Как найти значение выражения по формулам приведения

При изучении геометрии вы установили, что

если

Свойство периодичности тригонометрических функций позволяет свести вычисление значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса произвольного угла к вычислению значений этих функций при значениях аргумента, принадлежащих промежутку  Например,

На практике принято сводить значения тригонометрических функций произвольного угла к вычислению значений этих функций для угла, принадлежащего промежутку .

Это можно делать с помощью формул приведения.

Рассмотрим промежуток  Любое число  из этого промежутка можно пред ставить в виде  

Например, 
Поскольку ординаты точек  равны, а абсциссы отличаются только знаком, то:  (рис. 113).
Тогда для  получим, что 
А для  имеем:

Вместе с тем любое число  из промежутка  можно также представить в виде  где  Например, 
Так как ордината точки  равна абсциссе точки  а абсцисса точки отличается от ординаты точки  только знаком (рис. 114), то:  а 

Для  получим:

Так как любое число  из промежутка  можно представить в виде  или  то, рассуждая аналогично, получим формулы приведения:

Поскольку любое число  из промежутка можно представить в виде  то получим:

Проанализировав полученные формулы, можно заметить закономерности, позволяющие сформулировать правило, с помощью которого можно применять формулы приведения, не заучивая их:

В правой части формулы приведения ставится тот знак, который имеет в соответствующей четверти исходная функция, если считать, что угол  — острый.

Если в формуле приведения аргумент имеет вид:

Например, применим полученное правило для выражения 

1. Если считать, что угол  — острый, то —  — угол третьей четверти. В третьей четверти косинус (исходная функция) отрицательный, значит, в правой части равенства нужно поставить знак «минус».
2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «косинус» нужно поменять на «синус». Таким образом, получим: 

Пример:

Приведите выражение к тригонометрической функции числа  применив формулы приведения:

 

Решение:

Применим правило:

а) 1. Так как  — угол четвертой четверти, в которой косинус положительный, то в правой части равенства не нужно ставить знак «минус».

2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «косинус» не меняется. Значит, 

б) 1. Так как  — угол четвертой четверти, в которой тангенс отрицательный, то в правой части равенства нужно поставить знак «минус».

2.Поскольку аргумент имеет вид  название функции «тангенс» нужно поменять на «котангенс». Тогда 

в) 1. Так как  — угол второй четверти, в которой синус положительный, то в правой части равенства части равенства не нужно ставить знак «минус»

2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «синус» не меняется. Значит, 

Пример:

Используйте формулы приведения и найдите значение выражения:

Решение:

 

Первый способ:

1. Так как  угол второй четверти, в которой синус положительный, то в правой части равенства не нужно ставить знак «минус».
2. Поскольку аргумент имеет вид  то название функции «синус» не меняется. Значит, 

Второй способ:

  (в третьей четверти тангенс положительный, название функции не меняется).

 (в третьей четверти косинус отрицательный, название функции не меняется). (в четвертой четверти котангенс отрицательный, название функции не меняется).

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Вычислите, используя формулы приведения:

Решение:

  (в четвертой четверти косинус положительный, название функции не меняется);

 (во второй четверти синус положительный, название функции не меняется);

 (в третьей четверти котангенс положительный, название функции меняется);

 (в четвертой четверти тангенс отрицательный, название функции не меняется).

Пример:

Найдите значение выражения:

Решение:

а) Так как синус — нечетная функция, то

Применим формулы приведения:

б) Воспользуемся свойством четности косинуса и получим: 

По формулам приведения: 

в)    Воспользуемся свойством периодичности тангенса и получим:

Применим формулы приведения: 

г)    Поскольку котангенс — нечетная функция, то 

Используем свойство периодичности котангенса и получим:

Пример:

По формулам приведения:

Приведите к тригонометрической функции угла 

Решение:

а) Используем свойство периодичности косинуса и получим: 

По формулам приведения: 

б) Воспользуемся свойством периодичности котангенса: 

Применим формулы приведения: 

в)    Так как тангенс — нечетная функция, то  По формулам приведения: 

г)    Поскольку синус — нечетная функция, то 

Воспользуемся свойством периодичности синуса и получим: 

По формулам приведения: 

Пример:

Приведите к тригонометрической функции угла  

Решение:

 

Пример:

Вычислите:

Решение:

 

Пример:

Упростите выражение:

Решение:

