Как найти значение выражения при примеры - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Поиск значений выражений — основное математическое действие. Им сопровождается каждый пример, задача. Поэтому чтобы вам было проще работать с различными математическими выражениями, подробно разберем способы и правила их решения в данной статье. Правила представлены в порядке увеличения сложности: от простейших выражений до выражений с функциями. Для лучшего понимания каждый пункт сопровождается подробным пояснением и расписанными примерами.

Поиск значения числовых выражений

Числовые выражения представляют собой математические задачи, состоящие, преимущественно, из чисел. Они подразделяются на несколько групп в зависимости от своей сложности: простейшие, со скобками, корнями, дробями и т.д. Каждый тип выражений подразумевает свои правила нахождения значения, порядок действий. Рассмотрим каждый случай подробнее.

Простейшие числовые выражения. К простейшим числовым выражениям относятся примеры, состоящие из двух элементов:

Числа (целые, дробные и т.д.);
Знаки: «+», «—», «•» и «÷».

Чтобы найти значение выражения в данном случае, необходимо выполнить все арифметические действия (которые подразумевают конкретные знаки). В случае отсутствия скобок решение примера производится слева направо. Первыми выполняются действия деления и умножения. Вторыми — сложение и вычитание.

Пример 1. Решение числового выражения

Задача. Решить:

20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = ?

Решение. Чтобы решить выражение, нам необходимо выполнить все арифметические действия в соответствии с установленными правилами. Поиск значения начинается с решения деления и умножения. В первую очередь находим произведение цифр 2 и 10 (если рассматривать с левой стороны, данное действие является первым по значимости). Получаем 20. Теперь это число делим на 5. Итог — 4. Когда известно значение основных действий, можем подставить его в наш пример:

20 — 4 — 4 = ?

Упрощенный пример также решаем слева направо: 20 — 4 = 16. Второе действие: 16 — 4 = 12. Ответ 12.

Решение без пояснений. 20 — 2 • 10 ÷ 5 — 4 = 20 — (2 • 10 ÷ 5) — 4 = 20 — 4 — 4 = 12.

Ответ. 12

Пример 2. Решение числового выражения

Задача. Решить:

0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = ?

Решение. Начинаем решение с умножения и деления. Умножая 5 на (— 4) получаем (— 20), т.к. производное сохраняет знак множителя. Далее умножаем 1/2 на 5. Для этого преобразуем дробь: 1/2 = 5/10 = 0,5. 0,5 умножаем на 5. Ответ — 2,5. Далее умножаем полученное число на 4. 2,5 • 4 = 10. Получаем следующее выражение:

0,2 — (— 20) + 10

Теперь нам остается решить сложение и вычитание. В первую очередь раскрываем скобку и получаем:

0,2 + 20 + 10 = 30,2

Решение без пояснений. 0,2 — 5 • (— 4) + 1/2 • 5 • 4 = 0,2 — (— 20) + 10 = 0,2 + 20 + 10 = 30,2

Ответ. 30,2

Находим значение выражения со скобками

Скобки определяют порядок действий при решении примера. Выражения, находящиеся внутри скобок «()» имеют первостепенную значимость, независимо от того, какое математическое действие в них выполняется.

Пример 3. Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = ?

Решение. Начинаем нахождение значения выражения с решения скобок. Порядок действий определяется слева направо. При этом не забываем, что после раскрытия скобок в первую очередь решаем умножение и деление и лишь потом — вычитание и сложение:

7 — 2 • 3 = 7 — 6 = 1
6 — 4 = 2

Когда скобки решены, подставляем полученные значения в наш пример:

5 + 1 • 2 ÷ 2

Снова решаем все по порядку, не забывая о том, что деление и умножение выполняется в первую очередь:

1 • 2 = 2
2 ÷ 2 = 1

Упрощенное выражение выглядит следующим образом:

5 + 1 = 6

Решение без пояснений. 5 + (7 — 2 • 3) • (6 — 4) ÷ 2 = 5 + (7 — 6) • 2 ÷ 2 = 5+ 1 • 2 ÷ 2 = 5 + 1 = 6

Ответ. 6

Значение числового выражения со скобками

Задача. Решить:

4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = ?

Решение. Подобные примеры решаются поэтапно. Помним, что поиск выражения со скобками начинается с решения скобок. Поэтому в первую очередь решаем:

3 + 1 + 4 • (2+3)

В уже упрощенном примере снова встречаются скобки. Их будем решать в первую очередь:

2 + 3 = 5

Теперь можем подставить определенное значение в общую скобку:

3 + 1 + 4 • 5

Начинаем решение с умножения и далее слева направо:

4 • 5 = 20
3 + 1 = 4
4 + 20 = 24

Далее подставляем полученный ответ вместо большой скобки и получаем:

4 + 24 = 28

Решение без пояснений. 4 + (3 + 1 + 4 • (2+3)) = 4 + (3 + 1 + 4 • 5) = 4 + (3 + 1 + 20) = 4 + 24 = 28

Ответ. 28

Важно: Чтобы правильно определить значение числового выражения с множественными скобками, необходимо выполнять все действия постепенно. Скобки читаются слева направо. Приоритет в решении внутри скобок остается за делением и умножением.

Поиск значения выражения с корнями

Часто алгебраические задания основываются на нахождении значений из-под корня. И если определить √4 несложно (напомним, это будет 2), то с примерами, которые полностью расположены под корнем, возникает ряд вопросов. На самом деле в таких заданиях нет ничего сложного. В данном случае порядок действий следующий:

Решаем все выражение, которое находится под корнем (не забываем о правильной последовательности: сперва скобки, деление и умножение, а лишь потом — сложение и вычитание);
Извлекаем корень из числа, которое получили в результате решения обычного примера.

Если же и под корнем имеется корень (например: √ 4 + 8 — √4), то начинаем решение примера с его извлечения (в нашем примере это будет: √ 4 + 8 — 2). Если подкоренные числа возведены во вторую степень, то их квадратный корень будет равняться модулю подкоренного выражения.

Значение числового выражения с корнями

Задача. Решить:

√ 2² • 2² • 3² = ?

Решение. Все действия под корнем одинаковы — умножение. Это дает нам право разделить выражение на множители. Получаем:

√2² • √2² • √3² = ?

Т.к. под квадратным корнем у нас числа, возведенные во вторую степень, получаем:

2 • 2 • 3 = 12

Решение без пояснений. √ 2² • 2² • 3² = √2² • √2² • √3² = 2 • 2 • 3 = 12

Ответ. 12

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Находим значение числовых выражений со степенями

Следующий математический знак, который имеет приоритет в процессе решения, — степени. Они представляют собой результат многократного умножения числа на себя. Само число является основанием степени. А количество операций умножения — ее показателем. Причем выражен он может быть не только целым числом, но и дробью, полноценным числовым выражением.

Начинается решение выражения со степенями с вычисления самих степеней. Если они представляют собой полноценное выражение (например: [3^{3 cdot 4-10}]), то его необходимо решить в нашем примере это будет: [3^{12-10}=3^{2}=9].

Задача. Решите:

[ 3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=? ]

Решение. Чтобы решить это выражение со степенями, воспользуемся равенством:

[(a cdot b)^{r}=a^{r} cdot b^{r}]

Рассматривая пример слева направо, видим, что у первых двух множителей одинаковые степени. Это позволяет нам упростить выражение:

[ (3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3} ]

Зная, что при умножении степени с одинаковыми показателями складываются, получаем следующее выражение:

[ 21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21 ]

Решение без пояснений: [3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=(3 cdot 7)^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=21^{1 / 3+2 / 3}=21^{1}=21]

Ответ. 21

Интересно: Этот же пример можно решить и другим способом, преобразовав число 21 в степени ⅔ в два множителя. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

[3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 21^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot(3 cdot 7)^{2 / 3}=3^{1 / 3} cdot 7^{1 / 3} cdot 3^{2 / 3} cdot 7^{2 / 3}=3^{1 / 3+2 / 3} cdot 7^{1 / 3+2 / 3}=3^{1}+7^{1}=21]

Ответ. 21

Задача. Решить:

[ 2^{-2 sqrt{5}} cdot 4^{sqrt{5}-1}+left((sqrt{3})^{1 / 3}right)^{6} ]

Решение. В данном случает получить точные числовые значения показателей степеней не удастся. Поэтому искать значение выражения с дробями в виде степени будем снова через упрощение:

Ответ. 3,25

Выражения с дробями

Поиск значения выражения дробей начинается с их приведения к общему виду. В большинстве случаев проще представить все значения в виде обыкновенной дроби с числителем и знаменателем. После преобразования всех чисел необходимо привести все дроби к общему знаменателю.

Важно: Прежде чем найти выражение дробей, необходимо провести вычисления в их знаменателе и числителе отдельно. В данном случае действуют стандартные правила решения.

Когда дроби приведены к единому знаменателю можно переходить к решению. Вычисление значений верхней строки (числителя) и нижней (знаменателя) производятся параллельно.

