План урока:
Степень с рациональным показателем
Свойства дробных степеней и операции с ними
Сравнение степеней
Степень с рациональным показателем
Напомним, что в 7 классе мы впервые познакомились с понятием степени, причем тогда рассматривались случаи, когда показателем степени является натуральное число. В 8 классе понятие степени было расширено, теперь в него включались случаи, когда показатель являлся целым числом. Настоятельно рекомендуем перечитать соответствующие уроки. Сегодня же мы можем сделать ещё один шаг вперед и рассмотреть степени с рациональными показателями.
При расширении понятия степени важно обеспечить то, чтобы уже известные правила работы с целыми степенями работали и для дробных показателей. Одно из свойств степеней выглядит так:
(am)n = amn
Подставим в эту формулу следующие значения переменных:
а = 3
m = 1/6
n = 6
Мы специально выбрали эти числа такими, чтобы произведение mn равнялось единице:
mn = (1/6)•6 = 1
Подставляем эти значения:
(31/6)6 = 31/6•6 = 31 = 3
Получили, что
(31/6)6 = 3
Однако по определению корня n-ой степени число, дающее при возведении в шестую степень тройку, является корнем шестой степени из трех. То есть можно записать:
С помощью подобных преобразований нам удалось указать, чему равно число, возведенное в дробную степень. Аналогично можно показать, что для любого а > 0 справедлива формула:
Действительно, если возвести левую часть в n-ую степень, то получим:
(а1/n)n = a1/n•n = a
Значит, по определению корня n-ой степени
Ограничение а > 0 необходимо для того, чтобы не рассматривать случаи, когда подкоренное выражение является отрицательным.
Продолжим наши рассуждения. Чему будет равна степень аm/n? Ясно, что дробь m/n можно представить в виде:
m/n = (1/n)•m
C учетом этого выполним преобразование:
В результате несложных преобразований нам удалось получить формулу, позволяющую возводить число в степень, у которой рациональный показатель!
Приведем несколько примеров вычисления дробных степеней:
Часто при вычислениях удобнее сначала извлечь корень из числа, а потом полученный результат возвести в степень:
Напомним, что одну и ту же дробь можно представить разными способами, например:
1/2 = 2/4 = 3/6 = 4/8 = 5/10 = 0,5
Возникает вопрос – изменится ли значение дробной степени, если мы приведем дробь к новому знаменателю? Очевидно, что нет, но всё же убедимся в этом на примере. Сначала возведем в степень 1/2 число 25:
Теперь заменим дробь 1/2 на идентичную ей дробь 2/4:
Результат не изменился. В общем случае есть смысл максимально сократить дробь перед вычислением, чтобы избежать операций с большими числами. Особенно это касается десятичных дробей. Например, пусть необходимо вычислить значение выражения 810,25. По определению десятичной дроби можно записать, что 0,25 = 25/100. Тогда вычислить 810,25 можно так:
Согласитесь, возводить число 81 в 25-ую степень не очень легко! Поэтому поступим иначе. Сократим дробь 25/100:
0,25 = 25/100 = 25/(25•4) = 1/4
Теперь вычисления будет более простыми:
Вообще легко запомнить, что 0,25 = 1/4, а 0,5 = 1/2. Замена десятичных дробей обыкновенными дробями сильно упрощает вычисления. Приведем примеры:
Свойства дробных степеней и операции с ними
Когда мы изучали степени с целыми показателями, мы выяснили, что правила работы с ними ничем не отличаются от правил работы со степенями с натуральным показателем. Оказывается, эти же правила работают и для степеней с рациональным показателем. Сформулируем основные свойства дробных степеней.
