Как найти значение выражения огэ 8 задание

При выполнении задания 8 ОГЭ по математике необходимо: знать свойства степеней и корней, уметь сравнивать рациональные и иррациональные числа, применять формулы сокращённого умножения.

Пример 1. Найдите значение выражения  . В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  84        2) 2352         3)         4) 252

Решение. Произведение корней равно корню из произведения, т. е.  . Тогда

Ответ: 1.

Пример 2. Найдите значение выражения  .  В ответе укажите номер правильного варианта.

1)      2)      3)      4)

Ответ: 3.

Пример 3. На рулоне обоев имеется надпись, гарантирующая, что длина полотна обоев находится в пределах 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь полотно при этом условии?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 10,03       2) 10,05       3) 9,96       4) 10,08

Решение. Длина рулона находится в интервале от 10  — 0,05 = 9,95 м до 10 + 0,05 = 10,05 м. Таким образом, только число 10,08 не попадает в этот диапазон.

Ответ: 4.

Пример 4. Сравните числа и 14. В ответе укажите номер правильного варианта.

1)      2)      3)

Решение. Очевидно, что равенство между заданными числами невозможно. Предположим, что справедливо неравенство  Возведём обе части неравенства в квадрат и проведём соответствующие преобразования:

Полученное неравенство неверно, а это значит, что предположение неверно. Тогда верно неравенство .

Ответ: 1.

Пример 5. Укажите наименьшее из чисел. В ответе укажите номер правильного варианта.

1)      2)      3)      4)

Решение. Сравним сначала первые три числа, представив их в виде корней:

1)      2)      3)

Из этих чисел наименьшим является . Осталось сравнить его с четвёртым значением.

Результат очевиден. Наименьшим оказалось число под номером 4.

Ответ: 4.

Пример 6. Представьте выражение в виде степени с основанием m. В ответе укажите номер правильного варианта.

1)      2)      3)      4)

Решение. Используем свойства степеней:

Ответ: 2.

Пример 7. Вычислите . В ответе укажите номер правильного варианта.

1)      2)      3)      4)

Решение. Используем свойства степеней:

Ответ: 3.

Пример 8. Какое из чисел является иррациональным? В ответе укажите номер правильного варианта.

1)      2)      3)      4) все числа иррациональны

Решение. Если в результате вычислений или преобразований всё равно остаётся корень, то число является иррациональным:

1)   (рациональное число)

2)   (иррациональное число)

3)   (рациональное число)

Ответ: 2.

Пример 9. Какое из числовых выражений является рациональным?  В ответе укажите номер правильного варианта.

1)      2)      3)      4)

Решение. Если в результате вычислений корень «исчезнет», то число является рациональным:

1)  (иррациональное число)

2)  (иррациональное число)

3)  (иррациональное число)

4)  (рациональное число)

Ответ: 4.

Каталог заданий
Задания 8. Числа, вычисления и алгебраические выражения. Степени и корни

Пройти тестирование по 10 заданиям
Пройти тестирование по всем заданиям
Вернуться к каталогу заданий

Версия для печати и копирования в MS Word

Пройти тестирование по этим заданиям

Восьмое задание в модуле алгебре проверяет знания в области обращения со степенями и подкоренными выражениями. При выполнении задания №8 ОГЭ по математике проверяются не только навыки выполнения вычисления и преобразований числовых выражений, но и умение преобразовывать алгебраические выражения. Возможно, потребуется выполнить действия со степенями с целым показателем, с многочленами, тождественные преобразования рациональных выражений. В соответствии с материалами проведения основного экзамена могут быть задания, в которых потребуется выполнение тождественных преобразований рациональных выражений, разложение многочленов на множители, использование процентов и пропорций, признаков делимости. Ответом в задании №8 является одна из цифр 1; 2; 3; 4 соответствующая номеру предложенного варианта ответа к заданию.

Теория к заданию №8

Из теоретического материала нам пригодятся правила обращения со степенями:

Правила работы с подкоренными выражениями:

Кроме этого, нам понадобятся формулы сокращенного умножения:

Квадрат суммы

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Квадрат разности

(a – b)² = a² – 2ab + b²

Разность квадратов

a² – b² = (a + b)(a – b)

Куб суммы

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Куб разности

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

Сумма кубов

a³ + b³ = (a + b)( a² – ab + b²)

Разность кубов

a³ – b³ = (a – b)( a² + ab + b²)

Правила операций с дробями:

Задание 8OM21R

Найти значение выражения

(3∙8)737∙85

 

---

В числителе дроби возведем в степень каждый множитель:

(3∙8)737 ∙85=37∙8737∙85

Теперь сократим (выполним деление степеней), сократятся 37 полностью, а при сокращении на 85 по свойству степеней останется 82, возведем 8 во вторую степень, получим 64, т.е.

 (3∙8)737 ∙85=37∙8737∙85=82=64

Ответ: 64

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1306o

Найдите значение выражения:

---

Упрощение заданного выражения нужно начать с преобразований в скобках. Здесь следует привести дроби к общему знаменателю:

теперь переходим от деления дробей к их умножению:

затем 1) сокращаем дроби на 5ab; 2) в числителе первой дроби раскладываем выражение, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов:

сокращаем выражение на (a–5b):

Представим числовые значения для a и b в виде неправильных дробей (для удобства вычислений):

Подставим полученные значения в выражение и найдем конечный результат:

Ответ: 39

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1305o

Найдите значение выражения при x = 12:

---

Выполним тождественные преобразования выражения, чтобы упростить его. 1-й шаг – переход от деления дробей к их умножению:

далее в знаменателе второй дроби сворачиваем выражение по формуле сокращенного умножения (используем ф-лу для квадрата суммы):

теперь сокращаем выражение (в числителе первой дроби и в знаменателе второй) и приходим к окончательно упрощенному виду:

Подставляем числовое значение для х в полученное выражение и находим результат:

Ответ: 0,6

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1304o

Найдите значение выражения

где a = 9, b = 36

---

В первую очередь в заданиях такого типа необходимо упростить выражение, а затем подставить числа. Приведем выражение к общему знаменателю – это b, для этого умножим первое слагаемое на b, после этого получим в числителе:

9b² + 5a – 9b²

Приведем подобные слагаемые – это 9b² и  – 9b², в числителе остается 5a. Запишем конечную дробь:

5a/b

Вычислим её значение, подставив числа из условия:

5•9/36 = 1,25

Ответ: 1,25

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1303o

Найдите значение выражения:

при x = √45 , y = 0,5

---

Итак, в данном задании при вычитании дробей нам необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель – это 15 x y, для этого необходимо первую дробь домножить на 5 y – и числитель и знаменатель, естественно:

Далее, после того как дроби приведены к общему знаменателю, можно производить вычисления. Вычислим числитель:

5 y – (3 x + 5 y) = 5 y – 3 x – 5 y = – 3 x

Тогда дробь примет вид:

Выполнив простые сокращения числителя и знаменателя на 3 и на x, получим: – 1/5 y

Подставим значение y = 0,5:  – 1 / (5 • 0,5) = – 1 / 2,5 =  – 0,4

Ответ: -0,4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1302o

Найдите значение выражения:

при a = 13, b = 6,8

---

В данном случае, в отличие от первого, мы будем упрощать выражение вынося за скобки, а не раскрывая их.

Сразу можно заметить, что b присутствует у первой дроби в числителе, а у второй – в знаменателе, поэтому можем их сократить. Семь и четырнадцать тоже сокращаются на семь:

Далее выносим из числителя второй дроби a:

 Сокращаем (a-b):

 И получаем:

a/2

Подставляем значение a = 13:

13 / 2 = 6,5

Ответ: 6,5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM1301o

Найдите значение выражения: (x + 5)² — x (x- 10) при x = — 1/20

---

В данном случае необходимо сначала упростить выражение, для этого раскроем скобки:

(x + 5)² – x (x – 10) = x² + 2 • 5 • x + 25 – x² + 10x

Затем приведем подобные слагаемые:

x² + 2 • 5 • x + 25 – x² + 10x = 20 x + 25

Далее подставим x из условия:

20 x + 25 = 20 • (-1/20) + 25 = – 1 + 25 = 24

Ответ: 24

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM0807o

Найдите значение выражения:

---

Используем правило умножения и деления степеней с одинаковым основанием. Заключается оно в том, что при их умножении показатели степеней суммируются, а при делении вычитаются (от показателя в числителе вычитается показатель, стоящий в знаменателе). Тогда получаем:

Ответ: 81

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM0806o

Найдите значение выражения:

---

В 1-м корне представляем 4900 в виде произведения 49·100. Оба эти числа являются точными квадратами: 49=7² и 100=10². И, значит, число под корнем можно полностью вынести из-под него, применив правила работы с подкоренными выражениями. В целом получаем:

 

По аналогии извлекаем и 2-й корень:

В итоге получаем:

Ответ: 70,7

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM0805o

Значение какого из выражений является рациональным числом?

1. √6-3
2. √3•√5
3. (√5)²
4. (√6-3)²

---

В данном задании у нас проверяют навыки операций с иррациональными числами.

Разберем каждый вариант ответа в решении:

1) √6-3

√6 само по себе является иррациональным числом, для решения подобных задач достаточно помнить, что рационально извлечь корень можно из квадратов натуральных чисел, например, 4, 9, 16, 25…

При вычитании из иррационального числа любого другого, кроме его же самого, приведет вновь к иррациональному числу, таким образом, в этом варианте получается иррациональное число.

