Измерение величин
- Меры
- Единицы измерения
- Сокращённые наименования мер
- Измерительные приборы
Величина — это то, что можно измерить. Такие понятия, как длина, площадь, объём, масса, время, скорость и т. д. называют величинами. Величина является результатом измерения, она определяется числом, выраженным в определённых единицах. Единицы, в которых измеряется величина, называют единицами измерения.
Для обозначения величины пишут число, а рядом название единицы, в которой она измерялась. Например, 5 см, 10 кг, 12 км, 5 мин. Каждая величина имеет бесчисленное множество значений, например длина может быть равна: 1 см, 2 см, 3 см и т. д.
Одна и та же величина может быть выражена в разных единицах, например килограмм, грамм и тонна — это единицы измерения веса. Одна и та же величина в разных единицах выражается разными числами. Например:
5 см = 50 мм (длина),
1 ч = 60 мин (время),
2 кг = 2000 г (вес).
Измерить величину — значит узнать, сколько раз в ней содержится другая величина того же рода, принятая за единицу измерения.
Например, мы хотим узнать точную длину какой-нибудь комнаты. Значит нам нужно измерить эту длину при помощи другой длины, которая нам хорошо известна, например при помощи метра. Для этого откладываем метр по длине комнаты столько раз, сколько можно. Если он уложится по длине комнаты ровно 7 раз, то длина её равна 7 метрам.
В результате измерения величины получается или именованное число, например 12 метров, или несколько именованных чисел, например 5 метров 7 сантиметров, совокупность которых называется составным именованным числом.
Меры
В каждом государстве правительство установило определённые единицы измерения для различных величин. Точно рассчитанная единица измерения, принятая в качестве образца, называется эталоном или образцовой единицей. Сделаны образцовые единицы метра, килограмма, сантиметра и т. п., по которым изготавливают единицы для обиходного употребления. Единицы, вошедшие в употребление и утверждённые государством, называются мерами.
Меры называются однородными, если они служат для измерения величин одного рода. Так, грамм и килограмм — меры однородные, так как они служат для измерения веса.
Единицы измерения
Ниже представлены единицы измерения различных величин, которые часто встречаются в задачах по математике:
Меры веса/массы:
- 1 тонна = 10 центнеров;
- 1 центнер = 100 килограмм;
- 1 килограмм = 1000 грамм;
- 1 грамм = 1000 миллиграмм.
Меры длины:
- 1 километр = 1000 метров;
- 1 метр = 10 дециметров;
- 1 дециметр = 10 сантиметров;
- 1 сантиметр = 10 миллиметров.
Меры площади (квадратные меры):
- 1 кв. километр = 100 гектарам;
- 1 гектар = 10000 кв. метрам;
- 1 кв. метр = 10000 кв. сантиметров;
- 1 кв. сантиметр = 100 кв. миллиметрам.
Меры объёма (кубические меры):
- 1 куб. метр = 1000 куб. дециметров;
- 1 куб. дециметр = 1000 куб. сантиметров;
- 1 куб. сантиметр = 1000 куб. миллиметров.
Рассмотрим ещё такую величину как литр. Для измерения вместимости сосудов употребляется литр. Литр является объёмом, который равен одному кубическому дециметру (1 литр = 1 куб. дециметру).
Меры времени:
- 1 век (столетие) = 100 годам;
- 1 год = 12 месяцам;
- 1 месяц = 30 суткам;
- 1 неделя = 7 суткам;
- 1 сутки = 24 часам;
- 1 час = 60 минутам;
- 1 минута = 60 секундам;
- 1 секунда = 1000 миллисекундам.
Кроме того, используют такие единицы измерения времени, как квартал и декада.
- квартал — 3 месяца;
- декада — 10 суток.
Месяц принимается за 30 дней, если не требуется определить число и название месяца. Январь, март, май, июль, август, октябрь и декабрь — 31 день. Февраль в простом году — 28 дней, февраль в високосном году — 29 дней. Апрель, июнь, сентябрь, ноябрь — 30 дней.
Год представляет собой (приблизительно) то время, в течении которого Земля совершает полный оборот вокруг Солнца. Принято считать каждые три последовательных года по 365 дней, а следующий за ними четвёртый — в 366 дней. Год, содержащий в себе 366 дней, называется високосным, а годы, содержащие по 365 дней — простыми. К четвёртому году добавляют один лишний день по следующей причине. Время обращения Земли вокруг Солнца содержит в себе не ровно 365 суток, а 365 суток и 6 часов (приблизительно). Таким образом, простой год короче истинного года на 6 часов, а 4 простых года короче 4 истинных годов на 24 часа, т. е. на одни сутки. Поэтому к каждому четвёртому году добавляют одни сутки (29 февраля).
Об остальных видах величин вы узнаете по мере дальнейшего изучения различных наук.
Сокращённые наименования мер
Сокращённые наименования мер принято записывать без точки:
Меры длины
|
Меры веса/массы
|
Меры площади (квадратные меры)
|
Меры объёма (кубические меры)
|
Меры времени
|
Мера вместимости сосудов
|
 |
1 мм | 1 см | 1 дм | 1 м | 1 км |
 |
1 мм2 | 1 см2 | 1 дм2 | 1 м2 | 1 км2 |
 |
1 мм3 | 1 см3 | 1 дм3 | 1 м3 | 1 км3 |
Измерительные приборы
Для измерения различных величин используются специальные измерительные приборы. Одни из них очень просты и предназначены для простых измерений. К таким приборам можно отнести измерительную линейку, рулетку, измерительный цилиндр и др. Другие измерительные приборы более сложные. К таким приборам можно отнести секундомеры, термометры, электронные весы и др.
Измерительные приборы, как правило, имеют измерительную шкалу (или кратко шкалу). Это значит, что на приборе нанесены штриховые деления, и рядом с каждым штриховым делением написано соответствующее значение величины. Расстояние между двумя штрихами, возле которых написано значение величины, может быть дополнительно разделено ещё на несколько более малых делений, эти деления чаще всего не обозначены числами.
Определить, какому значению величины соответствует каждое самое малое деление, не трудно. Так, например, на рисунке ниже изображена измерительная линейка:
Цифрами 1, 2, 3, 4 и т. д. обозначены расстояния между штрихами, которые разделены на 10 одинаковых делений. Следовательно, каждое деление (расстояние между ближайшими штрихами) соответствует 1 мм. Эта величина называется ценой деления шкалы измерительного прибора.
Перед тем как приступить к измерению величины, следует определить цену деления шкалы используемого прибора.
Для того чтобы определить цену деления, необходимо:
- Найти два ближайших штриха шкалы, возле которых написаны значения величины.
- Вычесть из большего значения меньшее и полученное число разделить на число делений, находящихся между ними.
Пример:
Определим цену деления шкалы термометра, изображённого на рисунке слева.
Возьмём два штриха, около которых нанесены числовые значения измеряемой величины (температуры).
Например, штрихи с обозначениями 20 °С и 30 °С. Расстояние между этими штрихами разделено на 10 делений. Таким образом, цена каждого деления будет равна:
(30 °С — 20 °С) : 10 = 1 °С
Следовательно, термометр показывает 47 °С.
