Как найти значение выражения с дробями умножение

Умножение дробей онлайн

Похожие калькуляторы

План урока:

Умножение обыкновенных дробей

Нахождение дроби от числа

Деление обыкновенных дробей

Нахождение числа по заданному значению его дроби

Дробные выражения

Умножение обыкновенных дробей

Разберем ситуацию.

На уроке технологии девочки занимались выпечкой. Они готовили печенье. По рецепту на изготовление одного килограмма печенья уходит 3/8 килограмма сахара. Сколько сахара необходимо принести детям, чтобы приготовить 1/2 килограмма печенья?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нам необходимо узнать количество сахара нужное для изготовления 1/2 килограмма печенья. По условию, мы знаем, что для выпечки 1 кг лакомства требуется 3/8 кг сахара. Следовательно, чтобы вычислить требуемую массу сахарного песка необходимо найти произведение 3/8 и 1/2 . Известные множители представлены в виде обыкновенных дробей. Чтобы выполнить умножение обыкновенных дробей нужно использовать правило:

числитель умножаем на числитель, а знаменатель на знаменатель. Первый результат пишем над чертой дроби, второй под чертой:

Получается, чтобы испечь нужное количество печенья школьницы должны подготовить  3/16 килограмма сахарного песка.

Нахождение дроби от числа

Разберем следующую ситуацию и узнаем, как найти дробь от числа.

Вениамин очень любит уроки изобразительного искусства. В его альбоме для рисования 48 листов. Мальчик удивленно заметил, что своими рисунками уже заполнил 7/8 альбома. Сколько всего рисунков получилось у школьника?

Задачу можно решить двумя способами. Подробно рассмотрим каждый из них.

Способ 1.

Чтобы ответить на главный вопрос задачи нам нужно узнать, сколько листов соответствует записи 7/8. Для этого давайте вспомним, о чем нам говорят компоненты дробных выражений:

Теперь, можно сказать, что весь альбом разделили на 8 частей, а использовали только 7. Попробуем посчитать. Вначале, делим 48 на 8:

48 : 8 = 6.

6 листов приходится на 1/8 часть альбома. Зная, что таких частей было взято 7, найдем произведение 6 и 7 :

6 × 7 = 42.

Мы выяснили, что Вениамин нарисовал 42 рисунка.

Для решения задачи таким способом, нужно выполнить два действия, а это не всегда удобно. Так же, такой способ может вызывать трудности при вычислениях, если компоненты не делятся нацело.

В таких ситуациях, логичнее будет использование второго способа.

Способ 2.

По условию нам известно число и часть этого числа, выраженная обыкновенной дробью. Нужно найти числовое значение соответствующее данной дроби. Задания такого вида имеют собственное название «Нахождение дроби от числа» и правило, используя, которое можно с легкостью вычислить любое числовое значение соответствующее дробному выражению:

Применим изученное правило на практике. Чтобы найти 7/8 от 48 нам нужно, просто умножить 7/8 на 48:

Мальчик нарисовал 42 рисунка.

Запомните оба способа, и применяйте их для решения различных заданий.

Деление обыкновенных дробей

Разберем пример.

Строительная бригада выполняла ремонт городской дороги.На ремонт определенного участка дороги, рабочие потратили 7/9 тонны асфальта. Определите, сколько километров дороги отремонтировали рабочие, если на ремонт одного километра уходит 3/7 тонны строительного материала.

По условию нам известно, что всего было использовано 7/9 тонны материала, при этом мы знаем, что на один километр требуется 3/7 тонны. Чтобы ответить на главный вопрос задачи нужно количество использованного асфальтаразделить на количество строительного материала, необходимое для починки одного километра. В результате мы получим число отремонтированных километров. В данном случае, в качестве делимого и делителя выступают обыкновенные дроби. И перед нами возникает проблема «Как же выполнить деление обыкновенных дробейс разными знаменателями?».

В арифметике на этот случай имеется определенное правило, которое расскажет, как выполнить деление обыкновенных дробей.

Выполним деление имеющихся чисел с применением рассмотренного правила

Выполним деление, имеющихся дробных чисел с применением рассмотренного правила. Разделим 7/9 на 3/7. Делимое 7/9 оставляем без изменений, а делитель 3/7 переворачиваем, и получаем 7/3. Находим произведение данных выражений:

Все очень просто. Главное помните, что при выполнении деления дробей с разными знаменателями делитель переворачиваем и находим произведение перевернутого делителя и делимого!

