Как найти значение выражения иррационального выражения

Рациональные и иррациональные алгебраические выражения: Назовем алгебраическим всякое выражение, получающееся из чисел и некоторых букв с помощью арифметических операций и воз­ведения в степень с рациональным показателем. Мы не включили в число операций извлечение корня, так как оно сводится к возве­дению в степень (с показателем ).

Примерами алгебраических выражений являются:

и т. д. Ясно, что многочлены — частный случай алгебраических выражений.

Говорят, что алгебраическое выражение рационально относительно некоторой буквы а, если никакая содержащая эту букву часть этого выражения не возводится в степень с нецелым показа­телем. В противном случае говорят, что выражение иррационально относительно буквы а. Например, выражение

рационально относительно буквы а и иррационально относительно буквы х

Одночленные иррациональные выражения

Иррациональное выражение называется одночленным, если оно получается из чисел и букв с помощью операций умножения и возведения в степень с рациональным показателем. Примерами одночленных иррацио­нальных выражений являются:

Иррациональное же выражение

не является одночлен­ным.

Некоторые одночленные иррациональные выражения можно упростить. Для этого надо:

а) Раскрыть все скобки, используя формулы

б) Объединить степени с одинаковыми основаниями, исполь­зуя формулу

в) Сократить дроби в показателях отдельных букв.

В результате получается выражение вида

где А —некоторое число (быть может, иррациональное), а — несократимые дроби.

Здесь уже отсутствуют скобки и каждая буква входит лишь один раз. Такой вид одночленного иррационального выражения мы будем называть каноническим.

Пример:

Привести к каноническому виду иррациональное выражение

По формулам (1), (2), (3), это выражение равно:

Сокращение показателей и приведение корней к общему показателю

Так как то из каждого свойства степеней с рацио­нальными показателями вытекает соответствующее свойство кор­ней.

Равенство (см. формулу (3), п. 2) переписывается так: при а > О имеем

Таким образом, если подкоренное выражение является степенью положительного числа, причем показатель степени имеет общий делитель с показателем корня, то можно сократить эти показатели на общий делитель. Например,

Из равенства (1) вытекает, что любые два корня с натуральными показателями можно привести к общему показателю.

Именно пусть даны корни Тогда по формуле (1) имеем (разумеется, в качестве общего показателя корней можно выбрать не mn, а наименьшее общее кратное чисел m и n).

Отметим, что формула (1) справедлива лишь при условии а > 0. В случае, когда а < 0, эта формула, вообще говоря, неверна. Например, рассмотрим Если а > 0, то по формуле (1) получаем Пусть теперь а < 0 . Тогда — а > 0 и Поэтому при а < 0 имеем:

Например,

Наконец, если а — 0, то . Полученные значения для можно выразить одной формулой

В самом деле, как так и |а | равны а при (—а) при а < 0.

Вообще, если общий делитель п, на который сокращают показатели корня и подкоренного выражения, четен и рассматриваются любые значения а, формулу (1) следует переписать так:

Пример:

Вычислить

По формуле (2) получаем:

Значит, если а если то этот корень равен

Извлечение корня из произведения и степени

Положим в формуле (1), п. 2, Мы получим, что при х > 0, у > 0:

Точно так же из формулы (2), п. 2, выводится, что при х > 0, у > 0:

Полученные свойства корней формулируются следующим обра­зом:

а) Корень n-й степени из произведения двух положительных чисел равен произведению корней п-й степени из отдельных сомножи­телей.

б) Корень n-й степени из отношения двух положительных чисел равен отношению корней n-й степени из этих чисел

Например,

Пользуясь свойствами (1) и (2), можно записать произведение нескольких корней с помощью одного знака корня. Если перемножаемые корни имеют один и тот же показатель, то для получения произведения надо перемножить их подкоренные выражения и извлечь из полученного произведения корень той же степени. Например,

Если же перемножаемые корни имеют различные показатели, то и с надо предварительно привести к общему показателю (см. стр. 103). Например,

Совершенно так же выполняется деление корней. Например,

Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесе­ние их под корень

Из формулы (1), п. 7, вытекает, что при а > 0 и b > 0:

Итак, если часть подкоренного выражения для корня n-й степе­ ни является n-й степенью некоторого положительного алгебраичес­кого выражения, то это выражение можно вынести из-под корня.

Следует иметь в виду, что формула (1) справедлива лишь при условии а >0, b > 0. Если же это условие не выполняется, а n = 2k — четное число, то вместо формулы (1) надо писать:

Возведение корня в степень

Эта операция основана на формуле (6 ). Из нее следует, что Это равенство можно записать так:

Таким образом, чтобы возвести корень с положительным под­ коренным выражением в некоторую степень, надо возвести в эту степень подкоренное выражение. Например,

Извлечение корня из корня

Эта операция также основана на формуле (6 ). Из нее следует, что , и потому

Таким образом, при извлечении корня из корня показатели корней перемножаются, а подкоренное выражение остается неизменным. Например,

Подобные корни

Два корня называются подобными, если их можно преобразовать к такому виду, чтобы они отличались лишь рациональным множителем (при этом предполагается, что перемен­ные, от которых зависит подкоренное выражение, положительны). Например, корни

и

подобны, так как при а > 0 , b > 0 , с > 0 , x> 0 имеем:

и

Второй корень получается из первого умножением на рациональный множитель.

Корни из одночленов подобны тогда и только тогда, когда в их канонической форме иррациональные множители одинаковы. Поэтому, чтобы убедиться в подобии двух корней из одночленов, надо привести их к канонической форме.

Сложение и вычитание корней

Вообще говоря, сумму не­ скольких корней не удается записать с помощью лишь одного знака корня. Однако, если среди рассматриваемых корней есть подобные, их можно сгруппировать вместе и вынести за скобки общий множитель.

Пример:

Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числи­ теле алгебраической дроби

Часто бывает нужно найти численное значение иррационального выражения при заданных значениях входящих в него букв. При этом бывает неудобно делить на ирра­циональные числа. В таких случаях стараются преобразовать за­ данное иррациональное выражение так, чтобы его знаменатель не содержал корней.

