскольку то

Кроме того,

Тогда

Итак

Логарифмическая функция, ee свойства и график

Определение. Логарифмической функцией называется функция вида

График логарифмической функции:

Функции — взаимно обратные функции, поэтому их графики симметричны относительно прямой

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция ни четная, ни нечетная.

4. Точки пересечения с осями координат: с осью с осью

5. Промежутки возрастания и убывания:

функция возрастает при на всей области определения

функция убывает при на всей области определения

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8.

Объяснение и обоснование:

Понятие логарифмической функции и ее график

Логарифмической функцией называется функция вида

Покажем, что эта функция является обратной к функции Действительно, показательная функция возрастает на множестве а при — убывает на множестве . Область значений функции — промежуток Таким образом, функция обратима (с. 141) и имеет обратную функцию с областью определения и областью значений Напомним, что для записи формулы обратной функции достаточно из равенства выразить через и в полученной формуле аргумент обозначить через а функцию — через Тогда из уравнения по определению логарифма получаем — формулу обратной функции, в которой аргумент обозначен через а функция — через Изменяя обозначения на традиционные, имеем формулу — функции, обратной к функции

Как известно, графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой Таким образом, график функции можно получить из графика функции у = ах симметричным отображением относительно прямой На рисунке 127 приведены графики логарифмических функций при и при График логарифмической функции называют логарифмической кривой.

Свойства логарифмической функции

Свойства логарифмической функции, указанные в пункте 8 таблицы 54. Другие свойства функции прочитаем из полученного графика этой функции или обоснуем, опираясь на свойства функции

Поскольку область определения прямой функции является областью значений обратной, а область значений прямой функции — областью определения обратной, то, зная эти характеристики для функции получаем соответствующие характеристики для функции

1. Областью определения функции является множество всех положительных чисел
2. Областью значений функции является множество всех действительных чисел (тогда функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений).
3. Функция не может быть ни четной, ни нечетной, поскольку ее область определения не симметрична относительно точки 0.
4. График функции не пересекает ось поскольку на оси а это значение не принадлежит области определения функции График функции пересекает ось в точке поскольку при всех значениях
5. Из графиков функции приведенных на рисунке 127, видно, что прu функция возрастает на всей области определения, а при — убывает на всей области определения. Это свойство можно обосновать, опираясь не на вид графика, а только на свойства функции Например, при возьмем По основному логарифмическому тождеству можно записать: Тогда, учитывая, что имеем Поскольку при функция является возрастающей, то из последнего неравенства получаем А это и означает, что при функция возрастает на всей области определения. Аналогично можно обосновать, что при функция убывает на всей области определения.
6. Промежутки знакопостоянства. Поскольку график функции пересекает ось в точке то, учитывая возрастание функции при и убывание при имеем:

Примеры решения задач:

Пример №33

Найдите область определения функции:

Решение:

1. Область определения функции задается неравенством Отсюда То есть
2. Область определения функции задается неравенством Это неравенство выполняется при всех действительных значениях Таким образом,
3. Область определения функции задается неравенством Решая это квадратное неравенство, получаем или (см. рисунок).

То есть

Комментарий:

Поскольку выражение, стоящее под знаком логарифма, должно быть положительным, то для нахождения области определения заданной функции необходимо найти те значения аргумента при которых выражение, стоящее под знаком логарифма, будет положительным.

Пример №34

Изобразите схематически график функции:

Комментарий:

Область определения функции — значения следовательно, график этой функции всегда расположен справа от оси Этот график пересекает ось в точке

При логарифмическая функция возрастает, таким образом, графиком функции будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента поднимаются.

При логарифмическая функция убывает, таким образом, графиком функции будет логарифмическая кривая, точки которой при увеличении аргумента опускаются.

Чтобы уточнить поведение графиков данных функций, найдем координаты нескольких дополнительных точек.

Решение:

Пример №35

Изобразите схематически график функции

Решение:

Последовательно строим графики:

Комментарий:

Составим план последовательного построения графика данной функции с помощью геометрических преобразований.

Пример №36

Сравните положительные числа зная, что:

Решение:

Комментарий:

В каждом задании данные выражения — это значения логарифмической функции в точках

Используем возрастание или убывание соответствующей функции:

Пример №37

Сравните с единицей положительное число зная, что

Решение:

Поскольку а из условия получаем, что (то есть то функция убывающая, поэтому

Комментарий:

Числа — это два значения функции Исходя из данного неравенства, выясняем, является эта функция возрастающей или убывающей, и учитываем, что она возрастает при и убывает при

• Заказать решение задач по высшей математике

Решение логарифмических уравнении и неравенств

Основные определения и соотношения:

Определение: Логарифмом положительного числа b по основанию называется показатель степени, в которую необходимо возвести чтобы получить

График функции

— возрастает

— убывает

Решение простейших логарифмических уравнений:

Если — число то (используем определение логарифма)

Пример №38

Ответ: 10.

Если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то гарантируем, что получаем уравнения следствия. При использовании уравнений»следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление по» сторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения.

Пример №39

По определению логарифма получаем

Проверка. — посторонний корень (в основании логарифма получаем отрицательное число);

— корень

Ответ: 2.

Равносильные преобразования логарифмических уравнений:

Если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Пример №40

Замена переменных:

Замена:

Следовательно, Тогда

Ответ:

Пример №41

Уравнение вида

(учитываем ОДЗ и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов)

ОДЗ:

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

— посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ);

— корень (удовлетворяет условиям ОДЗ).

Ответ: 3.

1. Учитываем ОДЗ данного уравнения (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ);

2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и обратном направлениях с сохранением верного равенства

ОДЗ:

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

— корень (удовлетворяет условиям ОДЗ);

— посторонний корень (не удовлетворяет условиям ОДЗ).

Ответ:1.

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических уравнений

Простейшим логарифмическим уравнением обычно считают уравнение

Логарифмическая функция возрастает (или убывает) на всей своей области определения, то есть при (см. графики в пункте 1 табл. 55), и поэтому каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента. Учитывая, что логарифмическая функция принимает все действительные значения, уравнение всегда имеет единственный корень, который можно записать, исходя из определения логарифма:

Если рассмотреть уравнение и выполнить замену переменной: то получим простейшее логарифмическое уравнение имеющее единственный корень Выполняя обратную замену, получаем, что решения уравнения (2) совпадают с корнями уравнения

Следовательно, уравнения (2) и (3) — равносильны. Таким образом, мы обосновали, что для равносильного преобразования простейшего логарифмического уравнения (1) или уравнения (2) (которое мы также будем относить к простейшим при условии, что основание — число) достаточно применить определение логарифма. Если обозначить равносильность уравнений значком то коротко этот результат можно записать так:

• 

Напомним, что все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений (ОДЗ). Для уравнения (2) ОДЗ задается условием Но для всех корней уравнения (3) это условие выполняется автоматически (потому что Поэтому в явном виде ОДЗ для простейших логарифмических уравнений можно не записывать (поскольку оно учитывается автоматически при переходе от уравнения (2) к уравнению (3)).

Например, уравнение равносильно уравнению корень которого и является корнем заданного уравнения.

Аналогично записано и решение простейшего уравнения в таблице 55.

Использование уравнений-следствий при решении логарифмических уравнений

При решении уравнения главное — не потерять его корни, и поэтому важно следить за тем, чтобы каждый корень первого уравнения оставался корнем следующего уравнения — в этом случае получаем уравнения-следствия. Напомним, что каждый корень заданного уравнения обращает его в верное числовое равенство. Используя это определение, можно обосновать, что в случае, когда преобразования уравнений проводятся так: если из предположения, что первое равенство верно, следует, что каждое следующее верно, то мы получаем уравнения-следствия (поскольку каждый корень первого уравнения будет и корнем следующего уравнения). Напомним, что хотя при использовании уравнений-следствий не происходит потери корней исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней. Поэтому проверка полученных корней подстановкой в исходное уравнение является составной частью решения при использовании уравнений-следствий.

Пример решения логарифмического уравнения с помощью уравнений-следствий и оформление такого решения приведены в пункте 3 таблицы 55.

Равносильные преобразования логарифмических уравнений

Одним из часто используемых способов равносильных преобразований уравнений является замена переменной.

Напомним общий ориентир, которого мы придерживались при решении уравнений из других разделов: если в уравнение (неравенство или тождество) переменная входит в одном и том же виде, то удобно соответствующее выражение с переменной обозначить одной буквой (новой переменной).

Например, в уравнение переменная входит только в виде поэтому для его решения целесобразно применить замену получить квадратное уравнение имеющее корни а затем выполнить обратную замену и получить простейшие логарифмические уравнения: Тогда, по определению логарифма, корнями данных уравнений являются

Принимая во внимание то, что замена переменной (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием уравнения на любом множестве, для выполнения замены не обязательно находить ОДЗ данного уравнения. После выполнения обратной замены мы получили простейшие логарифмические уравнения, ОДЗ которых (как было показано выше) учитываются автоматически и могут также не записываться. Таким образом, в приведенном решении ОДЗ данного уравнения учтена автоматически, и поэтому в явном виде ОДЗ можно не записывать в решение. Именно так и оформлено решение этого уравнения в пункте 4 таблицы 55.

Рассмотрим также равносильные преобразования уравнения вида

Как уже говорилось, все равносильные преобразования уравнения выполняются на его области допустимых значений. Для уравнения (4) ОДЗ задается системой неравенств Поскольку логарифмическая функция возрастает (при или убывает (при на всей своей области определения и каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, то равенство (4) может выполняться (на ОДЗ) тогда и только тогда, когда Учитывая ОДЗ, получаем, что уравнение (4) равносильно системе Символично полученный результат зафиксирован в пункте 4 таблицы 55, а коротко его можно сформулировать так:

• чтобы решить уравнение с помощью равносильных преобразований, учитываем ОДЗ этого уравнения и приравниваем выражения, стоящие под знаками логарифмов.

