Вопросы
занятия:
·
ввести понятия «степень», «основание степени», «показатель степени»;
·
рассмотреть примеры возведения в степень положительного числа, а также
отрицательного числа в степень с чётным и нечётным показателями;
·
определить порядок выполнения действий при вычислении значений числовых
выражений, не содержащих скобки.
Материал
урока
В
повседневной жизни мы с вами часто встречаемся со словом «степень». Например,
учёная степень, степень загрязнения воды или атмосферы, степень готовности еды
и так далее.
В
толковом словаре степень определяется как мера, сравнительная величина
чего-нибудь.
На
данном уроке мы поговорим, как применяется слово «степень» в математике.
Нам
известно, что сумму, например, 2 + 2 + 2 + 2 + 2, в которой все
слагаемые равны друг другу, можно записать короче – в виде произведения: 2 ∙
5. Число 5 показывает, сколько слагаемых в сумме.
Возникает
вопрос: А как записать произведение нескольких одинаковых множителей?
Произведение,
в котором все множители равны друг другу, например,
Читают
его так: 5 в четвёртой степени.
Повторяющийся
множитель 5 называют основанием степени, а число 4, которое показывает,
сколько множителей в произведении – показателем степени.
Сформулируем
определение.
Степенью
числа а с показателем 1 является само число а.
Определение.
Нахождение
значения степени числа называют возведением в степень.
Вторую
степень числа а часто называют квадратом
этого числа. А третью степень – кубом.
Давайте
возведём число 2 в пятую степень.
Отметим,
что при возведении в степень положительного числа получается положительное
число.
Возведём
число – 3 в четвёртую степень.
Обратите
внимание, что в данном примере мы возводили в степень отрицательное
число, а в результате получили положительное. При этом показатель
степени – чётное число.
Возведём
число – 4 в куб.
В
этом примере мы, возведя в степень отрицательное число, получили отрицательный
результат. И при этом показатель степени – нечётное число.
Таким
образом, можем сделать вывод.
Степень
отрицательного числа с чётным показателем – положительное число. Степень
отрицательного числа с нечётным показателем – отрицательное число.
А
вот при возведении в степень 0 всегда получаем 0.
Прежде,
чем приступить к закреплению нового материала, укажем порядок выполнения
действий при вычислении значений числовых выражений, не содержащих скобок.
1.
Возведение
в степень.
2.
Умножение
и деление.
3.
Сложение
и вычитание.
Найдём
значения выражений, содержащих степень.
Пример.
Пример.
Пример.
Найти значение выражения со степенями видеоурок
Математика| Степени
ЕГЭ по математике. Базовый уровень. Задание 2. Значение выражения. Свойства степеней
Алгебра 7 класс. Сложные примеры со степенями
Содержание:
- § 1 Степень с натуральным показателем
- § 2 Примеры по теме урока
§ 1 Степень с натуральным показателем
Вспомним такую известную нам операцию как сложение нескольких одинаковых слагаемых. Например, 5 + 5 + 5. Такую запись математик заменит более короткой:
5 ∙ 3. Или 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 запишет как 7 ∙ 6
А писать а + а + а + …+ а (где n слагаемых а) – вообще не будет, а напишет а ∙ n. Точно так же математик не будет длинно писать произведение нескольких одинаковых множителей. Произведение 2 ∙ 2 ∙ 2 запишется как 23 (2 в третьей степени). А произведение 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 как 46(4 в шестой степени). Но если необходимо, то можно короткую запись заменить более длинной. Например, 74 (7 в четвёртой степени) записать как 7∙7∙7∙7. Теперь дадим определение.
Под записью аn (где n – натуральное число) понимают произведение n множителей, каждый из которых равен а.
Саму запись аn называют степенью числа а, число а – основанием степени, число n – показателем степени.
Запись аn можно прочитать как «а в энной степени» или как «а в степени эн». Записи а2 (а во второй степени) можно прочитать как « а в квадрате», а запись а3 ( а в третьей степени) можно прочитать как «а в кубе». Ещё один особый случай – это степень с показателем 1. Здесь необходимо отметить следующее:
Степенью числа а с показателем 1 называют само это число. Т.е. а1 = а.
Любая степень числа 1 равна 1.
т.е. 1n = 1. Например, 15 = 1; 145 = 1.
Любая степень числа 0 равна 0. Т.е. 0n = 0. Например, 07 = 0; 021 = 0.
А теперь давайте рассмотрим несколько степеней с основанием 10.
103 = 1000
104 = 10000
106 = 1000000
Вы заметили, что степени десяти – это единица с таким количеством нулей, каков показатель степени? Вообще, 10n = 100..0 (где в записи n нулей).
§ 2 Примеры по теме урока
Пример 1. Записать произведение (–2)∙(–2)∙(–2)∙(–2) в виде степени.
Так как здесь 4 одинаковых множителя каждый из которых равен –2, то имеем запись (–2)4.
Пример2. Вычислить 1,52.
Показатель 2 говорит о том, что нам надо найти произведение двух одинаковых множителей, каждый из которых равен 1,5. Т.е. вычислить произведение 1,5∙1,5 = 2, 25.
Пример 3. Вычислить произведение 102 ∙ (–1)3.
Сначала вычислим 102 = 100. Затем вычислим (–1)3 = –1. И наконец, перемножим 100 и –1. Получим –100.
Список использованной литературы:
- Мордкович А.Г, Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 1, Учебник для общеобразовательных учреждений/А.Г. Мордкович. – 10 – е изд., переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Мордкович А.Г., Алгебра 7 класс в 2 частях, Часть 2, Задачник для общеобразовательных учреждений/[А.Г. Мордкович и др.]; под редакцией А.Г. Мордковича – 10-е издание, переработанное – Москва, «Мнемозина», 2007
- Е.Е. Тульчинская, Алгебра 7 класс. Блиц опрос: пособие для учащихся общеобразовательных учреждений, 4-е издание, исправленное и дополненное, Москва, «Мнемозина», 2008
- Александрова Л.А., Алгебра 7 класс. Тематические проверочные работы в новой форме для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича, Москва, «Мнемозина», 2011
- Александрова Л.А. Алгебра 7 класс. Самостоятельные работы для учащихся общеобразовательных учреждений, под редакцией А.Г. Мордковича – 6-е издание, стереотипное, Москва, «Мнемозина», 2010
В данном лучшем видеоуроке мы затронем темы: определение и свойства степени с натуральным показателем, основные числовые множества, числовой ряд, степень с положительным и отрицательным рациональным показателем (примеры), типовые ошибки и важные факты, типовые задачи на область определения функции и домашнее задание на данную тему.
Также вы можете посмотреть: ВПР 2020 ответы и задания
Смотреть видеоурок онлайн на сайте бесплатно:
Ссылка для скачивания конспекта урока: скачать
Определение и свойства степени с натуральным показателем
Чтобы обобщить понятие о показателе степени, вспомним, что такое степень.
– степень с натуральным показателем, здесь а – основание степени, n – показатель степени;
Кроме того, напомним, что:
и ;
Выражение не существует.
Основные свойства степеней:
1. ;
Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно сложить их показатели, основание оставить тем же самым.
2. ;
Можно разделить степени с одинаковым основанием, для этого их показатели нужно вычесть, а основание оставить тем же самым;
3. ;
Для того чтобы степень возвести в степень, нужно перемножить показатели степени, основание оставить без изменений.
4. ;
При умножении степеней с одинаковым показателем, нужно перемножить основания и возвести результат в исходную степень;
5. ;
Основные числовые множества, числовой ряд
Чтобы разделить степени с одинаковыми показателями, нужно разделить основания и возвести результат в исходную степень;
Напомним основные числовые множества:
– натуральные числа;
– целые числа;
– рациональные числа;
Числа, которые не могут быть представлены в виде дроби , назвали иррациональными, например . Если к множеству рациональных чисел прибавить множество иррациональных чисел, получим множество действительных чисел
– действительные числа;
Напомним связь между множеством действительных чисел и числовой осью. Между множеством действительных чисел и множеством точек числовой оси существует взаимооднозначное соответствие. То есть, если мы говорим, что есть число , то ему на оси соответствует единственная точка. Точно так же каждой точке соответствует единственное действительное число.
Рис. 1. Числовая ось
Степень с положительным рациональным показателем, примеры
Определение:
Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем называется число
Например:
Пример 1 – вычислить:
Пример 2 – вычислить:
Пример 3 – вычислить:
Пример 4 – представить в виде степени:
Пример 5 – представить в виде степени:
Пример 6 – представить в виде степени:
Пример 7 – представить в виде степени:
Степень с отрицательным рациональным показателем (примеры)
Определение:
Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем называется число .
Например:
Пример 8 – вычислить:
Пример 9 – вычислить:
Пример 10 – вычислить:
Типовые ошибки и важные факты
Обратим внимание на типовую ошибку. Вычислить:
Ответ: не существует
Пояснение:
– выражение 1;
Данное равенство неверно, так как наше определение не должно противоречить определениям, данным ранее, например основному свойству дроби:
– выражение 2;
Из выражений 1 и 2 получили , неверное числовое равенство.
Запомним:
определено только при .
Типовые задачи на область определения функции
Пример 11 – построить графики функций:
График первой функции нам известен, он проходит через три фиксированные точки: (0;0), (1;1) и (-1;-1), область определения .
График второй функции по определению соответствует графику функции при .
Отличие заданных функций наглядно продемонстрировано на графиках 2 и 3.
Рис. 2. График функции
Рис. 3. График функции
Пример 12 – найти область определения выражения:
По определению положительного рационального показателя степени:
По определению отрицательного рационального показателя степени:
По определению положительного рационального показателя степени:
По определению отрицательного рационального показателя степени:
Итак, мы рассмотрели понятие степени с рациональным показателем, дали важные определения. На следующем уроке мы рассмотрим свойства таких степеней.
Список литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Домашнее задание
1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын) 1990, № 430, 431, 436, 437;
2. Вычислить:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з)
3. Вычислить:
а) ; б) ; в) ; г)
ПОДЕЛИТЬСЯ МАТЕРИАЛОМ
Видеоуроки математики
2 года назад
Друзья, этот урок будет удален в ближайшее время с ютуба и перезалит с исправленными ошибками . Следите за новыми публикациями на канале
selena50632
2 года назад
Ответ №389 =12112 вы забыли еще умножить на 80
selena50632
2 года назад
№ 389 площадь полукруга будет так число пи умножить на радиус в квадрате деленое на 2. Вы забыли поделить на два
selena50632
2 года назад
И № 386 под буквой «Г» с четным показателем должно быть положительное число
selena50632
2 года назад
№384 под буквой «Е» не правильно возведение четного отрицательного числа дает положительное число
Нурбанушка Султан
2 года назад
Это настоящий видеоурок, не то что другие
Krios
2 года назад
Вы когда показывали 381, сделали 382
Dmitry Popov
3 года назад
вам спасибо свабэ свабэ свабэ сито вам спасибо деспосито))))
Арина Ерошкина
4 года назад
В номере 387 г) ответ не 81,а 91,потаму что 100-9=91
Aleksandr Gordeev
5 лет назад
разве вот это число 128,6144 читается как сто двадцать восемь целых шесть тысяч сто сорок четыре стотысячных? Это из задачи №390.
Aleksandr Gordeev
5 лет назад
А правильно ли решена задача №389 ? Ответ вроде бы не такой.
Перся
5 лет назад
Извините у меня тема понятие об отношении помогите пожалуйста