Как найти значения эмпирической функции распределения - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Эмпирической (опытной) функцией распределения или функцией распределения выборки называют такую функцию, которая определяет для каждого значения x частоту событий X<x и предназначена для оценке теоретической функции распределения генеральной совокупности в математической статистике.

Эмпирическая функция распределения находится по формуле:

n — объем выборки;

n_x — количество наблюдений (вариантов) меньше x.

Пример

Дана таблица функции распределения выборки. Требуется построить эмпирическую функцию распределения

x_i	1	2	3	4	5	6
n_i	4	10	6	8	7	5

Решение

Из таблицы n=40, т.е.
n=4+10+6+8+7+5=40
Вычислим функцию распределения выборки

Эмпирическая функция распределения имеет вид

Построим график кусочно-постоянной эмпирической функции распределения

таким образом, по данным выборки можно приближенно построить функцию для неизвестной функции выборки.

74395

Источник

Эмпирическая функция распределения

Содержание:

Что называют эмпирической функции распределения
Свойства функции
Как найти
Как построить график
Примеры задач

Что называют эмпирической функции распределения

Допустим, известно статистическое распределение частот количественного признака Х. Обозначим n_х – количество наблюдений со значением меньше x₁, n – всего наблюдений. Очевидно, что относительная частота события Х<x будет равна n_х/n.

Определение

Эмпирическая функция распределения – это функция F*(x), которая определяет для каждого значения x относительную частоту события X

Данное понятие можно записать в виде формулы:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

(Fast(x)=frac{n_x}n)

В этой записи n_x – количество вариантов, меньших x; n – объем выборочной совокупности.

Существует также теоретическая функция распределения (функция распределения генеральной совокупности). Ее отличие от выборочной функции распределения состоит в определении объективной возможности или вероятности события X<x.

Свойства функции

Функция распределения выборки обладает рядом свойств, которые следуют из определения понятия.

Значения рассматриваемой функции F^*(x) располагаются на отрезке [0; 1].
Функция имеет неубывающий характер.
При минимальной варианте x₁ верно равенство F^*(x)=0 при условии, что х<х₁. При максимальной варианте х_kверно равенство F^*(x)=1 при условии х>x_k.

Таким образом, функция распределения выборки помогает оценить теоретическую функцию распределения.

Как найти

Выборочная функция распределения для случайной величины рассчитывается по формуле:

(F(x)=P(xi<x))

Данное равенство читается так: функция распределения равна вероятности события, при котором случайная величина будем меньше x.

Поскольку при условии, что x меньше или равно 1, событие ξ₂₀<1 невозможно (ξ₂₀не принимает значение менее 1, вероятность невозможного события равна 0), верно следующее выражение:

(F(x)=P(xi20<1)=0)

При принадлежности x отрезку (1; 2] событие ξ₂₀<2 представляет собой равенство ξ₂₀=1, значит, вероятность этого события равно 0,1. В записи это выглядит так:

(F(x)=P(xi20<2)=0,1)

Когда x принадлежит отрезку (2; 4], событие ξ₂₀<4 состоит в равенстве ξ₂₀ значению 1 или 2, то есть вероятность рассматриваемого события равна 0,1+0,2=0,3 или:

(F(x)=P(xi20<4)=0,3)

Если 4 < x ≤ 5, то событие ξ₂₀<5 означает, что ξ₂₀ принимает значение либо 1, либо 2, либо 4. Следовательно, вероятность данного события вычисляется так: 0,1+0,2+0,35=0,65, то есть:

(F(x)=P(xi20<5)=0,65)

При 5 < x ≤ 6 событие ξ₂₀<6 заключается в том, что ξ₂₀ принимает значение 1, 2, 4 или 5. Значит его вероятность равно 0,1+0,2+0,35+0,1=0,75 или:

(F(x)=P(xi20<6)=0,75)

И так далее.

Итак, эмпирическая функция распределения имеет следующий вид:

Функция

Как построить график

Построение графика эмпирической функции распределения возможно после вычисления ее значений на всей числовой оси. Для рассмотренного примера схематическое изображение будет выглядеть так:

График

График ступенчатого вида, построенный на отрезках. Совпадение графика с горизонтальной осью означает, что левее минимального значения x=1 функция приобретает значение нуля. Увеличение в каждой следующей точке x_i происходит на величину вероятности ν_i. Правее максимального значения х₈=13 функция равна 1. Стрелки и точки на концах отрезков указывают на определение функции на полуинтервалах.

