План урока:
Степень с рациональным показателем
Свойства дробных степеней и операции с ними
Сравнение степеней
Степень с рациональным показателем
Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.
При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:
(am)n = amn
Подставим в эту формулу следующие значения переменных:
а = 3
m = 1/6
n = 6
Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:
mn = (1/6)•6 = 1
Подставляем эти значения:
(31/6)6 = 31/6•6 = 31 = 3
Получили, что
(31/6)6 = 3
Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:
С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:
Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:
(а1/n)n = a1/n•n = a
Значит, по определению корня n-ой степени
Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.
Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень аm/n? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:
m/n = (1/n)•m
C учетом этого выполним преобразование:
В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!
Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:
Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:
Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:
1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5
Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:
Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:
Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 810,25. По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 810,25 можно так:
Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:
0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4
Теперь вычисления будет более простыми:
Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:
Свойства дробных степеней и операции с ними
Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.
Например, справедливы следующие действия:
50,5•52,5 = 50,5 + 2,5 = 53 = 125
195/3•191/3 = 195/3 + 1/3 = 192 = 361
29,36–0,37•29,361,37 = 29,36–0,37 + 1,37 = 29,361 = 29,36
Вот несколько примеров подобных вычислений:
174,5:173,5 = 174,5–3,5 = 171 = 1
49,36:46,36 = 49,36–6,36 = 43 = 64
2012:2014 = 2012–14 = 20–2
Проиллюстрируем это правило примерами:
(60,25)8 = 60,25•8 = 62 = 36
(93/2)2 = 9(3/2)•2 = 93 = 729
(254)0,125 = 254•0,125 = 250,5 = 5
Покажем, как можно применять данное правило:
41/6•161/6 = (4•64)1/6 = 641/6 = 2
0,51,5•501,5 = (0,5•50)1,5 = 251,5 = 251+0,5 = 251•250,5 = 25•5 = 125
4,90,5•100,5 = (4,9•10)0,5 = 490,5 =7
Это правило можно применять следующим образом:
3600,5:100,5 = (360:10)0,5 = 360,5 = 6
5003:503 = (500:50)3 = 103 = 1000
6,251/4:0,011/4 = (6,25:0,01)1/4 = 6251/4 = 5
Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если
то верное и обратное:
То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.
Пример. Вычислите значение выражения
Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями
Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:
(91/4)1/5•39/10 = (90,25)0,2•30,9 = 90,25•0,2•30,9 = 90,05•30,9 = (32)0,05•30,9 =
=32•0,05•30,9 = 30,1•30,9 = 30,1•0,9 = 31 = 3
Ответ: 3.
Пример. Упростите выражение
(81n+1– 65•81n)0,25
Решение. Степень 81n+1можно представить как произведение:
81n+1 = 81n•811 = 81•81n
С учетом этого можно записать:
(81n+1– 65•81n)0,25 = (81•81n– 65•81n)0,25 = (81n(81 – 65))0,25 =
= (81n•16)0,25 = 810,25n •160,25 = 810,25n •161/4 = 2•810,25n
Ответ: 2•810,25n.
Сравнение степеней
Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:
Отсюда следует вывод, что если a<b, то
а1/n<b1/n
теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:
аm/n<bm/n
Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):
В частности, справедливы следующие неравенства:
233,75< 243,75
634/3< 644/3
0,0080,002< 0,0080,002
Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:
a–n = 1/an = (1/а)n
Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:
20–3,14 и 50–3,14
Решение. Избавимся от знака минус в показателе:
20–3,14 = (1/20)3,14 = 0,053,14
50–3,14 = (1/50)3,14 = 0,023,14
Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 < 0,05 следует, что
0,023,14< 0,053,14
Это означает, что
50–3,14< 20–3,14
Ответ: 50–3,14< 20–3,14.
Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 00 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:
250 = 260 = 1
9,360 = 9,370 = 1
18,35460 = 12,36470 = 1
Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.
На основании этого правила можно записать, что:
53,14< 53,15
45–0,563< 450,001
1,235–5,623< 1,235–4,958
Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:
1–7,56 = 1–0,15 = 10,236 = 1 521,36 = 1
Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,57,6 и 0,58,9. Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:
0,5 = 1/2 = 1/(21) = 2–1
Итак, 0,5 = 2–1. Тогда можно записать, что:
0,57,6 = (2–1)7,6 = 2–7,6
0,58,9 = (2–1)8,9 = 2–8,9
Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как
– 8,9 <– 7,6
то и
2–8,9< 2–7,6
Следовательно, 0,57,6> 0,58,9.