Измерять различные величины в повседневной жизни приходится постоянно каждому из нас. Например, чтобы прийти вовремя в школу или на работу, приходится измерять время, которое будет потрачено на дорогу. Метеорологи для предсказания погоды измеряют температуру, атмосферное давление, скорость ветра и т. д.
1. Понятие
величины. Основные
свойства однородных величин.
2. Измерение
величины. Численное
значение величины.
3. Длина,
площадь, масса, время.
4.
Зависимости
между величинами.
4.1. Понятие величины
Величина
– одно из основных математических
понятий, возникшее в древности и в
процессе длительного развития
подвергшееся
ряду обобщений. Длина, площадь, объем,
масса, скорость и многие
другие – все это величины.
Величина
— это
особое свойство реальных объектов или
явлений.
Например, свойство предметов «иметь
протяженность» называется
«длиной». Величину рассматривают как
обобщение свойств некоторых
объектов и как индивидуальную
характеристику свойства конкретного
объекта. Величины можно оценивать
количественно на основе сравнения.
Например,
понятие длины
возникает:
-
при
обозначении свойств класса объектов
(«многие окружающие
нас предметы имеют длину»); -
при
обозначении свойства конкретного
объекта из этого
класса
(«этот стол имеет длину»); -
при
сравнении объектов по этому свойству
(«длина стола
больше
длины парты»).
Однородные
величины – величины,
которые выражают одно и то же свойство
объектов некоторого класса.
Разнородные
величины выражают
различные свойства объектов
(один предмет может иметь массу, объем
и др.).
Свойства однородных
величин:
1. Однородные
величины можно сравнивать.
Для
любых величин а и b
справедливо только одно из отношений:
а
< b,
а
> b,
а
= b.
Например, масса
книги больше массы карандаша, а длина
карандаша меньше длины комнаты.
2. Однородные
величины можно складывать
и вычитать. В
результате
сложения и вычитания получается величина
того же рода.
Величины,
которые можно складывать, называются
аддитивными.
Например,
можно складывать длины предметов. В
результате получается длина. Существуют
величины, которые не являются
аддитивными, например, температура. При
соединении воды разной
температуры из двух сосудов, получается
смесь, температуру
которой нельзя определить сложением
величин.
Мы будем рассматривать
только аддитивные величины.
Пусть:
а
– длина ткани, b
– длина куска, который отрезали, тогда:
(а
— b)
– длина оставшегося куска.
3. Величину
можно умножать
на действительное число. В
результате
получается величина того же рода.
Пример:
«Налей в банку 6 стаканов воды».
Если
объем воды в стакане – V,
то
объем воды в банке – 6V.
4. Однородные
величины делят.
В
результате получается неотрицательное
действительное число, его называют
отношением
величин.
Пример:
«Сколько ленточек длиной b,
можно получить из ленты
длиной а ?» ( х
= а
: b
)
5. Величину
можно измерить.
4.2. Измерение величины
Сравнивая
величины непосредственно мы можем
установить их
равенство или неравенство. Например,
сравнивая полоски по длине
наложением или приложением, можно
установить, равны они или
нет:
—
если
концы совпадают, то полоски имеют равную
длину;
—
если
левые концы совпадают, а правый конец
нижней полоски
выступает, то ее длина больше.
Для получения
более точного результата сравнения
величины измеряют.
Измерение
заключается в сравнении данной величины
с некоторой
величиной, принятой за единицу.
Измеряя массу
арбуза на весах, сравнивают ее с массой
гири.
Измеряя длину
комнаты шагами, сравнивают ее с длиной
шага.
Процесс
сравнения зависит от рода величины:
длину измеряют
с помощью линейки, массу — используя
весы. По каким бы ни был
этот процесс, в результате измерения
получается определенное
число, зависящее от выбранной единицы
величины.
Цель
измерения – получить
численную характеристику данной
величины при выбранной единице.
Если
дана величина а и выбрана единица
величины е, то в результате
измерения величины а находят такое
действительное число
х, что а = х • е. Это число х называют
численным значением
величины а при единице величины е.
Примеры:
1) Масса
дыни 3кг.
3кг
= 3∙1
кг, где 3 – численное значение массы
дыни при единице массы 1кг.
2) Длина
отрезка 10см.
10см
= 10 • 1см, где 10 – численное значение
длины отрезка при
единице длины 1см.
Величины,
определяемые одним численным значением,
называются
скалярными
(длина,
объем, масса и др.). Существуют еще
векторные
величины, которые
определяются численным значением
и направлением (скорость, сила и др.).
Измерение
позволяет свести сравнение величин к
сравнению чисел,
а действия с величинами – к действиям
над числами.
1. Если
величины аиb
измерены при помощи единицы величины
е,
то отношения между величинами аиbбудут
такими же,
как и отношения между их численными
значениями (и наоборот):
Пусть
а
=
т
• е, b
= п • е , тогда
a=b<=
> m
= n,
а
> b
<
= > т
> п ,
а
< b
<
= > т
< п .
Пример:
«Масса арбуза 5кг. Масса дыни 3кг. Масса
арбуза больше массы дыни, т.к. 5 > 3».
2. Если
величины аиbизмерены
при помощи единицы величины е,
то
чтобы найти численное значение суммы
(а
+
b),
достаточно
сложить численные значения величин а
и
b.
Пусть
а=т
• е, b=п
• е, с=k
• е, тогда
а
+ b=с
<
= > т
+ п =
k.
Например,
для определения массы купленного
картофеля, наcыпанного
в два мешка, необязательно ссыпать их
вместе и взвешивать, достаточно
сложить численные значения массы каждого
мешка.
3. Если
величины а
и
b
таковы,
что b
=
х
• а , где
х
– положитель-ное
действительное число, и величина а
измерена
при помощи
единицы величины е,
то,
чтобы найти численное значение величины
b
при
единице е, достаточно число х
умножить
на численное
значение величины а.
Пусть
а
=
т
• е, b
= х • а , тогда
b
=(х • т ) • е.
Пример:
«Длина голубой полоски 2 дм. Длина желтой
в 3 раза больше.
Какова длина желтой полоски?»
2дм • 3 = (2 • 1дм) •
3 = (2 • 3) • 1дм = 6 • 1дм = 6дм .
Дошкольники
знакомятся с измерением величин сначала
с помощью
условных мерок. В процессе практической
деятельности они осознают взаимосвязь
величины и ее численного значения, а
также численного значения величины от
выбранной единицы измерения.
Пример:
«Измерь
шагами длину дорожки от дома до дерева,
а теперь от
дерева до забора. Какова длина всей
дорожки?».
(Дети
складывают величины, пользуясь их
численными значениями.)
— Какова длина
дорожки, измеренная шагами Маши? (5 шагов
Маши.)
-
Какова
длина этой же дорожки, измеренная шагами
Коли?
(4
шага Коли.) -
Почему
мы измеряли длину одной и той же дорожки,
а получили
разные результаты?
(Длина
дорожки измерена разными шагами. Шаги
Коли длиннее,
поэтому их получилось меньше).
Численные
значения длины дороги отличаются из-за
применения
разных единиц измерения.
Потребность
в измерении величин возникла в практической
деятельности
человека в процессе его развития.
Результат измерения выражается
числом и дает возможность глубже осознать
суть понятия
числа. Сам процесс измерения учит детей
логически мыслить, формирует
практические навыки, обогащает
познавательную деятельность.
В процессе измерения дети могут получить
не только
натуральные числа, но и дроби.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
ВИДЕО УРОК
Числа точные и приближённые.
В практической
деятельности люди постоянно имеют дело со значениями разных величин: длины,
площади, объема, массы, температуры и так далее.
Числа, встречающиеся
на практике, бывают двух видов. Одни дают истинное значение величины, другие –
только приблизительное. Первые называют точными, вторые – приближенными.
Точное значение
величины удается найти лишь в некоторых случаях.
ПРИМЕР:
Можно точно указать число вагонов железнодорожного
поезда.
Точно подсчитать, сколько учеников есть одновременно в
классе.
ПРИМЕР:
В книге 512 страниц, число 512 – точное.
В шестиугольнике 9 диагоналей, число
9 – точное.
В классе есть 29 учеников, число 29
– точное.
Однако по большей
части приходится иметь дело лишь с приближенными значениями величин.
Чаще всего удобно
пользоваться приближёнными числами вместо точных, тем более, что во многих
случаях точное число вообще найти невозможно. Числа, которые мы называем приближёнными, иначе говоря,
верными только приблизительно, но не совершенно точно, постоянно встречаются
нам в жизни на практике. Приближённые числа могут получаться, прежде всего, при
счёте предметов, если этих предметов слишком много и их почему – либо трудно
или даже нельзя подсчитать точно. Конечно, в результате счёта предметов могут
получаться и точные числа, если предметов не слишком много, если их число не
слишком быстро меняется и если их без затруднений можно подсчитывать.
ПРИМЕР:
Лишь приблизительно оценивают:
– количество зрителей телепередачи,
– количество перелетных птиц,
– количество деревьев в лесу.
ПРИМЕР:
Если же говорят, что расстояние от Москвы до Киева
равно 960 км, то здесь число 960 –
приближённое, так как с одной стороны, наши измерительные инструменты не
абсолютно точны, а с другой стороны, сами города имеют некоторую протяжённость.
Продавец взвесил на автоматических весах 50
г масла. Число 50 –
приближённое, так как весы нечувствительны к увеличению или уменьшению веса
на 0,5
г.
Приближенные
значения получаются в результате измерений.
Можно ли измерять длину рейки точно ? Нет.
Даже если услышите, что длина какой-то рейки равняется, например, 9,42783 м, не верьте этому. Ведь длину такой рейки с точностью до
сотой миллиметра нельзя измерять. Результат каждого измерения – приближенное
значение величины.
Невозможно, точно
измерять длину стержня. Ведь измерение мы проводим с помощью какого-то прибора
(линейки, штангенциркуля, микрометра, оптиметра (оптико-механический
измерительный прибор) и тому подобное), а точность измерения прибором всегда
ограничена. Кроме того, изготовляя прибор в заводских условиях, гарантируют
лишь ту или другую степень точности его изготовления. Наконец, выполняя
измерение, мы можем допускать ошибки, связанные с нашим опытом работы и личными
качествами.
Невозможно точно
измерять площадь земельного участка, температуру воздуха, скорость полета
самолета и так далее.
Приближенные значения получают при округлении истинных
значений величин.
Приближённые и
точные числа записываются при помощи десятичных дробей. Берётся только среднее
значение, поскольку точное может быть бесконечно длинным. Чтобы понять, как
записывать эти числа, необходимо узнать о верных и сомнительных цифрах.
Верными называются такие цифры, разряд которых
превосходит абсолютную погрешность числа.
Если же разряд цифры меньше абсолютной погрешности, она
называется сомнительной.
ПРИМЕР:
Для дроби 3,6714 с
погрешностью 0,002 верными
будут цифры 3, 6, 7, а сомнительными 1 и 4.
В записи приближённого числа оставляют только верные цифры. Дробь будет
выглядеть таким образом – 3,67.
ПРИМЕР:
Число 2,19563 в
расчете, который не нуждается высокой точности, можно округлить, заменив его
числом 2,196 или даже числом 2,20,
которые являются приближенными значениями числа
2,19563
с излишком.
Итак, в разных
случаях и в разных обстоятельствах счёт предметов может приводить и к точному и
к приближённому числу.
Границы значения величины.
Всякое измерение
(длины, веса и так далее) выполняется только приблизительно. Иногда, даже в тех
случаях, когда можно установить истинное значение величины, бывает достаточно
знать лишь её приближённое значение. Между истинной величиной предмета и
числом, полученным при измерении (или подсчёте), бывает некоторая, хотя бы и
небольшая разность.
ПРИМЕР:
Рассмотрим процесс определения массы детали с
помощью рычажных весов и набора гирь, наименьшая из которых имеет массу 1 г.
С помощью двух взвешиваний установили, что масса детали
больше 20 г, но меньше
30 г.
Обозначим массу детали в граммах через m,
тогда результат взвешивания можно записать в виде двойного неравенства:
20 < m < 30.
Заменив потом гирю 10 г гирей 5 г, и убедимся, что масса детали больше 25 г,
То есть
25 < m < 30.
Положив на чашу весов с гирьками еще 2 г, заметим, что масса
детали меньше чем 27 г.
25 < m < 27.
Заменив гирю
2 г гирей 1 г, и определим, что
масса детали больше 26 г.
26 < m
< 27.
Поскольку более мелких гирь нет, то процесс определения
массы на этом этапе закончим.
Взвешиваниями мы нашли приближенные значения массы детали
в граммах:
26 г – приближённое значение с
недостачей,
27 г – приближённое значение с излишком.
Другими словами, мы установили границы значения массы в
граммах. Число 26 – нижняя граница, число
27 –
верхняя граница.
Заметим, что когда бы наименьшая гиря была бы равна 2
г, то границами значения массы детали в граммах были бы числа 25 г и 27 г, то есть масса была бы определена менее точно.
Зная пределы
значения некоторой величины, можно оценить значение другой величины, которая
зависит от первой.
ПРИМЕР:
Пусть известны приближенные значения (в см) с недостачей и с излишком длины а стороны равностороннего треугольника:
5,4 ≤ а ≤ 5,5.
Надо найти пределы периметра Р.
РЕШЕНИЕ:
Периметр равностороннего треугольника вычисляется по
формуле:
Р = 3а.
Из условия, что а ≥ 5,4 выплывает, что 3а
≥ 16,2.
Из условия, что а ≤ 5,5 выплывает, что 3а
≤ 16,5.
Числа 16,2 и 16,5
– приближенные значения периметра (в см) с недостачей и излишком:
16,2 ≤ Р ≤ 16,5.
Записать решение можно и так:
5,4 ≤ а ≤ 5,5,
5,4 ∙ 3 ≤ 3а ≤ 5,5 ∙ 3,
то есть
16,2 ≤ Р ≤ 16,5.
ПРИМЕР:
Пусть известны границы какого-то числа х:
3 < х < 6.
Надо оценить значение выражения 1/х.
РЕШЕНИЕ:
Из условия задачи определяем, что х –
число положительное.
Поскольку х ˃ 3, то
1/х < 1/3.
Поскольку х < 6, то
1/х ˃ 1/6.
Выходит, что
1/6 < 1/х < 1/3.
Заменим границы значения выражения 1/х десятичными дробями. Число 1/6 можно заменить лишь меньшим числом (любым приближением
с недостачей), а число 1/3 –
лишь больше (приближением с излишком). Поскольку
1/6 =
0,166…
1/3 =
0,333… ,
то границами значения выражения 1/х могут быть десятичные дроби 0,1 и 0,4.
0,1 < 1/х < 0,4.
Заменив нижнюю границу
числом 0,1, а верхнюю – числом 0,4, мы
расширили промежуток, которому принадлежат значения выражения 1/х.
Если бы мы сделали иначе, округлив бесконечные десятичные
дроби
0,166… и 0,333…
по известным правилам округления, то получили бы, что
0,2 < 1/х < 0,3.
Но тогда неизвестное нам точное значение выражения 1/х могло бы очутиться вне полученных границах.
Способ записи приближённых чисел.
Приближённые
значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности
приближения.
ПРИМЕР:
На рулоне обоев написано, что его длина равна
18 ±
0,3 м.
Эта запись означает, что длина рулона равна 18
м с точностью до 0,3
м, то есть точное значение длины может отличаться от
приближённого значения, равного 18 м, не более чем на
0,3 м.
Другими словами длина рулона должна находиться между
18
– 0,3 = 17,7 м и
18
+ 0,3 = 18,3 м.
ПРИМЕР:
Если измеряя длину
х
некоторой рейки, выявили, что она больше чем 6,427
м и меньше чем 6,429
м, то записывают:
х = 6,428 ± 0,001 м.
Говорят, что значение длины рейки найдено с точностью
до
0,001 м (одного миллиметра).
ПРИМЕР:
При приближённых вычислениях отличают запись 2,4 от 2,40, запись 0,02 от 0,0200 и так далее.
Запись 2,4 означает,
что верны только цифры целых и десятых, истинное же значение числа может быть,
например, 2,43 или 2,38 (при отбрасывании цифры 8 происходит округление в сторону увеличения
предшествующей цифры).
Запись 2,40 означает,
что верны и сотые доли, истинное число может быть 2,403 или 2,398, но не 2,421 и
не 2,382.
То же отличие производится и для целых чисел. Запись 382 означает, что все цифры верны, если же за
последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записывается не в
виде 380,
а в виде 38
∙ 10. Запись же 380 означает, что
последняя цифра (0) верна.
Если в числе 4720 верны лишь первые
две цифры, его нужно записать в виде 47 ∙ 102,
или это число можно также записать в виде
4,7 ∙
103 и так далее.
Значащими
цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.
ПРИМЕР:
В числе
0,00385 три значащие цифры.
В числе
0,03085 четыре значащие цифры,
В числе
2500 – четыре,
В числе
2,5 ∙
103 – две.
Число
значащих цифр некоторого числа называется его значностью.
Через то, что мы не
можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление
на каком-либо десятичном знаке, то есть выполнить приближенное деление. Мы
можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, то есть
ограничиться десятыми частями; в случае потребности мы можем остановиться на
втором десятичном знаке, ограничиться сотыми частями, и так далее. В таких
случаях говорят о приближенном превращении обычных дробей в десятичные. В этих
случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление
делается с той точностью, которая нужна для решения данной задачи.
Вычисления с приближенными
данными.
Вычисления с
приближенными данными постоянно используется в практических задачах, при этом
результат вычислений обычно округляют. Результат действий с приближёнными
числами есть тоже приближённое число. Выполняя некоторые действия над точными числами,
можно так же получить приближённые числа.
При сложении и вычитании приближённых чисел в
результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в
приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков, то есть оставляют в
результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном
данном числе.
ПРИМЕР:
Пусть
х ≈ 17,2 и у
≈ 8,407.
Найдём приближённое значение суммы х
и у.
РЕШЕНИЕ:
Имеем:
х +
у ≈ 25,607.
Из данных приближённых значений 17,2
и 8,407
менее точным является первое. Округлив результат по первому данному, то
есть до десятых, получим:
х + у ≈ 25,6.
ПРИМЕР:
Пусть
х ≈ 6,784 и
у ≈ 4,91.
Найдём приближённое значение разности х
и у.
РЕШЕНИЕ:
Имеем:
х –
у ≈ 1,874.
Из данных приближённых значений 6,784
и 4,91
менее точным является второе. Округлив результат по второму данному, то есть.
до сотых, получим:
х –
у ≈ 1,87.
ПРИМЕР:
Найдите разность приближенных значений
х = 1,52
± 0,01 и
у = 0,27
± 0,02.
РЕШЕНИЕ:
Данным приближенным значением отвечают двойные
неравенства
1,51 ≤ х ≤ 1,53 и
0,25 ≤ у ≤ 0,29.
Умножим все части последнего двойного неравенства на –1, получим
–0,29 ≤ –у ≤ –0,25.
Прибавив это двойное неравенство к первому, получим
1,22 ≤ х – у ≤ 1,28, или
х – у = 1,25
± 0,03.
Несколько иначе
поступают при умножении и делении приближённых значений. Здесь округление
производится с учётом относительной точности данных. В
этом случае находят произведение или частное приближённых значений, и результат
округляют по менее точному данному, имея ввиду относительную точность. Для
этого исходные данные и полученный результат записывают в стандартном виде
а × 10n,
и множитель а результата округляют, оставляя в нём столько
знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном
данном.
ПРИМЕР:
Пусть
х ≈ 0,86 и
у ≈ 27,1.
Найдём приближённое значение произведения х и у.
РЕШЕНИЕ:
Перемножив 0,86 и 27,1, получим:
ху ≈
23,306.
Запишем данные числа и результат в стандартном виде:
0,86 = 8,6 × 10-1;
27,1 = 2,71 × 101;
23,306 = 2,3306 × 101.
В множителе 8,6 одна цифра после запятой, а в множителе 2,71
две цифры после запятой. Округлим число 2,2306 по первому данному, то есть до десятых.
Получим:
ху ≈ 2,3 × 101 = 23.
ПРИМЕР:
Пусть
х ≈ 60,2 и
у ≈ 80,1.
Найдём приближённое значение произведения х и у.
РЕШЕНИЕ:
Известно, что все выписанные цифры верны, так что
истинные величины могут отличаться от приближённых лишь сотыми, тысячными и так
далее долями.
В произведении получаем
4822,02. Здесь
могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц.
Пусть, например, сомножители получены округлением точных
чисел 60,23 и 80,14.
Тогда точное произведение будет 4826,8322, так что цифра единиц в приближённом произведении (2)
отличается от точной цифры (6) на 4 единицы.
ПРИМЕР:
Пусть
х ≈ 563,2 и
у ≈ 32.
Найдём приближённое значение частного х и у.
РЕШЕНИЕ:
Разделив 563,2 на 32, получим:
х :
у ≈ 17,6.
Запишем данные числа и результат в стандартном виде:
563,2 = 5,632 × 102;
32 = 3,2 × 10;
17,6 = 1,76 × 10.
Из этой записи видно, что число 1,76
следует округлить по второму данному, то есть до десятых. Получим:
х :
у ≈ 1,8 × 10
≈ 18.
