Как найти значение предела стремящегося к бесконечности

Как решать пределы с бесконечностью

Рассмотрим основные типы неопределенностей пределов на бесконечности с примерами решений:

1. $ [frac{0}{0}] $
2. $ [infty — infty] $
3. $[frac{infty}{infty}]^{[infty]}$ и $[1 ^ infty] $

Пример 1

Вычислить предел функции, стремящейся к бесконечности $ lim limits_{x to infty} frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} $

Решение

Первым делом подставляем $ xto infty $ в предел, чтобы попытаться его вычислить. $$ limlimits_{x to infty} frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} = frac{infty}{infty} = $$ Вычисление не дало результата, так как появилась неопределенность. Чтобы устранить её, вынесем за скобки в числителе и знаменателе $x$ с наибольшей степенью. $$limlimits_{x to infty} frac{x^3(1 — frac{4}{x^2} + frac{1}{x^3})}{x^3(1+frac{1}{x}-frac{2}{x^3})} = limlimits_{x to infty} frac{1 — frac{4}{x^2} + frac{1}{x^3}}{1+frac{1}{x}-frac{2}{x^3}} = $$ Максимальная степень у $x^3$, поэтому вынесли именно её, а затем выполнили сокращение. Пользуясь тем, что $limlimits_{xto infty} frac{1}{x} = 0$ получаем ответ. $$ = frac{1-0+0}{1+0-0} = frac{1}{1} = 1 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ limlimits_{x to infty} frac{x^3-4x+1}{x^3+x^2-2} = 1 $$

Пример 2

Решить предел с бесконечностью $limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x$

Решение

Так как предел стремится к бесконечности, то подставляем её в функцию под знаком предела. $$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = [infty — infty] $$ Получили неопределенность. Для избавления от неё умножим и разделим функцию под знаком предела на сопряженную к ней. Она будет отличаться только одним знаком. $$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = limlimits_{xto infty} frac{(sqrt{x^2+1}-x)(sqrt{x^2+1}+x)}{sqrt{x^2+1}+x} = $$ По формуле разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ сворачиваем числитель. А знаменатель пока не трогаем. $$ = limlimits_{xto infty} frac{x^2+1 — x^2}{sqrt{x^2+1}+x} = limlimits_{xto infty} frac{1}{sqrt{x^2+1}+x} = $$ Снова подставляем бесконечность в предел и получаем $frac{1}{infty}$, что равняется нулю. Поэтому записываем сразу ответ. $$ = limlimits_{xto infty} frac{1}{sqrt{x^2+1}+x} = frac{1}{infty} = 0 $$

Ответ

$$limlimits_{xto infty} sqrt{x^2+1}-x = 0 $$

Пример 3

Решить предел на бесконечности $limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} $

Решение

При подстановке $x to infty $ в предел получаем неопределенность. $$ limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} = bigg[frac{infty}{infty}bigg]^{[infty]} $$ Для решения примера понадобится формула второго замечательного предела. $$limlimits_{xto infty} bigg(1+frac{1}{x} bigg)^x = e qquad (1) $$ Из выражения, стоящего под знаком предела вычитаем единицу, чтобы его подстроить под формулу (1). $$frac{3x-4}{3x+2} — 1 = frac{3x-4 — 3x — 2}{3x+2} = frac{-6}{3x+2} $$ Перепишем предел из условия задачи в новом виде и подставим в него $xto infty$. $$ limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{-6}{3x+2} bigg )^frac{x+1}{2} = [1]^infty $$ Пользуясь формулой (1) проведем вычисление лимита. В скобках перевернем дробь. $$limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{-6}{3x+2} bigg )^frac{x+1}{2} = limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{1}{frac{3x+2}{-6}} bigg )^frac{x+1}{2} = $$ По условиями формулы второго замечательного предела (1) в скобках знаменатель дроби должен быть равен степени за скобкой. Выполним преобразование степени. Для этого умножим и разделим на $frac{3x+2}{-6}$. $$ = limlimits_{xto infty} bigg (1 + frac{1}{frac{3x+2}{-6}} bigg )^{frac{3x+2}{-6} cdot frac{-6}{3x+2} cdot frac{x+1}{2}} = limlimits_{x to infty} e^{frac{-6}{3x+2} cdot frac{x+1}{2}} = $$ Остаётся сократить степень экспоненты и найти её предел. $$ = limlimits_{x to infty} e^frac{-3x-3}{3x+2} = e^{limlimits_{xto infty} frac{-3x-3}{3x+2}} = $$ Предел дроби равен отношению коэффициентов при старшей степени $x$. $$ = e^frac{-3}{3} = e^{-1} = frac{1}{e} $$

Ответ

$$ limlimits_{x to infty} bigg (frac{3x-4}{3x+2} bigg)^frac{x+1}{2} = frac{1}{e} $$

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Итак, ты ученик первого курса технического вуза, а единственное, что ты можешь сказать, глядя на эту хуйню, — это «ебись оно конем»? Тогда этот гайд для тебя.