Например, справедливы неравенства:
0,997> 0,997,24
0,5715,36> 0,5716,47
0,490,04> 0,490,05
Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.
Пример. Докажите, что
0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 281/3
Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.
Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 < 20 усилится, если вместо 10 написать большее число (11 < 20), или вместо 20 написать меньшее число (10 < 19). Очевидно, что если усиленное неравенство верное, то и изначальное (ослабленное) также справедливо.
Очевидно, что можно легко посчитать значение выражения 271/3:
Также ясно, что 271/3< 281/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:
0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 271/3 (1)
Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство
0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 271/3< 281/3
Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 271/3 = 3, мы можем переписать (1) так:
0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7<3 (2)
Далее будем работать с левой частью. Очевидно, что 0,80,8< 0,90,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,90,8< 0,90,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:
0,80,8< 0,90,8<0,90,7
или просто 0,80,8<0,90,7. Абсолютно аналогично можно записать, что
0,70,8< 0,90,7<0,90,7
Или 0,70,8<0,90,7. Наконец, в силу правила (3), 0,90,9<0,90,7. Итак, имеем три неравенства:
0,90,9<0,90,7
0,80,8<0,90,7
0,70,8<0,90,7
Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):
0,90,7 + 0,90,7 + 0,90,7<3
3•0,90,7< 3
Поделим обе части на 3:
0,90,7< 1
Заменим единицу равным ему выражением 10,7:
0,90,7<10,7 (4)
Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.
Дробная степень числа
- Дробный показатель степени
- Действия над степенями с дробными показателями
Дробный показатель
Число с дробным показателем степени равно корню с показателем, равным знаменателю, и подкоренным числом в степени, равной числителю.
Чтобы разобраться, почему число в дробной степени равно корню, надо вспомнить правило извлечения корня из степени:
Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня:
Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень:
Поэтому извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.
Действия над степенями с дробными показателями
Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для степеней с целым показателем.
При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.
В частном случае n или q могут равняться единице.
При умножении дробных степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:
При делении дробных степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести степень в другую степень, в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:
Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:
Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.
Степенью положительного числа а с рациональным
показателем
где m – целое число, а n – натуральнее (n > 1), называют корень n-й степени из числа am.
ПРИМЕР:
Если а >
0 и х – произвольное дробное число, представленное в виде
где m –
целое, а n –
натуральное, то:
Если а = 0 и х – дробное положительное число, то:
ax = 0.
Формулу
в элементарной
математике обычно рассматривают только при
а ≥ 0, так
как при отрицательных значениях а выражение
а следовательно, и
может не иметь значения
(в множестве действительных чисел). Дробные показатели могут быть не только
положительные, но и отрицательные, т. е. любыми рациональными числами.
ПРИМЕР:
Такие выражения, как:
не имеют смысла.
ПРИМЕР:
Дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так:
Значение степени с
дробным показателем не зависит от выбора способа записи
числа х в виде дроби;
представляя дробное
число х в виде отношения
целого числа к натуральному
разными способами, всегда будем получать один и тот же результат.
ПРИМЕР:
Пусть а
> 0. Тогда
и значит,
a ≥
0, n ∈ N, n ≥ 2.
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
Если основания
степеней положительны, то свойства степени с целым показателем остаются
справедливыми и для степеней с любым дробным показателем.
Действия над степенями с любыми рациональными показателями
выполняют по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.
Для любых рациональных
u и v и действительного a > 0 верны равенства:
ПРИМЕР:
Упростить:
РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:
Задания к уроку 21
Мы уже знакомы с понятием степени с ЦЕЛЫМ показателем, когда в степени стоит целое число (n). Давайте разберемся, что такое степень с РАЦИОНАЛЬНЫМ показателем, когда в степени обыкновенная дробь — (a^{frac{p}{q}}).
Рациональный показатель – это выражение вида (frac{p}{q}), где (p)-некоторое целое число, а (q) – натуральное число, причем (qge2). Это строгое определение рационального показателя, но простыми словами мы будем изучать дробные степени, когда у вас в показателе стоит обыкновенная дробь.
Определение
Положительное число (a) в степени (frac{p}{q}) является арифметическим корнем степени (q) из числа (a) в степени (p):
$$ a^{frac{p}{q}}=sqrt[q]{a^p}. $$
Для того, чтобы научиться считать дробные степени, достаточно запомнить формулу из определения. Разберемся на примерах, как это работает, но нам понадобится хорошее знание арифметического корня n-й степени.
И обращаем ваше внимание, что
$$ sqrt[q]{a^p}=(sqrt[q]{a})^p,$$
Неважно в каком порядке – сначала извлечь корень и потом возвести в степень, или возвести в степень, а потом уже извлечь корень, от этого смысл выражения не теряется. Как удобнее, так и считайте. Рассмотрим несколько примеров:
Пример 1
$$ 8^{frac{2}{3}}=sqrt[3]{8^2}=(sqrt[3]{8})^2=2^2=4; $$
$$ 27^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{27^1}=sqrt[3]{27}=3;$$
$$ 3^{frac{1}{5}}=sqrt[5]{3}; $$
$$ 7^{-frac{5}{6}}=sqrt[6]{7^{-5}}=sqrt[6]{frac{1}{7^5}}=frac{1}{sqrt[6]{7^{5}}};$$
Обратите внимание, что у обыкновенного квадратного корня двойка в показателе не пишется: пишем так (sqrt{a}), а имеем в виду (sqrt[2]{a}.)
$$ 7^{frac{1}{2}}=sqrt{7};$$
$$ 5^{frac{3}{2}}=sqrt{5^3}.$$
Пусть есть некоторое положительное число (a), целое число (p) и натуральное число (q), тогда справедливы следующие соотношения:
$$1.; a^{frac{p}{q}}=(a^{frac{1}{q}})^p,$$
$$2.; a^{frac{p}{q}}=a^{frac{p*k}{q*k}},$$
$$ 3.;a^p= a^{frac{pq}{q}}, $$
где (k) и (q) – натуральные числа большие 1.
Давайте попробуем их доказать:
Из определения степени с рациональным показателем следует, что:
$$ a^{frac{p}{q}}=sqrt[q]{a^p}=(sqrt[p]{a})^p=(a^{frac{1}{q}})^p,$$
Опять из определения и свойства корня n-й степени следует:
$$ a^{frac{p}{q}}=sqrt[q]{a^p}=sqrt[q*k]{a^{p*k}}= a^{frac{p*l}{q*k}}, $$
Третья формула на наш взгляд очевидна, просто сократить степень справа и получите исходное выражение.
Пример 2
$$8^{frac{4}{3}}=(8^{frac{1}{3}})^4=2^4=16;$$
$$4^{frac{15}{5}}=4^{frac{3}{1}}=4^3=64;$$
$$3^{-frac{6}{2}}=3^{-3}=frac{1}{3^3}=frac{1}{27}.$$
Свойства степени с рациональным показателем
Пусть (a) и (b) – некоторые положительные числа, а числа (frac{m}{n}) и (frac{c}{d}) – рациональные числа. Тогда выполняются соотношения:
$$ mathbf {1. ;a^{frac{m}{n}}*a^{frac{c}{d}}=a^{frac{m}{n}+frac{c}{d}}} $$
$$ 3^{frac{2}{5}}*3^{frac{8}{5}}=3^{frac{2}{5}+frac{8}{5}}=3^{frac{10}{5}}=3^2=9; $$
$$ 2^{frac{1}{3}}*4^{frac{4}{3}}=2^{frac{1}{3}}*(2^2)^{frac{4}{3}}=2^{frac{1}{3}}*2^{frac{8}{3}}=2^{frac{1}{3}+frac{8}{3}}=2^{frac{9}{3}}=2^3=8;$$
При умножении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели складываются.
$$mathbf {2. ; a^{frac{m}{n}}:a^{frac{c}{d}}=a^{frac{m}{n}-frac{c}{d}}}$$
$$ 5^{frac{8}{3}}:5^{frac{2}{3}}=5^{frac{8}{3}-frac{2}{3}}=5^{frac{6}{3}}=5^2=25;$$
При делении степеней с рациональным показателем и одинаковым основанием их показатели вычитаются.
$$mathbf {3. ; (a^{frac{m}{n}})^{frac{c}{d}}=a^{frac{m}{n}*frac{c}{d}}}$$
$$ (9^{frac{1}{3}})^{frac{3}{2}}=9^{frac{1}{3}*frac{3}{2}}=9^{frac{1}{2}}=sqrt[2]{9^1}=sqrt{9}=3;$$
При возведении степени с рациональным показателем в степень с рациональным показателем их показатели перемножаются.
$$mathbf {4. ; (a*b)^{frac{m}{n}}=a^{frac{m}{n}}*b^{frac{m}{n}}}$$
$$ (27*8)^{frac{2}{3}}=27^{frac{2}{3}}*8^{frac{2}{3}}=sqrt[3]{27^2}*sqrt[3]{8^2}=(sqrt[3]{27})^2*(sqrt[3]{8})^2=3^2*2^2=9*4=36;$$
Степень с рациональным показателем от произведения двух положительных чисел равна произведению степеней этих множителей.
$$ mathbf {5.; left(frac{a}{b}right)^{frac{m}{n}}=frac{a^{frac{m}{n}}}{b^{frac{m}{n}}}}$$
Степень с рациональным показателем от частного двух положительных чисел равна частному степеней этих чисел.
И еще два очень важных свойства степеней. Они вам понадобятся при решении показательных уравнений и неравенств.
Пусть опять есть некоторое положительное число (a>1) и дроби (frac{m}{n}) и (frac{c}{d}).
$$mathbf {6. ; При ; n gt 0 qquad a^n gt 1},$$
$$mathbf {При ; n lt 0 qquad 0 lt a^n lt 1}.$$
7. Если же (a gt 1) и (n gt m), то
$$ a^n>a^m.$$
Если ( 0 lt a lt 1 ) и (n gt m), то
$$ a^n lt a^m.$$
Разберем несколько примеров:
Пример 3
$$ 3^{-frac{3}{4}}*3^{-frac{1}{4}}=3^{-frac{3}{4}-frac{1}{4}}=3^{-1}=frac{1}{3};$$
$$ 2^{frac{1}{2}}:2^{frac{1}{4}}=2^{frac{1}{2}-frac{1}{4}}=2^{frac{1}{4}}=sqrt[4]{3};$$
$$ (5^{-frac{1}{2}})^{-4}=5^{(-frac{1}{2})*(-4)}=5^2=25; $$
$$ (0,125)^{-frac{2}{3}}*8^{-frac{2}{3}}=(0,125*8)^{-frac{2}{3}}=1^{-frac{2}{3}}=1; $$
$$ (4,4)^{frac{1}{3}}:(0,55)^{frac{1}{3}}=(frac{4,4}{0,55})^{frac{1}{3}}=8^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{8}=2;$$
$$ 3^{frac{1}{3}} lt 3^{frac{1}{2}},$$
Так как основание степени больше единицы (3 gt 1) и (frac{1}{3} lt frac{1}{2}).
$$ (frac{1}{5})^{frac{1}{3}} gt (frac{1}{5})^{frac{1}{2}}, $$
Так как (0 lt frac{1}{5} lt 1) и (frac{1}{3} lt frac{1}{2}).
Тема 16.
Определение степени с дробным показателем и ее свойства. Преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем.
Мы знаем, какой смысл имеет выражение an, где a ≠ 0, если показатель n – целое число. Например, (-2)5 означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен (-2). А степень 2-5 означает число, обратное степени 25. Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число.
Из определения арифметического корня следует, что если m – целое число, n – натуральное и m делится на n, то при a > 0 верно равенство amn=amn.
Например, 5217=5217=53=125,
так как 537=521.
Определение: Если a – положительное число, mn – дробное число (m – целое, n – натуральное), то
amn=amn.
Степень с основанием, равным 0, определяется только для положительного дробного показателя: если mn – дробное положительное число (m и n – натуральные), то 0mn=0.
Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как -234 или -813 не имеют смысла.
Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так: 34;68;912 и т.д
Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: представляя r в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат. Например,
268=268=234=234.
В общем случае это выглядит так:
пусть a > 0, m-целое, n и k-натуральные числа. Пользуясь определением степени с дробным показателем и основным свойством корня, получим:
amknk=amknk=amn=amn
Свойства степени с рациональным показателем.
Известные нам свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем.
Для любого a > 0 и любых рациональных чисел p и q:
- apaq=ap+q
- ap:aq=ap-q
- apq=apq
Для любых a > 0 и b > 0 и любого рационального числа p:
- abp=apbp
- abp=apbp
Из первого свойства следует, что для любого a > 0 и любого рационального p
a-p=1ap
Например,
27∙6413=2713∙6413=3∙4=12