В
этом случае дифференциальное уравнение
движения имеет вид:
.
(12)
Так
как
,
то получаем дифференциальное уравнение
первого порядка:
,
или
.
Интегрируя
это уравнение в соответствующих пределах,
имеем:
,
откуда:
.
(13)
Интегрируя
это уравнение первого порядка, получим
x
как функцию от t,
т.е. найдем искомый закон движения точки.
2.3.3. Сила зависит от положения точки
Задачи,
в которых равнодействующая всех сил,
приложенных к данной материальной
точке, есть функция координаты этой
точки. В этом случае дифференциальное
уравнение движения точки имеет вид:
,
(14)
или:
.
Используя
преобразование (10), получим:
,
или:
.
(15)
Интегрируя
это уравнение в соответствующих пределах,
имеем:
.
(16)
Из
этого равенства определяется скорость
V
как функция от расстояния х, т.е.
,
или, разделяя переменные
и проинтегрировав это уравнение первого
порядка, найдем зависимость междуx
и t.
Если
является линейной функцией отх,
то уравнение (3) будет линейным
дифференциальным уравнением второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Поэтому для решения этого уравнения
можно воспользоваться теорией
интегрирования таких дифференциальных
уравнений, т.е. составить соответствующее
характеристическое уравнение, найти
его корни и затем – общее решение данного
дифференциального уравнения. Две
произвольные постоянные в общем решении
находятся по начальным условиям движения
точки.
2.3.4. Сила зависит от скорости точки
Такой
вид задач будет иметь место при движении
точки в сопротивляющейся среде.
В
этом случае дифференциальное уравнение
движения имеет вид:
,
(17)
или,
разделяя переменные:
.
Отсюда:
.
(18)
Выполняя
здесь интегрирование и разрешая
полученное уравнение относительно V,
находим скорость точки как функцию
времени, т.е.
.
Следовательно,
,
и:
.
(19)
Это
уравнение выражает искомый закон
движения точки. Если в задаче требуется
найти скорость V
как функцию расстояния х,
то левую часть уравнения (1) преобразуем:
.
Тогда
уравнение (17) принимает вид:
,
или,
разделяя переменные:
,
откуда:
.
(20)
3. Примеры решения задач
3.1. Примеры решения первой задачи динамики точки
Задача
1. Материальная
точка массой m
= 0,4 кг
совершает гармонические колебания по
горизонтальной оси Ох
по закону x
= 0,2 Sin
(/2t)
(x
выражено в метрах, t
– в секундах). Найти силу, действующую
на точку в функции оси x.
Решение.
Находим проекцию ускорения точки на
ось Ох:
(м/с2).
Далее
находим проекцию на ось действующей
силы:
(Н).
Но
по условию задачи
,
следовательно:
(Н).
Рис.
1.
Так как проекция силы на
осьОх и
координата х движущейся точки
противоположны по знаку, то искомая
сила направлена вдоль оси Ох
к началу координат О
и пропорциональна расстоянию от
движущейся точки до начала координат.
Задача
2. Лифт
весом G
поднимается с помощью каната. Канат
навернут на барабан радиуса R,
вращающийся вокруг неподвижной
горизонтальной оси по закону
.
Определить натяжение каната как функцию
высоты подъемаh.
Решение.
Так как лифт совершает поступательное
движение, при решении задачи будем
рассматривать его как материальную
точку. При повороте барабана на угол
лифт поднимается на высоту h
= R.
На него действует две силы: натяжение
каната Т
и вес лифта G.
Причем T
> G,
т.к. ускорение лифта направленно вверх.
Составим
дифференциальное уравнение движения
лифта в проекции на ось х:
,
или:
,
откуда:
Рис.
2.
.
Ускорение
лифта найдем из соотношения:
,
или:
.
Следовательно:
.
Задача
3. Материальная
точка массой m
= 0,5 кг
совершает движение согласно уравнениям:
.
Координаты
точки выражены в метрах, время – в
секундах. Определить величину и
направление силы, действующей на точку,
в момент времени t
= 1c.
Решение.
Находим
проекции ускорения точки на оси координат:
.
На
основании системы (2)
находим проекции равнодействующей на
оси координат:
.
По
системе уравнений (6) находим модуль и
направляющие косинусы равнодействующей
сил:
.
Задача
4. Материальная
точка массой m
= 2 кг описывает
криволинейную траекторию по закону
(S
выражено в метрах, время – в секундах).
В данный момент она занимает положение
М
и имеет скорость V
= 3 м/с,
радиус кривизны траектории в точке М
равен 6
м. Найти в
этот момент времени силу, действующую
на материальную точку.
Решение.
Находим скорость точки и проекции ее
ускорения на касательную и главную
нормаль траектории:
.
Согласно
условию задачи в данный момент времени
V
= 3 м/с.
Определяем время t:
.
Следовательно,
в этот момент:
.
Определяем
проекции равнодействующей на касательную
и главную нормали:
.
Модуль
равнодействующей:
Рис.
3.
.
Соседние файлы в папке Д-1
- #
- #
Статика — раздел механики, изучающий условия равновесия тел.
Виды равновесия
Устойчивое равновесие |
|
 |
Если тело вывести из устойчивого равновесия, то появляется сила, возвращающая его в положение равновесия. Устойчивому равновесию соответствует минимальное значение потенциальной энергии (Ep min). |
Неустойчивое равновесие |
|
 |
Если тело вывести из неустойчивого равновесия, то возникает сила, удаляющая тело от положения равновесия. Неустойчивому равновесию соответствует максимальное значение потенциальной энергии (Ep max). |
Безразличное равновесие |
|
 |
При выведении тела из положения безразличного равновесия дополнительных сил не возникает. |
Момент силы
Определение
Момент силы — векторная физическая величина, модуль которой равен произведению модуля силы на плечо силы:
M = Fd
M — момент силы. Единица измерения — Ньютон на метр (Н∙м). Направление вектора момента силы всегда совпадает с направлением вектора силы. d — плечо силы. Единица измерения — метр (м).
Плечо силы — кратчайшее расстояние между осью вращения и линией действия силы.
Пример №1. Стальной шар массой 2 кг колеблется на нити длиной 1 м. Чему равен момент силы тяжести относительно оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, в состоянии, представленном на рисунке?
Плечом силы тяжести, или кратчайшим путем от прямой, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа, до линии действия силы тяжести, будет отрезок, равный максимальному отклонению шара от положения равновесия. Следовательно:
M = Fd = mgd = 2∙10∙0,5 = 10 (Н∙м)
Момент силы может быть положительным и отрицательным.
Если сила вызывает вращение тела по часовой стрелке, то такой момент считают положительным:
M1 = F1d1
Если сила вызывает вращение тела против часовой стрелки, то такой момент считают отрицательным:
M2 = F2d2
Правило моментов
Тело, имеющее неподвижную ось вращения, находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех приложенных к телу сил относительно этой оси равна нулю:
∑Mi=0
Иначе правило моментов можно сформулировать так:
Сумма моментов сил, вызывающих вращение тела по часовой стрелке, равна сумме моментов сил, вызывающих вращение тела против часовой стрелки.
∑Mпо час. стр.=∑Mпр. час. стр.
Условия равновесия тел
| Тело не участвует в поступательном движении: |
∑→Fi=0; →vo=0 |
| Тело не участвует во вращательном движении: |
∑Mi=0; ω0=0 |
| Тело находится в состоянии равновесия (не участвует ни в поступательном, ни во вращательном движении) |
∑→Fi=0; →vo=0 и ∑→Fi=0; →vo=0 |
Простые механизмы
Определение
Простые механизмы — приспособления, служащие для преобразования силы. К ним относится рычаг, наклонная плоскость, блоки, клин и ворот.
Наклонная плоскость |
|
 |
Дает выигрыш в силе. Чтобы поднять груз на высоту h, нужно приложить силу, равную силе тяжести этого груза. Но, используя наклонную плоскость, можно приложить силу, равную произведению силы тяжести на синус угла уклона плоскости: mgsinθ<mg |
Рычаг |
|
 |
Дает выигрыш в силе, равный отношению плеча второй силы к плечу первой: F1F2=d2d1 |
Неподвижный блок |
|
 |
Изменяет направление действия силы. Модули и плечи сил при этом равны: F1 = F2 M1 = M2 |
Подвижный блок |
|
 |
Дает выигрыш в силе в 2 раза:
d1 = R d2 = 2R F1 = 2F2 |
Клин |
|
 |
Делит силу на две равные части, направление которых зависит от формы клина: →F=→F1+→F2 |
Золотое правило механики
При использовании простых механизмов мы выигрываем в силе, но проигрываем в расстоянии. Поэтому выигрыша в работе простые механизмы не дают.
Задание EF22660
Мальчик взвесил рыбу на самодельных весах с коромыслом из лёгкой рейки (см. рисунок). В качестве гири он использовал батон хлеба массой 0,8 кг. Определите массу рыбы.
Алгоритм решения
1.Записать исходные данные.
2.Записать правило моментов и выполнить решение в общем виде.
3.Подставить известные данные и вычислить искомую величину.
Решение
Известна лишь масса батона: m1 = 0,8 кг. Но мы также можем выразить плечи для силы тяжести батона и хлеба. Для этого длину линейки примем за один. Так как линейка поделена на 10 секций, можем считать, что длина каждой равна 0,1. Тогда плечи сил тяжести батона и рыба соответственно равны:
d1 = 0,3
d2 = 0,4
Запишем правило моментов:
F1 d1 = F2 d2
Сила тяжести равна произведению массы на ускорение свободного падения. Поэтому:
m1gd1 = m2gd2
m1d1 = m2d2
Отсюда масса рыбы равна:
m2=m1d1d2=0,8·0,30,4=0,6 (кг)
Ответ: 0,6
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18706
Однородный куб опирается одним ребром на пол, другим на вертикальную стену (см. рисунок). Плечо силы трения Fтр относительно оси, проходящей через точку О3 перпендикулярно плоскости чертежа, равно…
Ответ:
а) 0
б) О2О3
в) О2В
г) О3В
Алгоритм решения
- Сформулировать определение плеча силы.
- Найти плечо силы трения и аргументировать ответ.
Решение
Плечом силы трения называют кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила. Чтобы найти такое расстояние, нужно провести из точки равновесия перпендикуляр к линии действия силы трения. Отрезок, заключенный между этой точкой и линией, будет являться плечом силы трения. На рисунке этому отрезку соответствует отрезок О3В.
Ответ: г
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 9.7k
Уравнение моментов
Определение и уравнение моментов
Пусть O — любая неподвижная точка в инерциальной системе отсчета. Это называется началом или полюсом. Обозначим через
радиус-вектор, взятый от этой точки до точки приложения силы (рис.1).
рис 1.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент силы относительно точки O является векторным произведением радиус-вектора и силы :
направление выбрано так, что последовательность векторов образует правую систему, т. е. если вы посмотрите вдоль вектора ,то поворот вдоль кратчайшего пути от первого фактора в (1) до вторая выполняется по часовой стрелке, таким образом совпадает с направлением поступательного движения правого штыря, ручка которого вращается от до вдоль кратчайшего пути.
Моментом нескольких сил относительно точки является векторная сумма моментов этих сил относительно одной и той же точки:
Момент импульса материальной точки
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент импульса материальной точки относительно точки O является векторным произведением радиус-вектора и импульса
:
где J — момент инерции, — угловая скорость вращения тела.
Система из n материальных точек — это момент количества движения относительно некоторой точки O — векторная сумма моментов импульсов этих точек относительно того же начала:
Временная производная от момента импульса механической системы относительно неподвижной точки (полюса О) равна сумме внешних силовых моментов , действующих на систему:
Для материальной точки уравнение момента написано:
Уравнение (6) называется моментом для системы материальных точек. Это основной закон динамики твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки.
В проекциях на оси фиксированной декартовой системы координат с началом на полюсе O уравнение моментов системы записывается в виде:
где — проекция момента количества движения на соответствующей оси; — проекции полного момента сил на соответствующую ось.
Уравнение моментов позволяет получить ответ на следующие вопросы:
1. найти момент силы (общий момент внешних сил) относительно интересующей нас точки в любой момент времени, если известна зависимость момента количества движения частицы (системы частиц) от одной и той же точки;
2. определить приращение углового момента частицы (системы частиц) относительно точки O для любого периода времени, если временная зависимость силового момента (полного момента внешних сил), действующего на эту частицу (система частиц) относительно одной и той же точки.
Примеры решения проблем
ПРИМЕР 1
Сравните угловые скорости, полученные материальной точкой под действием крутящих моментов, графики (a, b) которых показаны на рисунках.
рис 2.
В соответствии с уравнением моментов для материальной точки мы имеем:
где
поскольку мы имеем дело с материальной точкой, соответственно, J не зависит от времени, получаем:
откуда
Вспомните геометрический смысл интеграла.
Вычислить и сравнить площадь треугольников OAB и OCD.
Области треугольников равны соответственно
Угловые скорости, полученные материальной точкой, равны в первом и втором случаях.
ПРИМЕР 2
Горизонтальный диск с радиусом R = 0,2 м и массой m = 5 кг вращается вокруг оси, проходящей через ее центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени определяется уравнением w = A + 8t. Найдите значение касательной силы, приложенной к ободу диска. Трение пренебрегалось.
Мы делаем рисунок
рис 3.
Запишем уравнение моментов:
где — искомая сила. Перепишите (2.2), найдите модуль:
— угол между вектором
и равен , так как силы, касательные к диску, направлены вдоль радиуса диска в точку касания, следовательно, M = RF.
Поскольку мы имеем дело с телом, который не меняет момент инерции со временем, мы имеем:
Где — момент инерции диска относительно оси, проходящей через его центр.
, получим:
Подставим числовые значения, получим:
Величина (модуль) касательной силы, приложенной к краю диска, равна 4 N.
Определение
Момент силы — это крутящий или вращательный момент, который является векторной величиной.
Чтобы определить, чему равен момент силы, нужно получить произведение вектора силы и радиус-вектора, который проводится к точке приложения силы от оси вращения. Поэтому величину можно назвать характеристикой вращательного воздействия силы на твердое тело.
Термины “крутящий” и “вращающий” моменты в данном случае не являются тождественными. Разница между ними состоит в том, что “вращающий” момент воспринимается как внешнее усилие, которое прикладывают к объекту. Термин “крутящий” же рассматривается как внутреннее усилие, которое появляется при приложении конкретных нагрузок (что делает определение схожим с используемым при изучении сопротивления материалов).
Понятие «момент силы»
Физики воспринимают этот термин в качестве так называемой “вращающей силы”. В соответствии с системой СИ, измеряется данная величина в ньютон-метрах. Иногда в литературе можно также встретить понятие “момент пары сил” (такое определение, например, появляется в исследованиях Архимеда над рычагами).
При использовании простых примеров (например, при приложении силы к рычагу в перпендикулярном отношении к нему) величина рассчитывается как произведение расстояния до оси вращения рычага и непосредственно силы, которая на него воздействует.
Пример: На рычаг оказывает воздействие силы в 3 ньютона, которую прикладывают на расстоянии 2 м от оси вращения рычага. В результате момент силы будет равнозначен силе в 1 ньютон, прикладываемой на расстоянии 6 м по отношению к рычагу.
Как определить, чему равен момент силы
Формула
Точно определить момент действия силы частицы удастся, применив следующую векторную формулу:
[vec{mathrm{M}}=vec{mathrm{r}} vec{mathrm{F}}]
В данном случае [vec{mathrm{r}}] — это радиус вектора частицы, а
[vec{mathrm{F}}] — сила, воздействующая на эту частицу.
Важно помнить, что в физике энергия воспринимается как скалярная величина. В то же время момент силы считается (псевдо)векторной величиной. Поэтому совпадение размерностей указанных величин никогда не бывает случайным. Например, момент силы в 1 Н/м, приложенный через целый оборот, при выполнении механической работы сообщает энергию в 2 Дж. В математическом отображении эта формула момента силы будет выглядеть так:
[mathbf{E}=mathbf{M} boldsymbol{theta}], где:
- [mathbf{E}] — это энергия;
- [mathbf{M}] — это вращающийся момент;
- [boldsymbol{theta}] — это угол в радианах.
В современных условиях момент силы измеряется при помощи особых датчиков нагрузки, которые могут быть трех типов:
- оптического;
- тензометрического;
- индуктивного.
Применение специальной техники позволяет определить величину предельно точно и избавляет ученых от необходимости производить лишние расчеты.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Момент силы: формулы
Наиболее интересным в физике считается определение момента силы в поле. Для этого используется следующая формула:
[vec{M}=vec{M_{1}} vec{F}]
Где:
[vec{M_{1}}]- это момент рычага;
[vec{F}]- это величина силы, действующей на тело.
У такой формулы момента силы в физике будет один недостаток. С ее помощью не удастся определить, в каком направлении направлен момент силы. Известной станет только его величина. Если сила окажется перпендикулярной вектору, тогда момент рычага окажется равен расстоянию от центра до точки, в которой была приложена сила. В таком случае момент силы достигнет максимального значения:
[vec{T}=vec{r} quad vec{F}]
Если сила совершает какое-либо действие на определенном расстоянии, она параллельно выполняет механическую работу относительно того же объекта. В таком случае в физической практике считается, что и момент силы выполняет работу (при совершении действия через угловое расстояние).
[mathrm{P}=mathrm{M} {omega}]
Международная система измерений предлагает определять мощность в Ваттах, при этом момент силы измеряется в радианах в секунду. Для определения величину угловой скорости используется единица “радианы в секунду”).
Как определяется момент действия нескольких сил
Если на тело действуют одновременно две равные по величине и противоположно направленные силы (не лежащие на одной и той же прямой), оно находится в состоянии равновесия. Такая ситуация связана с тем, что результирующий момент данных сил по отношению к любой из осей не обладает нулевым значением. Ведь обе силы направлены в одну сторону момента и являются парой сил.
Если тело закреплено на оси, оно будет вращаться под влиянием пары сил. Когда же пара сил прилагается по отношению к свободному телу, последнее начнет крутиться вокруг той оси, которая проходит через центр тяжести.
В соответствии с правилом моментов сил в физике, момент пары сил считается одинаковым по отношению к любой оси, перпендикулярной плоскости этой пары. При этом суммарный момент пары M всегда определяется как произведение плеча пары (то есть расстояния l между силами) и одной из этих сил F. Данный расчет производится независимо от типов отрезков, на которые разделяется положение оси.
[mathrm{M}=mathrm{FL}_{1}+mathrm{FL}-2=mathrm{FL}_{1}+mathrm{L}_{2}=mathrm{FL}]
В случае, если равнодействующая момент нескольких сил равняется нулю, он будет одинаковым по отношению ко всем параллельным друг другу осям. Именно поэтому воздействие всех сил на тело можно заменить действием только одной пары сил, имеющих точно такой же момент.
Вспомним геометрический смысл определённого интеграла: определённый интеграл от некоторой неотрицательной функции f(x), заданной на отрезке [a; b] численно равен площади криволинейной трапеции (фигуры, ограниченной сверху графиком функции f(x), снизу осью OX, сбоку — прямыми x=a и x=b).
Нам дан график зависимости силы от времени F(t), следовательно величина площади, находящейся под графиком есть скалярное значение изменения импульса тела (ибо изменение импульса тела есть интеграл от силы по времени). То есть, если нужно найти на сколько изменился импульс тела, например, с 1 до 2 секунд, то достаточно узнать площадь трапеции.
Нам дано значение кинетической энергии тела. Что бы не возиться со скоростью и ускорением, узнаем какому значению импульса соответствует данная нам кинетическая энергия. Применяя известную формулу, имеем:
Eк=p^2/2*m.
Отсюда
p=sqrt(2*m*Eк).
Найдём значение импульса.
p=sqrt(2*0.5*81);
p=9(кг*м/с).
Итак, на оси t нам нужно найти такое значение, которое будет отсекать фигуру площади 9.
Найдём площадь всей фигуры. Она будет равна сумме площадей квадрата, прямоугольной трапеции и прямоугольника. Математически находим:
S=2*1+(2+4)*1/2+4*1=2+3+4=9.
Итак, площадь всей фигуры получилась 9, а это значит, прямая, отсекающая данную фигуру проходит через значение t=3. Отсюда вывод. При значении времени t=3(с) тело имело импульс p=9(кг*м/с) и энергию Eк=81(Дж).
Ответ: t=3(с).