Рассмотрим простейший пример:

Все очень просто. Видишь как икс стремится к трем? То-то же. Просто подставь в дробь значение икс равное трем. В числителе получается 10, а в знаменателе 5. Делим и получаем ответ 2. Понял в чем дело? Просто подставляем в предел вместо икса то, к чему стремится этот самый икс. И все.

Но такое на контрольной тебе никогда не дадут. Рассмотрим пример посложнее.

Подставляем бесконечность вместо икса и включаем мозг: логично предположить, что бесконечность это очень много, а когда мы делим небольшое число на очень большое, то получаем очень маленький ответ. А когда мы делим любое число на бесконечно большое, то получаем 0. Запомнил? Молодец, даже у Эйнштейна это только с третьего раза получилось.

Ну а что, если икс стремится к нулю? На ноль делить же нельзя? Это правда, только мы подставляем не 0, а число бесконечно стремящееся к нулю. Логика подсказывает, что в таком случае в ответе получится бесконечность. Понял? Если нет, спроси свою маму или бабушку.

А теперь глядь сюды:

Что у нас тут получается? Бесконечность в числителе и бесконечность в знаменателе? Неопределенность какая-то. Именно с неопределенностями разных типов тебе придется сразится на контрольной. В данном случае у нас неопределенность вида ВОСЬМЕРКА НА БОКУ РАЗДЕЛИТЬ НА ВОСЬМЕРКУ НА БОКУ. Решить данную блевоту можно вынеся старшую степень за скобки. Ну мы же не такие, правда? Лови лайфхак: когда у нас Х стремится к бесконечности и в пределе отношение многочлена на многочлен, то ответом является отношение коэффициентов при старших степенях. То есть нам нужно взять циферку перед икс в кубе из числителя и разделить его на циферку перед икс в кубе в знаменателе. Ответ получается в уме — 1/2. Да, ты можешь выкрикнуть ответ с места еще до того, как пример будет дописан на доске. Учителя такое очень любят, рекомендую.

Подобную хуету можно применить для поебени посложнее:

Решается абсолютно аналогично. Видишь хрень под корнем? Мысленно убери х+1 и извлеки корень. Выходит, что старшая степень 2. У нас получается так, что в числителе старшая степень и под корнем прячется и вне корня тоже есть. В общем, мне лень дальше писать, ответ 4/3. Кто не понял, тот лох.

Если старшие степени не совпадают, то ответом будет либо ноль либо бесконечность (зависит от вашего настроения).

Заикнувшимся про правило Лопиталя напомню, что за него на контрольной могут и выебать.

Теперь посмотрим на неопределенность иного типа:

Подставляем значение икса в предел и получаем неопределенность вида 0/0. Хуйня какая-то. Но только до тех пор, пока ты не догадаешься разложить числитель на множители. Находим корни в уме за пять лет (отсылка на предыдущий пост, охуеть!) и раскладываем поеботу по следующей формуле: (циферка ПЕРЕД ИКСОМ В квадрате)×(ИКС МИНУС первый корень)×(ИКС МИНУС второй корень). Эту формулу знает даже Невский.

Корни получились 5/2 и -1.

Теперь просто подставляем -1 и получаем ответ -7.

Внимательно глядим на новое спецзадание. Тут нас ждет неопределенность нового типа — бесконечность минус бесконечность. Домножем этот понос на такой же понос, только со знаком плюс вместо минуса. Ну раз мы домножили выражение на что-то, то на это самое что-то нужно и разделить, чтобы выражение не изменилось. В числителе применим формулу из продвинутого курса высшей математики:

Получилось вот что:

А дальше вспоминай пример номер 3 (это там, где мне было лень все расписывать и я выдал сразу ответ) и действуй аналогично. Ответ (2) находится в уме настолько быстро, что как-то неловко об этом писать.

Закрепим материал заданием, которым пытают Гитлера в аду:

Видишь классическую неопределенность вида 0/0? Значит нужно разложить на множители. Должно получиться что-то вроде (х-1)*(………) и в числителе и в знаменателе. Далее х-1 сократится и все будет хорошо. Есть один секретный способ, но я тебе его не покажу, поэтому будет раскладывать на множители делением в столбик. Ахтунг! Далее идет шок контент. Я предупредил.

В общем, в процессе деления столбиком ты увидишь, что в ответе вырисовывается ряд из степеней от большей к нулю. В конце у нас остается остаток в самом низу рисунка. Это полный квадрат выражения х-1. То есть при делении его на х-1 мы получим х-1. В знаменателе будет тоже самое, только ряд степеней начнется с 49. На множитель (х-1) мы сократили и числитель и знаменатель в предыдущем абзаце, если кто забыл. Теперь подставляем х=1 и получаем 98/48 или 49/24.