Задача. Решить:

[ 6 frac{2}{13}+4 frac{1}{13}=? ]

Решение. Действуя по главному правилу, прежде чем найти значение числового выражения, преобразуем всего его части в простую дробь. Получаем:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13} ]

Теперь выполняем вычисления в знаменателе и числителе и находим ответ:

[ frac{6 cdot 13+2}{13}+frac{4 cdot 13+1}{13}=frac{80}{13}+frac{53}{13}=frac{133}{13}=10 frac{3}{13} ]

Ответ. [10 frac{3}{13}]

Примеры(2):

Задача. Решить:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}-frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=? ]

Решение. В данном примере мы не можем извлечь корень из пятерки. Но мы можем воспользоваться формулой разложения корней:

[ frac{2}{sqrt{5}-1}=frac{2(sqrt{5}+1)}{(sqrt{5}-1)(sqrt{5}+1)}=frac{2(sqrt{5}+1)}{5-1}=frac{2 sqrt{5}+2}{4} ]

Теперь можем придать нашему первоначальному выражению следующий вид:

[ frac{2 sqrt{5}+2}{4} frac{2 sqrt{5}-7}{4}-3=frac{2 sqrt{5}+2-2 sqrt{5}+7}{4}-3=frac{9}{4} 3=-frac{3}{4} ]

Ответ. [-frac{3}{4}].

Выражения с логарифмами

Как и степени, логарифмы (log), имеющиеся в выражении, вычисляются (если это возможно) в первую очередь. К примеру, зная, что [log _{2} 4=2] мы можем сразу упростить выражение [log _{2} 4+5 cdot 6] до простого и понятного 2 + 5*6 = 32.

Со степенями логарифмы объединяет и порядок выполнения действий. Прежде чем искать значение выражения логарифмов, необходимо вычислить его основание (если оно представлено математическим выражением).

В случаях, когда полное вычисление логарифма невозможно, производится упрощение примера.

Задача. Решить:

[log _{27} 81+log _{27} 9=?]

Решение. Чтобы найти логарифм выражения, воспользуемся свойствами логарифмов и представим значение логарифмов со степенями:

Это позволит нам решить пример следующим образом:

Ответ. 2

Решаем выражения с тригонометрической функцией

Часто в выражениях встречаются тригонометрические функции. Всего их в математике шесть:

Синус;
Косинус;
Котангенс;
Тангенс;
Секанс;
Косеканс.

Изучение тригонометрии начинается в 9-м классе, когда ученики уже подготовлены к сложным задачам. Большинство заданий представляются с sin и cos. Остальные функции встречаются значительно реже.

В математических примерах, которые содержат sin, cos, tg и др. функции, вычисление тригонометрической функции производится в первую очередь. Если это невозможно — осуществляется упрощение выражения до получения краткой формулы.

Задача. Решить:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+1+sin ^{2} 217} ]

Решение. Разложим 217 на 90 и 127. Т.к. по формуле приведения sin(90 + a) = cosa, получаем:

sin217 — sin (90 + 127) = cos127

Теперь заменяем полученной формулой наше слагаемое в знаменателе дроби:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1} ]

Вспоминаем, что по тригонометрическому тождеству sin²a+ cos² a= 1 (независимо от значения угла a). Поэтому одну часть слагаемого знаменателя (sin²127+ cos²127) преобразуем в единицу и получаем:

[ frac{24}{sin ^{2} 127+cos ^{2} 127+1}=frac{24}{1+1}=frac{24}{2}=2 ]

Ответ. 2

Важно: Не стоит бояться буквенных тригонометрических значений. Большинство примеров построено таким образом, чтобы функции можно было заменить более удобной для вычисления формулой. Поэтому вместо того, чтобы пытаться сразу решить пример, стоит обратить внимание на особенности функций и возможность их приведения к подходящей формуле.

Задача. Решить:

[ sqrt{4} 8-sqrt{1} 92 sin ^{2} frac{19 pi}{12}=? ]

Решение. Начинаем решение с разбора второй дроби. Обращаем внимание, что 192 = 48 • 2. А значит, корень этого числа можно представить в виде 2√48. Зная это и используя формулу косинуса двойного угла, преобразим наше выражение:

Теперь по формуле приведения решаем наш пример:

[ sqrt{4} 8 cos left(3 pi+frac{pi}{6}right)=sqrt{4} 8left(-cos frac{pi}{6}right)=-sqrt{4} 8 cdot frac{sqrt{3}}{2}=-4 sqrt{3} cdot frac{sqrt{3}}{2}=-6 ]

Ответ. — 6.

Общий случай: находим значения выражений с дробями, функциями, степенями и не только

Самым сложным считается поиск числовых выражений общих случаев. Они представляют собой тригонометрические примеры, которые могут содержать:

Степени;
Скобки;
Корни;
Функции и т.д.

Общие числовые выражения сложны только длительностью решения. В остальном же они ничуть не сложнее, чем решение каждого примера (со скобкой, степенями, функциями и т.д.) по отдельности.

Чтобы найти значение выражения с логарифмами, тригонометрическими функциями, скобками и/или другими действиями, необходимо помнить три основных правила:

Упрощение. Прежде чем приступать к решению внимательно изучите выражение. Особенно — его степени, корни, логарифмы, функции. В большинстве случаев их можно сократить или заменить простым числовым значением еще до решения.
Скобки. Независимо от типа выражения, действий, начинать решение всегда необходимо со скобок. Часто именно игнорирование этого правила приводит к получению неверного ответа или отсутствию решения в принципе.
Общий вид. Старайтесь привести выражение к общему виду. Особенно это касается дробей. Смешанные и десятичные дроби преобразуйте в обычные.
Последовательность. Действия в скобках и действия после их решения выполняются слева направо. В первую очередь необходимо совершать умножение и деление. Когда все произведения и частные найдены, можно переходить к сложению и вычитанию.

Для удобства решения и устранения возможных ошибок рекомендуем расставлять порядок действий непосредственно над математическими знаками.

Задача. Решить:

[ -frac{sqrt{2} sin left(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)right)+3}{operatorname{Ln} e^{2}}+left(1+3^{sqrt{9}}right)=? ]

Решение. Чтобы решить этот пример, сначала найдем значение выражения числителя дроби, а точнее — подкоренного выражения. Для этого необходимо вычислить значение sin и общего выражения. Начинаем с раскрытия скобок в числителе:

Полученное значение можем подставить в подкоренное выражение для вычисления числителя дроби:

[ sqrt{2} sin cdotleft(frac{pi}{6}+2left(frac{2 pi}{5}+frac{3 pi}{5}right)+3=sqrt{4}=2right. ]

Со знаменателем дела обстоят куда проще:

[ ln e^{2}=2 ]

Числитель и знаменатель у нас одинаковые, что позволяет нам их сократить:

Теперь остается решить следующее выражение:

Ответ. 27

Как видите, при последовательном решении примеров с большим количеством действий нет ничего сложного. Главное — верно обозначить последовательность шагов и четко ей следовать.

Как найти значение выражения числителя дроби, подкорневого значения рационально?

Независимо от типа выражения решать его необходимо последовательно, руководствуясь стандартными правилами (описаны ранее). Но не стоит забывать, что во многих случаях поиск ответа может быть значительно упрощен за счет рационального подхода к решению. Основывается он на нескольких правилах.

Правило 1. Когда произведение равно нулю

Производное равно нулю в том случае, если хотя бы один из его сомножителей равен нулю. Если вы решаете пример из нескольких сомножителей, одним из которых является «0», то проводить многочисленные вычислительные действия не стоит.

Например, выражение [3 cdotleft(451+4+frac{18}{3}right)left(1-sin left(frac{3 pi}{4}right)right) cdot 0] будет равняться нулю.

Правило 2. Группировка и вынесение чисел

Ускорить процесс поиска ответа можно за счет группировки множителей, слагаемых или вынесения единого множителя за скобки. Также не стоит забывать о возможности сокращения дроби.

Например, выражение [frac{left(451+4+frac{18}{3}right)}{4left(451+4+frac{18}{3}right)}] решать не надо. Достаточно сократить скобки, чтобы получить ответ [=frac{1}{4}]

Решение примеров с переменными

Примеры с переменными отличаются от числовых только формой предоставления. В данном случае значения предоставляются дополнительно к выражению.

Пример задания: Найдите значение выражения 2x — y, если x = 2,5, а y = 2. В данном случае решение будет выглядеть следующим образом:

2x — y = 2 • 2,5 — 2 = 3

При этом в таких примерах сохраняются все описанные выше правила. Касается это и советов по рациональному решению примеров. Так, решать дробь [frac{sqrt{y}}{sqrt{y}}] бессмысленно, т.к. при любых значениях «y» ответ будет одинаковым — 1.

Источник

В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.

Как найти значение числового выражения?

Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.

Простейшие случаи

Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.

Если в выражении есть только числа и арифметические знаки «+», «·», «-«, «÷», то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.

Пример 1. Значение числового выражения

Пусть нужно найти значения выражения 14-2·15÷6-3.

Выполним сначала умножение и деление. Получаем:

14-2·15÷6-3=14-30÷6-3=14-5-3.

Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:

14-5-3=9-3=6.

Пример 2. Значение числового выражения

Вычислим: 0,5-2·-7+23÷234·1112.

Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:

0,5-2·-7+23÷234·1112=12-(-14)+23÷114·1112

12-(-14)+23÷114·1112=12-(-14)+23·411·1112=12-(-14)+29.

Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:

12-(-14)+29=12+14+29=14+1318=141318.

Искомое значение найдено.

Выражения со скобками

Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.

Пример 3. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 0,5·(0,76-0,06).

В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом — умножение.

0,5·(0,76-0,06)=0,5·0,7=0,35.

Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.

Пример 4. Значение числового выражения

Вычислим значение 1+2·1+2·1+2·1-14.

Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.

1+2·1+2·1+2·1-14=1+2·1+2·1+2·34

1+2·1+2·1+2·34=1+2·1+2·2,5=1+2·6=13.