Например, справедливы следующие действия:
50,5•52,5 = 50,5 + 2,5 = 53 = 125
195/3•191/3 = 195/3 + 1/3 = 192 = 361
29,36–0,37•29,361,37 = 29,36–0,37 + 1,37 = 29,361 = 29,36
Вот несколько примеров подобных вычислений:
174,5:173,5 = 174,5–3,5 = 171 = 1
49,36:46,36 = 49,36–6,36 = 43 = 64
2012:2014 = 2012–14 = 20–2
Проиллюстрируем это правило примерами:
(60,25)8 = 60,25•8 = 62 = 36
(93/2)2 = 9(3/2)•2 = 93 = 729
(254)0,125 = 254•0,125 = 250,5 = 5
Покажем, как можно применять данное правило:
41/6•161/6 = (4•64)1/6 = 641/6 = 2
0,51,5•501,5 = (0,5•50)1,5 = 251,5 = 251+0,5 = 251•250,5 = 25•5 = 125
4,90,5•100,5 = (4,9•10)0,5 = 490,5 =7
Это правило можно применять следующим образом:
3600,5:100,5 = (360:10)0,5 = 360,5 = 6
5003:503 = (500:50)3 = 103 = 1000
6,251/4:0,011/4 = (6,25:0,01)1/4 = 6251/4 = 5
Заметим, что степени очень удобны тем, что с их помощью легко упростить работу с корнями, ведь если
то верное и обратное:
То есть любое выражение с корнями в виде степени с рациональным показателем.
Пример. Вычислите значение выражения
Решение. Корней много, поэтому для удобства заменим их степенями
Получили тоже самое выражение, но в более компактном виде. Посчитаем его значение:
(91/4)1/5•39/10 = (90,25)0,2•30,9 = 90,25•0,2•30,9 = 90,05•30,9 = (32)0,05•30,9 =
=32•0,05•30,9 = 30,1•30,9 = 30,1•0,9 = 31 = 3
Ответ: 3.
Пример. Упростите выражение
(81n+1– 65•81n)0,25
Решение. Степень 81n+1можно представить как произведение:
81n+1 = 81n•811 = 81•81n
С учетом этого можно записать:
(81n+1– 65•81n)0,25 = (81•81n– 65•81n)0,25 = (81n(81 – 65))0,25 =
= (81n•16)0,25 = 810,25n •160,25 = 810,25n •161/4 = 2•810,25n
Ответ: 2•810,25n.
Сравнение степеней
Напомним, что из двух корней n-ой степени больше тот, у которого больше подкоренное выражение:
Отсюда следует вывод, что если a<b, то
а1/n<b1/n
теперь возведем каждую часть этого неравенства в степень m. Тогда получим неравенство:
аm/n<bm/n
Получили, что из двух степеней с одинаковыми показателями меньше та, у которой меньше основание (правила сравнения будем нумеровать, чтобы на них удобнее было ссылаться):
В частности, справедливы следующие неравенства:
233,75< 243,75
634/3< 644/3
0,0080,002< 0,0080,002
Здесь мы рассматривали случаи, когда показатель степени является положительным числом. А что делать, если он отрицательный? Тогда степень следует «перевернуть», воспользовавшись уже известной вам формулой:
a–n = 1/an = (1/а)n
Пример. Сравните выражения с рациональным показателем степени:
20–3,14 и 50–3,14
Решение. Избавимся от знака минус в показателе:
20–3,14 = (1/20)3,14 = 0,053,14
50–3,14 = (1/50)3,14 = 0,023,14
Получили две степени с одинаковым и, что принципиально важно, положительным показателем. Из них больше та, у которой больше основание. То есть из неравенства 0,02 < 0,05 следует, что
0,023,14< 0,053,14
Это означает, что
50–3,14< 20–3,14
Ответ: 50–3,14< 20–3,14.
Особенным является случай, когда показатель степени равен нулю. Напомним, что любое число в нулевой степени (кроме самого нуля) равно единице, а выражение 00 не имеет смысл. Это значит, что числа в нулевой степени равны друг другу, даже если у них разные основания:
250 = 260 = 1
9,360 = 9,370 = 1
18,35460 = 12,36470 = 1
Несколько сложнее сравнивать числа, у которых одинаковые основания, но различные показатели. Здесь возможны три случая – основание либо равно единице, либо больше неё, либо меньше неё.
На основании этого правила можно записать, что:
53,14< 53,15
45–0,563< 450,001
1,235–5,623< 1,235–4,958
Единица в любой степени равна самой себе. Поэтому, если у двух чисел в основании записана именно она, то они должны быть равны друг другу:
1–7,56 = 1–0,15 = 10,236 = 1 521,36 = 1
Осталось рассмотреть случай, когда основание меньше единицы (но всё равно положительное). В таком случае ситуация становится противоположной – чем больше степень, тем меньше число. Проиллюстрируем это на примере. Пусть надо сравнить числа 0,57,6 и 0,58,9. Заменим дробь 0,5 так, чтобы вместо нее получилась степень с основанием, большим единицы:
0,5 = 1/2 = 1/(21) = 2–1
Итак, 0,5 = 2–1. Тогда можно записать, что:
0,57,6 = (2–1)7,6 = 2–7,6
0,58,9 = (2–1)8,9 = 2–8,9
Такие числа мы уже умеем сравнивать. Так как
– 8,9 <– 7,6
то и
2–8,9< 2–7,6
Следовательно, 0,57,6> 0,58,9.
