Как найти значения логарифма с корнями - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Логарифм с корнем в основании

Как преобразовать логарифм с корнем в основании?

Для этого следует корень представить в виде степени с рациональным показателем и показатель степени вынести за знак логарифма.

Схематически преобразование логарифма с корнем в основании можно изобразить так:

$[{log _{sqrt[k]{{{a^n}}}}}{b^m} = {log _{{a^{frac{n}{k}}}}}{b^m} = ]$

$[ = frac{m}{{frac{n}{k}}}{log _a}b = frac{{mk}}{n}{log _a}b]$

В частности, если показатель степени, стоящей под знаком логарифма, равен 1:

$[{log _{sqrt[k]{{{a^n}}}}}b = {log _{{a^{frac{n}{k}}}}}b = ]$

$[ = frac{1}{{frac{n}{k}}}{log _a}b = frac{k}{n}{log _a}b]$

Примеры.

$[1){log _{sqrt[5]{{{2^3}}}}}7 = {log _{{2^{frac{3}{5}}}}}7 = frac{5}{3}{log _2}7,]$

$[2){log _{sqrt[3]{{49}}}}625 = {log _{sqrt[3]{{{7^2}}}}}{5^4} = {log _{{7^{frac{2}{3}}}}}{5^4} = ]$

$[ = frac{4}{{frac{2}{3}}}{log _7}5 = frac{{4 cdot 3}}{2}{log _7}5 = 6{log _7}5,]$

$[3){log _{sqrt[4]{{243}}}}36 = {log _{sqrt[4]{{{3^5}}}}}{6^2} = {log _{{3^{frac{5}{4}}}}}{6^2} = ]$

$[ = frac{2}{{frac{5}{4}}}{log _3}6 = frac{{2 cdot 4}}{5}{log _3}6 = frac{{8}}{5}{log _3}6,]$

$[4){log _{sqrt {11} }}8 = {log _{{{11}^{frac{1}{2}}}}}8 = ]$

$[ = frac{2}{1}{log _{11}}8 = 2{log _{11}}8,]$

$[5){log _{sqrt[9]{{{a^5}}}}}b = {log _{{a^{frac{5}{9}}}}}b = ]$

$[ = frac{1}{{frac{5}{9}}}{log _a}b = frac{9}{5}{log _a}b,]$

(a>0, a≠1, b>0).

После преобразования корня в основании логарифма в степень с дробным показателем и вынесения этой степени за знак логарифма, число можно внести в показатель степени выражения, стоящего под знаком логарифма.

Например,

$[{log _{sqrt[3]{4}}}10 = {log _{sqrt[3]{{{2^2}}}}}10 = {log _{{2^{frac{2}{3}}}}}10 = ]$

$[ = frac{1}{{frac{2}{3}}}{log _2}10 = frac{3}{2}{log _2}10 = {log _2}{10^{frac{3}{2}}} = ]$

$[ = {log _2}sqrt {{{10}^3}} = {log _2}sqrt {1000} .]$

Источник

Логарифм корня вычисляется путем деления логарифма подкоренного выражения на показатель корня.

При этом, важно соблюдение обоих условий ниже:

a>0 и a≠1;
x>0.

Формула получена следующим образом:

1. Корень числа – это не что иное, как это же число, возведенное в дробную степень, в числителе которого стоит единица, а в знаменателе – показатель корня:

2. Теперь, применив формулу логарифма степени, получаем:

Это свойство логарифма можно представить и в “реверсном” виде:

Дробный коэффициент перед логарифмом можно внести в подлогарифмическое выражение в виде его корня, показатель которого равен знаменателю дроби.

При этом: a>0 и a≠1, x>0

Примеры:

Источник

Логарифм числа идентифицирует степень, которую определенное число, называемое основанием, должно быть увеличено, чтобы произвести это число. В общем виде это выражается как log a (b) = x, где a — основание, x — мощность, на которую возводится основание, и b — значение, в котором вычисляется логарифм. На основании этих определений логарифм также может быть записан в экспоненциальной форме типа a ^ x = b. Используя это свойство, можно найти логарифм любого числа с действительным числом в качестве основания, например квадратного корня, выполнив несколько простых шагов.

Преобразовать данный логарифм в экспоненциальную форму. Например, log sqrt (2) (12) = x будет выражаться в экспоненциальной форме как sqrt (2) ^ x = 12.

