Как найти значение выражения с десятичными дробями

Десятичные дроби — для чайников

Действия с десятичными дробями – деление умножение, сложение, вычитание, сравнение. Разбор примеров.

Все это здесь.

Между прочим, большинство ошибок на экзаменах происходят как раз из-за незнания простейших действий вроде этих.

Так что читай эту статью и отрабатывай скиллы.

Десятичные дроби — коротко о главном

1. Определение

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени.

2. Конечная и бесконечная десятичная дробь

Десятичная дробь может быть:

• конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
• бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
• периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right)))

3. Свойства десятичных дробей

• Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули ( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.;
• Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби: ( 0,014330000=0,01433);
• Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо: ( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз);
• Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево: ( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз).

4. Сложение десятичных дробей

Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в складываемых числах.

5. Вычитание десятичных дробей

Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком»:

6. Умножение десятичных дробей

Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.

Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.

7. Деление десятичных дробей

Деление десятичной дроби на натуральное число

• Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
• Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.

Деление десятичных дробей друг на друга

• Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
• Умножаем и делимое, и делитель на 10, 100 или 1000 и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.

Десятичные дроби — подробнее

Конечно, ты знаешь, что такое обыкновенная дробь. Например, ( displaystyle frac{1}{3}, frac{1}{4},frac{5}{112}).

Наравне с приведенными выше дробями существуют дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) и т.д.

Такие дроби можно записать намного удобнее и более кратко, то есть:

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).

Ты наверняка знаешь, что каждая цифра после запятой имеет свое название. На всякий случай напомню тебе про них, чтобы в дальнейшем мы говорили на одном языке:

Это огромное число читается по следующему алгоритму:

1. Сначала читается число, стоящее до запятой и добавляется слово «целых»: ««( 46) целых»;
2. Затем читается как обыкновенное число слева после запятой и добавляется слово, обозначающее название самой последней цифры. В нашем случае – «одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные».

А теперь прочитаем все вместе – «( 46) целых одна тысяча двести тридцать четыре десятитысячные». Разобрался? Переходим к визуализации полученных знаний!

Итак, небольшая тренировка на понимание, что такое эта десятичная дробь! Нарисуй квадрат ( 10) на ( 10) и закрась какую-нибудь его часть равную:

• ( 0,05;)
• ( 0,4;)
• ( 0,27;)
• ( 0,245)

Справился? Проверяем, что у тебя получилось.

Во-первых, квадрат ( 10) на ( 10) состоит из ( 100) клеточек. Соответственно, ( 0.05) – ( 5) клеточек из ( 100); ( 0,4) – ( 40) клеточек из ( 100) и так далее.

Наверняка, наибольшее затруднение составило последнее число – ( -0,245). На картинке это необходимо отразить как 24,5 клетки.

В общем, смотри:

С понятиями разобрались, теперь научимся переводить из десятичной дроби в обыкновенную и обратно.

Перевод из десятичной дроби в обыкновенную и обратно

Попробуй перевести:

• ( 0,136)
• ( 0,2436)
• ( 0,0456)
• ( 0,21)

Сравним ответы:

• ( displaystyle 0,136=frac{136}{1000})
• ( displaystyle 0,2436=frac{2436}{10000})
• ( displaystyle 0,0456=frac{456}{10000})
• ( displaystyle 0,21=frac{21}{100})

Уверена, что ты с легкостью справился! А как насчет обратного перевода? Из обыкновенных в десятичные?

Попробуй свои силы на вот этих дробях:

• ( displaystyle frac{2}{10})
• ( displaystyle frac{3}{100})
• ( displaystyle frac{4}{1000})
• ( displaystyle frac{4562}{100})

А вот и ответы:

• ( displaystyle frac{2}{10}=0,2)
• ( displaystyle frac{3}{100}=0,03)
• ( displaystyle frac{4}{1000}=0,004)
• ( displaystyle frac{4562}{100}=45frac{62}{100}=45,62)

Если ты со всем справился, можешь пропускать следующий абзац, а если где-то допустил ошибку, внимательно прочти о том, как легко и 100% правильно переводить дроби из обыкновенных в десятичные.