а) Применим формулы приведения: 

б)Воспользуемся периодичностью косинуса и формулами приведения и получим:

в)Применим формулы приведения:

г) Используем периодичность тангенса, нечетность котангенса и формулы приведения:

Пример:

Решите уравнение: 

Решение:

Применим формулы приведения и получим: 

Ответ: 

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №37. Формулы приведения.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

• формулы приведения;
• мнемоническое правило для формул приведения;
• преобразование тригонометрических выражений на основе использования формул приведения;
• вычисление значений тригонометрических выражений на основе формул приведения;
• доказательство тригонометрические тождества на основе формул приведения;
• решение уравнения с использованием формул приведения.

Глоссарий по теме

Формулы приведения – это формулы, которые позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Для вычисления углов больше 90 используют формулы приведения. Они позволяют синус, косинус, тангенс и котангенс различных углов приводить к острым углам.

Пример: Вычислить и.

Представим число .

Рассмотрим точку А(1;0) на единичной окружности. При повороте вокруг начала координат на угол она сделает 2 полных оборота и ещё повернётся на угол . Переместится в точку В, в которую могла бы попасть, сделав поворот на угол . Значит, , .

А так как , то ,

Количество полных оборотов по 360 или по может выражаться любым целым числом k, как положительным, так и отрицательным и нулём. При повороте точки А(1;0) на угол , где k получается та же самая точка, что при повороте на угол

Рисунок 1 – точки А и В на единичной окружности

Справедливы равенства:

, где , , где

Пусть точка А(1;0) переместилась в точку В₁ при повороте на угол и в точку В при повороте на угол (рис. 2).

Рисунок 2 – точки А, В, В1 на единичной окружности

Запишем в виде: . На единичной окружности точки В₁ и В симметричны относительно оси Оу, значит их ординаты (синусы) равны, абсциссы (косинусы)- противоположные числа.

Поэтому , а .

А так как , то , .

Помним, что , тогда , .

Докажем, что для всех углов справедливы формулы:

, .

Воспользуемся формулой синуса и косинуса разности:, подставим известные значения в формулу, получаем:

.

(1)

(2)

Аналогично доказываются формулы:

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

Эти формулы называются формулами приведения для синуса и косинуса.

Пример: вычислите . Представим , тогда .

Выведем формулы для тангенса, используя его определение

,

Найдём

Получаем формулы для тангенса и котангенса:

, где и , где (13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Пример: вычислите .

Преобразуем выражение в скобке

.

Обратите внимание, что все эти формулы связывают синусы с синусами или косинусами, а тангенсы с тангенсами или котангенсами. В одних случаях синус меняется на косинус и наоборот, в других – нет. Так, например, в формулах 1,2,3,8 и 13, где в левой части присутствуют синусы, косинусы и тангенсы не меняются.

В остальных формулах, где в левой части присутствуют или , синус меняется на косинус и наоборот, а тангенс на котангенс.

Формул приведений много и их не обязательно каждый раз выводить и запоминать.

Для этого придумали мнемоническое правило.

1. Если в левой части присутствуют и т.д. синусы, косинусы и тангенсы не меняются.

Если в левой части присутствуют или , синус меняется на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс.

1. Знак в правой части ставим тот же, который имело исходное число в левой части, при условии .

Существует легенда про рассеянного математика, который всё время забывал менять или не менять синус на косинус и наоборот. Он смотрел на свою сообразительную лошадь и она кивала головой вдоль той оси, где стояли числа и , . (рис. 3)

Рисунок 3 – «правило лошади»

Если аргумент содержал или , лошадь кивала вдоль оси Оу. Это означало «да, менять». А если , кивала вдоль оси Ох – «не менять».

Так же помните: чётные числа вида и т.д. находятся на оси Ох справа от нуля на единичной окружности, а нечётные и т. д. слева от нуля.

Если в выражении перед стоит плюс, то точка перемещается по окружности по часовой стрелке, если стоит минус, то против часовой стрелке.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1: упростите выражение .

находится на оси Ох, слева от нуля, косинус не меняем. Перед минус, точка перемещается против часовой стрелке и попадает во вторую четверть, здесь косинусы отрицательные (рис.4)

Рисунок 4 – перемещение точки по единичной окружности

Значит =.

Пример 2: вычислите

Преобразуем выражение в скобке: . находится слева на оси Ох, синус не меняем. Угол в третьей четверти, синусы отрицательные.

$$ctg(pi-alpha)=-ctg(alpha);$$

Давайте вместо угла (alpha) возьмем какой-нибудь реальный угол. Суть от этого не изменится. Чтобы усложнить задачу, я не буду рисовать рисунок. Нарисуйте окружность сами и по пунктам сделайте пример.

Пример 7
$$cos(3pi+frac{pi}{6})=?;$$

• Угол ((3pi+frac{pi}{6})) лежит в третьей четверти. Действительно, (3pi=2pi+pi) можно представить как полный круг плюс еще половина;
• В третьей четверти косинус отрицательный. Знак минус;
• (3pi) лежит на горизонтальной оси в точке (C). Значит косинус не меняется на синус;

$$cos(3pi+frac{pi}{6})=-cos(frac{pi}{6})=-frac{sqrt{3}}{2};$$

До этого мы рассматривали примеры, когда угол (alpha) был острым. А что, если он больше (90^o)?

В этом случае нам придется сделать из него острый угол. Рассмотрим пример:

Пример 8
$$tg(frac{pi}{2}-frac{5pi}{6})=?;$$
Угол (frac{5pi}{6}) — тупой угол. Для того, чтобы воспользоваться формулой приведения, можно представить:
$$frac{5pi}{6}=pi-frac{pi}{6};$$
Подставим в исходный пример
$$tg(frac{pi}{2}-frac{5pi}{6})=tg(frac{pi}{2}-pi+frac{pi}{6})=tg(frac{pi}{6}-frac{pi}{2});$$
Угол (frac{pi}{6}) острый и теперь можно воспользоваться правилом лошади.

• ((frac{pi}{6}-frac{pi}{2})) лежит в четвертой четверти. Отмечаем (frac{pi}{6}) и по часовой стрелке вычитаем из него (frac{pi}{2});
• В четвертой четверти тангенс отрицательный;
• (frac{pi}{2}) лежит на вертикальной оси, тангенс меняется на котангенс;

$$tg(frac{pi}{2}-frac{5pi}{6})=tg(frac{pi}{6}-frac{pi}{2})=-ctg(frac{pi}{6})=-sqrt{3};$$

У любопытного читателя может возникнуть вопрос: а почему данный алгоритм называется правилом лошади? При чем тут, казалось бы, лошадь?

Лошадь, действительно, не при чем. Но дело в том, что когда вы определяете в третьем пункте, меняется ли наша тригонометрическая функция на противоположную или нет, то в случае, если дополнительный угол к (alpha) лежит на вертикальной оси, мы как бы смотрим вверх-вниз, киваем головой, как лошадь, говоря себе: «Да, меняем». Или если угол лежит на горизонтальной оси, то мы киваем влево вправо вдоль горизонтальной оси, как бы говоря: «Нет, не меняем». Такое вот странное название у правила.

26 декабря 2013

Задача. Найдите значение выражения:

И еще одна задача B11 на ту же тему — из реального ЕГЭ по математике.

Задача. Найдите значение выражения:

В этом коротком видеоуроке мы узнаем, как применять формулы приведения для решения реальных задач B11 из ЕГЭ по математике. Как вы видите, перед нами — два тригонометрических выражения, каждое из которых содержит синусы и косинусы, а также довольно зверские числовые аргументы.

Прежде чем решать эти задачи, давайте вспомним, что такое формулы приведения. Итак, если у нас есть выражения вида:

То мы можем избавиться от первого слагаемого (вида k · π/2) по специальным правилам. Начертим тригонометрическую окружность, отметим на ней основные точки: 0, π/2; π; 3π/2 и 2π. Затем смотрим на первое слагаемое под знаком тригонометрической функции. Имеем:

1. Если интересующее нас слагаемое лежит на вертикальной оси тригонометрического круга (например: 3π/2; π/2 и т.д.), то исходная функция заменяется на ко-функцию: синус заменяется косинусом, а косинус — наоборот, синусом.
2. Если же наше слагаемое лежит на горизонтальной оси, то исходная функция не меняется. Просто убираем первое слагаемое в выражении — и все.

Таким образом, мы получим тригонометрическую функцию, не содержащую слагаемых вида k · π/2. Однако на этом работа с формулами приведения не заканчивается. Дело в том, что перед нашей новой функцией, полученной после «отбрасывания» первого слагаемого, может стоять знак плюс или минус. Как определить этот знак? Вот сейчас и узнаем.

Представим, что угол α, оставшийся внутри тригонометрической функции после преобразований, имеет очень малую градусную меру. Но что значит «малая мера»? Допустим, α ∈ (0; 30°) — этого вполне достаточно. Рассмотрим для примера функцию:

Тогда, следуя нашим предположениям, что α ∈ (0; 30°), заключаем, что угол 3π/2 − α лежит в третьей координатной четверти, т.е. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Вспоминаем знак исходной функции, т.е. y = sin x на этом интервале. Очевидно, что синус в третьей координатной четверти отрицателен, поскольку по определению синус — это ордината конца подвижного радиуса (короче синус — это координата y). Ну, а координата y в нижней полуплоскости всегда принимает отрицательные значения. Значит, и в третьей четверти y тоже отрицателен.

На основании этих размышлений мы можем записать окончательное выражение:

Задача B11 — 1 вариант

Вот эти же самые приемы вполне подходят для решения задачи B11 из ЕГЭ по математике. Разница лишь в том, что во многих реальных задачах B11 вместо радианной меры (т.е. чисел π, π/2, 2π и т.д.) используется градусная мера (т.е. 90°, 180°, 270° и т.д.). Давайте посмотрим на первую задачу:

Сначала разберемся с числителем. cos 41° — это нетабличное значение, поэтому мы ничего не можем сделать с ним. Пока так и оставим.

Теперь смотрим на знаменатель:

sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°

Очевидно, что перед нами формула приведения, поэтому синус заменился на косинус. Кроме того, угол 41° лежит на отрезке (0°; 90°), т.е. в первой координатной четверти — именно так, как требуется для применения формул приведения. Но тогда 90° + 41° — это вторая координатная четверть. Исходная функция y = sin x там положительна, поэтому мы и поставили перед косинусом на последнем шаге знак «плюс» (другими словами не поставили ничего).

Осталось разобраться с последним элементом:

cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0,5

Здесь мы видим, что 180° — это горизонтальная ось. Следовательно, сама функция не поменяется: был косинус — и останется тоже косинус. Но вновь возникает вопрос: плюс или минус будет стоять перед полученным выражением cos 60°? Заметим, что 180° — это третья координатная четверть. Косинус там отрицательный, следовательно, перед косинусом в итоге будет стоять знак «минус». Итого, получаем конструкцию −cos 60° = −0,5 — это табличное значение, поэтому все легко считается.

Теперь подставляем полученные числа в исходную формулу и получаем:

Как видим, число cos 41° в числителе и знаменателе дроби легко сокращается, и остается обычное выражение, которое равно −10. При этом минус можно либо вынести и поставить перед знаком дроби, либо «держать» рядом со вторым множителем до самого последнего шага вычислений. Ответ в любом случае получится −10. Все, задача B11 решена!

Задача B14 — 2 вариант

Переходим ко второй задаче. Перед нами снова дробь:

Ну, 27° у нас лежит в первой координатной четверти, поэтому здесь ничего менять не будем. А вот sin 117° надо расписать (пока без всякого квадрата):

sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°

Очевидно, перед нами снова формула приведения: 90° — это вертикальная ось, следовательно, синус поменяется на косинус. Кроме того, угол α = 117° = 90° + 27° лежит во второй координатной четверти. Исходная функция y = sin x там положительна, следовательно, перед косинусом после всех преобразований все равно остается знак «плюс». Другими словами, там ничего не добавляется — так и оставляем: cos 27°.

Возвращаемся к исходному выражению, которое требуется вычислить:

Как видим, в знаменателе после преобразований возникло основное тригонометрическое тождество: sin² 27° + cos² 27° = 1. Итого −4 : 1 = −4 — вот мы и нашли ответ ко второй задаче B11.

Как видите, с помощью формул приведения такие задачи из ЕГЭ по математике решаются буквально в пару строчек. Никаких синусов суммы и косинусов разности. Все, что нам нужно помнить — это только тригонометрический круг.

Смотрите также:

1. Основное тригонометрическое тождество
2. Тест к уроку «Знаки тригонометрических функций» (1 вариант)
3. Схема Бернулли. Примеры решения задач
4. Метод коэффициентов, часть 2
5. Тест по задачам B14: средний уровень, 1 вариант
6. Трубы и резервуары: разный объем