Возьмите натуральный логарифм или логарифм с основанием 10 обеих сторон вновь сформированного экспоненциального уравнения.

log (sqrt (2) ^ x) = log (12)

Используя одно из свойств логарифмов, переместите переменную экспоненты в начало уравнения. Любой экспоненциальный логарифм типа log a (b ^ x) с определенной «базой a» можно переписать как x_log a (b). Это свойство удалит неизвестную переменную из позиций экспоненты, что значительно облегчит решение проблемы. В предыдущем примере уравнение теперь было бы записано как: x_log (sqrt (2)) = log (12)

Решите для неизвестной переменной. Разделите каждую сторону на журнал (sqrt (2)), чтобы решить для x: x = log (12) / log (sqrt (2))

Вставьте это выражение в научный калькулятор, чтобы получить окончательный ответ. Использование калькулятора для решения примера задачи дает конечный результат как x = 7.2.

Проверьте ответ, увеличив базовое значение до вновь рассчитанного экспоненциального значения. Значение sqrt (2), возведенное в степень 7, 2, приводит к исходному значению 11, 9 или 12. Поэтому расчет был выполнен правильно:

sqrt (2) ^ 7.2 = 11.9

Источник

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор

Сообщение

Заголовок сообщения: Значение выражения — логарифм под корнем в показателе

Добавлено: 13 янв 2014, 01:36

Начинающий

Зарегистрирован:
13 янв 2014, 01:29
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Найти значение выражения
[math]2^{sqrt{log_{2}3 } }[/math]—[math]3^{sqrt{log_{3}2 } }[/math]+[math]3^{lg25}[/math]*[math]4^{lg3}[/math]

Вернуться к началу

radix	Заголовок сообщения: Re: Значение выражения — логарифм под корнем в показателе Добавлено: 13 янв 2014, 02:42
	Lilit писал(а): Найти значение выражения [math]2^{sqrt{log_{2}3 } }[/math]—[math]3^{sqrt{log_{3}2 } }[/math]+[math]3^{lg25}[/math]*[math]4^{lg3}[/math] [math]2^{sqrt{log_{2}3 } }=3^{sqrt{log_{3}2 } }[/math] В этом нетрудно убедиться, если возвести первое число в степень [math]sqrt{log_{2}{3} }[/math] и, чтобы число не изменилось, в степень [math]frac{ 1 }{ sqrt{log_{2}{3}} }[/math] Далее: [math]3^{lg{25} } cdot 4^{lg{3} } =left( 3^{lg{5} } cdot 2^{lg{3} } right) ^2[/math] Теперь представьте 5=10:2 Используйте [math]a^{log_{b}{c} }=c^{log_{b}{a} }[/math]
Вернуться к началу

	За это сообщение пользователю radix «Спасибо» сказали: Lilit

Lilit	Заголовок сообщения: Re: Значение выражения — логарифм под корнем в показателе Добавлено: 13 янв 2014, 02:58
	С произведением разобралась, а вот не совсем поняла про равенство… У меня получается [math]3^{frac{ 1 }{ sqrt{log_{2}3 } } }[/math]—[math]3^{ sqrt{log_{2}3 } }[/math] Меня эти корни как раз и озадачили больше всего
Вернуться к началу

Lilit	Заголовок сообщения: Re: Значение выражения — логарифм под корнем в показателе Добавлено: 13 янв 2014, 03:11
	т.е. в результате преобразований получится 1-1+9=9? Ступила… [math]3^{ sqrt{log_{3}2 } } }[/math]—[math]3^{ sqrt{log_{3}2 } } }[/math]+9
Вернуться к началу

Lilit	Заголовок сообщения: Re: Значение выражения — логарифм под корнем в показателе Добавлено: 13 янв 2014, 03:14
	Всё поняла, спасибо большое. Теперь я засну…
Вернуться к началу

Похожие темы	Автор	Ответы	Просмотры	Последнее сообщение
Упрощение выражения с корнем в форуме Алгебра	Shin	2	442	25 ноя 2015, 10:56
Преобразование выражения с корнем в форуме Алгебра	K40GB	3	159	30 дек 2019, 04:03
Упрощение выражения с корнем в форуме Алгебра	Den231	3	339	11 сен 2014, 01:22
Значение выражения в форуме Алгебра	Imanna	1	301	23 окт 2013, 09:47
Значение выражения в форуме Алгебра	DimaK	2	156	05 сен 2019, 19:18
Значение выражения в форуме Алгебра	Chemist0	3	288	06 апр 2015, 20:06
Значение выражения в форуме Алгебра	kann7	7	287	11 ноя 2017, 19:11
Значение выражения в форуме Тригонометрия	nicat	16	863	13 июл 2015, 21:07
Найти значение выражения в форуме Алгебра	photographer	7	311	09 июл 2016, 09:30
Максимальное значение выражения в форуме Алгебра	gfibr	4	177	12 мар 2019, 20:22

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Источник

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Источник