Пример использования этого ориентира приведен в таблице 55.

Замечание 1. Полученную систему (5)-(7) можно несколько упростить. Если в этой системе выполняется равенство (5), то значения между собой равны, поэтому, если одно из этих значений будет положительным, то второе также будет положительным. Таким образом, уравнение (4) равносильно системе, состоящей из уравнения (5) и одного из неравенств (6) или (7) (обычно выбирают простейшее из этих неравенств).

Например, уравнение рассмотренное в таблице 55, равносильно системе Но, учитывая, что ограничения ОДЗ этого уравнения: мы не решали, а только проверяли, удовлетворяют ли найденные корни этим ограничениям, то приведенное упрощение не дает существенного выигрыша при решении этого уравнения.

Замечание 2. Как было обосновано выше, если выполняется равенство (4), то обязательно выполняется и равенство (5). Таким образом, уравнение (5) является следствием уравнения (4), и поэтому для нахождения корней уравнения (4): достаточно найти корни уравнения-следствия (5): и выполнить проверку найденных корней подстановкой в данное уравнение. (При таком способе решения ОДЗ уравнения (4) будет учтено опосредствованно, в момент проверки полученных корней, и его не придется явно записывать.)

Выполняя равносильные преобразования логарифмических уравнений в более сложных случаях, можно придерживаться следующего ориентира (он следует из определения равносильных уравнений):

1. Учитываем ОДЗ данного уравнения.
2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Например, решим уравнение с помощью равносильных преобразований.

Для этого достаточно учесть ОДЗ уравнения а затем, выполняя каждое преобразование уравнения, все время следить за тем, можно ли на ОДЗ выполнить это преобразование и в обратном направлении. Если ответ положителен, то выполненные преобразования равносильны. Если же какое-то преобразование для всех значений переменной из ОДЗ можно выполнить только в одном направлении (от исходного уравнения к следующему), а для его выполнения в обратном направлении необходимы какие-то дополнительные ограничения, то мы получим только уравнение-следствие, и полученные корни придется проверять подстановкой в исходное уравнение.

Применим этот план к решению уравнения (8).

Чтобы привести это уравнение к простейшему, перенесем все члены уравнения с логарифмами влево. Получим равносильное уравнение

(Равносильность уравнений (8) и (9) следует из известной теоремы: если из одной части уравнения перенести в другую слагаемые с противоположным знаком, то получим уравнение, равносильное данному на любом множестве. Равносильность этих уравнений следует также из того, что мы можем перейти не только от равенства (8) к равенству (9), но и выполнить обратное преобразование, пользуясь свойствами числовых равенств.)

Учитывая, что сумма логарифмов положительных (на ОДЗ) чисел равна логарифму произведения, получаем уравнение

На ОДЗ данного уравнения можно выполнить и обратное преобразование: поскольку то логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей. Таким образом, от равенства (10) можно вернуться к равенству (9), то есть этот переход также приводит к равносильному уравнению. Уравнение (10) — это простейшее логарифмическое уравнение. Оно равносильно уравнению, которое получается по определению логарифма:

Выполняя равносильные преобразования полученного уравнения, имеем:

Поскольку все равносильные преобразования выполнялись на ОДЗ данного уравнения, учтем ее, подставляя полученные корни в ограничения ОДЗ: — корень, потому что удовлетворяет условиям ОДЗ; не является корнем (посторонний корень), потому что не удовлетворяет условиям ОДЗ. Таким образом, данное уравнение имеет только один корень

Замечание. Рассмотренное уравнение можно было решить и с использованием уравнений-следствий.

Примеры решения задач:

Пример №42

Решите уравнение

Решение:

Проверка. — посторонний корень (под знаком логарифма получаем 0),

— корень, поскольку имеем

Ответ: 14

Комментарий:

Решим данное уравнение с помощью уравнений-следствий. Напомним, что при использовании уравнений-следствий главное — гарантировать, что в случае, когда первое равенство будет верным, то и все последующие также будут верными.

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим обе части уравнения (1) на 2 (если равенство (1) верно, то и равенство (2) также верно). Если равенства (1) и (2) верны (при тех значениях которые являются корнями этих уравнений), то при таких значениях существуют все записанные логарифмы, и тогда выражения — положительны. Следовательно, для положительных можно воспользоваться формулами: таким образом, равенства (3) и (4) также будут верны. Учитывая, что функция является возрастающей и, следовательно, каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента, из равенства логарифмов (4) получаем равенство соответствующих аргументов (5).

Если равенство (5) верно, то знаменатель дроби не равен нулю, и после умножения обеих ее частей на получаем верное равенство (6) (а значит, и верное равенство (7)). Поскольку мы пользовались уравнениями-следствиями, то в конце необходимо выполнить проверку.

Пример №43

Решите уравнение

Комментарий:

Решим данное уравнение с помощью равносильных преобразований. Напомним, что для этого достаточно учесть ОДЗ данного уравнения и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного равенства.

Заметим, что на ОДЗ выражение может быть как положительным, так и отрицательным, и поэтому мы не имеем права применять к выражению формулу: (это приведет к потере корня). Применение обобщенной формулы логарифмирования приведет к уравнению с модулем. Используем другой способ преобразований, учтя, что Поскольку на ОДЗ все выражения, стоящие под знаками логарифмов, положительны, то все преобразования от уравнения (1) к уравнению (2) будут равносильными. Выполнить равносильные преобразования уравнения (2) можно с использованием ориентира, приведенного на с. 377. Также равносильность уравнений (2) и (3) может быть обоснована через возрастание функции которая каждое свое значение принимает только при одном значении аргумента.

Решение:

ОДЗ: Тогда

На этой ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Учитывая ОДЗ, получаем, что входит в ОДЗ, таким образом, является корнем;

не входит в ОДЗ, следовательно, не является корнем данного уравнения. Ответ: 1.

Пример №44

Решите уравнение

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ Поскольку в уравнение входят логарифмы с разными основаниями, то приведем их к одному основанию (желательно числовому, иначе можно потерять корни уравнения). В данном случае приводим к основанию 4 по формуле

После приведения логарифмов к одному основанию переменная входит в уравнение только в одном виде Выполним замену Поскольку по ограничениям ОДЗ Тогда полученное дробное уравнение (1) равно-сильно квадратному уравнению (2).

Поскольку замена и обратная замена являются равносильными преобразованиями на ОДЗ, то для полученных решений достаточно проверить, входят ли они в ОДЗ.

Решение:

ОДЗ: На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению

Замена: Получаем:

(оба корня входят в ОДЗ).

Ответ: 16; 64.

Пример №45

Решите уравнение

Решение:

ОДЗ:

На ОДЗ данное уравнение равносильно уравнениям:

Замена:

Получаем:

Обратная замена дает

Отсюда или

Ответ: 0,1; 1000.

Комментарий:

Выполним равносильные преобразования данного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ и используем ориентир: если переменная входит и в основание, и в показатель степени, то для решения такого уравнения можно попытаться прологарифмировать обе части уравнения (только если они положительны). В запись уравнения уже входит десятичный логарифм, поэтому прологарифмируем обе части по основанию 10 (на ОДЗ обе части данного уравнения положительны).

Поскольку функция является возрастающей, то каждое свое значение она принимает только при одном значении аргумента. Следовательно, если выполняется равенство (1), то выполняется и равенство (2), и наоборот: если выполняется равенство (2), то выполняется и равенство (1). Таким образом, уравнения (1) и (2) равносильны на ОДЗ. При применение формулы является равносильным преобразованием, а значит, уравнения (2) и (3) также равносильны.

Обоснование равносильности дальнейших преобразований полностью совпадает с аналогичным обоснованием в предыдущей задаче.

Пример №46

Решите уравнение

Решение:

Замена: Получаем

Обратная замена дает — корней нет.

Ответ: 2

Комментарий:

Если сначала рассмотреть данное уравнение как простейшее логарифмическое, то по определению логарифма оно равносильно уравнению Как уже отмечалось (с. 376), ОДЗ данного уравнения для всех корней уравнения (1) учитывается автоматически, поскольку всегда. После этого уравнение (1) решается по схеме решения показательных уравнений.

Поскольку и поэтому уравнение (2) равносильно уравнению (3).

Пример №47

Решите систему уравнений

Решение:

По определению логарифма имеем Из второго уравнения последней системы получаем и подставляем в первое уравнение:

Тогда:

Проверка: решение заданной системы.

— постороннее решение

(под знаком логарифма получаем отрицательные числа).

Ответ: (1; 4).

Комментарий:

Как и логарифмические уравнения, системы логарифмических уравнений можно решать как с помощью систем-следствий (каждое решение первой системы является решением второй), так и с помощью равносильных преобразований систем (все решения каждой из них являются решениями другой).

Кроме того, при решении логарифмических систем можно применить те же способы, что и при решении других видов систем (способ алгебраического сложения, подстановка некоторого выражения из одного уравнения в другое, замена переменных).

Например, решим данную систему с помощью систем-следствий. Для этого достаточно гарантировать, что в случае, когда заданная система состоит из верных равенств, каждая следующая система также будет содержать верные равенства. Как и для уравнений, при использовании систем-следствий необходимо выполнить проверку полученных решений подстановкой в исходную систему.

Замечание. Данную систему можно было решить и с помощью равносильных преобразований систем. При этом пришлось бы учесть ОДЗ данной системы следить за равносильностью выполненных преобразований (в данном случае все написанные преобразования являются равносильными на ОДЗ), а в конце проверить, удовлетворяют ли полученные решения условиям ОДЗ (пара чисел удовлетворяет условиям ОДЗ, а не удовлетворяет условиям ОДЗ).

Пример №48

Решите систему уравнений

Решение:

ОДЗ:

Тогда из первого уравнения имеем

Замена дает уравнения

Обратная замена дает

Тогда из второго уравнения системы имеем

(не принадлежит ОДЗ),

(принадлежит ОДЗ).

Таким образом, решение данной системы

Ответ: (5:5)

Комментарий:

Решим данную систему с помощью равносильных преобразований. Для этого достаточно учесть ее ОДЗ и гарантировать, что на каждом шагу были выполнены именно равносильные преобразования уравнения или всей системы. В первом уравнении системы все логарифмы приведем к одному основанию

На ОДЗ следовательно, Тогда после замены имеем и поэтому переход в решении от дробного уравнения к квадратному является равносильным.

Поскольку замена (вместе с обратной заменой) является равносильным преобразованием, то, заменяя первое уравнение системы равносильным ему (на ОДЗ) уравнением получаем систему, равносильную данной (на ее ОДЗ).

Решение логарифмических неравенств

График функции :

Равносильные преобразования простейших логарифмических неравенств:

Знак неравенства не меняется, и учитывается ОДЗ:

Знак неравенства меняется, и учитывается ОДЗ:

ОДЗ:

Функция возрастающая, тогда

Учитывая ОДЗ, имеем

Ответ:

ОДЗ:

Функция убывающая, тогда Учитывая ОДЗ, имеем

Ответ:

Решение более сложных логарифмических неравенств:

I. С помощью равносильных преобразований данное неравенство приводится к неравенству известного вида.

Схема равносильных преобразований неравенства:

1. Учитываем ОДЗ заданного неравенства (и избегаем преобразований, приводящих к сужению ОДЗ).

2. Следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

ОДЗ: На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенствам: Замена Тогда то есть Решение этого неравенства (см. рисунок).

Обратная замена дает Тогда Учитывая, что функция является возрастающей, получаем: С учетом ОДЗ имеем:

Ответ:

II. Применяется общий метод интервалов (данное неравенство приводится к неравенству и используется схема:

1. Найти ОДЗ;
2. Найти нули
3. Отметить нули функции на ОДЗ и найти знак на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ;
4. Записать ответ, учитывая знак неравенства.

Решим неравенство методом интервалов. Оно равносильно неравенству Обозначим

1. ОДЗ:

2. Нули функции: Тогда На ОДЗ это уравнение равносильно уравнению (полученному по определению логарифма). То есть В ОДЗ входит только x = 3. Итак, f(x) имеет единственный нуль функции

3. Отмечаем нули функции на ОДЗ, находим знак на каждом из промежутков, на которые разбивается ОДЗ, и записываем решения неравенства

Ответ:

Объяснение и обоснование:

Решение простейших логарифмических неравенств

Простейшими логарифмическими неравенствами обычно считают неравенства вида

Для решения такого неравенства можно применять равносильные преобразования. Для этого необходимо учесть его ОДЗ: и рассмотреть два случая: основание логарифма больше 1 и основание меньше 1 (но больше 0).

I. При логарифмическая функция возрастает на всей своей области определения (то есть при и поэтому большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Таким образом, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента (в данном случае переходя к выражениям, стоящим под знаком логарифма), мы должны оставить тот же знак неравенства, то есть

Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (большему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что на ОДЗ неравенство (1) равносильно неравенству (2). Коротко это можно записать так:

II. При логарифмическая функция убывает на всей своей области определения (то есть при и поэтому большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, переходя в неравенстве (1) от значений функции к значениям аргумента, мы должны знак неравенства изменить на противоположный, то есть

Учитывая, что на ОДЗ указанный переход можно выполнить и в обратном направлении (меньшему положительному значению аргумента соответствует большее значение функции), получаем, что при неравенство (1) на его ОДЗ равносильно неравенству (5). Коротко это можно записать так:

Суммируя полученные результаты, отметим, что для решения неравенства вида с помощью равносильных преобразований необходимо учесть его ОДЗ, а при переходе от значений функции к значениям аргумента (то есть к выражениям, стоящим под знаком логарифма) — значение

Примеры использования этих ориентиров приведены в таблице 56.

Замечание. Системы неравенств, полученные для случаев I и II, можно несколько упростить. Например, если в системе выполняются неравенство (2): и неравенство (4): то из этих неравенств следует, что Следовательно, неравенство (3) этой системы выполняется автоматически, когда выполняются неравенства (2) и (4), и его можно не записывать в эту систему (см. пункт 2 табл. 56).

Аналогично обосновывается, что в случае II в системе неравенство (4) является следствием неравенств (3) и (5), и его также можно не записывать в систему.

Например, решим неравенство

(ОДЗ данного неравенства учтено автоматически, поскольку, если то выполняется и неравенство

Решаем неравенство Тогда отсюда (см. рисунок) — решение заданного неравенства (его можно записать и так:

Решение более сложных логарифмических неравенств

Решение более сложных логарифмических неравенств выполняется или с помощью равносильных преобразований данного неравенства (и приведения его к известному виду неравенств), или с помощью метода интервалов.

Схема равносильных преобразований логарифмических неравенств полностью аналогична схеме равносильных преобразований логарифмических уравнений:

1. учитываем ОДЗ данного неравенства;
2. следим за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства.

В этом случае на ОДЗ каждое решение данного неравенства будет и решением второго и, наоборот, каждое решение второго неравенства будет решением первого, то есть эти неравенства будут равносильными (на ОДЗ).

Примеры решения логарифмических неравенств с помощью равносильных преобразований и методом интервалов и оформления такого решения приведены в таблице 56. Рассмотрим еще несколько примеров.

Примеры решения задач:

Пример №49

Решите неравенство

Комментарий:

Решим данное неравенство с помощью равносильных преобразований. Как и для уравнений, для этого достаточно учесть ОДЗ данного неравенства и следить за тем, чтобы на ОДЗ каждое преобразование можно было выполнить как в прямом, так и в обратном направлениях с сохранением верного неравенства. Поскольку на ОДЗ выражения, стоящие под знаком логарифмов, положительны, то формулу для положительных можно применить как в прямом, так и в обратном направлениях. Таким образом, выполняя преобразование неравенства по этой формуле, получим неравенство, равносильное данному (на его ОДЗ).

Чтобы применить свойства логарифмической функции, запишем число (-1) как значение логарифмической функции: (понятно, что эту формулу можно применить как в прямом, так и в обратном направлении и учтем, что

Решение:

ОДЗ: Тогда

На этой ОДЗ данное неравенство равносильно неравенству

Функция убывающая, таким образом,

Получаем Последнее неравенство имеет решения:

(см. рисунок).

Учитывая ОДЗ, получаем

Ответ:

Пример №50

Решите неравенство

Решение:

Учитывая ОДЗ данного неравенства и то, что функция убывающая, получаем

то есть

Тогда

Учитывая, что функция возрастающая, получаем

Это неравенство равносильно системе которая равносильна системе

Решаем неравенства (4) и (5) методом интервалов и находим их общее решение (см. рисунок).

Для неравенства (4) ОДЗ: нули функции

Для неравенства (5) ОДЗ: нули функции

Ответ:

Комментарий:

ОДЗ данного неравенства задается системой

При выполнении равносильных преобразований главное не записать ОДЗ, а учесть ее в ходе решения. При переходе от неравенства (1) к неравенству (2) в записи последнего неравенства остается выражение

для которого ОДЗ:

Следовательно, при таком переходе ограничение (7) будет неявно учтено и поэтому достаточно учесть только ограничение (6) (что и сделано в левой части неравенства (2)). Чтобы применить свойства соответствующих логарифмических функций, записываем сначала (и учитываем, что а затем — При переходе от неравенства (2) к неравенству (3) получаем таким образом, и в этом случае неравенство (7) учтено автоматически. Для нахождения общих решений неравенств (4) и (5) удобно их решения методом интервалов разместить одно над другим так, чтобы одинаково обозначенные точки находились одна над другой. Тогда из приведенного рисунка легко увидеть общее решение системы неравенств.

Логарифмические функции и их нахождение

Как известно, если  то каждому положительному значению  соответствует единственное значение  Поэтому равенство задаёт некоторую функцию с областью определения 

 Функцию, заданную формулой  называют логарифмической функцией с основанием 

Примеры логарифмических функций: 

Как связаны между собой функции 

Равенство  выражает ту же зависимость между  что и  этим двум равенствам отвечает один и тот же график {рис. 29). Чтобы от равенства  перейти к  нужно поменять местами переменные  Поэтому и на графике следует поменять местами оси  (рис. 30). Этот рисунок —

график функции  только его оси размещены не так, как принято. Чтобы изобразить график функции  в общепринятой системе координат, нужно весь рисунок отразить симметрично относительно прямой  (рис. 31).

Итак, графики функций  построенные в одной системе координат, симметричны относительно прямой  

Последовательность описанных преобразований рассматриваемых функций для  схематически изображена на рисунке 32.

Функции, графики которых симметричны относительно прямой являются взаимно обратными. В частности, функция  обратная для функции 

Если две функции взаимно обратные, то область определения одной из них является областью значений другой и наоборот.

Следует обратить внимание и на такое. Если одна из двух взаимно обратных функций на всей области определения возрастает, то и другая возрастает. Например, если функция 

возрастает, то большему значению  соответствует большее значение  а большему значению  — большее значение  Тогда и в соотношениях   большему значению  соответствует большее значение  т. е. функция  также возрастает.

Из всего сказанного вытекают следующие свойства функции 

1. Область определения — промежуток 
2. Область значений — множество 
3. Функция возрастает на всей области определения, если  а если убывает.
4. Функция ни чётная, ни нечётная, ни периодическая.
5. Если  то значения функции  положительные при  и отрицательные при 
6. Если  то значения функции  положительные при  и отрицательные при 
7. График функции всегда проходит через точку 

Несколько графиков логарифмических функций показано на рисунке 33.

Если известно значение основания логарифма, то график логарифмической функции можно построить по точкам, составив предварительно таблицу значений. Постройте таким образом графики функций  и убедитесь, что первая из них — возрастающая, а вторая — убывающая.