В нахождении значений выражений со скобками главное — соблюдать последовательность действий.

Выражения с корнями

Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.

Пример 5. Значение числового выражения

Вычислим значение выражения с корнями -2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5.

Сначала вычисляем подкоренные выражения.

-2·3-1+60÷43=-6-1+153=83=2

2,2+0,1·0,5=2,2+0,05=2,25=1,5.

Теперь можно вычислить значение всего выражения.

-2·3-1+60÷43+3·2,2+0,1·0,5=2+3·1,5=6,5

Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.

Пример 6. Значение числового выражения

Сколько будет 3+13-1-1

Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.

3+13-1=3-1.

Таким образом:

3+13-1-1=3-1-1=1.

Выражения со степенями

Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.

Пример 7. Значение числового выражения

Найдем значение выражения 23·4-10+161-123,5-2·14.

Начинаем вычислять по порядку.

23·4-10=212-10=22=4

16·1-123,5-2·14=16*0,53=16·18=2.

Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:

23·4-10+161-123,5-2·14=4+2=6.

Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.

Пример 8. Значение числового выражения

Вычислим значение следующего выражения: 2-25·45-1+3136.

Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.

2-25·45-1+3136=2-25·225-1+313·6

2-25·225-1+313·6=2-25·22·5-2+32=22·5-2-25+32

22·5-2-25+32=2-2+3=14+3=314

Выражения с дробями

Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.

Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.

Пример 9. Значение числового выражения

Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3,22-3·7-2·36÷1+2+39-6÷2.

Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.

3,22=3,2÷2=1,6

7-2·36=7-66=16

1+2+39-6÷2=1+2+39-3=66=1.

Перепишем наше выражение и вычислим его значение:

1,6-3·16÷1=1,6-0,5÷1=1,1

Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.

Пример 10. Значение числового выражения

Вычислим выражение 25-1-25-74-3.

Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.

25-1=25+15-15+1=25+15-1=25+24

Исходное выражение принимает вид:

25-1-25-74-3=25+24-25-74-3.

Вычислим значение этого выражения:

25+24-25-74-3=25+2-25+74-3=94-3=-34.

Выражения с логарифмами

Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log24+2·4 можно сразу вместо log24 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log24+2·4=2+2·4=2+8=10.

Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log5-6÷352+2+7. Имеем:

log5-6÷352+2+7=log327+7=3+7=10.

Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.

Пример 11. Значение числового выражения

Найдем значение выражения log2log2256+log62+log63+log5729log0,227.

log2log2256=log28=3.

По свойству логарифмов:

log62+log63=log6(2·3)=log66=1.

Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:

log5729log0,227=log5729log1527=log5729-log527=-log27729=-log27272=-2.

Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.

log2log2256+log62+log63+log5729log0,227=3+1+-2=2.

Выражения с тригонометрическими функциями

Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.

Пример 12. Значение числового выражения

Найдите значение выражения: tg24π3-sin-5π2+cosπ.

Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.

tg4π3=3

sin-5π2=-1

cosπ=-1.

Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:

tg24π3-sin-5π2+cosπ=32-(-1)+(-1)=3+1-1=3.

Значение выражения найдено.

Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.

Пример 13. Значение числового выражения

Нужно найти значение выражения cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1.

Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.

cos2π8-sin2π8cos5π36cosπ9-sin5π36sinπ9-1=cos2π8cos5π36+π9-1=cosπ4cosπ4-1=1-1=0.

Общий случай числового выражения

В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.

Как найти значение выражения

Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
Выполняются действия в скобках.
Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала — умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Разберем пример.

Пример 14. Значение числового выражения

Вычислим, чему равно значение выражения -2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39.

Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?

Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.

Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2·sinπ6+2·2π5+3π5+3. Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.

π6+2·2π5+3π5=π6+2·2π+3π5=π6+2·5π5=π6+2π

Теперь можно узнать значение синуса:

sinπ6+2·2π5+3π5=sinπ6+2π=sinπ6=12.

Вычисляем значение подкоренного выражения:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=2·12+3=4

Отсюда:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3=4=2.

Со знаменателем дроби все проще:

lne2=2.

Теперь мы можем записать значение всей дроби:

2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2=22=1.

С учетом этого, запишем все выражение:

-1+1+39=-1+1+33=-1+1+27=27.

Окончательный результат:

-2·sinπ6+2·2π5+3π5+3 lne2+1+39=27.

В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.

Вычисление значений выражений рациональными способами

Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2·386+5+58941-sin3π4·0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.

Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56+8-3,789lne2-56+8-3,789lne2 также равно нулю.

Еще один прием, позволяющий ускорить процесс — использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями — сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.

Например, возьмем выражение 23-15+3·289·343·23-15+3·289·34. Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 13.

Нахождение значений выражений с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.

Нахождение значений выражений с переменными

Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.

Пример 15. Значение выражения с переменными

Вычислить значение выражения 0,5x-y при заданных x=2,4 и y=5.

Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:

0,5x-y=0,5·2,4-5=1,2-5=-3,8.

Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.

Например, выражение х+3-х, очевидно, имеет значение 3, и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.

Еще один пример. Значение выражения xx равно единице для всех положительных иксов.

Источник

Содержание

Нахождение значения выражения, примеры, решения.
Как найти значение числового выражения?
Простейшие случаи
Со скобками
С корнями
Со степенями
Находим значение выражения с дробями
С логарифмами
Как найти значение тригонометрического выражения?
Общий случай
Рациональные способы вычисления значений выражений
Нахождение значения буквенного выражения и выражения с переменными

Нахождение значения выражения, примеры, решения.

После того, как мы узнали что такое значение выражения, логичным будет разобраться с вопросом как найти значение выражения. Сейчас мы рассмотрим правила нахождения значений выражений. Начнем с числовых выражений, и будем продвигаться от самых простых случаев, когда выражение содержит лишь числа и соединяющие их знаки арифметических действий, и закончим общим случаем, когда в выражении, значение которого нужно найти, содержатся скобки, дроби, корни, степени и другие функции. В конце покажем, как находить значения буквенных выражений и выражений с переменными при выбранных значениях переменных. Всю теорию снабдим примерами с подробным описанием решений.

Навигация по странице.

Как найти значение числового выражения?

Перевод условий задач на математический язык часто дает числовые выражения, то есть, выражения, составленные из чисел и знаков действий. Они могут быть как очень простыми, состоящими из чисел и знаков арифметических действий, так и достаточно сложными и громоздкими, содержащими скобки, степени, дроби, корни и т.п. Но составленное выражение зачастую является лишь промежуточным этапом решения задачи, а ответ заключается в значении составленного выражения. Так мы приходим к задаче — найти значение выражения.

Разберемся с правилами, по которым вычисляются значения выражений.

Простейшие случаи

Знакомство с правилами нахождения значений выражений начнем со случаев, когда числовое выражение не содержит в своей записи ничего другого, кроме чисел и знаков арифметических действий. Эти случаи мы и назвали простейшими.

Чтобы успешно находить значения таких выражений, нужно уметь выполнять действия с различными числами, а также иметь представление о порядке выполнения действий в выражениях без скобок.

Итак, если числовое выражение составлено из чисел и знаков +, −, · и :, то по порядку слева направо нужно сначала выполнить умножение и деление, а затем – сложение и вычитание, что позволит найти искомое значение выражения.

Приведем решение примеров для пояснения.

Вычислите значение выражения 14−2·15:6−3 .

Чтобы найти значение выражения, нужно выполнить все указанные в нем действия в соответствии с принятым порядком выполнения этих действий. Вначале по порядку слева направо выполняем умножение и деление, получаем 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3 . Теперь также по порядку слева направо выполняем оставшиеся действия: 14−5−3=9−3=6 . Так мы нашли значение исходного выражения, оно равно 6 .

Найдите значение выражения .

В данном примере нам сначала нужно выполнить умножение 2·(−7) и деление с умножением в выражении . Вспомнив, как выполняется умножение чисел с разными знаками, находим 2·(−7)=−14 . А для выполнения действий в выражении сначала заменяем смешанное число обыкновенной дробью , после чего переходим от деления на дробь к умножению на обратное число , и выполняем умножение обыкновенных дробей: .

Подставляем полученные значения в исходное выражение: .

Осталось записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби , вспомнить правило вычитания отрицательных чисел , сгруппировать и сложить обыкновенные дроби , и сложить обыкновенную дробь с натуральным числом .

Так мы нашли искомое значение выражения.

Со скобками

Теперь разберемся, как найти значение выражения, содержащего в своей записи скобки, указывающие порядок выполнения действий. При этом сначала следует находить значение выражений в скобках, придерживаясь принятого порядка выполнения действий, а затем выполнять остальные действия, что приведет к искомому значению исходного выражения. Это правило перекликается с порядке выполнения действий в выражениях без скобокпорядком выполнения действий в выражениях со скобками.

Покажем решение примера.

Вычислите значение выражения 0,5·(0,75−0,05) .

В данном примере для нахождения значения выражения нам нужно будет выполнять действия с десятичными дробями. Так как исходное выражение содержит скобки, то сначала нужно найти значение выражения в них, имеем 0,5·(0,75−0,05)=0,5·0,7 . Остается выполнить умножение: 0,5·0,7=0,35 .

Аналогично находятся значения выражений, содержащих скобки в скобках. Удобно нахождение значения начинать со внутренних скобок и продвигаться к внешним.

Найдите значение выражения 1+2·(1+2·(1+2·(1−1/4))) .

Во внутренних скобках находится выражение 1−1/4 , его значение равно 3/4 . Подставив его в исходное выражение, оно примет вид 1+2·(1+2·(1+2·3/4)) . Опять вычисляем значение выражения во внутренних скобках, не забывая, что умножение выполняется перед сложением, 1+2·3/4=1+3/2=5/2 , и подставляем это значение в последнее выражение: 1+2·(1+2·5/2) . Остается найти значение выражения в скобках, после чего можно будет закончить вычисления: 1+2·(1+2·5/2)=1+2·6=13 .

Запишем краткое решение:
1+2·(1+2·(1+2·(1−1/4)))= 1+2·(1+2·(1+2·3/4))= 1+2·(1+2·(1+2·3/4))= =1+2·(1+2·5/2)= 1+2·6=13 .

Итак, в нахождении значений выражений со скобками нет ничего сложного, главное – соблюдать последовательность выполнения действий, и не допускать вычислительных ошибок.

С корнями

Числовые выражения, значения которых требуется найти, могут в своей записи содержать различные знаки, в частности, корни. Как найти значение корня, под которым стоит число, объясняет материал статьи извлечение корней.

А как быть, когда под знаком корня находится числовое выражение? Чтобы получить значение такого корня, нужно сначала найти значение подкоренного выражения, придерживаясь принятого порядка выполнений действий. Например, .

В числовых выражениях корни следует воспринимать как некоторые числа, и корни целесообразно сразу заменить их значениями, после чего находить значение полученного выражения без корней, выполняя действия в принятой последовательности.

Найдите значение выражения с корнями .

Сначала найдем значение корня . Для этого, во-первых, вычислим значение подкоренного выражения, имеем −2·3−1+60:4=−6−1+15=8 . А во-вторых, находим значение корня .

Теперь вычислим значение второго корня из исходного выражения: .

Наконец, мы можем найти значение исходного выражения, заменив корни их значениями: .

Достаточно часто, чтобы стало возможно найти значение выражения с корнями, предварительно приходится проводить его преобразование. Покажем решение примера.

Каково значение выражения .

Мы не имеем возможности заменить корень из трех его точным значением, что не позволяет нам вычислить значение этого выражения описанным выше способом. Однако мы можем вычислить значение этого выражение, выполнив несложные преобразования. Применим формулу разности квадратов: . Учитывая свойства корней, получаем . Таким образом, значение исходного выражения равно 1 .

Со степенями

Когда в выражении, значение которого мы находим, присутствуют степени, то их значения вычисляются до выполнения остальных действий. Вычислению значений степеней чисел посвящена статья возведение в степень.

Если основание и показатель степени являются числами, то их значение вычисляется по определению степени, например, 3 2 =3·3=9 или 8 −1 =1/8 . Встречаются также записи, когда основание и/или показатель степени являются некоторыми выражениями. В этих случаях нужно найти значение выражения в основании, значение выражения в показателе, после чего вычислить значение самой степени.

Найдите значение выражения со степенями вида 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 .

В исходном выражении две степени 2 3·4−10 и (1−1/2) 3,5−2·1/4 . Их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий.

Начнем со степени 2 3·4−10 . В ее показателе находится числовое выражение, вычислим его значение: 3·4−10=12−10=2 . Теперь можно найти значение самой степени: 2 3·4−10 =2 2 =4 .

В основании и показателе степени (1−1/2) 3,5−2·1/4 находятся выражения, вычисляем их значения, чтобы потом найти значение степени. Имеем (1−1/2) 3,5−2·1/4 =(1/2) 3 =1/8 .

Теперь возвращаемся к исходному выражению, заменяем в нем степени их значениями, и находим нужное нам значение выражения: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6 .

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6 .

Стоит заметить, что более распространены случаи, когда целесообразно провести предварительное упрощение выражения со степенями на базе свойств степени.

Найдите значение выражения .

Судя по показателям степеней, находящихся в данном выражении, точные значения степеней получить не удастся. Попробуем упростить исходное выражение, может быть это поможет найти его значение. Имеем

Степени в выражениях зачастую идут рука об руку с логарифмами, но о нахождении значений выражений с логарифмами мы поговорим в одном из следующих пунктов.

Находим значение выражения с дробями

Числовые выражения в своей записи могут содержать дроби. Когда требуется найти значение подобного выражения, дроби, отличные от обыкновенных дробей, следует заменить их значениями перед выполнением остальных действий.

В числителе и знаменателе дробей (которые отличны от обыкновенных дробей) могут находиться как некоторые числа, так и выражения. Чтобы вычислить значение такой дроби нужно вычислить значение выражения в числителе, вычислить значение выражения в знаменателе, после чего вычислить значение самой дроби. Такой порядок объясняется тем, что дробь a/b , где a и b – некоторые выражения, по сути представляет собой частное вида (a):(b) , так как черта дроби означает знак деления.

Рассмотрим решение примера.

Найдите значение выражения с дробями .

В исходном числовом выражении три дроби и . Чтобы найти значение исходного выражения, нам сначала нужно эти дроби, заменить их значениями. Сделаем это.

В числителе и знаменателе дроби находятся числа. Чтобы найти значение такой дроби, заменяем дробную черту знаком деления, и выполняем это действие: .

В числителе дроби находится выражение 7−2·3 , его значение найти легко: 7−2·3=7−6=1 . Таким образом, . Можно переходить к нахождению значения третьей дроби.

Третья дробь в числителе и знаменателе содержит числовые выражения, поэтому, сначала нужно вычислить их значения, а это позволит найти значение самой дроби. Имеем .

Осталось подставить найденные значения в исходное выражение, и выполнить оставшиеся действия: .

Часто при нахождении значений выражений с дробями приходится выполнять упрощение дробных выражений, базирующееся на выполнении действий с дробями и на сокращении дробей.

Найдите значение выражения .

Корень из пяти нацело не извлекается, поэтому для нахождения значения исходного выражения для начала упростим его. Для этого избавимся от иррациональности в знаменателе первой дроби: . После этого исходное выражение примет вид . После вычитания дробей пропадут корни, что нам позволит найти значение изначально заданного выражения: .

С логарифмами

Если числовое выражение содержит логарифмы, и если есть возможность избавиться от них, вычислив значение логарифмов, то это делается перед выполнением остальных действий. Например, при нахождении значения выражения log₂4+2·3 , логарифм log₂4 заменяется его значением 2 , после чего выполняются остальные действия в обычном порядке, то есть, log₂4+2·3=2+2·3=2+6=8 .

Когда под знаком логарифма и/или в его основании находятся числовые выражения, то сначала находятся их значения, после чего вычисляется значение логарифма. Для примера рассмотрим выражение с логарифмом вида . В основании логарифма и под его знаком находятся числовые выражения, находим их значения: . Теперь находим логарифм, после чего завершаем вычисления: .

Если же логарифмы не вычисляются точно, то найти значение исходного выражения может помочь предварительное его упрощение с использованием свойств логарифмов. При этом нужно хорошо владеть материалом статьи преобразование логарифмических выражений.

Найдите значение выражения с логарифмами .

Начнем с вычисления log₂(log₂256) . Так как 256=2 8 , то log₂256=8 , следовательно, log₂(log₂256)=log₂8=log₂2 3 =3 .

Логарифмы log₆2 и log₆3 можно сгруппировать. Сумма логарифмов log₆2+log₆3 равна логарифму произведения log₆(2·3) , таким образом, log₆2+log₆3=log₆(2·3)=log₆6=1 .

Теперь разберемся с дробью . Для начала основание логарифма в знаменателе перепишем в виде обыкновенной дроби как 1/5 , после чего воспользуемся свойствами логарифмов, что позволит нам получить значение дроби: .

Осталось лишь подставить полученные результаты в исходное выражение и закончить нахождение его значения:

Как найти значение тригонометрического выражения?

Когда числовое выражение содержит синус, косинус, тангенс, котангенс или арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс и т.п., то их значения вычисляются перед выполнением остальных действий. Если под знаком тригонометрических функций стоят числовые выражения, то сначала вычисляются их значения, после чего находятся значения тригонометрических функций.

Найдите значение выражения .

Обратившись к статье нахождение значений тригонометрических функций, получаем и cosπ=−1 . Подставляем эти значения в исходное выражение, оно принимает вид . Чтобы найти его значение, сначала нужно выполнить возведение в степень, после чего закончить вычисления: .

Стоит отметить, что вычисление значений выражений с синусами, косинусами и т.п. зачастую требует предварительного преобразования тригонометрического выражения.

Чему равно значение тригонометрического выражения .

Преобразуем исходное выражение, используя тригонометрические формулы, в данном случае нам потребуются формула косинуса двойного угла и формула косинуса суммы:

Проделанные преобразования помогли нам найти значение выражения.

Общий случай

В общем случае числовое выражение может содержать и корни, и степени, и дроби, и какие-либо функции, и скобки. Нахождение значений таких выражений состоит в выполнении следующих действий:

сначала корни, степени, дроби и т.п. заменяются их значениями,
дальше действия в скобках,
и по порядку слева направо выполняется оставшиеся действия — умножение и деление, а за ними – сложение и вычитание.

Перечисленные действия выполняются до получения конечного результата.

Найдите значение выражения .

Вид данного выражения довольно сложен. В этом выражении мы видим дробь, корни, степени, синус и логарифм. Как же найти его значение?

Продвигаясь по записи слева на право, мы натыкаемся на дробь вида . Мы знаем, что при работе с дробями сложного вида, нам нужно отдельно вычислить значение числителя, отдельно – знаменателя, и, наконец, найти значение дроби.

В числителе мы имеем корень вида . Чтобы определить его значение, сначала надо вычислить значение подкоренного выражения . Здесь есть синус. Найти его значение мы сможем лишь после вычисления значения выражения . Это мы можем сделать: . Тогда , откуда и .

Со знаменателем все просто: .

Таким образом, .

После подстановки этого результата в исходное выражение, оно примет вид . В полученном выражении содержится степень . Чтобы найти ее значение, сначала придется найти значение показателя, имеем .

Итак, .

Если же нет возможности вычислить точные значения корней, степеней и т.п., то можно попробовать избавиться от них с помощью каких-либо преобразований, после чего вернуться к вычислению значения по указанной схеме.

Рациональные способы вычисления значений выражений

Вычисление значений числовых выражений требует последовательности и аккуратности. Да, необходимо придерживаться последовательности выполнения действий, записанной в предыдущих пунктах, но не нужно это делать слепо и механически. Этим мы хотим сказать, что часто можно рационализировать процесс нахождения значения выражения. Например, значительно ускорить и упростить нахождение значения выражения позволяют некоторые свойства действий с числами.

К примеру, мы знаем такое свойство умножения: если один из множителей в произведении равен нулю, то и значение произведения равно нулю. Используя это свойство, мы можем сразу сказать, что значение выражения 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2,2)· (45·36−2·4+456:3·43) равно нулю. Если бы мы придерживались стандартного порядка выполнения действий, то сначала нам бы пришлось вычислять значения громоздких выражений в скобках, а это бы заняло массу времени, и в результате все равно получился бы нуль.

Также удобно пользоваться свойством вычитания равных чисел: если от числа отнять равное ему число, то в результате получится нуль. Это свойство можно рассматривать шире: разность двух одинаковых числовых выражений равна нулю. Например, не вычисляя значения выражений в скобках можно найти значение выражения (54·6−12·47362:3)−(54·6−12·47362:3) , оно равно нулю, так как исходное выражение представляет собой разность одинаковых выражений.

Рациональному вычислению значений выражений могут способствовать тождественные преобразования. Например, бывает полезна группировка слагаемых и множителей, не менее часто используется вынесение общего множителя за скобки. Так значение выражения 53·5+53·7−53·11+5 очень легко находится после вынесения множителя 53 за скобки: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58 . Непосредственное вычисление заняло бы намного больше времени.

В заключение этого пункта обратим внимание на рациональный подход к вычислению значений выражений с дробями – одинаковые множители в числителе и знаменателе дроби сокращаются. Например, сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе дроби позволяет сразу найти ее значение, которое равно 1/2 .

Нахождение значения буквенного выражения и выражения с переменными

Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных. То есть, речь идет о нахождении значения буквенного выражения для данных значений букв или о нахождении значения выражения с переменными для выбранных значений переменных.

Правило нахождения значения буквенного выражения или выражения с переменными для данных значений букв или выбранных значений переменных таково: в исходное выражение нужно подставить данные значения букв или переменных, и вычислить значение полученного числового выражения, оно и является искомым значением.

Вычислите значение выражения 0,5·x−y при x=2,4 и y=5 .

Источник

I.
Выражения, в которых наряду с буквами могут быть использованы числа, знаки арифметических действий и скобки, называются алгебраическими выражениями.

Примеры
алгебраических выражений:

2m -n; 3·
(2a + b); 0,24x; 0,3a -b ·
(4a + 2b); a 2 – 2ab;

Так как букву в алгебраическом выражении можно заменить какими то различными числами, то букву называют переменной, а само алгебраическое выражение — выражением с переменной.

II.
Если в алгебраическом выражении буквы (переменные) заменить их значениями и выполнить указанные действия, то полученное в результате число называется значением алгебраического выражения.

Примеры.
Найти значение выражения:

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6.

Решение
.

1) a + 2b -c при a = -2; b = 10; c = -3,5. Вместо переменных подставим их значения. Получим:

— 2+ 2 ·
10- (-3,5) = -2 + 20 +3,5 = 18 + 3,5 = 21,5.

2) |x| + |y| -|z| при x = -8; y = -5; z = 6. Подставляем указанные значения. Помним, что модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, а модуль положительного числа равен самому этому числу. Получаем:

|-8| + |-5| -|6| = 8 + 5 -6 = 7.

III.
Значения буквы (переменной), при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями буквы (переменной).

Примеры.
При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

Решение.
Мы знаем, что на нуль делить нельзя, поэтому, каждое из данных выражений не будет иметь смысла при том значении буквы (переменной), которая обращает знаменатель дроби в нуль!

В примере 1) это значение а = 0. Действительно, если вместо а подставить 0, то нужно будет число 6 делить на 0, а этого делать нельзя. Ответ: выражение 1) не имеет смысла при а = 0.

В примере 2) знаменатель х — 4 = 0 при х = 4, следовательно, это значение х = 4 и нельзя брать. Ответ: выражение 2) не имеет смысла при х = 4.

В примере 3) знаменатель х + 2 = 0 при х = -2. Ответ: выражение 3) не имеет смысла при х = -2.

В примере 4) знаменатель 5 -|x| = 0 при |x| = 5. А так как |5| = 5 и |-5| = 5, то нельзя брать х = 5 и х = -5. Ответ: выражение 4) не имеет смысла при х = -5 и при х = 5.
IV.
Два выражения называются тождественно равными, если при любых допустимых значениях переменных соответственные значения этих выражений равны.

Пример:
5 (a – b) и 5a – 5b тожественно равны, так как равенство 5 (a – b) = 5a – 5b будет верным при любых значениях a и b. Равенство 5 (a – b) = 5a – 5b есть тождество.

Тождество

– это равенство, справедливое при всех допустимых значениях входящих в него переменных. Примерами уже известных вам тождеств являются, например, свойства сложения и умножения, распределительное свойство.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения. Тождественные преобразования выражений с переменными выполняются на основе свойств действий над числами.

Примеры.

a)
преобразуйте выражение в тождественно равное, используя распределительное свойство умножения:

1) 10·(1,2х + 2,3у); 2) 1,5·(a -2b + 4c); 3) a·(6m -2n + k).

Решение
. Вспомним распределительное свойство (закон) умножения:

(a+b)·c=a·c+b·c
(распределительный закон умножения относительно сложения: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, можно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить).
(а-b)·c=a·с-b·c
(распределительный закон умножения относительно вычитания: чтобы разность двух чисел умножить на третье число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое отдельно и из первого результата вычесть второй).

1) 10·(1,2х + 2,3у) = 10 · 1,2х + 10 · 2,3у = 12х + 23у.

2) 1,5·(a -2b + 4c) = 1,5а -3b + 6c.

3) a·(6m -2n + k) = 6am -2an +ak.

б)
преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) сложения:

4) х + 4,5 +2х + 6,5; 5) (3а + 2,1) + 7,8; 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с.

Решение.
Применим законы (свойства) сложения:

a+b=b+a
(переместительный: от перестановки слагаемых сумма не меняется).
(a+b)+c=a+(b+c)
(сочетательный: чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего).

4) х + 4,5 +2х + 6,5 = (х + 2х) + (4,5 + 6,5) = 3х + 11.

5) (3а + 2,1) + 7,8 = 3а + (2,1 + 7,8) = 3а + 9,9.

6) 6) 5,4с -3 -2,5 -2,3с = (5,4с -2,3с) + (-3 -2,5) = 3,1с -5,5.

в)
преобразуйте выражение в тождественно равное, используя переместительное и сочетательное свойства (законы) умножения:

7) 4 ·
х ·
(-2,5); -3,5 ·
2у ·
(-1); 9) 3а ·
(-3) ·
2с.

Решение.
Применим законы (свойства) умножения:

a·b=b·a
(переместительный: от перестановки множителей произведение не меняется).
(a·b)·c=a·(b·c)
(сочетательный: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего).

7) 4 ·
х ·
(-2,5) = -4 ·
2,5 ·
х = -10х.

-3,5 ·
2у ·
(-1) = 7у.

9) 3а ·
(-3) ·
2с = -18ас.

Если алгебраическое выражение дано в виде сократимой дроби, то пользуясь правилом сокращения дроби его можно упростить, т.е. заменить тождественно равным ему более простым выражением.

Примеры.
Упростите, используя сокращение дробей.

Решение.
Сократить дробь — это значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число (выражение), отличное от нуля. Дробь 10) сократим на 3b
; дробь 11) сократим на а
и дробь 12) сократим на 7n
. Получаем:

Алгебраические выражения применяют для составления формул.

Формула – это алгебраическое выражение, записанное в виде равенства и выражающее зависимость между двумя или несколькими переменными.
Пример: известная вам формула пути s=v·t
(s — пройденный путь, v — скорость, t — время). Вспомните, какие еще формулы вы знаете.

Страница 1 из 1
1

Вы, как родители, в процессе обучения своего ребенка, не раз столкнетесь с необходимостью помощи в решении домашних задач по математике, алгебре и геометрии. И одно из базовых умений, которое необходимо усвоить — как найти значение выражения. Многие заходят в тупик, ведь сколько лет прошло с того момента, как мы учились в 3-5 классах? Многое уже забылось, а что-то не училось. Сами правила математических действий — просты и вы легко их вспомните. Начнем с самых основ, что такое математическое выражение.