Нахождение числа по заданному значению его дроби

В школе проходила неделя экологии. Учащиеся шестого класса были приглашены лесничеством на высадку деревьев. До обеда, ребята высадили 6/11 всех саженцев. Сколько растений осталось высадить школьникам, если до обеда дети высадили 54 дерева?

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно определить число по заданному значению его дроби. В арифметике существует правило, используя, которое возможно с легкостью найти любое число по значению его дроби:

Теперь мы знаем, что для вычисления общего количества саженцев, нужно известное значение дроби разделить на саму дробь. Зная, что число – 54, а дробь – 6/11, имеем:

В результате получили неправильную дробь. Выделим из полученного произведения целую часть.Для этого разделим числитель на знаменатель:

594 : 6 = 99.

Выходит, что за целый день школьникам нужно высадить 99 растений.

В математике часто встречаются задания, в которых требуется вычислить значение «многоэтажных» дробей. Как называются такие дробные выражения, каким способом их вычислять рассмотрим далее.

Дробные выражения

Когда ученик видит в учебнике задание в виде выражения: 

то желание заниматься математикой сразу пропадает. Сегодня мы узнаем,как решать дробные выражения и докажем, что даже такие выражения совершенно не сложные, и выполнить вычисления сможет каждый желающий после изучения нашего урока!

Никого не пугает запись обыкновенной дроби – 3/7, 4/15, 8/14.

Каждый понимает, что дробная черта заменяет привычный знак деления – : .

Например:

10/21 = 10 : 21 или 7/18 = 7 : 18.

Выходит, что частное чисел или выражений, в случае замены знака деления чертой дроби, называют дробным выражением.

Вот так, проведя два простых вычисления, мы выполнили задание, вызывающее недоумение у школьников. Математика интересная и простая наука. Если приложите немного внимания и терпения, то результат не заставит себя ждать!

Знаешь ли ты?

1) Ученые – селекционеры вывелиновый вид яблонь. Удивительным является то, что корни растения уходит в землю более чем на 49/50километра (около 980 метров), а общая длина корневища достигает 4000 метров.

2) За всю жизнь человек выпивает примерно 75 тонн воды. Подсолнечнику, например, достаточно 1/4 тонны(250 литров), чтобы вырасти и принести семена.

3) Италия в который раз удивила весь мир. Около вулкана Этна растет каштан, диаметр ствола которого, составляет,3/50 километра (около 60 метров),это чуть ли не половина футбольного стадиона.

4) Пальма Рафия Тедигера встречается только в Бразилии. Она интересна тем, что её листья имеют гигантские размеры. Черенок листка достигает1/200 километра (5 метров), длина листика – более1/50 километра (более 20 метров), ширина – более 5 метров (1/200 километра).

5) По сообщениям ихтиологов(ученых, занимающихся изучением рыб), самую большую длину в мире,имеют ремень-рыбы. Во взрослом возрасте они достигают длины более 1/100километра(более 10 метров), а длина молодых особей находится в пределах 0,003 километра или 3 метров.

В статье мы рассмотрим правила умножения обыкновенных дробей, умножения их на натуральные числа и перемножения между собой трех и более обыкновенных дробей.

Как умножать обыкновенные дроби между собой

Мы получили заштрихованный фрагмент со сторонами, равными [frac{4}{6}] и [ frac{5}{8}] от числовой единицы. Результат произведения двух этих дробей будет являться площадью заштрихованного участка. Однако мы можем просто сосчитать количество таких клеток, их 20, следовательно площадь фигуры составит [frac{20}{48}] кв. единиц.

Так как [5 cdot 4=20 text { и } 8 cdot 6=48], мы позволим себе записать следующее равенство: [frac{4}{6} cdot frac{5}{8}=frac{20}{48}].

Решение подтверждает ранее сформулированное правило умножения, которое выглядит как [frac{a}{b} cdot frac{c}{d}=frac{a cdot c}{b cdot d}]. Оно применимо для правильных и неправильных дробей, с его помощью перемножаются дроби с разными и одинаковыми знаменателями.

Пройденную тему стоит закрепить, поэтому далее разберем решение нескольких примеров.

---

Пример 1

Умножьте [frac{6}{7} text{ на } frac{8}{9}].

Решение

Умножаем числители дробей, помножив 6 на 8. У нас получилось [6 cdot 8=48]. Произведение знаменателей вычислим схожим образом [7 cdot 9=63]. Запишем ответ из двух получившихся чисел [frac{48}{63}].

