Как найти значение выражения с разными знаменателями

При сложении дробей могут встретиться разные случаи.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают
числители, а знаменатель оставляют тот же.

Пример.

C помощью букв это правило сложения можно записать так:

Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться
следующими правилами.

1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти
   наименьшее общее кратное знаменателей.

Пример. Сложить дроби.

Как найти общий знаменатель

Находим НОК (15, 18).

НОК (15, 18) = 3 · 2 · 3 · 5 = 90

1. Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1)
   делим по очереди на знаменатель каждой дроби.

   Полученные числа и будут дополнительными множителями
   для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху.

   90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби

   .

   90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби

   .

   

2. Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь
   основным свойством дроби.

   После умножения в знаменателях
   обеих дробей должен получиться наименьший общий знаменатель.
   Затем складываем дроби как дроби с одинаковыми знаменателями.
   

3. Проверяем полученную дробь.
   • Eсли в результате получилась
     неправильная дробь,
     результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу
     дробь.

     38 < 90

     У нас дробь правильная.

   • Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.
     
4. Ещё раз весь пример целиком.
   

Сложение смешанных чисел

Сочетательное и переместитительное свойства сложения позволяют привести
сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.

Чтобы сложить смешанные числа нужно.

1. Отдельно сложить их целые части.

   Пример.

   

   Складываем целые части.

   

2. Отдельно сложить дробные части.

   Если у дробных частей знаменатели разные, то
   сначала приводим их к общему знаменателю, а затем складываем.

   

3. Сложить полученные результаты из пунктов 1 и 2.
   
4. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно
   выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной
   в пункте 1 целой части.

Ещё один пример на сложение смешанных чисел.

Ваши комментарии

Оставить комментарий:

1. Главная
2. /
3. Математика
4. /
5. Арифметика
6. /
7. Калькулятор дробей

Данный калькулятор может работать как с положительными, так и с отрицательными дробями.

При этом нужно помнить, что:

− ac = a− c = − ac

Всегда нужно использовать только последний вариант.

При сложении дробей с одинаковыми знаменателями складываются только числители, а знаменатель остаётся прежним.

Формула

ac + bc = a + bc

Пример

Для примера сложим следующие дроби с равными знаменателями:

27 + 47 = 2 + 47 = 67

При сложении дробей с разными знаменателями для начала необходимо привести дроби к общему знаменателю. А затем сложить числители.

Формула (универсальная)

ac + bd = a⋅d + b⋅cc⋅d

Пример №1

Для примера сложим следующие дроби с разными знаменателями:

12+13=1⋅32⋅3+1⋅23⋅2=36+26=3+26=56

Пример №2

Существуют также частные случаи, когда знаменатель одной дроби можно привести к знаменателю второй. Например:

12+14=1⋅22⋅2+14=24+14=2+14=34

Этот же пример можно решить и применяя вышеуказанную универсальную формулу:

12+14=1⋅42⋅4+1⋅24⋅2=48+28=4+28=68=34

Обратите внимание, что мы сократили дробь:

68=3 ⋅ 24 ⋅ 2=34

Смешанные числа — это такие числа, у которых есть как дробная часть, так и целая.

Преобразуя в неправильную дробь

Для начала смешанное число (дробь) нужно преобразовать в неправильную дробь, а потом можно складывать как в предыдущих примерах.

Формула

a bc + d ef = b + a ⋅ cc + e + d ⋅ ff

Пример

Для примера сложим два смешанных числа:

312+123=1+3⋅22+2+1⋅33=72+53=7⋅32⋅3+5⋅23⋅2=216+106=21+106=316=5⋅6+16=5⋅66 + 16=516

Обратите внимание, что из полученной неправильной дроби мы выделили целую часть:

316=5⋅6+16=5⋅66 + 16=516

Складывая целую и дробную части отдельно

Целую и дробную части смешанных чисел можно складывать по отдельности.

Формула

a bc + d ef = (a + d) + (bc + ef)

Пример

Решим предыдущий пример этим способом:

3 12 + 1 23 = (3+1)+(12+23) = 4+1⋅32⋅3+2⋅23⋅2=4+36+46=4+3+46=4+76=4+116 = 516

Формула

ac − bc = a − bc

Пример

Для примера вычтем одну дробь из другой с равными знаменателями:

35−25=3−25=15

Тут также, как и при сложении, дроби нужно подвести под общий знаменатель, а затем вычитать.