Определение выражения

Математическое выражение — совокупность чисел, знаков действий (=, +,-, *, /), скобок, переменных. Кратко — это формула, значение которой нужно будет найти. Такие формулы как раз встречаются в курсе математики еще со школы, а потом преследуют и студентов, которые выбрали для себя специальности, связанные с точными науками. Математические выражения разделяются на тригонометрические, алгебраические и так далее, не будем забегать в самые «дебри».

Делайте любые вычисления сначала на черновике, а после переписывайте в рабочую тетрадь. Таким образом вы избежите лишних перечеркиваний и грязи;
Пересчитайте общее количество математических действий, которые нужно будет выполнить в выражении. Обратите внимание, что согласно правилам, вначале выполняются действия в скобках, потом деление и умножение и в самом конце вычитание и сложение. Рекомендуем выделить все действия карандашом и поставить цифры над действиями в порядке очередности их выполнения. В этом случае и вам и ребенку будет легче сориентироваться;
Начинайте производить расчеты строго придерживаясь порядка выполнения действий. Пусть ребенок, если расчет простой, старается выполнять его в уме, если же это сложно, то ставьте карандашом цифру, соответствующую порядковому номеру выражения и выполняйте вычисление в письменном виде под формулой;
Как правило, найти значение простого выражения не составляет труда, если все расчеты выполнены в соответствии с правилами и правильным порядком. Большинство сталкиваются с проблемой именно на данном этапе нахождения значения выражения, потому будьте внимательны и не допускайте ошибок;
Запрещайте калькулятор. Сами математические формулы и задачи в жизни вашему ребенка может и не пригодятся, но не в этом цель изучения предмета. Главное — развитие логическое мышления. Если пользоваться калькуляторами, то смысл всего будет потерян;
Ваша задача как родителя — не решать за ребенка задачи, а помогать ему в этом, направлять. Пусть он сам производит все вычисления, а вы следите за тем, чтобы он не допускал ошибок, объясняйте, почему нужно делать так, а не иначе.
После того, как ответ на выражение найден, запишите его после знака «=»;
Откройте последнюю страницу учебника по математике. Обычно, там есть ответы под каждое упражнение в книге. Не мешает свериться, верно ли все посчитано.

Найти значение выражения — с одной стороны, простая процедура, главное вспомнить основные правила, которые мы проходили в школьном курсе математики. Однако, с другой стороны, когда вам нужно помочь малышу справиться с формулами и решением задач, вопрос осложняется. Ведь вы теперь не ученик, а учитель и на ваших плечах лежит воспитание будущего Эйнштейна.

Надеемся, что наша статья помогла вам найти ответ на вопрос, как найти значение выражения, и вы с легкостью раскусите любую формулу!

Числовое выражение
– это любая запись из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Числовое выражение может состоять и просто из одного числа. Напомним, что основными арифметическими действиями являются «сложение», «вычитание», «умножение» и «деление». Этим действиям соответствуют знаки «+», «-», «∙», «:».

Конечно же, чтобы у нас получилось числовое выражение, запись из чисел и арифметических знаков должна быть осмысленной. Так, например, такую запись 5: + ∙ нельзя назвать числовым выражением, так как это случайный набор символов, не имеющий смысла. Напротив, 5 + 8 ∙ 9 — уже настоящее числовое выражение.

Значение числового выражения.

Сразу скажем, что если мы выполним действия указанные в числовом выражении, то в результате мы получим число. Это число называется значением числового выражения
.

Попробуем вычислить, что у нас получится в результате выполнения действий нашего примера. Согласно порядку выполнения арифметических действий , сначала выполним операцию умножения. Умножим 8 на 9. Получим 72. Теперь сложим 72 и 5. Получим 77.
Итак, 77 – значение
числового выражения 5 + 8 ∙ 9.

Числовое равенство.

Можно это записать таким образом: 5 + 8 ∙ 9 = 77. Здесь мы впервые использовали знак «=» («Равно»). Такая запись, при которой два числовых выражения разделены знаком «=», называется числовым равенством
. При этом, если значения левой и правой части равенства совпадают, то равенство называют верным
. 5 + 8 ∙ 9 = 77 – верное равенство.
Если же мы напишем 5 + 8 ∙ 9 = 100, то это уже будет неверное равенство
, так как значения левой и правой части данного равенства уже не совпадают.

Следует отметить, что в числовом выражении мы также можем использовать скобки. Скобки влияют на порядок выполнения действий. Так, например, видоизменим наш пример, добавив скобки: (5 + ∙ 9. Теперь сначала нужно сложить 5 и 8. Получим 13. А затем умножить 13 на 9. Получим 117. Таким образом, (5 + ∙ 9 = 117.
117 – значение
числового выражения (5 + ∙ 9.

Чтобы правильно прочитать выражение, нужно определить какое именно действие выполняется последним для вычисления значения данного числового выражения. Так, если последнее действие вычитание, то выражение называют «разностью». Соответственно, если последнее действие сумма — «суммой», деление – «частным», умножение – «произведением», возведение в степень – «степенью».

Например, числовое выражение (1+5)(10-3) читается так: «произведение суммы чисел 1 и 5 на разность чисел 10 и 3».

Примеры числовых выражений.

Приведем пример более сложного числового выражения:

[left(frac{1}{4}+3,75 right):frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4centerdot 0,5}]

В данном числовом выражении используются простые числа, обыкновенные и десятичные дроби. Также используются знаки сложения, вычитания, умножения и деления. Черта дроби также заменяет знак деления. При кажущейся сложности, найти значение данного числового выражения довольно просто. Главное уметь выполнять операции с дробями, а также внимательно и аккуратно делать вычисления, соблюдая порядок выполнения действий.

В скобках у нас выражение $frac{1}{4}+3,75$
. Преобразуем десятичную дробь 3,75 в обыкновенную.

$3,75=3frac{75}{100}=3frac{3}{4}$

Итак, $frac{1}{4}+3,75=frac{1}{4}+3frac{3}{4}=4$

Далее, в числителе дроби [frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4centerdot 0,5}]
у нас выражение 1,25+3,47+4,75-1,47. Для упрощения данного выражения применим переместительный закон сложения, который гласит: «От перемены мест слагаемых сумма не изменяется». То есть, 1,25+3,47+4,75-1,47=1,25+4,75+3,47-1,47=6+2=8.

В знаменателе дроби выражение $4centerdot 0,5=4centerdot frac{1}{2}=4:2=2$

Получаем $left(frac{1}{4}+3,75 right):frac{1,25+3,47+4,75-1,47}{4centerdot 0,5}=4:frac{8}{2}=4:4=1$

Когда числовые выражения не имеют смысла?

Рассмотрим еще один пример. В знаменателе дроби $frac{5+5}{3centerdot 3-9}$
значением выражения $3centerdot 3-9$
является 0. А, как мы знаем, деление на нуль невозможно. Следовательно, у дроби $frac{5+5}{3centerdot 3-9}$
нет значения. Про числовые выражения, у которых нет значения, говорят, что они «не имеют смысла».

Если мы в числовом выражении помимо чисел будем использовать буквы, то у нас получится уже

Числовые выражения составляются из чисел, знаков арифметических действий и скобок. Если в таком выражении присутствуют переменные, оно будет называться алгебраическим. Тригонометрическим является выражение, в котором переменная содержится под знаками тригонометрических функций. Задачи на определение значений числового, тригонометрического, алгебраического выражений часто встречаются в школьном курсе математики.

Инструкция

Чтобы найти значение числового выражения, определите порядок действий в заданном примере. Для удобства обозначьте его карандашом над соответствующими знаками. Выполните все указанные действия в определенном порядке: действия в скобках, возведение в степень, умножение, деление, сложение, вычитание. Полученное число и будет значением числового выражения.

Пример. Найдите значение выражения (34 10+(489–296) 8):4–410. Определите порядок действий. Первое действие выполните во внутренних скобках 489–296=193. Затем, умножьте 193 8=1544 и 34 10=340. Следующее действие: 340+1544=1884. Далее выполните деление 1884:4=461 и затем вычитание 461–410=60. Вы нашли значение данного выражения.

Чтобы найти значение тригонометрического выражения при известном угле?, предварительно . Для этого примените соответствующие тригонометрические формулы. Вычислите заданные значения тригонометрических функций, подставьте их в пример. Выполните действия.

Пример. Найдите значение выражения 2sin 30? cos 30? tg 30? ctg 30?. Упростите данное выражение. Для этого воспользуйтесь формулой tg ? ctg ?=1. Получите: 2sin 30? cos 30? 1=2sin 30? cos 30?. Известно, что sin 30?=1/2 и cos 30?=?3/2. Следовательно, 2sin 30? cos 30?=2 1/2 ?3/2=?3/2. Вы нашли значение данного выражения.

Значение алгебраического выражения зависит от значения переменной. Чтобы найти значение алгебраического выражения при заданных переменных, упростите выражение. Подставьте вместо переменных определенные значения. Выполните необходимые действия. В итоге вы получите число, которое и будет значением алгебраического выражения при заданных переменных.

Пример. Найдите значение выражения 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 и y=10. Упростите данное выражение, получите: a–2y. Подставьте соответствующие значения переменных и вычислите: a–2y=21–2 10=1. Это и есть значение выражения 7(a+y)–3(2a+3y) при a=21 и y=10.

Обратите внимание

Существуют алгебраические выражения, не имеющие смысла при некоторых значениях переменных. Например, выражение x/(7–a) не имеет смысла, если a=7, т.к. при этом знаменатель дроби обращается в нуль.

Формула

Сложение, вычитание, умножение, деление — арифметические действия (или арифметические операции
). Этим арифметическим действиям соответствуют знаки арифметических действий:

+
(читаем «плюс
«) — знак операции сложения,

—
(читаем «минус
«) — знак операции вычитания,

∙
(читаем «умножить
«) — знак операции умножения,

:
(читаем «разделить
«) — знак операции деления.

Запись, состоящая из чисел, связанных между собой знаками арифметических действий, называется числовым выражением.
В числовом выражении могут присутствовать также скобки Например, запись 1290 :
2 — (3 + 20 ∙ 15) является числовым выражением.

Результат выполнения действий над числами в числовом выражении называется значением числового выражения
. Выполнение этих действий называется вычислением значения числового выражения. Перед записью значения числового выражения ставят знак равенства
«=». В таблице 1 приведены примеры числовых выражений и их значений.

Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий называется буквенным выражением
. В этой записи могут присутствовать скобки. Например, запись a +
b — 3 ∙
c
является буквенным выражением. Вместо букв в буквенное выражение можно подставлять различные числа. При этом значение букв может изменяться, поэтому буквы в буквенном выражении называют еще переменными
.

Подставив в буквенное выражение числа вместо букв и вычислив значение получившегося числового выражения, находят значение буквенного выражения при данных значениях букв
(при данных значениях переменных). В таблице 2 приведены примеры буквенных выражений.

Буквенное выражение может не иметь значения, если при подстановке значений букв получается числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено. Такое числовое выражение называется некорректным
для натуральных чисел. Говорят также, что значение такого выражения «не определено»
для натуральных чисел, а само выражение «не имеет смысла»
. Например, буквенное выражение a — b
не имеет значения при a = 10 и b = 17. Действительно, для натуральных чисел, уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Например, имея всего 10 яблок (a = 10), нельзя отдать из них 17 (b = 17)!

В таблице 2 (колонка 2) приведён пример буквенного выражения. По аналогии заполните таблицу полностью.

Для натуральных чисел выражение 10 -17 некорректно (не имеет смысла)
, т.е. разность 10 -17 не может быть выражена натуральным числом. Другой пример: на ноль делить нельзя, поэтому для любого натурального числа b, частное b: 0
не определено.

Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения часто записывают в буквенном виде (т.е. в виде буквенного выражения). В этих случаях буквенное выражение называют формулой
. Например, если стороны семиугольника равны a,
b,
c,
d,
e,
f,
g
, то формула (буквенное выражение) для вычисления его периметра p
имеет вид:

p =
a +
b +
c +
d +
e +
f +
g

При a = 1, b = 2, c = 4, d = 5, e = 5, f = 7, g = 9, периметр семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 1 + 2 + 4 + 5 +5 + 7 + 9 = 33.

При a = 12, b = 5, c = 20, d = 35, e = 4, f = 40, g = 18, периметр другого семиугольника p = a + b + c + d + e + f + g = 12 + 5 + 20 + 35 + 4 + 40 + 18 = 134.

Блок 1. Словарь

Составьте словарь новых терминов и определений из параграфа. Для этого в пустые клетки впишите слова из списка терминов, приведенного ниже. В таблице (в конце блока) укажите номера терминов в соответствии с номерами рамок. Рекомендуется перед заполнением клеток словаря еще раз внимательно просмотреть параграф.

Операции: сложение, вычитание, умножение, деление.

2.Знаки «+» (плюс), «-» (минус), «∙» (умножить, «:
» (разделить).

3.Запись, состоящая из чисел, которые связанны между собой знаками арифметических действий и в которой могут присутствовать также скобки.

4.Результат выполнения действий над числами в числовом выражении.

5. Знак, стоящий перед значением числового выражения.

6. Запись, состоящая из чисел и малых букв латинского алфавита, связанных между собой знаками арифметических действий (могут присутствовать также скобки).

7. Общее название букв в буквенном выражении.

8. Значение числового выражения, которое получается при подстановке переменных.в буквенное выражение.

9.Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел не может быть найдено.

10. Числовое выражение, значение которого для натуральных чисел может быть найдено.

11. Математические законы, свойства, некоторые правила и соотношения, записанные в буквенном виде.

12. Алфавит, малые буквы которого используются для записи буквенных выражений.

Блок 2. Установите соответствие

Установите соответствие между заданием в левой колонке и решением в правой. Ответ запишите в виде: 1а, 2г, 3б…

Блок 3. Фасетный тест. Числовые и буквенные выражения

Фасетные тесты заменяют сборники задач по математике, но выгодно отличаются от них тем, что их можно решать на компьютере, проверять решения и сразу узнавать результат работы. В этом тесте содержится 70 задач. Но решать задачи можно по выбору, для этого есть оценочная таблица, где указаны простые задачи и посложнее. Ниже приведён тест.

Дан треугольник со сторонами c,
d,
m,
выраженными в см
Дан четырехугольник со сторонами b,
c,
d,
m
, выраженными в м
Скорость автомобиля в км/ч равна b,
время движения в часах равно d
Расстояние, которое преодолел турист за m
часов, составляет с
км
Расстояние, которое преодолел турист, двигаясь со скоростью m
км/ч, составляет b
км
Сумма двух чисел больше второго числа на 15
Разность меньше уменьшаемого на 7
Пассажирский лайнер имеет две палубы с одинаковым количеством пассажирских мест. В каждом из рядов палубы m
мест, рядов на палубе на n
больше, чем мест в ряду
Пете m лет Маше n лет, а Кате на k лет меньше, чем Пете и Маше вместе
m = 8, n = 10, k = 5
m = 6, n = 8, k = 15
t = 121, x = 1458

Значение данного выражения
Буквенное выражение для периметра имеет вид
Периметр, выраженный в сантиметрах
Формула пути s, пройденного автомобилем
Формула скорости v, движения туриста
Формула времени t, движения туриста
Путь, пройденный автомобилем в километрах
Скорость туриста в километрах в час
Время движения туриста в часах
Первое число равно…
Вычитаемое равно….
Выражение для наибольшего количества пассажиров, которое может перевезти лайнер за k
рейсов
Наибольшее количество пассажиров, которое может перевезти лайнер за k
рейсов
Буквенное выражение для возраста Кати
Возраст Кати
Координата точки В, если координата точки С равна t
Координата точки D, если координата точки С равна t
Координата точки А, если координата точки С равна t
Длина отрезка BD на числовом луче
Длина отрезка CА на числовом луче
Длина отрезка DА на числовом луче

Источник

Есть в Профильном ЕГЭ по математике, и даже в первой его части, такие задачи, для решения которых нужно знать ВСЁ. То есть всю школьную программу алгебры, с 5 класса до 11. Или почти всю.

Например, задание №6 Профильного ЕГЭ по математике – вычисления и преобразования. Вам могут встретиться и совсем простые задачи (на сложение дробей), и задания, которые не решить без подготовки. Например, вычисление и преобразование иррациональных выражений, тригонометрических, логарифмических. Задачи на определение модуля и понятие функции. В общем, типов задач здесь множество, по всему курсу алгебры.

И помните, что в ответе в заданиях первой части Профильного ЕГЭ по математике у вас должны получаться целые числа или конечные десятичные дроби.

Дробно-рациональные выражения. Формулы сокращенного умножения

Темы для повторения: Формулы сокращенного умножения, Приемы быстрого счета

Если вам встретится такое задание на ЕГЭ – значит, повезло!

1. Найдите значение выражения $frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}.$

Не спешите перемножать десятичные дроби. Посмотрите на задачу внимательно.

$frac{2,88cdot 44,5}{0,288cdot 4,45}=frac{2,88cdot 44,5}{2,88cdot 0,445}=frac{44,5}{0,445}=100.$

Первый множитель в знаменателе умножили на 10, а второй поделили на 10, просто передвинув запятую.

Ответ: 100.

2. Найдите значение выражения $7frac{9}{13}:frac{5}{13}.$

$7frac{9}{13}:frac{5}{13}=frac{100}{13}cdot frac{13}{5}=20.$

Ответ: 20.

Корни и степени. Иррациональные выражения

Темы для повторения: Арифметический квадратный корень.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

$left ( sqrt{a} right )^{2}=a;;sqrt{a}geq 0;;ageq 0$ .

3. Вычислите .

Применили одну из формул сокращенного умножения.

Ответ: 8.

4. Вычислите:

Упростим множители:

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7} right )^{2}+2sqrt{3}cdot sqrt{7}+left ( sqrt{3} right )^{2}}=$

$=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )cdot sqrt{left ( sqrt{7}+sqrt{3}right )^{2}}=2left ( sqrt{7}-sqrt{3} right )left ( sqrt{7}+sqrt{3} right )=$

Ответ: 8.

Действия со степенями

Темы для повторения:
Вспомним правила действий со степенями.

$a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

$frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

$left ( a^{m} right )^{n}=left ( a^{n} right )^{m}=a^{mn}.$

$a^{n}b^{n}=left ( ab right )^{n}.$

$frac{a^{n}}{b^{n}}=left ( frac{a}{b} right )^{n}.$

5. Найдите значение выражения: $frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}$ при a=4.

$frac{a^{8,9}}{a^{4,9}}=a^{8,9-4,9}=a^{4}=4^{4}=256.$

Применили формулу частного степеней $frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}.$

Ответ: 256.