Посмотрим сначала, как выполняется это преобразование в случае, когда знаменатель дроби — корень из одночлена. Пусть дано иррациональное выражение . Если мы хотим освободиться от иррациональности в знаменателе этой дроби, то надо помножить и числитель, и знаменатель на такой множитель, чтобы в знаменателе извлекся корень. Ясно, что для этого надо умножить подкоренное выражение в знаменателе дроби на тогда оно станет равно и корень извлечется. Вспоминая правило умножения корней, видим, что числитель и знаменатель надо ум­ножить на Тогда мы получим, что

Вообще, если дано выражение вида , причем все показатели меньше n, то надо умножить числитель и знаменатель дроби на один и тот же множитель

Тогда при а >0, b > 0 , …, с > 0 получим:

Этот ответ остается справедливым при нечетном n для любых а, b, …, с. Если же n четно, то в общем случае в знаменателе надо писать

Теперь рассмотрим случай, когда знаменатель алгебраической дроби имеет вид где A и В — положительные рацио­нальные выражения. В этом случае надо умножить и числитель, и знаменатель на выражение (оно получается из знаменателя изменением знака при ). Так как (а +b) (а—b) = то при А > 0 и В > 0

Поскольку (А — В) — рациональное выражение, мы избавляем­ся от иррациональности в знаменателе дроби. (Точно так же избавляются от иррациональности в знаменателе, если он имеет вид ) Например,

Аналогично действуют в случае, когда знаменатель дроби имеет вид , где А и В — рациональные выражения. Уничтожение ир­рациональности в знаменателе основывается здесь на формуле

(см. стр. 32). Именно, положим и умножим числитель и знаменатель на одно и то же выражение

(где надо заменить а на и b на Тогда знаменатель примет вид:

то есть станет рациональным выражением. Случай, когда знаменатель равен , разбирается точно так же. Здесь надо положить

Если знаменатель имеет вид то надо поло­жить (соответственно и воспользоваться формулой

Если знаменатель имеет вид то корни надо сначала привести к общему показателю. Например,

Случай, когда знаменатель является суммой трех или большего числа корней, сложнее. Однако можно показать, что какой бы сложный вид ни имел знаменатель, всегда можно освободиться от иррациональности в знаменате­ле. Общие методы таких преобразований изучаются в высшей алгебре.

В некоторых задачах, наоборот, бывает целесообразно уничтожить иррациональность в числителе алгебраической дроби, т. е. преобразовать дробь к такому виду, чтобы ее числитель содержал лишь рациональные вы­ражения. Читателю должно быть ясно, что эта цель достигается теми же спо­собами, как уже в разобранных выше примерах.

Преобразование выражений вид

Пусть задано алгебраиче­ское выражение где А > 0, В > 0, Мы покажем сейчас, что его можно представить в следующем виде суммы двух корней:

Для доказательства покажем сначала, что квадраты выражений в обеих частях равенства (1) совпадают. В самом деле,

С другой стороны,

Осталось показать, что обе части равенства (1) положительны. Для левой части это очевидно, так как мы рассматриваем лишь арифметические значе­ния корней. Д ля правой это справедливо, поскольку при А >0, В > 0

Формула (1) позволяет упростить выражение в случае, когда разность есть полный квадрат. Например, имеем:

Иррациональные уравнения и неравенства

Определение:

Иррациональным уравнением называется уравнение вида R(х)=0, где R(х) — иррациональное выражение от х. К такому виду приводятся уравнения и — иррациональные выражения от х. Например,

являются иррациональными уравнениями, а

— рациональное алгебраическое уравнение (так как х не находится под знаком корня).

В иррациональных уравнениях все радикалы понимаются в смысле арифметического значения. Поэтому, если показатель корня — четное число, то подкоренное выражение и значение кор­ня должны быть неотрицательными. Отсюда ясно, например, что иррациональное уравнение не имеет решений — его левая часть неотрицательна при всех допустимых значениях х.

Сведение иррациональных уравнений к рациональным

Для решения иррациональных уравнений стараются свести их к раци­ональным уравнениям. С этой целью обе части уравнения после соответствующих преобразований возводят в одну и ту же степень. Чтобы показать, что при этом не происходит потери корней, дока­жем следующую теорему.

Теорема:

Если число а — корень уравнения , то это число удовлетворяет и уравнению

Доказательство:

По условию имеет место равенство Возведем обе части этого равенства в n-ю степень. Равенство от этого не нарушится, и мы получим,» что Это показывает, что а — корень уравнения

Итак, при возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень мы получаем уравнение, являющееся следствием исходного. Однако это уравнение при четных п неравносильно исходному. Ведь если из равенства вытекает то обратное неверно. Именно из следует лишь, что Если при этом имеют одинаковые знаки, то . Если же они имеют различные знаки, то . Таким образом, корень уравнения может удовлетворять не только уравнению , но и уравнению Во втором случае он является посторонним для уравне­ния . Если же показатель n нечетен, n=2k+1, то из следует, что Поэтому уравнения и равносильны.

Итак, если при решении уравнения нам пришлось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могли получиться посторонние корни. Чтобы выяснить, какие из корней уравнения удовлетворяют исходному уравнению надо подставить их в исходное уравнение и посмотреть, удовлетворяют они уравнению или нет.

Примеры:

1) Решить уравнение

Возводя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение:

Его корнем является . Но не удовлетворяет уравнению (1)— после подстановки получается неверное равенство. Следовательно, уравнение (1) решений не имеет.

2) Решить уравнение

Здесь после возведения в квадрат получаем уравнение:

Его корнем является . Проверка показывает, что удовлетворяет уравнению (2).

3) Решить уравнение

Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем квадратное уравнение . Его корнями являются . Проверка показывает, что только корень x = 3 удовлетворяет заданному уравнению. Корень же x = —1 удовлет­воряет уравнению

Уединение радикала

Мы видели, что при решении иррациональных уравнений приходится возводить обе части уравнения в одну и ту же степень. При этом, разумеется, желательно, чтобы хоть одна из частей уравнения имела вид где Р(х) — ра­циональное выражение. В этом случае после возведения обеих частей уравнения в n-ю степень мы получим в соответствующей части уравнения рациональное выражение. Поэтому при решении иррациональных уравнений обычно поступают так.

Выбирают один из радикалов, входящих в уравнение, остав­ляют его в одной стороне уравнения, а все остальные члены пере­носят в другую сторону. После этого возводят обе части получив­шегося уравнения в степень, показатель которой равен показателю уединенного радикала. Повторяя этот процесс, освобождаются от всех радикалов, входящих в уравнение, и получают рациональное уравнение. При этом, если при решении приходилось хоть раз воз­водить обе части равенства в степень с четным показателем, полученные корни необходимо проверить. Проверка осуществляется путем подстановки корней в исходное уравнение.

Рассмотрим некоторые примеры.

1) Решить уравнение

Перенесем в правую часть уравнения и возведем обе части получившегося равенства в квадрат. Мы получим:

или

Отсюда находим . Снова возведем обе части уравнения в квадрат: . Корнями этого уравнения являют­ся

Проверим полученные корни. Подставляя корень заданное уравнение, получаем или 8 = 8. Значит, этот корень удовлетворяет заданному уравнению. Корень также удовлетворяет этому уравнению.

2) Решить уравнение

Уединим радикал и возведем обе части уравнения в квадрат. Получим

Корнями этого уравнения являются Однако из этих корней заданному уравнению удовлетворяет лишь

корень же является посторонним. Он удовлетворяет уравнению

Введение нового неизвестного

Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается полезным введение нового неизвестного. Рассмотрим уравнение

Если попробовать уединить радикал, то после возведения в квадрат получится уравнение четвертой степени. Поэтому мы будем решать это уравнение иначе. Положим Так как то уравнение (1) можно переписать так:

Решая это квадратное уравнение, находим корни Таким образом, решение уравнения (1) свелось к решению уравнения

(уравнение не имеет решений, так как ради­ кал понимается в смысле арифметического значения, а потому не может равняться отрицательному числу).

Из уравнения (2) находим, что Проверка показывает, что оба корня уравнению (1) удовлетворяют.

Особые случаи решения иррациональных уравнений

В разобранных выше примерах после освобождения от иррациональ­ности получались уравнения, имевшие один или несколько корней. В этом случае удается обнаружить посторонние корни путем подста­новки их в первоначальное уравнение. В некоторых примерах, од­нако, после освобождения от иррациональности получается ра­венство, тождественно выполняющееся на всей числовой оси или на некотором бесконечном числовом множестве. В этом случае проверка корней путем подстановки становится уже невозможной, поскольку найденное множество корней бесконечно. Для таких уравнений в ходе решения выясняют дополнительные условия на возможные корни, имеющие форму неравенств, и отбирают лишь корни, удовлетворяющие этим условиям.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пусть дано иррациональное уравнение:

Решим его путем освобождения от иррациональности. Для этого уединим первый радикал и возведем обе части равенства в квадрат. Мы получим, что

то есть

Вновь возводя в квадрат, получаем:

Это равенство тождественно выполняется для всех значений х. Однако, подставляя в уравнение (1), например, х = 4, получаем неверное соотношение: 1 + 9 = 8. Таким образом, первоначальному уравнению удовлетворяют не все значения х. Как мы уже говорили, отобрать корни уравнения (1) методом подстановки невоз­можно, поскольку множество корней уравнения (2′) бесконечно.

Выясним, откуда появились посторонние корни. Дело в том, что мы рассматриваем здесь лишь арифметические значения ради­калов. Из-за этого на х налагаются дополнительные ограничения, имеющие вид неравенств. А при возведении обеих частей уравне­ния в квадрат эти ограничения были сняты. Таким образом, чтобы найти, при каких же значениях х удовлетворяется первоначальное уравнение, нам надо отобрать числа, удовлетворяющие соответст­вующим неравенствам.

В первую очередь должны выполняться неравенства поскольку подкоренные выраже­ния должны быть неотрицательными. Эти неравенства выполняют­ся для всех значений х:

и не дают нужных нам ограничений на х.

Далее, так как то

Это неравенство выполняется лишь в области, где то есть Решением этого квадратного неравенства является отрезок— Дальнейшие ограничения на х получаем из равенства (2). Так как левая часть этого равенства заведомо неотрицательна, то должно выполняться условие

Итак, мы нашли два дополнительных условия на х:

Решением системы неравенств (3) является отрезок Поскольку, кроме неравенств (3), никаких ограничений на х не накладывается, а уравнение, полученное после освобождения от иррациональностей, выполняется тождественно на всей числовой оси, решением уравнения (1) является отрезок Ины­ми словами, равенство (1) справедливо для любой точки этого от­резка.

Уравнение (1) можно решить иначе. Для этого заметим, что

и

Так как то уравнение (1) переписывается так:

Точки —5 и 3 разбивают числовую ось на участки На каждом из этих участков знаки (х—3) и (х + 5) постоянны. Принимая во внимание эти знаки, получаем, что урав­нение можно записать так:

или

Отсюда снова видно, что равенство (1) тождественно выполняется на отрезке и не выполняется ни в одной точке, лежащей вне этого отрезка.

Точно так же решается иррациональное уравнение

Здесь мы имеем условие на х вида Представим уравнение так:

или

Отсюда получим:

Возможны три случая:

1) В этой области уравнение равносильно уравнению

то есть а по условию

2) Здесь уравнение (4) равносильно уравнению

или 1 = 1. Это значит, что любое значение х, удовлетворяющее неравенству удовлетворяет и уравнению а значит, и исходному уравнению.

з ) В этом случае уравнение (4′) принимает вид:

Отсюда а по условию

Итак, чтобы найти решение уравнения (4), нам осталось ре­шить иррациональное неравенство

Возводя все члены этого неравенства в квадрат, получаем, что то есть Значит, решением уравнения (4) является отрезок [5, 10].

Иррациональные неравенства

Рассмотрим теперь иррациональные неравенства, то есть неравенства, содержащие неизвестное под знаком корня. Решение таких неравенств осложняется рядом обстоятельств. Во-первых, для иррациональных неравенств, как и для иррациональных уравнений, рассматриваются лишь ариф­метические значения корня. Иными словами, если показатель кор­ня — четное число, то подкоренное выражение должно быть неот­рицательным, равно как и значение корня. Кроме этого, неравен­ство , вообще говоря, неравносильно неравенству . Ведь только для положительных а и b из а <b заведо­мо вытекает , а из следует а < b.

Пример:

Решить иррациональное неравенство

Сначала найдем область его определения. Ясно, что подкоренное выражение должно быть неотрицательно:

Решая это неравенство, получаем множество А, состоящее из двух лучей Кроме того, корень принимает лишь неотри­цательные значения, а потому и правая часть неравенства (1) долж­на быть неотрицательной: Пересекая множество А с лучом получаем луч Итак, мы доказали, что нера­венство (1) задано в области В этой области обе части не­равенства (1) принимают положительные значения и потому нера­венство (1) равносильно неравенству

Наша задача свелась к решению системы неравенств:

Из второго неравенства получаем x > 2. Значит, решением служит пересечение луча с лучом x > 2, то есть луч

Пример:

Решить иррациональное неравенство

Это неравенство задано в области, определяемой ограничениями Их можно заменить одним неравенством В области обе части неравенства (2) положительны, и потому оно равносильно неравенству Итак, мы заменили неравенство (2) равносильной ему системой неравенств:

Она решается так же, как в примере 1. В результате получаем систему неравенств, равносильную неравенству (2)

Решая эту систему, находим, что .

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференциал функции
43. Дифференцирование в математике
44. Формулы и правила дифференцирования
45. Дифференциальное исчисление
46. Дифференциальные уравнения
47. Дифференциальные уравнения первого порядка
48. Дифференциальные уравнения высших порядков
49. Дифференциальные уравнения в частных производных
50. Тригонометрические функции
51. Тригонометрические уравнения и неравенства
52. Показательная функция
53. Показательные уравнения
54. Обобщенная степень
55. Взаимно обратные функции
56. Логарифмическая функция
57. Уравнения и неравенства
58. Положительные и отрицательные числа
59. Алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат

Иррациональные выражения и их преобразования

        В прошлый раз мы вспомнили (или узнали — кому как), что же такое корень n-й степени, научились извлекать такие корни, разобрали по винтикам основные свойства корней и решали несложные примеры с корнями.

        Этот урок будет продолжением предыдущего и будет посвящён преобразованиям самых разных выражений, содержащих всевозможные корни. Такие выражения называются иррациональными. Здесь появятся и выражения с буквами, и дополнительные условия, и избавление от иррациональности в дробях, и некоторые продвинутые приёмы в работе с корнями. Те приёмы, которые будут рассматриваться в данном уроке, станут хорошей базой для решения задач ЕГЭ (и не только) практически любого уровня сложности. Итак, давайте приступим.

        Прежде всего я продублирую здесь основные формулы и свойства корней. Чтобы не скакать из темы в тему. Вот они:

 при 

        Формулы эти надо обязательно знать и уметь применять. Причём в обе стороны — как слева направо, так и справа налево. Именно на них и основывается решение большинства заданий с корнями любой степени сложности. Начнём пока с самого простого — с прямого применения формул или их комбинаций.

Простое применение формул

        В этой части будут рассматриваться простые и безобидные примеры — без букв, дополнительных условий и прочих хитростей. Однако даже в них, как правило, имеются варианты. И чем навороченнее пример, тем больше таких вариантов. И у неопытного ученика возникает главная проблема — с чего начинать? Ответ здесь простой — не знаешь, что нужно — делай что можно. Лишь бы ваши действия шли в мире и согласии с правилами математики и не противоречили им.) Например, такое задание:

        Вычислить: 

        Даже в таком простеньком примере возможны несколько путей к ответу.

        Первый — просто перемножить корни по первому свойству и извлечь корень из результата:

        Второй вариант такой:  не трогаем, работаем с . Выносим множитель из-под знака корня, а дальше — по первому свойству. Вот так:

        Решать можно как больше нравится. В любом из вариантов ответ получается один — восьмёрка. Мне, например, проще перемножить 4 и 128 и получить 512, а из этого числа отлично извлекается кубический корень. Если кто-то не помнит, что 512 — это 8 в кубе, то не беда: можно записать 512 как 2⁹ (первые 10 степеней двойки, я надеюсь, помните?) и по формуле корня из степени:

        Другой пример.

        Вычислить: .

        Если работать по первому свойству (всё загнать под один корень), то получится здоровенное число, из которого корень потом извлекать — тоже не сахар. Да и не факт, что он извлечётся ровно.) Поэтому здесь полезно в числе  вынести множители из-под корня. Причём вынести по максимуму:

        И теперь всё наладилось:

        Осталось восьмёрку и двойку записать под одним корнем (по первому свойству) и — готово дело.

        Добавим теперь немного дробей.

        Вычислить:

        

        Пример совсем примитивный, однако и в нём имеются варианты. Можно с помощью вынесения множителя преобразовать числитель и сократить со знаменателем:

        А можно сразу воспользоваться формулой деления корней:

        Как видим, и так, и сяк — всяко правильно.) Если не споткнуться на полпути и не ошибиться. Хотя где тут ошибаться-то…

        Разберём теперь самый последний пример из домашнего задания прошлого урока:

        Упростить:

            

        Совершенно немыслимый набор корней, да ещё и вложенных. Как быть? Главное — не бояться! Здесь мы первым делом замечаем под корнями числа 2, 4 и 32 — степени двойки. Первое что нужно сделать — привести все числа к двойкам: всё-таки чем больше одинаковых чисел в примере и меньше разных, тем проще.) Начнём отдельно с первого множителя:

        Число  можно упростить, сократив двойку под корнем с четвёркой в показателе корня:

        Теперь, согласно корню из произведения:

.

        В числе  выносим двойку за знак корня: 

        А с выражением  расправляемся по формуле корня из корня:

        Значит, первый множитель запишется вот так:

.

        Вложенные корни исчезли, числа стали поменьше, что уже радует. Вот только корни разные, но пока так и оставим. Надо будет — преобразуем к одинаковым. Берёмся за второй множитель.)

        Второй множитель преобразовываем аналогично, по формуле корня из произведения и корня из корня. Где надо — сокращаем показатели по пятой формуле:

        Вставляем всё в исходный пример и получаем:

        Получили произведение целой кучи совершенно разных корней. Неплохо было бы привести их все к одному показателю, а там — видно будет. Что ж, это вполне возможно. Наибольший из показателей корней равен 12, а все остальные — 2, 3, 4, 6 — делители числа 12. Поэтому будем приводить все корни по пятому свойству к одному показателю — к 12:

        Считаем и получаем:

        Красивого числа не получили, ну и ладно. Нас просили упростить выражение, а не посчитать. Упростили? Конечно! А вид ответа (целое число или нет) здесь уже не играет никакой роли.

Немного сложения / вычитания и формул сокращённого умножения

        К сожалению, общих формул для сложения и вычитания корней в математике нету. Однако, в заданиях сплошь и рядом встречаются эти действия с корнями. Здесь необходимо понимать, что любые корни — это точно такие же математические значки, как и буквы в алгебре.) И к корням применимы те же самые приёмы и правила, что и к буквам — раскрытие скобок, приведение подобных, формулы сокращённого умножения и т.п.

        Например, каждому ясно, что . Точно так же одинаковые корни можно совершенно спокойно между собой складывать/вычитать:

        Если корни разные, то ищем способ сделать их одинаковыми — внесением/вынесением множителя или же по пятому свойству. Если ну никак не упрощается, то, возможно, преобразования более хитрые.

        Смотрим первый пример.

        Найти значение выражения: .

        Все три корня хоть и кубические, но из разных чисел. Чисто не извлекаются и между собой складываются/вычитаются. Стало быть, применение общих формул здесь не катит. Как быть? А вынесем-ка множители в каждом корне. Хуже в любом случае не будет.) Тем более что других вариантов, собственно, и нету:

        Стало быть, .

        Вот и всё решение. Здесь мы от разных корней перешли к одинаковым с помощью вынесения множителя из-под корня. А затем просто привели подобные.) Решаем дальше.

        Найти значение выражения: 

        С корнем из семнадцати точно ничего не поделаешь. Работаем по первому свойству — делаем из произведения двух корней один корень:

        А теперь присмотримся повнимательнее. Что у нас под большим кубическим корнем? Разность ква.. Ну, конечно! Разность квадратов:

        Теперь осталось только извлечь корень: .

        Дальше очень похожий пример, но посложнее.

        Вычислить: 

        Здесь придётся проявить математическую смекалку.) Мыслим примерно следующим образом: «Так, в примере произведение корней. Под одним корнем разность, а под другим — сумма. Очень похоже на формулу разности квадратов. Но… Корни — разные! Первый квадратный, а второй — четвёртой степени… Хорошо бы сделать их одинаковыми. По пятому свойству можно легко из квадратного корня сделать корень четвёртой степени. Для этого достаточно подкоренное выражение возвести в квадрат.»

        Если вы мыслили примерно так же, то вы — на полпути к успеху. Совершенно верно! Превратим первый множитель в корень четвёртой степени. Вот так:

       Теперь, ничего не поделать, но придётся вспомнить формулу квадрата разности. Только в применении к корням. Ну и что? Чем корни хуже других чисел или выражений?! Возводим:

       «Хм, ну возвели и что? Хрен редьки не слаще. Стоп! А если вынести четвёрку под корнем? Тогда выплывет то же самое выражение, что и под вторым корнем, только с минусом, а ведь именно этого мы и добиваемся!»

        Верно! Выносим четвёрку:

.

        А теперь — дело техники:

.

        Вот так распутываются сложные примеры. ) Теперь пора потренироваться с дробями.

        Вычислить:

        

        Ясно, что надо преобразовывать числитель. Как? По формуле квадрата суммы, разумеется. У нас есть ещё варианты разве? Возводим в квадрат, выносим множители, сокращаем показатели (где надо):

        Во как! Получили в точности знаменатель нашей дроби. ) Значит, вся дробь, очевидно, равна единице:

        Ещё пример. Только теперь на другую формулу сокращённого умножения.)

        Вычислить:

            

        Понятно, что квадрат разности надо в дело применять. Выписываем знаменатель отдельно и — поехали!

        Выносим множители из-под корней:

        Следовательно, 

.

        Теперь всё нехорошее великолепно сокращается и получается:

        Что ж, поднимаемся на следующий уровень.

Буквы и дополнительные условия

        Буквенные выражения с корнями — штука более хитрая, чем числовые выражения, и является неиссякаемым источником досадных и очень грубых ошибок. Перекроем этот источник.) Ошибки всплывают из-за того, что частенько таких заданиях фигурируют отрицательные числа и выражения. Они либо даны нам прямо в задании, либо спрятаны в буквах и дополнительных условиях. А нам в процессе работы с корнями постоянно надо помнить, что в корнях чётной степени как под самим корнем, так и в результате извлечения корня должно быть неотрицательное выражение. Ключевой формулой в задачах этого пункта будет четвёртая формула:

        С корнями нечётной степени вопросов никаких — там всегда всё извлекается что с плюсом, что с минусом. И минус, если что, выносится вперёд. Будем сразу разбираться с корнями чётных степеней.) Например, такое коротенькое задание.

        Упростить: , если .

        Казалось бы, всё просто. Получится просто икс. ) Но зачем же тогда дополнительное условие  ? В таких случаях полезно прикинуть на числах. Чисто для себя.) Если , то икс — заведомо отрицательное число. Минус три, например. Или минус сорок. Пусть . Можно минус три возвести в четвёртую степень? Конечно! Получится 81. Можно из 81 извлечь корень четвёртой степени? А почему нет? Можно! Получится тройка. Теперь проанализируем всю нашу цепочку:

        Что мы видим? На входе было отрицательное число, а на выходе — уже положительное. Было минус три, стало плюс три.) Возвращаемся к буквам. Вне всяких сомнений, по модулю это будет точно икс, но только сам икс у нас с минусом (по условию!), а результат извлечения (в силу арифметического корня!) должен быть с плюсом. Как получить плюс? Очень просто! Для этого достаточно перед заведомо отрицательным числом поставить минус.) И правильное решение выглядит так:

        Кстати сказать, если бы мы воспользовались формулой , то, вспомнив определение модуля, сразу получили бы верный ответ. Поскольку

|x| = -x при x<0.

        Дальше тренируемся.)

        Вынести множитель за знак корня: , где .

        Первый взгляд — на подкоренное выражение. Тут всё ОК. При любом раскладе оно будет неотрицательным. Начинаем извлекать. По формуле корня из произведения, извлекаем корень из каждого множителя:

        Откуда взялись модули, объяснять, думаю, уже не надо.) А теперь анализируем каждый из модулей.

        Множитель |a| так и оставляем без изменений: у нас нету никакого условия на букву a. Мы не знаем, положительное она или отрицательная. Следующий модуль |b²| можно смело опустить: в любом случае выражение b² неотрицательно. А вот насчёт |c³| — тут уже задачка.) Если , то и c³<0. Стало быть, модуль надо раскрыть с минусом: |c³| = —c³. Итого верное решение будет такое:

        А теперь — обратная задача. Не самая простая, сразу предупреждаю!

        Внести множитель под знак корня: .

        Если вы сразу запишете решение вот так

,

то вы попали в ловушку. Это неверное решение! В чём же дело?

        Давайте вглядимся в выражение под корнем . Под корнем четвёртой степени, как мы знаем, должно находиться неотрицательное выражение. Иначе корень смысла не имеет.) Поэтому  А это, в свою очередь, значит, что  и, следовательно, само  также неположительно: .

        И ошибка здесь состоит в том, что мы вносим под корень неположительное число : четвёртая степень превращает его в неотрицательное и получается неверный результат — слева заведомый минус, а справа уже плюс. А вносить под корень чётной степени мы имеем право только неотрицательные числа или выражения. А минус, если есть, оставлять перед корнем.) Как же нам выделить неотрицательный множитель в числе , зная, что оно само стопудово отрицательное? Да точно так же! Поставить минус.) А чтобы ничего не поменялось, скомпенсировать его ещё одним минусом. Вот так:

        И теперь уже неотрицательное число (-b) спокойно вносим под корень по всем правилам:

        Этот пример наглядно показывает, что, в отличие от других разделов математики, в корнях правильный ответ далеко не всегда вытекает автоматически из формул. Необходимо подумать и лично принять верное решение.) Особенно следует быть внимательнее со знаками в иррациональных уравнениях и неравенствах.

        Разбираемся со следующим важным приёмом в работе с корнями — избавлением  от иррациональности.

Избавление от иррациональности в дробях

        Если в выражении присутствуют корни, то, напомню, такое выражение называется выражением с иррациональностью. В некоторых случаях бывает полезно от этой самой иррациональности (т.е. корней) избавиться. Как можно ликвидировать корень? Корень у нас пропадает при… возведении в степень. С показателем либо равным показателю корня, либо кратным ему. Но, если мы возведём корень в степень (т.е. помножим корень сам на себя нужное число раз), то выражение от этого поменяется. Нехорошо.) Однако в математике бывают темы, где умножение вполне себе безболезненно. В дробях, к примеру. Согласно основному свойству дроби, если числитель и знаменатель умножить (разделить) на одно и то же число, то значение дроби не изменится.

        Допустим, нам дана вот такая дробь:

        Можно ли избавиться от корня в знаменателе? Можно! Для этого корень надо возвести в куб. Чего нам не хватает в знаменателе для полного куба? Нам не хватает множителя , т.е. . Вот и домножаем числитель и знаменатель дроби на 

        Корень в знаменателе исчез. Но… он появился в числителе. Ничего не поделать, такова судьба.) Нам это уже не важно: нас просили знаменатель от корней освободить. Освободили? Безусловно.)

        Кстати, те, кто уже в ладах с тригонометрией, возможно, обращали внимание на то, что в некоторых учебниках и таблицах, к примеру,  обозначают по-разному: где-то , а где-то . Вопрос — что правильно? Ответ: всё правильно! ) Если догадаться, что  – это просто результат освобождения от иррациональности в знаменателе дроби .

        Зачем нам освобождаться от иррациональности в дробях? Какая разница — в числителе корень сидит или в знаменателе? Калькулятор всё равно всё посчитает.) Ну, для тех, кто не расстаётся с калькулятором, разницы действительно практически никакой… Но, даже считая на калькуляторе, можно обратить внимание на то, что делить на целое число всегда удобнее и быстрее, чем на иррациональное. А уж про деление в столбик вообще умолчу.)

        Следующий пример только подтвердит мои слова.

        Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

        Как здесь ликвидировать квадратный корень в знаменателе? Если числитель и знаменатель помножить на выражение , то в знаменателе получится квадрат суммы. Сумма квадратов первого и второго чисел дадут нам просто числа безо всяких корней, что очень радует. Однако… всплывёт удвоенное произведение первого числа на второе, где корень из трёх всё равно останется. Не канает. Как быть? Вспомнить другую замечательную формулу сокращённого умножения! Где никаких удвоенных произведений, а только квадраты:

        Такое выражение, которое при домножении какой-то суммы (или разности) выводит на разность квадратов, ещё называют сопряжённым выражением. В нашем примере сопряжённым выражением будет служить разность . Вот и домножаем на эту разность числитель и знаменатель:

        Что тут можно сказать? В результате наших манипуляций не то что корень из знаменателя исчез — вообще дробь исчезла! Даже с калькулятором отнять корень из трёх от тройки проще, чем считать дробь с корнем в знаменателе. Ещё пример.

        Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

        Как здесь выкручиваться? Формулы сокращённого умножения с квадратами сразу не катят — не получится полной ликвидации корней из-за того, что корень у нас в этот раз не квадратный, а кубический. Надо, чтобы корень как-то возвёлся в куб. Стало быть, применять надо какую-то из формул с кубами. Какую? Давайте подумаем. В знаменателе — сумма . Как нам добиться возведения корня в куб? Домножить на неполный квадрат разности! Значит, применять будем формулу суммы кубов. Вот эту:

        В качестве a у нас тройка, а в качестве b — корень кубический из пяти:

        И снова дробь исчезла.) Такие ситуации, когда при освобождении от иррациональности в знаменателе дроби у нас вместе с корнями полностью исчезает сама дробь, встречаются очень часто. Как вам вот такой примерчик!

        Вычислить:

        

        Попробуйте просто сложить эти три дроби! Без ошибок! Один общий знаменатель чего стоит. А что, если попробовать освободиться от иррациональности в знаменателе каждой дроби? Что ж, пробуем:

        Ух ты, как интересно! Все дроби пропали! Напрочь. И теперь пример решается в два счёта:

           

        Просто и элегантно. И без долгих и утомительных вычислений.

        Именно поэтому операцию освобождения от иррациональности в дробях надо уметь делать. В подобных навороченных примерах только она и спасает, да.) Разумеется, внимательность никто не отменял. Бывают задания, где просят избавиться от иррациональности в числителе. Эти задания ничем от рассмотренных не отличаются, только от корней очищается числитель.)

Более сложные примеры

        Осталось рассмотреть некоторые специальные приёмы в работе с корнями и потренироваться распутывать не самые простые примеры. И тогда полученной информации уже будет достаточно для решения заданий с корнями любого уровня сложности. Итак — вперёд.) Для начала разберёмся, что делать со вложенными корнями, когда формула корня из корня не работает. Например, вот такой примерчик.

        Вычислить: 

        Корень под корнем… К тому же под корнями сумма или разность. Стало быть, формула корня из корня (с перемножением показателей) здесь не действует. Значит, надо что-то делать с подкоренными выражениями: у нас просто нету других вариантов. В таких примерах чаще всего под большим корнем зашифрован полный квадрат какой-нибудь суммы. Или разности. А корень из квадрата уже отлично извлекается! И теперь наша задача — его расшифровать.) Такая расшифровка красиво делается через систему уравнений. Сейчас всё сами увидите.)

        Итак, под первым корнем у нас вот такое выражение:

        А вдруг, не угадали? Проверим! Возводим в квадрат по формуле квадрата суммы:

        Всё верно.) Но… Откуда я взял это выражение ? С неба?

        Нет.) Мы его чуть ниже получим честно. Просто по данному выражению я показываю, как именно составители заданий шифруют такие квадраты. Что такое 54? Это сумма квадратов первого и второго чисел. Причём, обратите внимание, уже без корней! А корень остаётся в удвоенном произведении, которое в нашем случае равно . Поэтому распутывание подобных примеров начинается с поиска удвоенного произведения. Если распутывать обычным подбором. И, кстати, о знаках. Тут всё просто. Если перед удвоенным плюс, то квадрат суммы. Если минус, то разности.) У нас плюс — значит, квадрат суммы.) А теперь — обещанный аналитический способ расшифровки. Через систему.)

        Итак, у нас под корнем явно тусуется выражение (a+b)², и наша задача — найти a и b. В нашем случае сумма квадратов даёт 54. Вот и пишем:

        Теперь удвоенное произведение. Оно у нас . Так и записываем:

        Получили вот такую системку:

        Решаем обычным методом подстановки. Выражаем из второго уравнения, например,  и подставляем в первое:

        Решим первое уравнение:

           

           

       Получили биквадратное уравнение относительно a. Считаем дискриминант: 

       Значит,

       Получили аж четыре возможных значения a. Не пугаемся. Сейчас мы всё лишнее отсеем.) Если мы сейчас для каждого из четырёх найденных значений  посчитаем соответствующие значения , то получим четыре решения нашей системы. Вот они:

        И тут вопрос — а какое из решений нам подходит? Давайте подумаем. Отрицательные решения можно сразу отбросить: при возведении в квадрат минусы «сгорят», и всё подкоренное выражение в целом не изменится.) Остаются первые два варианта. Выбрать их можно совершенно произвольно: от перестановки слагаемых сумма всё равно не меняется.) Пусть, например, , а .

        Итого получили под корнем квадрат вот такой суммы:

        Всё чётко.)

        Я не зря так детально описываю ход решения. Чтобы было понятно, как происходит расшифровка.) Но есть одна проблемка. Аналитический способ расшифровки хоть и надёжный, но весьма длинный и громоздкий: приходится решать биквадратное уравнение, получать четыре решения системы и потом ещё думать, какие из них выбрать… Хлопотно? Согласен, хлопотно. Этот способ безотказно работает в большинстве подобных примеров. Однако очень часто можно здорово сократить себе работу и найти оба числа творчески. Подбором.) Да-да! Сейчас, на примере второго слагаемого (второго корня), я покажу более лёгкий и быстрый способ выделения полного квадрата под корнем.

        Итак, теперь у нас вот такой корень: .

        Размышляем так: «Под корнем — скорее всего, зашифрованный полный квадрат. Раз перед удвоенным минус — значит, квадрат разности. Сумма квадратов первого и второго чисел даёт нам число 54. Но какие это квадраты? 1 и 53? 49 и 5? Слишком много вариантов… Нет, лучше начать распутывать с удвоенного произведения. Наши  можно расписать как  . Раз произведение удвоенное, то двойку сразу отметаем. Тогда кандидатами на роль a и b остаются 7 и . А вдруг, это 14 и /2? Не исключено. Но начинаем-то всегда с простого!» Итак, пусть , а . Проверим их на сумму квадратов:

        Получилось! Значит, наше подкоренное выражение — это на самом деле квадрат разности:

 

        Вот такой вот способ-лайт, чтобы не связываться с системой. Не всегда работает, но во многих таких примерах его вполне достаточно. Итак, под корнями — полные квадраты. Осталось только правильно извлечь корни, да досчитать пример:

        А теперь разберём ещё более нестандартное задание на корни.)

        Докажите, что число A – целое, если .

        Впрямую ничего не извлекается, корни вложенные, да ещё и разных степеней… Кошмар! Однако, задание имеет смысл.) Стало быть, ключ к его решению имеется.) А ключ здесь такой. Рассмотрим наше равенство

как уравнение относительно A. Да-да! Хорошо бы избавиться от корней. Корни у нас кубические, поэтому возведём-ка обе части равенства в куб. По формуле куба суммы:

       Кубы и корни кубические друг друга компенсируют, а под каждым большим корнем забираем одну скобку у квадрата и сворачиваем произведение разности и суммы в разность квадратов:

        Отдельно сосчитаем разность квадратов под корнями:

        Отлично! Значит, всё наше равенство ещё сильнее упростится:

   

        А теперь делаем финт ушами — заменяем сумму корней в скобках на A (согласно условию примера!).

        Получаем кубическое уравнение  или .

        Здесь как раз тот случай, когда один из корней легко угадывается — это . Значит, наш многочлен  можно разложить как

        Как разложить? Либо по схеме Горнера, либо делением «уголком» на скобку (A-4), либо даже группировкой (если представить -3A как -16A+13A). Объяснять подробно деление уголком или схему Горнера в теме про корни — уже совсем отклоняться от курса.) Кто в теме — и так поймёт.

        А теперь легко заметить, что квадратный трёхчлен во вторых скобках имеет отрицательный дискриминант, а значит, наше уравнение имеет единственный действительный корень . И поэтому наша страшная сумма корней  в действительности равна просто 4. То есть, явно целому числу. Что и требовалось доказать.)

        А теперь — поупрощаем некоторые дробные выражения с корнями. От простого — к сложному. Здесь всё точно так же, как и с многочленами. Только в применении к корням.) Я же говорил, что действия с корнями ничем не отличаются от таковых с буквами. И к корням с таким же успехом применима вся алгебра седьмого класса — формулы сокращённого умножения, разложение на множители, приведение подобных и т.п.

        Например, такое задание.

        Сократить дробь:

        

        Пример явно намекает на применение формулы разности квадратов:

        Спрашивается, а где же здесь квадраты? Сплошные корни… Сейчас покажу.

        Берём числитель нашей дробушки: .

        Что такое ? По свойству корня из степени, мы можем вынести квадрат наружу. Вот так:

        Хорошо, а из  как квадрат сделать? Не вопрос! По пятому свойству, домножаем на двойку показатели корня и подкоренного выражения:

        По такой технологии, между прочим, можно совершенно любой корень превратить в совершенно любую степень. Какую хотим.   Как, например,  представить в виде 4-й степени? Нет проблем: 

        Хотим из степеней корни делаем, хотим — наоборот, степени из корней. Что хотим, то и творим. Математика, однако!

        Итак, весь наш числитель можно представить как разность квадратов:

        А дальше никаких проблем — раскладываем числитель на множители и сокращаем:

        Следующий пример.

        Упростить:

        

        Действуем аналогично. Раскладываем на множители и сокращаем. В числителе применяем группировку. Например, вот такую:

        А в знаменателе просто выносим общий множитель :

        Подставляем всё в нашу дробь и сокращаем:

        Как видим, разложение на множители очень популярно в теме с корнями. Очень! И особенно — формула разности квадратов. Именно поэтому формулы сокращённого умножения так важно знать и уметь применять.

        Ну и на десерт распутаем что-нибудь навороченное. )

        Упростить:

        

        Чтобы не запутаться и не наляпать ошибок, будем действовать по порядку. При взгляде на любой пример всегда задаём сами себе вопрос: «Что в примере мне больше всего не нравится?» В данном примере большинство скажет: «Числитель первой дроби!» Верно! Вот и упростим его отдельно: остальная часть примера от этого никак не пострадает.) Итак,

        Вместо знака деления удобно использовать черту дроби. Вот так:

        Сначала упростим дробь. Как? Попробуем сократить.) Для этого, ясное дело, надо разложить на множители числитель и знаменатель, да… Берём отдельно числитель . Можно его разложить на множители? Можно! Для этого из a надо сделать корень. Вот так:

        Если теперь подставить вместо a выражение , то всплывёт общий множитель.

        Со знаменателем полная аналогия:

        Таким образом,

        Теперь от упрощённой дроби отнимаем единичку. Как? Делаем из единички дробь и — вперёд!

        Следующим пунктом идёт деление полученной дроби на выражение . Это означает, что оно пойдёт у нас в знаменатель:

        Уфф… Дальше… Отнимаем от полученного выражения дробь :

        И, наконец, последнее усилие. Возводим результат в куб:

        Ну как, всё понятно? Тогда — вперёд, набиваем руку и делаем примеры!

        Вычислить:

        Вынести множители за знак корня: ,  , где .

        Внести множители под знак корня: ,  .

        Освободиться от иррациональности в знаменателе дробей:

        , .

        Вычислить: 

        Доказать, что A – целое число, если .

        Упростить:

        Ответы (пока) давать не буду — иначе неинтересно. До встречи и успехов!

Иррациональные выражения

Иррациональные выражения – это выражения, содержащие в себе корни различных чисел.

Преобразовывать иррациональные выражения можно разными способами. В каждом из них в той или иной степени присутствует разложение на множители, вынесение общего множителя или ФСУ (формулы сокращенного умножения).

СВОЙСТВА КОРНЕЙ:

1. (sqrt{a} bullet sqrt{b} = sqrt{text{ab}})

2. (frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}})

3. (left( sqrt{a} right)^{n} = sqrt{a^{n}})

4. (sqrt[m]{a^{n}} = a^{frac{n}{m}})

5. (sqrt[n]{sqrt[m]{a}} = sqrt[text{nm}]{a})

6. (left( sqrt{a} right)^{2} = a)

7. (sqrt{a^{2}} = left| a right|)

8. (sqrt{a} + sqrt{b} neq sqrt{a + b})

ПОДОБНЫЕ РАДИКАЛЫ:

Корни могут называть радикалами, а подобные радикалы – это корни из одинаковых чисел. Чтобы сложить подобные радикалы, нужно вынести повторяющийся радикал как общий множитель. Например:

(sqrt{2} + 5sqrt{3} – 2sqrt{3} –3sqrt{2} = (5sqrt{3} – 2sqrt{3}) + (sqrt{2} – 3sqrt{2}) = (5 –2)sqrt{3} + (1 –3)sqrt{2} = 3sqrt{3} – 2sqrt{2})

МЕТОДОМ РАЗЛОЖЕНИЯ ПОДКОРЕННОГО ВЫРАЖЕНИЯ НА МНОЖИТЕЛИ:

По свойству корней мы знаем, что

(sqrt{text{ab}} = sqrt{a} bullet sqrt{b})

Поэтому при упрощении иррациональных выражений используется метод разложения на множители.

Например:

(sqrt{18} + sqrt{32} = sqrt{9 bullet 2} + sqrt{16 bullet 2} = sqrt{9} bullet sqrt{2} + sqrt{16} bullet sqrt{2})

Корни из 9 и из 16 легко извлекаются:

(sqrt{9} bullet sqrt{2} + sqrt{16} bullet sqrt{2} = 3sqrt{2} + 4sqrt{2} = 7sqrt{2})

ПРИМЕНЕНИЕ ФСУ ДЛЯ УПРОЩЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ:

1. Если мы видим под корнем ФСУ, то мы можем свернуть выражение на множители:

Например:

(sqrt{4a^{2} + 4ab + b^{2}} = sqrt{left( 2a + b right)^{2}} = left| 2a + b right|)

2. Так же в иррациональных выражениях можно заметить разность квадратов:

((7 + sqrt{5})(7 – sqrt{5}) = 7^{2} – left( sqrt{5} right)^{2} = 49 – 5 = 44)

Из-за того, что в разности квадратов оба выражения возводятся в квадрат, корень второй степени уходит.

ДРОБНЫЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ:

1. Рассмотрим выражение:

(frac{3sqrt{8}}{sqrt{2}})

Упростить его можно двумя способами.

• 1 Способ:

Домножим дробь на иррациональное выражение в знаменателе:

(frac{3sqrt{8}}{sqrt{2}} = frac{3sqrt{8} bullet sqrt{2}}{sqrt{2} bullet sqrt{2}})

Произведение двух корней можно занести под один корень:

(frac{3sqrt{8 bullet 2}}{sqrt{2 bullet 2}} = frac{3sqrt{16}}{sqrt{4}} = frac{3 bullet 4}{2} = 6)

Ответ: 6.

• 2 Способ:

Внесем частное двух корней под один корень:

(frac{3sqrt{8}}{sqrt{2}} = 3sqrt{frac{8}{2}})

Числа внутри корня можно сократить:

(3sqrt{frac{8}{2}} = 3sqrt{4} = 3 bullet 2 = 6)

Ответ: 6.

В обоих случаях получился один ответ. Разница была в ходе рассуждений. Оба способа основываются исключительно на свойствах корней.

Пример №1:

Найдите значение выражения при (a = 8, b = 2:)

(frac{(sqrt{a} – 3sqrt{b})(sqrt{a} + 3sqrt{b})}{a – 6sqrt{text{ab}} + 9b})

1. Сначала упростим выражение в знаменателе. Свернем его по ФСУ:

(frac{(sqrt{a} – 3sqrt{b})(sqrt{a} + 3sqrt{b})}{a – 6sqrt{text{ab}} + 9b} = frac{(sqrt{a} – 3sqrt{b})(sqrt{a} + 3sqrt{b})}{{(sqrt{a} – 3sqrt{b})}^{2}} = frac{(sqrt{a} – 3sqrt{b})(sqrt{a} + 3sqrt{b})}{(sqrt{a} – 3sqrt{b})(sqrt{a} – 3sqrt{b})})

2. Сократим одинаковые скобки в числителе и в знаменателе:

(frac{(sqrt{a} – 3sqrt{b})(sqrt{a} + 3sqrt{b})}{(sqrt{a} – 3sqrt{b})(sqrt{a} – 3sqrt{b})} = frac{sqrt{a} + 3sqrt{b}}{sqrt{a} – 3sqrt{b}})

3. Теперь подставим в выражение значения a и b:

(frac{sqrt{a} + 3sqrt{b}}{sqrt{a} – 3sqrt{b}} = frac{sqrt{8} + 3sqrt{2}}{sqrt{8} – 3sqrt{2}})

4. Разложим (sqrt{8}) на множители:

(frac{sqrt{8} + 3sqrt{2}}{sqrt{8} – 3sqrt{2}} = frac{sqrt{4 bullet 2} + 3sqrt{2}}{sqrt{4 bullet 2} – 3sqrt{2}} = frac{2sqrt{2} + 3sqrt{2}}{2sqrt{2} – 3sqrt{2}} = frac{5sqrt{2}}{–sqrt{2}} = –5)

Ответ: (–5).

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ КОРНЕЙ:

Приближенное значение корня:

Можно найти приближенное значение любого корня. Для этого предполагают, между какими числами корень может находиться.

Например:

(sqrt{30})

Округлим (sqrt{30}) до целого. Представим его как число, заключенное между какими-то натуральными числами. Мы знаем, что ближайшие значения квадратов для 30 – это 25 (квадрат 5) и 36 (квадрат 6):

(sqrt{25} < sqrt{30} < sqrt{36})

(5 < sqrt{30} < 6)

Значит округление (sqrt{30}) в сторону 5 – это округление с недостатком, а в сторону 6 – округление с избытком. Значит целое значение (sqrt{30} = 5).

Подберем значение (sqrt{30}) до десятых. Найдем квадраты чисел 5,1, 5,2, 5,3 и т.д., пока не найдем два значения, между которыми заключено число 30.

(sqrt{29,16} < sqrt{30} < sqrt{30,25})

(5,4 < sqrt{30} < 5,5)

Теперь мы знаем, что число (sqrt{30}) = 5,4 до десятков. Таким образом можно найти приближенное значение корня до любого разряда.

СРАВНЕНИЕ КОРНЯ С ЧИСЛОМ:

Чтобы сравнить корень и число, нужно возвести оба числа в квадрат:

(a > b Longleftrightarrow a^{2} > b^{2} Longleftrightarrow sqrt{a} > sqrt{b})

Сравнить:

(sqrt{98} и 9)

1. Возведем обе части в квадрат:

({(sqrt{98})}^{2} и 9^{2})

(98 и 81)

2. Определим знак неравенства между этими числами. Для их корней знак будет таким же:

(98 > 81)

(sqrt{98} > 9)

Если корень сравнивают с отрицательным числом, то возводить оба числа в квадрат не нужно. Любой корень всегда будет больше отрицательного числа, т.к. любое положительное число больше отрицательного:

(sqrt{a} и b, при b < 0)

(a > 0 по определению корня)

(b < 0 < sqrt{a})

(b < sqrt{a})

03
Авг 2013

Категория: 06 ВычисленияИррациональные выражения, уравнения и неравенства

06. Иррациональные выражения

2013-08-03
2022-09-11

Автор: egeMax |

комментариев 20