2) √3•√5

При умножении корней, мы можем извлечь корень из произведения подкоренных выражений, то есть:

√3•√5 = √(3•5) = √15

Но √15 является иррациональным, поэтому данный вариант ответа не подходит.

3) (√5)²

При возведении квадратного корня в квадрат, мы получаем просто подкоренное выражение (если уж быть точнее, то подкоренное выражение по модулю, но в случае числа, как в данном варианте, это не имеет значения), поэтому:

(√5)² = 5

Данный вариант ответа нам подходит.

4) (√6-3)²

Данное выражение представляет продолжение 1 пункта, но если √6-3 иррациональное число, то никакими известными нам операциями перевести в рациональное его нельзя.

Ответ: 3

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM0804o

Какое из данных ниже чисел является значением выражения?

---

Заметим, что в знаменателе присутствует разность (4 – √14), от которой нам необходимо избавиться. Как же это сделать?

Для этого вспоминаем формулу сокращенного умножения, а именно разность квадратов! Чтобы правильно её применить в этом задании необходимо помнить правила обращения с дробями. В данном случае вспоминаем, что дробь не изменяется, если числитель и знаменатель домножить на одно и то же число или выражение. Для разности квадратов нам не хватает выражения (4 + √14), значит, домножим на него числитель и знаменатель.

После этого в числителе получим 4 + √14, а в знаменателе разность квадратов: 4² – (√14)². После этого знаменатель легко вычисляется:

16 – 14 = 2

Суммарно наши действия выглядят так:

Ответ: 4

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM0803o

Какое из данных чисел является рациональным?

1. √810
2. √8,1
3. √0,81
4. все эти числа иррациональны

---

Для решения этой задачи нужно действовать следующим образом:

Сначала разберемся, степень какого числа рассмотрена в данном примере — это число 9, так как его квадрат 81, и это уже чем-то похоже на выражения в ответах. Далее рассмотрим формы числа 9 — это могут быть:

0,9

90

Рассмотри каждое из них:

0,9 = √(0,9)² = √0,81

90 = √(90²) = √8100

Следовательно, число √0,81 является рациональным, остальные же числа

• √810
• √8,1

хотя и похожи на форму 9 в квадрате, не являются рациональными.

Таким образом, правильный ответ третий.

Ответ: √0,81

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM0802o

Значение какого из данных ниже выражений является наибольшим?

1. 3√5
2. 2√11
3. 2√10
4. 6,5

---

Для решения данного задания нужно привести все выражения к общему виду — представить выражения в виде подкоренных выражений:

• 3√5

Переносим 3 под корень:

3√5 =  √(3² •5) = √(9•5) =  √45

• 2√11

Переносим 2 под корень:

2√11 = √(2² • 11) = √(4 • 11) =√44

• 2√10

Переносим 2 под корень:

2√10 = √(2² • 10) = √(4 • 10) =√40

• 6,5

Возводим 6,5 в квадрат:

6,5 = √(6,5²) = √42,25

Посмотрим на все получившиеся варианты:

1. 3√5 =  √45
2. 2√11 = √44
3. 2√10 = √40
4. 6,5 = √42,25

Следовательно, правильный ответ первый.

Ответ: 3√5

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Задание OM0801o

Какое из данных ниже выражений при любых значениях n равно произведению 121 • 11ⁿ ?

1. 121ⁿ
2. 11ⁿ⁺²
3. 11²ⁿ
4. 11ⁿ⁺³

---

Для решения данной задачи необходимо вспомнить следующие правила обращения со степенями:

• при умножении степени складываются
• приделении степени вычитаются
• при возведении степени в степень степени перемножаются
• при извлечении корня степени делятся

Кроме того, для решения необходимо представить 121 как степень 11, а именно это 11².

121 • 11ⁿ = 11² • 11ⁿ

С учетом правила умножения, складываем степени:

  11² • 11ⁿ = 11ⁿ⁺²

Следовательно, нам подходит второй ответ.

Ответ: 2

pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор

Как решать задание 7 ОГЭ по математике 2023?

В первую очередь в 7 и 8 заданиях ОГЭ нужно уметь возводить числа в натуральную или целую степень. После этого выполняются простейшие арифметические вычисления и выбирается правильный ответ из предложенных вариантов.

Возведение в степень ОГЭ

Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Вот соответствующее определение.

Возведение в степень — это нахождение значения степени числа.

Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r — это одно и то же. Например, если поставлена задача «вычислите значение степени (0,5)⁵», то ее можно переформулировать так: «Возведите число 0,5 в степень 5».

Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень.

Возведение в натуральную степень

По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a. Таким образом, чтобы возвести число a в степень n, нужно вычислить произведение.

Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров.

Примеры, как решать задание 7 ОГЭ математика 2023 года

Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим: 

Если взять

   

Возведение в степень даст:

В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени — это есть само число a, то есть а¹=а

Например:

(-9)¹=-9

Возведение в целую степень – ОГЭ по математике 7 класс задание 7

Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: для целых положительных показателей, для нулевого показателя и для целых отрицательных показателей степени.

Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте.

Переходим к возведению в нулевую степень. Мы знаем, что нулевая степень числа  определяется для любого отличного от нуля действительного числа a, при этом а⁰=1.

Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу.

Например:

а⁰ не определяется.

Свойства степеней – теория для 7 задания ОГЭ по математике

Теперь запишем все свойства степеней:

Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. Мы знаем, что степень числа а с целым отрицательным показателем -z определяется как дробь вида:

   

В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень.

Формулы сокращенного умножения разбор 8 задания ОГЭ по математике

Так как мы теперь все знаем о степенях, давайте поговорим о возведении выражений во вторую степень и правила раскрытия скобок.

Рассмотрим выражение: 

(a+b)(a-b)

Разные преподаватели называют способ раскрытия по-разному, кто-то говорит «правило фонтанчика», еще есть вариант — «усики», мы же будем называть это «методом фейерверка». Как этот метод работает:

Возведение суммы в квадрат:

Арифметический квадратный корень

Начнем с определения квадратного корня.

Квадратный корень из числа a — это число, квадрат которого равен a.

Чтобы привести примеры квадратных корней, возьмем несколько чисел, например, 5, −0,3, 0,3, 0, и возведем их в квадрат, получим соответственно числа 25, 0,09, 0,09 и 0 (5²=5·5=25, (−0,3)²=(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3)²=0,3·0,3=0,09 и 0²=0·0=0). Тогда по данному выше определению число 5 является квадратным корнем из числа 25, числа −0,3 и 0,3 есть квадратные корни из 0,09, а 0 — это квадратный корень из нуля.

Квадратный корень извлекается только из неотрицательных чисел!

Так как у квадратного корня существует два противоположных по знаку значения, это затрудняет работу с корнями. Для обеспечения однозначности был введен арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из неотрицательного числа a — это неотрицательное число, квадрат которого равен a. То есть под арифметическим корнем стоят всегда неотрицательные числа, и при его извлечении мы получаем тоже всегда только одно неотрицательное число, а не два противоположных по знаку, как для квадратного корня.

   

Для арифметического квадратного корня из числа a принято обозначение:

   

Знак √ называется знаком арифметического квадратного корня. Его также называют знаком радикала. Поэтому можно часть слышать как «корень», так и «радикал», что означает один и тот же объект.

Число под знаком арифметического квадратного корня называют подкоренным числом, а выражение под знаком корня — подкоренным выражением, при этом термин «подкоренное число» часто заменяют на «подкоренное выражение». Например:

   

в записи число 151 — это подкоренное число, а в записи  выражение a является подкоренным выражением.

При чтении слово «арифметический» часто опускается, например:

   

запись  читают как «квадратный корень из семи целых двадцати девяти сотых». Слово «арифметический» произносят лишь тогда, когда хотят особо подчеркнуть, что речь идет именно о неотрицательном квадратном корне из числа.

В свете введенного обозначения из определения арифметического квадратного корня следует, что  

для любого неотрицательного числа a.

Для отрицательных чисел a записи  мы не будем придавать смысла вплоть до изучения комплексных чисел. Например, лишено смысла выражение:

   

На практике часто применяются свойства квадратных корней:

Cвойство квадратного корня из произведения двух неотрицательных действительных чисел a и b, задающееся равенством вида .

   

Корень из частного:

которое часто записывают с помощью дробей как:

   

Свойство арифметического квадратного корня из степени числа a с четным показателем:

   

при любом действительном a, в частности, свойство квадратного корня из квадрата числа:

   

Как вы уже заметили, корень — это та же степень. И, зная свойства степени, можно работать с корнем. Для корня рассмотрим еще такие свойства:

   

Сравнение чисел

Помимо заданий на извлечение корней, возведение выражений в степень, могут встретиться задания, в которых нужно расставить числа в порядке возрастания или убывания; указать наибольшее или наименьшее число, то есть сравнить.

Сравнивать можем целые числа, дробные числа, выражения, содержащие корни и степени. Рассмотрим несколько примеров.

Прототипы заданий 7 и 8 ОГЭ математика 2023

Ответы к заданиям:

1. -380.
2. -15.
3.  558.
4.  4.
5.  2.