Логарифмы степени числа — свойства с примерами, как решать задачи
Содержание:
- Что такое логарифм степени числа и как его посчитать
- Основные свойства логарифмов
- Примеры логарифмов с решением, пояснения
- Задачи для самостоятельной работы
Что такое логарифм степени числа и как его посчитать
Логарифм по основанию а от b представляет собой число t, демонстрирующее степень, в которую требуется возвести а для получения в результате b:
(Large{{log_a{b}=tquadLeftrightarrowquad a^t=b }})
Здесь a>0, b отлично от нуля и является положительным.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
По той причине, что степень может иметь любое значение без какого-либо предела, имеем:
(tin mathbb{R})
В результате получается вывести главное логарифмическое тождество.
Основное логарифмическое тождество является соотношением, записанным в виде:
(Large{a^{log_ab}=b})
Исходя из рассмотренных закономерностей, справедливы следующие соотношения:
({large{begin{array}{|ll|l|} hline qquad qquad qquad qquad {small{text{Формулы}}} && qquad qquad{small{text{Ограничения}}}\ &&\ hline textbf{(1)} log_a1=0&&a>0, ane 1\ &&\ textbf{(2)} log_aa=1 &&a>0, ane 1\ &&\ textbf{(3)} log_{a}{b^m}=mlog_a|b|&(m — {small{text{четн.}}})&a>0, ane 1, bne 0\ &&\ textbf{(4)}log_{a}{b^m}=mlog_ab& (m — {small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(5)} log_{a^n}{b}=frac 1nlog_{|a|}b&(n — {small{text{четн.}}})&ane 0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(6)}log_{a^n}b=frac1nlog_ab&(n — {small{text{нечетн.}}})&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(7)} log_a{bc}=log_a|b|+log_a|c|&&a>0, ane 1, bcne 0\ &&\ textbf{(8)} log_a{dfrac bc}=log_a|b|-log_a|c|&&a>0, ane 1,bcne 0 \ &&\ textbf{(9)} a^{log_ab}=b &&a>0, ane 1, b>0\ &&\ textbf{(10)}c^{log_ab}=b^{log_ac}&&a>0, ane 1, b>0, c>0\ &&\ textbf{(11)} log_abcdot log_bc=log_ac && a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\ &&\ textbf{(11′}) log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}&&a>0, ane 1,b>0, bne 1, c>0\ &&\ &&\ {small{text{ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:}}}&& \ textbf{(12)} log_abcdot log_ba=1 && a>0, ane 1, b>0, bne 1\ &&\ textbf{(12′}) log_ab=dfrac1{log_ba}&&a>0, ane 1, b>0, bne 1\ &&\ hline end{array}}})
Если все условия, связанные с ограничениями, выполняются, то эти формулы справедливы в прямом и обратном направлениях.
Логарифм степени какого-либо числа представляет собой результат умножения логарифма модуля основания данной степени и показателя этой степени:
(log_{a}x^r=r cdot log_{a}|x|)
В данном случае (x^r,a > 0), (a ne 1).
Разберем наглядный пример такой взаимосвязи. Предположим, что имеется некое выражение, значение которого требуется определить:
(log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121)
Рассмотрим выражение, записанное под знаком логарифма, и решим, что с ним делать. Заметим, что его можно переписать как основание логарифма в степени. Воспользуемся свойством логарифма степени, изученным ранее, и выполним преобразования:
(log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121=log_{5}5^{-3}+log_{11}11^2=-3log_{5}5+2log_{11}11)
Известно, что:
(log_{a}a=1)
Доведем вычисления до конца:
(log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121=log_{5}5^{-3}+log_{11}11^2=-3log_{5}5+2log_{11}11=-3+2=-1)
Ответ: (log_{5} frac{1}{125}+log_{11}121=-1.)
В процессе решения задач в разных главах разделов тригонометрии может потребоваться обратный перевод определения логарифма степени числа. Заметим, что оно также является справедливым.
Коэффициент, записанный перед знаком логарифма, допустимо заносить в степень выражения, находящегося под знаком логарифма:
(s log_{a}x=log_{a}x^s)
Здесь a и b > 0, a≠1.
