Мода
и медиана –
особого рода средние, которые используются
для изучения структуры вариационного
ряда. Их иногда называют структурными
средними, в отличие от рассмотренных
ранее степенных средних.
Мода
– это величина признака (варианта),
которая чаще всего встречается в данной
совокупности, т.е. имеет наибольшую
частоту.
Мода
имеет большое практическое применение
и в ряде случаев только мода может дать
характеристику общественных явлений.
Медиана
– это варианта, которая находится в
середине упорядоченного вариационного
ряда.
Медиана
показывает количественную границу
значения варьирующего признака, которой
достигла половина единиц совокупности.
Применение медианы наряду со средней
или вместо нее целесообразно при наличии
в вариационном ряду открытых интервалов,
т.к. для вычисления медианы не требуется
условное установление границ отрытых
интервалов, и поэтому отсутствие сведений
о них не влияет на точность вычисления
медианы.
Медиану
применяют также тогда, когда показатели,
которые нужно использовать в качестве
весов, неизвестны. Медиану применяют
вместо средней арифметической при
статистических методах контроля качества
продукции. Сумма абсолютных отклонений
варианты от медианы меньше, чем от любого
другого числа.
Рассмотрим
расчет моды и медианы в дискретном
вариационном ряду:
|
Стаж, |
Число |
Накопленные |
|
1 |
2 |
2 |
|
3 |
4 |
6 |
|
4 |
5 |
(11) |
|
8 |
4 |
15 |
|
10 |
1 |
16 |
|
ИТОГО: |
16 |
— |
Определить моду и медиану.
Мода
Мо =
4 года, так как этому значению соответствует
наибольшая частота f
= 5.
Т.е.
наибольшее число рабочих имеют стаж 4
года.
Для
того, чтобы вычислить медиану, найдем
предварительно половину суммы частот.
Если сумма частот является числом
нечетным, то мы сначала прибавляем к
этой сумме единицу, а затем делим пополам:
Ме=16/2=8
Медианой
будет восьмая по счету варианта.
Для
того, чтобы найти, какая варианта будет
восьмой по номеру, будем накапливать
частоты до тех пор, пока не получим сумму
частот, равную или превышающую половину
суммы всех частот. Соответствующая
варианта и будет медианой.
Ме
= 4 года.
Т.е.
половина рабочих имеет стаж меньше
четырех лет, половина больше.
Если
сумма накопленных частот против одной
варианты равна половине сумме частот,
то медиана определяется как средняя
арифметическая этой варианты и
последующей.
Вычисление
моды и медианы в интервальном вариационном
ряду
Мода
в интервальном вариационном ряду
вычисляется по формуле
где ХМ0
— начальная
граница модального интервала,
hм0
– величина модального интервала,
fм0,
fм0-1,
fм0+1
– частота
соответственно модального интервала,
предшествующего модальному и последующего.
Модальным
называется такой интервал, которому
соответствует наибольшая частота.
Пример
1
|
Группы |
Число |
Накопленные |
|
1 |
2 |
3 |
|
До |
4 |
4 |
|
2-4 |
23 |
27 |
|
4-6 |
20 |
47 |
|
6-8 |
35 |
82 |
|
8-10 |
11 |
93 |
|
свыше |
7 |
100 |
|
ИТОГО: |
100 |
— |
Определить
моду и медиану.
Решение.
Модальный
интервал [6-8], т.к. ему соответствует
наибольшая частота f
= 35. Тогда:
Хм0=6,
fм0=35
hм0=2,
fм0-1=20
fм0+1=11
Вывод:
Наибольшее число рабочих имеет стаж
примерно 6,7 лет.
Для
интервального ряда Ме вычисляется по
следующей формуле:
где Хме
–
нижняя граница медиального интервала,
hме
– величина медиального интервала,
–
половина суммы частот,
fме
– частота медианного интервала,
Sме-1
–сумма
накопленных частот интервала,
предшествующего медианному.
Медианный
интервал – такой интервал, которому
соответствует кумулятивная частота,
равная или превышающая половину суммы
частот.
Определим
медиану для нашего примера.
Найдем:
т.к
82>50, то медианный интервал [6-8].
Тогда:
Хме
=6, fме
=35,
hме
=2, Sме-1=47,
Вывод: Половина рабочих имеет стаж
меньше 6,16 лет, а половина имеет стаж
больше, чем 6,16 лет.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
8.4. МОДА и МЕДИАНА (структурные средние)
Мода и медиана наиболее часто используемые в экономической практике структурные средние.
Мода – это величина признака (варианта), который наиболее часто встречается в данной совокупности, т.e. это варианта, имеющая наибольшую частоту.
В дискретном ряду мода определяется в соответствии с определением, т.е. это одна из вариант признака, которая в ряду распределения имеет наибольшую частоту.
Для интервального ряда моду находим по формуле (8.16), сначала по наибольшей частоте определив модальный интервал:
(8.16 – формула Моды)
где хо – начальная (нижняя) граница модального интервала;
h – величина интервала;
fМо – частота модального интервала;
fМо-1 – частота интервала, предшествующая модальному;
fМо+1– частота интервала следующая за модальным.
Медианой называется такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда, т.е. в ранжированном ряду распределения одна половина ряда имеет значение признака больше медианы, другая – меньше медианы.
В дискретном ряду медиана находится непосредственно по накопленной частоте, соответствующей номеру медианы.
В случае интервального вариационного ряда медиану определяют по формуле:
(8.17 – формула Медианы)
где хо – нижняя граница медианного интервала;
NМе– порядковый номер медианы (Σf/2);
S Me-1 – накопленная частота до медианного интервала;
fМе – частота медианного интервала.
Пример вычисления Моды.
Рассчитаем моду и медиану по данным табл. 8.4.
Таблица 8.4 – Распределение семей города N по размеру среднедушевого дохода в январе 2018 г. руб.(цифры условные)
| Группы семей по размеру дохода, руб. | Число
семей |
Накоп-
ленные частоты |
в % к итогу |
| До 5000 | 600 | 600 | 6 |
| 5000-6000 | 700 | 1300
(600+700) |
13 |
| 6000-7000 | 1700 (fМо-1) | 3000 (S Me-1 )
(1300+1700) |
30 |
| 7000-8000
(хо) |
2500
(fМо) (fМе) |
5500 (S Me) | 55 |
| 8000-9000 | 2200 (fМо+1) | 7700 | 77 |
| 9000-10000 | 1500 | 9200 | 92 |
| Свыше 10000 | 800 | 10000 | 100 |
| Итого | 10000 | – | – |
Пример вычисления Моды. Найдем моду по формуле (8.16) см. обозначения в таблице, а h = 8000-7000=1000, т.е. получаем:
Пример вычисления Моды
Пример вычисления Медианы интервального вариационного ряда. Рассчитаем медиану по формуле (8.17):
1) сначала находим порядковый номер медианы: NМе = Σfi/2= 5000.
2) по накопленным частотам в соответствии с номером медианы определяем, что 5000 находится в интервале (7000 – 8000), далее значение медианы определим по формуле (8.17):
Пример вычисления Медианы
Вывод: по моде – наиболее часто встречается среднедушевой доход в размере 7730 руб., по медиане – что половина семей города имеет среднедушевой доход ниже 7800 руб., остальные семьи – более 7800 руб.
Пример .СРЕДНИЙ, МЕДИАННЫЙ И МОДАЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ ДЕНЕЖНЫХ ДОХОДОВ НАСЕЛЕНИЯ ЦЕЛОМ ПО РОССИИ И ПО СУБЪЕКТАМ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ЗА 2013 год см. по ссылке. Источник: оценка на основании данных выборочного обследования бюджетов домашних хозяйств и макроэкономического показателя денежных доходов населения
Соотношение моды, медианы и средней арифметической указывает на характер распределения признака в совокупности, позволяет оценить его асимметрию.
Если Мо<Ме<Х – имеет место правосторонняя асимметрия.
При Х<Ме<Мо следует сделать вывод о левосторонней асимметрии ряда.
Средние величины (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая) см. по ссылке
Оценка статьи:
Загрузка…
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4.
Расчёт структурных характеристик
вариационного ряда распределения.
Студент
должен:
знать:
— область применения и методику расчёта структурных
средних величин;
уметь:
— исчислять структурные средние величины;
— формулировать вывод по полученным результатам.
Методические указания
В
статистике исчисляются мода и медиана, которые относятся к структурным средним,
так как их величина зависит от строения статистической совокупности.
Расчёт моды
Модой называется значение признака
(варианта), чаще всеговстречающееся в изучаемой
совокупности. В дискретном ряду распределения модой будет варианта с наибольшей
частотой.
Например: Распределение проданной женской обуви по размерам характеризуется
следующим образом:
|
Размер |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
|
Количество |
8 |
19 |
34 |
108 |
72 |
51 |
6 |
2 |
В этом ряду
распределения модой является 37 размер,
т.е. Мо=37 размер.
Для
интервального ряда распределения мода определяется по формуле:
где ХMo —
нижняя граница модального интервала;
hMo — величина модального интервала;
fMo –
частота модального интервала;
fMo—1 и
fMo+1 – частота интервала соответственно
предшествующего модальному и следующего за ним.
Например:
Распределение рабочих по стажу работы характеризуется следующими данными.
|
Стаж работы, лет |
до 2 |
2-4 |
4-6 |
6-8 |
8-10 |
10 и более |
|
Число рабочих, чел. |
4 |
23 |
20 |
35 |
11 |
7 |
Определить моду
интервального ряда распределения.
Мода интервального ряда составляет
Мода всегда бывает
несколько неопределённой, т.к. она зависит от величины групп и точного
положения границ групп. Мода широко применяется в коммерческой практике при
изучении покупательского спроса, при регистрации цен и т.п.
Расчёт медианы
Медианой в статистике называется варианта,
расположенная в середине упорядоченного ряда данных, и которая делит
статистическую совокупность на две равные части так, что у одной половины
значения меньше медианы, а у другой половины – больше её. Для определения
медианы необходимо построить ранжированный ряд, т.е. ряд в порядке возрастания
или убывания индивидуальных значений признака.
В дискретном
упорядоченном ряду с нечётным числом членов медианой будет варианта,
расположенная в центре ряда.
Например: Стаж пяти рабочих составил 2, 4, 7, 9 и 10 лет. В таком ряду медиана-7
лет, т.е. Ме=7 лет
Если дискретный
упорядоченный ряд состоит из чётного числа членов, то медианой будет средняя
арифметическая из двух смежных вариант, стоящих в центре ряда.
Например: Стаж работы шести рабочих составил 1, 3, 4, 5, 10 и 11лет. В этом ряду
имеются две варианты, стоящие в центре ряда. Это варианты 4 и 5. Средняя
арифметическая из этих значений и будет медианой ряда
Чтобы определить медиану для
сгруппированных данных, необходимо считать накопленные частоты.
Например: По имеющимся данным определим медиану размера обуви
|
Размер обуви |
Количество проданных пар |
Сумма накопленных частот |
|
34 |
8 |
8 |
|
35 |
19 |
8+19=27 |
|
36 |
34 |
27+34=61 |
|
37 |
108 |
61+108=169 |
|
38 |
72 |
— |
|
39 |
51 |
— |
|
40 |
6 |
— |
|
41 |
2 |
— |
|
Итого |
300 |
Для
определения медианы надо подсчитать сумму накопленных частот ряда. Наращивание
итога продолжается до получения накопленной суммы частот, превышающей половину суммы частот
ряда. В нашем примере сумма частот составила 300, её половина – 150. Накопленная
сумма частот получилась равной 169. Варианта, соответствующая этой сумме, т.е.
37 и есть медиана ряда.
Если
же сумма накопленных частот против одной из вариант равна точно половине суммы
частот ряда, то медиана определяется как средняя арифметическая этой варианты и
последующей.
Например: По имеющимся данным определим медиану заработной платы рабочих
|
Месячная заработная плата, тыс.руб. |
Число рабочих, чел. |
Сумма накопленных частот |
|
14,0 |
2 |
2 |
|
14,2 |
6 |
2+6=8 |
|
16,0 |
12 |
8+12=20 |
|
16,8 |
16 |
— |
|
18,0 |
4 |
— |
|
Итого: |
40 |
— |
Медиана будет равна: 
Медиана
интервального вариационного ряда распределения определяется по формуле:
Где ХМе – нижняя граница медианного интервала;
hMe –
величина медианного интервала;
∑f
— сумма частот ряда;
fМе – частота медианного интервала;
Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по численности
промышленно – производственного персонала рассчитать медиану в интервальном
вариационном ряду
|
Группы предприятий по численности ППП, чел. |
Число предприятий |
Сумма накопленных частот |
|
100-200 |
1 |
1 |
|
200-300 |
3 |
1+3=4 |
|
300-400 |
7 |
4+7=11 |
|
400-500 |
30 |
11+30=41 |
|
500-600 |
19 |
— |
|
600-700 |
15 |
— |
|
700-800 |
5 |
|
|
Итого: |
80 |
Определим, прежде всего,
медианный интервал. В данном примере сумма накопленных частот, превышающих половину
суммы всех значений ряда, соответствует интервалу 400-500.Это и есть медианный
интервал, т.е. интервал, в котором находится медиана ряда. Определим её
значение
Если же сумма накопленных частот
против одного из интервалов равна точно половине суммы частот ряда, то медиана
определяется по формуле:
где n – число
единиц в совокупности.