Полное решение можно записать следующим образом:

[frac{6}{7} cdot frac{8}{9}=frac{6.8}{7.9}=frac{48}{63}]

Ответ: [frac{6}{7} cdot frac{8}{9}=frac{48}{63}].

Если ответ подлежит сокращению, то нужно выполнить это действие, если полученная дробь — неправильная, то стоит выделить из нее целую часть.

---

Пример 2

Подсчитайте произведение [frac{6}{10} text { и } frac{45}{8}].

Решение

Выше мы ознакомились с первым правилом перемножения дробей, применим этот способ и запишем решение в таком виде:

[ frac{6}{10} cdot frac{45}{8}=frac{6.45}{10.8}=frac{270}{80} ]

Полученная дробь является сократимой и имеет признаки делимости на 10.

Сократим полученную дробь: [frac{270}{80}] НОД (270,80) = 10, [frac{270}{80}=frac{270: 10}{80: 10}=frac{27}{8}]. В результате дробь получилась неправильной, поэтому выделим целочисленное значение и получим смешанное число: [frac{27}{8}=3 frac{3}{8}].

Ответ: [frac{6}{10} cdot frac{45}{8}=3 frac{3}{8}].

Для удобства подсчета исходные значения можно привести к виду [frac{a cdot c}{b cdot d}]. После чего переменные нужно разложить на простые множители, затем сократить одинаковые числа. Для этого запишем следующий пример.

---

Пример 3

Подсчитайте произведение [frac{6}{10} cdot frac{45}{8}].

Решение

Запишем решение в соответствии с правилами умножения:

[ frac{6}{10} cdot frac{45}{8}=frac{6.45}{10.8} ]

Представим числители и знаменатели как: [6=3 cdot 2,45=5 cdot 9, 10=5 cdot 2,8=4 cdot 2] следовательно [frac{6.45}{10.8}=frac{3.2 .5 .9}{5.2 .4 .2}].

Сокращаем некоторые множители:

[ frac{3 cdot 2 cdot 5 cdot 9}{5 cdot 2 cdot 4 cdot 2}=frac{3 cdot 9}{2 cdot 4} ]

Осталось лишь перемножить числа и выделить целое число из неправильной дроби:

[ frac{3 cdot 9}{2 cdot 4}=frac{27}{8}=3 frac{3}{8} ]

Существует определенное правило, как умножать обыкновенные дроби, используя переместительное свойство. При необходимости порядок расстановки множителей можно изменить:

[ frac{a}{b} cdot frac{c}{d}=frac{c}{d} cdot frac{a}{b}=frac{a cdot c}{b cdot d} ]

Умножение обыкновенных дробей на натуральное число

Любое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби, в математике умножение обыкновенных дробей на натуральное число можно представить следующим образом:

[frac{a}{c} cdot n=frac{a}{c} cdot frac{n}{1}=frac{a cdot n}{c cdot 1}=frac{a cdot n}{b}]

Поясним как умножить обыкновенную дробь на натуральное число на конкретных примерах.

Пример 4

Произведите умножение [frac{3}{20}] на 5.

Решение

Выполним такое действие как умножение числителя обыкновенной дроби на целое натуральное число и получим 15. Учитывая вышеназванное правило, получим [frac{15}{20}]. Запишем полное решение:

[ frac{3}{20} cdot 5=frac{3 cdot 5}{20}=frac{15}{20}=frac{3}{4} ]

Ответ: [frac{3}{20} cdot 5=frac{3}{4}].

Такое действие как умножение обыкновенных дробей на натуральные числа, часто приводит к сокращению решения или представлению его в виде смешанного числа.

---

Пример 5

Найдите решение произведения 7 на [frac{12}{10}].

Решение

Учитывая прошлый пример, перемножаем натуральное число на числитель — [frac{12}{10} cdot 7=frac{12 cdot 7}{10}=frac{84}{10}]. Найденные два числа являются четными, поэтому нужно провести сокращение.

НОК (84,10) = 2, следовательно, [frac{84}{10}=frac{84: 2}{10: 2}=frac{42}{5}].

Остается выделить целую часть и получить ответ: [frac{42}{5}=8 frac{2}{5}].

Итоговое решение можно представить в следующем виде: [frac{12}{10} cdot 7=frac{12 cdot 7}{10}=frac{84}{10}=frac{42}{5}=8 frac{2}{5}].

Подобное решение можно было бы найти при помощи разложения числителя и знаменателя на простые множители, ответ остался бы без изменений.

Ответ: [frac{12}{10} cdot 7=8 frac{2}{5}].

