Как найти значение периода колебаний маятника

Что такое колебательный процесс 

Колебания — это движения или процессы, которые повторяются с определенным интервалом времени.

Систему, совершающую колебания, называют колебательной системой или осциллятором.

Исходя из физической природы, колебательные процессы бывают механического, электромагнитного и других видов.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Свободные или собственные колебания — колебания, которые наблюдают в системе, предоставленной себе после выведения из равновесного состояния.

Вынужденными колебаниями называют колебания, происходящие под действием внешней силы, изменяющейся периодически.

При механических колебаниях, которые относят к категории вынужденных:

(F=F_{0}cos cot)

Гармоническими колебаниями называют колебания, определяемые физической величиной, которая изменяется, согласно закону синуса или косинуса.

Разные периодические процессы, повторяющиеся в течение равных временных интервалов, могут быть записаны в виде суммы или суперпозиции гармонических колебаний.

Определение периода колебаний, формула

Колебательный процесс можно представить в виде уравнения. Тогда гармоническое колебание значения х будет представлено следующей формулой:

(x(t)=Atimes cos left(omega _{0}t+phi _{0} right))

Где (x(t)) является отклонением колеблющейся физической величины от равновесного значения;

А представляет собой амплитуду гармонических колебаний;

(omega _{0}) равно циклической или круговой частоте колебаний;

(phi _{0}) является начальной фазой колебаний, характерной для момента времени t=0, что можно определить с помощью выбора начала отсчета времени;

(cp(t)=(co_{0}t+cp_{0})) описывает фазу колебаний в момент времени t, определяется в радианах, соответствует значению колеблющейся величины в данное время.

В случае, когда имеется какая-либо материальная точка с массой m, характеристика х будет соответствовать смещению тела из равновесного положения. Следует заметить, что амплитуда и частота гармонических колебаний обладают постоянными значениями. Исходя из того, что cos меняет значение в интервале от +1 до -1, параметр х будет изменяться от +А до –А. Так как:

(cos left(alpha +2pi right)=cos alpha,)

то х остается без изменений при фазе колебаний, получающей приращение в $$2pi$$

Период колебаний Т представляет собой минимальный временной интервал, в течение которого колебательная система возвращается в то состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, определенный произвольно.

В этом случае фаза будет увеличена на (2pi:)

(omega _{0}(t+T)+phi _{0}=left(omega _{0}t+phi _{0} right)+2pi)

Из данного равенства можно вычислить период колебаний:

(T=frac{2pi }{omega _{0}})

Частота колебаний v является величиной, которая обратна периоду колебаний. Это количество полных колебаний, выполняемых за единицу времени:

(v=frac{omega _{0}}{2pi})

 

На графике изображены гармонические колебания, где а — зависимость смещения х от времени /, б — зависимость скорости vx от времени С, в — зависимость ускорения ах от времени t.

Единицей частоты в СИ является герц (Гц). Это частота периодического периода, в котором в течение 1 секунды выполняется одно полное колебание.

Можно представить, что материальная точка совершает прямолинейные гармонические колебания, относительно оси Х около равновесного положения, которое является началом отсчета координат. Так как движения частицы колебательные, ей присуще скорость и ускорение. Характеристики данного процесса будут записаны таким образом:

Смещение (x=Atimes cos left(omega _{0}t+phi _{0} right))

Скорость (v_{x}=dot{x}=-Aomega _{0}times sin left(omega _{0} t+phi_{0} right)=Aomega _{0}times cos left(omega _{0} t+phi_{0} +frac{pi }{2}right))

Ускорение

(a_{x}=dot{v_{x}}=ddot{x}=-Aomega _{0}times cos left(omega _{0} t+phi_{0} right)=Aomega _{0}^{2}times cos left(omega _{0} t+phi_{0} +pi right))

Как найти период для физического маятника

В случае, когда углы отклонения (varphi) небольшие, физический маятник будет совершать гармонические колебания. Можно считать его вес, приложенным к центру тяжести в точке С. Сила возврата маятника в равновесное положение является составляющей силы тяжести — сила F:

(F=mgtimes sin varphi)

Отрицательное значение правой части уравнения означает, что сила F ориентирована по направлению уменьшения угла (alpha)

Учитывая малый угол (varphi) уравнение можно записать в следующем виде:

(F=mgtimesvarphi)

С помощью основного уравнения динамики, описывающее вращательное движение, можно вывести закон движения физического маятника:

(J=ml^{2})

При условии невозможности определения момента силы в явном виде, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника будет записано в такой форме:

(frac{d^{2}varphi }{dt^{2}}+frac{mgl}{J}varphi =0)

В результате сравнения полученного выражения и уравнения гармонических колебаний, получим:

(alpha _{x}(t)+omega ^{2}x(t)=0)

Таким образом, получается, что формула циклической частоты пружинного маятника имеет следующий вид:

(omega =sqrt{frac{mgl}{J}})

В таком случае для расчета периода колебаний математического маятника будет использоваться формула:

(T =frac{2pi }{omega }=2pi sqrt{frac{J}{mgl}})

Исходя из расчетов, можно сделать следующие выводы:

1. Период пружинного маятника (T =2pi sqrt{frac{m}{k}})
2. Период математического маятника (T =2pi sqrt{frac{L}{g}})
3. Период крутильного маятника (T =2pi sqrt{frac{I}{K}})

В приведенных формулах:

• T — период физического маятника;
• J — момент силы маятника относительно оси вращения;
• l — расстояние от оси вращения до центра масс;
• m — масса маятника;
• g=9.8 — ускорение свободного падения.

Примеры решений

Решение

(T =frac{t}{N}=frac{120}{60}=2)

(V=frac{1}{T}=frac{1}{2}=0.5)

Ответ: период колебаний маятника равен 2 секундам, а частота составляет 0,5 Гц.

 

Решение

А = 20

Т = 0,8

(V=frac{1}{T}=frac{1}{0,8}=1,25)

(x(t)=Asin 2pi Vt=0.2sin 2pi times 1.25t=0.2sin 2.5pi t)

Ответ: амплитуда колебаний маятника составляет 0,2 метра, период колебаний соответствует 0,8 с, частота колебаний равна 1,25 Гц, уравнение координаты будет записано в следующем виде: (x(t)=0.2sin 2.5pi t)

Решение

Период колебаний математического маятника рассчитывается по формуле:

(T =2pi sqrt{frac{L}{g}})

Согласно определению:

(V=frac{1}{T})

Тогда:

(T=frac{1}{V})

Получим равенство:

(frac{1}{V}=2pi sqrt{frac{l}{g}})

Для того чтобы выразить длину маятника, необходимо возвести обе части равенства в квадрат:

(frac{1}{V^{2}}=4pi ^{2}times frac{l}{g}Rightarrow l=frac{g}{4pi ^{2}V^{2}})

(l=frac{1.5}{4*3.14 ^{2}*0.5^{2}}approx 0.16)

Ответ: длина математического маятника примерно составляет 0,16 метра.

Период колебаний физического маятника

Для
того, чтобы найти период колебаний
физического маятника, необходимо решить
уравнение качания.

Для этого умножим
левую 
 и
правую часть этого уравнения на 
.
Тогда:

.

Интегрируя
это уравнение, получаем.

,

где 
 произвольная
постоянная. Её можно найти из граничного
условия, что в моменты 
.
Получаем: 
.
Подставляем и преобразовываем получившееся
уравнение:

.

Отделяем
переменные и интегрируем это уравнение:

.

Удобно
сделать замену переменной, полагая 
.
Тогда искомое уравнение принимает вид:

.

Здесь 
 — нормальный
эллиптический интеграл Лежандра 1-го
рода.
Для периода колебаний получаем формулу:

.

Здесь 
 — полный
нормальный эллиптический интеграл
Лежандра 1-го рода.
Раскладывая его в ряд, можно получить
удобную для практических вычислений
формулу:

.

[Править]Период малых колебаний физического маятника

Если
амплитуда колебаний 
 мала,
то корень в знаменателе эллиптического
интеграла приближенно равен единице.
Такой интеграл легко берется, и получается
хорошо известная формула малых колебаний:

.

Эта
формула даёт результаты приемлемой
точности (ошибка менее 1 %) при углах,
не превышающих 4°.

Следующий
порядок приближения можно использовать
с приемлемой точностью (ошибка менее
1 %) при углах до 1 радиана (≈60°)

.

Вопрос 4. Энергия гармонических колебаний

       
При механических колебаниях
колеблющееся тело (или материальная
точка) обладает кинетической и
потенциальной энергией. Кинетическая энергия
тела W:

(Скорость
тела v = ds/dt)

        Для
вычисления потенциальной энергии тела
воспользуемся самой общей формулой,
связывающей силу и потенциальную энергию
тела в поле этой силы:

где
U — потенциальная энергия, набираемая
(или теряемая) телом, движущимся в силовом
поле F от точки 0 (точки, в которой
потенциальная энергия принимается
равной 0) до точки х.

        Для
силы, линейно зависящей от смещения
(как в случае наших механических
маятников, такие силы носят общее
название квазиупругих сил) мы имеем:

Сравнивая формулы

для кинетической и потенциальной энергии механического маятника, можно сделать следующие выводы:

1.
Полная механическая энергия тела не
изменяется при колебаниях: 
 

2.
Частота колебаний кинетической и
потенциальной энергии в 2 раза больше
частоты колебаний маятника. 

3.
Колебания кинетической и потенциальной
энергии сдвинуты друг относительно
друга по фазе на  (на
полпериода). Когда кинетическая энергия
достигает максимума, потенциальная —
минимума (нуля) и наоборот. Энергия при
колебаниях постоянно перекачивается
из потенциальной в кинетическую и
обратно.

Вопрос 5.

Ускоре́ние
свобо́дного паде́ния g (оно
же ускорение силы тяжести), — ускорение,
придаваемое телу в вакууме силой
тяжести,
то есть геометрической
суммой гравитационногопритяжения
планеты (или другого астрономического
тела) и сил
инерции,
вызванных её вращением, за
исключением кориолисовых
сил инерции^[1].
В соответствии со вторым
законом Ньютона,
ускорение свободного падения численно
равно силе тяжести, воздействующей на
объект единичной массы.

Значение
ускорения свободного падения на
поверхности Земли обычно
принимают равным 9,8 или 10 м/с².
Стандартное («нормальное») значение,
принятое при построении систем единиц, g =
9,80665 м/с²^[2],
а в технических расчётах обычно
принимают g =
9,81 м/с².

Стандартное
значение g было
определено как «среднее» в каком-то
смысле ускорение
свободного падения на
Земле, примерно равно ускорению свободного
падения на широте45,5°
на уровне
моря.

Реальное
ускорение свободного падения на
поверхности Земли зависит от широты,
времени суток и других факторов. Оно
варьируется от 9,780 м/с² на экваторе до
9,832 м/с² наполюсах^[3].
Оно может быть вычислено (в м/с²) по
эмпирической формуле:

где 
 —
широта рассматриваемого места, 
 — высота
над уровнем моря в метрах.^[4] Эта
формула применима лишь в ограниченном
диапазоне высот от 0 до нескольких
десятков км, где убывание ускорения
свободного падения с высотой можно
считать линейным (на самом же деле оно
убывает квадратично).

Как
в лабораторке измеряли я хз ибо проебал^^

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Формула периода колебаний математического маятника

Формула периода колебаний математического маятника

Математический маятник

Обычно математическим маятником считают маленький шарик (материальную точку), имеющий большую массу, подвешенный на длинной нерастяжимой нити (подвесе). Это идеализированная система, которая совершает колебания под воздействием силы тяжести. Только для углов порядка 50-100 математический маятник является гармоническим осциллятором, то есть совершает гармонические колебания.

Изучая качание паникадила на длинной цепи Галилей изучал свойства математического маятника. Он понял, что период колебаний данной системы не зависит от амплитуды при малых углах отклонения.

Формула для периода колебаний математического маятника

Пусть точка подвеса маятника неподвижна. Груз, подвешенный к нити маятника, движется по дуге окружности (рис.1(a)) с ускорением, на него действует некоторая возвращающая сила ($overline{F}$). Данная сила изменяется при движении груза. В результате чего расчет движения становится сложным. Введем некоторые упрощения. Пусть маятник совершает колебания не в плоскости, а описывает конус (рис.1 (b)). Груз в этом случае перемещается по окружности. Период интересующих нас колебаний будет совпадать с периодом конического движения груза. Период обращения конического маятника по окружности равен времени, которое тратит груз на один виток по окружности:

[T=frac{L}{v}=frac{2pi R}{v}left(1right),]

где $L$ — длина окружности; $v$ — скорость движения груза. Если углы отклонения нити от вертикали малые (небольшие амплитуды колебаний) то полагают, что возвращающая сила ($F_1$) направлена по радиусу окружности, которую описывает груз. Тогда эта сила равна центростремительной силе:

[F_1=frac{mv^2}{R}left(2right).]

Рассмотрим подобные треугольники: AOB и DBC (рис.1 (b)).

[F_1=mg{sin alpha =mgfrac{R}{l} }left(3right).]

Приравниваем правые части выражений (2) и (3), выражаем скорость движения груза:

[frac{mv^2}{R}=mgfrac{R}{l} to v=Rsqrt{frac{g}{l}}left(4right).]

Полученную скорость подставим в формулу (1), имеем:

[T=frac{2pi R}{Rsqrt{frac{g}{l}}}to ]

[T=2pi sqrt{frac{l}{g}}left(5right).]

Из формулы (5) мы видим, что период математического маятника зависит только от длины его подвеса (расстояния от точки подвеса до центра тяжести груза) и ускорения свободного падения. Формулу (5) для периода математического маятника называют формулой Гюйгенса, она выполняется, когда точка подвеса маятника не движется.

Используя зависимость периода колебаний математического маятника от ускорения свободного падения, определяют величину данного ускорения. Для этого измеряют длину маятника, рассматривая большое количество колебаний, находят период $T$, затем вычисляют ускорение свободного падения.

Примеры задач с решением

Читать дальше: формула периода колебаний пружинного маятника.

---