1. Смотрим на дробь и определяем, есть ли у нее целая часть? Если есть, выделяем целую часть, записываем ее, и ставим запятую.
2. После запятой должно быть столько знаков, сколько нулей стоит в знаменателе. Например, дробь ( displaystyle frac{4}{1000}) — ( 3) нуля в знаменателе, соответственно, мы как бы мысленно выделяем ( 3) ячейки.
3. Затем записываем числитель – ( 4), но выравниваем его по правому краю, а в пустые ячейки вставляем нули.

Разобрался? Посмотри еще раз эту маленькую «инструкцию»:

Я думаю, ты во всем-всем разобрался! Потренируемся? Попробуй поработать еще с вот этими дробями:

• ( displaystyle frac{26}{10})
• ( displaystyle frac{43}{100})
• ( displaystyle frac{99}{1000})
• ( displaystyle frac{3562}{100})

А теперь ответы:

• ( displaystyle frac{26}{10}=2,6)
• ( displaystyle frac{43}{100}=0,43)
• ( displaystyle frac{99}{1000}=0,099)
• ( displaystyle frac{3562}{100}=35,62)

Виды десятичных дробей

Десятичная дробь может быть:

• конечной, если она содержит конечное число цифр после запятой (( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}));
• бесконечной, в том числе периодичной, если конечное число цифр определить не определено (( 0,05882352941…));
• периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр (( displaystyle frac{1}{7}=0,underbrace{142857}_{{период}}underbrace{142857}_{период}142…=0,left( 142857 right))).

Поговорим сначала о конечных дробях.

Конечная десятичная дробь

Само собой понятно, что дроби ( displaystyle frac{8}{10}, frac{13}{100},frac{49}{1000}) являются конечными, ведь знаменатель дроби уже представлен как единица с последующими нулями, и поэтому мы сразу можем сказать, что данную обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную. А что ты скажешь насчет этой дроби: ( displaystyle frac{1}{4})? Ее знаменатель далеко не единица с последующими нулями, но ты четко знаешь, что у нее есть десятичный «аналог»:

Усвоил? Постарайся представить в виде конечной десятичной дроби следующие обыкновенные дроби:

• ( displaystyle frac{1}{5})
• ( displaystyle frac{1}{8})
• ( displaystyle frac{3}{5})
• ( displaystyle frac{1}{16})

Сравним наши ответы:

• ( displaystyle frac{1cdot 2}{5cdot 2}=frac{2}{10}=0,2)
• ( displaystyle frac{125}{1000}=0,125)
• ( displaystyle frac{3}{5}=frac{6}{10}=0,6)
• ( displaystyle frac{1}{16}=frac{625}{10000}=0,0625)

Справился? Молодец. Выходим на новый уровень и переходим к бесконечным десятичным дробям.

Бесконечная десятичная дробь

Итак, бери калькулятор и дели ( 1) на ( 17). Поделил? Ты получил ( 0,05882352941) и дальше окошко калькулятора не показывает… Это тоже является десятичной дробью, только данная десятичная дробь является бесконечной. Ты сейчас скажешь, а как же наше определение?

Десятичной дробью называется обыкновенная дробь, знаменателем которой является ( 10) в какой-либо степени (первый пример – ( 10) в первой степени, второй – ( 10) во второй степени и т.д.).

Все очень просто и никаких противоречий с определением нет. В данном случае нам необходимо привести наш знаменатель к ( {{10}^{n}}), с учетом, что ( n) это какое-либо бесконечное число, которое мы не можем «обозреть» взглядом», или иными словами – ( nto +infty )

Таким образом:

Бесконечной десятичной дробью называется обыкновенная дробь, в записи которой после запятой содержится бесконечное количество цифр.

