Как найти значение периодической функции - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

С периодическими функциями мы встречаемся в школьном курсе алгебры. Это функции, все значения которых повторяются через определенный период. Как будто мы копируем часть графика — и повторяем этот паттерн на всей области определения функции. Например, — периодические функции.

Дадим определение периодической функции:

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число , не равное нулю, что для любого из ее области определения

Другими словами, это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого фиксированного ненулевого числа . Число называется периодом функции. Как правило, говоря о периоде, мы имеем в виду наименьший положительный период функции.

Например, — периодические функции.

Для функций и период T = 2pi ,

Для функций tg x и период T = pi.

Но не только тригонометрические функции являются периодическими. Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задачи:

1. Периодическая функция определена для всех действительных чисел. Ее период равен двум и Найдите значение выражения

График функции может выглядеть, например, вот так:

Отметим точку М (1; 5), принадлежащую графику функции . Поскольку период функции равен 2, значения функции в точках будут также равны пяти. Здесь k — целое число.

Как ведет себя функция в других точках — мы не знаем. Но знаем, что ее график состоит из повторяющихся элементов длиной 2, что и нарисовано.

Значения функции в точках -3 и 7 равны пяти. Мы получим:

2. График четной периодической функции совпадает с графиком функции на отрезке от 0 до 1; период функции равен 2. Постройте график функции и найдите f(4 ).

Построим график функции при

Поскольку функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат. Построим часть графика при симметричную части графика от 0 до 1.

Период функции равен 2. Повторим периодически участок длины 2, который уже построен.

Найдем f(4)

3. Найдите наименьший положительный период функции

Наименьший положительный период функции равен 2pi.

График функции получается из графика функции сжатием в 3 раза по оси X (смотри тему «Преобразование графиков функций).

Значит, у функции частота в 3 раза больше, чем у функции , а наименьший положительный период в 3 раза меньше и равен $frac{{rm 2}pi }{{rm 3}}$ . Значит, на отрезке 2pi укладывается ровно 3 полных волны функции

Рассуждая аналогично, получим, что для функции наименьший положительный период равен $frac{{rm 2}pi }{{rm 5}}.$ На отрезке 2pi укладывается ровно 5 полных волн функции

Числа 3 и 5 — взаимно простые. Поэтому наименьший положительный период функции равен 2pi .

4. Период функции равен 12, а период функции равен 8. Найдите наименьший положительный период функции

По условию, период функции равен 12. Это значит, что все значения повторяются через 12, через . Если мы выберем любую точку x_0 на графике функции то через значение функции будет такое же, как и в точке x_0.

Аналогично, все значения функции повторяются через . В этих точках значения будут такие же, как и в точке x_0.

На каком же расстоянии от точки x_0 расположена точка, в которой значение функции такое же, что и в точке x_0 ? Очевидно, на расстоянии Это значит, что число делится и на 12, и на 8, то есть является их наименьшим общим кратным. Значит, T = 24 .

Наименьший положительный период суммы функций равен наименьшему общему кратному периодов слагаемых.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Периодические функции» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена:
07.05.2023

Источник

В этой статье обсуждаем периодичность функций: как определить, периодична ли функция, и каков ее период.

Функция периодична, если некоторый набор ее значений повторяется раз за разом, и точки с одинаковыми значениями функции расположены на числовой оси с равными промежутками. Это расстояние и будем называть периодом. Периодичная функция может иметь и несколько периодов, самый маленький положительный из них будем называть основным.

Тогда, если мы знаем период, мы можем, зная все значения функции на протяжении данного периода, достроить функцию, либо узнать ее значения в любой точке числовой оси – то есть при любом аргументе.

period1

Периодичная функция

Пример 1: функция f(x) имеет период, равный 2: T=2 и при . Найдите значение выражения .

Раз наша функция принимает форму части параболы на отрезке [-2; 0] при периоде, равном 2, значит, такую же форму она будет иметь и на следующем отрезке – [0;2], и на отрезке [2;4]. Изобразим ее:

period2

Определение значения периодичной функции

Видно, что функция принимает одинаковые значения в точках, отстоящих друг от друга на 2, 4, 6 единиц и т.д., тогда . Найдем эти значения функции. В точке (-1) функция принимает значение , в точке (3,5) функция принимает значение .

Теперь найдем значение искомого выражения: .

Строго говоря, функция периодична, если есть такое число Т, что .

Попробуем научиться определять, периодична ли функция или нет. Для этого рассмотрим несколько примеров.

Пример 2. Проверим, периодична ли функция .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется. Значит, функция непериодична.

Пример 3. Проверим, периодична ли функция .

Функцию для удобства представим в виде: .

Установим, выполняется ли условие: , то есть ? Очевидно, что данное условие не выполняется: . Значит, функция непериодична.

Пример 4. Проверим, периодична ли функция . Если функция периодична, то будет выполняться условие: , то есть . Поскольку нам все равно, в какой точке числовой оси мы проведем свое исследование, то очень удобно начать с точки x=0 . Тогда , или . Это означает, что либо cos T=1 , либо , то есть либо T=2{pi} , либо T={pi} , а так как главным считается наименьший положительный период, то T={pi} .

period3

Определение периода функции

В данном примере делать проверку необязательно, но проверка бывает очень полезна в более сложных задачах, поэтому сделаем ее здесь для тренировки: .

Пример 5. Определить периодичность функции .

Если Т – период, то .

В это равенство подставим какие-нибудь «удобные» точки, например, . Получим:

Далее есть два пути отыскания периода, первый – решение этого уравнения, второй – составление еще одного уравнения такого же вида. Если функция имеет период Т, то верно и следующее: . Подставим «удобную» точку :

Пользуясь четностью косинуса и нечетностью синуса можем записать:

Имеем систему:

Уравнения сложим, и получим

, откуда

, при n=1 получим T={pi} – ведь нам нужен наименьший период.

Теперь испробуем второй путь, решим это уравнение: . Из основного тригонометрического тождества:

${sqrt{1-{sin {2T}}^2}}+2{sin {2T}}=1$

Оставим в левой части только корень:

$sqrt{1-{sin {2T}}^2}=1-2{sin {2T}}$

Возведем в квадрат:

$1-(sin {2T})^2=1-4sin 2T+4(sin {2T})^2$

$5(sin {2T})^2-4sin {2T}=0$

Тогда либо , либо и .

Это уравнение имеет два решения, одно из которых (второе) – посторонний корень, появившийся при возведении в квадрат. Проверка подстановкой его в исходное уравнение позволит нам выявить его и отбросить. Таким образом, получаем:

и наименьшим будет период при n=1 , то есть T={pi} .

Здесь также необходимо сделать проверку. Подставим полученный период в условие :

, то есть

период данной функции — T={pi} .

period1

Определение периода функции

Пример 6. Определить периодичность функции и найти ее основной период.

Если Т – период, то

Подставим x=0 , имеем

Или , , наименьший период при n=1 , T= {pi} .

Проверим:

period4

Определение периода функции

Пример 7. Определим период функции .

Запишем условие периодичности:

, если x=0 , то

, откуда , . При n=1 , , при n=2 , . Проверкой можно показать, что периодом не является. Тогда . Действительно:

Определение периода функции

Пример 8. Доказать, что периодом функции является T=2{pi} .

Тогда:

Пример 9. Доказать, что периодом функции является T=2{pi} .

Тогда:

Если x=0 , то

, а так как {-pi}/4 и {7pi}/4 — одна и та же точка на единичной окружности, то равенство выполняется.

Удачи вам в учебе и надеюсь, эта статья вам помогла.

Источник

Периодическая функция

Периодическая функция — это функция, значения которой не изменяются при добавлении к значениям её аргумента некоторого числа T (отличного от нуля).

Определение

Функция y=f(x) называется периодической, если существует такое число T≠0, что для любого x из области определения этой функции выполняются равенства:

f(x-T)= f(x)=f(x+T).

Число T называют периодом функции y=f(x).

Из определения следует, что значения x-T и x+T также входят в область определения функции y=f(x).

Свойства периодических функций

Если число T является периодом функции y=f(x), то и число -T также является периодом этой функции.
Если числа T₁ и T₂ являются периодами функции y=f(x) и T₁+T₂≠0, то и число T₁+T₂также является периодом функции y=f(x).
Если число T является периодом функции y=f(x), то и любое число вида nT, где n∈Ζ и n≠0 также является периодом этой функции.
Если число T является периодом функции y=f(x), то число T/k является периодом функции y=f(kx+b) (где k≠0).
Если число T является периодом функции y=f(x) и функции y=g(x), то сумма, разность, произведение и частное этих функций являются периодическими функциями с тем же периодом T.

Доказательство:

1) По определению периодической функции для любого x из области определения y=f(x) если T — период функции, то f(x-T)= f(x)=f(x+T).

Вместо каждого T подставим в это равенство -T:

f(x-(-T))= f(x)=f(x+(-T)), откуда

f(x+T)=f(x)=f(x-T), то есть -T также является периодом функции y=f(x).

2) Для любого x из области определения y=f(x) если T₁ — период функции, то

f(x-T₁)= f(x)=f(x+T₁).

Так как T₂ также является периодом функции y=f(x), то для аргумента x-T₁

f((x-T₁)-T₂)=f(x-T₁),

f(x-(T₁+T₂))=f(x-T₁)=f(x).

Для аргумента x+T₁

f(x+T₁)=f((x+T₁)+T₂),

f(x)=f(x+T₁)=f(x+(T₁+T₂)).

Таким образом, f(x-(T₁+T₂))=f(x)=f(x+(T₁+T₂)).

Следовательно, число T₁+T₂ является периодом функции y=f(x).

3) Это свойство непосредственно вытекает из свойства 2, если T взять в качестве слагаемого n раз.

4) Если T — период функции f(x), то для аргумента kx+b

f((kx+b)-T)=f(kx+b)=f((kx+b)+T),

f((kx-T)+b))=f(kx+b)=f((kx+T)+b),

$[ f(k(x - frac{T}{k}) + b) = f(kx + b) = ]$

$[ = f(k(x - frac{T}{k}) + b) ]$

Значит число T/k — период функции f(kx+b).

5) Эти свойства следуют непосредственно из определения.

Например, для суммы f(x) и g(x):

f(x-T)+g(x-T)=f(x)+g(x)=f(x+T)+g(x+T).

Из свойства 3 следует, что каждая периодическая функция имеет бесконечно много периодов.

Если среди всех периодов функции y=f(x) существует наименьший положительный период, то его называют главным (или основным) периодом функции.

Примеры периодических функций

1) Поскольку для любого x выполняются равенства

sin (x-2π)=sin x = sin (x-2π),

cos (x-2π)=cos x = cos (x-2π),

то функции y=sin x и y=cos x являются периодическими с периодом T=2π.

2) Так как для любого x из области определения функции y=tg x выполняется равенство

tg (x-π)=tg x =tg (x-π), то y=tg x — периодическая функция с периодом T=π.

Аналогично, y=ctg x — периодическая функция с периодом T=π.

3) Так как для любого действительного числа x и любого рационального числа k выполняется равенство D(x+k)=D(x), то функция Дирихле D(x) — периодическая с периодом T=k, где k∈Q, k≠0.

Поскольку k — любое рациональное число, невозможно его указать наименьшее положительное значение. Следовательно, функция Дирихле не имеет главного периода.

4) Рассмотрим частный случай линейной функции y=b, b — действительное число (b∈R). Эта функция определена на множестве действительных чисел и при любых значениях аргумента принимает единственное значение y=b, то есть для любого действительного числа m (m∈R), y(x)=y(x+m)=b.

Значит y=b — периодическая функция с периодом T=m, где m∈R, m≠0.

Так как m — любое действительное число, оно не имеет наименьшего положительного значения. Поэтому функция y=b не имеет главного периода.

5) Так как для любого действительного x и любого целого k выполняется равенство {x+k}={x}, то функция дробной части числа y={x} — периодическая с периодом T=k, где k∈Ζ, k≠0.

Наименьшим положительным целым числом является единица. Следовательно, T=1 — главный период функции y={x}.

Утверждения

Главный период функций y=sin x и y=cos x T=2π.

Главный период функций y=tg x и y=ctg x T=π.

Доказательство:

Если T — период функции y=sin x, то sin (x-2π)=sin x = sin (x-2π) для любого x.

В частности, при x= -T/2:

$[ sin ( - frac{T}{2} + T) = sin ( - frac{T}{2}), ]$

и, поскольку

$[ sin ( - frac{T}{2}) = sin frac{T}{2}, ]$

получаем

$[ sin frac{T}{2} = - sin frac{T}{2}. ]$

Отсюда

$[ sin frac{T}{2} + sin frac{T}{2} = 0, ]$

$[ 2sin frac{T}{2} = 0, ]$

$[ sin frac{T}{2} = 0. ]$

Так как

$[ sin frac{T}{2} = 0,frac{T}{2} = pi n,n in Z, ]$

То есть любой период функции y=sin x имеет вид 2πn, n∈Z.

Наименьшее положительное значение это выражение принимает при n=1 и оно равно T=2π.

Таким образом, 2π — главный период функции y=sin x.

Аналогично доказываются утверждения о главном периоде функций y=cos x, y=tg x и y=ctg x.

Из 4-го свойства периодических функций непосредственно следует, что для функций y=sin (kx+b) и y=cos (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

$[ T = frac{{2pi }}{{left| k right|}}, ]$

а для функций y=tg (kx+b) и y=ctg (kx+b) (k≠0) наименьший положительный период

$[ T = frac{pi }{{left| k right|}}. ]$

График периодической функции повторяется через промежутки длиной T (на оси Ox).

Поэтому периодичность функции используют для построения графика: достаточно построить часть графика на любом промежутке, длина которого равна величине наименьшего положительного периода T (например, на отрезке [0;T]), а затем выполнить параллельный перенос построенной части вдоль оси Ox на ±T, ±2T, ±3T, … .