Рассмотрим наглядный пример. Пусть дано выражение, которое требуется упростить:
(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7)
Воспользуемся логарифмическим свойством, чтобы записать степень за знаком логарифма:
(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=6 cdot 2 log_{13}x-7 log_{13}x=12 log_{13}x-7 log_{13}x=5 log_{13}x)
Если под логарифмический знак записать коэффициент в виде числа 5, то получим:
(6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=6 cdot 2 log_{13}x-7 log_{13}x=12 log_{13}x-7 log_{13}x=5 log_{13}x=log_{13}x^5.)
Основные свойства логарифмов
При решении задач на логарифмы, в том числе, для вычисления логарифма степени числа и поиск натуральных корней, полезно знать несколько свойств. Благодаря несложным закономерностям, можно сделать проще даже самое сложное выражение.
1. Рассмотрим свойство степени аргумента, записанное в виде уравнения:
({{log }_{a}}{{a}^{x}}=x)
Докажем, что записанное соотношение справедливо. Предположим, что:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
В результате получим:
(frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}=frac{{{log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{log }_{c}}a}=frac{x{{log }_{c}}a}{{{log }_{c}}a}=x={{log }_{a}}b)
Данное свойство доказано.
2. Следующее свойство суммы логарифмов состоит в том, что при сложении логарифмов, имеющих одинаковые основания, получается в результате логарифм произведения:
({{log }_{a}}b+{{log }_{a}}c={{log }_{a}}left( bcdot c right))
Начнем доказательство со следующего предположения:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
Представим, что:
({{log }_{a}}c=y)
В таком случае:
({{a}^{y}}=c)
В результате получим, что:
({{log }_{a}}left( bcdot c right)={{log }_{a}}left( {{a}^{x}}cdot {{a}^{y}} right)={{log }_{a}}{{a}^{x+y}}underset{text{по правилу 1}}{mathop{=}},x+y={{log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}c)
Свойство суммы логарифмов доказано.
3. Свойство разности логарифмов звучит так: разность двух логарифмов, имеющих идентичные основания, равна логарифму частного. Это утверждение можно выразить формулой:
(lo{{g}_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c})
Доказательство данного свойства аналогично сумме логарифмов. Предположим, что:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
Представим, что:
({{log }_{a}}c=y)
В таком случае:
({{a}^{y}}=c)
В результате получим, что:
({{log }_{a}}left( frac{b}{c} right)={{log }_{a}}left( frac{{{a}^{x}}}{{{a}^{y}}} right)={{log }_{a}}{{a}^{x-y}}=x-y={{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c)
({{log }_{a}}b-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}left( frac{b}{c}cdot c right)-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}+{{log }_{a}}c-{{log }_{a}}c={{log }_{a}}frac{b}{c}.)
4. Следующее свойство призвано упростить вынесение показателя степени из аргумента логарифма. Оно состоит в следующем: при наличии в аргументе логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма. Справедливым является следующее соотношение:
({{log }_{a}}{{b}^{n}}=ncdot {{log }_{a}}b)
Доказать данное утверждение можно с помощью определения логарифма. Представим, что:
({{log }_{a}}b=x)
В таком случае:
({{a}^{x}}=b)
Получим, что:
({{log }_{a}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}{{left( {{a}^{x}} right)}^{n}}={{log }_{a}}{{a}^{nx}}=nx=ncdot {{log }_{a}}b)
Утверждение доказано. Также существует другой вариант записи свойства:
({{log }_{a}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}left( underbrace{bcdot bcdot …cdot b}_{ntext{ раз}} right)text{ }underset{text{правило} text{2}}{mathop{=}},text{ }underbrace{{{log }_{a}}b+lo{{g}_{a}}b+…+{{log }_{a}}b}_{ntext{ раз}}=ncdot {{log }_{a}}b.)
Таким образом, степень аргумента допустимо записывать перед логарифмом в виде коэффициента.
5. Следующее свойство позволит выносить показатель степени из основания логарифма. Такое действие реализуемо, так как при наличии в основании логарифма степени ее показатель допустимо выносить за знак логарифма:
({{log }_{{{a}^{n}}}}b=frac{1}{n}cdot {{log }_{a}}b)
Докажем записанное соотношение, предположив, что:
({{log }_{a}}b=x), тогда (displaystyle {{a}^{x}}=b)
В таком случае:
({{log }_{{{a}^{n}}}}b={{log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{x}}={{log }_{{{a}^{n}}}}{{a}^{frac{xcdot n}{n}}}={{log }_{{{a}^{n}}}}{{left( {{a}^{n}} right)}^{frac{x}{n}}}=frac{x}{n}=frac{1}{n}cdot {{log }_{a}}b.)
Свойство доказано. Здесь следует отметить, что степень можно вынести из основания в виде обратного числа.
6. Существует свойство, позволяющее выносить показатель степени из основания и аргумента логарифма. Свойство заключается в следующем: при наличии степеней в основании и аргументе логарифма их показатели допустимо выносить за знак логарифма, то есть:
({{log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{m}}=frac{m}{n}cdot {{log }_{a}}b)
В том случае, когда степени не отличаются друг от друга, применимо следующее правило:
({{log }_{{{a}^{n}}}}{{b}^{n}}={{log }_{a}}b.)
7. Другое свойство логарифма оговаривает процесс перехода к новому основанию. В том случае, когда логарифмы обладают разными основаниями, целесообразно при решении задачи перейти к логарифмам, имеющим одинаковое основание:
({{log }_{a}}b=frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}text{ }left( c>0;text{ }ne text{1} right))
Здесь доказательство свойства построено на следующем предположении:
({{log }_{a}}b=x,) тогда (displaystyle {{a}^{x}}=b)
В таком случае:
(frac{{{log }_{c}}b}{{{log }_{c}}a}=frac{{{log }_{c}}{{a}^{x}}}{{{log }_{c}}a}=frac{x{{log }_{c}}a}{{{log }_{c}}a}=x={{log }_{a}}b.)
8. В большинстве случаев при решении заданий на логарифмы используют свойство смены мест основания и аргумента логарифма. Допустимо переставлять основание и аргумент логарифма. При этом следует «перевернуть» все выражение, то есть записать логарифм в знаменатель:
({{log }_{a}}b=frac{1}{{{log }_{b}}a},text{ }left( bne 1 right))
Данное свойство является частным случаем записанного ранее правила. При подстановке c=b получается, что:
({{log }_{a}}b=frac{{{log }_{b}}b}{{{log }_{b}}a}=frac{1}{{{log }_{b}}a}.)
Примеры логарифмов с решением, пояснения
Задача 1
Дано выражение, значение которого требуется определить:
(log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25)
Решение
Данное выражение можно преобразовать. Для этого следует вспомнить свойство логарифма степени. С его помощью нужно вынести имеющиеся степени за знак логарифма. Далее пригодится следующее соотношение:
(log _{a} a=1.)
Выполним вычисления:
(log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25=log _{2} 2^{-3}+log _{5} 5^{2}=-3 cdot log _{2} 2+2 cdot log _{5} 5=-3+2=-1)
Ответ: ( log _{2} frac{1}{8}+log _{5} 25=-1)
Требуется упростить следующее выражение:
(2 log _{7} 4-log _{7} 
Решение
Данное выражение можно упростить. Перепишем его с помощью свойства логарифма степени. В процессе следует записать число 2 под знак логарифма. Затем удобно применить свойство разности логарифмов. Выполним вычисления:
(2 log _{7} 4-log _{7} 8=log _{7} 4^{2}-log _{7} 8=log _{7} 16-log _{7} 8=log _{7} frac{16}{8}=log _{7} 2)
Ответ: (2 log _{7} 4-log _{7} 8=log _{7} 2)Задача 2
Задача 3
Дано выражение, значение которого необходимо вычислить:
(lo{{g}_{5}}250-{{log }_{5}}2)
Решение
Воспользуемся свойствами логарифма и выполним вычисления:
({{log }_{5}}250={{log }_{5}}left( 125cdot 2 right)={{log }_{5}}left( {{5}^{3}}cdot 2 right)={{log }_{5}}{{5}^{3}}+{{log }_{5}}2=3+{{log }_{5}}2)
Заметим, что:
({{log }_{5}}250-{{log }_{5}}2=3+{{log }_{5}}2-{{log }_{5}}2=3)
Ответ: 3.
Задача 4
Нужно упростить следующее выражение:
(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3)
Решение
Воспользуемся формулами сокращенного умножения, а именно — разностью квадратов:
(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}=left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right).)
Тогда, согласно свойствам логарифма:
(log _{2}^{2}2sqrt{3}-log _{2}^{2}sqrt{3}-{{log }_{2}}3= left( {{log }_{2}}2sqrt{3}-{{log }_{2}}sqrt{3} right)left( {{log }_{2}}2sqrt{3}+{{log }_{2}}sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3={{log }_{2}}frac{2sqrt{3}}{sqrt{3}}cdot {{log }_{2}}left( 2sqrt{3}cdot sqrt{3} right)-{{log }_{2}}3={{log }_{2}}2cdot {{log }_{2}}left( 2cdot 3 right)-{{log }_{2}}3=1cdot left( 1+{{log }_{2}}3 right)-{{log }_{2}}3=1)
Ответ: 1.
Задача 5
Необходимо определить значение следующего выражения:
(frac{{{log }_{2}}25}{{{log }_{2}}5})
Решение
Воспользуемся свойствами логарифма и запишем вычисления:
(frac{{{log }_{2}}25}{{{log }_{2}}5}=frac{{{log }_{2}}{{5}^{2}}}{{{log }_{2}}5}=frac{2{{log }_{2}}5}{{{log }_{2}}5}=2)
Ответ: 2.
Задачи для самостоятельной работы
Задача 6
Даны выражения, которые нужно упростить, используя свойства логарифма:
({{log }_{3}}4-{{log }_{3}}12)
({{log }_{0,3}}3-{{log }_{0,3}}10)
({{log }_{1,75}}28+{{log }_{1,75}}2-{{log }_{1,75}}32)
(lg sqrt{0,05}-lg sqrt{5})
({{lg }^{2}}2sqrt{5}-{{lg }^{2}}5sqrt{2}-frac{3}{2}lg sqrt{frac{2}{5}})
Задача 7
Требуется найти значения для следующих выражений:
(displaystyle frac{{{log }_{2}}81}{{{log }_{2}}3})
(displaystyle frac{{{log }_{3}}125}{{{log }_{3}}625})
(displaystyle frac{log _{5}^{2}25sqrt{10}-log _{5}^{2}sqrt{10}}{{{log }_{5}}250})
Задача 8
Нужно определить значения записанных ниже выражений:
({{log }_{5}}75+{{log }_{5}}frac{1}{3})
({{log }_{3}}36-2{{log }_{3}}2)
({{log }_{8sqrt[5]{4}}}left( 32sqrt[5]{2} right))
(frac{log _{5}^{2}25sqrt{10}-log _{5}^{2}sqrt{10}}{{{log }_{5}}250})
Логарифм в показателе степени
Для преобразования выражений, содержащих логарифм в показателе степени числа (или выражения), используют основное логарифмическое тождество.
Рассмотрим на примерах, как упростить выражение, содержащее в показателе степени логарифмы.
![[1){4^{frac{1}{2} + {{log }_2}5}}]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f49e707023ef351505a37fe86bd2745e_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
По свойству степени
![[{a^{m + n}} = {a^m} cdot {a^n}]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7bbf241de17c4d65ff43f710170d8377_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
от степени с суммой в показателе переходим к произведению степеней
![[1){4^{frac{1}{2} + {{log }_2}5}} = {4^{frac{1}{2}}} cdot {4^{^{{{log }_2}5}}} = ]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8407e573a93aa192e42b4aedd8b6651f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
От степени с рациональным показателем переходим к корню; основание степени преобразовываем, чтобы можно было использовать основное логарифмическое тождество:
![[ = sqrt 4 cdot {({2^2})^{{{log }_2}5}} = 2 cdot {2^{2{{log }_2}5}} = ]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4800fdfa7350d1dc8a1d00efbd64a1c2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ = 2 cdot {2^{{{log }_2}{5^2}}} = 2 cdot {5^2} = 50;]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-5ef9c30d9d1ba584b363822a77f61384_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[2){9^{2 - {{log }_3}7}}]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00c7a8abf7f8c54f4d45b315f34243a2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Применим свойство степени
![[{a^{m - n}} = frac{{{a^m}}}{{{a^n}}}]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf31a7897c4ba42509115e517afb5e6d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[{9^{2 - {{log }_3}7}} = frac{{{9^2}}}{{{9^{{{log }_3}7}}}} = ]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-edcfabcf4fdae716a5df7dde870603d2_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ = frac{{81}}{{{3^2}^{{{log }_3}7}}} = frac{{81}}{{{3^{{{log }_3}{7^2}}}}} = frac{{81}}{{{7^2}}} = frac{{81}}{{49}} = 1frac{{32}}{{49}};]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-00a75a41b34d98614394385a8b278253_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[3){2^{{{log }_4}3 + {{log }_8}5}}]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0e51dd84f01a386f34e5c0d691c57f03_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Значение выражения можно найти двумя способами.
1 способ
Логарифмы, стоящие в показатели степени, приведем к одинаковым основаниям:
![[{2^{{{log }_4}3 + {{log }_8}5}} = {2^{{{log }_{{2^2}}}3 + {{log }_{{2^3}}}5}} = ]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1e33e9a1f7a4a6a6931ab141f0900a27_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
показатель степени, стоящей в основании логарифма, вынесем за знак логарифма, затем внесём в показатель степени числа, стоящего под знаком логарифма:
![[ = {2^{frac{1}{2}{{log }_2}3 + frac{1}{3}{{log }_2}5}} = {2^{{{log }_2}{3^{frac{1}{2}}} + {{log }_2}{5^{frac{1}{3}}}}} = ]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9ee14da22e5d53fc3442f3f81dfc98cc_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Сумма логарифмов равна логарифму произведения. Затем применим основное логарифмическое тождество:
![[ = {2^{{{log }_2}({3^{frac{1}{2}}} cdot {5^{frac{1}{3}}})}} = {3^{frac{1}{2}}} cdot {5^{frac{1}{3}}} = sqrt 3 cdot sqrt[3]{5} = ]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-19d9919b266a1f963affcd3ebb4778ab_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ = sqrt[6]{{{3^3} cdot {5^2}}} = sqrt[6]{{675}};]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d6a6a47e1f476ba0dacb9e4199af7dae_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
2 способ:
Перейдем к произведению степеней, затем каждый множитель преобразуем отдельно:
![[{2^{{{log }_4}3 + {{log }_8}5}} = {2^{{{log }_4}3}} cdot {2^{{{log }_8}5}} = ]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a3a5b555d67d2bc39a2c741c313c4178_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ = {2^{frac{1}{2}{{log }_2}3}} cdot {2^{frac{1}{3}{{log }_2}5}} = {({2^{{{log }_2}3}})^{frac{1}{2}}} cdot {({2^{{{log }_2}5}})^{frac{1}{3}}} = ]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-db77bd92edb927345bdc43ff4316017b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ = {3^{frac{1}{2}}} cdot {5^{frac{1}{3}}} = sqrt[6]{{675}};]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-9dfc2cc1dd5ddf019c0597792bca6d64_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[4){({10^{frac{{{{log }_8}7}}{{{{log }_4}7}}}} cdot {7^{frac{{{{log }_{27}}10}}{{{{log }_9}10}}}})^{{{log }_{70}}125}} = ]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-56cebeee289705c40ac7a9913b9a92ce_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Выносим показатели степеней из оснований перед логарифмами:
![[ = {({10^{frac{{frac{1}{3}{{log }_2}7}}{{frac{1}{2}{{log }_2}7}}}} cdot {7^{frac{{frac{1}{3}{{log }_3}10}}{{frac{1}{2}{{log }_3}10}}}})^{{{log }_{70}}125}} = ]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-f29c99dcdeba595a9a70556dcfa37c14_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
После этого дроби можно сократить:
![[ = {({10^{frac{2}{3}}} cdot {7^{frac{2}{3}}})^{{{log }_{70}}125}} = {70^{frac{2}{3}{{log }_{70}}125}} = ]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-78c612011170009f6c7b72cb5fa1aa9c_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![[ = {70^{{{log }_{70}}{{125}^{frac{2}{3}}}}} = {125^{frac{2}{3}}} = {5^{3 cdot frac{2}{3}}} = {5^2} = 25.]](https://www.logarifmy.ru/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bf883789d5df3a2006168e1656692cd9_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Наталья Игоревна Восковская
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Логарифм степени основания
Определение 1
Значением логарифма степени числа, которое равно основанию логарифма, является показатель этой степени:
$log_{a}a^s=s$
при $a > 0$, $a ne 1$,
$s$ – любом числе.
Данное свойство вытекает из определения логарифма. С его помощью можно сразу найти значение логарифма при условии, что число, которое стоит под знаком логарифма, можно записать в виде степени числа, являющегося основанием данного логарифма.