Формула

ac − bd = a⋅d − b⋅cc⋅d

Пример

Для примера вычтем одну дробь из другой, с разными знаменателями:

34−13=3⋅34⋅3−1⋅43⋅4=912−412=9−412=512

Для начала смешанные числа преобразуем в неправильные дроби, потом приводим полученные дроби к общему знаменателю, а затем вычтем одну из другой. Далее выделяем целую часть если она есть.

Формула

a bc − d ef = b + a ⋅ cc − e + d ⋅ ff

Пример

312−123=1+3⋅22−2+1⋅33=72−53=7⋅32⋅3−5⋅23⋅2=216−106=21−106=116=1⋅6+56=1⋅66 + 56=156

При умножении дробей неважно одинаковые или разные у них знаменатели. Числитель одной дроби умножается на числитель другой, а знаменатели тоже перемножаются между собой.

Формула

ac ⋅ be = a ⋅ bc ⋅ e

Давайте рассмотрим несколько примеров:

Пример №1

Умножим дроби с одинаковыми знаменателями:

13⋅23=1⋅23⋅3=29

Пример №2

Умножим дроби с разными знаменателями:

13⋅24=1⋅23⋅4=212=1⋅26⋅2=16

Пример №3

Умножим смешанные числа:

112⋅223=1+1⋅22⋅2+2⋅33=32⋅83=3⋅82⋅3=246=4

При делении одной дроби на другую также неважно одинаковые или разные у них знаменатели. Чтобы разделить одну дробь на другую нужно перемножить числитель первой дроби и знаменатель второй, а знаменатель первой умножить на числитель второй.

Формула

ac : be = a ⋅ ec ⋅ b

Давайте рассмотрим несколько примеров:

Пример №1

Разделим одну дробь на другую с таким же знаменателем:

23:13=23⋅31=2⋅33⋅1=63=2

Пример №2

Делим дроби с разными знаменателями:

12:23=12⋅32=1⋅32⋅2=34

Пример №3

Деление смешанных чисел:

412:223=1+4⋅22:2+2⋅33=92:83=92⋅38=9⋅32⋅8=2716=1⋅16+1116=1⋅1616 + 1116=11116

Пример 1. Выполните сложение алгебраических дробей:

Решение: Складываем числители дробей и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

Пример 2. Выполните вычитание алгебраических дробей:

Решение: Вычитаем из числителя первой дроби числитель второй дроби и выполняем приведение подобных членов (если они есть):

Пример 1. Найдите сумму дробей:

Решение: Чтобы выполнить сложение, поменяем знаки перед второй дробью и в её знаменателе на противоположные:

Пример 2. Найдите разность дробей:

Решение: Чтобы выполнить вычитание, перенесём знак минус, стоящий перед второй дробью, в её знаменатель:

Пример 1. Выполните сложение дробей:

Решение: Находим общий знаменатель. Он будет равен произведению знаменателей данных дробей:

(a + b)(a — b).

Как находить общий знаменатель, Вы можете узнать на странице Приведение алгебраических дробей к общему знаменателю. Далее умножаем числитель каждой дроби на дополнительный множитель:

2a(a — b) = 2a² — 2ab;

b(a + b) = ab + b².

Общий знаменатель можно свернуть в разность квадратов. В итоге у нас получится:

Пример 2. Выполните вычитание дробей:

Решение: Разложим знаменатель первой дроби на множители:

a² — ab = a(a — b).

Так как данное выражение делится на знаменатель второй дроби, то возьмём его в качестве общего знаменателя. Значит, теперь нам надо умножить числитель второй дроби на дополнительный множитель  a:

2 · a = 2a.

Получаем:

Пример 3. Выполните сложение:

Решение: Запишем первое слагаемое в виде дроби и приведём её к знаменателю  1 — x:

Теперь можно выполнить сложение дробей с одинаковыми знаменателями:

Загрузить PDF

Загрузить PDF

Для того чтобы складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, вам нужно привести их к общему знаменателю. Процессы сложения и вычитания дробей очень похожи; только на конечном этапе вы должны либо сложить, либо вычесть числители дробей. Если вы хотите научиться складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, выполните следующие действия.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 77 383 раза.