Примеры задач

Задача

В таблице даны значения эмпирического распределения:

Задача

Необходимо найти объем выборочной совокупности, составить выборочную функцию распределения, построить ее график.

Решение

Вычислим объем выборки: n=5+10+15+20=50.
Из свойства эмпирической функции распределения: F_n(x)=0 при x≤1, F_n(x)=1 при x>4.

Выходит, что:

Задача 2

По полученным значениям построим график:

Задача 3

Источник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Определение эмпирической функции распределения

Пусть $X$ — случайная величина. $F(x)$ — функция распределения данной случайной величины. Будем проводить в одних и тех же независимых друг от друга условий $n$ опытов над данной случайной величиной. При этом получим последовательность значений $x_1, x_2 $, … ,$ x_n$, которая и называется выборкой.

Определение 1

Каждое значение $x_i$ ($i=1,2 $, … ,$ n$) называется вариантой.

Определение 2

Функция распределения $F(x)$ генеральной совокупности называется теоретической функцией распределения.

Одной из оценок теоретической функции распределения является эмпирическая функция распределения.

Определение 3

Эмпирической функцией распределения $F_n(x)$ называется функция, которая определяет для каждого значения $x$ относительную частоту события $X
[F_nleft(xright)=frac{n_x}{n}]

где $n_x$ — число вариант, меньших $x$, $n$ — объем выборки.

Отличие эмпирической функции от теоретической состоит том, что теоретическая функция определяет вероятность события $X

Свойства эмпирической функции распределения

Рассмотрим теперь несколько основных свойств функции распределения.

Область значений функции $F_nleft(xright)$ — отрезок $[0,1]$.
$F_nleft(xright)$ неубывающая функция.
$F_nleft(xright)$ непрерывная слева функция.
$F_nleft(xright)$ кусочно-постоянная функция и возрастает только в точках значений случайной величины $X$
Пусть $X_1$ — наименьшая, а $X_n$ — наибольшая варианта. Тогда $F_nleft(xright)=0$ при ${xle X}_1$и $F_nleft(xright)=1$ при $xge X_n$.

«Эмпирическая функция распределения» 👇

Введем теорему, которая связывает между собой теоретическую и эмпирическую функции.

Пусть $F_nleft(xright)$ — эмпирическая функция распределения, а $Fleft(xright)$ — теоретическая функция распределения генеральной выборки. Тогда выполняется равенство:

[{mathop{lim}_{nto infty } {|F}_nleft(xright)-Fleft(xright)|=0 }]

Примеры задач на нахождение эмпирической функции распределения

Пример 1

Пусть распределение выборки имеет следующие данные, записанные с помощью таблицы:

Рисунок 1.

Найти объем выборки, составить эмпирическую функцию распределения и построить её график.

Решение:

Объем выборки: $n=5+10+15+20=50$.

По свойству 5, имеем, что при $xle 1$ $F_nleft(xright)=0$, а при $x>4$ $F_nleft(xright)=1$.

Значение $x

Таким образом, получаем:

Рисунок 2.

Построим график эмпирического распределения:

Рисунок 3.

Пример 2

Из городов центральной части России случайным образом выбрано 20 городов, для которых получены следующие данные по стоимости проезда в общественном транспорте: 14, 15, 12, 12, 13, 15, 15, 13, 15, 12, 15, 14, 15, 13, 13, 12, 12, 15, 14, 14.

Составить эмпирическую функцию распределения данной выборки и построить её график.

Решение:

Запишем значения выборки в порядке возрастания и посчитаем частоту каждого значения. Получаем следующую таблицу:

Рисунок 4.

Объем выборки: $n=20$.

По свойству 5, имеем, что при $xle 12$ $F_nleft(xright)=0$, а при $x>15$ $F_nleft(xright)=1$.

Значение $x

Таким образом, получаем:

Рисунок 5.

Построим график эмпирического распределения:

Рисунок 6.

Оригинальность: $92,12%$.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Как известно, закон
распределения случайной величины можно
задавать различными способами. Дискретную
случайную величину можно задать с
помощью ряда распределения или
интегральной функции, а непрерывную
случайную величину – с помощью или
интегральной, или дифференциальной
функции. Рассмотрим выборочные аналоги
этих двух функций.

Пусть имеется
выборочная совокупность значений
некоторой случайной величины
объемаи каждому варианту из этой совокупности
поставлена в соответствие его частость.
Пусть далее,– некоторое действительное число, а– число выборочных значений случайной
величины,
меньших.Тогда
числоявляется частостью наблюдаемых в выборке
значений величиныX,
меньших
,
т.е. частостью появления события
.
При измененииx
в общем случае будет изменяться и
величина
.
Это означает, что относительная частотаявляется функцией аргумента.
А так как эта функция находится по
выборочным данным, полученным в результате
опытов, то ее называют выборочной илиэмпирической.

Определение
10.15. Эмпирической
функцией распределения
(функцией распределения выборки) называют
функцию
,
определяющую для каждого значенияx
относительную частоту события
.

(10.19)

В отличие от
эмпирической функции распределения
выборки функцию распределения F(x)
генеральной совокупности называют
теоретической
функцией распределения.
Различие между ними состоит в том, что
теоретическая функция F(x)
определяет вероятность события
,
а эмпирическая – относительную частоту
этого же события. Из теоремы Бернулли
следует

,
(10.20)

т.е. при больших
вероятностьи относительная частота события,
т.е.мало отличаются одно от другого. Уже
отсюда следует целесообразность
использования эмпирической функции
распределения выборки для приближенного
представления теоретической (интегральной)
функции распределения генеральной
совокупности.

Функция
иобладают одинаковыми свойствами. Это
вытекает из определения функции.

Свойства
:

;
–неубывающая
функция;
;
.

Пример 10.4.
Построить эмпирическую функцию по
данному распределению выборки:

Варианты	2	6	10
Частоты	12	18	30

Решение:
Найдем объем выборки n=12+18+30=60.
Наименьшая варианта
,
следовательно,при.
Значение,
а именнонаблюдалось 12 раз, следовательно:

=при.

Значение x<10,
а именно
инаблюдались 12+18=30 раз, следовательно,=при.
При.

Искомая эмпирическая
функция распределения:

График
представлен на рис. 10.2

Рис.
10.2

Контрольные вопросы

1. Какие основные
задачи решает математическая статистика?
2. Генеральная и выборочная совокупность?
3. Дайте определение объема выборки. 4.
Какие выборки называются репрезентативными?
5. Ошибки репрезентативности. 6. Основные
способы образования выборки. 7. Понятия
частоты, относительной частоты. 8. Понятие
статистического ряда. 9. Запишите формулу
Стэрджеса. 10. Сформулируйте понятия
размаха выборки, медианы и моды. 11.
Полигон частот, гистограмма. 12. Понятие
точечной оценки выборочной совокупности.
13. Смещенная и несмещенная точечная
оценка. 14. Сформулируйте понятие
выборочной средней. 15. Сформулируйте
понятие выборочной дисперсии. 16.
Сформулируйте понятие выборочного
среднеквадратического отклонения. 17.
Сформулируйте понятие выборочного
коэффициента вариации. 18. Сформулируйте
понятие выборочной средней геометрической.

Соседние файлы в папке Лекции

Источник

Содержание:

Формулы и свойства эмпирической функции распределения
Примеры расчёта с таблицей и графиком

При рассмотрении различных разделов теории вероятности непрерывно встречается такое понятие как функция распределения. Она может быть задана для разных типов случайных величин. Через её посредство задаются также и все ключевые параметры случайных величин, такие как матожидание, дисперсия среднеквадратическое отклонение и другие.

Чаще всего, при решении примеров и задач функция распределения является теоретической, а при работе в рамках матстатистики, в общем случае — неизвестной. Однако, на практике с помощью имеющейся выборки, можно создать выражение, которое будет максимально приближено к виду неизвестной функции распределения.

Чтобы определить вид такого, приближенного, выражения, вводится представление об эмпирической функции распределения (выборки). Она позволяет структурировать статистические данные, выявить необходимые закономерности, определить все нужные характеристики случайной величины.

Формулы и свойства эмпирической функции распределения

Определение 1

Для существующей выборки $x=(x_1, x_2,…x_n)$ и ряда частот, каждая из которых соответствует каждому элементу выборки, существует такая функция $F^*(x)$, которая и определяет конкретное значение частоты события для любого из компонентов выборки.

Используемая формула, для вычисления эмпирической функции распределения

$F^*(x)=frac {n_x}{n}=sum_{x_i<x}^{}p_i$

Здесь $n_x$ — количество наблюдений (вариантов) меньше x, n — размер выборки, х – произвольное значение величин.

Либо более общая, но абсолютно идентичная запись:

$F_n^*(t)=frac {|i:x_ileq t|}{n}$

Термин «эмпирическая», употреблённый в определении значит, что функция определяется по результатам опыта (эмпирического опыта), то есть, по набору значений, составленных из итогов испытаний — по выборке. Именно из-за такого принципа формирования используемых данных также применимо и другое наименование — «выборочная функция распределения».

Из определения становится ясно, что в точках рассматриваемая функция будет зависеть от значений выборки, поэтому уточненное и более точное её обозначение могло бы иметь вид: $F^*_n(t;x_1…x_n)$. Тогда в данном виде параметр t будет являться основным, а другие представляют собой фиксированные величины. Иной подход позволяет представить значения выборки x в виде независимых, а также одинаковым образом распределяемых случайных величин, для которых определена функция распределения — F. Исходя из такой интерпретации, $F^*_n(t)$ является случайной величиной. Получаем, что в пределе $nrightarrowinfty$ функция распределения выборки обладает свойством равномерной сходимости к своему теоретическому значению:

$P(sup_{t in R}|F^*_n(t)-F(t)|rightarrow 0)=1$

Данный факт представляет собой общую закономерность, которая, в свою очередь, носит наименование теорема Гливенко.

Свойство 1

Одно из свойств функции $F^*(x)$ заключается в том, что все её значения лежат в пределах интервала [0;1].

Свойство 2

$F^*(x)$- неубывающая функция.

Не трудно уловить закономерность, заключающуюся в том, что функция $F_n^*(t)$ представляет собой кусочно-постоянную, а также неубывающую и непрерывную справа функцию. В том случае, если $x_i$ различные, тогда для каждой точке $x_i$ функция получает скачок величины своего значения. В случае, когда $frac {1}{n}$ из $x_i$ совпадают, скачки будут складываться.

Свойство 3

Если $х_1$ – наименьшая варианта, то $F^*(x)=0 при x leq x1$.

Свойство 4

Если $х_k$ – наибольшая варианта, то $F^*(x)=1 при x > x_k$.

Примеры расчёта с таблицей и графиком

Пример 1

Пусть существует таблица, с помощью которой задана функция распределения выборки. Необходимо произвести вычисления и установить каков графический вид эмпирической функции распределения

Xi	2	3	4	5	6
Ni	4	10	6	8	7	5

Решение

Из таблицы n=40, т.е. n=4+10+6+8+7+5=40

Вычислим функцию распределения выборки

$F_{40}(xleq1)=frac{0}{40}=0$

$F_{40}(1< xleq2)=frac{0+4}{40}=0.1$

$F_{40}(2< xleq3)=frac{4+10}{40}=0,35$

$F_{40}(3< xleq4)=frac{4+10+6}{40}=0,5$

$F_{40}(4< xleq5)=frac{4+10+6+8}{40}=0,7$

$F_{40}(5< xleq6)=frac{4+10+6+8+7}{40}=0,875$

$F_{40}(x>6)=frac{4+10+6+8+7+5}{40}=1$

Для эмпирической функции распределения $F_n(x)$ можно записать её значения в интервалах:

0, если $ xleq1$,

0,1, если $ 1< xleq2$,

0,35, если $ 2< xleq3$,

0,5, если $ 3< xleq4$,

0,7, если $ 4< xleq5$,

0,875, если $ 5< xleq6$,

1, если $ x>6$.

Изобразим на графике внешний вид кусочно-постоянной эмпирической функции распределения

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример 2

Требуется нарисовать график для эмпирической функции, если известно распределение выборки.

Решение

Рассчитаем размер выборки: n = 10 + 15 + 25 = 50. Значение самой маленькой варианты составляет 2. Тогда имеем F*(X) = 0 при Х ≤ 2. При этом случай Х < 4 (или X1 = 2) наблюдался 10 раз, значит, F*(X) = 10/50 = 0,2 при 2 < Х < 4. Значения X < 6 (а именно X1 = 2 и X2 = 4) наблюдались 10 + 15 = 25 раз, значит, при 4 < Х < 6 функция F*(X) = 25/50 = 0,5. Поскольку X = 6 — максимальная варианта, то F*(X) = 1 при Х > 6. Далее выведем формулу той самой эмпирической функции, которую требуется найти.

График этой функции показан на следующем рисунке:

Источник