Подобные выражения так же обладают свойством перемещения, поэтому порядок размещения множителей не влияет на результат:

[frac{a}{c} cdot n=n cdot frac{a}{c}=frac{a cdot n}{c}]

Произведение трех и более обыкновенных дробей в одном выражении

Переместительное и сочетательное свойства позволяют перемножать между собой неограниченное количество дробей. Мы можем умножать обыкновенные дроби как обычные натуральные числа. Приведем еще два примера. Не стоит использовать калькулятор для данного урока, поскольку такие примеры легко исчисляются в тетради.

Пример 6

Найдите произведение четырех дробей [frac{1}{8}, frac{3}{10}, frac{12}{7} H frac{4}{9}].

Решение

Сделаем необходимую запись произведения [frac{1}{8} cdot frac{3}{10} cdot frac{12}{7} cdot frac{4}{9}=frac{1 cdot 3 cdot 12 cdot 4}{8 cdot 10 cdot 7 cdot 9}].

Разложим некоторые множители, это позволит упростить задачу, нежели затем сокращать готовую дробь.

[ frac{1 cdot 3 cdot 12 cdot 4}{8 cdot 10 cdot 7 cdot 9}=frac{1 cdot 3 cdot(4 cdot 3) cdot(2 cdot 2)}{(4 cdot 2) cdot(5 cdot 2) cdot 7 cdot(3 cdot 3)}=frac{1 cdot 2}{2 cdot 5 cdot 7}=frac{2}{70} ]

Ответ: [frac{1 cdot 3 cdot 12 cdot 4}{8 cdot 10 cdot 7 cdot 9}=frac{2}{70}].

---

Пример 7

Произведите действия умножения со следующими числами [frac{5}{6} cdot 8 cdot 6 cdot frac{3}{40} cdot 10].

Решение

Для удобства сгруппируем числа [frac{5}{6} text { и } 6, 8 text{ и } frac{3}{40}], поскольку их можно легко сократить. В итоге получим: [frac{5}{6} cdot 8 cdot 6 cdot frac{3}{40} cdot 10=left(frac{5}{6} cdot 6right) cdotleft(frac{3}{40} cdot 8right) cdot 10=frac{5 cdot 6}{6} cdot frac{3 cdot 8}{40} cdot 10=frac{5}{1} cdot frac{3 cdot(4 cdot 2)}{(4 cdot 2) cdot 5} cdot 10=5 cdot frac{3}{5} cdot 10=frac{150}{5}=30]. В последней части используем деление числителя на знаменатель и получаем целочисленный результат.

Ответ: [frac{5}{6} cdot 8 cdot 6 cdot frac{3}{40} cdot 10=30].

Перевод смешанных дробей в неправильные

Когда числитель больше либо равен знаменателю, такие дроби принято называть неправильными. Существует правило, согласно которому из неправильной дроби нужно выделить целую часть и только тогда записывать ответ на задание. Достаточно разделить числитель на знаменатель, записав полученное целочисленное значение перед дробью, остаток поместить в числитель, а знаменатель оставить без изменений.

Обратное же действие требует умножить целочисленную часть на знаменатель, прибавить к полученному значению числитель. Итоговое число станет новым числителем, знаменатель останется без изменения. Рассмотрим на конкретном примере. Подобные темы проходятся обычно в младших классах.

Пример 8

Переведите смешанную дробь [3 frac{3}{5}] в неправильную.

Решение

Согласно вышеназванному правилу, умножим знаменатель 5 на целое число 3, прибавив текущий числитель 3, получим следующее выражение:

[ 3 frac{3}{5}=frac{3 cdot 5+3}{5}=frac{15+3}{5}=frac{18}{5} ]

Ответ: [3 frac{3}{5}=frac{18}{5}].

Калькулятор вычисления НОД и НОК двух чисел

Сложные выражения с дробями. Порядок действий

8 августа 2011

Теперь, когда мы научились складывать и умножать отдельные дроби, можно рассматривать более сложные конструкции. Например, что, если в одной задаче встречается и сложение, и вычитание, и умножение дробей?

В первую очередь, надо перевести все дроби в неправильные. Затем последовательно выполняем требуемые действия — в том же порядке, как и для обычных чисел. А именно:

1. Сначала выполняется возведение в степень — избавьтесь от всех выражений, содержащих показатели;
2. Затем — деление и умножение;
3. Последним шагом выполняется сложение и вычитание.