При умножении и делении приближённых чисел нужно в
результатах сохранять столько значащих цифр, сколько их было в приближённом
данном с наименьшим числом значащих цифр.
Таким образом, при
сложении, вычитании, умножении и делении приближённых значений результат
округляется по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные
числа записываются в десятичных дробях и менее точное данное определяется по
абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записываются в
стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.
Теория приближённых
вычислений позволяет:
– зная степень точности данных, оценить степень
точности результатов ещё до выполнения действий;
– брать данные с надлежащей степенью точности,
достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком
большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчётов;
– рационализировать сам процесс вычисления,
освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры
результата.
Величины
Величины – это особые свойства реальных объектов или явлений. Например, свойство предметов иметь протяженность называется длиной. Это же слово мы употребляем, когда говорим о протяженности конкретных объектов.
Величины бывают однородные и разнородные. Однородные величины выражают одно и тоже свойство объектов некоторого множества. Например, длина дома и длина пути. Разнородные выражают различные свойства предметов. Например, длина комнаты и площадь комнаты.
Величины обладают следующими свойствами:
1. В пределах системы всех однородных величин устанавливается отношение неравенства: две величины а и b одного и того же рода или совпадают (a = b), или первая меньше второй (a < b), или вторая меньше первой (b > a). Например, длина гипотенузы больше длины катета, масса одного апельсина меньше массы одного арбуза, площадь детской комнаты равна площади спальни и т.д.
2. Величины одного и того же рода можно складывать. В результате получается величина того же рода: a + b = c, где сназывают суммой величин. Например, S S =S S S
3. Величину можно умножать на действительное число, получая величину того же рода: b = x a, где величина bназывается произведением. Например, длину отрезка АВ = а умножим на 5. Получим новый отрезок АС = 5а.
4. Величины одного и того же рода вычитают: с = а – b, т.е. с такая величина, что а = b + с. Например, масса яблок и груш равна а, масса яблок – b , тогда масса груш определится как а – b = с.
5. Величины одного и того же рода делят: с = а : b, где с – частное, т.е. с такая величина, что а = b c. Например, отношение длины отрезка АВ = а к длине отрезка АС = с равно 2.
А С В
6. Некоторые величины разного рода умножают и делят, получая в результате величину третьего рода. Например, S = v t, S = a h.
Измерение величин
Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу. В результате измерения величина получает определенное численное значение при выбранной единице. Если дана величина а и выбрана единица величины е, то в результате измерения величины а находят такое действительное число х, что а = хе. Это число х называют численным значением величины при единице е: х = m (а).
Например, 5 кг = 5g1кг, 10 м = 10 g1м.
При этом считают, что 1) равным величинам при одной и той же величине соответствуют равные числовые значения; 2) большей величине соответствует большее числовое значение при одной и той же единице е; 3) числовое значение суммы величин при одной и той же единице е равно сумме числовых значений слагаемых величин.
Используя определение умножения величины на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой.
Например, ч = 1ч, а 1ч = 60 мин. Следовательно,
ч = g 60 мин = 5 мин.
Операции над величинами
Операции над величинами сводятся к операциям над числами.
1. Если величины а и b
измерены при помощи единицы величины е, то отношения между величинами а и b будут такими же, как и отношения между их численными значениями: а = b m (a) = m (b)
а < b m (a) < m (b) а > b m (a) > m (b).
Например, 9 м > 5 м, так как 9 > 5.
2. Если величины а и b таковы, что b = ха, где х – положительное число и величина а измерена при помощи единицы е, то чтобы найти численное значение величины b при единице е, достаточно число х умножить на число m (a): b = ха m (b) = х g m (a).
Например, если масса b в 3 раза больше массы а, т.е. b = 3а и а = 5 кг, то b = 3а = 3 g (5кг)
= (3 g 5) кг = 15 кг.
3. Если величины а и b измерены при помощи единицы е, то чтобы найти численное значение суммы а + b, достаточно сложить численные значения а и b: а + b = с m (a + b) = m (a) + m (b).
Например, а = 10 см, b = 20 см, тогда а + b = 10 см + 20 см = (10 + 20) см = 30 см.
Смысл произведения и частного натуральных чисел, полученных в результате измерения величин
Если отрезок а состоит из р отрезков, равных е (а = р е), а отрезок е состоит из q отрезков равных е (е = q е), то мера отрезка а при единице длины е будет равна р q. Таким образом, умножение натуральных чисел как мер отрезков отражает переход к новой (более мелкой) единице длины (рис. 22).
Действительно, число частей отрезка а, равных отрезку е, выражается так: р + р + р + … + р = р q. Значит, а = (р q) е .
Пусть отрезок b состоит из m отрезков, равных е (b = me), а отрезок е состоит из n отрезков, равных е (е = ne). Тогда мера отрезка b при единице е будет равна m : n. Действительно, если е = ne, то е = е: n. Тогда b = me = m(е: n) = (m : n) е (рис. 23).
Таким образом, деление натуральных чисел, рассматриваемых как значения длин отрезков, отражает переход к новой (более крупной) единице длины.
Объясним смысл произведения 4 3, если 4 и 3 – числа, полученные в результате измерения величин.
Решение. Пусть 4 – мера измерения величины Х при единице е, а 3 – мера измерения величины е при единице е , т.е. е – первоначальная единица величины, е — новая единица величины. Тогда 4 3 – это численной значение величины Х при единице е (рис. 23). Пусть Х – длина отрезка а. Если е – первоначальная единица длины данного отрезка, то Х = 4е. Если е — новая единица длины, такая, что е = 3е , то Х = 4е = 4 (3 е) = (4 3) е = 12 е .
Объясним смысл частного 8 : 2, если 8 и 2 – числа, полученные в результате измерения величин.
Решение. Пусть 8 – мера измерения величины Х при единице е, а 2 – мера измерения величины е при единице е. Тогда 8 : 2 – это численное значение величины Х при единице е (рис.24). Пусть Х –длина отрезка b. Если е – первоначальная единица длины данного отрезка, то Х = 8 е. Если е — новая единица длины. Такая, что е = 2е, то Х = 8е = 8 (е : 2) = (8 : 2) е = 4 е .
Задача. В буфете было 5 банок сока, по 3 л в каждой банке. Сколько всего сока в этих банках? Обоснуем выбор способа действия при решении данной задачи.
Решение. В задаче идет речь о двух единицах объема, занимаемого соком, — банках и литрах. Сначала он измерен банками, а затем его надо измерить новой единицей – литром, причем известно, что в старой единице (банке) содержится 3 новые единицы (3 литра) (рис. 24). Значит, 5 1б = 5 (3 л) = 5 (3 1 л) = (5 3) 1 л = 15 л.
Таким образом, мы получили измерения объема сока в более мелкой единице – литрах.
Ответ: в буфете было 15 л сока.
Задача. Решим задачу и обоснуем выбор действий: «12 кг варенья надо разложить в банки, по 3 кг в каждую. Сколько банок потребуется?».
Р ешение. В задаче рассматривается две единицы измерения – килограмм и банка. В условии масса варенья измерена килограммами.