Обратите внимание на такие утверждения:

1. если 
2. если 
3. если 

Вы уже знаете, что графики функций  симметричны относительно прямой  А как расположены графики функций 

Поскольку  то понятно, что функции  для одинаковых значений аргументов принимают противоположные значения. Это означает, что их графики симметричны относительно оси  Примером являются графики функций  изображённые на рисунке 34. 

Показательные и логарифмические функции удобны для моделирования процессов, связанных с ростом населения, капитала, размножением бактерий, изменением атмосферного давления, радиоактивным распадом и т. п.

Пример №51

Найдите область определения функции 

Решение:

Областью определения логарифмической функции является промежуток  поэтому  Корни уравнения  равны  поэтому множество решений неравенства такое: 

Ответ. 

Пример №52

Сравните числа: 

Решение:

а) Функция  убывающая, ибо  Поскольку  б) Приведём второй логарифм к основанию 0,5:

Из последнего неравенства следует, что  Поскольку 

3) если (a>1), то функция возрастает на всей области определения;

    если (0<a<1), то функция убывает на всей области определения.

Построим графики двух функций.

           

Пример:

Найти положительный корень уравнения

( По определению арифметического корня имеем-

Пример:

Решить уравнение

Запишем данное уравнение так: откуда х = 4. В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени; Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение таким способом решить не удается. Однако вы знаете, что это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводите понятие логарифма числа.

Уравнение , где а > 0 , а , имеет единственный корень. Этот корень называют ло-1
гарифмом числа b по основанию а и обозначают . Например
корнем уравнения является число 4, т. е.

Лаплас Пьер Симон (1749— 1827)— французский математик, физик и астроном, адъюнкт Французской Академии Наук. После Великой Французской революции принимал активное участие в реорганизации системы образования. Важнейшие направления его исследований — математика, небесная механика и математическая физика. Один из создателей теории вероятностей.

Итак, логарифмом положительного числа b по основа­нию а, где
а > 0, , называется показатель степени, и которую надо возвести число а, чтобы получить b .
Например, так как

так как так как

так как

Определение логарифма можно кратко записать так:

Это равенство справедливо при b > 0, а > 0, . Его обычно
называют основным логарифмическим тождеством.
Например,

С помощью основного логарифмического тождества можио
показать, например, что является корнем уравнения

В самом деле,

Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.

Пример:

Вычислить

Обозначим По определению логарифма

Так как то ,

откуда
Ответ.

Пример:

Вычислить

Используя свойства степени и основное логарифмическое равенство, находим:

Пример:

Решить уравнение

Но определению логарифма откуда х = — 8.

Пример:

При каких значениях х существует

Так как основание логарифма 5 > 0 и то данный логарифм
существует тогда и только тогда, когда

Получено неравенство, находим 1 < х < 2.

Свойства логарифмов

При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.

Пусть а>0, , b > 0, с > 0, r —любое действительное число. Тогда справедливы формулы:

По основному логарифмическому тождеству

1) Перемножая равенства (4) и (5), получаем:

откуда по определению логарифма

Формула (1) доказана.

2) Разделив равенства (4) и (5), получим:

откуда по определению логарифма следует формула (2).
3) Возводя основное логарифмическое тождество
в степень с показателем r, получаем:

откуда по определению логарифма следует формула (3). •
Приведем примеры применения формул (1) — (3):

Пример:

Вычислить
Применяя формулы (1) — (3), находим:

Десятичные и натуральные логарифмы

Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы
(таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью
микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только
десятичные или натуральные логарифмы.

Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо

Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где е — иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln e вместо

Иррациональное число е играет важную роль в математике
и ее приложениях. Число е можно представить как сумму:

Вычисление числа е на микрокалькуляторе проводится по
программе:

Вычисления на микрокалькуляторе lg b и ln b проводятся
соответственно по программам:

Например, вычисляя lg 13, получаем:

вычисляя ln 13, получаем:

Оказывается, что достаточно знать значения только десятич­ных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить
логарифмы чисел по любому основанию. Для этого используется
формула перехода от логарифма по одному основанию к
лога­рифму по другому основанию:

где b > 0, а > 0 , , с > 0 ,

Докажем справедливость формулы (1).
Запишем основное логарифмическое тождество
Возьмем от обеих его частей логарифмы по основанию с:

Используя свойство логарифма степени, получаем:

Из формулы (1) при с = 10 и с = е получаются формулы
перехода к десятичным и натуральным логарифмам:

Пример:

С помощью микрокалькулятора МК-54 вычислить

1) С помощью десятичных логарифмов:

2) С помощью натуральных логарифмов:

Ответ. ▲

Формула перехода от одного основания логарифма к другому
иногда используется при решении уравнений.

Пример:

Решить уравнение

По формуле перехода

Поэтому уравнение принимает вид откуда ▲

Пример:

Двухпроцентный вклад в Сбербанк, равный
а рублям, через п лет становится равным а
трехпроцент­ный вклад становится равным

Через сколько лет каждый из вкладов удвоится?

1) Для первого вклада откуда

2. Вычисления проведем на МК-54:

2) Для второго вклада и программа вычислений
такова:

Ответ. По первому вкладу приближенно через 36 лет, а
по второму — через 23,5 года.

Логарифмическая функция и ее график

В математике и ее приложениях часто встречается
логарифмическая функция

где а — заданное число, а > 0, .
Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — мно­жество всех положительных чисел.
Это следует из определения логарифма, так как выражение ; имеет смысл только при x > 0.

2) Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел.
Это следует из того, что для любого действительного числа
b есть такое положительное число х, что , т. е. уравне­ние имеет корень. Такой корень существует и равен так как

3) Логарифмическая функция является возрас­тающей на промежутке x > 0, если а > 1 , и убывающей, если
0 < а < 1 .

Пусть а > 1. Докажем, что если то т. е.

Пользуясь основным логарифмическим
тождеством, условие можно записать так: Из этого неравенства по свойству степени с основанием a > 1 следует, что

Пусть 0 < a < 1 . Докажем, что если то Записав условие в виде получим так как 0 < а < 1 .

4) Если а > 1, то функция принимает положи­тельные значения при х >1, отрицательные — при 0 < x < ;1. Если 0 < а < 1 , то функция принимает положитель­ные значения при 0 < x < 1, отрицательные — при х > 1.

Это следует из того, что функция принимает
зна­чение, равное нулю, при x = 1 и является возрастающей на про­межутке x > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1 .

Из рассмотренных свойств логарифмической функции следует, что ее график расположен правее оси Оу и имеет вид, указанный на рисунке 7, если а > 1, и на рисунке 8, если 0 < a < 1 .

На рисунке 9 изображен график функции а на рисунке 10 — график функции

Отметим, что график любой логарифмической функции проходит через точку ( 1 ; 0). При решении уравнений часто используется следующая теорема:

Теорема:

Если где a > 0, , то

Предположим, что например Если a > 1, то из неравенства следует, что если
0 < а < 1 , то из неравенства следует, что

В обоих случаях получилось противоречие с условием Следовательно,

Пример:

Решить уравнение

Используя доказанную теорему, получаем Зх — 2 = 7, откуда Зх = 9,
х = 3.
Пример:

Решить неравенство

Пользуясь тем, что запишем данное неравенство так: Так как функция определена при x > 0 и возрастает, то неравенство выполняется при х > 0 и x < 8.
Ответ. 0 < х < 8 .

Пример:

Решить неравенство

Запишем данное неравенство так:

Функция определена при и убывает, поэтому неравенство выполняется при х > 0 и

Ответ.

Обратная функция

Известно, что зависимость скорости v от времени t движения
тела, брошенного вверх с начальной скоростью выражается
формулой

Из этой формулы можно найти обратную зависимость — времени от скорости: Функцию называют обратной к функции а функ­цию v (t) — обратной к функции t (v ). Отметим, что в этом примере каждому значению t соответствует единственное значение v и, наоборот, каждому значению v соответствует единственное зна­чение t.

Рассмотрим теперь показательную и логарифмическую
функции. Обозначим символом f(х) показательную функцию,
a g (х) — логарифмическую функцию:

где а — заданное число, а > 0, .

Решим уравнение относительно х. По определению
логарифма Поменяв в этом равенстве местами х и у,
получим логарифмическую функцию Функцию называют обратной к функции Если из равенства найти х, то получим , а поменяв местами х и у — показа­тельную функцию Функцию называют обратной к функции . Поэтому функции f (х) и g (х) называют взаимно обратными.

Вообще если функция y = f(x) задана формулой, то для
нахождения обратной функции нужно решить уравнение
f (x) = у относительно х и затем поменять местами х и у.

Если уравнение f(x)= y имеет более чем один корень, то
функции, обратной к y = f (x), не существует.

Например, функция не имеет обратной, так как
уравнение имеет два корня для любого
у > 0.
Если функцию рассматривать только на промежутке , то она будет иметь обратную так как уравнение при имеет только один неотрицательный корень.

Пример:

Найти функцию, обратную к функции

Решая это уравнение относительно х, получаем
Заменив х на у и у на х, находим

В этой задаче область определения функции есть
множество действительных чисел, не равных 2, а множество ее значений — все действительные числа, не равные 0. График этой
функции изображен на рисунке 11.
Для обратной функции область определения —
мно­жество действительных чисел, не равных 0, а множество значе­ний — все действительные числа, не равные 2. График обратной функции изображен на рисунке 12.

Вообще область определения обратной функции совпадает
с множеством значений исходной функции, а множество
зна­чений обратной функции совпадает с областью определения
исходной функции.
Можно показать, что если функция имеет обратную, то
график обратной функции симметричен графику данной
функ­ции относительно прямой у = х.
Примеры графиков взаимно обратных функций показаны на
рисунке 13.

Логарифмические уравнения

Пример:

Решить уравнение

( 1 )

Предположим, что х — такое число, при котором равенство ( 1 ) является верным, т. е. х — корень уравнения ( 1 ).
Тогда по свойству логарифма верно равенство

Из этого равенства по определению логарифма получаем:

откуда т. е.

Последнее равенство верно, если или

Итак, предположив, что число х — корень уравнения (1),
мы показали, что х может быть равным или 1, или —5.
Проверим, являются ли эти числа корнями уравнения (1).
Подставляя в левую часть данного уравнения х = 1 , получаем

т. е. х = 1 — корень уравнения ( 1 ).

При х = — 5 числа х + 1 и х + З отрицательны, и поэтому
левая часть уравнения ( 1 ) не имеет смысла, т. е. х = — 5 не
явля­ется корнем этого уравнения.
Ответ. х = 1 .

Заметим, что х = — 5 является корнем уравнения (2), так
как

Получилось, что число х = 1 является корнем обоих уравнений
( 1 ) и (2), а число х = — 5 не является корнем уравнения (1 ), но является корнем уравнения (2). Таким образом, при переходе от уравнения (1) к уравнению (2 ) корень х = 1 сохранился и появился посторонний корень х = —5. В этом случае уравнение (2) называют следствием уравнения (1 ).

Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

Отметим, что в уравнении, которое является следствием
данного, не всегда появляются посторонние корни; важно лишь
то, чтобы корни исходного уравнения не терялись.

В большинстве случаев, как и в задаче 1, уравнения ре­шаются постепенным переходом к более простым уравнениям,
которые являются следствием исходного уравнения. В таких
случаях после нахождения корней необходима их проверка.

Пример:

Решить уравнение

Перенесем логарифм из правой части в левую;

откуда

Решая это уравнение, получаем

Число не является корнем исходного уравнения, так
как при x = 5 левая и правая части уравнения теряю т смысл.
Проверка показывает, что число х = — 1 является корнем
исход­ного уравнения.
Ответ. х = — 1. ▲

Пример:

Решить уравнение

По свойству логарифмов

откуда

Проверка показывает, что оба значения x
явля­ются корнями исходного уравнения.
Ответ. ▲

Проверкой можно убедиться в том, что числа являются корнями не только уравнений (6) и (3), но и уравнений
(4) и (5). Все эти уравнения других корней не имеют. Такие
уравнения называют равносильными.

Уравнения, имеющие одно и то же множество корней,
называют равносильными.
В частности, два уравнения, не имеющие корней, являются
равносильными.

Отметим, что любое из двух равносильных уравнений является следствием другого.
Большинство уравнений, с которыми вы встречались в курсе
алгебры, решались с помощью перехода от данного уравнения
к равносильному. Так решались уравнения первой степени с
одним неизвестным, квадратные уравнения, показательные
уравне­ния.

Напомним, что уравнение заменяется ему равносильным при
следующих преобразованиях:
любой член уравнения можно переносить из одной части
в другую, изменив его знак на противоположный;
обе части уравнения можно умножить или разделить на
одно и то же число, не равное нулю.

Однако не при любом преобразовании уравнение заменяется
на равносильное. Например, при возведении обеих частей
уравне­ния в квадрат получается уравнение , которое является следствием первого, но не равносильным ему. Поэтому после решения второго уравнения необходимо проверить, яв­ляются ли его корни корнями исходного уравнения.

Пример:

Решить уравнение

Приравнивая выражения, стоящие под знаком логарифма,
получаем:

откуда х = — 2. Выполняя проверку, убеждаемся, что при х = — 2
левая и правая части исходного уравнения не имеют смысла.
Ответ. Корней нет.

Здесь посторонний корень появился потому, что при переходе
от равенства логарифмов к равенству чисел не было учтено
требование, чтобы эти числа были положительными.
Рассмотренные примеры логарифмических уравнений
показы­вают, что при их решении с использованием свойств логарифмов получаются уравнения, которые являются следствиями исход­ного. Поэтому необходима проверка, которая позволяет
обна­ружить посторонние корни. ▲

Пример:

Решить уравнение

Преобразуем данное уравнение:

Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения
к нулю, получаем:

Проверка показывает, что оба значения х являются корнями
исходного уравнения.
Ответ.

Отметим, что если обе части уравнения (7) разделить на
выражение то будет потерян корень х = 1.

Вообще при делении обеих частей уравнения на выраже­ние, содержащее неизвестное, может произойти потеря корней.
Поэтому уравнение, обе части которого содержат общий
мно­житель, решают переносом всех членов в одну часть и
разло­жением на множители.

При решении уравнений главное не потерять корни, а на­личие посторонних корней можно установить проверкой. По­этому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

Пример:

Решить систему уравнений

Из первого уравнения выразим х через Подставив х = 2у во второе уравнение системы,

получим откуда

Найдем значения х : Проверкой убеждаемся,
что — решение системы, а ( — 4; —2) — постороннее
решение.
Ответ.

Логарифмические неравенства

При изучении логарифмической функции рассматривались
неравенства вида и

Приведем примеры ре­шения более сложных логарифмических неравенств. Обычный способ решения таких неравенств заключается в переходе от них к более простому неравенству или системе неравенств, имеющей то же самое множество решений.

Пример:

Решить неравенство

Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях x, а левая часть — при x + 1 > 0, т. е. при х > — 1.
Промежуток х > — 1 называют областью определения нера­венства (1). Так как логарифмическая функция с основанием
10 возрастающая, то неравенство ( 1 ) при условии x + 1 > 0
выполняется, если (так как 2 = lg 100). Таким
об­разом, неравенство ( 1 ) равносильно системе неравенств

т. е. неравенство ( 1 ) и система (2) имеют одно и то же множество решений. Решая систему (2), находим

Пример:

Решить неравенство

Логарифмическая функция определена при положительных значениях аргумента, поэтому левая часть неравенства имеет смысл при х — 3 > 0 и х — 2 > 0.

Следовательно, областью определения этого неравенства явля­ется промежуток х > 3 . По свойствам логарифма неравенство (3)
при х > 3 равносильно неравенству

Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая. Поэтому при х > 3 неравенство (4) выполняется, если

Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе неравенств

Решая первое неравенство этой системы, получаем откуда

Совмещая этот отрезок с промежутком х > 3 , получаем (рис. 14).

Пример:

Решить неравенство

Область определения неравенства находится из условия

Неравенство (5) можно записать в следующем виде:

Так как логарифмическая функция с основанием является
убывающей, то для всех х из области определения неравенства
получаем:

Таким образом, исходное неравенство (5) равносильно системе неравенств

Решая первое квадратное неравенство, получаем х < — 4, х > 2 (рис. 15). Решая второе квадратное неравенство, полу­чаем (рис. 16). Следовательно, оба неравенства систе­
мы выполняются одновременно при и при . (рис. 17).
Ответ.

Определение:

Логарифмом числа а по основанию b называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b.

В качестве основания мы будем всегда брать положительное число а, отличное от 1.

В записи b = число а является основанием степени, t — показателем, b — степенью. Число t — это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число b. Следовательно, t — это логарифм числа b по основанию а:

Можно сказать, что формулы = b и t = равносильны, выражают одну и ту же связь между числами a, t и b (при а>0, а ≠ 1, b>0). Число t — произвольно, никаких ограничений на показатель степени не накладывается.

Подставляя в равенство = b запись числа t в виде логарифма, получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством:

Представляя в равенстве выражение b в виде степени, получим еще одно тождество:

Свойства логарифмов

Теорема:

Верны следующие тождества, выражающие свойства логарифмов:

1), т. е. логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей;

2) т. е. логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя;

3) т. е. логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания.

Доказательство:

Свойства логарифмов выводятся из свойств степеней с помощью основного логарифмического тождества, выражающего определение логарифма. Выведем для примера первое свойство.

Обозначим По основному логарифмическому тождеству имеем:

Перемножим эти равенства: По свойству степеней

По определению логарифма t1+ t2 = т. е. что и требовалось доказать. Свойства 2 и 3 выведите самостоятельно.

Свойства степеней и логарифмов тесно связаны между собой. Они фактически выражают одно и то же, только один раз мы обращаем внимание на поведение самих степеней, а другой — на поведение показателей:

С помощью свойств логарифмов можно логарифмировать выражения, составленные с помощью операций умножения, деления и возведения в степень.
Примеры.

Иногда приходится искать выражение по его логарифму. Такую операцию называют потенцированием.

Примеры:

Замечание. Запись имеет смысл лишь при b> 0. Поэтому в тождествах, отражающих свойства логарифмов, все выражения, стоящие под знаком логарифма, будем считать положительными. При логарифмировании буквенных выражений надо их раскладывать на множители так, чтобы все множители были положительны. Например, пусть необходимо прологарифмировать выражение А=х(х — 1). Сделать это можно лишь тогда, когда А >0, т. е. когда либо х<0, либо х> 1. Если х> 1, то оба множителя х и х— 1 положительны и мы можем записать:

Если же х<0, то оба множителя отрицательны и А нужно разложить на множители так: А =( — x)(1 — x), откуда

Аналогично при ( —x) при x<0. С помощью модуля это можно записать короче:

Модуль перехода

В вычислениях в качестве основания а часто берется число а=10. В то же время зачастую необходимы вычисления степеней и логарифмов с разными основаниями. Возникает вопрос: как связать между собой степени и логарифмы с разными основаниями?

Пусть дана степень b = . Мы хотим перейти к новому основанию с, т. е. записать число в виде сх при некотором х. Записав равенство и прологарифмировав его по основанию а, получим , откуда Так как = b, = b, то можно с помощью логарифмов записать: , , откуда

Выведенную формулу называют формулой перехода от одного основания логарифма к другому.

Таким образом, мы видим, что при изменении основания значения логарифмов изменяются пропорционально. Коэффициент пропорциональности называют модулем перехода.

Отметим простые следствия выведенной формулы:

1) (положим в формуле перехода b = а)

2) (положим в формуле перехода с = аk)

3) (положим в предыдущей формуле k=-l).

С помощью логарифмов все степени можно привести к одному основанию. Если в качестве основания берется число a =10, то соответствующие логарифмы обозначаются знаком lg и называются десятичными. Можно записать:

Если в качестве основания берется число е, то соответствующие логарифмы обозначаются знаком ln и называются натуральными:

Значения модулей перехода от десятичных логарифмов к натуральным и наоборот таковы:

Исследование логарифмической функции

Определение:

Логарифмической функцией называется функция вида

Напомним, что в качестве основания логарифмов выбирается число а> 0, отличное от 1.

Основные свойства логарифмической функции (схема X).

• 1) Область определения: множество всех положительных чисел, т. е. промежуток (0; + ∞).
• 2) Монотонность: если а>1, то логарифмическая функция строго возрастает; если 0<а<1, то она строго убывает.
• 3) Область значений: множество всех вещественных чисел R.

Так как определение логарифмов основано на понятии степени,

то при доказательстве свойств логарифмической функции используют свойства показательной функции.

Свойство 1 в доказательстве не нуждается: оно опирается на определение логарифма числа х, по которому необходимо, чтобы число х было положительным.

Докажем свойство 2. Для этого сначала рассмотрим случай а>1. Возьмем два положительных числа х1 и x2, такие, что x1 <x2, и докажем, что Обозначив первое из этих чисел через t1, второе — через t2, по определению логарифма получим

Если бы выполнялось неравенство t1 ≥ t2, то по свойству монотонности показательной функции выполнялось бы неравенство т. е. Это противоречит условию.

Следовательно, t1<t2, что и требовалось доказать. Случай 0<а<1 рассматривается аналогично.

Свойство 3 утверждает, что всякое вещественное число t может быть логарифмом некоторого числа х. Так как степень определена при любом t, то, взяв х =, получим что и требовалось доказать.

Графики логарифмических функций при различных основаниях показаны на рисунке 108.

Графики функций симметричны друг другу относительно прямой у = х. Действительно, если точка Р {с; d) лежит на графике функции у = ах, то d = ac. Но тогда и точка Q {d; с) лежит на графике функции

Так как точки Р (с; d) и Q (d; с) симметричны относительно прямой у = х (рис. 109), то симметричны и графики показательной и логарифмической функций.

Вместо логарифмических функций с произвольным основанием удобно рассматривать функции вида у = с ln х. Так как то указанные функции исчерпывают все логарифмические функции.

Функция у = ln х растет с ростом х, однако медленнее, чем любая степенная функция вида (k>0), в частности медленнее, чем (схема IX).

Производная логарифмической функции

Рассмотрим две функции у = и у = ln х. Мы знаем, что их графики симметричны относительно прямой у = х. Это поможет нам найти производную логарифмической функции, зная производную экспоненты. Возьмем точку Р (с; d) на графике экспоненты (т. е. d = ec) и симметричную точку Q (d; с) на графике логарифмической функции (т. е. c = lnd). Касательные к графикам в этих точках тоже будут симметричны (рис. 109). Угловой коэффициент k1 касательной к графику экспоненты равен значению производной функции у = ех при х = с, т. е. k1=ec, так как

Пусть a1 и а2 — углы, образованные проведенными касательными с осью абсцисс. Из рисунка 109 ясно, что

Так как

Таким образом, производная функции у = ln х в точке x = d равна

Можно написать:

Мы видим, что производная логарифмической функции y = ln х равна степенной функции . Интересно заметить, что функция не получается как производная какой-либо другой степенной функции вида у = схк. Действительно, хотя при любом к, но получить значение к— 1, равное —1, можно лишь при k = 0, а (x°)’ = 0.

Так как то

По формулам производной показательной функции и

Известно, что ,где k= ln а. Поэтому т. е.

Примеры:

Зная производные экспоненты и логарифма, можно получить приближенные формулы для их вычисления.

Пусть

Разность —это приращение у на отрезке [0; h]. Вычислив dy при хо = 0, получим dy = y’ (0) dx. Так как у’ = ех, то у'(0)= 1. Заменив ∆у на dy и подставив dx = h, получим приближенную формулу

Более точная формула для вычисления экспоненты такова:

Пусть теперь у =lnх. Выберем дго=1, xо = ln l =0. Положим dx = h и вычислим ln (l+h). Найдем dy при xo=1. Так как

(In то y’ (jc0)= 1 и dy= 1 •dx = h.

Заменяя ∆y= ln (1+h) — ln l = ln (l+h), получаем приближенную формулу

Более точная формула для вычисления логарифма такова:

Вычисление логарифмов

Более 300 лет логарифмы использовались для облегчения вычислений. Их основное достоинство — способность сводить умножение к сложению по формуле

Были составлены обширные таблицы логарифмов чисел, с помощью которых можно легко переходить от чисел к их логарифмам и обратно.

Все таблицы логарифмов до 1950 г. являлись перепечаткой или сокращением таблиц Бриггса. Генри Бриггс (1561 —1630) с очень большой точностью (16 знаков после запятой) извлек подряд 57 квадратных корней из 10 и получил значения

Комбинируя эти значения, он получил густую сетку чисел с известными десятичными логарифмами: и т. п. После этого десятичный логарифм любого числа х из промежутка [1; 10] с хорошей точностью находится округлением до ближайшего известного.

Это огромная работа, и за 300 лет не нашлось никого, кто повторил бы ее. Любопытно, что немного раньше Бриггса таблицу натуральных логарифмов составил Джон Непер (1550—1617).

С появлением ЭВМ ситуация переменилась. Умножение по-прежнему выполняется дольше, чем сложение, но логарифмирование требует еще больше времени. Поиск числа в таблице очень дорогая операция для ЭВМ. Поэтому теперь значение логарифмов как инструмента вычисления резко упало, а с распространением калькуляторов оно сходит на нет. С другой стороны, сами по себе логарифмические зависимости легко обрабатываются и используются при вычислениях на ЭВМ. Например, формула xk = exp(k ln x) служит основным средством возведения в степень (кроме k= l, 2, 3) на всех ЭВМ и на калькуляторах.

На современных ЭВМ (и на калькуляторах) значения In х и вычисляют, пользуясь заранее найденными приближенными формулами. По этим формулам вычисление логарифмов становится довольно простым. Пользователю ЭВМ никогда не приходится думать о вычислении логарифмов: на всех ЭВМ для этого имеются стандартные программы.

Прикладные примеры

Во вводной беседе мы уже говорили о том, что многие процессы описываются с помощью показательных функций. Почему так происходит, это мы обсудим в следующей главе, а сейчас приведем примеры зависимостей, в которых встречаются экспоненты и логарифмы.

1. Радиоактивный распад. Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле , где m0 — масса вещества в начальный момент t = 0, m — масса вещества в момент времени t, Т — некоторая константа, смысл которой мы сейчас выясним.

Вычислим значение m при t — Т. Так,

Это означает, что через время Т после начального момента масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Поэтому число Т называют периодом полураспада. Период полураспада радия равен 1600 лет, урана-238 — 4,5 млрд. лет, цезия-137 —31 год, иода-131 —8 суток.

Закон радиоактивного распада часто записывают в стандартном виде . Связь константы т с периодом полураспада нетрудно найти:

2. Рост народонаселения. Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой , где Nо — число людей при t= 0, N — число людей в момент времени t, а — некоторая константа.

Барометрическая формула. Давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону где ро — давление на уровне моря (А = 0), р — давление на высоте h, H — некоторая константа, зависящая от температуры. Для температуры 20 °С величина Н ≈ 7,7 км.

4. Формула Циолковского. Эта формула, связывающая скорость ракеты у с ее массой m, такова: , где vr — скорость вылетающих газов, mо — стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и, для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение , т. е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.

5. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле где po — давление звука до поглощения, р — давление звука, прошедшего через стену, А — некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ. Если коэффициент звукоизоляции D равен, например, 20 дБ, то это означает, что =1 и po = 10 p, т. е. стена снижает давление звука в 10 раз (такую звукоизоляцию имеет деревянная дверь).

Дополнение к логарифмической функции

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Логарифмическая функция

Определение логарифма: Логарифмом числа N по данному основанию а называется такой показатель степени, в который надо возвести основание а, чтобы получить число N; запись

Примеры:

Таким образом, это другое название для показателя степени.

Примеры:

1. Проверить справедливость следующих равенств:

Решение:

следовательно, равенства

б), г), е) верны; следовательно, следовательно,

2.Следующие равенства переписать в виде логарифмических равенств:

Решение:

Указать, какие из нижеследующих уравнений имеют решение. Запишите это решение с помощью логарифма:

Решение:

а) Уравнение можно переписать в вид откуда х = —6, или

б) Уравнение также имеет решение Так как

в) Уравнение не имеет решения (показательная функция не может принимать отрицательных значений). Таким образом, выражение не имеет смысла.

Десятичные логарифмы

Если основанием логарифмов служит число 10, то такие логарифмы называются десятичными. Десятичный логарифм числа N принято обозначать

Примеры:

Найти десятичные логарифмы следующих чисел:

Решение:

Так как Аналогично: поэтому наконец,

2.Решить следующие уравнения:

Решение:

Функция

Функция является монотонно возрастающей, поэтому у нее есть обратная функция. Для того чтобы найти эту обратную функцию, поменяем в равенстве переменные х и у местами. Получим откуда Этой формулой задается функция, обратная показательной функции Как отмечалось выше (см. стр. 118), графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х—биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 88). Отметим основные свойства функции

1.Областью определения функции является множество всех положительных чисел.

2.Областью значений функции является множество всех действительных чисел.

Справедливость этих двух свойств вытекает из того факта, что функции являются взаимно обратными и, следовательно, область определения и множество значений у них меняются местами.

3.Функция является монотонно возрастающей (большему числу соответствует больший логарифм).

4.При (график пересекает ось абсцисс в точке (1; 0)); если то (рис. 88).