Разумеется, если в выражении присутствуют скобки, порядок действий изменяется — все, что стоит внутри скобок, надо считать в первую очередь. И помните о неправильных дробях: выделять целую часть надо лишь тогда, когда все остальные действия уже выполнены.

Задача. Найдите значения выражений:

Переведем все дроби из первого выражения в неправильные, а затем выполним действия:

Теперь найдем значение второго выражения. Тут дробей с целой частью нет, но есть скобки, поэтому сначала выполняем сложение, и лишь затем — деление. Заметим, что 14 = 7 · 2. Тогда:

Наконец, считаем третий пример. Здесь есть скобки и степень — их лучше считать отдельно. Учитывая, что 9 = 3 · 3, имеем:

Обратите внимание на последний пример. Чтобы возвести дробь в степень, надо отдельно возвести в эту степень числитель, и отдельно — знаменатель.

Можно решать по-другому. Если вспомнить определение степени, задача сведется к обычному умножению дробей:

Многоэтажные дроби

До сих пор мы рассматривали лишь «чистые» дроби, когда числитель и знаменатель представляют собой обыкновенные числа. Это вполне соответствует определению числовой дроби, данному в самом первом уроке.

Но что, если в числителе или знаменателе разместить более сложный объект? Например, другую числовую дробь? Такие конструкции возникают довольно часто, особенно при работе с длинными выражениями. Вот пара примеров:

Здесь и далее мы будем называть эти дроби многоэтажными. Однако имейте в виду, что общепризнанного названия у них нет, и в разных учебниках могут встречаться другие определения.

Правило работы с многоэтажными дробями всего одно: от них надо немедленно избавляться. Удалить «лишние» этажи довольно просто, если вспомнить, что дробная черта означает стандартную операцию деления. Поэтому любую дробь можно переписать следующим образом:

Пользуясь этим фактом и соблюдая порядок действий, мы легко сведем любую многоэтажную дробь к обычной. Взгляните на примеры:

Задача. Переведите многоэтажные дроби в обычные:

В каждом случае перепишем основную дробь, заменив разделительную черту знаком деления. Также вспомним, что любое целое число представимо в виде дроби со знаменателем 1. Т.е. 12 = 12/1; 3 = 3/1. Получаем:

В последнем примере перед окончательным умножением дроби были сокращены.

Специфика работы с многоэтажными дробями

В многоэтажных дробях есть одна тонкость, которую всегда надо помнить, иначе можно получить неверный ответ, даже если все вычисления были правильными. Взгляните:

Это выражение можно прочитать по-разному:

1. В числителе стоит отдельное число 7, а в знаменателе — дробь 12/5;
2. В числителе стоит дробь 7/12, а в знаменателе — отдельное число 5.

Итак, для одной записи получили две совершенно разных интерпретации. Если подсчитать, ответы тоже будут разными:

Чтобы запись всегда читалась однозначно, используйте простое правило: разделяющая черта основной дроби должна быть длиннее, чем черта вложенной. Желательно — в несколько раз.

Если следовать этому правилу, то приведенные выше дроби надо записать так:

Да, возможно, это некрасиво и занимает слишком много места. Зато вы будете считать правильно. Напоследок — пара примеров, где действительно возникают многоэтажные дроби:

Задача. Найдите значения выражений:

Итак, работаем с первым примером. Переведем все дроби в неправильные, а затем выполним операции сложения и деления:

Аналогично поступим со вторым примером. Переведем все дроби в неправильные и выполним требуемые операции. Чтобы не утомлять читателя, я опущу некоторые очевидные выкладки. Имеем:

Благодаря тому, что в числителе и знаменателе основных дробей стоят суммы, правило записи многоэтажных дробей соблюдается автоматически. Кроме того, в последнем примере мы намеренно оставили число 46/1 в форме дроби, чтобы выполнить деление.

Также отмечу, что в обоих примерах дробная черта фактически заменяет скобки: первым делом мы находили сумму, и лишь затем — частное.

Кто-то скажет, что переход к неправильным дробям во втором примере был явно избыточным. Возможно, так оно и есть. Но этим мы страхуем себя от ошибок, ведь в следующий раз пример может оказаться намного сложнее. Выбирайте сами, что важнее: скорость или надежность.

Смотрите также:

1. Умножение и деление дробей
2. Тест к уроку «Сложные выражения с дробями» (легкий)
3. Тест к уроку «Округление с избытком и недостатком» (1 вариант)
4. Уравнение плоскости в задаче C2. Часть 1: матрицы и определители
5. Формула простого процента: как найти исходное значение
6. Сложная задача B14 на смеси и сплавы