Так как в задаче требуется выразить результат измерения массы варенья в банках, т.е. в новой единице, и известно, что в новой единице содержится три старых (1 банка = 3 кг), то рассуждения, связанные с поиском численного значения массы при единице «банка» можно представить в таком виде: 12 кг = 12 1 кг = 12 б. = 12 ( 1 б.) = (12 ) 1 б. =(12 : 3) 1 б. = 4 1 б. = 4 банки (рис 25).
Следовательно, задача решается делением, поскольку нужно перейти от одной единицы величины к более крупной другой: 12 кг : 3 кг = 4 банки.
Ответ: потребуется 4 банки.
Единицы измерения длины
Единицы измерения длины: сантиметр, дециметр, метр, километр, миллиметр.
Площадью фигуры называют положительную величину, численное значение которой обладает следующими свойствами:
1. равные фигуры имеют равные площади,
2. если фигура разбивается на части, то площадь этой фигуры равна сумме площадей этих частей.
Площадь характеризуется теми же свойствами, что и длина, но заданы они на разных множествах: длина – на множестве отрезков, а площадь – на множестве плоских фигур. Условимся обозначать площадь S(F).
Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, это площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку е: S = eЕдиницы измерения длины. Например, если длина стороны единичного квадрата а, то его площадь аЕдиницы измерения длины.
Измерение площади состоит в сравнении площади данной фигуры с площадью единичного квадрата eЕдиницы измерения длины. Результатом этого сравнения является такое число х , что S(F)=x eЕдиницы измерения длины. Число х называют численным значением площади при выбранной единице площади.
Например, площадь квадрата со стороной 4 единицы равна 4Единицы измерения длины=16 единиц квадратных, если единицей площади является смЕдиницы измерения длины, то площадь фигуры равна 4 смЕдиницы измерения длины.
Рассмотрим некоторые приемы измерения площадей фигур.
Единицы измерения длиныЕдиницы измерения длиныЕдиницы измерения длиныЕдиницы измерения длины
S(F) = S(F1) + S(F2) + S(F3)
Натуральное число как значение длины отрезка. Смысл суммы и разности
Считают, что отрезок а состоит из отрезков а , а , …, а , если он является их объединением и никакие два из них не имеют общих внутренних точек, хотя и могут иметь общие концы.
Е сли отрезок а состоит из n отрезков, каждый из которых равен единичному отрезку е, то число n называют численным значением длины данного отрезка а при единице е: а = n е.Например, численным значением длины отрезка а, изображенного на рис. 17, при единице еявляется число 6: а= 6е. Если в качестве единицы выбрать другой отрезок, например е, то длина отрезка а будет состоять из 3 отрезков е : а = 3 е .
Таким образом, натуральное число как численное значение длины отрезка а показывает, из скольких единичных отрезков е слагается отрезок а. При выбранной единице е это число единственное.
В связи с таким подходом к натуральному числу сделаем два замечания:
1. При переходе к другой единице длины численное значение длины заданно отрезка изменяется, хотя сам отрезок остается неизменным. Так, если в качестве единицы длины выбрать длину отрезка е (рис.16), то мера длины отрезка х будет равна числу 3. Записать это можно так: Х = 3 Е .
2. Если отрезок х состоит из а отрезков, равных е, а отрезок у – из b отрезков, равных е, то а = b тогда и только тогда, когда отрезки х и у равны.
Аналогично можно истолковать смысл натурального числа и в связи с измерением других величин.
Пусть отрезок а состоит из отрезков b и с и b = mе, с = nе, где m и n – натуральные числа. Тогда отрезок b разбивается наm частей, каждая из которых равна единичному отрезку е, а отрезок с – на n таких частей. Весь отрезок а разбивается на m + nтаких частей. Тогда сумму натуральных чисел m и n можно рассматривать как значение длины отрезка а, состоящего из отрезков b и с, длины которых выражаются натуральными числами m и n: а = b + c = m (b) + n (c) = (m + n)e.
Например, числа 3 и 8 являются результатами измерения длин отрезков b и с при помощи единицы е, т.е. b = 3e, c = 8e, и отрезок а состоит из отрезков b и с. Тогда а = b + с = 3е + 8е = (3 + 
е = 11е.
Если отрезок а состоит из отрезков b и с, и длины отрезков а и b выражаются натуральными числами m и n при выбранной единице е, то длина отрезка с выражается как разность отрезков а и b и равна разности значений длин этих отрезков m – n. Т.е.разность натуральных чисел m и n можно рассматривать как значение длины отрезка с, являющегося разностью отрезков а и b, длины которых выражены натуральными числами m и n соответственно: с = а – b = m (a) – n (b) = (m – n)e.
Например, если отрезок а = 7е и состоит из отрезков b и с, причем b = 5е, то с = а – b = 7е – 5е = (7 – 5)е = 2е.
Такой подход к сложению и вычитанию натуральных чисел связан не только с измерением длин отрезков, но и с измерением других величин.
Обоснуем выбор действия задачи: « Купили 5 кг картофеля и 2 кг моркови. Сколько килограммов овощей купили?»
Решение. Изобразим массу картофеля в виде отрезка с, а массу моркови – в виде отрезка b. Тогда массу купленных овощей можно изобразить в виде отрезка, состоящего из отрезков b и с (рис.18).
Т ак как численное значение отрезка а равно сумме численных значений отрезков с и b, то массу купленных овощей можно найти действием сложения: а = с + b = n (c) + m (b) = (n + m)e = 5кг + 2кг = 5 1кг + 2 1кг = (5 + 2) 1кг = 7 1кг = 7кг.
Ответ: купили 7 кг овощей.
Рассмотрим другую задачу. Сестре 7 лет, а брат на 2 года старше сестры. Сколько лет брату? Решите задачу, обосновав выбор действий.
Р ешение. Изобразим возраст сестры с помощью отрезка а. Тогда возраст брата можно изобразить при помощи отрезка АВ, равного а, и отрезка ВС, изображающего 2 года (рис.19).
Так как значение длины отрезка с = АС равно сумме значений длин слагаемых отрезков, то возраст брата можно найти сложением: с = АВ + ВС = 7 лет + 2 года = 7 1год + 2 1год = (7 + 2) 1год = 9 лет.
Ответ: брату 9 лет.
Пример. Объясним, почему следующая задача решается при помощи вычитания: «Купили 6 кг фруктов, из них 4 кг яблок и остальные груши. Сколько килограммов груш купили?»
Р ешение. В задаче рассматривается масса фруктов, известно ее численное значение. Эта масса складывается из массы яблок, численное значение которой известно, и массы груш, численное значение которой нужно найти. Изобразим массу фруктов при помощи отрезка а, который состоит из отрезков b – массы яблок и с – массы груш (рис. 20). Тогда массу груш можно получить, вычитая из всей массы фруктов массу яблок. Численное значение массы груш тогда находят действием вычитания: с = а – b = m (a) – n (b) = (m – n)e. Т.о. с = 6 кг – 4 кг = 6 1 кг — 4 1 кг = (6 – 4) 1 кг = 2 кг.
Ответ: купили 2 кг груш.
Рассмотрим другой пример. От ленты отрезали 5 м, а потом еще 3 метра. Сколько метров ленты отрезали? Решите задачу и обоснуйте выбор действия.