Например, справедливы неравенства:
0,997> 0,997,24
0,5715,36> 0,5716,47
0,490,04> 0,490,05
Рассмотрим чуть более сложное задание на сравнение степеней, где надо использовать одновременно несколько правил.
Пример. Докажите, что
0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 281/3
Решение. Напрямую вычислить значение выражений в правой и левой части затруднительно. Однако мы можем усиливать неравенство, чтобы получить более простые выражения.
Усилить неравенство – это значит увеличить его меньшую или уменьшить большую часть. Например, неравенство 10 < 20 усилится, если вместо 10 написать большее число (11 < 20), или вместо 20 написать меньшее число (10 < 19). Очевидно, что если усиленное неравенство верное, то и изначальное (ослабленное) также справедливо.
Очевидно, что можно легко посчитать значение выражения 271/3:
Также ясно, что 271/3< 281/3 (правило 1). Усилим исходное неравенство:
0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 271/3 (1)
Действительно, если (1) справедливо, то мы можем записать двойное неравенство
0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7< 271/3< 281/3
Опустив здесь среднюю часть, получим исходное неравенство. Так как 271/3 = 3, мы можем переписать (1) так:
0,90,9 + 0,80,8 + 0,70,7<3 (2)
Далее будем работать с левой частью. Очевидно, что 0,80,8< 0,90,8 (снова используем правило 1). С другой стороны, 0,90,8< 0,90,7 (правило 3). Значит, можно записать двойное неравенство:
0,80,8< 0,90,8<0,90,7
или просто 0,80,8<0,90,7. Абсолютно аналогично можно записать, что
0,70,8< 0,90,7<0,90,7
Или 0,70,8<0,90,7. Наконец, в силу правила (3), 0,90,9<0,90,7. Итак, имеем три неравенства:
0,90,9<0,90,7
0,80,8<0,90,7
0,70,8<0,90,7
Их левые части стоят в (2). Следовательно, можно усилить (2):
0,90,7 + 0,90,7 + 0,90,7<3
3•0,90,7< 3
Поделим обе части на 3:
0,90,7< 1
Заменим единицу равным ему выражением 10,7:
0,90,7<10,7 (4)
Из правила 1 следует, что (4) справедливо. Но мы получили его, усиливая исходное неравенство. Из справедливости более сильного неравенства следует и справедливость более слабого. Следовательно, из справедливости (4) вытекает верность исходного неравенства, которое и надо было доказать.
Дробная степень числа
- Дробный показатель степени
- Действия над степенями с дробными показателями
Дробный показатель
Число с дробным показателем степени равно корню с показателем, равным знаменателю, и подкоренным числом в степени, равной числителю.
Чтобы разобраться, почему число в дробной степени равно корню, надо вспомнить правило извлечения корня из степени:
Чтобы извлечь корень из степени, надо показатель степени разделить на показатель корня:
Следовательно, если показатель степени не делится на показатель корня, то получается дробная степень:
Поэтому извлечение корня всегда может быть заменено возведением в степень.
Действия над степенями с дробными показателями
Действия над степенями с дробными показателями совершаются по тем же правилам, которые установлены для степеней с целым показателем.
При доказательстве этого положения, будем сначала предполагать, что члены дробей: и , служащих показателями степеней, положительны.
В частном случае n или q могут равняться единице.
При умножении дробных степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются:
При делении дробных степеней с одинаковыми основаниями из показателя делимого вычитается показатель делителя:
Чтобы возвести степень в другую степень, в случае дробных показателей, достаточно перемножить показатели степеней:
Чтобы извлечь корень из дробной степени, достаточно показатель степени разделить на показатель корня:
Правила действий применимы не только к положительным дробным показателям, но и к отрицательным.
Степенью положительного числа а с рациональным
показателем
где m – целое число, а n – натуральнее (n > 1), называют корень n-й степени из числа am.