Пример.

Дана часть графика

периодической функции

с периодом T на

промежутке длиной T.

Чтобы построить график функции, выполняем параллельный перенос этой части графика вдоль оси Ox на ±T, ±2T,… :

Источник

Как определить периодичность функции

По школьным урокам математики каждый помнит график синуса, равномерными волнами уходящий вдаль. Аналогичным свойством — повторяться через определенный промежуток — обладают и многие другие функции. Они называются периодическими. Периодичность — очень важное свойство функции, часто встречающееся в различных задачах. Поэтому полезно уметь определять, является ли функция периодической.

Инструкция

Если F(x) — функция аргумента x, то она называется периодической, если есть такое число T, что для любого x F(x + T) = F(x). Это число T и называется периодом функции.

Периодов может быть и несколько. Например, функция F = const для любых значений аргумента принимает одно и то же значение, а потому любое число может считаться ее периодом.

Обычно математика интересует наименьший не равный нулю период функции. Его для краткости и называют просто периодом.

Классический пример периодических функций — тригонометрические: синус, косинус и тангенс. Их период одинаков и равен 2π, то есть sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) и так далее. Однако, разумеется, тригонометрические функции — не единственные периодические.

Относительно простых, базовых функций единственный способ установить их периодичность или непериодичность — вычисления. Но для сложных функций уже есть несколько простых правил.

Если F(x) — периодическая функция с периодом T, и для нее определена производная, то эта производная f(x) = F′(x) — тоже периодическая функция с периодом T. Ведь значение производной в точке x равно тангенсу угла наклона касательной графика ее первообразной в этой точке к оси абсцисс, а поскольку первообразная периодически повторяется, то должна повторяться и производная. Например, производная от функции sin(x) равна cos(x), и она периодична. Беря производную от cos(x), вы получите –sin(x). Периодичность сохраняется неизменно.

Однако обратное не всегда верно. Так, функция f(x) = const периодическая, а ее первообразная F(x) = const*x + C — нет.

Если F(x) — периодическая функция с периодом T, то G(x) = a*F(kx + b), где a, b, и k — константы и k не равно нулю — тоже периодическая функция, и ее период равен T/k. Например sin(2x) — периодическая функция, и ее период равен π. Наглядно это можно представить так: умножая x на какое-нибудь число, вы как бы сжимаете график функции по горизонтали именно в столько раз

Если F1(x) и F2(x) — периодические функции, и их периоды равны T1 и T2 соответственно, то сумма этих функций тоже может быть периодической. Однако ее период не будет простой суммой периодов T1 и T2. Если результат деления T1/T2 — рациональное число, то сумма функций периодична, и ее период равен наименьшему общему кратному (НОК) периодов T1 и T2. Например, если период первой функции равен 12, а период второй — 15, то период их суммы будет равен НОК (12, 15) = 60.

Наглядно это можно представить так: функции идут с разной «шириной шага», но если отношение их ширин рационально, то рано или поздно (а точнее, именно через НОК шагов), они снова сравняются, и их сумма начнет новый период.

Однако если соотношение периодов иррационально, то суммарная функция не будет периодической вовсе. Например, пусть F1(x) = x mod 2 (остаток от деления x на 2), а F2(x) = sin(x). T1 здесь будет равен 2, а T2 равен 2π. Соотношение периодов равняется π — иррациональному числу. Следовательно, функция sin(x) + x mod 2 не является периодической.

Источники:

Теоретические сведения о функциях

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Периодичность функций

Функция
называетсяпериодической,
если существует такое число
,
что для любого значениях
из области определения выполняется
равенство

число
Т
называется периодом
функции.

Примеры
периодических функций:
,,,.

Заметим,
что периодическую функцию достаточно
исследовать в пределах одного периода,
т.е. при
.

Простейшие преобразования графиков

Пусть
в данной системе координат вычерчен
график некоторой функции

Из
этого графика с помощью специальных
приемов легко получить график сходных
функций; таких как

а
также более общего вида

где
— некоторые константы.

График
функции
получается растяжениемили сжатиемвm
раз исходного графика вдоль оси Оy.

Если
же
,
то, построив сначала график функции,
затем строим симметричный с ним
относительно осиОх
искомый график функции
.

График
функции
получается с помощью параллельного
переноса (сдвига) графикавдоль осиОy
вверх
или внизнаn
единиц.

График
функции
получается из графикасжатиемили растяжениемего ва
раз вдоль оси Ох.
(т.е. к оси Оy).

График
функции y=f(x+b)
получается из графика y=f(x)
с помощью параллельного переноса
(сдвига) его вдоль оси Ох
влево (b>0)
или вправо (b<0)
на b
единиц.