Примеры:

1. На рис. 89 изображен график функции в случае, когда масштаб по оси Оу в 10 раз крупнее масштаба по оси Ох. Воспользовавшись этим графиком:

а) найти б) найти х, если

Решение:

не существует, так как

б) если

Если

2.Сравнить значения выражений:

Решение:

а) Функция возрастающая, значит, так как то, следовательно, б) так как в) так как

3.Решить уравнения и неравенства:

Решение:

Воспользовавшись изображенным на рис. 89 графиком функции получим следующие результаты:

4.Найти область определения функции:

Решение:

При решении этих примеров надо помнить о том, что область определения функции есть множество положительных чисел.

Таким образом областью определения служит множество

Область определения —объединение двух множеств

Область определения —множество

Выражение, стоящее под знаком логарифма, положительно при всех значениях х, кроме х = 2 (при котором оно обращается в ноль), а поэтому область определения этой функции есть множество

5.Решить уравнения:

Решение:

а) Так как то уравнение можно переписать в виде Далее из свойства монотонности функции вытекает, что эта функция каждое значение принимает только один раз. Следовательно, откуда х = 4.

Аналогично решаются и остальные уравнения;

т.е. данное уравнение может быть записано в виде откуда

поэтому откуда

поэтому откуда или

поэтому откуда или

Логарифмирование и потенцирование

Применение логарифмов позволяет во многих случаях значительно упростить вычисления. Чтобы убедиться в этом, прежде всего выясним, как находятся логарифмы произведения, частного, степени и корня.

Теорема:

Логарифм произведения любых двух положительных чисел равен сумме логарифмов множителей, т. е.

Доказательство:

Пусть Тогда по определению логарифма Перемножив эти равенства почленно, получим

значит,

Предлагаем читателю самому доказать, что установленное свойство справедливо для любого числа положительных множителей.

Теорема:

Логарифм степени с положительным основанием равен произведению показателя степени и логарифма ее основания, т. е.

Доказательство:

Пусть Тогда по определению логарифма Возведем обе части этого равенства в степень Следовательно,

Покажем, что знания этих теорем достаточно для нахождения логарифмов дроби и корня. Действительно, пусть дано выражение где Это выражение можно переписать в виде тогда

Пусть теперь дано выражение тогда Таким образом, если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то его логарифм можно выразить через логарифмы входящих в него чисел. Такое преобразование называется логарифмированием. Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием.

Примеры:

1. Найти приближенные значения следующих логарифмов:

Решение:

Прежде всего, воспользовавшись графиком функции (см. рис. 89), выпишем приближенные значения следующих логарифмов:

Теперь имеем:

2.Прологарифмировать следующие выражения (буквами обозначены положительные числа):

Решение:

3.Решить уравнения:

Решение:

а) Прологарифмировав обе части данного равенства, получим откуда (значения найдены графически с помощью рис. 89);

б) в результате логарифмирования имеем равенство откуда (значение найдено с помощью рис. 89);

4.Найти x, если:

Решение:

5.Решить уравнения:

Решение:

а) Потенцируя обе части равенства, получаем уравнение

Сделаем проверку. Подставив в уравнение найденное решение х = 21, получим:

Таким образом, корень данного уравнения x=21;

б) прежде чем потенцировать, заметим, что и перепишем уравнение в виде

откуда

Сделаем проверку: Итак, х= 14 —корень уравнения; в) потенцируя, получаем

откуда

Сделаем проверку. Корень является посторонним, так как при этом значении x выражение 2х—4 будет отрицательным, а, как мы знаем, область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.

Корень x = 5, как легко видеть, удовлетворяет уравнению (Проверьте сами!);

г) уравнение не имеет корней, так как искомое значение х должно удовлетворять системе неравенств

а эта система противоречива и решения не имеет.

Стандартный вид числа. Характеристика и мантисса

Любое положительное число х можно записать в так называемом стандартном виде: Число n называется порядком числа х.

Примеры:

Записать следующие числа в стандартном виде и указать их порядок: а) 273; б) 51,83; в) 0,8912; г) 400012; д) 0,00051; е) 1,002.

Решение:

Легко видеть, что если то порядок числа неотрицателен, причем трехзначное число, например 273, имеет порядок 2; а число, содержащее две цифры в целой части, например 51,83, имеет порядок n= 1; наконец, число, содержащее одну цифру в целой части, имеет порядок n= 0. Можно сделать следующий вывод: если число содержит в целой части m цифр, то его порядок будет

Если же число то его порядок отрицателен, причем равен числу нулей в x: до первой значащей цифры, включая ноль целых. Так, если x: = 0,8912, то n = —1; если х = 0,00051, то n = —4.

Пример:

Не переходя к стандартному виду записи, найти порядок чисел: а) х = 373,25; б) x: = 0,00085.

Решение:

а) Число 373,25 больше единицы и содержит в целой части три цифры. Следовательно, его порядок n= 2;

б) число 0,00085 меньше единицы и содержит четыре нуля до первой значащей цифры. Следовательно, n =—4.

Пусть х=375,8. Запишем это число в стандартном виде и найдем его логарифм:

Так как т. е. Таким образом, представлен в виде суммы целого числа 2 и положительного числа, меньшего единицы т. е. в виде суммы его целой и дробной частей. Целая часть логарифма числа х равна порядку этого числа, а дробная часть равна

Целая часть логарифма числа называется его характеристикой, а дробная часть — мантиссой.

Теорема:

Характеристика логарифма числа где равна порядку этого числа, т. е. n, а мантисса равна

Доказательство:

Пусть и Тогда Так как Следовательно, причем

Следствие:

Логарифмы чисел, отличающихся друг от друга только порядком, имеют одну и ту же мантиссу.

Доказательство:

Пусть где тогда

Таким образом,

Например, пусть Запишем эти числа в стандартном виде и найдем их логарифмы:

Таким образом, доказанное следствие можно сформулировать иначе: мантисса логарифма числа не зависит от положения запятой в числе.

Примеры:

1. Найти характеристику логарифма числа а) 302;б) 87,5; в) 0,015.

Решение:

Как было доказано Выше, характеристика логарифма числа равна его порядку, а поэтому

2.Зная, что найти:

Решение:

Вычисления с помощью таблиц логарифмов

Как известно, характеристика логарифма числа легко находится устно (она равна порядку числа). Значения мантисс приведены в таблице «Четырехзначных математических таблиц» В. М. Брадиса. Приведем часть этой таблицы и укажем как ею пользоваться.

Примеры:

1. Найти логарифмы следующих чисел:

Решение:

а) Характеристика равна 1, так как Мантиссу найдем на пересечении строки с меткой «72» и столбца с меткой «4». Получаем число 8597. Значит, мантисса равна (приблизительно) 0,8597. Отсюда:

Для отыскания мантиссы мы, прочитав число 8739 на пересечении строки с меткой «74» и столбца с меткой «8», прибавим к этому числу поправку на четвертую цифру. Эта поправка расположена в правой части таблицы на пересечении той же строки и столбца поправок с меткой «5». Поправка равна 3, следовательно, мантисса равна Таким образом,

Для решения обратной задачи —нахождения числа по его логарифму пользуются таблицей, с которой мы уже знакомы (см. стр. 198)4

2.Найти x:, если:

Решение:

а) По таблице значений функции найдем число 1,077, соответствующее мантиссе равной 0,0324. Так как характеристика логарифма равна 2, то

б) представим данный логарифм в виде суммы характеристики и мантиссы:

Мантиссу 0,0335 имеет любое число вида Характеристика равна —3, поэтому

В заключение приведем пример вычисления с помощью таблиц логарифмов.

3.Вычислить значение х, если

Решение:

Логарифмируя, имеем:

По таблице логарифмов найдем:

Решение:

а) Характеристика равна 1, так как Мантиссу найдем на пересечении строки с меткой «72» и столбца с меткой «4». Получаем число 8597. Значит, мантисса равна (приблизительно) 0,8597. Отсюда:

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Логарифмическая функция

См. приложение 1.

Определение логарифма

Логарифмом положительного числа в по основанию
а ( а > 0, а не равно1) называется показатель
степени х, в которую нужно возвести число а, чтобы
получить число в, т.е.

log_а в = х или а^х = в.

Например:

Необходимо запомнить следующие соотношения:

1) log _а 1 = 0; 2) log _а а = 1; 3) log _а а ^т;

4) если а > 1, то log _a в > 0 и log _а в< 0
при 0< в < 1;

5) если 0< а < 1, то log _а в < 0 при в > 1 и log _а
в > 0 при 0 < в < 1.

Например: 1) log ₅ 1=0, т.к. 5⁰ =1;

2) Log₇ 7=1, т.к. 7¹ =7;

3) Log₃ 3 ⁴=4, т.к. log₃ 3 ⁴= 4 log₃
3;

4) а>1, а=2, в > 1, в=16, то Log₂ 16 =4,

0 < в < 1, в = ,
то Log₂ =
-4< 0;

5) 0< а <1, а=,
в >1, в=27, то Log
27=-3

0< в <1, в = ,
а =, то log=3.

Поскольку логарифм определен для
положительных чисел, а, значит, для натуральных
чисел N, то его определение можно сформулировать
следующим образом:

Логарифм числа N по основанию а (обозначает log_aN)
называется показатель степени, в которую надо
возвести число а, чтобы получить число N, т.е b=log_aN,
если a^b=N.

По определению логарифма справедливо
равенство

,

из которого на основе свойств показательной
функции устанавливаются основные свойства
логарифмов (здесь М, N и k – положительные числа):

,

,

,

Эти свойства позволяют сводить умножение и
деление чисел (представленных в виде степеней
некоторого числа, принятого за основание) к
сложению и вычитанию показателей степеней, а
возведение в степень и извлечение корня – к
умножению и делению на показатель степени,
поэтому применение логарифмов упрощает и
сокращает сложные вычисления.

При выполнении преобразований логарифмических
выражений часто используют свойства степеней:

а ^m+n= а ^m+ аⁿ; а ^m-n
= ; (а ^m)
ⁿ = а ^mn = (а ⁿ ) ^m.

Из определения следует, что а ^{log а в} ₌
в — это равенство называется основным
логарифмическим тождеством.

Например:

Свойства логарифмов

1. Логарифм произведения двух положительных чисел
   равен сумме логарифмов этих чисел:



Например:

2. Если а,b,c-положительные числа, причем а не равно
   1, то справедливо равенство



Например:

3. Если a и b- положительные числа, причем а не равно
   1, то для любого числа r справедливо равенство .
4. Если а,b и с – положительные числа, то

Если основанием логарифма является число
е=2,71828…, то логарифм называется натуральным и
обозначается ln x = log _e x.

При нашей десятичной системе счисления самым
удобным основанием является число 10. Логарифм
по основанию 10 называется десятичным логарифмом
и обозначается lg:

lg N =log ₁₀ N.

См. приложение 2.

Функция , ее свойства

Мы ввели понятие логарифма положительного
числа по положительному и отличному от 1
основанию а. Для любого положительного числа
можно найти логарифм по заданному основанию. Но
тогда следует подумать и о функции вида

,

о ее графике и свойствах. Этим мы и займемся .

Рассмотрим одновременно две функции:
показательную

у = а^х и логарифмическую у = log_aх.
Пусть точка (b;с) принадлежит графику функции у = а^х;
это значит, что справедливо равенство с = a^b.
Перепишем это равенство “на языке логарифмов”: . Последнее
равенство означает, что точка (с; b) принадлежит
графику функции .

Итак, если точка (b;с) принадлежит графику
функции у = а^x, то точка (с; b) принадлежит
графику функции у = log_ax.

В связи с тем, что точки координатной плоскости
хОу с координатами (b;с) и (с;b) симметричны
относительно прямой у=х (рис. 1).

рис.1.

Таким образом, справедливо следующее
утверждение.

График функции у = log_a х симметричен
графику функции у = а^x относительно прямой у
= х.

На рис.2 схематически изображены графики
функций у = а^x и у = log_aх в случае, когда
a>1; на рис.3 схематически изображены графики
функций у = а^x и у = log_aх в случае, когда 0
< a < 1.

рис.2.

рис.3.

График функции у = log_aх называют
логарифмической кривой, хотя на самом деле
нового названия можно было не придумывать. Ведь
это та же экспонента, что служит графиком
показательной функции, только по-другому
расположенная на координатной плоскости.

Если значение основания а указано, то график
логарифмической функции можно построить по
точкам. Пусть, например, нужно построить график
функции у=Iog₂х. Составляя таблицу
контрольных точек, будем руководствоваться
соотношением Iog₂2^r = r. Поэтому в
таблицу в качестве значений аргумента х мы
включим числа, являющиеся степенями числа 2.

Имеем:

рис.4.

Сведем полученные результаты в таблицу:

X	1	1	1	2	4	8
У = Iog2 х	-2	-1	0	1	2	3

Построив на координатной плоскости точки (;-2), (;-1), (1;0), (2;1), (4;2), (8;3), проводим
через них логарифмическую кривую (рис. 4).

Свойства функции у = log_ax, a > 1.

Необходимую информацию извлекаем из
геометрической модели, представленной на рис. 2.

1) D(f) = (0; +);

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) возрастает на (0; + );

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений;

6) непрерывна;

7) Е(f) = (-; +);

выпукла вверх.

Замечание. Сравните график функции у = log_ax,
изображенный на рис.2, и график функции у = х^r
(0 < r < 1). Не правда ли, они похожи (при х > а)? На
самом деле между ними есть принципиальная
разница: график функции у = х^r “набирает
обороты” быстрее. Иными словами, для достаточно
больших значений х ордината графика степенной
функции у=х^r ( при 0<r<1 и уж тем более при r
>= 1) значительно больше соответствующей
ординаты графика логарифмической функции с
любым основанием, большим, чем 1. В курсе
математического анализа доказано, что при а>1 и
r>0 выполняется равенство

.

Свойства функции у = log_ax, 0 < a < 1.

Необходимую информацию извлекаем из
геометрической модели, представленной на рис.3.

1) D(f) = (0; +);

2) не является ни четной, ни нечетной;

3) убывает на (0; + );

4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;

5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6) непрерывна;

7) E(f) = (-;+);

выпукла вниз.

Отметим, что ось у является вертикальной
асимптотой графика логарифмической функции и в
случае, когда a>1, ив случае, когда 0<a<1.

Краткое содержание темы

Примеры выполнения заданий на
нахождение области определения логарифмических
функций и построение графиков.

Пример 1. Построить графики функций.

А) б) в)

Решение. В этом примере нужно выполнить
различные преобразования графика функции (см рис 5)

а) перейдем к вспомогательной системе
координат с началом в точке (-2;-3) (пунктирные
прямые х=-2 и у=-3 на рис 6) 2Привяжем” график
функции к
новой системе координат – это и будет требуемый
график (рис 6)

б) Напомним, что график функции симметричен графику
функции
относительно оси у. Учтя это, строим график
функции , а
затем, подвергнув его преобразованию симметрии
относительно оси у, получаем график функции рис 7.

в) Построение графика функции осуществим в несколько
шагов.

1. Построим график функции (пунктирная линия на рисунке
2. Осуществим растяжение построенного графика от
   оси х с коэффициентом 3 и симметрию
   “растянутого” графика относительно оси х.
   Получим график функции
   (тонкая линия на рис 8).
3. Осуществим сжатие построенного графика к оси у
   с коэффициентом (т.е растяжение графика от оси у с
   коэффициентом 2). Получим график функции (жирная линия на
   рис 8).

Пример 2.Найдем область определения функции .

Область определения логарифмической функции — множество R₊.
Поэтому заданная функция определена только для
тех х, при которых , т.е. при .
Следовательно, областью определения заданной
функции является интервал (-;0,8).

Пример 3. Найдем область определения функции .

Как и в предыдущем примере, функция f определена
для всех тех х, при которых . Решая это квадратное
неравенство, получаем что D(f) – объединение
интервалов (-; -1) и
(4;).

Пример 4. Найдем область определения функции.

Решая методом интервалов неравенство

находим (рис 145), что

Задания для самостоятельной работы
студентов

Задание 1.

Найдите значение логарифмической функции у=log₂x
в указанных точках:

Задание 2.

В одной системе координат изобразите графики
функций:

Задание 3.

Сравните числа:

Задание 4.

Постройте график функции.

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок № 26. Логарифмическая функция.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) Понятие логарифмической функции

2) Свойства логарифмической функции

3) График логарифмической функции

Глоссарий по теме

Логарифмическая функция. Функция вида , где a – заданное число, a > 0, a ≠ 1.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения – множество всех положительных чисел.

2. Множество значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3. Неограниченная функция.

4. Возрастающая, если a > 1, и убывающая, если 0 < a < 1.

5. Нули функции: х = 1 (т. к. )

6. Промежутки знакопостоянства и .

Если a > 0, то функция принимает положительные значение при х > 1, отрицательные при 0 < x < 1.

Если 0 < a < 1, функция принимает положительные значение при 0 < х < 1, отрицательные при x > 1.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. – М.: Просвещение, 2014.–384с.

Открытые электронные ресурсы:

http://fipi.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

В математике и других науках достаточно часто встречаются функции, содержащие логарифм.

Функцию вида , где a – заданное число, a > 0, a ≠ 1 называют логарифмической функцией.

Свойства логарифмической функции:

1. Область определения – множество всех положительных чисел. . Это следует из определения логарифма (т. к. логарифм существует только положительного числа!)

2. Множество значений логарифмической функции – множество всех действительных чисел.

3. Неограниченная функция. (Следует напрямую из 2 свойства.)

4. Возрастающая, если a > 1, и убывающая, если .

Докажем возрастание по определению возрастающей функции, если , то .

Пусть .

По основному логарифмическому тождеству cследовательно . По свойству степеней с одинаковым основанием, большим 1 имеем: . Т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, следовательно, функция возрастающая. Аналогично доказывается убывание функции при основании .

Из этого свойства следуют два важных утверждения:

Если a > 0 и

Если 0 < a < 1 и

5. Нули функции: х = 1 (т. к. )

6. Промежутки знакопостоянства и .

Если a > 0, то функция принимает положительные значение при х > 1, отрицательные при 0 < x < 1.

Если 0 < a < 1, функция принимает положительные значение при 0 < х < 1, отрицательные при x > 1.

Из рассмотренных свойств логарифмической функции следует, что ее график располагается правее оси Оу, обязательно проходит через точку (1; 0) и имеет вид: если основание больше 1 (график №1) и если основание больше нуля, но меньше 1 (график №2).

Отметим, если

Докажем это утверждение.

Предположим, что , например, . Тогда если основание , в силу возрастания функции . Противоречие с условием задачи. Если , тогда функция убывающая и . Тоже противоречие с условием задачи, что . Следовательно, .

Это свойство применяется при решении уравнений.

Задача 1.

Решить уравнение:

Слева и справа логарифмы по одинаковым основаниям, значит при условии, что (иначе логарифмы не существуют) приравниваем выражения под логарифмами:

Ответ: .

Особенности графиков логарифмической функции с разными основаниями.

Построим в одной системе координат графики функций ;

Видно, что чем больше основание, тем ближе к осям координат расположен график. Обратите внимание: все графики проходят через точку (1; 0).

В другой системе координат построим графики функций с основаниями от 0 до

Видно, что в этом случае график приближается к осям координат при уменьшении основания. Но все так же есть общая точка (1; 0).

1. Если функция возрастающая (a > 1), при увеличении основания график приближается к осям координат.

2. Если функция убывающая , при уменьшении основания график приближается к осям координат.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Найдите область определения функции:

Решение.

Для функции область определения все положительные числа, т. е.

В данной функции под логарифмом выражение, которое также должно быть больше нуля.

.

Ответ:

№2 Найдите наибольшее значение функции на данном промежутке

Решение:

Рассмотрим функцию . Это убывающая функция, т.к. основание меньше 1. Если функция убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Значит наибольшее значение функции будет при , а наименьшее – при .

.

Ответ: 2.