Вот и все. Полученных знаний тебе хватит, чтобы получить на контрольной твердую 2, а учительница если и будет тебя бить, то не сильно.

Напоследок дам универсальный способ. Если ты не можешь найти ответ, то он находится

С понятием предела числовой
последовательности a_n=f(x)
тесно связано понятие предела функции
y=f(x)
в бесконечности. Если в первом случае
переменная n, возрастая,
принимает лишь целые значения, то во
втором случае переменная х, изменяясь,
принимает любые значения.

Определение: Число А называется
пределом функции y=f(x)
при х, стремящимся к бесконечности, если
для любого, даже сколь угодно малого
положительного числа ε >0, найдется
такое положительное число N>0(зависящее
от ε; N=N(ε)),
что для всех х, таких, что

,
верно неравенство.

Этот предел функции обозначается

или

при

.

Смысл определения: при достаточно
больших по модулю значениях х значения
функции f(x)
как угодно мало отличается от числа
А(по абсолютной величине).

Вопрос 15. Первый и второй замечательные пределы

1)Первым замечательным пределом
наз. предел функции

в точке х=0, т.е.

.

Доказательство:

Для доказательства формулы рассмотрим
круг радиуса R c
центром в точке 0.

Пусть ОВ- подвижный радиус, образующий
угол х (0<x<π/2)
c осью Ох.

Из геометрических соображений следует,
что площадь треугольник АОВ меньше
площади сектора АОВ, которая в свою
очередь меньше площади прямоугольного
треугольника АОС:

Т.к.

,

,

,
то имеем

,
откуда, разделив части двойного
неравенства на

,
получим

или

Т.к. функции cosx и

четные, то полученные неравенства
справедливы и при — π/2<x<0.

Переходя к пределу при х→0, получаем

,

.
На сновании признака существования
предела промежуточной функции

Пример:

2) Второй замечательный предел.

Числом е (вторым замечательным пределом)
называется предел числовой последовательности

2<e<3, e=2,718281…,
т.е. число е – иррациональное.

Доказательство:

1)х>0

2) x<0 (доказывается
аналогично с заменой х=у)

Любое действительное число х можно
заключить между двумя целыми числами

k≤x≤k+1

,
поэтому по теореме о 2х сопровождающих

Пример:

Вопрос 16. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые и таблица.

Функция f(x)
называется бесконечно
малой при x,
стремящемся к a,
если

Если

,
то a и b
называют бесконечно малыми одного
порядка.

Если

,
то говорят, что a(x)
,бесконечно малая более высокого порядка.

Если

,
то a(x)бесконечно
малая более низкого порядка.

Если

не существует, то a и b
называют несравнимыми бесконечно
малыми.

Две бесконечно малые функции при х→а
наз. эквивалентными, если предел их
отношений равен 1.

а(х)~b(х) х→а

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

sinx~x	ax-1~x lna
tgx~x	ex-1~x
1-cosx~x2/2	loga(1+x) ~x logae
arcsinx~x	ln(1+x) ~x
arctgx~x	(1+x)α-1~αx

Правило:

При вычислении пределов в произведении
одну бесконечно малую величину можно
заменять на ей эквивалентную бесконечно
малую.

Вопрос 17. Непрерывность функции в точке. Различные определения.

Определение 1.

Функция называется непрерывной в точке
х₀, если предел при х→х₀
сущствует и равен значению функции в
этой точке.

Определение непрерывности функции в
точке х₀ может быть записано и
так:

т.е. для непрерывной функции возможна
перестановка символов предела и функции.

Определение 2.

— приращение функции.

Функция y=f(x)
называется непрерывной в точке х₀
, если бесконечно малому приращению
аргумента соответствует бесконечно
малое приращение функции :

Если ∆х→0, то ∆у→0.

Точка х₀ наз. точкой разрыва
функции, если эта функция в данной точке
не явл. непрерывн.Различ. точки разрыва
1ого рода(когда существуют конечные
односторонние пределы функции слева и
справа при х→х₀ , не равные др.
др.) и 2ого рода(хотя бы один из односторон.
пределов слева или справа равен
бесконечности либо не сущ.)

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) Если функции f(x)
и g(x)
непрерывны в точке х₀, то их сумма,
произведение и частное являются
функциями, непрерывными в точке х₀.

2) Если функция y=f(x)
непрерывна в точке х₀ и f(x₀)>0,
то существует такая окрестность точки
х₀ , в которой f(x)>0.

3) Если функция y=f(u)
непрерывна в точке u₀
, а функция u=g(x)
непрерывна в точке u₀=g(x₀),
то сложная функция y=f(g(x))
непрерывна в точке х₀

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #