Как найти значение выражения через модуль

Как решать уравнения с модулем: основные правила

30 декабря 2016

Модуль — одна из тех вещей, о которых вроде-бы все слышали, но в действительности никто нормально не понимает. Поэтому сегодня будет большой урок, посвящённый решению уравнений с модулями.

Сразу скажу: урок будет несложный. И вообще модули — вообще тема относительно несложная. «Да конечно, несложная! У меня от неё мозг разрывается!» — скажут многие ученики, но все эти разрывы мозга происходят из-за того, что у большинства людей в голове не знания, а какая-то хрень. И цель этого урока — превратить хрень в знания.:)

Немного теории

Итак, поехали. Начнём с самого важного: что такое модуль? Напомню, что модуль числа — это просто то же самое число, но взятое без знака «минус». Т.е., например, $left| -5 right|=5$. Или $left| -129,5 right|=129,5$.

Вот так всё просто? Да, просто. А чему тогда равен модуль положительного числа? Тут ещё проще: модуль положительного числа равен самому этому числу: $left| 5 right|=5$; $left| 129,5 right|=129,5$ и т.д.

Получается любопытная вещь: разные числа могут иметь один тот же модуль. Например: $left| -5 right|=left| 5 right|=5$; $left| -129,5 right|=left| 129,5 right|=129,5$. Нетрудно заметить, что это за числа, у которых модули одинаковые: эти числа противоположны. Таким образом, отметим для себя, что модули противоположных чисел равны:

[left| -a right|=left| a right|]

Ещё один важный факт: модуль никогда не бывает отрицательным. Какое бы число мы ни взяли — хоть положительное, хоть отрицательное — его модуль всегда оказывается положительным (или в крайнем случае нулём). Именно поэтому модуль часто называют абсолютной величиной числа.

Кроме того, если объединить определение модуля для положительного и отрицательного числа, то получим глобальное определение модуля для всех чисел. А именно: модуль числа равен самому этому числу, если число положительное (или ноль), либо равен противоположному числу, если число отрицательное. Можно записать это в виде формулы:

[left| a right|=left{ begin{align}& a,quad age 0, \& -a,quad a lt 0. \end{align} right.]

Ещё есть модуль нуля, но он всегда равен нулю. Кроме того, ноль — единственное число, которое не имеет противоположного.

Таким образом, если рассмотреть функцию $y=left| x right|$ и попробовать нарисовать её график, то получится вот такая «галка»:

Из этой картинки сразу видно, что $left| -m right|=left| m right|$, а график модуля никогда не опускается ниже оси абсцисс. Но это ещё не всё: красной линией отмечена прямая $y=a$, которая при положительных $a$ даёт нам сразу два корня: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$, но об этом мы поговорим позже.:)

Помимо чисто алгебраического определения, есть геометрическое. Допустим, есть две точки на числовой прямой: ${{x}_{1}}$ и ${{x}_{2}}$. В этом случае выражение $left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} right|$ — это просто расстояние между указанными точками. Или, если угодно, длина отрезка, соединяющего эти точки:

Из этого определения также следует, что модуль всегда неотрицателен. Но хватит определений и теории — перейдём к настоящим уравнениям.:)

Основная формула

Ну хорошо, с определением разобрались. Но легче-то от этого не стало. Как решать уравнения, содержащие этот самый модуль?

Спокойствие, только спокойствие. Начнём с самых простых вещей. Рассмотрим что-нибудь типа такого:

[left| x right|=3]

Итак, модуль$x$ равен 3. Чему может быть равен $x$? Ну, судя по определению, нас вполне устроит $x=3$. Действительно:

[left| 3 right|=3]

А есть ли другие числа? Кэп как бы намекает, что есть. Например, $x=-3$ — для него тоже $left| -3 right|=3$, т.е. требуемое равенство выполняется.

Так может, если поискать, подумать, мы найдём ещё числа? А вот обломитесь: больше чисел нет. Уравнение $left| x right|=3$ имеет лишь два корня: $x=3$ и $x=-3$.

Теперь немного усложним задачу. Пусть вместо переменной $x$ под знаком модуля тусуется функция $fleft( x right)$, а справа вместо тройки поставим произвольное число $a$. Получим уравнение:

[left| fleft( x right) right|=a]

Ну и как такое решать? Напомню: $fleft( x right)$ — произвольная функция, $a$ — любое число. Т.е. вообще любое! Например:

[left| 2x+1 right|=5]

или:

[left| 10x-5 right|=-65]

Обратим внимание на второе уравнение. Про него сразу можно сказать: корней у него нет. Почему? Всё правильно: потому что в нём требуется, чтобы модуль был равен отрицательному числу, чего никогда не бывает, поскольку мы уже знаем, что модуль — число всегда положительное или в крайнем случае ноль.

А вот с первым уравнением всё веселее. Тут два варианта: либо под знаком модуля стоит положительное выражение, и тогда$left| 2x+1 right|=2x+1$, либо это выражение всё-таки отрицательное, и тогда $left| 2x+1 right|=-left( 2x+1 right)=-2x-1$. В первом случае наше уравнение перепишется так:

[left| 2x+1 right|=5Rightarrow 2x+1=5]

И внезапно получается, что подмодульное выражение $2x+1$ действительно положительно — оно равно числу 5. Т.е. мы можем спокойно решать это уравнение — полученный корень будет кусочком ответа:

[2x+1=5Rightarrow 2x=4Rightarrow x=2]

Особо недоверчивые могут попробовать подставить найденный корень в исходное уравнение и убедиться, что действительно под модулем будет положительное число.

Теперь разберём случай отрицательного подмодульного выражения:

[left{ begin{align}& left| 2x+1 right|=5 \& 2x+1 lt 0 \end{align} right.Rightarrow -2x-1=5Rightarrow 2x+1=-5]

Опа! Снова всё чётко: мы предположили, что $2x+1 lt 0$, и в результате получили, что $2x+1=-5$ — действительно, это выражение меньше нуля. Решаем полученное уравнение, при этом уже точно зная, что найденный корень нас устроит:

[2x+1=-5Rightarrow 2x=-6Rightarrow x=-3]

Итого мы вновь получили два ответа: $x=2$ и $x=3$. Да, объём вычислений оказался малость побольше, чем в совсем уж простом уравнении $left| x right|=3$, но принципиально ничего не изменилось. Так может, существует какой-то универсальный алгоритм?

Да, такой алгоритм существует. И сейчас мы его разберём.

Избавление от знака модуля

Пусть нам дано уравнение $left| fleft( x right) right|=a$, причём $age 0$ (иначе, как мы уже знаем, корней нет). Тогда можно избавиться от знака модуля по следующему правилу:

[left| fleft( x right) right|=aRightarrow fleft( x right)=pm a]

Таким образом, наше уравнение с модулем распадается на два, но уже без модуля. Вот и вся технология! Попробуем решить парочку уравнений. Начнём вот с такого

[left| 5x+4 right|=10Rightarrow 5x+4=pm 10]

Отдельно рассмотрим, когда справа стоит десятка с плюсом, и отдельно — когда с минусом. Имеем:

[begin{align}& 5x+4=10Rightarrow 5x=6Rightarrow x=frac{6}{5}=1,2; \& 5x+4=-10Rightarrow 5x=-14Rightarrow x=-frac{14}{5}=-2,8. \end{align}]

Вот и всё! Получили два корня: $x=1,2$ и $x=-2,8$. Всё решение заняло буквально две строчки.

Ок, не вопрос, давайте рассмотрим что-нибудь чуть посерьёзнее:

[left| 7-5x right|=13]

Опять раскрываем модуль с плюсом и минусом:

[begin{align}& 7-5x=13Rightarrow -5x=6Rightarrow x=-frac{6}{5}=-1,2; \& 7-5x=-13Rightarrow -5x=-20Rightarrow x=4. \end{align}]

Опять пара строчек — и ответ готов! Как я и говорил, в модулях нет ничего сложного. Нужно лишь запомнить несколько правил. Поэтому идём дальше и приступаем с действительно более сложным задачам.

Случай переменной правой части

А теперь рассмотрим вот такое уравнение:

[left| 3x-2 right|=2x]

Это уравнение принципиально отличается от всех предыдущих. Чем? А тем, что справа от знака равенства стоит выражение $2x$ — и мы не можем заранее знать, положительное оно или отрицательное.

Как быть в таком случае? Во-первых, надо раз и навсегда понять, что если правая часть уравнения окажется отрицательной, то уравнение не будет иметь корней — мы уже знаем, что модуль не может быть равен отрицательному числу.

А во-вторых, если права часть всё-таки положительна (или равна нулю), то можно действовать точно так же, как раньше: просто раскрыть модуль отдельно со знаком «плюс» и отдельно — со знаком «минус».

Таким образом, сформулируем правило для произвольных функций $fleft( x right)$ и $gleft( x right)$ :

[left| fleft( x right) right|=gleft( x right)Rightarrow left{ begin{align}& fleft( x right)=pm gleft( x right), \& gleft( x right)ge 0. \end{align} right.]