Р ешение. Изобразим первый отрезанный кусок в 5 м с помощью отрезка а, а второй кусок в 3 м – при помощи отрезка b (рис. 21). Тогда всю длину отрезанной ленты можно изобразить при помощи отрезка с = а + b. Численное значение такого отрезка будет равно сумме численных значений длин отрезанных кусков: m (с) = m (а) + n (b). Значит, задача решается сложением: с = 5м + 3 м = 5 1м + 3 1м = (5 + 3) 1м = 8 м.
Ответ: отрезали всего 8 м ленты.
Длина отрезка, свойства длин отрезков
Назовем длиной отрезка положительную величину такую, что
1) равные отрезки будут иметь равные длины
2) если отрезок разбить на конечное число отрезков, то его длина будет равна сумме длин этих отрезков.
Основные свойства длин отрезков:
1) При выбранной единице длина отрезка выражается положительным действительным числом. И для каждого действительного числа существует отрезок, длина которого выражена этим числом.
2 ) Если два отрезка равны, то численные значения их длин т.ж. равны и обратно, при равенстве численных значений длин двух отрезков получаем равенство самих отрезков.
Е диницы измерения площади
Правила сравнения площадей и действий над ними
1. Если фигуры равны, то равны и численные значения их площадей. Но если площади фигур равны, то фигуры не будут равными.
Фигуры, у которых площади равны, называют равновеликими.
2 F1 F2 4
8 4 S(F1) = 16e , S(F2) = 16e
Е сли фигура F состоит из фигур F1, F2, F3, …Fn, то численное значение площади этой фигуры S(F) = S(F1) + S(F2) + …+ S(Fn) при одной и той же единице площади. Например: пусть площадь единичного квадрата равна
1 см . Тогда площадь данной фигуры будет следующей: S(F) = 16 (1 cм) = 16 см ;
S(F) = 4 S(F1) = 4 (4 cм) = 16 см;
S(F) = S(F1) + 3 S(F2) = 4 cм+ 3 (4 cм) =
= 16 см.
2. П ри замене единицы площади численное значение площади увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько новая единица меньше (больше) старой. Например: 7 см выразим в дециметрах. 1 дм = 10 см. Значит, 1 см = 0,01 дм . Следовательно, 7 см =
= 7 0,01 дм = 0,07 дм .
В начальной школе Windsor понятие площади фигуры формируется на основе сравнения фигур: так как квадрат помещается внутри круга, то его площадь меньше площади круга.
Площадь фигуры, учащиеся определяют с помощью палетки: 1) считают число квадратов, которые лежат полностью внутри фигуры; 2) считают число квадратов, через которые проходит контур фигуры. В результате получают приближенное значение площади. Если n – число целых квадратов, р – число квадратов, через которые прошел контур, то площадь фигуры может быть представлена так: n e < S(F) < (n + p) e . Тогда, чтобы найти приближенное значение площади фигуры F, достаточно сложить полученные численные значения площади по недостатку и по избытку и разделить эту сумму пополам.
S(F) = = .
Например, оказалось, что полных квадратов 12, квадратов, через которые прошел контур фигуры – 20. В результате получаем значение площади фигуры: 12 + 20 : 2 12 +10 = 22. Значит S(F) = 22 см
Единицы измерения объемов
Единицы измерения объемов: 1 см = 1000 м , 1 дм = 1000 см , 1 м = 1000 дм , 1 км =1000 000000 м .
Масса – одна из основных физических величин. Вес – это сила с которой тело притягивается землей. Поэтому вес тела зависит не только от самого тела. Например, он различен на разных широтах: на полюсе тело весит на 0,5% больше, чем на экваторе. Однако при своей изменчивости вес обладает особенностью: отношения весов двух тел в любых условиях остается неизменным.
С математической точки зрения масса – это такая положительная величина, которая обладает свойствами: 1) масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах. 2) масса складывается, когда тела соединяются вместе: масса нескольких тел, вместе взятых, равна сумме их масс.
Измерение массы производится с так же помощью весов. При этом выбирается единичное тело е, масса которого принимается за единицу. Можно взять и доли этой массы. На одну чашу весов кладут тело, которое измеряют, на другую _ тела, выбранные в качестве единицы массы (гири). Гирь должно быть столько, чтобы они уравновешивали первую чашку весов. В результате взвешивания получается численное значение массы данного тела. Это значение приближенное. Например, m = 15 кг 240 г. Число 15240 следует рассматривать как приближенное значение массы данного тела при единице массы – грамм: 1 г = 1/1000 кг.
Если сравнивать данное выше определение массы с определения длины, площади, то увидим, что масса характеризуется теми же свойствами, что и длина и площадь, но задана она на множестве физических тел.
Для численных значений массы справедливы все утверждения, сформулированные для длины. Т.е., сравнение масс, действия над ними сводятся к сравнению и действиям над их численными значениями при одной и той же единице массы.
Единицы измерения массы
Единицы измерения массы: 1 т = 1000 кг, 1 ц = 100 кг, 1 т =
= 10 ц, 1 кг = 1000 г. Основная единица массы – килограмм, из нее и образуются другие единицы.
Понятие времени более сложное, чем понятие длины и массы.
В обыденной жизни время – это то, что отделяет одно событие от другого. В математике и физике время рассматривают как скалярную величину, потому что промежутки времени обладают свойствами, похожими на свойства длины, площади, массы.
1) Промежутки времени можно сравнивать. Например, на один и тот же путь пешеход затратит времени больше, чем велосипедист.
2) Промежутки времени можно складывать. Например, лекция в вузе длится столько, сколько два урока в школе.
3) Промежутки времени можно вычитать. Так, например, можно найти разницу во времени движения лодки по течению и против течения.
4) Промежутки времени можно умножать на положительное число. Например, автомобиль проедет 60 км за 1 час, а 120 км за 2 часа
(1 час 2).
4) Промежутки времени измеряют. Но процесс измерения времени отличается от измерения длины. Для измерения длиныможно многократно использовать линейку, перемещая ее от точки к точке. Промежуток времени, принятый за единицу, может быть использован лишь один раз. Поэтому единицей времени может быть регулярно повторяющийся процесс. Такой единицей в Международной системе единиц названа секунда.
Единицы измерения времени
Единицы измерения времени: секунда, минута, час, сутки, год, неделя, месяц, век.
Рассмотрим, какие зависимости между величинами существуют.
Например, рассмотрим величины, связанные с равномерным прямолинейным движением: время (t), скорость (V), расстояние (S). Зависимость между ними выражается следующей формулой:
S = V t. Если при этом скорость принимает одно и то же значение, то зависимость между расстоянием S и временем t прямопропорциональна. Если же не меняется расстояние, то скорость V и время t оказываются связанными обратно пропорционально: V = S / t либо
t = S / V.
Прямопропорциональная зависимость между временем и расстоянием обладает свойством: во сколько раз увеличивается (уменьшается) время, во столько же раз увеличивается (уменьшается) пройденное расстояние.
Обратно пропорциональная зависимость выражается так:
во сколько раз во сколько раз увеличивается (уменьшается) время (скорость), во столько же раз уменьшается (увеличивается) скорость (время).
Многообразные зависимости существуют и между другими величинами: объемом и массой; стоимостью товара, количеством и ценой; объемом работы, временем работы и производительностью труда; количеством ткани, количеством изделий и расходом ткани на одно изделие и пр.
Рассмотрим зависимости между другими величинами.
Цена – стоимость в деньгах. Например, цена билета. Стоимость – это выраженная в деньгах ценность чего-нибудь или величина затрат на что-нибудь. Цена отражает уровень общественно необходимых затрат труда. Стоимость определяется общественно необходимым рабочим временем. Зависимость между этими величинами может быть такой: стоимость = количество товара на цену.
Задача. Выразить в сантиметрах 9 дм 6 см, 8 см 79 мм: так как 1 дм = 10 см, а 1 см = 10 мм, то 9 дм 6 см = 90 см + 6 см = 96 см;
8 см 79 мм = 8 см + 7 см + 0,9 см = 15,9 см.
Выразить метрах 2 км 300 м, 2 км 10 дм 5 мм. В 1 км содержится 1000 м, в 1 м – 10 дм, 1 м = 1000 мм, то 2 км 300 м = 2000 м + 300 м = = 2300 м; 2 км 10 дм 5 мм = 2000 м + 1 м + 0,005 м = 2001,005 м.
Выразить в килограммах: 750 г, 3 т 7 ц. Так как в 1 кг содержится 1000 г, а в 1т – 1000 кг, в 1 ц – 100 кг, то 750 г = 0,75 кг, 3 т 7 ц =
= 3000 кг + 700 кг = 3700 кг.
Выразить в минутах: 8 ч 12 с, 4 ч 25 мин. Так как 1 ч = 60 мин,
1 мин = 60 с, то 8 ч 12 с = 8
Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/217857-velichiny-i-ih-izmerenija
Понятие
измерения величины. Свойства скалярных величин.
Величина –
неопределяемое понятие.
(Мы понимаем так:
величина – это размер. Аристотель писал: «То или иное количество есть
множество, если его можно счесть; есть величина, если его можно измерить».)
Под величиной
понимают особые свойства реальных объектов или явлений.
-Какие величины вы
знаете? (дл, масса, емкость…)
-Какие тройки
взаимосвязанных величин? (ск, вр, рас)
-Каким методом
пользуется учитель в нач. школе при ознакомлении с величинами (длиной)?
(практическим)
Длина – это свойство предметов иметь протяжённость.
Масса – с математической точки зрения это такая
положительная величина, которая обладает свойствами:
1)
масса одинакова у тел,
уравновешивающих друг друга на весах;
2)
масса складывается, если
тела соединяются вместе.
-Какие бывают
величины?
(Разнородные
величины- величины, которые выражают разные свойства объектов.
Однородные величины)
-Какие ещё бывают
величины? (в геометрии векторная, скалярная; положительная, отрицательная;
переменная, постоянная).
-Какие величины
называются скалярными?
(Скалярные
величины – величины, не
имеющие направления или которые определяются одним численным значением.)
-Назовите свойства
скалярных величин.
Свойства однородных скалярных величин
- Любые две однородные величины сравнимы: они либо
равны, либо одна меньше другой.
Т.е. для любых величин a и b справедливо одно и только одно из отношений:
a > b V a < b V a = b
(
« a, b Î N0 ) a
> b V a
< b V a =
b
Например, длина
гипотенузы больше длины катета; масса яблока меньше массы арбуза, длины
противоположных сторон прямоугольника равны.
2. Величины одного рода можно складывать,
в результате сложения получается величина того же рода,
Т.е. для любых величин a и b однозначно определяется величина
a + b, которая называется сумма величин a и b.
« a, b $ единств. величина a + b
Например: пусть а-
длина отрезка АВ, в – длина отрезка ВС. Тогда длина отрезка АС равна сумме
длин отрезков АВ и ВС.
3.Величину можно умножать на
неотрицательное действительное число, получая в результате число того же рода.
Т.е. если величину a умножить на неотрицательное действительное число x, то существует
единственная величина b= x
● a , где b называется произведением
величины a на число x.
Например: если длину а отрезка АВ умножить на
х=2, то получим длину 2а нового отрезка АС.
пусть a =| АВ | ,
|___________|__________|
А В С
4.Величины
одного рода вычитают, определяя разность величин через сумму:
разностью величин а и в называется такая величина с, что a = b + с.
Например: Пусть а – длина отрезка АС, в – длина
отрезка АВ, тогда длина ВС есть разность длин АС и АВ.
|___________|__________|
А в В С
а =| АС |
в =| АВ |
с= а-в =| ВС |
| АС |—| АВ | =| ВС |
5.
Величины одного рода делят, определяя частное через произведение
величины на число:
Частным величин а и в называется такое неотрицательное действительное число
х,
что
а = x
● b.
а = x частное чисел а и
в называют отношением величин.
b
Понятие измерения величины. Свойства скалярных величин.
Определение: Измерить величину значит сравнить её
с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу.
Определение: Если дана величина а и выбрана единица
величины е, то в результате измерения величины а находят такое действительное число х, что а = x ● е.
Числоx называют численным значением величины а при
единице величины е.
Символически это записывают так: x = me (а)
Например, 8 кг = 8 1 кг.
12 см = ….
Используя это, а также определение умножения величины
на число, можно обосновать процесс перехода от одной единицы величины к другой.
Пример:
Выразить 1/5 часа в минутах.
1/5 ч = 1/5 ● 1 ч = 1/5 ● 60 мин = 60/5 мин = 12 мин.
Измерение величин позволяет свести сравнение их к
сравнению чисел; операции над величинами к операциям над числами.
Не следует смешивать длину (она одна для отрезка) с
численным значением длины, оно различно в зависимости от единицы измерения.
АВ = 4 см = 40
мм = 0,4 м
Свойства скалярных величин
1.
Если величины а и в
измерены при помощи единицы величины е, то отношения между величинами а и в
будут такими же, как и отношения между их численными значениями и наоборот:
а= в <=> me (а) = me (в)
а < в <=> me (а) < me (в)
а > в <=> me (а) > me (в)
Пример: Сравните: 8
кг и 6 кг
8 кг > 6 кг, так как 8 > 6 .
2.
Если величины а и в
измерены при помощи единицы величины е, то чтобы найти численное значение суммы
а + в,
достаточно сложить численные значения величин а и в:
а + в = с <=> me (а + в) = me (а) + me (в)
Например, а = 3m, в = 7
m
а
+в = 3m+ 7
m = (3+ 7) m = 10 m
3.
Если величины а и в
таковы, что b = x ● а, где х –
положительное действительное число, и величина а измерена при помощи единицы
величины е, то чтобы найти численное значение величины
в при единице е,
достаточно число х умножить на число me (а).
b = x ● а <=> me (в) = x ● me (а)
Например, а = 5
км, b в 3 раза больше длины а, то есть
b
= 3 ● а = 3 ● (5
км) = (3● 5) км = 15 км
В начальном курсе математики, в частности в системе
Л.В. Занкова, операции над величинами выполняются параллельно с операциями над
их численными значениями. Например, в теме «Сложение отрезков» результат
сложения можно найти 2 способами.
а =5см, в = 4
см. найти а+в.
Первый способ заключается в том, что строится отрезок = 5см и
подстраивается 4 см. Получится всего 9
см.
Второй способ. 5 см + 4 см = 9
см и затем строят отрезок после операций над числами.