ПРИМЕР:
Если а >
0 и х – произвольное дробное число, представленное в виде
где m –
целое, а n –
натуральное, то:
Если а = 0 и х – дробное положительное число, то:
ax = 0.
Формулу
в элементарной
математике обычно рассматривают только при
а ≥ 0, так
как при отрицательных значениях а выражение
а следовательно, и
может не иметь значения
(в множестве действительных чисел). Дробные показатели могут быть не только
положительные, но и отрицательные, т. е. любыми рациональными числами.
ПРИМЕР:
Такие выражения, как:
не имеют смысла.
ПРИМЕР:
Дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так:
Значение степени с
дробным показателем не зависит от выбора способа записи
числа х в виде дроби;
представляя дробное
число х в виде отношения
целого числа к натуральному
разными способами, всегда будем получать один и тот же результат.
ПРИМЕР:
Пусть а
> 0. Тогда
и значит,
a ≥
0, n ∈ N, n ≥ 2.
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
ПРИМЕР:
Если основания
степеней положительны, то свойства степени с целым показателем остаются
справедливыми и для степеней с любым дробным показателем.
Действия над степенями с любыми рациональными показателями
выполняют по тем же правилам, что и действия над степенями с натуральными показателями.
Для любых рациональных
u и v и действительного a > 0 верны равенства:
ПРИМЕР:
Упростить:
РЕШЕНИЕ:
ОТВЕТ:
Задания к уроку 21
Урок алгебры в 9 классе.
Тема: Преобразование
выражений, содержащих степени с дробным показателем.
Цели:
1.
Научить выполнять
разложение на множители выражений, содержащих степени с дробным показателем,
используя формулы сокращенного умножения.
2.
Повторить определение
степени с рациональным показателем, свойства степени.
3.
Развивать умения
сравнивать, выявлять закономерности, обобщать навыки самоконтроля.
4.
Воспитывать настойчивость
и волю для решения поставленной задачи.
Оборудование: 1. Мультимедийный проектор.
2.
Плакат «Права и обязанности ученика».
3.
Карточки с формулами.
4.
Карточки «Рефлексия»
Тип урока: комбинированный.
.
Ход урока:
I. Организационный момент:
1) вступительное слово учителя
Мы все являемся гражданами большой страны – Россия. А каждый хороший
гражданин имеет свои права и обязанности. Ваши права и обязанности я
попыталась сформулировать вот таким образом, а мои – вытекают
непосредственно из ваших. Так вот, как добропорядочные граждане
России, зная о своих правах и незабывая об обязанностях, мы , надеюсь, с вами
найдем нить взаимопонимания, которая приведет нас к достижению поставленных
целей. Наша цель: вспомнить все, что мы знаем о степени и применить эти знания для
преобразования выражений, содержащих степень с дробным показателем.
( демонстрация плаката)
Каждый ученик имеет право.
1.
Высказывать
свое мнение и быть услышанным.
2.
Выбирать
уровень знаний.
3.
Выбирать форму
работы на уроке.
4.
Самостоятельно
планировать домашнюю самоподготовку.
5.
знать больше
учителя и отстаивать свои гипотезы.
Каждый ученик обязан.
1.
Добросовестно
работать на уроке и дома.
2.
Быть аккуратным
при оформлении работ, соблюдать орфографический
режим при ведении тетради.
3.
Уважать труд
учителя.
4.
Не ставить
личные интересы выше интересов одноклассников.
II. Устный
счет:
(проводится, используя мультимедийный проектор)
1) используя формулы сокращенного
умножения, разложите на множители многочлен:
а) х2 – 9у2; б) х2 – 2ху +у2;
в) а2 – 16; г) р3 – 27; д) 8х3 – 64; е)
а6 + в6.
2) выразите формулой зависимости между
переменными х и у, если
и ( 2
уровень)
3) представьте в виде квадрата:
х8; х30; х21;
4) представьте в виде куба:
у6; у24; ; у7.
Вывод:
·
Чтобы представить степень
в виде квадрата, надо показатель разделить
на 2, т.е. в знаменателе появиться множитель 2.
·
Чтобы представить степень
в виде куба, надо показатель разделить
на 3, т.е. в знаменателе появиться множитель 3.
Итак, всякое
положительное число а можно представить в виде степени
с любым .
Например, число а можно представить в виде квадрата,
куба,
изменить степень и т.д.
; .
( на доску вывешиваются карточки с формулами).
Используя выявленные закономерности, мы научимся сегодня
выполнять
разложение на множители выражения, содержащие степень с дробным
показателем, с помощью формул сокращенного умножения.
III.
Изучение нового материала.
1.Откройте тетради и запишите тему сегодняшнего урока.
2. В отличие от преобразований рациональных выражений преобразования
выражений, содержащих степень с дробным показателем, имеют некоторую
неопределенность. Т.е данные преобразования можно выполнять различными
способами. Убедимся в этом на примере выражения .
а) первый способ:
используя формулу разности квадратов
б) второй способ:
используя формулу разности кубов
в) третий способ: (для учащихся 2 уровня)
вынесение за скобки, получение отрицательной степени
IV. Закрепление изученного материала.
1.
Разложить на множители
разность а – в, где и ,
представив ее:
а) в виде разности квадратов;
б) в виде разности кубов.
2. Откройте
учебники на странице 142, выполним номера:
№ 621 (а,г) –
у доски, (е)- самостоятельно.
№ 622(а,в,)- у
доски, (д) – самостоятельно.
№ 624 (а) – у
доски, (б) – самостоятельно.
Для учащихся,
усваивающих сверхпрограммы, можно предложить № 626 (д,з) –
выполнить
самостоятельно.
V. Проверка уровня усвоения изученного материала.
Предлагается
выполнить тест по данной теме, самостоятельно проверить,
используя ключ и
выставить оценку за данную работу, опираясь
на оценочный
лист.
1 1.Пользуясь
г) нет ответа. 2. Используя формулу
а)(х – у)(х + у); ; ; г) нет ответа 3.Пользуясь а3 – в3 разложите на 2 – а а) (2-а)(4+2а+а2); ; г) нет ответа 4.Используя формулу
; г) нет ответа 5. Представьте
; г) нет ответа |
2 вариант 1. Пользуясь 2 – х2 а)(2 – х)(2 + х); ; г) нет ответа 2.Используя формулу
; г) нет ответа 3.Пользуясь разложите на 4 + у
; г) нет ответа 4. Используя
г) нет ответа 5. Представьте
;
; г) нет ответа |
VI.
Подведение итогов.
1.
Выставление оценок.
2.
Какие затруднения по
данной теме.
3.
Проведение
анкеты(рефлексия)
VII. Домашнее задание
№623; № 625 –
задания обязательного уровня
№689; № 690 –
задания для второго уровня
VIIJ. Рефлексия.
Тема 16.
Определение степени с дробным показателем и ее свойства. Преобразования выражений, содержащих степени с дробным показателем.
Мы знаем, какой смысл имеет выражение an, где a ≠ 0, если показатель n – целое число. Например, (-2)5 означает произведение пяти множителей, каждый из которых равен (-2). А степень 2-5 означает число, обратное степени 25. Введем теперь понятие степени, у которой показатель не целое, а дробное число.
Из определения арифметического корня следует, что если m – целое число, n – натуральное и m делится на n, то при a > 0 верно равенство amn=amn.
Например, 5217=5217=53=125,
так как 537=521.
Определение: Если a – положительное число, mn – дробное число (m – целое, n – натуральное), то
amn=amn.
Степень с основанием, равным 0, определяется только для положительного дробного показателя: если mn – дробное положительное число (m и n – натуральные), то 0mn=0.
Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как -234 или -813 не имеют смысла.
Мы знаем, что одно и то же дробное число можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем разными способами. Например, дробное число 0,75 можно представить в виде дроби так: 34;68;912 и т.д
Значение степени с дробным показателем r не зависит от способа записи числа r в виде дроби: представляя r в виде отношения целого числа к натуральному разными способами, всегда будем получать один и тот же результат. Например,
268=268=234=234.
В общем случае это выглядит так:
пусть a > 0, m-целое, n и k-натуральные числа. Пользуясь определением степени с дробным показателем и основным свойством корня, получим:
amknk=amknk=amn=amn
Свойства степени с рациональным показателем.
Известные нам свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем.
Для любого a > 0 и любых рациональных чисел p и q:
- apaq=ap+q
- ap:aq=ap-q
- apq=apq
Для любых a > 0 и b > 0 и любого рационального числа p:
- abp=apbp
- abp=apbp
Из первого свойства следует, что для любого a > 0 и любого рационального p
a-p=1ap
Например,
27∙6413=2713∙6413=3∙4=12