Как правило, в задачах, где встречаются бесконечные десятичные дроби, просят указать ответ либо с округлением (например, до десятых, или до сотых), либо записать в виде обыкновенной дроби, то есть как ( displaystyle frac{1}{17}).

Подумай, какой самый популярный пример можно привести на тему «бесконечная десятичная дробь»? Правильно! Число ( pi ) является бесконечной десятичной дробью. Во всем мире люди договорились, что для решения математических задач принято, что ( pi =3,14), но это далеко не так. Число ( pi ) не имеет определенного завершения. Оно настолько бесконечно, что ежегодно в мире проводятся соревнования по запоминанию числа ( pi ). Мировой рекорд по запоминанию знаков числа ( pi ) после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки! Все 67 890 знаков после запятой мы приводить не будем, а приведем несколько сокращенную запись:

( pi =3,1415926535text{ }8979323846text{ }2643383279text{ }5028841971)

Думаю, этого хватит, чтобы оценить «масштабы» данного числа.

Наравне с бесконечными десятичными дробями существуют периодические десятичные дроби. Они так же не имеют конца, но последующие числа в них повторяются, например, попробуй перевести в десятичную дробь ( displaystyle frac{1}{3}). Что у тебя получилось?

Дробь называется периодической, если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр.

Чтобы кратко записать такую дробь, период (повторяющиеся цифры после запятой) пишут в скобках:

( displaystyle frac{100}{7}=underbrace{14,2857}_{не период}1428571428571…=14,left( 285714 right)).

Свойства десятичных дробей

Существует четыре свойства десятичных дробей. Они очень простые, и ты 100% знаешь о всех них, но давай их перечислим и вспомним:

1. Десятичная дробь не меняется, если справа добавить нули

( displaystyle frac{3}{100}=0,03=0,030=0,030000)и т.д.

2. Десятичная дробь не меняется, если удалить нули, расположенные в конце десятичной дроби:

( 0,014330000=0,01433)

ВНИМАНИЕ!!! Нельзя удалять нули, расположенные не в конце десятичной дроби!!!!

( 0,014330000ne 0,1433)

3. Десятичная дробь возрастает в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций вправо:

( 0,0125cdot 100=1,25) (перенесли запятую на ( 2) знака вправо – умножили на ( 100) и дробь возросла в ( 100) раз)

4. Десятичная дробь уменьшается в ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. раз, если перенести десятичную точку на одну, две, три и т.д. позиций влево:

( 124,56:100=1,2456) (перенесли запятую на ( 2) знака влево – разделили на ( 100) и дробь уменьшилась в ( 100) раз)

Последние два свойства позволяют быстро умножать и делить десятичные дроби на ( 10), ( 100), ( 1000) и т.д. о чем подробнее мы поговорим чуть ниже.

Действия с десятичными дробями

Десятичные дроби – это обычные числа. Мы можем складывать их, вычитать из одной другую, умножать и делить.

Очень важно уметь правильно производить с ними математические действия, так как зачастую именно от арифметических ошибок зависит твоя оценка на экзамене.

Несомненно, ты знаешь, как все это делать, но на всякий случай, дам тебе краткую инструкцию к применению.

Как складывать десятичные дроби

При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.

Разберемся на примере:

Сложение происходит, как и сложение натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставится четко на том же месте, как и в складываемых числах.

Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.

Если при сложении в сумме мы получаем больше ( 10), то одна единица прибавляется к сумме при сложении цифр следующего разряда.

Решим наш пример, учтя все правила:

Разобрался? Посчитай в столбик самостоятельно:

• ( 0,0125+0,141)
• ( 2,4225+0,34)
• ( 122,4355+1,34)
• ( 2,435+12,3)

Сравним ответы:

• ( 0,0125+0,141=0,1535)
• ( 2,4225+0,34=2,7625)
• ( 122,4355+1,34=123,7755)
• ( 2,435+12,3=14,735)

Как вычитать десятичные дроби

Так же, как и при сложении, при вычитании десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения.

Соответственно, запятые стоят четко друг под другом.

Вычитание происходит, как и вычитание натуральных чисел в столбик, при этом запятая в ответе ставиться четко на том же месте, как и в числах, с которыми мы работаем.

Если исходные числа имеют разное количество знаков после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.

Если при вычитании получается, что мы из меньшего числа вычитаем большее, то мы как бы занимаем десяток у более высокого разряда (при вычитании сотых частей, берем десяток у десятых, при вычитании десятых – у единиц и так далее), не забывая уменьшить вычитаемое число у заимствованного разряда.

Посмотрим подробно на примере:

Думаю, с рисунком тебе стало все понятно. Попробуй посчитать в столбик следующие выражения:

• ( 0,0125-0,141)
• ( 2,4225-0,34)
• ( 122,4355-1,34)
• ( 12,435-12,3)

Сравним полученные ответы:

• ( 0,0125-0,141=-0,1285)
• ( 2,4225-0,34=2,0825)
• ( 122,4355-1,34=121,0955)
• ( 12,435-12,3=0,135)

Как умножать десятичные дроби

Десятичные дроби также записываются в столбик и умножаются как обыкновенные числа. При умножении нам неважно, стоят ли запятые под запятыми и так далее.

Однако, удобно, когда числа выровнены по правому краю – умножение происходит более упорядочено.

Мы начинаем запись числа, получающего при перемножении, под тем разрядом второго числа, на который умножаем. Далее мы суммируем полученные числа и только затем ставим запятую.

Чтобы определить, между какими числами должна стоять запятая, мы должны посмотреть, сколько чисел стоит после знака запятой у первого множителя, сколько у второго, сложить их и отсчитать справа данное количество чисел.

Непонятно? Смотри:

Как ты видишь, при перемножении мы будем складывать столько слагаемых, сколько разрядов содержится во втором множителе, поэтому удобней записывать числа так, чтобы первый множитель был по количеству чисел больше, чем второй.

Таким способом мы значительно снизим вероятность ошибок.

Не веришь? Смотри:

Если при умножении мы получаем число, которое больше ( 9), например ( 12), то единицу мы прибавляем к значению, полученному при умножении последующих чисел следующего десятка.

Соответственно, если получаем, например, ( 24), то прибавляем ( 2).

Проиллюстрируем данное правило:

Разобрался? Дорешай данный пример самостоятельно.

Сколько у тебя получилось? У меня ( 10,33911).

А теперь пора приступить к некоторым очень важным моментам, которые помогут сохранить время на экзамене.

Как делить десятичные дроби

Теперь ты знаешь о десятичных дробях почти все. Осталось только разобраться с тем, как их делить друг на друга.

Если ты отлично это представляешь, смело пропускай данный подраздел. Если нет – смотри инструкцию к применению.

Итак. Мы рассмотрим два вида деления:

• деление десятичной дроби на натуральное число;
• деление десятичной дроби на десятичную дробь.

Начнем с деления десятичной дроби на натуральное число.

Чтобы делить десятичную дробь на натуральное число, необходимо пользоваться следующими правилами:

1. Делим десятичную дробь на натуральное число по правилам деления в столбик, не обращая внимания на запятую в делимом (то число, которое мы делим на какое-либо другое число)
2. Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.

Важно!!!

Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим ( 0) целых. Логично, правда?

Рассмотрим на конкретном примере:

Усвоил? Раздели столбиком следующие числа:

• ( 135,2:5)
• ( 16,4:2)
• ( 158,14:4)
• ( 2,456:2)
• ( 0,626:2)

Сравним наши ответы:

• ( 135,2:5=27,04)
• ( 16,4:2=8,2)
• ( 158,14:4=39,535)
• ( 2,456:2=1,228)
• ( 0,626:2=0,313)

Вспомни теперь свойства десятичных дробей, описанные ранее: если нам необходимо разделить дробь на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее, нет необходимости делать это в столбик – мы можем просто перенести запятую на столько цифр влево, сколько нулей у нас в делителе.

