Как найти значение суммы разными способами

Прибавление по частям

Цели:

• знакомство с прибавлением числа по частям и понятием «удобные слагаемые», формирование вычислительных навыков;
• закрепление умения решать задачи;
• развитие памяти, внимания и логического мышления;
• воспитание чувства коллективизма и товарищества.

Оборудование: О.А.Захарова, Е.П.Юдина «Математика в вопросах и заданиях (тетрадь для самостоятельной работы) слайды, проектор, компьютер.

I. Оргмомент

Подготовка готовности к уроку рабочего места.

– Улыбнулись друг другу, учителю, гостям.

II. Чистописание

Письмо числа 13.

– Что знаете об этом числе? (Это двузначное число, потому что состоит из двух цифр 1 и 3. В нем 1 десяток и 3 единицы. Его соседи: слева в числовом ряду стоит число 12, а справа – 14. Разрядные слагаемые 10 и 3.)
– А вы знаете, ребята, как в народе называют это число? (Чертова дюжина.)
– Почему его так называют, как вы думаете? (Люди считают, что это несчастливое число. Оно приносит людям несчастье. В некоторых странах нет дома №13, нет квартиры №13, нет 13-го этажа в доме.)
– Так вот, с числом 13 к нам на урок явилась нечистая сила. Только вспомни о ней, и она тут как тут.

– Как вы думаете, зачем эта нечисть к нам пожаловала? (Ответы детей.)
– Домовой, Кикимора, Леший, Баба-Яга, Водяной, Черт и Змей Горыныч хотят померяться с вами силой. Они думают, что вы еще маленькие, ничего не знаете, вас легко одолеть.
– Вы согласны?
– А в чем заключается ваша сила? (В знаниях.)

III. Постановка темы и цели урока

– Мы должны сегодня на уроке показать нечисти чему мы уже научились за все время обучения в школе, научиться быстро решать примеры с помощью сложения чисел по частям, познакомиться с удобными слагаемыми.
– Дети, как вы думаете, сможем мы это?
– Ну, тогда в бой!

IV. Подготовка к изучению новой темы

– Итак, первым с вами решает сразиться Водяной.

Чтение текста о водяном со слайда.

– Попробуйте, ребята, развлеките его, чтобы он не утащил вас на дно реки. А для этого нужно вспомнить состав числа 10.

1 + = 10 + 7 = 10
3 + = 10 + 4 = 10
5 + = 10 + 2 = 10
8 + = 10 + 9 = 10

Дети работают в парах. Ввзаимопроверка.

Водяного мы легко одолели отправляемся дальше.

V. Новый материал

– А теперь с вами хочет померяться силами Леший.

Чтение текста о Лешем со слайда

– А вот сможет ли он вас сбить с толку мы сейчас посмотрим. Он и задание вам такое подобрал.

Найти значение суммы разными способами

7 + 5
7 + 5 = 7 + (3 + 2) = (7 + 3) + 2 = 10 + 2 = 12
7 + 5 = 7 + (3 + 2) = (7 + 2) + 3 = 9 + 3 = 12
7 + 5 = 7 + (4 + 1) = (7 + 4) + 1 = 11 + 1 = 12
7 + 5 = 7 + (4 + 1) = (7 + 4) = 1 = 11 + 1 = 12

– Какой способ самый удобный? Почему?
– Как мы прибавили число 5? (Мы прибавили число 5 по частям, разложив его на удобные слагаемые.)
– Справились мы и с заданием Лешего. А на помощь ему уже спешит его близкая подруга – Кикимора.

Чтение текста со слайда

– Не дадим Кикиморе утащить нас на болото и замучить там до смерти.

VI. Закрепление нового материала

«Тетрадь для самостоятельной работы». Задание №2 стр.66

Найти значение суммы чисел 5 и 6 разными способами. Подчеркнуть тот способ, который удобнее для тебя.

– Справились мы и с Кикиморой, но что-то силы нас стали покидать. Надо позвать на помощь Домового.

Чтение текста со слайда

– Ребята, давайте мы тоже не будем ссориться с хозяином нашего дома, покажем ему, как мы умеем дружно отдыхать.

Физминутка

Очень сильно разозлилась Баба-Яга, узнав о том, что произошло с Лешим и Кикиморой. Решила она, вот чтобы то ни стало, одолеть вас своими колдовскими чарами.

Чтение текста со слайда

Баба-Яга решила проверить умеете ли вы работать самостоятельно. Справитесь?
«Тетрадь для самостоятельной работы». Задание №3 стр.67.

Вычисли значение сумм способом прибавления по частям

1 вариант. 2 вариант

5 + 7 7 + 5
6 + 9 8 + 6

Взаимопроверка (в парах)

– Поняла Баба-Яга, что и ей не одолеть таких умных ребятишек и позвала к себе на помощь, кого бы вы думали? Змея-Горыныча.

Чтение текста со слайда

– Давайте не будем ждать, пока он обернется кем-нибудь и утащить наших девочек-красавиц, а быстрее решим его задачи.

Задачи на смекалку

• У одноглавого Змея 1 хвост. А сколько хвостов у трехглавого Змея? А у семиглавого?
• Иван-царевич сражался по очереди с тремя Змеями. Всего у него было 6 отрубленных голов. А сколько голов было у каждого Змея?
• «Тетрадь для самостоятельной работы». Задание № 5 стр.67.

– А эту задачу решите самостоятельно.

На столе 8 тетрадей в клетку и столько же тетрадей в линейку. Сколько тетрадей на столе?

– Понял Змей-Горыныч, что и он потерпел поражение, позвал на подмогу самого Черта.

Чтение текста со слайда

– Видит Черт, что устали вы, решили вас склонить к лени. Только, что у него из этого выйдет, мы сейчас проверим.

Задание на внимание

– И с этим заданием мы справились. Не перевелись на Руси еще богатыри, только берут они не силой, а знаниями.

VII. Итог урока

– А какие знания вы получили сегодня на уроке?

Рефлексия

– Ребята, посмотрите, какое у меня замечательное настроение, я очень рада за вас. У кого из вас такое же настроение, к веселой мордашке на доске прикрепите свои магнитики с веселыми мордашками.

Источник

Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки » + » , » · » , » — » , » ÷ » , то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения 14 — 2 · 15 ÷ 6 — 3 .

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

14 — 2 · 15 ÷ 6 — 3 = 14 — 30 ÷ 6 — 3 = 14 — 5 — 3 .

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

14 — 5 — 3 = 9 — 3 = 6 .

Вычислим: 0 , 5 — 2 · — 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 .

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

0 , 5 — 2 · — 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 — ( — 14 ) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 3 · 4 11 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 9 .

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

1 2 — ( — 14 ) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 0 , 5 · ( 0 , 76 — 0 , 06 ) .

В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом — умножение.

0 , 5 · ( 0 , 76 — 0 , 06 ) = 0 , 5 · 0 , 7 = 0 , 35 .

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 — 1 4 .

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 — 1 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4

1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 2 , 5 = 1 + 2 · 6 = 13 .

В нахождении значений выражений со скобками главное — соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями — 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 .

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

— 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 = — 6 — 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 , 2 + 0 , 05 = 2 , 25 = 1 , 5 .

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

— 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 + 3 · 1 , 5 = 6 , 5

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет 3 + 1 3 — 1 — 1

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

3 + 1 3 — 1 = 3 — 1 .

3 + 1 3 — 1 — 1 = 3 — 1 — 1 = 1 .

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 2 3 · 4 — 10 + 16 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 .

Начинаем вычислять по порядку.

2 3 · 4 — 10 = 2 12 — 10 = 2 2 = 4

16 · 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 = 16 * 0 , 5 3 = 16 · 1 8 = 2 .

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

2 3 · 4 — 10 + 16 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 = 4 + 2 = 6 .

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: 2 — 2 5 · 4 5 — 1 + 3 1 3 6 .

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

2 — 2 5 · 4 5 — 1 + 3 1 3 6 = 2 — 2 5 · 2 2 5 — 1 + 3 1 3 · 6

2 — 2 5 · 2 2 5 — 1 + 3 1 3 · 6 = 2 — 2 5 · 2 2 · 5 — 2 + 3 2 = 2 2 · 5 — 2 — 2 5 + 3 2

2 2 · 5 — 2 — 2 5 + 3 2 = 2 — 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3 , 2 2 — 3 · 7 — 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 — 6 ÷ 2 .

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6

7 — 2 · 3 6 = 7 — 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 — 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 — 3 = 6 6 = 1 .

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

1 , 6 — 3 · 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 — 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение 2 5 — 1 — 2 5 — 7 4 — 3 .

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

2 5 — 1 = 2 5 + 1 5 — 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 — 1 = 2 5 + 2 4

Исходное выражение принимает вид:

2 5 — 1 — 2 5 — 7 4 — 3 = 2 5 + 2 4 — 2 5 — 7 4 — 3 .

Вычислим значение этого выражения:

2 5 + 2 4 — 2 5 — 7 4 — 3 = 2 5 + 2 — 2 5 + 7 4 — 3 = 9 4 — 3 = — 3 4 .

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log 2 4 + 2 · 4 можно сразу вместо log 2 4 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log 2 4 + 2 · 4 = 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10 .

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log 5 — 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Имеем:

log 5 — 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

По свойству логарифмов:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 ( 2 · 3 ) = log 6 6 = 1 .

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 — log 5 27 = — log 27 729 = — log 27 27 2 = — 2 .

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + — 2 = 2 .

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: t g 2 4 π 3 — sin — 5 π 2 + cosπ .

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

t g 2 4 π 3 — sin — 5 π 2 + cosπ = 3 2 — ( — 1 ) + ( — 1 ) = 3 + 1 — 1 = 3 .

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения cos 2 π 8 — sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 — sin 5 π 36 sin π 9 — 1 .

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

cos 2 π 8 — sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 — sin 5 π 36 sin π 9 — 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 — 1 = cos π 4 cos π 4 — 1 = 1 — 1 = 0 .

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

1. Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
2. Выполняются действия в скобках.
3. Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала — умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения — 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 . Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.

π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π

Теперь можно узнать значение синуса:

sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2 .

Со знаменателем дроби все проще:

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

С учетом этого, запишем все выражение:

— 1 + 1 + 3 9 = — 1 + 1 + 3 3 = — 1 + 1 + 27 = 27 .

— 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27 .

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2 · 386 + 5 + 589 4 1 — sin 3 π 4 · 0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56 + 8 — 3 , 789 ln e 2 — 56 + 8 — 3 , 789 ln e 2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс — использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями — сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.

Например, возьмем выражение 2 3 — 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 — 1 5 + 3 · 289 · 3 4 . Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 1 3 .

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Вычислить значение выражения 0 , 5 x — y при заданных x = 2 , 4 и y = 5 .

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

0 , 5 x — y = 0 , 5 · 2 , 4 — 5 = 1 , 2 — 5 = — 3 , 8 .

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х + 3 — х , очевидно, имеет значение 3 , и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.

Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.

Источник

Предложите, как улучшить StudyLib

(Для жалоб на нарушения авторских прав, используйте

другую форму
)

Сумма и разность чисел

Что такое сумма, и как ее найти

Сумма – это результат складывания двух чисел (слагаемых), между которыми стоит знак +. Чтобы получить сумму, нужно к одному слагаемому прибавить второе слагаемое. В общем виде пример можно показать так: a + b = s, где а – первое слагаемое, b – второе слагаемое, а s – результат сложения этих двух слагаемых. При этом нужно знать, что от перестановки слагаемых сумма не меняется, — это одно из самых первых правил в математике, которое проходят в начальной школе.

Чтобы наглядно показать ребенку, как сложить числа, возьмите конфеты или любые другие вещи. Покажите ребенку две конфеты, а затем прибавьте к этим конфетам еще две. Пусть ребенок посчитает и скажет, что теперь конфет оказалось четыре. Объясните ему, что он только что сложил эти числа, то есть прибавил к одному числу другое число и в конечном итоге получил сумму.

Немного сложнее объяснить сложение разрядных слагаемых, эта тема может быть непонятна ребенку. Итак, существует множество разрядов: единицы, десятки, тысячи. Возьмите, к примеру, число 2564. Если разложить его на разряды, то получится: 2564 = 2000 + 500 + 60 + 4. Чтобы прибавить к этому числу, например, число 305, воспользуйтесь сложением в столбик. При таком сложении нужно прибавлять одни разряды к другим, начиная с конца: единицы к единицам, десятки к десяткам, тысячи к тысячам. То есть, для начала складываем 4 и 5, затем 6 и 0, после 5 и 3, и в конце 2 и 0. В конечном итоге получаем число 2869.

Как найти разность чисел

Разность – результат вычитания одного числа из другого. В отличие от суммы, здесь мы не можем воспользоваться правилом «от перестановки слагаемых разность не меняется», так как в вычитании всегда есть уменьшаемое и вычитаемое. Чтобы найти вычитаемое и разность, для начала нужно разобраться с этими понятиями. Уменьшаемое – это то, из чего мы «вычитаем», то есть убираем, а вычитаемое – количество того, что мы у этого уменьшаемого вернем.

В общем виде вычитание можно записать так: a — b = r.
Обратимся к тем же конфетам, с которыми мы разбирали сумму чисел. Чтобы помочь ребенку найти разность чисел, возьмите пять конфет. Пусть ребенок посчитает и убедится, что их пять. Затем заберите себе три конфеты. Ребенок скажет, что их осталось две. А сколько тогда забрали? Три.

А что касается разрядных слагаемых, то здесь мы делаем то же самое, что и с суммой, только теперь не прибавляем, а вычитаем. Возьмем число 6845 и вычтем из него 4231. Для этого мы вычитаем один разряд из другого разряда, производя вычитание с конца: 5-1 = 4, 4-3 = 1, 8-2 = 6, 6-4 = 2. В ответе получим 2614.

Источник

Как найти разность чисел в математике

Слово «разность» может употребляться во многих значениях. Это может означать и разницу чего-либо, например, мнений, взглядов, интересов. В некоторых научных, медицинских и других профессиональных сферах этим термином обозначают разные показатели, к примеру, уровня сахара в крови, атмосферного давления, погодных условий. Понятие «разность», как математический термин тоже существует.

Арифметические действия с числами

Основными арифметическими действиями в математике являются:

Каждый результат этих действий также имеет своё название:

• сумма — результат, получившийся при сложении чисел;
• разность — результат, получившийся при вычитании чисел;
• произведение — результат умножения чисел;
• частное — результат деления.

Более простым языком объясняя понятия суммы, разности, произведения и частного в математике, можно упрощённо записать их лишь как словосочетания:

• сумма — прибавить;
• разность — отнять;
• произведение — умножить;
• частное — разделить.

Разность в математике

Рассматривая определения, что же такое разность чисел в математике, можно обозначить это понятие несколькими способами:

• Разность чисел означает, насколько одно из них больше другого.
• Разностью в математике называется итог, получившийся при отнимании друг от друга двух и более чисел.
• Это вычитание одного числа из другого.
• Это цифра, составляющая остаток при минусовании двух величин.
• Это величина, являющаяся результатом вычитания двух значений.
• Разность показывает количественное различие между двумя цифрами.
• Это результат одного из четырёх арифметических действий, которым является вычитание.
• Это то, что получится, если из уменьшаемого отнять вычитаемое.

Видео: Математика 6 Делимость суммы и разности чисел

И все эти определения являются верными.

Как найти разницу величин

Возьмём за основу то обозначение разности, которое нам предлагает школьная программа:

• Разностью называется результат вычитания одного числа из другого. Первое из этих чисел, из которого осуществляется вычитание, называется уменьшаемым, а второе, которое вычитают из первого, называется вычитаемым.

Ещё раз прибегнув к школьной программе, мы находим правило, как найти разность:

• Чтобы найти разность, надо от уменьшаемого отнять вычитаемое.

Всё понятно. Но при этом мы получили ещё несколько математических терминов. Что они значат?

• Уменьшаемое — это математическое число, от которого отнимают и оно уменьшается (становится меньше).
• Вычитаемое — это математическое число, которое вычитают из уменьшаемого.

Теперь понятно, что разность состоит из двух чисел, которые для её вычисления должны быть известны. А как их найти тоже воспользуемся определениями:

• Чтобы найти уменьшаемое, надо к вычитаемому прибавить разность.
• Чтобы найти вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.

Математические действия с разностью чисел

Опираясь на выведенные правила, можно рассмотреть наглядные примеры. Математика, интереснейшая наука. Мы здесь возьмём для решения лишь самые простые цифры. Научившись вычитать их, вы научитесь решать и более сложные значения, трёхзначные, четырёхзначные, целые, дробные, в степенях, корнях, другие.

Видео: Математика 2 класс. Разность двухзначных чисел

Простые примеры

• Пример 1. Найти разницу двух величин.

20 — уменьшаемое значение,

Решение: 20 — 15 = 5

Ответ: 5 — разница величин.

• Пример 2. Найти уменьшаемое.

32 — вычитаемое значение.

Решение: 32 + 48 = 80

• Пример 3. Найти вычитаемое значение.

17 — уменьшаемая величина.

Решение: 17 — 7 = 10

Ответ: вычитаемое значение 10.

Более сложные примеры

На примерах 1—3 рассмотрены действия с простыми целыми числами. Но в математике разницу вычисляют с применением не только двух, но и нескольких чисел, а также целых, дробных, рациональных, иррациональных, др.

• Пример 4. Найти разницу трёх значений.

Даны целые значения: 56, 12, 4.

56 — уменьшаемое значение,

12 и 4 — вычитаемые значения.

Решение можно выполнить двумя способами.

1 способ (последовательное отнимание вычитаемых значений):

1) 56 — 12 = 44 (здесь 44 — получившаяся разница двух первых величин, которая во втором действии будет уменьшаемым);

2 способ (отнимание из уменьшаемого суммы двух вычитаемых, которые в таком случае называются слагаемыми):

1) 12 + 4 = 16 (где 16 — сумма двух слагаемых, которая в следующем действии будет вычитаемым);

Ответ: 40 — разница трёх значений.

• Пример 5. Найти разницу рациональных дробных чисел.

Даны дроби с одинаковыми знаменателями, где

4/5 — уменьшаемая дробь,

Чтобы выполнить решение, нужно повторить действия с дробями. То есть, надо знать как отнимать дроби с одинаковым знаменателем. Как обращаться с дробями, имеющими разные знаменатели. Их надо уметь привести к общему знаменателю.

Решение: 4/5 — 3/5 = (4 — 3)/5 = 1/5

• Пример 6. Утроить разницу чисел.

А как выполнить такой пример, когда требуется удвоить или утроить разницу?

Вновь прибегнем к правилам:

• Удвоенное число — это величина, умноженная на два.
• Утроенное число — это величина, умноженная на три.
• Удвоенная разность — это разница величин, умноженная на два.
• Утроенная разность — это разница величин, умноженная на три.

7 — уменьшаемая величина,

5 — вычитаемая величина.

2) 2 * 3 = 6. Ответ: 6 — разница чисел 7 и 5.

• Пример 7. Найти разницу величин 7 и 18.

7 — уменьшаемая величина;

Вроде всё понятно. Стоп! Вычитаемое больше уменьшаемого?

И опять есть применяемое для конкретного случая правило:

• Если вычитаемое больше уменьшаемого, разница окажется отрицательной.

Ответ: — 11. Это отрицательное значение и есть разница двух величин, при условии, что вычитаемая величина больше уменьшаемой.

Математика для блондинок

Во Всемирной паутине можно найти массу тематических сайтов, которые ответят на любой вопрос. Точно так же в любых математических расчётах вам помогут онлайн-калькуляторы на любой вкус. Все расчёты, производимые на них, прекрасное подспорье для торопливых, нелюбознательных, ленивых. Математика для блондинок — один из таких ресурсов. Причём прибегаем к нему мы все, независимо от цвета волос, пола и возраста.

В школе подобные действия с математическими величинами нас учили вычислять в столбик, а позднее — на калькуляторе. Калькулятор — это также удобное подспорье. Но, для развития мышления, интеллекта, кругозора и других жизненных качеств, советуем производить арифметические действия на бумаге или даже в уме. Красота человеческого тела — это великое достижение современного фитнес-плана. Но мозг — это тоже мышца, которая требует иногда её качать. А значит, не откладывая, начинайте думать.

И пусть в начале пути вычисления сводятся к примитивным примерам, всё у вас впереди. А освоить придётся немало. Мы видим, что действий с разными величинами в математике множество. Поэтому кроме разницы необходимо изучить, как вычислить и остальные результаты арифметических действий:

• сумму — сложением слагаемых;
• произведение — умножением множителей;
• частное — делением делимого на делитель.

Источник

Свойства сложения и вычитания

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Свойства сложения

Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число

Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.

Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.

Сумма — это число, которое получается в результате сложения.

Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:

• 2 — это первое слагаемое,
• 5 — второе слагаемое,
• 7 — это сумма.

При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.

Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.

Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.

1. Переместительное свойство сложения
   От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
   a + b = b + a
2. Сочетательное свойство сложения
   Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
   (a + b) + c = a + (b + c)
3. Свойство нуля при сложении
   Если к числу прибавить нуль, получится само число.
   a + 0 = 0 + a = a

Свойства вычитания

Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.

Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.

Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.

Вычитаемое — это число, которое вычитают.

Разность — это число, которое получается в результате вычитания.

Рассмотрим пример 9 — 4 = 5, в котором:

9 — это уменьшаемое,

4 — вычитаемое,

5 — разность.

При этом саму запись (9 — 4) тоже можно назвать разностью.

1. Свойство нуля при вычитании
   Если из числа вычесть нуль, получится само число.
   a — 0 = a
   Если из числа вычесть само число, то получится нуль.
   a — a = 0
2. Свойство вычитания суммы из числа
   Чтобы вычесть сумму из числа, можно вычесть из этого числа одно слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое.
   a — (b + c) = a — b — c
3. Свойство вычитания числа из суммы
   Чтобы вычесть число из суммы, можно вычесть его из одного слагаемого, а к результату прибавить оставшееся слагаемое.
   (a + b) — c = (a — c) + b (если a > c или а = с)
   (a + b) — c = (b — c) + a (если b > c или b = с)

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Примеры использования свойств сложения и вычитания

Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:

Пример 1

Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:

а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15

б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22

в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43

Пример 2

Применить разные свойства при вычислении разности:

а) 25 — 0 — 2 = 25 — 2 = 23

б) 18 — (1 + 4) = 18 — 1 — 4 = 17 — 4 = 13

Пример 3

Найти значение выражения удобным способом:

а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 10) + (3 + 9) = 21 + 11 = 32

б) 16 — (4 + 3) + 7 = 16 — 4 — 3 + 7 = (16 — 4) — 3 + 7 = 12 — 3 + 7 = 9 + 7 = 16

Источник

Урок
математики 1 класс

Тема.   Определение значения суммы  разными способами
(пересчитыванием, присчитыванием, движением
по натуральному ряду)

Цели:

1.            Развитие логического и
абстрактного мышления, внимания, сообразительности.

2.
Воспитание интереса к математике.

3.
Воспитание умения слушать и слышать учителя и других учеников.

4.
Воспитание уважения друг к другу, взаимопомощи, выручки, доброты, поддержки
друзей.

Ход урока

Организационный  момент. Создание эмоционального настроя.

В классе нашем красота,

Гости к нам пришли сюда.

Их улыбками встречаем,

Улыбаясь, обещаем:

Будем мы внимательны, отзывчивы, старательны.

Мы пришли сюда учиться, не лениться, а трудиться.

Ребята, посмотрите, пожалуйста, за окно. Какая погода на
дворе? Какое у неё настроение?

-Какое настроение у вас? Я предлагаю ваше настроение выразить
при помощи фишек разного цвета, которые лежат у вас на партах.

Красная – настроение отличное, жёлтая- хорошее, синяя- так
себе.

Ребята, я вижу, не у всех настроение в начале урока отличное,
но давайте проведём наш урок так, чтобы в конце урока у всех настроение было
прекрасное.

   Наш урок проходит накануне самого весёлого, волшебного
праздника- Нового года. Каких чудес мы ждём от него? Что является  символом
этого праздника? Какие гости всегда долгожданны в этот день? (слайд
2)           (слайд 3)

Сегодня и мы окунёмся в праздничную атмосферу Нового года и
узнаем, какие сюрпризы нас ждут, а главное вы сможете открыть один важный
математический секрет.  

Посмотрите на нашу ёлочку. Чего не хватает на ней? У вас на
партах ёлочные игрушки, которые мы с вами нарисовали на уроке изобразительного
искусства. Давайте нарядим её. А для этого нам надо быть внимательными,
старательными, уметь слушать друг друга. Поэтому самые активные, старательные
смогут повесить свой шарик на ёлку.

Отправляемся в путь!

2.    
 Проверим
вашу наблюдательность.

Вот зайчишка у реки встал на задних лапках…

Перед  ним снеговики с мётлами и в шапках.

Заяц смотрит, он притих, лишь морковку гложет,

Но что разного у них — он понять не может.

—Помогите зайчику понять, что разного у этих снеговиков? (слайд 4)

3.   А сейчас посмотрим, какие вы сообразительные. (Слайд
5)

Исключи лишнюю
ёлочную игрушку.

 Я тетрадочку
открою, уголочком положу.

Я от вас друзья не
скрою — ручку я вот так держу.

Сяду прямо не согнусь, за работу я возьмусь.

(Слайд 6)

Обрадовались числа наступлению зимы и покатились по
снежной дорожке на полянку. Ссорились. Как их помирить?

Минутка чистописания. Цифры 3 и 5. Чем похожи числа. Какие
математические записи можно сделать, используя эти числа? (Слайд 7)

Добрались они до снежной полянки и встретили другие
числа.  Что вы знаете про эти числа? 

-В какую игру они могли поиграть.     (Слайд  

Молодцы, дети. Вы уже знаете о порядке на своём рабочем месте. О порядке
на уроках и переменах, а сейчас наведите порядок в числах.

Работа с числовым веером.

• Какое число
  стоит на 7 месте?
• Какое число
  предшествует числу 7?
• Какое число
  следует за числом 7?
• Какое число
  стоит между числами 1и3?
• Какое число
  стоит справа от 8?
• Какое число
  стоит слева от 6?
• На сколько
  предшествующее число меньше последующего?
• Какое число
  является началом натурального ряда чисел?
• Какое число
  завершает натуральный ряд чисел?

Физминутка (Слайд 10) 

Загадка.  Я всех знаю, всех учу, но сама всегда молчу.

Чтоб со мною подружиться, надо грамоте учиться. (Книга)
(Слайд 14) 

Работа по учебнику.

II. Стадия осмысления содержания.

Задание
1.

– Рассмотрите рисунки.

– Что делает девочка
Кнопочка? (Пересчитывает по одной палочке, чтобы получить значение суммы.)

(Могут быть разные
ответы, но все их надо направить в нужное русло.)

– Как
считает мальчик Незнайка? (Он присчитывает к слагаемому 7, чтобы найти
значение суммы.)

– А
на третьем рисунке как считает Знайка? (Движением по натуральному ряду
чисел.)

– Каким
способом складываете вы? Обведите рисунок синим карандашом.

– Какой способ вам
кажется наиболее интересным? Вы умеете им пользоваться? Обведите его красным
карандашом.

– Найдите значения сумм
способом Знайки.

               5 + 2 = 7                  4
+ 4 = 8

– Как вы понимаете такое выражение:

Ум хорошо, а два лучше?

Дети высказывают свои
предположения. (Так говорится, когда при решении какого-то вопроса
обращаются за советом к кому-нибудь, когда решают что-то вместе.)

Итог урока. Рефлексия.

– Вам
сегодня было интересно на уроке?

– Какие задания вам
понравилось выполнять?

Какой важный
математический секрет мы сегодня открыли?

Вася Иванов

Мореплаватель — имя существительное, употребляется в мужском роде. К нему может быть несколько синонимов.
1. Моряк. Старый моряк смотрел вдаль, думая о предстоящем опасном путешествии;
2. Аргонавт. На аргонавте были старые потертые штаны, а его рубашка пропиталась запахом моря и соли;
3. Мореход. Опытный мореход знал, что на этом месте погибло уже много кораблей, ведь под водой скрывались острые скалы;
4. Морской волк. Старый морской волк был рад, ведь ему предстояло отчалить в долгое плавание.