Пример 1
$log_{11}{11^8}=8$;
$lg10^{-17}=-17$;
$log_{sqrt{8,7}}(sqrt{8,7})^{7,23}=7,23$.
Логарифм степени числа
Определение 2
Логарифм степени любого числа равен произведению логарифма модуля основания этой степени на показатель степени:
$log_{a}x^r=r cdot log_{a}|x|$
при $x^r,a > 0$, $a ne 1$.
Пример 2
Найти значение выражения $log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121$.
Решение.
Представим подлогарифмические выражения в виде основания логарифма в степени и используем свойство логарифма степени:
$log_{5}frac{1}{125}+log_{11}121=log_{5}5^{-3}+log_{11}11^2=-3log_{5}5+2log_{11}11=$
воспользуемся равенством $log_{a}a=1$:
$=-3+2=-1$.
Ответ: $log_{5} frac{1}{125}+log_{11}121=-1$.
При вычислении логарифмов справедливым является и обратное определение:
Определение 3
Коэффициент, который стоит перед логарифмом можно внести в степень подлогарифмического выражения:
$s log_{a}x=log_{a}x^s$
при $a,b > 0$, $a ne 1$.
Пример 3
Упростить $6 log_{13}x^2-log_{13}x^7$.
Решение.
Используем свойство логарифма степени и вынесем степень за знак логарифма:
$6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=6 cdot 2 log_{13}x-7 log_{13}x=12 log_{13}x-7 log_{13}x=5 log_{13}x=$
внесем коэффициент $5$ под знак логарифма:
$=log_{13}x^5$.
Ответ: $6 log_{13}x^2-log_{13}x^7=log_{13}x^5$.
«Логарифм степени» 👇
Логарифм корня
Определение 4
Следствием из свойства логарифма степени числа является свойство логарифма степени в виде дроби:
$log_{a}sqrt[r]{x}=frac{1}{r} cdot log_{a}x$
при $a,x > 0$, $a ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.
Пример 4
$log_{7,8}sqrt[6]{2}=log_{7,8}2^{frac{1}{6}}=frac{1}{6}log_{7,8}2$.
Пример 5
Найти значение выражения $lgsqrt[3]{10x}$, если $lgx=frac{5}{7}$.
Решение.
Используем свойство логарифма корня:
$lgsqrt[3]{10x}=frac{1}{3}lg10x=$
воспользуемся свойством логарифма произведения:
$frac{1}{3} (lg10+lgx )=frac{1}{3} (1+frac{5}{7})=frac{1}{3} cdot frac{12}{7}=frac{12}{21}$.
Ответ: $lgsqrt[3]{10x}=frac{12}{21}$.
Также можно применять и обратное свойство:
Определение 5
Если перед логарифмом стоит дробь, то ее можно внести в степень подлогарифмического выражения:
$frac{1}{r} cdot log_{a}x=log_{a}sqrt[r]{x}$
при $a,x > 0$, $a ne 1$, $r$ – натуральное число, $r > 1$.
Пример 6
Вычислить $frac{1}{4}log_{12}16+log_{12}6$.
Решение.
Применим свойство логарифма корня:
$frac{1}{4}log_{12}16+log_{12}6=log_{12}sqrt[4]{16}+log_{12}6=log_{12}2+log_{12}6=$
используем свойство суммы логарифмов:
$=log_{12}2 cdot 6=log_{12}12=1$.
Ответ: $frac{1}{4}log_{12}16+log_{12}6=1$.
При вычислении логарифмов зачастую встречаются случаи, когда основание логарифма и число, для которого вычисляется логарифм, можно записать в виде степени одного и того же числа. Тогда для упрощения вычислений пользуются формулой:
$log_{a^x}a^y=frac{y}{x}$.
Данная формула дает возможность практически моментально получить значение рассматриваемого логарифма при его кажущейся сложности записи.
Рассмотрим пример, который покажет удобство использования данной формулы.
Пример 7
Вычислить $log_{27}9sqrt[7]{81}$.
Решение.
Запишем основание логарифма $27$ и подлогарифмическое выражение $9sqrt[7]{81}$ в виде степени числа $3$:
$log_{27}9sqrt[7]{81}=log_{3^3}3^2 cdot 3^{frac{4}{7}}=log_{3^3}3^{frac{18}{7}}=$
теперь воспользуемся рассматриваемой формулой:
$=frac{frac{18}{7}}{3}=frac{18}{7 cdot 3}=frac{6}{7}$.
Ответ: $log_{27}9sqrt[7]{81}=frac{6}{7}$.
Пример 8
Вычислить $log_{sqrt[11]{8}}frac{x^3}{16}$, если $log_{sqrt[11]{8}}x=13$.
Решение.
Применим свойство логарифма дроби:
$log_{sqrt[11]{8}}frac{x^3}{16}=log_{sqrt[11]{8}}x^3-log_{sqrt[11]{8}}16=$
к первому логарифму применим свойство логарифма степени, а во втором в основании логарифма и подлогарифмическом выражении перейдем к степеням числа $2$:
$=3 log_{sqrt[11]{8}}x-log_{2^{frac{3}{11}}}2^4=$
подставим условие $log_{sqrt[11]{8}}x=13$ в первый логарифм и применим рассмотренное свойство для логарифма степени ко второму логарифму:
$=3 cdot 13-frac{4}{frac{3}{11}}=39-4 cdot frac{11}{3}=39-frac{44}{3}=frac{73}{3}=24 frac{1}{3}$.
Ответ: $log_{sqrt[11]{8}}frac{x^3}{16}=24 frac{1}{3}$.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Логарифм по основанию (a) от (b) – это число (t), которое показывает, в какую степень нужно возвести (a), чтобы получить (b).
Ограничения: числа (a) и (b) такие, что (a>0, ane 1, b>0).
Таким образом, верно основное логарифмическое тождество [Large{{color{royalblue}{a^t=b quadLeftrightarrowquad
log_a{b}=t}}}]
Т.к. мы имеем право возводить в любую степень, то (tin
mathbb{R}).
(blacktriangleright) Если (a,b,c) – числа, удовлетворяющие ограничениям: (a,b,c>0, ane 1), то справедливы следующие формулы:
[begin{array}{|ccc|}
hline textbf{(1)} log_a1=0&&textbf{(2)} log_aa=1\
&&\
textbf{(3)} log_{a^n}{b^m}=frac mnlog_ab&&textbf{(4)}
a^{log_bc}=c^{log_ba}\
&&\
textbf{(5)} log_a{bc}=log_ab+log_ac&&textbf{(6)}
log_a{dfrac bc}=log_ab-log_ac\
&&\
textbf{(7)} log_abcdot log_bc=log_ac & text{или}
&textbf{(7′}) log_bc=dfrac{log_ac}{log_ab}\
&&\
hline
end{array}]
Заметим, что при выполнении ограничений данные формулы верны в обе стороны!
Некоторые частные случаи, которыми удобно пользоваться:
(blacktriangleright) Частные случаи формул (3) и (4): [m=log_a{a^m} text{и} b=a^{log_ab}]
С помощью первой формулы нагляднее видно, как заменить число на логарифм по нужному основанию:
(4=log_2{2^4}=log_2{16});
а с помощью второй – как заменить число на степень с нужным основанием:
(4=3^{log_34}).
(blacktriangleright) Частные случаи формул (7) и (7’): [log_abcdot log_ba=1 text{и}
log_ab=dfrac1{log_ba}]
Пример:
(log_3{25}+dfrac2{log_{frac15}3}={small{text{(применили}}}
{small{text{ формулу}}}
(2))=log_3{25}+2log_3{dfrac15}=log_3{25}+log_3{dfrac1{25}}=log_3{left(25cdotdfrac1{25}right)}=0)
Логарифм степени вычисляется путем умножения показателя степени подлогарифмического выражения на тот же самый логарифм, но уже без степени.
logb (x y) = y ⋅ logb x
Для данного свойства должны выполняться следующие условия:
- b>0 и b≠1;
- x y>0.
Приведенная формула можно быть рассмотрена в противоположную сторону, а именно:
Коэффициент перед логарифмом можно внести в подлогарифмическое выражение в виде его степени.
y ⋅ logb x = logb (x y)
Как и для любого логарифма, здесь: b>0 и b≠1, x>0
Примеры:
- log4 63 = 3 ⋅ log4 6
- log12 57 = 7 ⋅ log12 5
- 4 ⋅ log7 9 = log7 94