Например: ( 135,2:10=13,52).

А теперь попробуй самостоятельно:

• ( 135,2:100)
• ( 16,4:10)
• ( 158,14:1000)
• ( 2,456:10)

Перенес? Смотри, что у меня получилось:

• ( 135,2:100=1,352)
• ( 16,4:10=1,64)
• ( 158,14:1000=0,15814)
• ( 2,456:10=0,2456)

Молодец! Переходим к делению десятичных дробей друг на друга.

Деление десятичных дробей друг на друга

Итак, для того чтобы это делать существует три правила:

1. Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
2. Умножаем и делимое, и делитель на ( 10), ( 100) или ( 1000) и т.д., в зависимости от того, сколько мы насчитали знаков в первом пункте. Умножать необходимо, чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
3. Делим числа как натуральные.

ВАЖНО!!! При умножении мы смотрим, в каком из чисел, участвующих в делении, присутствует наибольшее количество знаков после запятой? Ориентируясь именно на это число мы умножаем на ( 10), ( 100), ( 1000) и так далее.

Рассмотрим на примере ( 16,4:0,02)

В каком числе у нас стоит наибольшее количество знаков после запятой? Правильно, во втором, то есть в делителе: после нуля стоит два знака. Что из этого следует? Что мы умножаем и делимое и делитель на ( 100)!

Что дальше? Мы получаем следующий пример: ( 1640:2) Посчитай, сколько это будет самостоятельно. У меня получилось ( 820).

Рассмотрим примерчик посложнее: ( 5,31:0,3)

Самое большое количество знаков после запятой содержится в первом числе – их два, соответственно, умножаем оба числа, участвующего в делении на ( 100). Получаем: ( 531:30).

А теперь делим в столбик:

Ты видишь, что нацело разделить не получилось, мы «снесли» еще один ноль, и только тогда пришли к ответу, поэтому сразу после окончания деления нашего делимого, мы ставим запятую.

Теперь ты полностью готов совершать любые действия с десятичными дробями. Молодец! Рассмотрим только, как их сравнивать, хотя я думаю, ты уже и сам с этим справишься!

Как сравнивать десятичные дроби

Мы можем сравнивать десятичные дроби двумя способами.

Способ первый – поразрядно.

Допустим, нам необходимо сравнить ( 5,365 V 5,36)

1. Смотрим, одинаковое ли количество знаков после запятой стоит у каждой дроби? Нет? Значит дописываем справа необходимое количество нулей (ты же помнишь, что от дописывания нулей дробь неизменна, правда?)

Что у нас получилось? Верно: ( 5,365 V 5,360)

2. Начинаем сравнивать слева направо: целую часть с целой, десятые части с десятыми и так далее. Когда одна из частей дроби оказывается больше аналогичной части другой, эта дробь и больше.

Перейдем к нашему примеру: целые части у нас одинаковы – их значение ( 5). Десятые тоже – ( 3). Сотые – ( 6), а вот тысячные у первой дроби ( 5), а у второй ( 0). Что больше: ( 5) или ( 0)? Верно, ( 5), соответственно:

Внимательно смотрим на дроби. На сколько нам нужно умножить два числа, чтобы сравнивать целые числа? Смотрим на ту дробь, у которой знаков после запятой больше, то есть на первую. У нее после запятой ( 3) знака, соответственно, чтобы сделать из нее целое число, необходимо умножить на ( 1000) Умножаем обе дроби на это значение:

Эти числа ты сравнишь без проблем:

• ( 21,34 V 20,34)
• ( 0,34 V 0,341)
• ( 120,15 V 1210,16)
• ( 10,565 V 10,465)

Справился? Смотри что вышло:

• ( 21,34 > 20,34)
• ( 0,34 < 0,341)
• ( 120,15 < 1210,16)
• ( 10,565 > 10,465)

Вот теперь ты усвоил дроби полностью!

Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах

Алексей Шевчук — ведущий мини-групп

математика, информатика, физика

+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи

alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи