Как найти значение углов равностороннего треугольника - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Углы равностороннего треугольника

Чему равны углы равностороннего треугольника?

(свойство углов равностороннего треугольника)

Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

Аналогично, так как AC=BC, ∠A=∠B.

Отсюда следует, что в равностороннем треугольнике все углы равны между собой: ∠A=∠B=∠C

Так как сумма углов треугольника равна 180º, то ∠A=∠B=∠C=180º:3=60º, то есть каждый угол равностороннего треугольника равен 60º.

Что и требовалось доказать .

Тот факт, что все углы равностороннего треугольника равны между собой, можно рассмотреть также как следствие из теоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника. В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, напротив меньшей стороны — меньший угол. Так как все три стороны правильного треугольника равны, то и все углы тоже равны.

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства равностороннего (правильного) треугольника. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

Определение равностороннего треугольника

Равносторонним (или правильным) называется треугольник, в котором все стороны имеют одинаковую длину. Т.е. AB = BC = AC.

Примечание: правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, имеющий равные стороны и углы между ними.

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°. Т.е. α = β = γ = 60°.

Свойство 2

В равностороннем треугольнике высота, проведенная к любой из сторон, одновременно является биссектрисой угла, из которого она проведена, а также медианой и серединным перпендикуляром.

CD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AB, а также биссектриса угла ACB.

Свойство 3

В равностороннем треугольнике биссектрисы, медианы, высоты и серединные перпендикуляры, проведенные ко всем сторонам, пересекаются в одной точке.

Свойство 4

Центры вписанной и описанной вокруг равностороннего треугольника окружностей совпадают и находятся на пересечении медиан, высот, биссектрис и серединных перпендикуляров.

Свойство 5

Радиус описанной вокруг равностороннего треугольника окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

R – радиус описанной окружности;
r – радиус вписанной окружности;
R = 2r.

Свойство 6

В равностороннем треугольнике, зная длину стороны (условно примем ее за “a”), можно вычислить:

1. Высоту/медиану/биссектрису:

2. Радиус вписанной окружности:

3. Радиус описанной окружности:

4. Периметр:

5. Площадь:

Пример задачи

Дан равносторонний треугольник, сторона которого равна 7 см. Найдите радиус описанной вокруг и вписанной окружности, а также, высоту фигуры.

Решение
Применим формулы, приведеные выше, для нахождения неизвестных величин:

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

Три стороны треугольника.
Две стороны треугольника и угол между ними.
Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее, из формулы

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Из формулы (3) найдем cosA:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

источники:

Свойства равностороннего треугольника: теория и пример задачи

http://matworld.ru/geometry/reshenie-treugolnikov.php

Источник

Чему равны углы равностороннего треугольника?

Теорема

(свойство углов равностороннего треугольника)

Все углы равностороннего треугольника равны по 60º.

Дано: ABC,

AB=BC=AC

Доказать: ∠A=∠B=∠C=60º.

Доказательство:

Так как AB=BC, ∠A=∠C (как углы при основании равнобедренного треугольника).

Аналогично, так как AC=BC, ∠A=∠B.

Отсюда следует, что в равностороннем треугольнике все углы равны между собой: ∠A=∠B=∠C

Что и требовалось доказать.

Замечание.

Источник

Загрузить PDF

В геометрии угол — это фигура, которая образована двумя лучами, которые выходят из одной точки (она называется вершиной угла). В большинстве случаев единицей измерения угла является градус (°) — помните, что полный угол или один оборот равен 360°. Найти значение угла многоугольника можно по его типу и значениям других углов, а если дан прямоугольный треугольник, угол можно вычислить по двум сторонам. Более того, угол можно измерить с помощью транспортира или вычислить с помощью графического калькулятора.

1
Сосчитайте число сторон многоугольника. Чтобы вычислить внутренние углы многоугольника, сначала нужно определить, сколько у многоугольника сторон. Обратите внимание, что число сторон многоугольника равно числу его углов.^[1]
- Например, у треугольника 3 стороны и 3 внутренних углов, а у квадрата 4 стороны и 4 внутренних углов.
2
Вычислите сумму всех внутренних углов многоугольника. Для этого воспользуйтесь следующей формулой: (n — 2) x 180. В этой формуле n — это количество сторон многоугольника. Далее приведены суммы углов часто встречающихся многоугольников:^[2]
- Сумма углов треугольника (многоугольника с 3-мя сторонами) равна 180°.
- Сумма углов четырехугольника (многоугольника с 4-мя сторонами) равна 360°.
- Сумма углов пятиугольника (многоугольника с 5-ю сторонами) равна 540°.
- Сумма углов шестиугольника (многоугольника с 6-ю сторонами) равна 720°.
- Сумма углов восьмиугольника (многоугольника с 8-ю сторонами) равна 1080°.
3
Разделите сумму всех углов правильного многоугольника на число углов. Правильный многоугольник это многоугольник с равными сторонами и равными углами. Например, каждый угол равностороннего треугольника вычисляется так: 180 ÷ 3 = 60°, а каждый угол квадрата находится так: 360 ÷ 4 = 90°.^[3]
- Равносторонний треугольник и квадрат — это правильные многоугольники. А у здания Пентагона (Вашингтон, США) и дорожного знака «Стоп» форма правильного восьмиугольника.
4
Вычтите сумму всех известных углов из общей суммы углов неправильного многоугольника. Если стороны многоугольника не равны друг другу, и его углы также не равны друг другу, сначала сложите известные углы многоугольника. Теперь полученное значение вычтите из суммы всех углов многоугольника — так вы найдете неизвестный угол.^[4]
- Например, если дано, что 4 угла пятиугольника равны 80°, 100°, 120° и 140°, сложите эти числа: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Теперь вычтите это значение из суммы всех углов пятиугольника; эта сумма равна 540°: 540 — 440 = 100°. Таким образом, неизвестный угол равен 100°.
Совет: неизвестный угол некоторых многоугольников можно вычислить, если знать свойства фигуры. К примеру, в равнобедренном треугольнике две стороны равны и два угла равны; в параллелограмме (это четырехугольник) противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Реклама

1

Помните, что в любом прямоугольном треугольнике один угол всегда равен 90°. Это так, даже если прямой угол никак не отмечен или его значение не указано. Таким образом, один угол прямоугольного треугольника всегда известен, а другие углы можно вычислить с помощью тригонометрии.^[5]
2

Измерьте длину двух сторон треугольника. Самая длинная сторона прямоугольного треугольника называется гипотенузой. Прилежащая сторона это сторона, которая находится возле неизвестного угла. Противолежащая сторона — это сторона, которая находится напротив неизвестного угла. Измерьте две стороны, чтобы вычислить неизвестные углы треугольника.^[6]

Совет: воспользуйтесь графическим калькулятором, чтобы решить уравнения, или найдите онлайн-таблицу со значениями синусов, косинусов и тангенсов.
3
Вычислите синус угла, если вам известны противолежащая сторона и гипотенуза. Для этого подставьте значения в уравнение: sin(x) = противолежащая сторона ÷ гипотенуза. Например, противолежащая сторона равна 5 см, а гипотенуза равна 10 см. Разделите 5/10 = 0,5. Таким образом, sin(x) = 0,5, то есть x = sin^-1 (0,5).^[7]
- Если у вас есть графический калькулятор, введите 0,5 и нажмите клавишу sin^-1. Если у вас нет такого калькулятора, используйте онлайн-таблицу, чтобы найти значение угла. В нашем примере угол равен 30°.
4
Вычислите косинус угла, если вам известны прилежащая сторона и гипотенуза. Для этого подставьте значения в уравнение: cos(x) = прилежащая сторона ÷ гипотенуза. Например, прилежащая сторона равна 1,67 см, а гипотенуза равна 2 см. Разделите 1,67/2 = 0,83. Таким образом, cos(x) = 0,83, то есть x = cos^-1 (0,83).^[8]
- Если у вас есть графический калькулятор, введите 0,83 и нажмите клавишу cos^-1. Если у вас нет такого калькулятора, используйте онлайн-таблицу, чтобы найти значение угла. В нашем примере угол равен 33,6°.
5
Вычислите тангенс угла, если вам известны противолежащая и прилежащая стороны. Для этого подставьте значения в уравнение: tg(x) = противолежащая сторона ÷ прилежащая сторона. Например, противолежащая сторона равна 75 см, а прилежащая сторона равна 75 см. Разделите 75/100 = 0,75. Таким образом, tg(x) = 0,75, то есть x = tg^-1 (0,75).^[9]
- Если у вас есть графический калькулятор, введите 0,75 и нажмите клавишу tg^-1. Если у вас нет такого калькулятора, используйте онлайн-таблицу, чтобы найти значение угла. В нашем примере угол равен 36,9°.
Реклама

Советы

Названия углов соответствуют их значениям. Угол в 90° — это прямой угол. Угол в 180° — это развернутый угол. Угол, который лежит между 0° и 90° — это острый угол. Угол, который лежит между 90° и 180° — это тупой угол. Угол, который лежит между 180° и 360° — это невыпуклый угол.
Если сумма двух углов равна 90°, они называются дополнительными. Запомните: два острых угла прямоугольного треугольника всегда являются дополнительными. Если же сумма двух углов равна 180°, они называются смежными.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 237 189 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Содержание:

Определение равностороннего треугольника
Свойства равностороннего треугольника
Примеры решения задач

Определение равностороннего треугольника

Определение

Равносторонним треугольником называется такой треугольник
$ABC$, у которого все стороны равны:
$AB = BC = AC$.

Свойства равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике все углы равны.
Любая биссектриса, равностороннего треугольника равна его медиане и высоте.
Если сторона равностороннего треугольника равна
$a$, то

$$l_{a}=m_{a}=h_{a}=frac{a sqrt{3}}{2}$$

Примеры решения задач

Пример

Задание. Определить, чему равны углы в равностороннем треугольнике.

Решение. По свойству равностороннего треугольника, в нем все углы равны. Обозначим эту величину через
$x$, то есть
$alpha=beta=gamma=x$. Так как
сумма всех углов треугольника равна
$180^{circ}$, справедливо равенство

$$alpha+beta+gamma=180^{circ}$$

Подставим $x$:

$$
begin{array}{c}
x+x+x=180^{circ} \
3 x=180^{circ} \
x=60^{circ}
end{array}
$$

Ответ. В равностороннем треугольнике все углы по
$60^{circ}$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Дан равносторонний треугольник со стороной
$a=2 sqrt{3}$. Найти высоту, опущенную на одну из сторон.

Решение. Для нахождения высоты воспользуемся формулой

$$h_{a}=frac{a sqrt{3}}{2} Rightarrow h_{a}=frac{2 sqrt{3} cdot sqrt{3}}{2} Rightarrow h_{a}=3$$

Ответ. $h_{a}=3$

Читать дальше: что такое разносторонний треугольник.

Источник

Свойства равностороннего треугольника

Свойство 1. В равностороннем треугольнике все углы равны между собой и равны ({{60}^{o }})

Естественно, не правда ли? Три одинаковых угла, в сумме ({{180}^{o }}), значит, каждый по ({{60}^{o }})

Свойство 2. В равностороннем треугольнике точки пересечения высот, биссектрис, медиан и серединных перпендикуляров совпадают – оказываются одной и той же точкой. И эта точка называется центром треугольника (равностороннего!).

Почему так? А посмотрим-ка на равносторонний треугольник.

Он является равнобедренным, какую бы его сторону ни принять за основание – так сказать, со всех сторон равнобедренный.

ravnostoronnij treugolnik bissektrisy i mediany

Значит, любая высота в равностороннем треугольнике является также и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром!

В равностороннем треугольнике оказалось не (12) особенных линий, как во всяком обычном треугольнике, а всего три!

Итак, ещё раз:

Центр равностороннего треугольника является центром вписанной и описанной окружности, а также точкой пересечения высот и медиан.

Свойство 3. В равностороннем треугольнике радиус описанной окружности в два раза больше, чем радиус вписанной. (R=2cdot r)

vpisannaya okruzhnost ravnobedrennyj treugolnik

Уже должно быть очевидно, отчего так.

Посмотри на рисунок: точка( O) – центр треугольника.

Значит, (OB) – радиус описанной окружности (обозначили его (R)), а (OK) – радиус вписанной окружности (обозначим (r)).

Но ведь точка (O) – ещё и точка пересечения медиан! Вспоминаем, что медианы точкой пересечения делятся в отношении (2:1), считая от вершины.

Поэтому (OB=2cdot OK), то есть (R=2cdot r).

Свойство 4. В равностороннем треугольнике длины всех элементов «хорошо» выражаются через длину стороны.

Давай удостоверимся в этом.

Источник