6. Вычислите $left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}.$

$left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{sqrt[12]{2}} right )^{2}=left ( frac{2^{frac{1}{3}}cdot 2^{frac{1}{4}}}{2^{frac{1}{12}}} right )^{2}=left ( 2^{frac{1}{3}+frac{1}{4}-frac{1}{12}} right )^{2}=left ( 2^{frac{4}{12}+frac{3}{12}-frac{1}{12}} right )^{2}=$

$=left (2^{frac{1}{2}} right )^{2}=2.$

Ответ: 2.

7. Вычислите $frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}$ , если .

Спокойно, не пугаемся. И конечно, не спешим подставлять значение m=3,7. Сначала упростим выражение.

$frac{5left ( m^{6} right )^{5}+13left ( m^{10} right )^{3}}{left ( 2m^{15} right )^{2}}=frac{5m^{30}+13m^{30}}{4m^{30}}=frac{18m^{30}}{4m^{30}}=4,5.$

Ответ: 4,5.

8. Вычислите $0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}.$

$0,75^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 12^{frac{7}{8}}=left ( frac{3}{4} right )^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot left ( 3cdot 4 right )^{frac{7}{8}}=frac{3^{frac{1}{8}}cdot 4^{frac{1}{4}}cdot 3^{frac{7}{8}}cdot 4^{frac{7}{8}}}{4^{frac{1}{8}}}=3cdot 4=12.$

Применили формулу для произведения степеней: $a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}.$

Ответ: 12.

9. Вычислите $frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}.$

$frac{sqrt[28]{3}cdot 3cdot sqrt[21]{3}}{sqrt[12]{3}}=frac{3^{frac{1}{28}}cdot 3cdot 3^{frac{1}{21}}}{3^{frac{1}{12}}}=3^{frac{1}{28}+1+frac{1}{21}-frac{1}{12}}=3^{frac{3}{84}+1+frac{4}{84}-frac{7}{84}}=3.$

Записали корни в виде степеней (это удобно!) и применили формулу произведения степеней.

Ответ: 3.

Логарифмические выражения

Темы для повторения:
Логарифмы

Логарифм положительного числа по основанию — это показатель степени, в которую надо возвести , чтобы получить .

$log _{a}b=cLeftrightarrow a^{c}=b$ .

При этом > 0, > 0, aneq 1.

Основные логарифмические формулы:

Основное логарифмическое тождество: $boldsymbol{log _{a}a^{c}=c, ; a^{log _{a}b}=b}.$

Логарифм произведения равен сумме логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( bc right )=log _{a}b+log _{a}c}.$

Логарифм частного равен разности логарифмов: $boldsymbol{log _{a}left ( frac{b}{c} right )=log _{a}b-log _{a}c}.$

Формула для логарифма степени: $boldsymbol{log _{a}b^{m}=mlog_{a}b}.$

Формула перехода к новому основанию: $boldsymbol{log _{a}b=frac{1}{log _{b}a},; log _{a}b=frac{log _{c}b}{log _{c}a}}.$

10. Вычислите: $log _{5}7cdot log _{7}25$ .

$log _{5}7cdot log _{7}25=log _{5}7cdot log _{7}5^{2}=2log _{5}7cdot log _{7}5=2.$

Снова формула перехода к другому основанию.

$log _{a}b=frac{1}{log _{b}a}$ , поэтому
$log _{a}bcdot log _{b};a=1.$

11. Найдите $log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}$ , если $log _{a}b=-2$ .

$log _{a}frac{a^{6}}{b^{4}}=log _{a}a^{6}-log _{a}b^{6}=6-4log _{a}b=6-4cdot left ( -2 right )=6+8=14.$

12. Найдите значение выражения $frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}$ .

$frac{log _{2}80}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}left (8cdot 10 right )}{3+log _{2}10}=frac{log _{2}8+log _{2}10}{3+log _{2}10}=frac{3+log _{2}10}{3+log _{2}10}=1.$

13. Найдите значение выражения $frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}$ .

$frac{log _{9}sqrt[10]{8}}{log _{9}8}=frac{log _{9}8^{frac{1}{10}}}{log _{9}8}=frac{1}{10}=0,1$ .

14. Найдите значение выражения $left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )$ .

$left ( 1-log _{3}18 right )left ( log _{6}54 -1right )=-left ( log _{3}18-log _{3}3 right )cdot left ( log _{6}54-log _{6}6 right )=-log _{3}6cdot log _{6}9=-2log _{3}6cdot log _{6}3=-2.$

Тригонометрия. Формулы тригонометрии и формулы приведения

Темы для повторения:
Тригонометрический круг.
Формулы тригонометрии.
Формулы приведения.

15. Вычислите: $44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right ).$

$44sqrt{3}tgleft ( -480^{circ} right )=44sqrt{3}cdot frac{sin left ( -480^{circ} right )}{cos left ( -480^{circ} right )}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 480^{circ}}{cos 480^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sin 120^{circ}}{cos 120^{circ}}=-44sqrt{3}cdot frac{sqrt{3}}{2}:left ( -frac{1}{2} right )=132.$

16. Найдите , если $sin alpha =-frac{2sqrt{2}}{3}$ и $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ .

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{2sqrt{2}}{3} right )^{2}=1-frac{8}{9}=frac{1}{9}.$

Т.к. $alpha in left ( frac{3pi }{2};;2pi right )$ , то $cos alpha =frac{1}{3}.$
$3cos alpha =3cdot frac{1}{3}=1.$

17. Найдите , если $sin alpha =-frac{1}{sqrt{5}}$ и

$cos ^{2}alpha =1-sin ^{2}alpha =1-left ( -frac{1}{sqrt{5}} right )^{2}=1-frac{1}{5}=frac{4}{5}.$

Т.к. , то
$cos alpha =frac{2}{sqrt{5}}.$

$tgalpha =frac{sin alpha }{cos alpha }=-frac{1}{sqrt{5}}:frac{2}{sqrt{5}}=-2.$

18. Найдите значение выражения: $frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}.$

$frac{13sin 152^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{13cdot 2sin 76^{circ}cdot cos 76^{circ}}{cos 76^{circ}cdot cos 14^{circ}}=frac{26sin 76^{circ}}{cos 14^{circ}}=frac{26sin left ( 90^{circ}-14^{circ} right )}{cos 14^{circ}}=$

$=frac{26cos 14^{circ}}{cos 14^{circ}}=26.$

Применили формулу приведения.

19. Упростите выражение: $frac{3cos(pi - beta)+sin(frac{pi}{2}+beta)}{cos(beta+3pi)}.$

$frac{3cos left ( pi -beta right )+sin left ( frac{pi }{2}+beta right )}{cos left ( beta +3pi right )}=frac{-3cos beta +cos beta }{-cos beta }=frac{-2cos beta }{-cos beta }=2.$

Применили формулу приведения.

20. Найдите , если .

$2cos 2alpha =2left ( 1-2sin ^{2}alpha right )=2-4sin ^{2}alpha =2-4cdot left ( -0,7 right )^{2}=0,04.$

21. Вычислите $frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }$ , если

$frac{1-cos 2alpha +sin 2alpha }{1+cos 2alpha +sin 2alpha }=frac{1-cos ^{2}alpha +sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{1+cos ^{2}alpha -sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=$

$=frac{2sin ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }{2cos ^{2}alpha +2sin alpha cos alpha }=frac{sin alpha left ( sin alpha +cos alpha right )}{cos alpha left ( cos alpha +sin alpha right )}=frac{sin alpha }{cos alpha }=tgalpha =0,3.$

Алгебраические выражения, корни, степени и логарифмы. И еще тригонометрия. Это всё, что может встретиться в задании 6 Профильного ЕГЭ по математике?

Оказывается, и это не всё! Еще нужно знать, что такое модуль. И как найти $sqrt{a^{2}}$ .

Другие типы заданий

Темы для повторения:
Модуль числа.
Что такое функция.

22. Найдите значение выражения
$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}$ при .

Запомним: $sqrt{a^{2}}=left | a right |.$

$sqrt{left ( a-2 right )^{2}}+sqrt{left ( a-4 right )^{2}}=left | a-2 right |+left | a-4 right |$ .

Если , то и .

При этом и .

При получаем: .

Ответ: 2.

23. Найдите значение выражения

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}$ при xleq 12 .

При xleq 12 получим:

$x+sqrt{x^{2}-24x+144}=x+sqrt{left ( x-12 right )^{2}}=x+left | x-12 right |=x+12-x=12.$

Ответ: 12.

24. Найдите $frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}$ , если , при .

Что такое ? Это функция, каждому числу ставящая в соответствие число . Например, ;

Тогда:

Заметим, что .

Значит, при
$frac{gleft ( 5-x right )}{gleft ( 5+x right )}=1$ .

25. Найдите $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ , если $pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ , при .

$pleft ( b right )=left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ — функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
$left ( b-frac{9}{b} right )left ( -9b+frac{1}{b} right )$ .

Тогда при bneq 0.

$pleft ( frac{1}{b} right )=left ( frac{1}{b}-9b right )left ( -frac{9}{b} +bright )=left ( b-frac{9}{b} right )left (-9b +frac{1}{b} right )=pleft ( b right )$ , и значение выражения $frac{pleft ( b right )}{pleft ( frac{1}{b} right )}$ равно 1.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Задание 6 ЕГЭ по математике. Вычисления и преобразования» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ.
Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник