Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Также мы рассмотрели правила вычисления детерминантов (определителей) первого и второго порядка. Познакомимся с различными вариантами нахождения определителей третьего порядка.
Вычисление определителей по правилу треугольника
Схематически раскрытие определителя по этому правилу выглядит так:
Согласно рисункам №1 и №2 мы перемножаем элементы, соединенные прямыми. Произведения элементов будут иметь определенные знаки: для рисунка 1 — «+», для рисунка 2 — «-».
| Произведения, которые берутся со знаком «+» | Произведения, которые берутся со знаком «-» |
|---|---|
| a11⋅a22⋅a33a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} | a13⋅a22⋅a31a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31} |
| a12⋅a23⋅a31a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} | a12⋅a33⋅a21a_{12}cdot a_{33}cdot a_{21} |
| a13⋅a32⋅a21a_{13} cdot a_{32} cdot a_{21} | a11⋅a23⋅a32a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32} |
На рисунке 1 мы видим равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; на рисунке 2 — равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными второй (побочной) диагонали. Поэтому данное правило имеет такое название.
Определитель может быть вычислен по формуле:
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=
=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a32⋅a21−a13⋅a22⋅a31−a12⋅a33⋅a21−a11⋅a23⋅a32=a_{11}cdot a_{22}cdot a_{33}+a_{12}cdot a_{23}cdot a_{31}+a_{13}cdot a_{32}cdot a_{21}-a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31}-a_{12}cdot a_{33}cdot a_{21}-a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32}.
Примеры
Рассмотрим примеры нахождения определителя по правилу треугольника.
Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по правилу треугольника.
По правилу треугольника определитель третьего порядка равен:
∣925148637∣=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅3⋅1−5⋅4⋅6−2⋅7⋅1−9⋅8⋅3=begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}=9cdot4cdot7+2cdot8cdot6+5cdot3cdot1-5cdot4cdot6-2cdot7cdot1-9cdot8cdot3=
=252+96+15−120−14−216=13=252+96+15-120-14-216=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по правилу треугольника.
Искомый определитель третьего порядка равен:
∣21−46−3510−1∣=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}=
=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅0⋅6−(−4)⋅(−3)⋅1−1⋅(−1)⋅6−2⋅5⋅0=6+5−12+6=5=2cdot(-3)cdot(-1)+1cdot5cdot1+(-4)cdot0cdot6-(-4)cdot(-3)cdot1-1cdot(-1)cdot6-2cdot5cdot0=6+5-12+6=5.
При вычислении определителей таким способом можно легко совершить ошибку из-за невнимательности. Чтобы избежать таких ошибок существует второй способ, называемый правилом Саррюса, или способом «параллельных полосок».
Вычисление определителей по правилу Саррюса
Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.
Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.
Вычисления будем производить по следующей схеме:
Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.
| Произведения, которые берутся со знаком «+» | Произведения, которые берутся со знаком «-» |
|---|---|
| a11⋅a22⋅a33a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} | a13⋅a22⋅a31a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31} |
| a12⋅a23⋅a31a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} | a11⋅a23⋅a32a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32} |
| a13⋅a21⋅a32a_{13} cdot a_{21} cdot a_{32} | a12⋅a21⋅a33a_{12}cdot a_{21}cdot a_{33} |
В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣a11a12a21a22a31a32=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}begin{matrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}end{matrix}=
=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a21⋅a32−a13⋅a22⋅a31−a11⋅a23⋅a32−a12⋅a21⋅a33=a_{11}cdot a_{22}cdot a_{33}+a_{12}cdot a_{23}cdot a_{31}+a_{13}cdot a_{21}cdot a_{32}-a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31}-a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32}-a_{12}cdot a_{21}cdot a_{33}.
Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами.
Возможность допустить ошибку, вычисляя определитель по правилу Саррюса, намного меньше.
Примеры
Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по правилу Саррюса.
Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:
∣925148637∣921463=begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}begin{matrix}9&2\1&4\6&3end{matrix}=
=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅1⋅3−5⋅4⋅6−9⋅8⋅3−2⋅1⋅7=252+96+15−120−216−14=13=9cdot4cdot7+2cdot8cdot6+5cdot1cdot3-5cdot4cdot6-9cdot8cdot3-2cdot1cdot7=252+96+15-120-216-14=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по правилу Саррюса.
Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:
∣21−46−3510−1∣216−310=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}begin{matrix}2&1\6&-3\1&0end{matrix}=
=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅6⋅0−(−4)⋅(−3)⋅1−2⋅5⋅0−1⋅6⋅(−1)=6+5−12+6=5=2cdot(-3)cdot(-1)+1cdot5cdot1+(-4)cdot6cdot0-(-4)cdot(-3)cdot1-2cdot5cdot0-1cdot6cdot(-1)=6+5-12+6=5.
Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.
Минор и алгебраическое дополнение
Прежде чем перейти к рассмотрению еще одного способа вычисления определителей 3-го порядка разберем 2 понятия: минор, алгебраическое дополнение.
Минор
Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется определитель (n−1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.
Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M11M_{11} получается вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, M23M_{23} — вычеркиванием 2-й строки и 3-го столбца.
Алгоритм нахождения миноров:
- вычеркиваем ii-ю строку;
- вычеркиваем jj-й столбец;
- записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.
Примеры
Найти миноры матрицы F=(925148637)F=begin{pmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{pmatrix}.
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.
M11=∣925148637∣=∣4837∣=4⋅7−3⋅8=28−24=4M_{11}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\color{green}1&4&8\color{green}6&3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}4&8\3&7end{vmatrix}=4cdot7-3cdot8=28-24=4,
M12=∣925148637∣=∣1867∣=1⋅7−6⋅8=7−48=−41M_{12}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\1&color{green}4&8\6&color{green}3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}=1cdot7-6cdot8=7-48=-41,
M13=∣925148637∣=∣1463∣=1⋅3−6⋅4=3−24=−21M_{13}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\1&4&color{green}8\6&3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&4\6&3end{vmatrix}=1cdot3-6cdot4=3-24=-21,
M21=∣925148637∣=∣2537∣=2⋅7−3⋅5=14−15=−1M_{21}=begin{vmatrix}color{green}9&2&5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\color{green}6&3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&5\3&7end{vmatrix}=2cdot7-3cdot5=14-15=-1,
M22=∣925148637∣=∣9567∣=9⋅7−6⋅5=63−30=33M_{22}=begin{vmatrix}9&color{green}2&5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\6&color{green}3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}=9cdot7-6cdot5=63-30=33,
M23=∣925148637∣=∣9263∣=9⋅3−6⋅2=27−12=15M_{23}=begin{vmatrix}9&2&color{green}5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\6&3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&2\6&3end{vmatrix}=9cdot3-6cdot2=27-12=15,
M31=∣925148637∣=∣2548∣=2⋅8−4⋅5=16−20=−4M_{31}=begin{vmatrix}color{green}9&2&5\color{green}1&4&8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&5\4&8end{vmatrix}=2cdot8-4cdot5=16-20=-4,
M32=∣925148637∣=∣9518∣=9⋅8−1⋅5=72−5=67M_{32}=begin{vmatrix}9&color{green}2&5\1&color{green}4&8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=9cdot8-1cdot5=72-5=67,
M33=∣925148637∣=∣9214∣=9⋅4−1⋅2=36−2=34M_{33}=begin{vmatrix}9&2&color{green}5\1&4&color{green}8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&2\1&4end{vmatrix}=9cdot4-1cdot2=36-2=34.
Найти миноры матрицы G=(21−46−3510−1)G=begin{pmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{pmatrix}.
Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.
M11=∣21−46−3510−1∣=∣−350−1∣=(−3)⋅(−1)−0⋅5=3−0=3M_{11}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\color{green}6&-3&5\color{green}1&0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}-3&5\0&-1end{vmatrix}=(-3)cdot(-1)-0cdot5=3-0=3,
M12=∣21−46−3510−1∣=∣651−1∣=6⋅(−1)−1⋅5=−6−5=−11M_{12}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\6&color{green}-3&5\1&color{green}0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}6&5\1&-1end{vmatrix}=6cdot(-1)-1cdot5=-6-5=-11,
M13=∣21−46−3510−1∣=∣6−310∣=6⋅0−1⋅(−3)=0+3=3M_{13}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\6&-3&color{green}5\1&0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}6&-3\1&0end{vmatrix}=6cdot0-1cdot(-3)=0+3=3,
M21=∣21−46−3510−1∣=∣1−40−1∣=1⋅(−1)−0⋅(−4)=−1−0=−1M_{21}=begin{vmatrix}color{green}2&1&-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\color{green}1&0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&-4\0&-1end{vmatrix}=1cdot(-1)-0cdot(-4)=-1-0=-1,
M22=∣21−46−3510−1∣=∣2−41−1∣=2⋅(−1)−1⋅(−4)=−2+4=2M_{22}=begin{vmatrix}2&color{green}1&-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\1&color{green}0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&-4\1&-1end{vmatrix}=2cdot(-1)-1cdot(-4)=-2+4=2,
M23=∣21−46−3510−1∣=∣2110∣=2⋅0−1⋅1=0−1=−1M_{23}=begin{vmatrix}2&1&color{green}-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\1&0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1\1&0end{vmatrix}=2cdot0-1cdot1=0-1=-1,
M31=∣21−46−3510−1∣=∣1−4−35∣=1⋅5−(−3)⋅(−4)=5−12=−7M_{31}=begin{vmatrix}color{green}2&1&-4\color{green}6&-3&5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}
1&-4\-3&5end{vmatrix}=1cdot5-(-3)cdot(-4)=5-12=-7,
M32=∣21−46−3510−1∣=∣2−465∣=2⋅5−6⋅(−4)=10+24=34M_{32}=begin{vmatrix}2&color{green}1&-4\6&color{green}-3&5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}=2cdot5-6cdot(-4)=10+24=34,
M33=∣21−46−3510−1∣=∣216−3∣=2⋅(−3)−6⋅1=−6−6=−12M_{33}=begin{vmatrix}2&1&color{green}-4\6&-3&color{green}5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=2cdot(-3)-6cdot1=-6-6=-12.
Алгебраическое дополнение
Алгебраическим дополнением AijA_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется число Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij},
где ii, jj — соответствующие строка и столбец,
MijM_{ij} — минор к элементу aija_{ij}.
Алгоритм нахождения алгебраических дополнений:
- найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
- найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
- подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}.
Примеры
Найти алгебраические дополнения матрицы F=(925148637)F=begin{pmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{pmatrix}.
A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)2⋅∣4837∣=4A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}= (-1)^{2}cdotbegin{vmatrix}4&8\3&7end{vmatrix}=4,
A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)3⋅∣1867∣=41A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}= (-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}=41,
A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)4⋅∣1463∣=−21A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}= (-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}1&4\6&3end{vmatrix}=-21,
A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)3⋅∣2537∣=1A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}= (-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}2&5\3&7end{vmatrix}=1,
A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)4⋅∣9567∣=33A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}= (-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}=33,
A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)5⋅∣9263∣=−15A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}= (-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}9&2\6&3end{vmatrix}=-15,
A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)4⋅∣2548∣=−4A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}2&5\4&8end{vmatrix}=-4,
A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)5⋅∣9518∣=−67A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=-67,
A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)6⋅∣9214∣=34A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}9&2\1&4end{vmatrix}=34.
Найти алгебраические дополнения матрицы G=(21−46−3510−1)G=begin{pmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{pmatrix}.
A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)2⋅∣−350−1∣=3A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}=(-1)^{2}cdotbegin{vmatrix}-3&5\0&-1end{vmatrix}=3,
A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)3⋅∣651−1∣=11A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}6&5\1&-1end{vmatrix}=11,
A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)4⋅∣6−310∣=3A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}6&-3\1&0end{vmatrix}=3,
A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)3⋅∣1−40−1∣=1A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}1&-4\0&-1end{vmatrix}=1,
A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)4⋅∣2−41−1∣=2A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}2&-4\1&-1end{vmatrix}=2,
A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)5⋅∣2110∣=1A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}2&1\1&0end{vmatrix}=1,
A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)4⋅∣1−4−35∣=−7A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}1&-4\-3&5end{vmatrix}=-7,
A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)5⋅∣2−465∣=−34A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}=-34,
A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)6⋅∣216−3∣=−12A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=-12.
Зная, что такое миноры и алгебраические дополнения, рассмотрим вычисление определителя по строке и столбцу.
Вычисление определителя по строке или столбцу
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Алгоритм вычисления определителя по строке или столбцу:
- находим алгебраические дополнения элементов строки или столбца;
- находим произведения элементов на их алгебраические дополнения;
- находим сумму, полученных на шаге 2, произведений.
Примеры
Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по 2 столбцу.
∣925148637∣=2⋅A12+4⋅A22+3⋅begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}=2cdot A_{12}+4cdot A_{22}+3cdot
A32=2(−1)3M12+4(−1)4M22+3(−1)5M32=2(−1)3∣1867∣+4(−1)4∣9567∣+3(−1)5∣9518∣=A_{32}=2(-1)^{3}M_{12}+4(-1)^{4}M_{22}+3(-1)^{5}M_{32}=2(-1)^{3}begin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}+4(-1)^{4}begin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}+3(-1)^{5}begin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=
=−2⋅(−41)+4⋅33−3⋅67=82+132−201=13=-2cdot(-41)+4cdot33-3cdot67=82+132-201=13.
Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по 3 строке.
∣21−46−3510−1∣=1⋅A31+0⋅A32−1⋅A33=1(−1)4M31+0(−1)5M32−1(−1)6M33=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}=1cdot A_{31}+0cdot A_{32}-1cdot A_{33}=1(-1)^{4}M_{31}+0(-1)^{5}M_{32}-1(-1)^{6}M_{33}=
=1(−1)4∣1−4−35∣+0(−1)5∣2−465∣−1(−1)6∣216−3∣=−7+0+12=5=1(-1)^{4}begin{vmatrix}1&-4\-3&5end{vmatrix}+0(-1)^{5}begin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}-1(-1)^{6}begin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=-7+0+12=5.
Любой из рассмотренных способов можно применять при нахождении определителей третьего порядка. В следующий раз мы разберем вычисление определителей матриц высших порядков.
Оформите решение задачи на заказ онлайн, если возникают трудности с выполнением!
Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка»
Пусть дана квадратная матрица третьего порядка
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.8
Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице А, называется число
 |
(1.7) |
Определитель третьего порядка обозначается символом
 |
(1.8) |
где числа 
называются его элементами.
Индексы 
у элемента 
показывают номера строки и столбца, на пересечении которых записан этот элемент.
Например, элемент 
расположен на пересечении второй строки 
и третьего столбца 
.
Элементы 
образуют главную диагональ определителя, а элементы 
побочную диагональ.
Определение имеет сложный по форме вид, поэтому для нахождения определителя третьего порядка предложены более простые правила. Так, согласно правилу треугольников необходимо:
- вычислить с собственными знаками произведения элементов , лежащих на главной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны этой диагонали ;
- найти произведения элементов, лежащих на побочной диагонали и в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали, и взять их с противоположными знаками ;
- найти общую сумму всех произведений.
ПРИМЕР 1.1.7
Все свойства определителей второго порядка справедливы и для определителей третьего порядка. Доказательства этих свойств основаны на вычислении определителя третьего порядка по формуле (1.7).
Например, покажем, что определитель, у которого элементы двух его строк пропорциональны, равен нулю. Действительно,
Аналогично проверяется справедливость и других свойств.
Пусть дан определитель (1.8) третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.9: Минором 
элемента , где 
определителя третьего порядка, называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием 
й строки и 
го столбца. Так, например, минор 
элемента есть определитель
а минор элемента 
есть 
С помощью миноров определитель (7) можно записать в виде
 |
(1.9) |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.10: Алгебраическим дополнением 
элемента , где , называется минор этого элемента, взятый со знаком 
. По определению 4.3 имеем
Например,
и т.д.
ТЕОРЕМА 1.1 Разложение определителя по элементам строки или столбца
Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Иными словами, имеют место шесть равенств:
|
(1.11) |
Проверим, например, справедливость равенства
Согласно определениям минора и алгебраического дополнения получим
ТЕОРЕМА 1.2 Сумма произведений элементов какой- либо строки (столбца) определителя на алгебраические дополнения элементов любой другой его строки (столбца) равна нулю.
Для определенности выберем элементы 
первой строки и алгебраические дополнения 
элементов второй строки определителя. Составим сумму произведений 
и покажем, что эта сумма равна нулю.
Действительно,
Аналогично проверяется равенство нулю и всех других подобных сумм.
В заключение рассмотрим схему использования свойств определителя и теоремы разложения при вычислении определителя.
ПРИМЕР 1.1.8
Вычислить определитель 
Решение. Разложим определитель по элементам третьей строки.
ПРИМЕР 1.1.9
Вычислить определитель 
Решение. Прибавляя ко второй строке первую, умноженную на — 8,
получим 
Раскладывая этот определитель по элементам второй его строки, найдем
- Определители n-го порядка с примерами
- Курс математики
Сохранить или поделиться с друзьями
Вы находитесь тут:
На нашем сайте Вы можете получить решение задач и онлайн помощь
Подробнее
Щебетун Виктор
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Существует несколько способов нахождения определителей матриц третьего порядка. Рассмотрим их подробнее.
Перечислим основные способы, используемые для этого:
- Правило Саррюса;
- Правило треугольников;
- Использование специальной формулы для вычисления;
- Использование метода Гаусса или иначе метода перестановок.
Правило Саррюса
Правило Саррюса для вычисления матриц 3-ьего порядка применяется просто: достаточно соответственно рисунку переписать 2 первых столбика справа рядом с матричной таблицей, а затем записать произведения, стоящие по диагоналям со знаками.
Замечание 1
Если диагональ идёт сверху слева вниз направо — то произведение записывается со знаком «+», а если диагональ идёт из правого верхнего угла в нижний левый — то со знаком «-».
Рисунок 1. Формула третьего порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример 1
Дана матричная таблица $A$. Вычислите детерминант с помощью правила Саррюса.
$A = begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \ 1 & 4 & 2 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$
Решение:
Рисунок 2. Вычисление определителя 3 порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$Δ = 0 cdot 4 cdot 3 + 3 cdot 2 cdot 2 – 1 cdot 1 cdot 5 – 3 cdot 1 cdot 3 – 0 cdot 2 cdot 5 + 1 cdot 4 cdot 2 = 0 + 12 – 5 — 9 – 0 + 8 = 6$
Правило треугольников
Это правило немного похоже на предыдущее. Суть его в том, что произведения элементов с главной диагонали и двух треугольников, задействующих все остальные элементы как показано на рисунке, записываются со знаком плюс, а произведения элементов с побочной диагонали и двух синих треугольников — с противоположным.
«Найти определитель матрицы третьего порядка» 👇
Рисунок 3. Треугольники. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример 2
Найдите определитель из прошлого задания, используя метод треугольников.
Решение:
Рисунок 4. Наглядный пример как пользоваться. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
$Δ= 0 cdot 4 3 + 3 cdot 2 cdot 2 – 1 cdot 5 cdot 1 + 1 cdot 4 cdot 2 – 1 cdot 3 cdot 3 – 2 cdot 5 cdot 0 = 0 + 12 – 5 + 8 – 9 – 0 = 6$
Использование формулы разложения по строчке
$A = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ end{pmatrix}$
Для матрицы 3 на 3, приведённой выше, определитель можно сосчитать по формуле:
$Δ =begin{array}{|ccc|} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ end{array}=a_{11} cdot begin{array}{|cc|} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \ end{array} – a_{12} cdot begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{13} \ a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \ end{array} + a_{13} cdot begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \ end{array}= a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} – a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} + a_{13} cdot a_{21} cdot a_{32} — a_{13} cdot a_{22} cdot a_{31}$.
Пример 3
Разложите определитель матрицы из предыдущих примеров по 1-ой строчке и найдите его.
Решение:
$Δ = 0 cdot begin{array}{|cc|} 4 & 2 \ 5 & 3 \ end{array} – 3 cdot begin{array} {|cc|} 1 & 2 \ 2 & 3 \ end{array} + (-1) cdot begin{array}{|cc|} 1 & 4 \ 2 & 5 \ end{array} = 0 – 3 cdot (1 cdot 3 – 2 cdot 2) + (-1) cdot (5 – 
= 0 – 3 cdot(-1) + (-1) cdot (-3) = 3 + 3 = 6$
Метод Гаусса
Чтобы вычислить детерминант этим методом, нужно используя разрешённые преобразования получить треугольную матрицу.
Разрешёнными преобразованиями являются сложение и вычитание строчек и столбцов, в то время как при перестановке строчек и столбцов между собой необходимо помнить о смене знака определителя в конце.
После этого нужно перемножить элементы, стоящие на главной диагонали, их произведение и будет определителем.
Пример 4
Примените метод Гаусса для получения детерминанта матрицы из предыдущих примеров.
Решение:
$A = begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \ 1 & 4 & 2 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$
Переставим первую строчку со второй, при этом запомним, что знак детерминанта в конце поменяется:
$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$;
Вычтем из третьей строчки 1-ую, умноженную на 2:
$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & -3 & -1 \ end{pmatrix}$;
Сложим между собой третью строчку со второй:
$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & 0 & -2 \ end{pmatrix}$;
Получили искомый вид матрицы. Теперь можно сосчитать определитель, минус появляется из-за перемены строчек местами:
$Δ=-begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & 0 & -2 \ end{pmatrix}= -(1 cdot 3 cdot ( — 2) ) = 6 $
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Содержание:
- Вычисления определителей второго порядка
- Методы вычисления определителей третьего порядка
- Приведение определителя к треугольному виду
- Правило треугольника
- Правило Саррюса
- Разложение определителя по строке или столбцу
- Разложение определителя по элементам строки или столбца
- Теорема Лапласа
В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы 
второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:
$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель второго порядка
$left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|$
Решение. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$
Ответ. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=69$
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$
$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ методом треугольников.
Решение. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$
$$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$$
Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком «минус»:
$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ с помощью правила Саррюса.
Решение. 
$$+(-1) cdot 4 cdot(-2)-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot(-2)-3 cdot 4 cdot(-2)=54$$
Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Пример
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$
Решение. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right| leftarrow=a_{11} cdot A_{11}+a_{12} cdot A_{12}+a_{13} cdot A_{13}=$
$1 cdot(-1)^{1+1} cdot left| begin{array}{cc}{5} & {6} \ {8} & {9}end{array}right|+2 cdot(-1)^{1+2} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {6} \ {7} & {9}end{array}right|+3 cdot(-1)^{1+3} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {5} \ {7} & {8}end{array}right|=-3+12-9=0$
Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$
Решение. Выполним следующие
преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.
$$left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} \ {7-7 cdot 1} & {8-7 cdot 2} & {9-7 cdot 3}end{array}right|=$$
$$=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {-6} & {-12}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {2 cdot(-3)} & {2 cdot(-6)}end{array}right|=0$$
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Пример
Задание. Вычислить определитель
$left| begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним
элементарные преобразования над строками определителя, сделав
как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих,
от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:
$$left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=left| begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|$$
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
$$left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=0+0+1 cdot(-1)^{3+1} cdot left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|+0$$
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули,
например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:
$$left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrr}{0} & {2} & {4} \ {4} & {-2} & {-8} \ {0} & {4} & {8}end{array}right|=4 cdot(-1)^{2+2} cdot left| begin{array}{ll}{2} & {4} \ {4} & {8}end{array}right|=$$
$$=4 cdot(2 cdot 8-4 cdot 4)=0$$
Ответ. $left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=0$
Замечание
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять,
а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание. Вычислить определитель
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {2} & {-5} & {3} & {0} \ {-1} & {4} & {2} & {-3}end{array}right|$$
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
$$Delta=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {-10} & {-10} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|$$
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
$$Delta=-10 left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|=$$
$$=-10 cdot left| begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {-8}end{array}right|=(-10) cdot 1 cdot(-1) cdot 1 cdot(-8)=-80$$
Ответ. $Delta=-80$
Теорема Лапласа
Теорема
Пусть $Delta$ — определитель
$n$-го порядка. Выберем в нем произвольные
$k$ строк (или столбцов), причем
$k leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех
миноров
$k$-го порядка, которые содержатся в выбранных
$k$ строках (столбцах), на их
алгебраические дополнения равна определителю.
Пример
Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель
$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|$
Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки —
вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):
$$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=left| begin{array}{cc}{1} & {-1} \ {4} & {-5}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+4} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \ {3} & {1} & {1} \ {1} & {2} & {1}end{array}right|+$$
$$+left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {4} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+5} cdot left| begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \ {3} & {1} & {0} \ {1} & {2} & {-2}end{array}right|+left| begin{array}{cc}{-1} & {2} \ {-5} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+5} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \ {3} & {2} & {1} \ {1} & {1} & {2}end{array}right|=$$
$$=-23+128+90=195$$
Ответ. $left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=195$
Читать дальше: обратная матрица.
Содержание:
Определители II и III порядка
Определение: Определителем порядка n называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы, имеющей n строк и n столбцов, которая раскрывается по определенному правилу.
Числа 
Определение: Определителем II порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 2×2, т.е. имеющая 2 строки и 2 столбца.
Определение: Определитель II порядка вычисляется по правилу: из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, надо вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали: 
Пример:
Определение: Определителем III порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 3×3, то есть имеющей 3 строки и 3 столбца.
Определитель III порядка вычисляется по правилу Саррюса: за определителем выписывают первый и второй столбцы, затем из суммы произведений элементов, стоящих на главной диагонали ей параллельных диагоналях, надо вычесть сумму произведений элементов, стоящих на побочной диагонали и ей параллельных: 
Пример:
Определение: Минором 
элемента 
называется определитель порядка (n-1), который получается из исходного определителя порядка n путем вычеркивания строки i и столбца j, на пересечении которых стоит элемент 
Пример:
Найти миноры элементов 
и 
определителя из Примера 2. Вычеркивая в определителе строку 1 и столбец 2:
получим минор
Поступая аналогично со строкой 3 и столбцом 3, получим минор 
Пример:
Найти миноры элементов 
и 
определителя 
Исходя из определения минора 
получаем 
аналогично найдем минор 
Определение: Алгебраическим дополнением 
элемента 
называется произведение минора этого элемента на 
т.е. 
Замечание: Из определения алгебраического дополнения следует, что алгебраическое дополнение совпадает со своим минором, если сумма 
является четным числом, и противоположно ему по знаку, если сумма — нечетное число.
Определение: Транспонированным определителем n-го порядка называется определитель порядка n, полученный из исходного определителя путем замены строк на соответствующие столбцы, а столбцов на соответствующие строки.
Если 
Пример:
Найти определитель, транспонированный к определителю
Из определения транспонированного определителя 
Свойства определителей
1. Величина транспонированного определителя равна величине исходного определителя. Пусть 
Отсюда видно, что 
2. Перестановка местами двух строк (столбцов) изменяет знак определителя на противоположный. Пусть 
Если поменять местами строки (столбцы) четное число раз, то величина и знак определителя не меняется. Нечетная перестановка местами строк (столбцов) не меняет величину определителя, но изменяет его знак на противоположный.
3. Определитель, содержащий две (или более) одинаковых строки (столбца), равен нулю. Если определитель содержит два одинаковых столбца, то 
4. Для того чтобы умножить определитель на число k, достаточно умножить на это число все элементы какой-либо одной строки (столбца). Обратно: если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель k, то его можно вынести за знак определителя.
Докажем это свойство: 
5. Если две каких-либо строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю.
Пусть в определителе II порядка первая и вторая строки пропорциональны, тогда 
6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Пусть в определителе II порядка все элементы первой строки равны нулю, тогда 
7. Если элементы какой-либо строки (или столбца) можно представить в виде двух слагаемых, то сам определитель можно представить в виде суммы двух определителей. Если 
Доказать самостоятельно.
8. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на вещественное число к и прибавить k соответствующим элементам другой строки (соответственно, столбца), то величина определителя не изменится.
Умножим элементы второго столбца на вещественное число k и прибавим результат умножения к соответствующим элементам первого столбца, получим
Второй определитель равен нулю по свойству 5.
Замечание: Данное свойство применяется для обнуления всех элементов какой-либо строки (столбца) за исключением одного (метод обнуления), что существенно снижает трудоемкость вычисления определителей порядка выше 3 (см. также свойство 9.).
9. [Метод раскрытия определителя по элементам какой-либо строки (или столбца); универсальный способ вычисления определителя любого порядка]. Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
Пример:
Вычислить определитель 
по элементам 3 строки и по элементам 2 столбца.
Решение:
Воспользуемся свойством 9.: раскроем определитель по элементам 3 строки 
Вычислим определитель по элементам 2 столбца
Из полученных результатов видно, что свойство 9. является универсальным методом вычисления любых определителей по элементам любой строки или столбца.
Используя свойство 8. можно обнулить все элементы какой-либо строки (столбца) за исключением одного (метод обнуления), а затем раскрыть определитель по элементам этой строки, воспользовавшись свойством 9.
Пример:
Вычислить определитель 
Решение:
Обнулим элементы в третьей строке, для чего выполним следующие действия: 
(по свойству 4. из третьей строки вынесем множитель 2) 
используя свойство 8., умножим все элементы второго столбца на 1.5 и прибавим к соответствующим элементам третьего столбца, получим) 
(по свойству 4. из третьего столбца вынесем множитель 0,5, тогда множитель перед определителем станет равным 1) 
(раскроем определитель по элементам третьей строки: 
выше из определителя третьего порядка вычеркнута третья строка с нулями и второй столбец, т.е. показан необходимый для дальнейших вычислений минор 
Таким образом, метод обнуления позволяет значительно ускорить процесс вычисления любого определителя.
Пример:
Решить уравнение 
Решение:
Вычислим определители второго и третьего порядков согласно вышеописанным правилам:
Найденные величины подставим в исходное уравнение
Пример:
Решить неравенство 
Решение:
Вычислим определители второго и третьего порядков согласно вышеописанным правилам:
Найденные величины подставим в исходное неравенство 
Пример:
Вычислить определитель четвертого порядка (аналогично выполнить такие же действия с определителем третьего порядка), преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и вычислить полученный определитель по элементам этого ряда: 
Решение:
Во второй строке исходного определителя присутствуют 1 и 0, поэтому обнуление элементов будем производить в этой строке (при обнулении элементов в строке действия производят со столбцами и наоборот): 
— строка обнуления; 
— столбцы, с которыми производят действия)=
(по методу обнуления раскроем определитель по элементам 2-ой строки (
— цифры, с которыми производятся действия))
(по универсальному методу раскроем определитель по элементам третьей строки)
Определители
Перестановкой чисел 1, 2,…, n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12…n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.
Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.
Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ 
обозначает подстановку в которой 3 переходит в 
Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде 
т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.
Пусть нам дана квадратная матрица порядка n 
Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида: 
где индексы 
составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,…,n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (-1)q где q — число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.
Определителем n-го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ 
(детерминант, или определитель, матрицы А).
Свойства определителей:
- Определитель не меняется при транспонировании.
- Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
- Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
- Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
- Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число
то сам определитель умножится на - Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
- Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, — такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов в другом — из элементов
- Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.
то сам определитель умножится на 
то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, — такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов 
в другом — из элементов 
Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.
Минором 
элемента 
определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента 
определителя d называется его минор 
взятый со знаком 
Алгебраическое дополнение элемента 
будем обозначать 
Таким образом, 
Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.
- Заказать решение задач по высшей математике
Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).
Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки 
или j- го столбца 
В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.
Пример:
Не вычисляя определителя 
показать, что он равен нулю.
Решение:
Вычтем из второй строки первую, получим определитель 
равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель 
в котором две строки пропорциональны.
Такой определитель равен нулю.
Пример:
Вычислить определитель 
разложив его по элементам второго столбца.
Решение:
Разложим определитель по элементам второго столбца: 
Пример:
Вычислить определитель 
в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.
Решение:
Разложим определитель А по первой строке:
Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим: 
И так далее. После n шагов придем к равенству 
Пример:
Вычислить определитель 
Решение:
Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: 
равный исходному.
Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.
——- в вышмате
Определители. Алгебраические дополнения
Внимание! Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.
Матрица называется квадратной порядка n, если количество ее строк совпадает с количеством столбцов и равно n.
Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ. Элементы квадратной матрицы порядка n, сумма индексов каждого из которых равна n+1, составляют побочную диагональ.
Определитель матрицы 
обозначается одним из следующих символов: 
Внимание! Определитель — это число, характеризующее квадратную мат- рицу.
Определитель матрицы второго порядка равен разности элементов главной и побочной диагоналей соответственно:
Определитель матрицы третьего порядка равен сумме элементов главной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, а также разности элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали. 
Схематично это правило изображается так (правило треугольника): 
Например,
Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной, если все элементы, стоящие под (над) главной диагональю равны нулю.
Отметим некоторые свойства определителя.
- Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
- При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
- От перестановки двух рядов (строк или столбцов) определитель меняет знак.
- Общий множитель всех элементов некоторого ряда определителя можно выносить за знак определителя.
- Если все элементы какого-нибудь ряда матрицы равны нулю, то определитель равен нулю.
- Определитель, содержащий два пропорциональных ряда, равен нулю.
- Определитель не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, умноженные на одно и то же число.
- Определитель произведения двух матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц.
Минором элемента 
определителя n-го порядка называется определитель (n-l)-ro порядка, получаемый вычеркиванием i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение: 
Алгебраическим дополнением элемента 
называется его минор, умноженный на 
Обозначение: 
Теорема разложения.
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.
Пример №2
Вычислить определитель, разлагая его по элементам первой строки: 
Решение:
По теореме разложения 
Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А: 
Следовательно,
Для вычисления определителя порядка выше третьего удобно пользоваться теоремой разложения (метод понижения порядка) или методом приведения определителя к треугольному виду.
Пример №3
Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:
Решение:
Применяя свойство 6 определителей, преобразуем последовательно второй, третий, четвертый столбцы матрицы. 
- прибавили ко второму столбцу первый, умноженный на -2;
- прибавили к третьему столбцу первый, умноженный на -3;
- прибавили к четвертому столбцу первый, умноженный на -4;
- применили свойство 1 определителей.
- Критерий совместности Кронекера-Капелли
- Формулы Крамера
- Матричный метод
- Экстремум функции
- Пределы в математике
- Функции многих переменных
- Уравнения прямых и кривых на плоскости
- Плоскость и прямая в пространстве