Применительно к нашему уравнению получим:

[left| 3x-2 right|=2xRightarrow left{ begin{align}& 3x-2=pm 2x, \& 2xge 0. \end{align} right.]

Ну, с требованием $2xge 0$ мы как-нибудь справимся. В конце концов, можно тупо подставить корни, которые мы получим из первого уравнения, и проверить: выполняется неравенство или нет.

Поэтому решим-ка само уравнение:

[begin{align}& 3x-2=2xRightarrow 3x-2x=2Rightarrow x=2; \& 3x-2=-2xRightarrow 5x=2Rightarrow x=frac{2}{5}. \end{align}]

Ну и какой их этих двух корней удовлетворяет требованию $2xge 0$? Да оба! Поэтому в ответ пойдут два числа: $x=2$ и $x={2}/{5};$. Вот и всё решение.:)

Подозреваю, что кто-то из учеников уже начал скучать? Что ж, рассмотрим ещё более сложное уравнение:

[left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x right|=x-{{x}^{3}}]

Хоть оно и выглядит злобно, по факту это всё то же самое уравнение вида «модуль равен функции»:

[left| fleft( x right) right|=gleft( x right)]

И решается оно точно так же:

[left| {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x right|=x-{{x}^{3}}Rightarrow left{ begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=pm left( x-{{x}^{3}} right), \& x-{{x}^{3}}ge 0. \end{align} right.]

С неравенством мы потом разберёмся — оно какое-то уж слишком злобное (на самом деле простое, но мы его решать не будем). Пока лучше займёмся полученными уравнениями. Рассмотрим первый случай — это когда модуль раскрывается со знаком «плюс»:

[{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}]

Ну, тут и ежу понятно, что нужно всё собрать слева, привести подобные и посмотреть, что получится. А получится вот что:

[begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=x-{{x}^{3}}; \& 2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}=0; \end{align}]

Выносим общий множитель ${{x}^{2}}$ за скобку и получаем очень простое уравнение:

[{{x}^{2}}left( 2x-3 right)=0Rightarrow left[ begin{align}& {{x}^{2}}=0 \& 2x-3=0 \end{align} right.]

[{{x}_{1}}=0;quad {{x}_{2}}=frac{3}{2}=1,5.]

Тут мы воспользовались важным свойством произведения, ради которого мы и раскладывали исходный многочлен на множители: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Теперь точно так же разберёмся со вторым уравнением, которое получается при раскрытии модуля со знаком «минус»:

[begin{align}& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-left( x-{{x}^{3}} right); \& {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x=-x+{{x}^{3}}; \& -3{{x}^{2}}+2x=0; \& xleft( -3x+2 right)=0. \end{align}]

Опять то же самое: произведение равно нулю, когда равен нулю хотя бы один из множителей. Имеем:

[left[ begin{align}& x=0 \& -3x+2=0 \end{align} right.]

[{{x}_{1}}=0;quad {{x}_{2}}=frac{2}{3}.]

Ну вот мы получили три корня: $x=0$, $x=1,5$ и $x={2}/{3};$. Ну и что из этого набора пойдёт в окончательный ответ? Для этого вспомним, что у нас есть дополнительное ограничение в виде неравенства:

[x-{{x}^{3}}ge 0]

Как учесть это требование? Да просто подставим найденные корни и проверим: выполняется неравенство при этих $x$ или нет. Имеем:

[begin{align}& x=0Rightarrow x-{{x}^{3}}=0-0=0ge 0; \& x=1,5Rightarrow x-{{x}^{3}}=1,5-{{1,5}^{3}} lt 0; \& x=frac{2}{3}Rightarrow x-{{x}^{3}}=frac{2}{3}-frac{8}{27}=frac{10}{27}ge 0; \end{align}]

Таким образом, корень $x=1,5$ нас не устраивает. И в ответ пойдут лишь два корня:

[{{x}_{1}}=0;quad {{x}_{2}}=frac{2}{3}.]

Как видите, даже в этом случае ничего сложного не было — уравнения с модулями всегда решаются по алгоритму. Нужно лишь хорошо разбираться в многочленах и неравенствах. Поэтому переходим к более сложным задачам — там уже будет не один, а два модуля.

Уравнения с двумя модулями

До сих пор мы изучали лишь самые простые уравнения — там был один модуль и что-то ещё. Это «что-то ещё» мы отправляли в другую часть неравенства, подальше от модуля, чтобы в итоге всё свелось к уравнению вида $left| fleft( x right) right|=gleft( x right)$ или даже более простому $left| fleft( x right) right|=a$.

Но детский сад закончился — пора рассмотреть что-нибудь посерьёзнее. Начнём с уравнений вот такого типа:

[left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|]

Это уравнение вида «модуль равен модулю». Принципиально важным моментом является отсутствие других слагаемых и множителей: только один модуль слева, ещё один модуль справа — и ничего более.

Кто-нибудь сейчас подумает, что такие уравнения решаются сложнее, чем то, что мы изучали до сих пор. А вот и нет: эти уравнения решаются даже проще. Вот формула:

[left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|Rightarrow fleft( x right)=pm gleft( x right)]

Всё! Мы просто приравниваем подмодульные выражения, ставя перед одним из них знак «плюс-минус». А затем решаем полученные два уравнения — и корни готовы! Никаких дополнительных ограничений, никаких неравенств и т.д. Всё очень просто.

Давайте попробуем решать вот такую задачу:

[left| 2x+3 right|=left| 2x-7 right|]

Элементарно, Ватсон! Раскрываем модули:

[left| 2x+3 right|=left| 2x-7 right|Rightarrow 2x+3=pm left( 2x-7 right)]

Рассмотрим отдельно каждый случай:

[begin{align}& 2x+3=2x-7Rightarrow 3=-7Rightarrow emptyset ; \& 2x+3=-left( 2x-7 right)Rightarrow 2x+3=-2x+7. \end{align}]

В первом уравнении корней нет. Потому что когда это $3=-7$? При каких значениях $x$? «Какой ещё нафиг $x$? Ты обкурился? Там вообще нет $x$» — скажете вы. И будете правы. Мы получили равенство, не зависящее от переменной $x$, и при этом само равенство — неверное. Потому и нет корней.:)

Со вторым уравнением всё чуть интереснее, но тоже очень и очень просто:

[2x+3=-2x+7Rightarrow 4x=4Rightarrow x=1]

Как видим, всё решилось буквально в пару строчек — другого от линейного уравнения мы и не ожидали.:)

В итоге окончательный ответ: $x=1$.

Ну как? Сложно? Конечно, нет. Попробуем что-нибудь ещё:

[left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|]

Опять у нас уравнение вида $left| fleft( x right) right|=left| gleft( x right) right|$. Поэтому сразу переписываем его, раскрывая знак модуля:

[{{x}^{2}}-3x+2=pm left( x-1 right)]

Возможно, кто-то сейчас спросит: «Эй, что за бред? Почему «плюс-минус» стоит у правого выражения, а не у левого?» Спокойно, сейчас всё объясню. Действительно, по-хорошему мы должны были переписать наше уравнение следующим образом:

[x-1=pm left( {{x}^{2}}-3x+2 right)]

Затем нужно раскрыть скобки, перенести все слагаемые в одну сторону от знака равенства (поскольку уравнение, очевидно, в обоих случаях будет квадратным), ну и дальше отыскать корни. Но согласитесь: когда «плюс-минус» стоит перед тремя слагаемыми (особенно когда одно из этих слагаемых — квадратное выражение), это как-то более сложно выглядит, нежели ситуация, когда «плюс-минус» стоит лишь перед двумя слагаемыми.

Но ведь ничто не мешает нам переписать исходное уравнение следующим образом:

[left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|Rightarrow left| {{x}^{2}}-3x+2 right|=left| x-1 right|]

Что произошло? Да ничего особенного: просто поменяли левую и правую часть местами. Мелочь, которая в итоге немного упростит нам жизнь.:)

В общем, решаем это уравнение, рассматривая варианты с плюсом и с минусом:

[begin{align}& {{x}^{2}}-3x+2=x-1Rightarrow {{x}^{2}}-4x+3=0; \& {{x}^{2}}-3x+2=-left( x-1 right)Rightarrow {{x}^{2}}-2x+1=0. \end{align}]

Первое уравнение имеет корни $x=3$ и $x=1$. Второе вообще является точным квадратом:

[{{x}^{2}}-2x+1={{left( x-1 right)}^{2}}]

Поэтому у него единственный корень: $x=1$. Но этот корень мы уже получали ранее. Таким образом, в итоговый ответ пойдут лишь два числа:

[{{x}_{1}}=3;quad {{x}_{2}}=1.]

Миссия выполнена! Можно взять с полки и скушать пирожок. Там их 2, ваш средний.:)

Важное замечание. Наличие одинаковых корней при разных вариантах раскрытия модуля означает, что исходные многочлены раскладываются на множители, и среди этих множителей обязательно будет общий. Действительно:

[begin{align}& left| x-1 right|=left| {{x}^{2}}-3x+2 right|; \& left| x-1 right|=left| left( x-1 right)left( x-2 right) right|. \end{align}]

Одно из свойств модуля: $left| acdot b right|=left| a right|cdot left| b right|$ (т.е. модуль произведения равен произведению модулей), поэтому исходное уравнение можно переписать так:

[left| x-1 right|=left| x-1 right|cdot left| x-2 right|]

Как видим, у нас действительно возник общий множитель. Теперь, если собрать все модули с одной стороны, то можно вынести этот множитель за скобку:

[begin{align}& left| x-1 right|=left| x-1 right|cdot left| x-2 right|; \& left| x-1 right|-left| x-1 right|cdot left| x-2 right|=0; \& left| x-1 right|cdot left( 1-left| x-2 right| right)=0. \end{align}]

Ну а теперь вспоминаем, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

[left[ begin{align}& left| x-1 right|=0, \& left| x-2 right|=1. \end{align} right.]

Таким образом, исходное уравнение с двумя модулями свелось к двум простейшим уравнениям, о которых мы говорили в самом начале урока. Такие уравнения решаются буквально в пару строчек.:)

Данное замечание, возможно, покажется излишне сложным и неприменимым на практике. Однако в реальности вам могут встретиться куда более сложные задачи, нежели те, что мы сегодня разбираем. В них модули могут комбинироваться с многочленами, арифметическими корнями, логарифмами и т.д. И в таких ситуациях возможность понизить общую степень уравнения путём вынесения чего-либо за скобку может оказаться очень и очень кстати.:)

Теперь хотелось бы разобрать ещё одно уравнение, которое на первый взгляд может показаться бредовым. На нём «залипают» многие ученики — даже те, которые считают, что хорошо разобрались в модулях.

Тем не менее, это уравнение решается даже проще, чем то, что мы рассматривали ранее. И если вы поймёте почему, то получите ещё один приём для быстрого решения уравнений с модулями.

Итак, уравнение:

[left| x-{{x}^{3}} right|+left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0]

Нет, это не опечатка: между модулями именно плюс. И нам нужно найти, при каких $x$ сумма двух модулей равна нулю.:)

В чём вообще проблема? А проблема в том, что каждый модуль — число положительное, либо в крайнем случае ноль. А что будет, если сложить два положительных числа? Очевидно, снова положительное число:

[begin{align}& 5+7=12 gt 0; \& 0,004+0,0001=0,0041 gt 0; \& 5+0=5 gt 0. \end{align}]

Последняя строчка может натолкнуть на мысль: единственный случай, когда сумма модулей равна нулю — это если каждый модуль будет равен нулю:

[left| x-{{x}^{3}} right|+left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0Rightarrow left{ begin{align}& left| x-{{x}^{3}} right|=0, \& left| {{x}^{2}}+x-2 right|=0. \end{align} right.]

А когда модуль равен нулю? Только в одном случае — когда подмодульное выражение равно нулю:

[x-{{x}^{3}}=0Rightarrow xleft( 1-{{x}^{2}} right)=0Rightarrow left[ begin{align}& x=0 \& x=pm 1 \end{align} right.]

[{{x}^{2}}+x-2=0Rightarrow left( x+2 right)left( x-1 right)=0Rightarrow left[ begin{align}& x=-2 \& x=1 \end{align} right.]

Таким образом, у нас есть три точки, в которых обнуляется первый модуль: 0, 1 и −1; а также две точки, в которых обнуляется второй модуль: −2 и 1. Однако нам нужно, чтобы оба модуля обнулялись одновременно, поэтому среди найденных чисел нужно выбрать те, которые входят в оба набора. Очевидно, такое число лишь одно: $x=1$ — это и будет окончательным ответом.

Метод расщепления

Что ж, мы уже рассмотрели кучу задач и изучили множество приёмов. Думаете, на этом всё? А вот и нет! Сейчас мы рассмотрим заключительный приём — и одновременно самый важный. Речь пойдёт о расщеплении уравнений с модулем. О чём вообще пойдёт речь? Давайте вернёмся немного назад и рассмотрим какое-нибудь простое уравнение. Например, это:

[left| 3x-5 right|=5-3x]

В принципе, мы уже знаем, как решать такое уравнение, потому что это стандартная конструкция вида $left| fleft( x right) right|=gleft( x right)$. Но попробуем взглянуть на это уравнение немного под другим углом. Точнее, рассмотрим выражение, стоящее под знаком модуля. Напомню, что модуль любого числа может быть равен самому числу, а может быть противоположен этому числу:

[left| a right|=left{ begin{align}& a,quad age 0, \& -a,quad a lt 0. \end{align} right.]

Собственно, в этой неоднозначности и состоит вся проблема: поскольку число под модулем меняется (оно зависит от переменной), нам неясно — положительное оно или отрицательное.

Но что если изначально потребовать, чтобы это число было положительным? Например, потребуем, чтобы $3x-5 gt 0$ — в этом случае мы гарантированно получим положительное число под знаком модуля, и от этого самого модуля можно полностью избавиться:

[3x-5 gt 0Rightarrow left| 3x-5 right|=3x-5]

Таким образом, наше уравнение превратится в линейное, которое легко решается:

[3x-5=5-3xRightarrow 6x=10Rightarrow x=frac{5}{3}]

Правда, все эти размышления имеют смысл только при условии $3x-5 gt 0$ — мы сами ввели это требование, дабы однозначно раскрыть модуль. Поэтому давайте подставим найденный $x=frac{5}{3}$ в это условие и проверим:

[x=frac{5}{3}Rightarrow 3x-5=3cdot frac{5}{3}-5=5-5=0]

Получается, что при указанном значении $x$ наше требование не выполняется, т.к. выражение оказалось равно нулю, а нам нужно, чтобы оно было строго больше нуля. Печалька.:(

Но ничего страшного! Ведь есть ещё вариант $3x-5 lt 0$. Более того: есть ещё и случай $3x-5=0$ — это тоже нужно рассмотреть, иначе решение будет неполным. Итак, рассмотрим случай $3x-5 lt 0$:

[3x-5 lt 0Rightarrow left| 3x-5 right|=5-3x]

Очевидно, что в модуль раскроется со знаком «минус». Но тогда возникает странная ситуация: и слева, и справа в исходном уравнении будет торчать одно и то же выражение:

[5-3x=5-3x]

Интересно, при каких таких $x$ выражение $5-3x$ будет равно выражению $5-3x$? От таких уравнений даже Капитан очевидность подавился бы слюной, но мы-то знаем: это уравнение является тождеством, т.е. оно верно при любых значениях переменной!

А это значит, что нас устроят любые $x$. Вместе с тем у нас есть ограничение:

[3x-5 lt 0Rightarrow 3x lt 5Rightarrow x lt frac{5}{3}]

Другими словами, ответом будет не какое-то отдельное число, а целый интервал:

[xin left( -infty ;frac{5}{3} right)]

Наконец, осталось рассмотреть ещё один случай: $3x-5=0$. Тут всё просто: под модулем будет ноль, а модуль нуля тоже равен нулю (это прямо следует из определения):

[3x-5=0Rightarrow left| 3x-5 right|=0]

Но тогда исходное уравнение $left| 3x-5 right|=5-3x$ перепишется следующим образом:

[0=3x-5Rightarrow 3x=5Rightarrow x=frac{5}{3}]

Этот корень мы уже получали выше, когда рассматривали случай $3x-5 gt 0$. Более того, это корень является решением уравнения $3x-5=0$ — это ограничение, которое мы сами же и ввели, чтобы обнулить модуль.:)

Таким образом, помимо интервала нас устроит ещё и число, лежащее на самом конце этого интервала:

Итого окончательный ответ: $xin left( -infty ;frac{5}{3} right]$. Не очень-то привычно видеть такую хрень в ответе к довольно простому (по сути — линейному) уравнению с модулем, правда? Что ж, привыкайте: в том и состоит сложность модуля, что ответы в таких уравнениях могут оказаться совершенно непредсказуемыми.

Куда важнее другое: мы только что разобрали универсальный алгоритм решения уравнения с модуляем! И состоит этот алгоритм из следующих шагов:

1. Приравнять каждый модуль, имеющийся в уравнении, к нулю. Получим несколько уравнений;
2. Решить все эти уравнения и отметить корни на числовой прямой. В результате прямая разобьётся на несколько интервалов, на каждом из которых все модули однозначно раскрываются;
3. Решить исходное уравнение для каждого интервала и объединить полученные ответы.

Вот и всё! Остаётся лишь один вопрос: куда девать сами корни, полученные на 1-м шаге? Допустим, у нас получилось два корня: $x=1$ и $x=5$. Они разобьют числовую прямую на 3 куска:

Ну и какие тут интервалы? Понятно, что их три:

1. Самый левый: $x lt 1$ — сама единица в интервал не входит;
2. Центральный: $1le x lt 5$ — вот тут единица в интервал входит, однако не входит пятёрка;
3. Самый правый: $xge 5$ — пятёрка входит только сюда!

Я думаю, вы уже поняли закономерность. Каждый интервал включает в себя левый конец и не включает правый.

На первый взгляд, такая запись может показаться неудобной, нелогичной и вообще какой-то бредовой. Но поверьте: после небольшой тренировки вы обнаружите, что именно такой подход наиболее надёжен и при этом не мешает однозначно раскрывать модули. Лучше уж использовать такую схему, чем каждый раз думать: отдавать левый/правый конец в текущий интервал или «перекидывать» его в следующий.

На этом урок заканчивается. Скачивайте задачи для самостоятельного решения, тренируйтесь, сравнивайте с ответами — и увидимся в следующем уроке, который будет посвящён неравенствам с модулями.:)

Смотрите также:

1. Простейшие уравнения с модулем
2. Уравнение с двумя модулями
3. Сложные выражения с дробями. Порядок действий
4. Сводный тест по задачам B15 (2 вариант)
5. Как решать биквадратное уравнение
6. B4: счетчики на электричество

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение с модулем, его можно решить, вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда, занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним определение модуля.

Если число x неотрицательное, то модуль x равен самому числу x.

А для отрицательного числа x модуль равен противоположному ему положительному числу -x.

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем.

Начнем с простых заданий.

к оглавлению ▴

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Нам поможет геометрический смысл модуля.

Модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. Очевидно, расстояние не может быть отрицательным. Оно или положительно, или равно нулю. Например, . Другими словами, расстояние от точки -2 до нуля равно 2. Этим мы пользуемся при решении уравнений.

1. Решим уравнение:

Решение:

На числовой прямой есть ровно две точки, расстояние от которых до нуля равно двум. Это точки 2 и -2. Значит, у уравнения есть два решения: и .

Ответ: -2; 2.

2. Решите уравнение:

Решение:

Ответ:

3. Решите уравнение:

Решение:

Мы получили совокупность двух квадратных уравнений. А затем решили отдельно каждое из них.

Вот что мы делали, решая квадратные уравнения:

— применили теорему Виета и нашли корни.

корней нет.

Ответ:

4. Решим уравнение: 

Решение:

Задача похожа на предыдущую.

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение равносильно совокупности двух простых:

или

Второе уравнение не имеет корней. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Ответ: 0; 5.

к оглавлению ▴

Слева модуль, справа выражение, зависящее от переменной

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

5.

Решение:

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.

Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

   

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.

Ответ: 1.

6.

Решение:

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения.

Второй случай: x < 3. Снимаем модуль:

Число . больше, чем , и потому не удовлетворяет условию x < 3. Проверим :

Значит, . является корнем исходного уравнения.

Ответ:

7. Решите уравнение: = x.
Если уравнение имеет несколько корней, в ответе запишите меньший корень

Решение:

ОДЗ уравнения: x≠3. Так как в левой части уравнения — неотрицательная величина, должно также выполняться условие Возведем обе части уравнения в квадрат

= x

(разность квадратов),

Так как — это посторонний корень. Уравнение имеет два корня: или

Меньший корень: 1.

Ответ: 1.

8.

Решение:

Снимать модуль по определению? Страшно даже подумать об этом, ведь дискриминант — не полный квадрат.

Давайте воспользуемся следующим правилом:

Уравнение вида равносильно совокупности двух систем:

   

То же самое, но немного по-другому:

Иными словами, мы решаем два уравнения, A = B и A = −B, а потом отбираем корни, удовлетворяющие условию

Приступаем. Сначала решаем первое уравнение:

Затем решаем второе уравнение:

Теперь в каждом случае проверяем знак правой части:

Подходят только и .

Ответ:

Еще одно уравнение того же типа.

9. Решите уравнение: .

Это уравнение вида Вспомним, что оно равносильно системе:

Получим:

Решим отдельно каждое уравнение совокупности.

по теореме Виета.

Система примет вид:

Сравним и Для сравнения мы будем использовать вот такой символ:

.

Умножим обе части этого неравенства на 2: .

Прибавим 5 к обеим частям выражения: Обе части выражения неотрицательны, поэтому возведем их в квадрат и сравним квадраты. Очевидно, 17 9. Это значит, что и

Остальные корни, очевидно, меньше, чем -1.

Ответ: .

к оглавлению ▴

Квадратные уравнения с заменой

Замена переменной — универсальный способ решения всевозможных уравнений. И этот способ помогает нам решать квадратные уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

10. Решим уравнение:

Решение:

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

.

Ответ: ±1.

к оглавлению ▴

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Как мы получили это равенство? Покажем на примере задачи.

11. Решите уравнение:

Решение:

Возведем обе части в квадрат, поскольку они неотрицательны.

Перенесем все в левую часть и воспользуемся формулой разности квадратов:

Ответ:

12. Решим уравнение: .

Решение:

Уравнение равносильно следующей совокупности:

Решим каждое из уравнений совокупности и запишем ответ.

1)

— корни первого квадратного уравнения.

2)

— корни второго квадратного уравнения.

В ответ запишем все 4 корня.

Ответ:

к оглавлению ▴

Два или несколько модулей

13. Решим уравнение:

Решение:

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении).

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются с «плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается с «минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются с «минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Ответ: [1; 2] ∪ {5}.

к оглавлению ▴

Модуль в модуле

14. Решим уравнение:

Решение:

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

2) x ≥ 3. Имеем:

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается с «плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Ответ: 4.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Часто в решении уравнений и неравенств с модулем используется график функции Он строится согласно определению модуля:

.

Для получаем участок графика y = x.

Для  получаем участок графика y = −x. Вот этот график:

15. Решите уравнение:

Решение:

Сделаем замену переменной:

Тогда

Получим:

Мы помним, что

Решим уравнение графически. В левой части — график функции

Построим этот график. Сначала изобразим графики функций (точка минимума (3; 0)) и (точка минимума ( -3; 0)). Можно сказать, что график функции сдвинут относительно графика на 3 единицы вправо, а график — на 3 единицы влево.

И построим график суммы функций и

В точке с абсциссой 3 значение одного из слагаемых равно 0, другое слагаемое равно 6, сумма равна 6.

В точке с абсциссой -3 аналогично.

При х = 0 оба слагаемых равны 3, сумма равна 6.

Легко доказать, что сумма двух линейных функций есть линейная функция.

Поэтому при — получим горизонтальный участок. При x 3 получим луч с угловым коэффициентом, равным 2, а при x — 3 — луч с угловым коэффициентом, равным — 2.

Решения нашего уравнения — все принадлежащие отрезку от до

значит,

Ответ:

Мы рассмотрели все основные типы уравнений с модулями.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Модуль числа — теория и решение задач

Модуль числа – это такая забавная концепция в математике, с пониманием которой у многих людей возникают трудности 🙂

А между тем она проста как апельсин. Но, чтобы ее понять, давай сначала разберемся, зачем и кому он нужен.

Вот смотри…

Ситуация первая

В жизни, часто встречаются ситуации, где отрицательные числа не имеют никакого практического смысла.

Например, мы не можем проехать на машине «минус 70 километров» (мы проедем 70 километров, не важно, в каком направлении), как и не можем купить «минус 5 кг апельсинов». Эти значения всегда должны быть положительными.

Именно для обозначения таких ситуаций математики придумали специальный термин – модуль или абсолютная величина.

Ситуация вторая

Ты покупаешь пакет чипсов «Lay’s». На пакете написано, что он весит 100 грамм. Но, если ты начнешь взвешивать пакеты, вряд ли они будут весить ровно 100 грамм. Какой-то из них будет весить 101 грамм, а какой-то 99.

И что, можно идти судиться с компанией «Lay’s», если они тебе недовесили?

Нет. Потому что  «Lay’s» устанавливает допуск и говорит, что пакет будет весить 100 грамм, плюс-минус 1 грамм. Вот это «плюс-минус» – это и есть модуль.

Ситуация третья

В жизни вообще не бывает 100% точных величин. Всегда есть вот такие допуски. В зарплате, например: «Я согласен работать за 250 тыс рублей в месяц, плюс-минус 20 тыс!» 20 тысяч – это и есть модуль.

А вообще для простоты запомни, что модуль это расстояние от точки отсчета в любую сторону.

Ну вот, ты уже почти все знаешь. Давай теперь подробнее…

Модуль числа — коротко о главном

Определение модуля:

Модуль (абсолютная величина) числа ( displaystyle x) — это само число ( displaystyle x), если ( displaystyle xge 0), и число ( displaystyle -x), если ( displaystyle x<0):

( displaystyle left| x right|=left{ begin{array}{l}x, xge 0\-x, x<0end{array} right.)

Свойства модуля:

• Модуль числа есть число неотрицательное: ( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0);
• Модули противоположных чисел равны: ( left| -x right|=left| x right|);
• Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: ( left| xcdot yright|=left| x right|cdot left|yright|);
• Модуль частного двух чисел равен частному их модулей: ( displaystyle left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0});
• Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел:( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|);
• Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|) при ( displaystyle c>0);
• Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: ( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}}).

Кстати, в продолжение этой темы у нас есть отличная статья: «Уравнения с модулем«. Когда прочитаешь эту статью, обязательно ознакомься и со второй.

И просто чтобы ты знал, модуль часто попадается при решении квадратных уравнений или иррациональных.

Что же такое модуль числа?

Представь, что это ты.

Предположим, что ты стоишь на месте и можешь двигаться как вперёд, так и назад. Обозначим точку отправления ( 0).

Итак, ты делаешь ( 3) шага вперёд и оказываешься в точке с координатой ( 3).

Это означает, что ты удалился от места, где стоял на (3) шага (( 3) единичных отрезка).

То есть, расстояние от начала движения до точки, где ты в итоге оказался, равно ( 3).

Но ведь ты же можешь двигаться и назад!

Если от отправной точки с координатой ( 0) сделать ( 3) шага в обратную сторону, то окажешься в точке с координатой ( -3).

Какое расстояние было пройдено в первом и во втором случае?

Конечно же, расстояние, пройденное в первом и во втором случае, будет одинаковым и равным трем, ведь обе точки (( 3) и ( -3)), в которых ты оказался одинаково удалены от точки, из которой было начато движение (( 0)).

Таким образом, мы приблизились к понятию модуля.

Получается, что модуль показывает расстояние от любой точки на координатном отрезке до точки начала координат.

Так, модулем числа ( 5) будет ( 5). Модуль числа ( -5) также равен ( 5).

Потому что расстояние не может быть отрицательным! Модуль – это абсолютная величина.

Обозначается модуль просто:

( |mathbf{a}|,) (( a) — любое число).

Итак, найдём модуль числа ( 3) и ( -3):

( left| mathbf{3} right|=mathbf{3})

( left| -mathbf{3} right|=mathbf{3}.)

Основные свойства модуля

Первое свойство модуля

Модуль не может быть выражен отрицательным числом ( |mathbf{a}|text{ }ge text{ }mathbf{0})

То есть, если ( mathbf{a}) – число положительное, то его модуль будет равен этому же числу.

Если ( mathbf{a}text{ }>text{ }mathbf{0},) то ( displaystyle left| a right|=a).

Если ( a) – отрицательное число, то его модуль равен противоположному числу.

Если ( atext{ }<text{ }mathbf{0},) то ( |mathbf{a}|text{ }=text{ }-mathbf{a})

А если ( a=0)? Ну, конечно! Его модуль также равен ( 0):

Если ( a=0), то ( |mathbf{a}|=mathbf{a}), или ( displaystyle left| 0 right|=0).

Из этого следует, что модули противоположных чисел равны, то есть:

( left| -4 right|text{ }=text{ }left| 4 right|text{ }=text{ }4;)

( left| -7 right|text{ }=text{ }left| 7 right|text{ }=text{ }7.)

А теперь потренируйся:

• ( left| 9 right|text{ }=text{ }?;)
• ( left| -3 right|text{ }=text{ }?;)
• ( left| 16 right|text{ }=text{ }?;)
•  ( left| 8 right|text{ }=text{ }?;)
• ( left| -17 right|text{ }=text{ }?.)

Ответы: 9; 3; 16; 8; 17.

Довольно легко, правда? А если перед тобой вот такое число: ( left| 2-sqrt{5} right|=?)

Как быть здесь? Как раскрыть модуль в этом случае? Действуем по тому же сценарию.

Сначала определяем знак выражения под знаком модуля, а потом раскрываем модуль:

• если значение выражения больше нуля, то просто выносим его из-под знака модуля,
• если же выражение меньше нуля, то выносим его из-под знака модуля, меняя при этом знак, как делали это ранее в примерах.

Ну что, попробуем? Оценим ( 2-sqrt{5}):

( 2<sqrt{5}) (Забыл, что такое корень? Бегом повторять!)

Если ( 2<sqrt{5}), то какой знак имеет ( 2-sqrt{5})? Ну конечно, ( 2-sqrt{5}<0)!

А, значит, знак модуля раскрываем, меняя знак у выражения:

( left| 2-sqrt{5} right|=-left( 2-sqrt{5} right)=-2+sqrt{5}=sqrt{5}-2)

Разобрался? Тогда попробуй сам:

• ( left| sqrt{3}-1 right|=?)
• ( left| 3-sqrt{7} right|=?)
• ( left| 2-sqrt{7} right|=?)
• ( left| sqrt{13}-4 right|=?)

Ответы:

( sqrt{3}-1; 3-sqrt{7}; sqrt{7}-2; 4-sqrt{13.})

Какими же ещё свойствами обладает модуль?

Во-первых, если нам нужно перемножить числа внутри знака модуля, мы спокойно можем перемножить модули этих чисел.

То есть: ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|)

Выражаясь математическим языком, модуль произведения чисел равен произведению модулей этих чисел.

Например:

( left| mathbf{5}cdot mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{5} right|cdot left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{5}cdot mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{35};)

( left| mathbf{3}cdot left( -mathbf{2} right) right|text{ }=text{ }left| mathbf{3} right|cdot left| -mathbf{2} right|text{ }=text{ }mathbf{3}cdot mathbf{2}text{ }=text{ }mathbf{6}.)

А что, если нам нужно разделить два числа (выражения) под знаком модуля? Да то же, что и с умножением! Разобьем на два отдельных числа (выражения) под знаком модуля:

( displaystyle |frac{a}{b}|=frac{|a|}{|b|}) при условии, что ( mathbf{b}ne mathbf{0}) (так как на ноль делить нельзя).

Еще одно свойство модуля…

Модуль суммы чисел всегда меньше или равен сумме модулей этих чисел.

( |a+bleft| text{ }le text{ } right|aleft| + right|b|)

Почему так? Всё очень просто! Как мы помним, модуль всегда положителен. Но под знаком модуля может находиться любое число: как положительное, так и отрицательное.

Допустим, что числа ( a) и ( b) оба положительные. Тогда левое выражение будет равно правому выражению. Рассмотрим на примере:

( left| mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{10} right|text{ }=text{ }mathbf{10})

( left| mathbf{3} right|+left| mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

Выражения также равны, если оба числа отрицательны:

( displaystyle |-3+(-7)|~=~|-3-7|~)( displaystyle=|-10|=10)

( |-mathbf{3}left| + right|-mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

Если же под знаком модуля одно число отрицательное, а другое положительно, левое выражение всегда окажется меньше правого:

( left| -mathbf{3}+mathbf{7} right|text{ }=text{ }left| mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4})

( |-mathbf{3}left| + right|mathbf{7}|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

или

( left| mathbf{3}+left( -mathbf{7} right) right|text{ }=text{ }left| -mathbf{4} right|text{ }=text{ }mathbf{4})

( left| mathbf{3} right|+left| -mathbf{7} right|text{ }=text{ }mathbf{3}+mathbf{7}text{ }=text{ }mathbf{10})

( mathbf{4}<mathbf{10})

Рассмотрим еще парочку полезных свойств модуля

Что если перед нами такое выражение:

( left| 7x right|)

Что мы можем сделать с этим выражением?

Значение x нам неизвестно, но зато мы уже знаем, что ( |acdot bleft| text{ }=text{ } right|aleft| cdot right|b|), а значит ( left| 7x right|=left| 7 right|cdot left| x right|). Число ( 7) больше нуля, а значит можно просто записать:

( left| 7x right|=left| 7 right|cdot left| x right|=7left| x right|)

Вот мы и пришли к другому свойству, которое в общем виде можно представить так:

( left| cx right|=ccdot left| x right|,) при ( c>0)

А чему равно такое выражение:

( {{left| x right|}^{2}}=?)

Итак, нам необходимо определить знак под модулем. А надо ли здесь определять знак?

Конечно, нет, если помнишь, что любое число в квадрате всегда больше нуля! Если не помнишь, смотри тему степень и ее свойства.

И что же получается? А вот что:

( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})

Здорово, да? Довольно удобно. А теперь конкретный пример для закрепления:

( {{left| 5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)

( {{left| -5 right|}^{2}}=?)

Ну, и почему сомнения? Действуем смело!

( {{left| -5 right|}^{2}}={{5}^{2}}=25)

Во всем разобрался? Тогда вперед тренироваться на примерах!

Тренировка на примерах

1. Найдите значение выражения ( |xleft| text{ }+text{ } right|y|), если ( x=text{ }-7,5text{ },y=text{ }12.)

2. У каких чисел модуль равен ( 5)?

3. Найдите значение выражений:

а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|;)

б) ( |-5|text{ }-text{ }|6|;)

в) ( |15left| cdot right|-3|;)

г) ( displaystyle frac{|8|}{|-2|}).

Если не все пока ясно и есть затруднения в решениях, то давай разбираться:

Решение 1:

Итак, подставим значения ( x) и ( y) в выражение ( |mathbf{x}left| text{ }-text{ } right|mathbf{y}|.) Получим:

( |-7,5|text{ }+text{ }|12|text{ }=7,5text{ }+text{ }12text{ }=text{ }19,5.)

Решение 2:

Как мы помним, противоположные числа по модулю равны. Значит, значение модуля, равное ( 5) имеют два числа: ( 5) и ( -5).

Решение 3:

а) ( |3|text{ }+text{ }|-9|=text{ }3+9=text{ }12;)
б) ( |-5|-text{ }left| 6 right|text{ }=text{ }5-6=text{ }-1;)
в) ( |15left| cdot right|-3|text{ }=text{ }15cdot 3=text{ }45;)
г) ( frac{|8|}{|-2|}=frac{8}{2}=4.)

Все уловил? Тогда пора перейти к более сложному!

Решение более сложных примеров

Попробуем упростить выражение ( left| sqrt{3}-2 right|+left| sqrt{3}+5 right|)

Решение:

Итак, мы помним, что значение модуля не может быть меньше нуля. Если под знаком модуля число положительное, то мы просто можем отбросить знак: модуль числа будет равен этому числу.

Но если под знаком модуля отрицательное число, то значение модуля равно противоположному числу (то есть числу, взятому со знаком «–»).

Для того, чтобы найти модуль любого выражения, для начала нужно выяснить, положительное ли значение оно принимает, или отрицательное.

( displaystyle sqrt{3} approx 1,7). Получается, значение первого выражения под модулем ( displaystyle sqrt{3}-2approx 1,7-2approx -0,3text{ }).

( -0,3<0), следовательно, выражение под знаком модуля отрицательно. Второе выражение под знаком модуля всегда положительно, так как мы складываем два положительных числа.

Итак, значение первого выражения под знаком модуля отрицательно, второго – положительно:

Это значит, раскрывая знак модуля первого выражения, мы должны взять это выражение со знаком «–». Вот так:

Модуль числа и его свойства (строгие определения и доказательства)

Модуль (абсолютная величина) числа ( x) — это само число ( x), если ( xge 0), и число ( -x), если ( x<0):

( left| x right|=left{ begin{array}{l}x,text{ }xge 0\-x,text{ }x<0end{array} right.)

Например: ( left| 4 right|=4;text{ }left| 0 right|=0;text{ }left| -3 right|=-left( -3 right)=3.)

Пример:

Упростите выражение ( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|).

Решение:

( sqrt{5}-3<0Rightarrow left| sqrt{5}-3 right|=-left( sqrt{5}-3 right)=3-sqrt{5};)

( sqrt{5}+1>0Rightarrow left| sqrt{5}+1 right|=sqrt{5}+1;)

( left| sqrt{5}-3 right|+left| sqrt{5}+1 right|=3-sqrt{5}+sqrt{5}+1=4.)

Основные свойства модуля (итог)

Для всех ( x,yin mathbb{R}):

• ( left| x right|ge 0,text{ }left| x right|=0Leftrightarrow x=0;)
• ( left| -x right|=left| x right|;)
• ( left| xcdot y right|=left| x right|cdot left| y right|;)
• ( left| frac{x}{y} right|=frac{left| x right|}{left| y right|},text{ y}ne text{0};)
• ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)
• ( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)
• ( {{left| x right|}^{2}}={{x}^{2}})

Докажите свойство модуля: ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|)

Доказательство:

Предположим, что существуют такие ( x;yin mathbb{R}), что ( left| x+y right|>left| x right|+left| y right|.) Возведем левую и правую части неравенства в квадрат (это можно сделать, т.к. обе части неравенства всегда неотрицательны):

( displaystyle begin{array}{l}left| x+y right|>left| x right|+left| y right|Leftrightarrow \{{left( x+y right)}^{2}}>{{left( left| x right|+left| y right| right)}^{2}}Leftrightarrow \{{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}>{{x}^{2}}+2cdot left| x right|cdot left| y right|+{{y}^{2}}Leftrightarrow \xy>left| x right|cdot left| y right|Leftrightarrow \xy>left| xy right|,end{array})

а это противоречит определению модуля.

Следовательно, таких ( x;yin mathbb{R}) не существует, а значит, при всех ( x,text{ }yin mathbb{R}) выполняется неравенство ( left| x+y right|le left| x right|+left| y right|.)

А теперь самостоятельно…

Докажите свойство модуля: ( left| cx right|=ccdot left| x right|, при text{ }c>0)

Воспользуемся свойством №3: ( left| ccdot x right|=left| c right|cdot left| x right|), а поскольку ( c>0text{ }Rightarrow text{ }left| c right|=c), тогда

( left| cx right|=ccdot left| x right|), ч.т.д.

Упростите выражение ( left| frac{31}{8}-sqrt{15} right|+left| frac{15}{4}-sqrt{15} right|)

Чтобы упростить, нужно раскрыть модули. А чтобы раскрыть модули, нужно узнать, положительны или отрицательны выражения под модулем:

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи

• тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
• автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
• закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
• репетиторский стаж — c 2003 года;
• в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
• отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».

| а | = если а > 0
если а 0 (число положительное).

| х – 1 | + | х – 2 | =

если х 2

а) Если х – 3 0, то есть х 3, то | х – 3 | = х – 3;

Модуль числа

О чем эта статья:

Определение модуля числа

Алгебра дает четкое определение модуля числа. Модуль числа в математике — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, соответствующей этому числу.

Если мы возьмем некоторое число «a» и изобразим его на координатной прямой точкой A — расстояние от точки A до начала отсчёта (то есть до нуля) длина отрезка OA будет называться модулем числа «a».

Знак модуля: |a| = OA.

Разберем на примере:

Точка В, которая соответствует числу −3, находится на расстоянии 3 единичных отрезков от точки O (то есть от начала отсчёта). Значит, длина отрезка OB равна 3 единицам.

Число 3 (длину отрезка OB) называют модулем числа −3.

Обозначение модуля: |−3| = 3 (читают: «модуль числа минус три равен трём»).

Точка С, которая соответствует числу +4, находится на расстоянии четырех единичных отрезков от начала отсчёта, то есть длина отрезка OС равна четырем единицам.

Число 4 называют модулем числа +4 и обозначают так: |+4| = 4.

Также можно опустить плюс и записать значение, как |4| = 4.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Свойства модуля числа

Давайте рассмотрим семь основных свойств модуля. Независимо от того, в какой класс перешел ребенок — эти правила пригодятся всегда.

1. Модуль числа — это расстояние, а расстояние не может быть отрицательным. Поэтому и модуль числа не бывает отрицательным:

2. Модуль положительного числа равен самому числу.

3. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.

4. Модуль нуля равен нулю.

5. Противоположные числа имеют равные модули.

6. Модуль произведения равен произведению модулей этих чисел.

−(a · b), когда a · b

Геометрическая интерпретация модуля

Как мы уже знаем, модуль числа — это расстояние от нуля до данного числа. То есть расстояние от точки −5 до нуля равно 5.

Нарисуем числовую прямую и отобразим это на ней.

Эта геометрическая интерпретация используется для решения уравнений и неравенств с модулем. Давайте рассмотрим на примерах.

Решим уравнение: |х| = 5.

Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно 5. Это точки 5 и −5. Значит, уравнение имеет два решения: x = 5 и x = −5.

Когда у нас есть два числа a и b, то их разность |a — b| равна расстоянию между ними на числовой прямой или длине отрезка АВ.

Расстояние от точки a до точки b равно расстоянию от точки b до точки a, тогда |a — b| = |b — a|.

Решим уравнение: |a — 3| = 4 . Запись читаем так: расстояние от точки а до точки 3 равно 4. Отметим на числовой прямой точки, удовлетворяющие этому условию.

Уравнение имеет два решения: −1 и 7. Мы из 3 вычли 4 — и это один ответ, а также к 3 мы прибавили 4 — и это второй ответ.

Решим неравенство: |a + 7|

График функции

График функции равен y = |х|.

Для x > 0 имеем y = x.

Этот график можно использовать при решении уравнений и неравенств.

Корень из квадрата

В контрольной работе или на ЕГЭ может встретиться задачка, в которой нужно вычислить √ a 2 , где a – некоторое число или выражение.

При этом, √ a 2 = |a|.

По определению арифметического квадратного корня √ a 2 — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a 2 .

Оно равно a при а > 0 и −а, при а

Модуль рационального числа

Как найти модуль рационального числа — это расстояние от начала отсчёта до точки координатной прямой, которая соответствует этому числу.

Обобщённое понятие модуля числа

В данном уроке мы рассмотрим понятие модуля числа более подробно.

Что такое модуль?

Модуль — это расстояние от начала координат до какого-нибудь числа на координатной прямой. Поскольку расстояние не бывает отрицательным, то и модуль всегда неотрицателен. Так, модуль числа 3 равен 3, как и модуль числа −3 равен 3

Предстáвим, что на координатной прямой расстояние между целыми числами равно одному шагу. Теперь если отметить числа −3 и 3, то расстояние до них от начала координат будет одинаково равно трём шагам:

Модуль это не только расстояние от начала координат до какого-нибудь числа. Модуль это также расстояние между любыми двумя числами на координатной прямой. Такое расстояние выражается в виде разности между этими числами, заключенной под знак модуля:

Где x₁ и x₂ — числа на координатной прямой.

Например, отметим на координатной прямой числа 2 и 5.

Расстояние между числами 2 и 5 можно записать с помощью модуля. Для этого запишем разность из чисел 2 и 5 и заключим эту разность под знак модуля:

Видим, что расстояние от числа 2 до числа 5 равно трём шагам:

Если расстояние от 2 до 5 равно 3, то и расстояние от 5 до 2 тоже равно 3

То есть, если в выражении |5 − 2| поменять числа местами, то результат не изменится:

Тогда можно записать, что |2 − 5| = |5 − 2|. Вообще, справедливо следующее равенство:

Это равенство можно прочитать так: Расстояние от x₁ до x₂ равно расстоянию от x₂ до x₁.

Раскрытие модуля

Когда мы говорим, что |3|= 3 или |−3|= 3 мы выполняем действие называемое раскрытием модуля.

Правило раскрытия модуля выглядит так:

Такую запись мы ранее не использовали. Дело в том, что равенство можно задавать несколькими формулами. Фигурная скобка указывает, что возможны два случая в зависимости от условия. В данном случае условиями являются записи «если x ≥ 0» и «если x .

В зависимости от того что будет подставлено вместо x, выражение |x| будет равно x, если подставленное число больше или равно нулю. А если вместо x подставлено число меньшее нуля, то выражение |x| будет равно −x.

Второй случай на первый взгляд может показаться противоречивым, поскольку запись |x| = −x выглядит будто модуль стал равен отрицательному числу. Следует иметь ввиду, что когда x

Пример 2. Пусть x = 5. То есть мы рассматриваем модуль числа 5

В данном случае выполняется первое условие x ≥ 0, ведь 5 ≥ 0

Поэтому используем первую формулу. А именно | x | = x. Получаем | 5 | = 5.

Ноль это своего рода точка перехода, в которой модуль меняет свой порядок раскрытия и далее сохраняет свой знак. Визуально это можно представить так:

На рисунке красные знаки минуса и плюса указывают как будет раскрываться модуль |x| на промежутках x и x ≥ 0 .

К примеру, если взять числа 1, 9 и 13 , а они принадлежат промежутку x ≥ 0, то согласно рисунку модуль |x| раскроется со знаком плюс:

А если возьмём числа, меньшие нуля, например −3, −9, −15, то согласно рисунку модуль раскроется со знаком минус:

Пример 3. Пусть x = √4 − 6. То есть мы рассматриваем модуль выражения √4 − 6,

Корень из числа 4 равен 2. Тогда модуль примет вид

x который был равен √4−6 теперь стал равен −4. В данном случае выполняется второе условие x |√4 − 6| = |2 − 6| = |−4| = −(−4) = 4

На практике обычно рассуждают так:

«Модуль раскрывается со знаком плюс, если подмодульное выражение больше или равно нулю; модуль раскрывается со знаком минус, если подмодульное выражение меньше нуля».

Примеры:

|2| = 2 — модуль раскрылся со знаком плюс, поскольку 2 ≥ 0

|−4| = −(−4) = 4 — модуль раскрылся со знаком минус, поскольку −4 x ≥ 0 расписано подробнее, а именно сказано что если x > 0 , то выражение |x| будет равно x , а если x =0, то выражение |x| будет равно нулю.

Пример 4. Пусть x = 0. То есть мы рассматриваем модуль нуля:

В данном случае выполняется условие x=0, ведь 0 = 0

Пример 5. Раскрыть модуль в выражении |x|+ 3

Если x ≥ 0, то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид x + 3.

Допустим, требуется найти значение выражения |x|+ 3 при x = 5. Поскольку 5 ≥ 0, то модуль, содержащийся в выражении |x|+ 3 раскрóется со знаком плюс и тогда решение примет вид:

Найдём значение выражения |x|+ 3 при x = −6. Поскольку −6 |x| + 3 = 3 − x = 3 − (−6) = 9

Пример 6. Раскрыть модуль в выражении x +|x + 3|

Если x + 3 ≥ 0, то модуль |x + 3| раскроется со знаком плюс и тогда исходное выражение примет вид x + x + 3 , откуда 2x + 3.

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x = 4. Поскольку 4 ≥ −3, то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив 4 получим 11

Найдём значение выражения x +|x + 3| при x=−3.

Поскольку −3 ≥ −3 , то согласно нашему решению модуль выражения x +|x + 3| раскрывается со знаком плюс, и тогда исходное выражение принимает вид 2x+3, откуда подставив −3 получим −3

Пример 3. Раскрыть модуль в выражении

Как и прежде используем правило раскрытия модуля:

Но это решение не будет правильным, поскольку в первом случае написано условие x ≥ 0 , которое допускает что при x = 0 знаменатель выражения обращается в ноль, а на ноль делить нельзя.

В данном примере удобнее использовать подробную запись правила раскрытия модуля, где отдельно рассматривается случай при котором x = 0

Перепишем решение так:

В первом случае написано условие x > 0 . Тогда выражение станет равно 1. Например, если x = 3 , то числитель и знаменатель станут равны 3, откуда полýчится 1

И так будет при любом x , бóльшем нуля.

Во втором случае написано условие x = 0 . Тогда решений не будет, потому что на ноль делить нельзя.

В третьем случае написано условие x . Тогда выражение станет равно −1 . Например, если x = −4 , то числитель станет равен 4 , а знаменатель −4 , откуда полýчится единица −1

Пример 4. Раскрыть модуль в выражении

Если x ≥ 0 , то модуль, содержащийся в числителе, раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид , которое при любом x , бóльшем нуля, будет равно единице:

Если x , то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид

Но надо учитывать, что при x = − 1 знаменатель выражения обращается в ноль. Поэтому второе условие x следует дополнить записью о том, какие значения может принимать x

Преобразование выражений с модулями

Модуль, входящий в выражение, можно рассматривать как полноценный множитель. Его можно сокращать и выносить за скобки. Если модуль входит в многочлен, то его можно сложить с подобным ему модулем.

Как и у обычного буквенного множителя, у модуля есть свой коэффициент. Например, коэффициентом модуля |x| является 1, а коэффициентом модуля −|x| является −1. Коэффициентом модуля 3|x+1| является 3, а коэффициентом модуля −3|x+1| является −3.

Пример 1. Упростить выражение |x| + 2|x| − 2x + 5y и раскрыть модуль в получившемся выражении.

Решение

Выражения|x| и 2|x| являются подобными членами. Слóжим их. Остальное оставим без изменений:

Раскроем модуль в получившемся выражении. Если x ≥ 0, то получим 3x − 2x + 5y , откуда x + 5y .

Если x , то получим − 3x − 2x + 5y , откуда − 5x + 5y . Вынесем за скобки множитель − 5 , получим − 5(x − y)

В итоге имеем следующее решение:

Пример 2. Раскрыть модуль в выражении: −|x|

Решение

В данном случае перед знаком модуля стоит минус. Его можно понимать как минус единицу перед знаком модуля. Если x ≥ 0 , то модуль раскроется со знаком плюс, и тогда исходное выражение примет вид −x

Если x , то модуль раскроется со знаком минус, и тогда исходное выражение примет вид −(−x) откуда получим просто x

источники:

http://skysmart.ru/articles/mathematic/modul-chisla

Обобщённое понятие модуля числа

План урока:

Модуль числа

Решение уравнений с модулем

Уравнения с параметрами

Модуль числа

Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:

|9| = |– 9| = 9

|674| = |– 674| = 674

|2,536| = |– 2,536| = 2,536

Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:

Именно такое определение обычно и применяется в математике.

Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:

Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:

В частности, если n = 1, получим формулу:

Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:

Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:

В результате получилась «галочка».

Пример. Постройте график ф-ции у = |х² – 4х + 3|

Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х² – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:

Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х² – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:

Решение уравнений с модулем

Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид

|у(х)| = b

где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.

Если b< 0, то ур-ние корней не имеет, ведь модуль не может быть отрицательным.

Пример. Найдите корни ур-ния

|125x¹⁰ + 97x⁴– 12,56х³ + 52х² + 1001х – 1234| = – 15

Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.

Ответ: корни отсутствуют.

Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.

Пример. Решите ур-ние

|13х – 52| = 0

Решение.

Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:

13х – 52 = 0

13х = 52

х = 4

Ответ: 4.

Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:

|b| = b

|– b| = b

То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.

Пример. Решите ур-ние

|х| = 10

Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.

Ответ: 10; (– 10).

Пример. Решите ур-ние

|10х + 5| = 7

Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:

10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7

10х = 2 или 10х = – 12

х = 0,2 или х = – 1,2

Ответ: 0,2; (– 1,2).

Пример. Найдите корни ур-ния

|x²– 2х – 4| = 4

Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:

x²– 2х – 4 = 4 или x²– 2х – 4 = – 4

Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:

x²– 2х – 4 = 4

x²– 2х – 8 = 0

D = b²– 4ас = (– 2)² – 4•1•(– = 4 + 32 = 36

х₁ = (2 – 6)/2 = – 2

х₂ = (2 + 6)/2 = 4

Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:

x²– 2х – 4 = – 4

x²– 2х = 0

х(х – 2) = 0

х = 0 или х – 2 = 0

х = 0 или х = 2

Получили ещё два корня: 0 и 2.

Ответ: – 2, 4, 0, 2

Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:

|у(х)| = |g(x)|

Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.

Пример. Решите ур-ние

|x² + 2x– 1| = |х + 1|

Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:

x² + 2x– 1 = х + 1 или x² + 2x– 1 = – (х + 1)

х² + х – 2 = 0 или х² + 3х = 0

Решим 1-ое ур-ние:

х² + х – 2 = 0

D = b²– 4ас = 1² – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9

х₁ = (1 – 3)/2 = – 1

х₂ = (1 + 3)/2 = 2

Теперь переходим ко 2-омуур-нию:

х² + 3х = 0

х(х + 3) = 0

х = 0 или х + 3 = 0

х = 0 или х = – 3

Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.

Ответ:(– 1), (– 2), 2, 0.

Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.

Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:

|х² + 3,5х – 20| = 4,5х

Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:

х² + 3,5х – 20 = 4,5х илих² + 3,5х – 20 = – 4,5х

х² – х – 20 = 0 или х² + 8х – 20 = 0

Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.

х² – х – 20 = 0

D = b²– 4ас = 1² – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81

х₁ = (1 – 9)/2 = – 4

х₂ = (1 + 9)/2 = 5

х² + 8х – 20 = 0

D = b²– 4ас = 8² – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144

х₃ = (– 8 – 12)/2 = – 10

х₄ = (– 8 + 12)/2 = 2

Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:

4,5х ≥ 0

Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.

Ответ: 2 и 5

Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:

1. у(х) = b (b– это некоторая константа)
2. |у(х)| = |g(x)|
3. |у(х)| = g(x)

Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.

Пример. Найдите корни ур-ния

|x + 1| + |x– 4| = 6

Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:

Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:

Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.

Так как при х <– 1 оба подмодульные выр-ния отрицательны, то можно записать, что

|x + 1| = – (х + 1) = – х – 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Тогда ур-ние примет вид

|x + 1| + |x– 4| = 6

– х – 1 – х + 4 = 6

–2х = 3

х = – 1,5

Это значение удовлетворяет условию х <– 1, поэтому корень верный.

Далее изучим случай, когда х∊[– 1; 4). Здесь отрицательно только выражение x– 4, поэтому модули заменяются так:

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = – (х – 4) = – х + 4

Ур-ние примет вид:

|x + 1| + |x– 4| = 6

x + 1 – x+ 4 = 6

5 = 6

Получили неверное тождество. Получается, что на промежутке [– 1; 4) корней нет.

При х ≥4 выр-ния х – 4 и х + 1 положительны, поэтому

|x + 1| = х + 1

|x– 4| = х – 4

Исходное ур-ние будет выглядеть так

|x + 1| + |x– 4| = 6

х + 1 + х – 4 = 6

2х = 9

х = 4,5

Найденный корень удовлетворяет условию х ≥4, поэтому он также должен быть включен в ответ.

Уравнения с параметрами

Изучим ур-ния:

5х = 10

5х = 15

5х = 20

Для решения каждого из них надо число справа поделить на 5 (множитель перед х). В итоге получаем значения х, равные 2, 3 и 4.

Теперь обозначим число в правой части буквой, например, как v. Тогда все эти ур-ния будут выглядеть одинаково:

5х = v

Решением таких ур-ний будет дробь v/5.

Надо понимать разный смысл, который мы вкладываем при этом в буквы х и v. Через х мы обозначили переменную, то есть ту величину, значение которой необходимо найти. Под буквой v подразумевалась заранее известная величина, то есть константа, которая известна заранее в каждом конкретном ур-нии. Такую величину называют параметром, а ур-ние 5х = v называют уравнением с параметром.

Изучая уравнение с параметром, мы рассматриваем не одно конкретное ур-ние, а сразу целую группу, или семейство ур-ний. Например, все ур-ния первой степени можно описать в виде

ах + b= 0

где х – это переменная величина, а числа а, b– это параметры. Для описания квадратного ур-ния в общем виде необходимы уже три параметра (а, b и с):

ах² + bx + c = 0

Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.

Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.

Пример. Решите ур-ние

х² – 2ах = 0

и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.

Решение. Вынесем множитель х за скобки:

х² – 2ах = 0

х(х – 2а) = 0

х = 0 или х – 2а = 0

х = 0 или х = 2а

Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:

при а = 3х = 2•3 = 6

Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.

Пример. Решите ур-ние

р²х – 3рх = р² – 9

Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:

рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)

Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.

Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во

0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)

0 = – 9

Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.

Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее

3•х•0 = 0•(3 + 3)

0 = 0

Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.

Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим

В этом случае ур-ние имеет единственный корень.

Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.

Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.

Пример. Сколько корней имеет ур-ние

|х² – 6х + 5| = b

при различных значениях параметра b.

Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х² – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:

х² – 6х + 5 = 0

D = b²– 4ас = (– 6)² – 4•1•5 = 36 + 20 = 16

х₁ = (6 – 4)/2 = 1

х₂ = (6 + 4)/2 = 5

Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х₀ вершины параболы по формуле:

х₀ = –b/2a = 6/2 = 3

Подставив х₀ в квадратичную ф-цию найдем координату у₀ вершины параболы:

3² – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4

Теперь построим квадратичную ф-цию:

Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:

Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:

При b< 0 прямая пролегает ниже графика. Общих точек у графиков нет, а потому ур-ние корней не имеет.

При b = 0 прямая у = 0 касается графика в 2 точках: (1; 0) и (5; 0). Получаем 2 корня.

Если 0 <b< 4, то прямая пересекает график в 4 точках.

При b = 4 прямая у = 4 касается перевернутой вершины параболы, а также пересекает ветви ещё в 2 точках. Итого 3 корня.

Наконец, при b>4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.

Ответ: нет корней при b< 0; 2 корня при b = 0 и b> 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 <b< 4.

Пример. При каком а ур-ние

х⁴ – (а + 2)х² + 3а – 3 = 0

имеет ровно 4 корня?

Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х²:

у² – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)

Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у₁ и у₂. Тогда, проводя обратную замену х² = у₁ и х² = у₂, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны

Если же хоть один из двух корней, например, у₁, окажется равным нулю, то величины

Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у₁ будет отрицательным числом, то ур-ние

х² = у₁

вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.

Итак, решим ур-ние (1):

у² – (а + 2)у + 3а – 3 = 0

D = b²– 4ас = (– (а + 2))² – 4•1•(3а – 3) = (а + 2)² – 12 а + 12 =

= а² + 4а + 4 – 12а + 12 = а² – 8а + 16 = а² – 2•4•а + 4² = (а – 4)²

Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4)² положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.

Извлечем корень из дискриминанта:

Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:

И у₁, и у₂ должны быть положительными величинами, однако у₁ меньше, чем у₂ (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:

Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство

|а – 4| = а – 4

Тогда имеем

а + 2 – (а – 4) > 0

6> 0

Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.

Если а < 4, то справедливо соотношение

|а – 4| = – (а – 4)

Тогда получится следующее:

а + 2 – |а – 4|> 0

а + 2 – (– (а – 4)) > 0

а + 2 + а – 4 > 0

2а > 2

а > 1

Итак, при условии, что а< 4, должно выполняться нер-во а > 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение

а > 4

можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).

Пример. При каких параметрах а у ур-ния

х² – 2(а + 1)х + а² + 2а – 3 = 0

существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?

Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:

D = b²– 4ас = (– 2(а + 1))² – 4•1•( а² + 2а – 3) = 4(а² + 2а + 1) – 4(а² + 2а – 3) =

= 4(а² + 2а + 1 – а²– 2а + 3) = 4•4 = 16

Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам

Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х₁) был больше – 5, больший (это х₂) – меньше – 5:

Значит, должны выполняться два нер-ва

х₁>– 5и х₂<5

а – 1 >– 5 и а + 3 < 5

а >– 4 и а < 2

Эти два нер-ва выполняются, если а∊(– 4; 2)

Ответ: (– 4; 2)