Например: По имеющимся данным о распределении предприятий по
численности промышленно – производственного персонала рассчитать медиану в
интервальном вариационном ряду
|
Группы предприятий по численности ППП, чел. |
Число предприятий |
Сумма накопленных частот |
|
100-200 |
1 |
1 |
|
200-300 |
3 |
1+3=4 |
|
300-400 |
6 |
4+6=10 |
|
400-500 |
30 |
10+30=40 |
|
500-600 |
20 |
40+20=60 |
|
600-700 |
15 |
— |
|
700-800 |
5 |
|
|
Итого: |
80 |
чел
Моду и медиану в
интервальном ряду можно определить
графически:
моду
в дискретных рядах — по полигону распределения, моду в интервальных рядах — по
гистограмме распределения, а медиану — по кумуляте.
Мода интервального ряда распределения
определяется по гистограмме распределения определяют
следующим образом. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который
является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального
прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А
левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего
прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось
абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.
Медиана рассчитывается по
кумуляте. Для её определения из точки на шкале
накопленных частот (частостей), соответствующей 50%,
проводится прямая, параллельная оси абсцисс, до
пересечения с кумулятой. Затем из точки пересечения
указанной прямой с кумулятой опускается перпендикуляр
на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения является медианой.
Кроме моды и медианы в вариантных рядах могут быть
определены и другие структурные характеристики – квантили. Квантили
предназначены для более глубокого изучения структуры ряда распределения.
Квантиль – это значение
признака, занимающее определенное место в упорядоченной по данному признаку
совокупности. Различают следующие виды квантилей:
— квартили – значения признака, делящие упорядоченную
совокупность на четыре
равные части;
— децили
– значения признака, делящие упорядоченную совокупность на десять
равных частей;
— перцентели —
значения признака, делящие упорядоченную совокупность на сто равных частей.
Таким образом, для характеристики положения центра ряда распределения
можно использовать 3 показателя: среднее значение признака, мода, медиана. При выборе вида и формы конкретного показателя
центра распределения необходимо исходить из следующих рекомендаций:
—
для устойчивых социально-экономических
процессов в качестве показателя центра используют среднюю
арифметическую. Такие процессы характеризуются симметричными распределениями, в
которых 
;
—
для неустойчивых процессов положение
центра распределения характеризуется с помощью Mo
или Me. Для асимметричных процессов предпочтительной
характеристикой центра распределения является медиана, поскольку занимает
положение между средней арифметической и модой.
Медиана (x̃, M; Мера центральной тенденции) – это центральное значение Выборки (Sample).
В математике медиана также представляет собой тип Среднего значения (Average), который используется для нахождения «центра». Поэтому ее еще называют мерой центральной тенденции.
Нечетное количество элементов ряда
Если в ряду нечетное количество элементов, то мы сортируем значения в возрастающем или убывающем порядке, а затем выбираем центральное.
Пример. Найдем медиану следующего ряда:
4, 17, 77, 25, 22, 23, 92, 82, 40, 24, 14, 12, 67, 23, 29
Расставив эти числа по порядку, мы получим:
4, 12, 14, 17, 22, 23, 23, 24, 25, 29, 40, 67, 77, 82, 92
Всего пятнадцать элементов, то есть 8-й будет центральным. Медианное значение этого набора чисел – 24.
Четное количество элементов ряда
Если в ряду четное количество элементов, медиана рассчитывается с помощью формулы:
$$M = frac{n + 1}{2}, где$$
$$Mspace{–}space{медиана,}$$
$$nspace{–}space{количество}space{элементов}space{в}space{выборке}$$
Пример. Найдем медиану следующего ряда:
1.79, 1.61, 2.09, 1.84, 1.96, 2.11
Выполнив подстановку, мы получим:
$$M = frac{6 + 1}{2} = 3.5$$
Центральная тенденция
Помимо медианы, выделяют еще две другие меры центральной тенденции – Среднее значение (Mean) и Мода (Mode). Среднее – это частное от суммы всех Наблюдений (Observation) к их количеству. Мода – это наиболее часто повторяющееся значение выборки.
В Науке о данных (Data Science) медиана иногда используется вместо среднего значения, когда в последовательности есть выбросы, которые могут исказить среднее. Выбросы меньше влияют на медианное значение, чем на среднее. Медиана отделяет верхнюю половину выборки, генеральной совокупности или Распределения вероятностей (Probability Distribution) от нижней.
Медиана и NumPy
Медиану можно вычислить с помощью NumPy. Для начала импортируем все необходимые библиотеки:
import numpy as npСоздадим массив из 6 элементов и вызовем встроенный метод median():
a = [10, 7, 4, 3, 2, 1]
np.median(a)NumPy определяет четность числа элементов массива (6) и применяет тот или иной метод расчета (согласно формуле):
3.5Ноутбук, не требующий дополнительной настройки на момент написания статьи, можно скачать здесь.
Фото: @garciasaldana_